高等代数教案设计(张禾瑞版)

第二章 行列式

§1引言

在中学代数中学过，对于二元线性方程组

22221211212111bxaxabxaxa

当二级行列式

022211211aaaa

时，该方程组有唯一解，即

222112112221211aaaaababx，222112112211112aaaababax.

对于三元线性方程组有类似的结论，在这一章我们把这个结论推广到n元线性方程组

nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa....................................................22112222212111212111

的情形.为此，我们首先给出n级行列式的定义并讨论它的性质.

§2 排列

一 授课内容：§2 排列

二 教学目的：理解掌握排列、逆序、逆序数的求法.

三 教学重难点：逆序数的求法.

四 教学过程；

定义1 由n,......,2,1组成的一个有序数组称为一个级排列

例 2431是一个4级排列，45321是一个5级排列

显然，n级排列的总数是 21).......2)(1(nnn.

我们记 !)1(21nnn

读为“n阶乘”.

定义2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序.一个排列中逆序的个数称为这个排列的逆序数.

例 2431中，21，43，41，31是逆序，2431的逆序数是4.45321的逆序数为9.排列njjj......21的逆序数记为(njjj......21)

定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列.

例如 2431为偶排列，45321为奇排列.

定义 把一个排列中两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样的一个变换称为对换.

授课内容 第五章 二次型 第一讲 二次型的矩阵表示

教学时数 2 授课类型 讲授

教学目标 要求学生掌握二次型及二次型矩阵表示、熟练掌握替换前后二次型和矩阵的关系

教学重点 二次型及二次型矩阵表示、替换前后二次型和矩阵的关系

教学难点 二次型及二次型矩阵表示

教学方法与手段 讲授法 启发式

教

学

过

程

一、二次型及其矩阵表示

设P是一个数域,一个系数在数域P中的nxx,,1的二次齐次多项式

2121111212112222222(,,,)222nnnnnnnnfxxxaxaxxaxxaxaxxax （1）

称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型.

定义1 设nnyyxx,,;,,11是两组文字，系数在数域P中的一组关系式

nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,, (2)

称为由nxx,,1到nyy,,1的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式0ijc,那么线性替换(2)就称为非退化的.

线性替换把二次型变成二次型.

令.,jiaajiij由于,ijjixxxx所以二次型(1)可写成 )3(),,,(11222112222221221112112211121ninjjiijnnnnnnnnnnnnxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxf

把(3)的系数排成一个nn矩阵

,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA (4)

它称为二次型(3)的矩阵.因为,,,2,1,,njiaajiij所以

实用文案

标准文档 高等代数教案第一章首页

授课内容

第一章 基本概念

第1．1节——第1。5节

所需课时 12学时

主要教材或

参考资料 1．北京师范大学，高等代数 高等教育出版社，1997

2．北京大学编， 高等代数。 高等教育出版社，1995

3．华东师范大学，高等代数与几何 高等教育出版社，1997

教学目标 知识目标：教学目的和教学基本要求：

（1） 掌握集合，子集，空集等基本概念，明确集合、

子集合之间的关系及表示方法。

（2） 掌握映射、单射、满射及双射的基本概念。

（3） 掌握数学归纳原理、最小数原理，第二数学归纳法原理应用。

（4） 掌握带余除法，最大公因数，互素概念和方法。

（5） 掌握数环，数域及最小数域—有理数域为基本概念。

能力目标：（1）训练学生领会和掌握高等代数的基本方法和思维方式。

（2）把握高等代数的基本概念中的公理化定义、性质，并且会解决实际问题

教学重点 集合、映射、数学归纳法、 整数的一些整除性质、数环和数域。

教学难点 数学归纳法原理的证明和应用、数环和数域的抽象概念的理解。

教学方法 1.讲授法。2.讨论法。3.讲练结合 实用文案

标准文档 教学内容及

时间安排

§1 集合

2学时

§2 映射 2学时

§3 数学归纳法 2学时

§4 整数的一些整除性质 2学时

§5 数环和数域 2学时

授课内容 第二章 行列式 第一讲 引言、排列

教学时数 2 授课类型 讲授与互动

教学目标 使学生了解行列式的背景，要求学生熟练掌握二、三级行列式的对角线计算法则，掌握有关排列的基本概念、并能熟练掌握排列逆序数的计算与奇偶性的确定。

教学重点 二、三元线性方程组的计算公式，二、三级行列式的对角线计算法则，有关排列的基本概念、排列的奇偶性。

教学难点 二、三级行列式的对角线计算法则，排列逆序数的计算与奇偶性的确定

教学方法与手段 启发式 讲练相结合

教

学

过

程

解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组.

一、对于二元线性方程组

,,22221211212111bxaxabxaxa

当021122211aaaa时，此方程组有唯一解，即

.,211222111122112211222112122211aaaababaxaaaabaabx

我们称21122211aaaa为二级行列式，用符号表示为

2221121121122211aaaaaaaa.

于是上述解可以用二级行列式叙述为：

当二级行列式

022211211aaaa

时，该方程组有唯一解，即 222112112211112222112112221211,aaaababaxaaaaababx.

二、对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组

.,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

称代数式312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa为三级行列式，用符号表示为：

333231232221131211312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa.