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【精品】线性代数2003

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1 / 4 2003年研究生入学考试题—线性变换

2003－010－6设三维线性空间V上的线性变换在基123,,下的矩阵为33ijAa,则在基231,,下的矩阵为。

2003－010－15（15分）设是n维线性空间V上的线性变换，Im与ker分别表示的值域与核，证明下列条件等价：

(1)ImkerV；

（2)Imker0;

（3）若12,,,r是Im的一组基，则12(),(),,()r是2Im的一组基；

（4）秩()=秩2()。

（注:表示Imker直和）

2003－011－6（24分）设是n维线性空间V上的线性变换，记Im()|V，ker|()0V。求证下列命题等价：

（1）ImkerV；

(2)Imker0；

(3）2ker()ker()；

(4)2Im()Im()。

2003－012－6（13分）设A为n维线性空间V的线性变换关于某基的矩阵，证明：2A的秩＝A的秩当且仅当1()(0)VV。

200300106给定R上二维线性空间V的线性变换A，A在一组基下的矩阵表示为 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

2 / 4 01,0.10Aaa求A的不变子空间。

200300205设V是数域P上的一个n维线性空间,12,,,naaa是的一个基，用1V表示由12naaa生成的线性子空间，令资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

2 / 4 211{0,}nniiiiiiVkakkP

（1） 证明2V是V的子空间

（2） 证明12VVV,

（3） 设V上线性变换A在基12,,,naaa下的矩阵A是置换矩阵（即：A的每一行与每一列都只有一个元素为1，其余元素全为0)，证明1V与2V都是A的不变子空间。

200300206设A是n维线性空间V上可逆线性变换，

（1） 试证A的逆变换1A可表成A的多项式。

（2） 如令()f为A的特征多项式，试证当多项式()g与()f互素时,()gA是可逆线性变换。

200300309设1V和2V是向量空间V的子空间,且有12VVV（即V是1V与2V的直和），若定义映射：

11212122::ff其中1122,,VVV.

证明:1)12,ff是V的线性变换；

2)221122,;ffff

3）12210ffff（零变换）,12Vffid(V的恒等变换）.

–1-（1)已知2p中线性变换A对基0,1,1,121的作用为1,1,1,021AA.则A在21,下的矩阵为。

–2。P为数域，A为22pV的线性变换，AVdca0,且对任VX,有AX=XA,求A的全部特征值.若da，V中是否存在一组基,使A在这组基下的矩阵为对角矩阵？为什么？资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

3 / 4 0104设11223313232xxxxxxxx，其中1323xxRx

为任意3维实向量,则线性变换在1000,1,0001下的矩阵表示为___________.

0302设12,,,neee是n维线性空间nV的一组基，对任意n个向量12,,,nnV,证明：存在唯一的线性变换T使得(),1,2,,.iiTein

03设V是数域P上的3维线性空间，线性变换:fVV在V的基123,,eee下的矩阵为212533102

（1） 求线性变换f在V的基11213,,eeeee下的矩阵

（2） 求线性变换f的特征值和特征向量

（3） 线性变换f可否在V的某组基下矩阵为对角形，为什么？

04设V是数域P上的3维线性空间,线性空间:fVV在V的基123,,eee下的矩阵为

4615135124A问f可否在V的某组基下矩阵为

1332613148B

为什么？

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线性代数复习二

线性代数复习二

在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题.

一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性

相当一部分同学在复习做题过程中会有这样的体会：对问题所涉及的概念、原理都很清楚，计算方法也知道，但就是无法算出正确答案来，或是计算有误，或是根本无法演算下去，造成不应有的丢分.

例1 (2003年数学三)已知齐次线性方程组

112233112233112233112233()0,()0,()0,()0.nnnnnnnnabxaxaxaxaxabxaxaxaxaxabxaxaxaxaxabx

其中10.niia试讨论12,,,naaab和满足何种关系时,

(1)方程组仅有零解；

(2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.

分析 本题思路方法比较直接：当系数矩阵的行列式不为零时，仅有零解；当系数矩阵的行列式等于零时，有非零解.但涉及到行列式的计算、初等变换化矩阵为阶梯形以及求基础解系等大量的计算问题，特别是含有多个参数，进一步增加了计算的难度.

解 方程组的系数行列式

123123123123||nnnnabaaaaabaaaaabaaaaabA231231231231ninininininininiabaaaababaaabaabaabaaab23232312311()11nnnininaaaabaaabaabaaaab 2311000()000000nniiaaababbb11().nniibab

(1)当100||.0,niibab且时,方程组仅有零解A；

(2)当b=0时，原方程组的同解方程组为

2003-2006年经管专业线性代数试卷A

2003-2006年经管专业线性代数试卷A

第 1 页 共 6 页 暨 南 大 学 考 试 试 卷

一、 填空题（每小题2分，本题18分）

1、行列式000100020009800099000000001D__________。

2、设A为三阶矩阵，*AA为的伴随矩阵，且已知12A，则行列式1*(3)2AA的值是_____________。

3、 21230,nAAAEA若阶矩阵满足方程则_______________。

4、设四阶行列式abcdcbdaDdbcaabdc，则14243444AAAA_________。

5、 4,()3,()_____ArArA设为阶方阵且秩则。

6、向量组121,2,3,4,2,3,4,5，343,4,5,6,4,5,6,7的一个极大教

师

填

写 课课程

2003–2006学年第一学期 线性代数

授课教师

考试时间 2006年 1 月 10日 姓 名 课程类别

必修[√]选修[ ]

考试方式

开卷[ ]闭卷[√]

试卷类别(A、B、…)

[ A ] 共 6 页

考

生

填

写

学院 专业 __ 级

姓名 学号 内招[ ] 外招[ ]

试题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分

成 绩 第 2 页 共 6 页 线性无关组是____________。

7、齐次线性方程组1231232302030xkxxxxxkxx只有0解，则k应满足的条件是___________。

8、已知矩阵2002000010001001AByx与相似，则_____,____xy。

《线性代数》课程教学大纲

《线性代数》课程教学大纲

《线性代数》课程教学大纲

Linear Algebra

—、课程基本信息

课程名称 线性代数 课程代码 CB082005

课程性质 通识课程/□学科（专业）基础课程/二专业课/=专业拓展课程/二文化素

质教育课程

学 分 2.0 总学时 32 理论学时 32实验学时 0

先修课程 微积分

后续课程 线性规划、最优化、矩阵论

开课单位 理信学院 适用专业 理工农经管各专业

主要教学

资料 选用的教材：

张洪谦，线性代数，中国农业出版社，2014年1月，第三版。

主要参考书：

[1] 同济大学应用数学系，线性代数，高等教育出版社，2003年1月， 第四版。

[2] 李尚志，线性代数，高等教育出版社，2006年1月。

[3] 上海交通大学数学系，线性代数，科学出版社，2014年，第3版。

[4] 孙丹娜，线性代数学习指导与习题解答，人民邮电出版社，2013 年。

其他参考资料：

撰稿人 审核人

二、教学目标

本课程以应用型人才的培养计划为LI标，以提高学生的数学素质、掌握线性代数 的基本思想方法、基本讣算方法与培养学生的数学应用创新能力为教学LI标。同时为 学习后继课程和自我更新奠定必要的数学基础。 （一） 知识LI标 线性代数将使学生获得行列式、n维向量、矩阵、线性方程组、

特征值和特征向量、二次型等相关的基本知识，同时接受基本运算技能的训练，为今 后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

（二） 能力LI标 线性代数培养学生抽象思维能力和逻辑推理的理性思维能力， 综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，进而培养学 生的创新意识和能力。

（三） 素质□标 随着社会的发展，线性代数的内容更为丰富、方法更为综合、 应用更为广泛。线性代数不仅是一种工具，而且是一种思维模式；它不仅是一种知识, 而且是一种素养；它不仅是一种科学，而且是一种文化。本课程将培养学生的思维能 力、数学素养及数学文化，在应用型高素质人才培养中起到不可替代的作用。培养学 生科学思维的能力。为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数 学基础。

2003年数学三分析、详解、评注-数一至数四真题+详解

2003年数学三分析、详解、评注-数一至数四真题+详解

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D

2

3

4 故 .44)3(6422202202aaaxaxb

（3）设a>0，，xaxgxf其他若,10,0,)()(而D表示全平面，则DdxdyxygxfI)()(= 2a

.

【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10xyx时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.

【详解】 DdxdyxygxfI)()(=dxdyaxyx10,102

=.])1[(21021012adxxxadydxaxx

（4）设n维向量0,),0,,0,(aaaT；E为n阶单位矩阵，矩阵

TEA， TaEB1，

其中A的逆矩阵为B，则a= -1 .

【分析】 这里T为n阶矩阵，而22aT为数，直接通过EAB进行计算并注意利用乘法的结合律即可.

【详解】 由题设，有

)1)((TTaEEAB

=TTTTaaE11

=TTTTaaE)(11

=TTTaaE21

5 =EaaET)121(,

于是有 0121aa，即 0122aa，解得 .1,21aa

由于A<0 ,故a=-1.

（5）设随机变量X 和Y的相关系数为0.9,

若4.0XZ，则Y与Z的相关系数为

0.9 .

【分析】 利用相关系数的计算公式即可.

【详解】 因为

)4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(XEYEXYEXYZY