高考数学 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系练习
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- 1 - 课时提升作业(五十一)
直线与圆、圆与圆的位置关系
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.直线y=kx+2与圆x2+y2=1没有公共点的充要条件是( )
A.k∈(-2,2)
B.k∈(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.k∈(-3,3)
D.k∈(-∞,-3)∪(3,+∞)
【解题提示】直线与圆没有公共点等价于直线与圆相离.
【解析】选C.由直线y=kx+2与圆x2+y2=1没有公共点可知,圆心(0,0)到直线y=kx+2的距离大于圆的半径,即221,k1由此解得-3
2.(2015·合肥模拟)已知圆C:(x-1)2+y2=1与直线l:x-2y+1=0相交于A,B两点,则|AB|=( )
A.255 B.55 C.235 D.35
【解析】选A.圆C:(x-1)2+y2=1的圆心为C(1,0),半径为1,
因为C(1,0)到直线l:x-2y+1=0的距离为2,5
所以|AB|=42521.55
故选A.
3.两个圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三条公切线,则a+b的最小值为( )
A.-6 B.-3 C.-32 D.3
【解题提示】两圆有三条公切线等价于两圆外离.
【解析】选C.圆C1:(x+a)2+y2=4,C2:x2+(y-b)2=1,所以圆C1的圆心C1(-a,0),半径r1=2,圆C2的圆心C2(0,b),半径r2=1.已知两圆恰有三条公切线,则两圆相外切,圆心距等于两圆半径之和,所以22ab=3,则|a+b|=222ab2ab=32,所以-32≤a+b≤32,故a+b的最小值为-32. - 2 - 【加固训练】两圆x2+y2=m与x2+y2+6x-8y-11=0有公共点,则实数m的取值范围是( )
A.m<1 B.1≤m≤121
C.m>121 D.1
【解析】选B.若两圆有公共点,则两圆的位置关系为相切或相交,将m=1代入验证符合题意.
4.(2015·威海模拟)若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( )
A.k=12,b=-4
B.k=-12,b=4
C.k=12,b=4
D.k=-12,b=-4
【解析】选A.因为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,所以y=kx与直线2x+y+b=0垂直,且2x+y+b=0过圆心,解得k=12,b=-4.
【加固训练】若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则12ab的最小值为( )
A.1
B.5 C.42
D.3+22
【解析】由题意知圆心C(2,1)在直线ax+2by-2=0上,
所以2a+2b-2=0,
整理得a+b=1,
所以12ab=(12ab)(a+b)
b2ab2a332322,abab
当且仅当b2a,ab即b=2-2,a=2-1时,等号成立.
所以12ab的最小值为3+22,故选D.
5.(2014·郑州模拟)若直线y=x+t被圆x2+y2=8截得的弦长大于等于42,3则t的取值范围是( )
A.(-823, 823) B.(-∞, 823)
C.[823,+∞) D.[-823,823] - 3 - 【解析】选D.由题意知圆心到直线y=x+t的距离d=t,2设弦长为l,则(2l)2+d2=8,可解得l2=32-2t2≥24232(),39解得-823≤t≤823.
6.(2015·舟山模拟)已知圆C:(x+1)2+(y-1)2=1与x轴切于A点,与y轴切于B点,设劣弧的中点为M,则过点M的圆C的切线方程是( )
A.y=x+2-2 B.y=x+1-12
C.y=x-2+2 D.y=x+1-2
【解析】选A.由题意,M为直线y=-x与圆的一个交点,代入圆的方程可得:
(x+1)2+(-x-1)2=1.
因为劣弧的中点为M,所以x=22-1,
所以y=1-22,
因为过点M的圆C的切线的斜率为1,
所以过点M的圆C的切线方程是y-1+22=x-22+1,即y=x+2-2.
7.(2015·烟台模拟)如果函数y=|x|-2的图象与曲线C:x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取值范围是( )
A.{2}∪(4,+∞) B.(2,+∞)
C.{2,4} D.(4,+∞)
【解析】选A.根据题意画出函数y=|x|-2与曲线C:x2+y2=λ的图象,如图所示,
当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点,过O作OC⊥AB,
因为OA=OB=2,∠AOB=90°,
所以根据勾股定理得:AB=22, - 4 - 所以OC=12AB=2,此时λ=OC2=2;
当圆O半径大于2,即λ>4时,两函数图象恰好有两个不同的公共点,
综上,实数λ的取值范围是{2}∪(4,+∞).
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.(2015·南宁模拟)直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥23,则k的取值范围是 .
【解析】如图,若|MN|=23,则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d2=22-(3)2=1.
因为直线方程为y=kx+3,
所以d=2|k233|1kg =1,
解得k=±33.若|MN|≥23,
则-33≤k≤33.
答案:[-33,33]
9.(2015·南充模拟)已知直线x-y+m=0与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,若圆周上存在一点C,使得△ABC为等边三角形,则实数m的值为 .
【解析】根据题意画出图形,连接OA,OB,作OD垂直于AB于D点,
因为△ABC为等边三角形,所以∠AOB=120°,由余弦定理知: - 5 - AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos120°=12,
所以AB=23,
故BD=3,所以OD=1,所以O(0,0)到直线AB的距离m2=1,解得m=±2.
答案:±2
10.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=4,直线l:12x-5y+c=0(其中c为常数),下列有关直线l与圆O的命题:
①当c=0时,圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1;
②若圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1,则-13
③若圆O上恰有三个不同的点到直线l的距离为1,则c=13;
④若圆O上恰有两个不同的点到直线l的距离为1,则13
⑤当c=±39时,圆O上只有一个点到直线l的距离为1.其中正确命题是 .(填上你认为正确的所有命题序号)
【解析】圆心O到直线l的距离为c13,当c13<1,即-13
答案:①②⑤
(20分钟 40分)
1.(5分)(2015·西城模拟)过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则△OAB的外接圆方程是( )
A.(x-2)2+(y-1)2=5 B.(x-4)2+(y-2)2=20
C.(x+2)2+(y+1)2=5 D.(x+4)2+(y+2)2=20
【解析】选A.由圆x2+y2=4,得到圆心O坐标为(0,0),所以△OAB的外接圆为四边形OAPB的外接圆,又P(4,2),
所以外接圆的直径为|OP|=224225,半径为5,
外接圆的圆心为线段OP的中点,是(2,1),所以△OAB的外接圆方程是(x-2)2+(y-1)2=5.
2.(5分)(2015·济南模拟)已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A,B,O是坐标原点,|+|≥||,那么实数m的取值范围是 .
【解析】因为|+|≥||,所以|+|≥|-|,所以|+|2≥|-|2,化简得·≥0,所以,夹角θ满足0°
答案:(-2,- 2]∪[2,2)
3.(5分)(2014·湖北高考)已知圆O:x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b≠-2)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则
(1)b= .
(2)λ= .
【解析】设M(x,y),因为|MB|=λ|MA|,
所以(x-b)2+y2=λ2[(x+2)2+y2],
整理得(λ2-1)x2+(λ2-1)y2+(4λ2+2b)x-b2+4λ2=0,
因为圆O上的点M都有|MB|=λ|MA|成立,
所以2222142b0,b,2b411,.12解得
答案:(1)-12 (2)12
4.(12分)已知圆C:x2+y2-6x-4y+4=0,直线l1被圆所截得的弦的中点为P(5,3).
(1)求直线l1的方程.
(2)若直线l2:x+y+b=0与圆C相交,求b的取值范围.
(3)是否存在常数b,使得直线l2被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上?若存在,求出b的值;若不存在,说明理由.
【解析】(1)圆C的方程化标准方程为:(x-3)2+(y-2)2=9,
于是圆心C(3,2),半径r=3.若设直线l1的斜率为k则:k=PC111k2=-2.
所以直线l1的方程为:y-3=-2(x-5),即2x+y-13=0.
(2)因为圆的半径r=3,所以要使直线l2与圆C相交,则须有:32b2 <3,
所以|b+5|<32,于是b的取值范围是:-32-5
(3)设直线l2被圆C截得的弦的中点为M(x0,y0),则直线l2与CM垂直,
于是有:00y2x3 =1,整理可得:x0-y0-1=0.
又因为点M(x0,y0)在直线l2上,所以x0+y0+b=0.
