高三年级 数学学科 综合训练（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数)352lg(13)(22x x xxx f -++-=的定义域是( )A ．)2,31(- B.)1,31(-C.)31,2(- D.)31,(--∞2．函数52ln )(2++-=x x x x f 的零点个数是( )A.0B.1C.2D.33．已知等差数列{a n }与等比数列{b n }，满足a 3=b 3，2b 3-b 2b 4=0，则{a n }的前5项和S 5=( ) A.5 B.10 C.20 D.404．设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，若S 4=1，则S 8=( )A ．17B ．171 C ．5 D.515．已知直线l ：.3)1(--=x k y 与圆x 2+y 2=1相切，则直线l 的倾斜角为( )A ．6π B.2π C.32π D.65π6．设函数f(x)=cosx ，把f(x)的图象向右平移m 个单位后，图象恰好为函数y=-f'(x)的图象，则m 的值可以为( )A ．4π B.2π C.43π D ．π7．设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆)0(12222>>=+b a bya x 的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则椭圆的离心率为( ) A ．23 B.36 C.22 D.328．已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f ：M →N ，若点A(1，f(1))、B(2，f(2))、C(3,f(3))，△ABC 的外接圆圆心为D ，且)(R DB DC DA ∈=+λλ，则满足条件的函数f(x)有( )A ．6个B ．10个C ．12个D ．16个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥.0,2,1y x y x 则x+y 的最小值为_______.10.已知曲线y=x 3+bx+c 上一点A(1，2)的切线为y=x+1，则b 2+c 2=____．11.已知直线x+y=a 与圆x 2+y 2=4交于A ，B两点，且||-=+OB OA ，则a=____． 12．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则{a n }的公比为_________． 13.过点)2,1(的直线l 将圆(x-2)2+y 2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k=________. 14.已知31sin sin =+y x ，则siny-cos 2x 的最大值为_______三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分12分）已知函数)(sin )(2φω+=x A x f )20,0,0(πφω<<>>A ，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1，2). (I)求φ(II)计算f(1)+f(2)+...+f(2008).16.（本小题满分12分）已知函数f(x)=ax 3+3x 2-x+1(a ∈R)． (1)当a=-3时，求证：f(x)在R 上是减函数；(2)如果对任意x ∈R ，不等式x x f 4)('≤恒成立，求实数a 的取值范围．17.（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点),(nS n n在直线21121+=x y上，数列{b n }满足*)(0212N n b b b n n n ∈=+-++，b 3=11，且{b n }的前9项和为153. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设)12)(112(3--=n n n b a c ，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式57k T n >对一切n∈N*都成立的最大正整数k 的值．18.（本小题满分14分）已知平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥04200y x y x 恰好被面积最小的圆222)()(:r b y a x C =-+-及其内部所覆盖．(1)试求圆C 的方程．(2)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点A ，B ．满足CA⊥CB，求直线l 的方程．19.（本小题满分14分）设数列{a n }的前项和为S n ，已知a 1=1，a 2=6，a 3=11，且（5n-8）S n+1-(5n+2)S n =An+B ，n=1，2，3，…，其中A ，B 为常数． (I)求A 与B 的值；(II)证明数列｛a n ｝为等差数列；(III)证明不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数m 、n 都成立．20.（本小题满分14分）已知平面内一动点P 到点F(1，0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1． (I)求动点P 的轨迹C 的方程；(II)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求EB AD ∙的最小值.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.2 10.13 11.2±=a 12．31 13．22 14．94 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：(I))(sin 2φω+=x A y )22cos(22φω+-=x A A ∵y=f （x ）的最大值为2，A>0，222=+∴A A ,A=2．又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω>0，2)22(21=∴ωπ，4πω=. )22cos(2222)(φπ+-=∴x x f )22cos(1ϕπ+-=x .∵y=f(x)过(1，2)点，1)22cos(-=+∴φπ.Zk k ∈+=+∴,222ππφπ，Zk k ∈+=∴,222ππφ，Zk k ∈+=∴,4ππφ，又20πϕ<< ，4πϕ=∴.(II)解法一：4πφ= ，)22cos(1ππ+-=∴x y x 2sin1π+=.∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4．又∵y=f(x)的周期为4，2008=4×502, ∴f(1)+f(2)+…+f(2008)=4×502=2008. 解法二：)4(sin 2)(2φπ+=x x f ，=+∴)3()1(f f ++)4(sin22φπ2)43(sin22=+φπ，2sin2)4()2(=+f f 2)(sin 2)2(2=+++φπφπ，∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4．又y=f(x)的周期为4，2008=4×502,∴f(1)+f(2)+…+f(2008)=4×502=2008. 16.解：(1)a=-3,169)('2-+-=∴x x x f 0)31(92≤--=x 恒成立∴f(x)在R 上是减函数(2)f'(x)=3ax 2+6x-1，由f'(x)≤4x 恒成立，∴3ax 2+2x-1≤0， ①当a=0时，不成立②由a≠0时，得⎩⎨⎧≤+=∆<01240a a 31-≤∴a综上，实数a 的取值范围是]31,(--∞17．解：(1)由题意21121+=n n Sn ，n n S n 211212+= 当n≥2时，a n =S n -S n-1=n+5，当n=1时，a 1=S 1=6也适合上式，∴a n =n+5（n∈N *）*)(0212N n b b b n n n ∈=+-++∴数列{b n }是等差数列，由{b n }的前9项和为153得1532)(991=+b b ，从而17)(21915=+=b b b ,又b 3=11,得d=3，b 1=5，∴b n =3n+2(2))36)(12(3+-=n n c n )121121(21+--=n n ，]1211[21+-=∴n T n ，数列{T n }是递增数列，∴只要57311k T >=，∴k<19∴k max =18 18．（本小题满分14分）已知平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥04200y x y x 恰好被面积最小的圆222)()(:r b y a x C =-+-及其内部所覆盖．(1)试求圆C 的方程．(2)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点A ，B.满足CA⊥CB，求直线l 的方程．解：(1)由题意知此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)构成的三角形及其内部，且△OPQ 是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2，1)，半径是5 ，所以圆C 的方程是(x-2)2+(y-1)2=5． (2)设直线l 的方程是：y=x+b ． 因为CB CA ⊥，所以圆心C 到直线l 的距离是210， 即21011|12|22=++-b解得：51±-=b ,所以直线l 的方程是：51±-=x y19.设数列{a n }的前项和为S n ，已知a 1=1，a 2=6，a 3=11，且(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =An+B ，n=1，2，3，…，其中A ，B 为常数． (I)求A 与B 的值；(II)证明数列{a n }为等差数列； (III)证明不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数m 、n 都成立．解：(I)由a 1=1, a 2=6, a 3=11,得S 1=1，S 2=7，S 3=18． 把n=1，2分别代入（5n-8）S n+1-（5n+2）S n =An+B ，得⎩⎨⎧-=+⋅-=+482,28B A B A解得，A=-20，B=-8．(II)由(I)知， 5n(S n+1-S n )-8S n+1-2S n =-20n-8，即 5na n+1-8S n+1-2S n =-20n-8， ①又5(n+1)a n+2-8S n+2-2S n+1=-20(n+1)-8． ② ②-①得，5(n+1)a n+2-5na n+1-8a n+2-2a n+1=-20, 即(5n-3)a n+2-(5n+2)a n+1=-20. ③ 又(5n+2)a n+3-(5n+7)a n+2=-20． ④ ④-③得，(5n+2)(a n+3-2a n+2+a n+1)=0， ∴a n+3-2a n+2+a n+1=0，∴a n+3-a n+2=a n+2-a n+1=…=a 3-a 2=5，又a 2-a 1=5，因此，数列{a n }是首项为1，公差为5的等差数列．(III)由(II)知，a n =5n-4，（n∈N *），考虑 5a mn =5(5mn-4)=25mn-20.12)1(2++=+n m n m n m a a a a a a ，=+++1πa a a a m n m 9)(1525++-n m mn .2)1(5+-∴n m mn a a a 厖29)(15-+n m 0129215>=-⨯.即2)1(5+>n m mn a a a ，15+>∴n m mn a a a .因此，15>-n m mn a a a20.已知平面内一动点P 到点F(1，0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1． (I)求动点P 的轨迹C 的方程；(II)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D,E ，求EB AD ∙的最小值．解析：(I)设动点P 的坐标为(x ，y)，由题意为1||)1(.22=-+-x y x . 化简得||222x x y +=，当x≥0时，y 2=4x;当x<0时，y=0．所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2=4x(x≥0)和y=0(x<0)(II)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y=k(x-1)．由⎩⎨⎧=-=xy x k y 4)1(2，得0)42(2222=++-kx k x k .设),(),,(2211y x B y x A ，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是1,4221221=+=+x x kx x .因为21l l ⊥，所以l 2的斜率为k1-.设),(),,(4433y x B y x D ，则同理可得24342k x x +=+，x 3x 4=1 故)()(FB EF FD AF EB AD ++=∙口FB AF EF AF 口口+=FB FD EF FD 口口++AF ||=EF FD 口||++++=)1)(1(21x x )1)(1(43++x x 1)42(12+++=k1)42(12++++k 8)1(4822≥++=kk 1612422=⨯+kk 口当且仅当221kk=即1±=k 时，EB AD ∙取最小值16.另：可设直线参数方程或用极坐标求解.。
