工科数学分析期中考试试题及答案
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第1页 （共5页）
一、 填空题：填空题：
1. 33
()ln(1sin)arcsin()fxxx=++在0x=
处的导数(0)f′= ；2
2.2. 2
lim(100)
xxxx
→−∞++= ；50−
3.
设(2)!
!n
nn
a
nn= ，则 1limn
n
na
a+
→∞= ；4
e
4. )1ln()(2
xxf+=，已知00
0()()4
lim
5
hfxhfxh
h
→+−−
=， =
0x 521
2±
=
5. 设2()sgn,()1fxxgxx==+，则[()]gfx= ,
0lim[()]
xgfx
→= ；
20
[()]
10x
gfx
x≠
⎧
=
⎨
=
⎩
0lim[()]2
xgfx
→=
6．若1
1
()lim
1xt
txx
fx
t−
→−
⎛⎞
=
⎜⎟−⎝⎠，则()fx
的连续区间为 .
1
1()xfxe−=
连续区间为1x≠
二、 填空题：填空题：
1．当0x→时，下列函数中，哪一个是其它三个的高阶无穷小( （C） )
（A） 1000x
； （B）1cosx− ； （C）4
ln(1)x− （D）arctanx
2．若曲线2
yxaxb=++和3
21yxy=−+在点(1,1)−处相切，其中a,b是常数,则
（ （D） ）
（A）0, 2ab==−； （B）1, 3ab==−；
（C）3, 1ab=−=； （D）1, 1ab=−=−
3. 设函数21
sin,0,
()
0,0xx
fx
x
x⎧
≠
⎪
=
⎨
⎪
=
⎩,
则正确的结果是（ ）（C）
（A）f
在[0,1]
上不一致连续；
（B）f在0x=处可导,处可导, 0x=是'()fx的连续点； 第
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5页）页）
（C）'()fx
在(,)−∞+∞上有界，0x
=是'()fx
的第二类间断点；
（D）因为0lim'()xfx
→不存在，所以'(0)f
不存在
4. 下列命题中正确的一个是（下列命题中正确的一个是（ （D） ）
（A）设s
是数集E
的上确界，则s
必是数集E
中最大的数；中最大的数；
（B）若有界数列{}
na
中有一个子列收敛，则{}
na
必是收敛的数列；必是收敛的数列；
（C）数列{}
na
有唯一的极限点，则{}
na
必是收敛的数列；必是收敛的数列；
（D）设数列{}
na
单调递增，{}
nb
单调递减，且
nnab
≤，nN
+∈，
则对,mnN
+∀∈，
nmab
≤成立.
三、 计算题三、 计算题
1．
()()023tansin
lim
1tan111xxx
xx→−
+−+− .
0
2tansin
lim
11
tan
32xxx
xx→−
=
⋅3
33
001
sin(1cos)2
6lim6lim3
cos
xxx
xx
xxx
→→−
===
⋅
2.
若2
lnyxx
=， 求()
()n
yx
.
3
()(2)
22ln(2ln1)
2ln3
(1)(3)!
(2ln3)2n
nn
nyxxxxx
yx
n
yx
x−
−
−′=+=+
′′=+
−−
=+=
3．设 ()
()()xft
ytftft=
⎧
⎨=−⎩，其中()ft
′′存在，且()ft
′不为零， 求
22
dxyd
.
(1)()()
()dytftft
dxft′−+
=
′
2
2(1)()()(1)()()
()()dydtftftdtftftdt
dxdxftdtftdx′′−+−+
==⋅
′′
2
32()()()
()ftftft
ft′′′
−=
′
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3页（共
5页）页）
4．求函数1
1()tan
()
()x
xeex
fx
xee+
=
−在区间[-π, π]内的间断点,并判断其类型.并判断其类型.
间断点：0x
=，1x
=，
2xπ
=±
11
11
00()tan()tan
(00)lim1,(00)lim1
()()xx
xx
xxeexeex
ff
xeexee++
→→++
+==−==−
−−
1
1
11()tan
lim()lim,
()x
xx
xeex
fx
xee→→+
==∞
−1
1
22()tan
lim()lim.
()x
xx
xeex
fx
xeeππ
→±→±+
==∞
−
5．
确定, ab
的值，使函数
21cos
,0,
0,0,()
ln()
,0ax
x
x
xfx
bx
x
x−
⎧
<
⎪
==
⎨
⎪+
⎪
>
⎩在(,)−∞+∞内处处可导，
并求它的导函数.并求它的导函数.
因2
0ln()
(00)lim(0)0xbx
ffx
+
→+
+===，所以，2
0limln()0xbx
+
→+=，则1b
=
2
2
2
2
2sin1cos
,0,
()
2
ln(1)
1
,0axaxax
x
x
fx
x
x
x
xx−+
⎧
<
⎪
⎪
⎪
′=
⎨
⎪
−+
⎪
+
>⎪⎩
2
2
22
00ln(1)1cos1
(0)lim1(0)lim
2
xxxax
ffa
xx+−+−
→→+−
′′
====
由
(0)(0)ff
+−′′
=，2a
=±
(0)1f
′=
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四、 证明题四、 证明题
1.设可导函数()fx
对任意实数
12,xx
恒有12
1221()()()xxfxxefxefx
+=+，且(0)2f
′=，证
明：()()2xfxfxe
′=+.
00
120(00)(0)(0)(0)0xxfefeff
==⇒+=+⇒=
12,xxxx
==∆⇒
()()()()()[()(0)](1)()xxxx
fxxfxefxefxfxefxfefx
xxx∆∆
+∆−∆+−∆−+−
==
∆∆∆
00()()()()()
()limlimxx
xxfxxfxefxefxfx
fx
xx∆
∆→∆→+∆−∆+−
′==
∆∆
0[()(0)](1)()
lim(0)()xx
x
xefxfefx
effx
x∆
∆→∆−+−
′==+
∆
2．根据柯西收敛原理，叙述{}
na
发散的充要条件，并应用它证明数列
111
1
23na
nααα=++++当1α≤
时发散．
{}
na
发散
000,,,
nnpnNpNaa
εε
+++⇔∃>∀∈∃∈∂−>=
1111
(1)()1nnpp
aa
nnpnnpnpαα+−=++≥++≥
+++++∵
011
,,,
22nnpnNpnaa
ε
++∴∃=∀∈∃=−>=
{}
na
发散
000,,,
nmnNmNaa
εε
++⇔∃>∀∈∃∈∂−>=
3．设数列{}
nx
满足条件
10x
>，
1
21
(2),(1,2,...)
3nn
na
xxn
x+=+=，其中0a
>为常数，
证明lim
n
nx
→+∞存在，并求出极限值．
3
1
21
(2),(1,2,...){}
3nnn
na
xxanx
x+=+≥=∴∵有下界
又 1
31
(2)1,(1,2,...)
3n
nnxa
n
xx+=+≤=∵
1,(1,2,...)
nnxxn
+∴≤=
故
lim
n
nx
→+∞存在。存在。
设lim
n
nxA
→+∞=，
将
1
21
(2),(1,2,...)
3nn
na
xxn
x+=+=两边求极限
3
21
(2)
3a
AAAa
A=+⇒=
