九年级数学圆知识点梳理

初三数学圆知识点大全

第 2 页 初三数学圆知识点大全

1、 圆的有关概念：

(1)、确定一个圆的要素是圆心和半径。

(2)①连结圆上任意两点的线段叫做弦。②经过圆心的弦叫做直径。③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。④小于半圆周的圆弧叫做劣弧。⑤大于半圆周的圆弧叫做优弧。⑥在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。⑦顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。⑧经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点;直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。⑨与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。

2、 圆的有关性质

(1)定理在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。

第 3 页 (7)圆内接四边形对角互补，一个外角等于内对角;圆外切四边形对边和相等;

(8)弦切角定理：弦切角等于它所它所夹弧对的圆周角。

(9)和圆有关的比例线段：相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。

(10)两圆相切，连心线过切点;两圆相交，连心线垂直平分公共弦。

正多边形和圆

一、本节学习指导

本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质，在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。

二、知识要点

1、正多边形

（1）、正多边形的定义

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。

（2）、正多边形和圆的关系

只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

（3）、正多边形的中心

正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

（4）、正多边形的半径

正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

（5）、正多边形的边心距

正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

（6）、中心角

正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

2、正多边形的对称性

（1）、正多边形的轴对称性

正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

（2）、正多边形的中心对称性

边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

（3）、正多边形的画法

先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

24.3正多边形和圆

一、填空题

1． 在一个圆中，如果60的弧长是π，那么这个圆的半径r=_________.

2． 正n边形的中心角的度数是_______.

3． 边长为2的正方形的外接圆的面积等于________.

4． 正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_________.

二、选择题

5．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）.

（A） 两角互余 （B）两角互补 （C）两角互余或互补 （D）不能确定

6．圆内接正三角形的边心距与半径的比是（ ）.

（A）2：1 （B）1：2 （C）4:3

九年级圆基础知识点

- 2 - 圆知识点复习

一、圆的概念

1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（中垂线）；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内  dr  点C在圆内；

2、点在圆上  dr  点B在圆上；

3、点在圆外  dr  点A在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离  dr  无交点； rddCBAO - 3 - - 4 -

- 5 - 即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④ 弧BA弧BD

七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角

∴2AOBACB

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角

∴CD

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵90C

∴90C ∴AB是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 CBAODCBAOCBAOCBAO

- 6 - 即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或90C

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

-1-浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.-2-要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.-3