数学模型作业
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数学模型作业
如何施救药物中毒
问题的调查与分析
⼈体服⽤⼀定药物后，⾎药浓度与⼈体的⾎液总量有关。⾎液总量约为体重的7%到8%，即体重50~60kg 的成年⼈有4000ml的⾎液。孩⼦的体重约为成年⼈的⼀半，其⾎液约为2000ml 。⾎液系统中的⾎药浓度与药量之间可以相互转换，⾎液系统的吸收率与胃肠道中药量呈正⽐，排除率与⾎液中药量呈正⽐。⾎液系统对药物的吸收和排除率可以由半衰期决确定。从说明书上可以看出，氨茶碱吸收的半衰期约为5h ，排除的半衰期为6h 。
临床施救⽅法⼀为⼝服活性炭，药物排除率为原来两倍。⼀为⾎液透析，药物排出率增加到原来六倍。
模型的假设与建⽴
记孩⼦胃肠道中的药量为x （t ）,,⾎液系统中的 药量为y （t ），成⼈胃肠道中的药量为。时间t 以孩⼦和成⼈服药的时刻开始为起点，根据前⾯的调查分析，可以做出如下假设： 1胃肠道中的药物向⾎液系统中的转移率与药量x （t ）成正⽐，⽐例系数为 λ(>0)；总剂量1100mg 的药物在t=0瞬间进⼊肠道。2 ⾎液系统中的药物的排除率与药量y （t ）成正⽐，⽐例系数为α>0）；t=0时⾎液中⽆药物
3 氨茶碱被吸收的半衰期为5h ，排除的半衰期为6h ；
4 孩⼦的⾎液总量为2000ml
由假设x dt dx λ-=÷1100)0(=x
0)0(,=-=÷y y x dt dy αλ
模型求解t e t x λ-=1100)(，由药物吸收半衰期5h 得01386=λ
t e
t x 1386.01100)(-=
)(1100)(t t e e t y λαλ---=，由药物排除半衰期6h 得1155.0=α
)(6600)(1386.01155.0t t e e
t y ---=
结果分析 作图
孩⼦总⾎液量2000ml ，出现严重中毒和致命的⾎液中药量达到200mg 和400mg ，由图知约在两⼩时达到200mg ，五⼩时到400mg 。所以到医院时已经严重中毒，到医院三⼩时后致命。精确计算得到医院时药量为236.5mg ，到四百毫克时t=4.87h 。达最⼤值药量时间约为8⼩时。
施救⽅案
采⽤活性炭，药物排出率为2α=0.2310
由前⾯可知y （2）=236.5，新模型中⾎液中药量为z （t ）5.236)2(,1100,2,/==≥-=-z e x t z x dt dz t
λαλ
2,16091650
)(2310.01386.0≥-=--t e e t z t t 作图可看出z（t)达最⼤值时间约为t=5h，精确值t=5.26h,z(t)=318.4mg,远低于y（t）最⼤值和致命⽔平。
⽤这种⽅法仍有⼀段上升。如果要使施救后⽴即下降，则在z（t）在t=2时达最⼤值，λz
x
dt
dzα
-
2
=t
,0
/=
=
算出想x（2）=833.7，由z（2）和λ值推出ɑ=0.4885..
7在超市购物时你注意到⼤包装商品⽐⼩包装商品便宜这种现象了吗？⽐如洁银⽛膏50g 装的每⽀1.50元，120g 装的每⽀3.00元，⼆者单位重量的价格⽐是1.2：1．试⽤⽐例⽅法构造模型解释这个现象．
（1）分析商品价格c 与商品重量w 的关系．价格由⽣产成本、包装成本和其它成本决定，这些成本中有的与重量w 成正⽐，有的与表⾯积成正⽐，还有与w ⽆关的因素．
（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，画出它的简图，说明w 越⼤c 越⼩，但是随着w 的增加c 减⼩的程度变⼩．解释实际意义是什么？
问题分析
成本分为⽣产成本，包装成本和其他成本，⽣产成本主要与重量w 成正⽐，包装成本主要与表⾯积s 成正⽐，其他成本为定值。单位重量商品价格为商品总价格除以重量。 模型假设建⽴
商品重量为w
把⽛膏盒看做正⽅体
包装⾯积s 与w 2/3呈正⽐
商品成本为c
单位重量商品价格为C
⽣产成本c1，包装成本c2，其他成本c3a ，
b ，
c 为⼤于零常数
c1=c1+c2+c3 c1=as c2=bw s=c w 2/3
模型求解133/1/--++==w c a c w b w c C结果解释对C 求导，2334'31----=w c acw C <0,随着w 增加，C 不断减⼩，但是减⼩量也在不断减⼩，w 很⼤时，C 导数趋近于零，C 不再减⼩.不能认为包装越⼤就越便宜。
