多元线性回归

简要回答题：

1. 在多元线性回归分析中，F检验和t检验有何不同？

答案：

在多元线性回归中，由于有多个自变量，F检验与t检验不是等价的。

F检验主要是检验因变量同多个自变量的整体线性关系是否显著，在k个自变量中，只要有一个自变量同因变量的线性关系显著，F检验就显著，但这不一定意味着每个自变量同因变量的关系都显著。

检验则是对每个回归系数分别进行单独的检验，以判断每个自变量对因变量的影响是否显著。

知识点：多元线性回归

难易度：1

2. 在多元线性回归分析中，如果某个回归系数的t检验不显著，是否就意味着这个自变量与因变量之间的线性回归不显著？为什么？当出现这种情况时应如何处理？

答案：

（1）在多元线性回归分析中，当t检验表明某个回归系数不显著时，也不能断定这个自变量与因变量之间线性关系就不显著。因为当多个自变量之间彼此显著相关时，就可能造成某个或某些回归系数通不过检验，这种情况称为模型中存在多重共线性。

（2）当模型中存在多重共线性时，应对自变量有所选择。变量选择的方法主要有向前选择、向后剔除和逐步回归等。

知识点：多元线性回归

难易度：2

计算分析题：

1. 一家餐饮连锁店拥有多家分店。管理者认为，营业额的多少与各分店的营业面积和服务人员的多少有一定关系，并试图建立一个回归模型，通过营业面积和服务人员的多少来预测营业额。为此，收集到10家分店的营业额（万元）、营业面积（平方米）和服务人员数（人）的数据。经回归得到下面的有关结果（a=0.05）。

回归统计

Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差

0.9147 0.8366 0.7899 60.7063

方差分析

df SS MS F Significance F

回归 2 132093.199 66046.600 17.922 0.002

残差 7 25796.801 3685.257

多元线性回归

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1、多元线性回归模型假定被解释变量与多个解释变量之间具有线性关系，是解释变量的多元线性函数，称为多元线性回归模型。即

(1.1)其中为被解释变量，为个解释变量，为个未知参数，为随机误差项。被解释变量的期望值与解释变量的线性⽅程为：

(1.2)

称为多元总体线性回归⽅程，简称总体回归⽅程。对于组观测值，其⽅程组形式为：

(1.3)即其矩阵形式为

=

+即

(1.4)其中

为被解释变量的观测值向量；

为解释变量的观测值矩阵；为总体回归参数向

量；为随机误差项向量。总体回归⽅程表⽰为：

(1.5)多元线性回归模型包含多个解释变量，多个解释变量同时对被解释变量发⽣作⽤，若要考察其中⼀个解释变量对的影响就必须假设其它解释变量保持不变来进⾏分析。因此多元线性回归模型中的回归系数为偏回归系数，即反映了当模型中的其它变量不变时，其中⼀个解释变量对因变量的均值的影响。由于参数都是未知的,可以利⽤样本观测值对它们进⾏估计。若计算得到的参数估计值为，⽤参数估计值替代总体回归函数的未知参数，则得多元线性样本回归⽅程：

(1.6)其中为参数估计值，为的样本回归值或样本拟合值、样本估计值。

其矩阵表达形式为:

(1.7)

其中为被解释变量样本观测值向量的

阶拟合值列向量；为解释变量的阶样

本观测矩阵；为未知参数向量的阶估计值列向量。样本回归⽅程得到的被解释变量估计值与实际观测值之间的偏差称为残差。

(1.8)

2、多元线性回归模型的假定

与⼀元线性回归模型相同，多元线性回归模型利⽤普通最⼩⼆乘法(OLS)对参数进⾏估计时，有如下假定：

假定1 零均值假定：，即

(2.1)

假定2 同⽅差假定(的⽅差为同⼀常数)：

（2.2）

假定3 ⽆⾃相关性：

(2.3)

假定4 随机误差项与解释变量不相关(这个假定⾃动成⽴)：

（2.4）

假定5 随机误差项服从均值为零，⽅差为的正态分布： （2.5）

多元线性回归

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1、多元线性回归模型

假定被解释变量与多个解释变量之间具有线性关系，是解释变量的多元线性函数，称为多元线性回归模型。即

(1.1)

其中为被解释变量，为个解释变量，为个未知参数，为随机误差项。

被解释变量的期望值与解释变量的线性方程为：

(1.2)

称为多元总体线性回归方程，简称总体回归方程。

对于组观测值，其方程组形式为：

(1.3)

即

其矩阵形式为

=+

即 (1.4)

其中

为被解释变量的观测值向量；为解释变量的观测值矩阵；为总体回归参数向量；为随机误差项向量。

总体回归方程表示为：

(1.5)

多元线性回归模型包含多个解释变量，多个解释变量同时对被解释变量发生作用，若要考察其中一个解释变量对的影响就必须假设其它解释变量保持不变来进行分析。因此多元线性回归模型中的回归系数为偏回归系数，即反映了当模型中的其它变量不变时，其中一个解释变量对因变量的均值的影响。

由于参数都是未知的,可以利用样本观测值对它们进行估计。若计算得到的参数估计值为，用参数估计值替代总体回归函数的未知参数，则得多元线性样本回归方程：

(1.6)

其中为参数估计值，为的样本回归值或样本拟合值、样本估计值。

其矩阵表达形式为:

(1.7) 其中为被解释变量样本观测值向量的阶拟合值列向量；为解释变量的阶样本观测矩阵；为未知参数向量的阶估计值列向量。

样本回归方程得到的被解释变量估计值与实际观测值之间的偏差称为残差。

(1.8)

2、多元线性回归模型的假定

与一元线性回归模型相同，多元线性回归模型利用普通最小二乘法(OLS)对参数进行估计时，有如下假定：

假定1 零均值假定：，即

(2.1)

假定2 同方差假定(的方差为同一常数)：

（2.2）

假定3 无自相关性：

(2.3)

假定4 随机误差项与解释变量不相关(这个假定自动成立)：

试题题库

选择题：

1. 在多元线性回归分析中，F检验是用来检验（ ）

A. 回归模型的总体线性关系是否显著

B. 回归模型的各回归系数是否显著

C. 样本数据的线性关系是否显著

D. 回归方程的预测结果是否显著

知识点：多元线性回归

难易度：1

2. 在二元线性回归模型 中，若自变量 对因变量y的影响不显著，那么它所对应的偏回归系数 的取值（ ）

A. 可能接近0

B. 可能接近1

C. 可能小于0

D. 可能大于1

知识点：多元线性回归

难易度：2

3. 根据汽车的行驶里程 （单位：公里）、行驶时间 （单位：小时）和耗油量y（单位：升）数据，得到的在二元线性回归方程为 中，偏回归系数 的含义是（ ）

A. 行驶里程每增加1公里，耗油量平均增加0.1升

B. 行驶时间每增加1小时，耗油量平均增加0.1升

C. 在行驶时间不变的条件下，行驶里程每增加1公里，耗油量平均增加0.1升

D. 在行驶里程不变的条件下，行驶时间每增加1小时，耗油量平均增加0.1升

知识点：多元线性回归

难易度：2

4. 在多元回归分析中，通常需要计算修正的多重判定系数 ，这样可以避免 的值（ ）

A. 由于模型中自变量个数的增加而越来越接近0

B. 由于模型中样本量的增加而越来越接近0

C. 由于模型中样本量的增加而越来越接近1

D. 由于模型中自变量个数的增加而越来越接近1

知识点：多元线性回归

难易度：2

5. 在多元线性回归分析中，如果F检验表明线性关系显著，则意味着（ ）

A. 所有的自变量与因变量之间的线性关系都显著

B. 在多个自变量中至少有一个自变量与因变量之间的线性相关系著

C. 在多个自变量中至少有一个自变量与因变量之间的线性关系不显著

D. 所有的自变量与因变量之间的线性关系都不显著

知识点：多元线性回归

难易度：2

6. 在多元线性回归分析中，如果t检验表明回归系数 显著，则意味着（ ）