高数复习题

第一章 函数与极限一.选择题1. )(x f =112+-x x 的定义域是 【C 】（A ）[-1，1] （B ）[-1，1） （C ）（-1，1] (D)（-1，1） 2. 函数x1sin y =是 【C 】（A ）单调函数 （B ）偶函数 （C ）有界函数 （D ）周期函数3.下列)(x f 和)(x ϕ表示同一个函数的是 【B 】 (A)222)1()(,1)(x x x x f -=-=ϕ (B)x x x x f 22cos sin )(,1)(+==ϕ (C))sin(arcsin )(,)(x x x x f ==ϕ (D) )arccos(cos )(,)(x x x x f ==ϕ4.函数()13cos 2+=x y 的复合过程是 【D 】 （A ）x y 2cos = 13+=x u (B)2u y = ()13cos +=x u （C ）u y cos = 2v u = 13+=x v (D)2u y = v u cos = 13+=x v5.设221)1(xx xx f +=+，则 【B 】 (A) 1)(+=x x f (B)2)(2-=x x f (C)x x x f 1)(+= (D)xx f 11)(+=6. 若)x (f 在0x x =连续，)x (g 在0x x =不连续，则)x (g )x (f +在0x x =必不连续【C 】（A ）连续 (B) 不连续 （C ）不确定其连续性7. 设数列{}n x ，若lim n n x A B →∞=>，则有 【D 】 （A ）n ∀，n x B > （B ）N ∃，,n n N x B ∍>>有 （C ）n ∀，n x B ≤ (D) 0N ∃>，,n n N x B ∍>>有8.设()cos 2x f x x e =+-则当x →0时，正确的是 【A 】 （A ）)(x f 与x 是等价无穷小 （B ）)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 （C ）)(x f 是比x 高阶的无穷小 (D) )(x f 是比x 低阶的无穷小9.)0(0+x f 与)0(0-x f 的极限都存在是函数)(x f 在0x x =处有极限的 【A 】 （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ）既非充分又非必要10.sin ,0()0,01cos ,0xx x x f x x x x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩则0=x 是)(x f 的 【C 】（A ） 连续点 （B ） 可去间断点 （C ） 跳跃间断点 （D ） 振荡间断点11.设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x 是),(+∞-∞上的连续函数，则=a 【B 】（A ） 0 （B ） 1 （C ） －1 （D ） 2二.填空题 1. 函数1131arcsin +--=x x y 的定义域为 （-1,4 ] .2.函数22()(1)x f x x -=-，当→x 1 时是无穷大量.3．设函数)(x f =1,30,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1||1||>≤x x ，则)]([x f f = 1/3 .4. =→xxx 3sin 5sin lim3/5 . 5． 10lim ()(1)3x x x f x →=-= e -1/3. 6. 若,32lim22=-+-→x ax x x 则a = 2 . 7.若)(x f y =在点0x 连续，则00[()()]lim x x f x f x →-= 0 .8.设3()33xx f x x kx <⎧=⎨-≥⎩ ,当k = 6 时,)(x f 在3=x 连续. 9．若0x x →时，)x (g ~)x (f ，0)x (f ≠，则=-→)x (f )x (g )x (f limxx 0 . 10. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+-<+-=0210)1(cos 1)(22x x x x x x x x x f 则x = -1 是)(x f 的第一类间断点，x = -2 是)(x f 的第二类间断点.三.计算题1. 222ln(1)lim 4x x x x →+--. 解 22222ln(1)22ln(21)limlim 4424x x x x x →→+-+-==--- 2. 213lim21-++--→x x xx x .解1111x x x x →→→→====3. 33lim3--→x x x . 解333x x x →→→== 4. xx x sec 22)cos 1(lim +→π. 解 12sec 22cos 22lim(1cos )lim[(1cos )]xx x x x x e ππ→→+=+=5. 11656)2(lim ++++-∞→n n nn n .解 111111(2)6[(2)6]/600056[56]/601lim lim n n n n n n n n n n n n ++++++-+-++===+++→∞→∞6. 32tan(3)sin(3)limx x x →--.解 332tan(3)2(3)2sin(3)(3)limlim x x x x x x →→--==---7. )sin()11)(1ln(lima x a x a x ax --+-+-→.解()1ln(1)020()1lim x a x ax a x a x a →→-+-===- 8. limx →∞)111)(110()110(......)13()12()1(2222--++++++++x x x x x x .解 limx →∞2222(1)(21)(31)......(101)123101(101)(111)1102x x x x x x ++++++++++++==--9.xx x ee x-+∞→+cos lim.解2cos cos limlim 01x x x xx x x e xe e e ---→+∞→+∞==++ 10.xx xx x sin tan lim 0--→ .解 00tan (sin cos )limlimsin (sin )cos x x x x x x x x x x x x→→--=-- 四：证明题1.设()f x 在]1,0[上连续，[0,1]x ∀∈，0()1f x ≤≤， 求证：]1,0[∈ξ∃,()f ξξ=. 证 设()()F x f x x =-, 0()1f x ≤≤, 而(0)(0)00F f =-≥,()(1)10F x f =-≤又 ()f x 在]1,0[上连续,由零点存在定理知: 存在()0,1ξ∈, 使得()f ξξ=.4.试证方程3223230x x x -+-=在区间[1,2]至少有一根. 证 设()f x =322323x x x -+-因为()f x 在区间[1,2]上连续,且(1)2f =-,(2)5f =, 由零点存在定理知: 存在()1,2ξ∈, 使得()0f ξ=,即3223230ξξξ-+-=. 第二章 导数与微分 一. 选择题:1.如果函数()f x 在点x 处可导，则()f x '等于 【 】（A ）0()()lim x f x x f x x ∆→-∆-∆ （B ）0()()lim 2x f x x f x x x∆→-∆-+∆∆ （C ）0()()lim x f x x f x x ∆→-∆--∆ （Ｄ）0()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆ 2.若函数()f x 在点0x 不连续，则()f x 在0x 【 】（A ）必不可导； （B ）必定可导；（C ）不一定可导； （D ）必无定义. 3.函数()sin g x x x =在0x =处 【 】（A ）不连续 （B ）可导 （C ）不可导 （Ｄ）二阶导数存在4.设32()ln f x x x =+，则()(1)f '= 【 】)A (21)B (21- )C (0 )D ( 1 5.已知2()sin()f x ax =，则()f a '等于 【 】（A ）2cos ax （B ）232cos a a （C ）22cos x ax （D ）23cos a a 6.设函数()f x 在点0x 处可导，且0()0f x '>，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切 线与x 轴 【 】 （A ）平行 （B ）与x 轴的夹角为钝角（C ）垂直 （D ） 与x 轴的夹角为锐角7.曲线上任意一点的切线在两坐标轴的截距之和为【 】(A)2a (B)12a (C) 1a(D) a 8.设函数23,x y =则(4)(0)y = 【 】（A ） 42 （B ） 43 （C ） 4(2ln3) （D ） 4(3ln2) 9.若函数()f x 为可微函数，则dy 【 】 (A ）与x ∆无关 （B ）为x ∆的线性函数 (C ）当0x ∆→时为x ∆的高阶无穷小 （D ）与x ∆为等价无穷小 10.设函数()y f x =在点0x 处可导，当自变量x 由0x 增加到0x x +∆时，记y ∆为()f x的增量，dy 为()f x 的微分，0lim x y dyx∆→∆-∆等于 【 】 (A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）∞二.填空题 1.若极限()()limx af x f a x a→--存在，则lim ()_______________x a f x →= 2.设0()1f x '=,则000(2)()limh f x h f x h→--= 3.设x x g x f x ln )(,e )(==，求[])(''x g f =___________________4.椭圆2212516x y +=在点(5,2)N 处的切线方程为5.曲线35y x x =-+在点(0,5)M 处的法线方程为6.若)(u f 可导，则)(sin x f y =的导数为7.如果2,0()(1),0ax e x f x b x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩处处可导，那末______,________a b == 8.设()y x 是由方程e e y x xy -=所确定的隐函数，则(0)______y '=. 9.设arctan x y e =,则dy = 10.设2(sin3)x dy e x dx =+,则__________y = 三.计算题: 1.设y =求dy dx .2.设1arctan1x y x +=-,求dy dx. 3.=求dydx.4. 设()y y x =由参数方程2sin -arctan x t y t t⎧=⎨=⎩确定,求y '.5.设ln(y x =，求y ''.6.设ln y x x =,求()n y .7. arcsin3xy x =+dy 求. 8.设()y y x =是由20xy e y x +-=所确定的函数,求dy . 9. 设0'()3f x =-，求000()(2)limh f x h f x h h→+--.10.常数a 为何值时，两曲线3y ax =和ln y x =相切？并写出它们的公切线方程。

高等数学复习题与答案解析一、 一元函数微积分概要 （一）函数、极限与连续1.求下列函数的定义域: (1) y =216x -+x sin ln ，(2) y =)12arcsin(312-+-xx .解 (1) 由所给函数知,要使函数y 有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即⎩⎨⎧>≥-,0sin ,0162x x 推得⎩⎨⎧⋅⋅⋅±±=+<<≤≤-2,1,0π)12(π244n n x n x 这两个不等式的公共解为 π4-<≤-x 与π0<<x所以函数的定义域为)π,4[-- )π,0(.(2) 由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-≠-,112,03,032xx x 推得⎩⎨⎧≤≤<<-,40,33x x即 30<≤x , 因此，所给函数的定义域为 )3,0[.2.设)(x f 的定义域为)1,0(，求)(tan x f 的定义域. 解：令x u tan =, 则)(u f 的定义域为)1,0(∈u∴)1,0(tan ∈x , ∴x ∈（k π, k π+4π）, k ∈Z ,)(tan x f 的定义域为 x ∈（k π, k π+4π）, k ∈Z .3.设)(x f =x-11，求)]([x f f ，{})]([x f f f .解：)]([x f f =)(11x f -=x--1111=x 11- (x ≠1,0),{})]([x f f f =)]([11x f f -=)11(11x--= x (x ≠0,1).4.求下列极限：（1）123lim 21-+-→x x x x , （2）652134lim 2434-++-∞→x x x x x ,解：原式=1)1)(2(lim 1---→x x x x 解: 原式=424652134lim xx x x x -++-∞→ =)2(lim 1-→x x =2.（抓大头）= 1-.（恒等变换之后“能代就代”）（3）xx x -+-→222lim 2, （4）330sin tan lim x x x →, 解：原式=)22)(2()22)(22(lim2++-+++-→x x x x x 解：0→x 时33~tan x x ,=221lim2++→x x 33~sin x x ,=41. （恒等变换之后“能代就代”） ∴原式=330lim x x x →=1lim 0→x =1.（等价）（5）)100sin (lim +∞→x x x , （6） 2121lim()11x x x→--- ，解：原式=100lim sin lim∞→∞→+x x x x解： 原式=2211212(1)lim()lim 111x x x x x x→→-+-=--- =0 + 100= 100 （无穷小的性质） 11(1)11limlim (1)(1)12x x x x x x →→-===-++．(7)215lim+-+∞→x x x ．解 : 原式=52115lim=+-+∞→xxx ．（抓大头） （8）11lim 21-+→x x x .解：因为0)1(lim 1=-→x x 而0)1(lim 21≠+→x x ，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为011lim 21=+-→x x x ，所以当1→x 时，112+-x x 是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 ∞=-+→11lim 21x x x ． （9）limx解：不能直接运用极限运算法则，因为当x →+∞时分子，极限不存在，但sin x 是有界函数，即sin 1x ≤而 0111lim1lim33=+=++∞→+∞→x x xx x x ，因此当+∞→x 时，31xx +为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得lim0x =.（10）203cos cos limxxx x -→ ． 解：分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限原式=202sin sin 2limx x x x →=441)22sin 4(lim sin lim 0=⨯=⋅⋅∞→→x xx x x x ．（也可用洛必达法则）（11）xx x)11(lim 2-∞→.解一 原式=10])11[(lim )11(lim )11()11(lim --∞→→∞→-⋅+=-+x x x x x x x xx x x =1ee 1=-，解二 原式=)1()(2])11[(lim 2x x x x--∞→-=1e 0=．（12）30tan sin limx x xx →-．解 ：x x x x 30sin sin tan lim -→=xx x x x cos )cos 1(sin lim 30-→ 20sin (1cos )1lim cos x x x x x x→-=⋅⋅ =222sin 2limx xx →=21 （ 222~2sin ,0⎪⎭⎫⎝⎛→x x x ） ．（等价替换） 5.求下列极限（1）201cot limx x x x -→ （2）)e e ln()3ln(cos lim33--+→x x x x （3）)]1ln(11[lim 20x x x x +-→ （4）)ln (lim 0x x n x ⋅+→ （5） xxx cos 1lim ++∞→解 ：（1）由于0→x 时，1tan cot →=x x x x ，故原极限为0型，用洛必达法则 所以 xx xx x x x x x x sin sin cos lim 1cot lim 2020-=-→→30sin cos limx xx x x -=→ （分母等价无穷小代换）20cos sin cos lim3x x x x xx →--=01sin lim 3x x x→-=31-=.（2） 此极限为∞∞，可直接应用洛必达法则 所以 )e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x =)e e ln()3ln(lim cos lim 333--⋅++→→x x x x x 3e e lim e 1lim 3cos 333--⋅⋅=++→→x x x x xxx e lim 3cos e133+→⋅⋅=3cos = . （3） 所求极限为∞-∞型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成00或∞∞型.)]1ln(11[lim 20x x x x +-→xx xx x x x 2111lim )1ln(lim 020+-=+-=→→ 21)1(21lim )1(211lim00=+=+-+=→→x x x x x x .（4）所求极限为∞⋅0型，得nx nx xx x x 10ln lim ln lim -→→++=⋅ （∞∞型） =1111lim --→-+n x x nx =.01lim lim 0110=-=-++→+→nx n xnxx nx （5）此极限为∞∞型，用洛必达法则，得 1sin 1lim cos lim x x x x x x -=++∞→+∞→不存在，因此洛必达法则失效！ 但 101c o s 1lim 11cos 11lim cos lim =+=+=+=++∞→+∞→+∞→x xxx x x x x x x .6.求下列函数的极限：（1）42lim 22--→x x x ， （2）()⎪⎩⎪⎨⎧++=,1,1sin 2xa x x x f ,0,0><x x 当a 为何值时，)(x f 在0=x 的极限存在. 解： (1)41)2)(2(2lim 42lim 222-=+--=----→→x x x x x x x ,41)2)(2(2lim 42lim 222=+--=--++→→x x x x x x x ,因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．（2）由于函数在分段点0=x 处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限．于是，有a a x x a x x x f x x x x =+=+=----→→→→0000lim )1sin (lim )1sin (lim )(lim ，1)1(l i m )(l i m 2=+=++→→x x f x x ， 为使)(lim 0x f x →存在，必须有)(lim 0x f x +→=)(lim 0x f x -→， 因此 ，当a =1 时， )(lim 0x f x →存在且 )(lim 0x f x →=1．7.讨论函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=,1sin ,)(x x xx f0>≤x x ， 在点0=x 处的连续性．解：由于函数在分段点0=x 处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限．因而有01sin lim )(lim ,0lim )(lim 0====++--→→→→xx x f x x f x x x x ， 而,0)0(=f 即0)0()(lim )(lim 00===+-→→f x f x f x x ， 由函数在一点连续的充要条件知)(x f 在0=x 处连续．8. 求函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点，并判断其类型：解：由初等函数在其定义区间上连续知)(x f 的间断点为1,0==x x .21lim)(lim 11=+=→→xx x f x x 而)(x f 在1=x 处无定义，故1=x 为其可去间断点.又∞=+=→x x x f x 1lim)(0 ∴0=x 为)(x f 的无穷间断点. 综上得1=x 为)(x f 的可去间断点, 0=x 为)(x f 的无穷间断点.（二）一元函数微分学1.判断：（1）若曲线y =)(x f 处处有切线，则y =)(x f 必处处可导.答：命题错误. 如：x y 22=处处有切线，但在0=x 处不可导.（2）若A ax a f x f ax =--→)()(lim（A 为常数），试判断下列命题是否正确.①)(x f 在点a x = 处可导, ②)(x f 在点a x = 处连续, ③)()(a f x f -= )()(a x o a x A -+-. 答：命题①、②、③全正确.(3)若)(x f ，)(x g 在点0x 处都不可导，则)()(x g x f +点0x 处也一定不可导. 答：命题不成立.如：)(x f =⎩⎨⎧>≤,0,,0,0x x x )(x g =⎩⎨⎧>≤,0,0,0,x x x)(x f ，)(x g 在x = 0 处均不可导，但其和函数)(x f +)(x g = x 在x = 0 处可导.（4）若)(x f 在点0x 处可导，)(x g 在点0x 处不可导，则)(x f +)(x g 在点0x 处一定不可导. 答：命题成立.原因：若)(x f +)(x g 在0x 处可导，由)(x f 在0x 处点可导知)(x g =[)(x f +)(x g ])(x f -在0x 点处也可导，矛盾.（5）)('0x f 与)]'([0x f 有区别. 答：命题成立.因为)('0x f 表示0)(x x x f =在处的导数; )]'([0x f 表示对0)(x x x f =在处的函数值求导，且结果为0.（6）设)(x f y =在点0x 的某邻域有定义，且-∆+)(0x x f )(0x f =2)(x b x a ∆+∆，其中b a ,为常数，下列命题哪个正确？①()x f 在点0x 处可导，且()a x f ='0,②()x f 在点0x 处可微，且()x a x f x x d |d 0==, ③()()x a x f x x f ∆+≈∆+00 （ ||x ∆很小时）. 答：①、②、③三个命题全正确.2.已知x x cos )'(sin =，利用导数定义求极限xx x 1)2πsin(lim 0-+→.解：xx x 1)2πsin(lim 0-+→=xx x 2sin)2πsin(lim0π-+→ =2π|)'(sin =x x = 2πcos=0. 3.求 ()⎩⎨⎧+=，，xx x f 1ln )(0<≥x x ，的导数.解： 当0>x 时，xx f +='11)( ，当0<x 时，1)(='x f ，当0=x 时，xf x f x f x f f x x )0()(lim 0)0()(lim)0(00-=--='→→， 所以 10lim )0(0=-='-→-xx f x ， 1e ln )1ln(lim 0)1ln(lim )0(100==+=-+='++→→+x x x x xx f ， 因此 1)0(='f ，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧+=',1,11)(xx f .0,0≤>x x4.设))((),1ln()(x f f y x x f =+=，求dxdy解：)]1ln(1ln[))((x x f f y ++==,)]'1ln(1[)1ln(11d d x x x y ++⋅++=∴)1)](1ln(1[1x x +++=.5.已知arctanxy=求y ''. 解：两端对x 求导，得)(1)()(1122222'++='⋅+y x y x y xyx ，222222222221yx y y x yx yy x y y x y +'⋅+⋅+='-⋅+，整理得 x y y x y -='+)( ，故 xy xy y +-='， 上式两端再对x 求导，得22)()())(1())(1(x y x y y x y y x y x y y y x y x y y x y y y ++-'+'--'+-'=+-+'-+-'=''=2)(22x y yy x +-'，将 xy xy y +-='代入上式，得2)(22x y y x y xy x y +-+-⋅=''322)(2222y x xy y x xy +---=322)()(2x y y x ++-=. 6.求y = 323)4()3)(2)(1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+++x x x x x 的导数x yd d 解：两边取对数：y ln =)]4ln(ln 3)3ln()2ln()1[ln(32+--+++++x x x x x , 两边关于x 求导：]413312111[32'1+--+++++=⋅x x x x x y y , ∴)413312111(32d d +--+++++=x x x x x y x y . 7.设xx x f e )(=，求)('x f .解：令xx y e =, 两边取对数得：x y x ln e ln =, 两边关于x 求导数得：xx y y x xe ln e '1+⋅=⋅)e ln e ('xx y y x x+=即 )e ln e ('e xx x y xxx+=. 8.设,sin ),(2x u u f y ==求x y d d 和22d d xy.解：xy d d =2cos 2)(x x u f ⋅⋅', 22d d xy=)sin 4cos 2)(()(cos 4)(222222x x x u f x x u f -'+⋅''. 9.xx y e 4+=, 求y)4(.解：xx y e 43+=', xx y e 122+='',xx y e 24+=''', x y e 24)4(+=.10.设cos sin x t t y t=-⎧⎨=⎩，， 求 22d d x y . 解：d (sin )cos d 1sin (cos )y t tx tt t '=='+- ，22d d d cos d cos d cos 1()()()d d d d 1sin d 1sin d 1sin d y y t t t t xx x x t t t x t t''===⋅=+++ 222sin (1sin )cos 11(1sin )1sin (1sin )t t t t t t -+--=⋅=+++. 11.求曲线⎩⎨⎧==,,3t y t x 在点（1，1）处切线的斜率. 解：由题意知：⎩⎨⎧==,1,13t t 1=⇒t ,33)()(d d 12131==''====t t t t t t xy,曲线在点（1，1）处切线的斜率为3 12. 求函数x x y tan ln e =的微分.解一 用微分的定义x x f y d )(d '=求微分， 有x x xx x x y xx x d ]sec tan 1e e [d )e (d 2tan ln tan ln tan ln ⋅+='= x xxx d )2sin 21(e tan ln +=. 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得 x x xx x x y tan ln tan ln tan ln e d d e )e(d d +==)tan (ln d e d e tan ln tan ln x x x x x +=)tan d(tan 1e d e tan ln tan ln x x x x x x ⋅+= x xx x x x x d cos 1tan 1e d e 2tan ln tan ln ⋅+= x xxx d )2sin 21(e tan ln +=. 13.试证当1≠x 时，x xe e >.证明：令x x f x e e )(-=，易见()f x 在),(+∞-∞内连续，且0)1(=f e e )(-='xx f .当1<x 时，e e )(-='xx f 0<可知()f x 为]1,(-∞上的严格单调减少函数，即()(1)0.f x f >=当1>x 时，e e )(-='xx f 0>，可知()f x 为),1[+∞上的严格单调增加函数，即()(1)0f x f >=.故对任意 ,1≠x 有()0,f x >即 .0e e >-x x x xe e >.14.求函数344x x y -=的单调性与极值. 解：函数的定义域为),(+∞-∞.)3(3223-=-='x x x x y ， 令 ,0='y 驻点 3,021==x x 列表由上表知，单调减区间为)3,(-∞，单调增区间为),3(+∞，极小值 4)3(-=y 求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中0,6302=''-=''=x y x x y 不能确定0=x 处是否取极值， ,093>=''=x y 得427)3(-=y 是极小值. 15.求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值.解：x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4，极小值为0)0(=f . ∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知：)(x f 最大值为200， 最小值为50-.16.求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞，),21(+∞-两部分.当∈x )21,(--∞时，0<''y , 当∈x ),21(+∞-时，0>''y , 曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.17.求函数)1ln(2x y +=的凹向及拐点. 解：函数的定义域 ),(+∞-∞，,122x x y +=' 222222)1()1(2)1(22)1(2x x x x x x y +-=+⋅-+=''， 令 ,0=''y 得1±=y ， 列表由此可知，上凹区间(1,1)-,下凹区间(,1)(1,)-∞-+∞，曲线的拐点是)2ln ,1(±.的渐近线.18.求下列曲线的渐近线 （1）x x y ln = ，（2）1222-+-=x x x y ，（3）()()213--+=x x x y .解 （1）所给函数的定义域为),0(+∞.由于 011lim ln lim ==+∞→+∞→x x xx x ，可知 0=y 为 所给曲线xxy ln =的水平渐近线.由于 -∞=+→xxx ln lim0， 可知 0=x 为曲线xxy ln =的铅直渐近线.（2） 所给函数的定义域)1,(-∞,),1(∞+.由于 -∞=-+-=--→→122lim )(lim 211x x x x f x x ， +∞=-+-=++→→122lim )(lim 211x x x x f x x ， 可知 1=x 为所给曲线的铅直渐近线（在1=x 的两侧()f x 的趋向不同）.又 a x x x x x x f x x ==-+-=∞→∞→1)1(22lim )(lim 2，[]b x x x x x x x ax x f x x x =-=-+-=--+-=-∞→∞→∞→112lim ])1(22[lim )(lim 2， 所以 1-=x y 是曲线的一条斜渐近线.（3）()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为：2,1,0===x x y .19.求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=， 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解：边际成本C M =x x C 1)('=边际收入R M =2)1(5)('+=x x R边际利润xx M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=. （2）设p 为某产品的价格，x 为产品的需求量，且有801.0=+x p , 问p 为何值时，需求弹性大或需求弹性小.解：由801.0=+x p 得10d d -=px, 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p<0, 即0<p <40时，需求弹性小.（三）一元函数积分学1. 在不定积分的性质x x f k x x kf d )(d )(⎰=⎰中，为何要求0≠k ？答：因为0=k 时，C x x x kf =⎰=⎰d 0d )(（任意常数），而不是0. 2. 思考下列问题：(1) 若C x x x f x ++=⎰sin 2d )(，则)(x f 为何？ 答：x x x f x f x cos 2ln 2)d )(()(+='⎰=. (2) 若)(x f 的一个原函数为3x ，问)(x f 为何？ 答：233)()(x x x f ='=(3)若)(x f 的一个原函数的x cos ，则dx x f )('⎰为何？答：C x C x f x x f x x x f +-=+='⎰-='=sin )(d )(,sin )(cos )(. 3. 计算下列积分：（1）)sin d(sin 5x x ⎰, （2）x x d cos 3⎰, （3）⎰+x xx x d )sin (,（4）x xe x d 2⎰, （5）⎰-21d xx x , （6）⎰-41d xx x ,（7）⎰x x x d 2ln , （8）x x d )32(2+⎰, （9）⎰-⋅dx x x 211arcsin 1, （10）⎰+x x x d arctan )1(12, （11）⎰+22d x x , （12）⎰-24d x x .解：（1）C xx x +=⎰6sin )sin d(sin 65. （2）x x x x x d cos )sin 1(d cos 23-⎰=⎰ =)sin d()sin 1(2x x -⎰ =)sin d(sin )sin d(2x x x ⎰-⎰=C xx +-3sin sin 3. （3）x x x x x xx x d sin 2d d )sin (⎰+⎰=+⎰=C x x +-cos 222. （4）C x x x x x x +=⎰=⎰222e 21)(d e 21d e 2.（5）C x x x x x x+--=--⎰-=--⎰2221221)1(d )1(21d 1.（6）C x x x x xx +=-=-⎰⎰22224arcsin 21)(1)(d 211d .（7（8）C x x x x x ++=++⎰=+⎰322)32(6)32(d )32(2d )32(.（9）C x x x x x x +==-⋅⎰⎰|arcsin |ln )arcsin d(arcsin 1d 11arcsin 12.（10）C x x x x x x +==+⎰⎰|arctan |ln )arctan d(arctan 1d arctan )1(12.（11）C x x x x x x x +=+=+=+⎰⎰⎰22arctan 22)2(d )2(1121)2(1d 212d 222. （12）⎰2-4d x x =⎰2)2(-12d x x=)2(d )2(-112xx ⎰=C x +2arcsin .4. 计算下列不定积分：（1）⎰++x xd 111，（2）x x d 162-⎰,（3）⎰+232)4(d x x ，（4）⎰-x xx d 122.解：（1） 令t x =+1, 则 =x 12-t , t t x d 2d =,于是原式=⎰+t t t d 12=⎰+-+t t t d 1112=]1d d [2⎰⎰+-t tt =C t t ++-1ln 22=C x x +++-+11ln 212. （2）令)2π2π(sin 4<<-=t t x ，则t x cos 4162=-，t t x d cos 4d =， 于是 t t t t t x x d )2cos 1(8d cos 4cos 4d 162+⎰=⋅⎰=-⎰ =C t t ++2sin 48.由右图所示的直角三角形，得81641642cos sin 22sin 22xx x x t t t -=-⋅⋅==, 故 C xx x dx x +-+⋅=-⎰2164arcsin81622. （2）令)2π2π(tan 2<<-=t t x ，则t t x t x d sec 2d ,sec 8)4(23232==+,x于是C t t t t t tx x +==⋅=+⎰⎰⎰2sin d 2cos d sec 2sec 41)4(d 23232. 由右图所示的直角三角形，得24sin xx t +=故C x x x x ++=+⎰223242)4(d .（4） 设 t x sin = ,t x cos 12=-,t t x d cos d = , 于是原式=⎰t t tt d cos cos sin 2=⎰t t d sin 2=⎰-t t d 22cos 1 =21⎰⎰-)2(d 2cos 41d t t t ==+-C t t 2sin 4121C t t t +-cos sin 2121=C x xx +--212arcsin 21． 5.计算下列积分：(1)⎰x x d 2ln , (2)⎰x x d 2arctan , (3) ⎰x x xd e4,(4)⎰x x xd 4sin e5, (5)⎰x x x d 100sin , (6) ⎰x x x d 2arctan .解：（1）)2ln d(2ln d 2ln x x x x x x ⎰-=⎰=x xx x x d 222ln ⋅⎰- =C x x x +-2ln .（2）⎰x x d 2arctan =)d(arctan22arctan x x x x ⎰- =x x x x x d )2(122arctan 2+⋅⎰-=⎰+-2241)(d 2arctan xx x x =)41(d 411412arctan 22x xx x ++-⎰ =C x x x ++-)41ln(412arctan 2.（3）x x x x x x x xx d e 41e 41de 41d e 4444⎰-==⎰⎰=C x xx +-44e 161e 41. x221x -1x t（4）5555e 1e e sin 4d sin 4d()e sin 4d(sin 4)555x xxx x x x x x ⎰=⎰=-⎰ =x x x xxd 4cose 544sin e5155⎰-=5e d 4cos 544sin e 5155xx x x ⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰)4cos d(5e 4cos 5e 544sin e 51555x x x xx x=x x x x xx xd 4sine 25164cos e 2544sin e 51555⎰--, 移项合并，得C x x x x xx+-=⎰)4cos 44sin 5(e 411d 4sin e55. （5）⎰---=-⎰=⎰x xx x x x x x x d )100100cos (100100cos )100100cos (d d 100sin =C xx x +-100100cos 10000100sin . （6）⎰x x x d 2arctan =⎰)2d(2arctan 2x x=⎰-)2(arctan d 22arctan 222x x x x =x x x x x d )2(1222arctan 2222⎰+⋅-=x x x x d )4111(412arctan 222⎰+-- =C x x x x ++-2arctan 8142arctan 22. 6.计算 （1）x x xd e )1(2⎰+ ， （2） 3s e c d x x ⎰． 解：（1） 选 12+=x u ，=v d x e x d ， =v xe ， x x u d 2d =, 于是原式 )1(2+=x x e ⎰-x 2x e x d ,对于⎰x x e x d 再使用分部积分法,选x u =， =v d x e x d , 则 x u d d =，=v xe ,从而⎰x xex d =x x e ⎰-x x d e =x x e C x +-e ．原式=xe =+--)e e (21C x x x )12(2++x x Cx+e （12C C =）,为了简便起见，所设 x u =,=v xe 等过程不必写出来，其解题步骤如下:⎰x xe dx =⎰x d x e =x C x x x x x x +-=-⎰e e d e e . （2）3secd x x ⎰=)(tan d sec x x ⎰=x x tan sec ⎰-)(sec d tan x x=x x tan sec ⎰-x x x d sec tan 2=sec tan x x -x x x d sec )1(sec 2-⎰=sec tan x x -⎰x x d sec 3+⎰x x d sec =sec tan x x -⎰x x d sec3+x x tan sec ln +,式中出现了“循环”，即再出现了⎰x x d sec 3移至左端，整理得3sec d x x ⎰=21[x x tan sec +x x tan sec ln +]+C ． 7. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 7)1(,102427)83(,5)0(,11)1(=-===-f f f f 的大小，知 11,102427max min =-=f f ， 由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即 22d )524(512271134≤+-≤-⎰-x x x . 8. 求函数21)(x x f -=在闭区间[-1，1]上的平均值.解：平均值⎰-=⋅⋅=---=11224π21π21d 1)1(11x x μ. 9. 若⎰=2d sin )(2x xt t x f ，则)(x f '=？解：)(x f '=242222sin sin 2sin )sin()(x x x x x x -=-'.10.已知 ⎰+=t t x xx F d 1sin )(2 ， 求 )(x F '．解：)(x F '=)2(12x x +-+x x cos sin 1⋅+=++-212x x x x cos sin 1⋅+．11. 求极限x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→.解：此极限是“0”型未定型，由洛必达法则，得xtt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim11'+'⎰→x t t xx =π1)π1(lim πsin ππsin lim11-=-=-→→x x x x12.计算下列定积分（1）⎰-20d |1|x x , （2）⎰-122d ||x x x , （3）⎰π20d |sin |x x .解：（1）⎰-2d |1|x x =⎰-10d )1(x x +⎰-21d )1(x x=212122)1(2)1(-+--x x =2121+=1.（2）⎰-122d ||x x x =⎰--023d )(x x +⎰103d x x=1402444x x +--=4+41741=.（3）⎰π20d |sin |x x =⎰πd sin x x +⎰-π2πd )sin (x x=π2ππ0cos )cos (x x +-=2+2=4.13.计算下列定积分（1）⎰--2π2π3d cos cos x x x ，（2）⎰--112d 1x x .解：(1)x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 212π2π2π03⎰⎰-=-=34cos 34)cos d()(cos 22π0232π021=-=-⎰x x x .(2)⎰⎰⎰---=-=-112π2π2π2π222d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x=2=+=+=⎰⎰2π02π02π02)2sin 21(d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π.14.计算 （1）⎰+-4d 11x xx， （2）⎰4π4d tan sec x x x ．解:（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限．令 x t =，x 2t = ，t t x d 2d = ，当0=x 时，0=t ，当4=x 时，2=t ，于是⎰+-40d 11x x x=⎰+-20d 211t t t t =⎰+--20d ]1424[t tt [].3ln 44021ln 442-=+--=tt t（2）⎰4π4d tan sec x x x =⎰4π03)(sec d sec x x43411sec 414π04=-==x ．15. 计算下列定积分：（1）x x xd e )15(405⎰+, （2）x x d )12ln(e21⎰+,（3）x x x d πcos e 10π⎰, （4）x x x x x d )e 3(133⎰++.解：（1）x x xd e )15(405⎰+=5e d )15(540x x ⎰+=⎰+-+10515)15(d 5e )15(5e x x x x =5155e 5e 51e 6=--x.(2)x x d )12ln(e21⎰+=()())12ln d(12ln e21e21+-+⎰x x x xx x xd 1223ln )1e 4ln(e 2e21⎰+--+= --+=3ln )1e 4ln(e 2x x )d 1211(e 21⎰+---+=3ln )1e 4ln(e 2()e21)12ln 21(+-x x()1e 23ln 231e 4ln )21e 2(+--++=.(3) x x xd πcose 10π⎰=ππsin d e 10πx x ⎰x x x x πde ππsin πsin e π11010π⎰-= =0x x x d πsin e 10π⎰-=)ππcos d(e 10πx x--⎰ x x x x πde ππcos πcos e π11010π⎰-==-+-)1e (π1πx x x d πcos e 10π⎰ 移项合并得x x x d πcos e 10π⎰)1e (π21π+-=. （4）x x x xxd )e 3(1033⎰++)e 313ln 34(d 3104xx x x ++=⎰⎰++-++=1034134d )e 313ln 34()e 313ln 34(x x x x xx x x=4514e 923ln 23ln 3)e 913ln 320(e 313ln 3413213253++-=++-++x x x 16.计算（1）⎰1d arctan x x ， （2）x x x d ln 2e e1⎰．解:（1）⎰1d arctan x x =10arctan x x⎰+-102d 1x x x=102)1ln(214πx +- =2ln 214-π ．（2） 由于在[1,e1]上0ln ≤x ；在[2e ,1]上0ln ≥x ，所以x x x d ln 2e e1⎰=x x x d )ln (1e1⎰-+x x x d ln 2e 1⎰=)2(d ln 21e1x x ⎰-+)2d(ln 2e 12x x ⎰=[-x x ln 22+42x ]1e 1+[x x ln 22-42x ]2e 1=41-（412e 1+212e 1）+（4e -414e +41） =21-432e 1+434e ． 17.判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 . (1)⎰∞++022d )1(x x x, (2) ⎰∞+02d 1x x , (3)x xd e 1100⎰∞+-, (4)⎰∞++02100d xx ． 解:(1) 因为积分区间为无穷区间，所以原式=+∞→b lim ⎰+bx x x 022d )1(=+∞→b lim ⎰++b x x 0222)1()1(d 21=bb x 02])1(21[lim +-+∞→ =]21)1(21[lim 2++-+∞→b b =21， 故所给广义积分收敛，且其值为21． (2)⎰∞+02d 1x x =+∞=-=-+∞→→+∞+xx x x x 1lim 1lim )1(00,∴⎰∞+02d 1x x 发散. (3)x xd e1100⎰∞+-=1001001100e 1001)100e (0100e --+∞-=--=-x .(4)⎰∞++02100d x x =20π10arctan 1010=+∞x . 18.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.解：如图，由⎪⎩⎪⎨⎧-==,)2(,22x y x y 得两曲线交点（1，1）. 解一 取x 为积分变量，]2,0[∈x , 所求面积323)2(3d )2(d 213103212102=-+=-+=⎰⎰x x x x x x A . 解二 取y 为积分变量,y 的变化区间为[0，1]，32)d y -y -2(1==⎰y A . 显然，解法二优于解法一.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 19. 求下列曲线所围成的图形的面积:抛物线 22xy =与直线42=-y x . 解:先画图，如图所示，并由方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=4222y x x y ，求出交点为（2，1-），（8，2）. 解一 取y 为积分变量,y 的变化区间为[1-，2]， 在区间[1-，2]上任取一子区间[y ，y +y d ]，则面积微元 A d =y y y d )242(2-+,则所求面积为A =⎰--+212d )242(y y y = （32324y y y -+）21-=9.解二 取x 为积分变量，x 的变化区间 为[0，8]，由图知，若在此区间上任取子区间， 需分成[0，2]，[2，8]两部分完成.在区间[0，2]上任取一子区间[x ，x +x d ]， 则面积微元 A d 1=x xd ]22[, 在区间[2，8]上任取一子区间[x ，x +x d ]，2)2-y则面积微元 A d 2=[)4(212--x x ]x d , 于是得=A 1+A 2 =⎰20d 22x x +x x x d )222(82+-⎰=23322x 20+[23322x 224x x -+]82=9 .显然，解法一优于解法二.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 20.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解：如右图，所求体积⎰+=122d )1(πx x V⎰++=1024d )12(πx x x=135)325(πx x x ++=π1528. 二、 微分方程1. 验证x x C C x C y --+=e e 21为微分方程0'2''=++y y y 的解，并说明是该方程的通解. 证明： x x C C x C y --+=e e 21,x x C x C C C y ----=∴e e )('121, x x C x C C C y --+-=e e )2(''112,于是0'2''=++C C C y y y ，故C y 是0'2''=++y y y 的解.x x -e 与x -e 线性无关，∴0'2''=++y y y 中的1C 与2C 相互独立，即C y 中含有与方程0'2''=++y y y 阶数相同（个数均为2）的独立任意常数，故C y 是该方程的通解. 2. 用分离变量法求解下列微分方程:（1）22d d y x x y =, （2）21d d x yx y -=, （3）y x x x y )1(d d 2++=，且e )0(=y . 解：（1）分离变量得x x yyd d 22=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰=x x y yd d 122 ,x求积分得 3313Cx y +=-,从而通解为Cx y +-=33及验证0=y 也是方程的解.（特别注意，此解不能并入通解） （2）分离变量得21d d xxy y -=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰-=x x y y d 11d 12,求积分得 1arcsin ||ln C x y +=,即 )e (e e e 11arcsin arcsin Cx x CC C y ±==±=,从而通解为 x C y arcsin e =，验证0=y 也是方程的解. （3）分离变量得x x x yyd )1(d 2++=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰++=x x x y y d )1(d 12 求积分得 13232||ln C x x x y +++=, 即 )e (eee 1332232132C x x x C C C y x x x ±==±=++++,从而通解为3232ex x x C y ++=，验证0=y 也是方程的解.由e )0(=y ，得e =C ， 故特解为32132e x x x y +++=.3.求解下列一阶线性微分方程（1）x b ay y sin '=+（其中b a ,为常数）, (2)21d d yx x y +=. 解：(1)因a x P =)(， x b x Q s i n)(=， 故通解为 ⎰⎰⋅+⎰=-]d e sin [e d d x x b C y xa x a⎰⋅+=-)d e sin (e x x b C ax ax)]cos sin (e 1[e 2x x a a b C axax -++=-. (2)方程变形为2d d y x yx=-, 这是x 关于y 的一阶线性微分方程，其中2)(,1)(y y Q y P =-=,通解为：⎰⋅⎰⋅+⎰=---]d e [e d )1(2d )1(y y C x yy⎰-⋅+=]d e [e 2y y C y y)22(e 2++-=y y C y .以上是用一阶线性微分方程的通解公式求解，要熟练掌握常数变易法！ 4.求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y的特解.解：这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有x x y y y d 11d 12-=-， 两边积分，得=-⎰y y yd 12⎰-x x d 11，求积分得121ln 1ln 21C x y +-=-，1222)1ln(1ln C x y +-=-， 1222e )1(1C x y -=-，222)1(e 11-±=-x y C ，记 0e12≠=±C C ，得方程的解 22)1(1-=-x C y .可以验证 0=C 时，1±=y ，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1-=-x C y 中的C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y （C 为任意常数）. 代入初始条件 20==x y得 3=C ，所以特解为 22)1(31-=-x y .5.求微分方程（1）xy yy +='，（2） x xy y x cos e 22=-'的通解.（1）解一 原方程可化为 1d d +=xyx y x y ，令 x yu =，则 1d d +=+u u x u x u ，即 x x u uu d d 12-=+ ，两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2， 积分得C x u u ln ln ln 1-=-，将xy u =代入原方程，整理得原方程的通解为 yx C y e = （C 为任意常数）.解二 原方程可化为11d d =-x yy x 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 01d d =-x yy x ，得其通解为 y C x =. 设y y C x )(=为原方程的解，代入原方程，化简得 1)(='y y C ，1ln)(C yy C =，所以原方程的通解为 1ln C y y x=，即yxC ye = （C 为任意常数）.（2）解一 原方程对应的齐次方程02d d =-xy x y 分离变量，得xy x y 2d d =，x x yy d 2d =， 两边积分，得x x y y⎰⎰=d 2d ，C x y +=2ln ，)e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=，2e x C y =，用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程，得 x x C x x cos e e )(22='，x x C cos )(='，C x x x x C +==⎰sin d cos )(，故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += （C 为任意常数）. 解二 这里x x P 2)(-=，x x Q x cos e )(2=代入通解的公式得)d e cos e (e d 2d 22⎰+⎰⋅⎰=---C x x y xx x x x=)d e cos e(e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2C x x +（C 为任意常数）.6.求微分方程 123='+''y x y x 的通解.解：方程中不显含未知函数y ，令P y ='，x P y d d =''，代入原方程，得 1d d 23=+P x xP x， 311d d xP x x P =+，这是关于未知函数)(x P 的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以 =)(x P 1d 13d 1d e 1(eC x xxx x x +⎰⎰⎰-） =1ln 3ln d e 1(e C x x x x+⎰-）=13d 1(1C x x x x +⋅⎰）=11(1C x x +-）=x C x 121+-， 由此x y d d =x Cx121+-，⎰+-=x x C xy d )1(12=21ln 1C x C x ++， 因此，原方程的通解为 y =21ln 1C x C x++ （21,C C 为任意常数）. 7.求微分方程 )1()(22-''='y y y 满足初始条件21==x y ，11-='=x y 的特解.解：方程不显含x ，令 P y ='，y P Py d d =''，则方程可化为 )1(d d 22-=y yP PP ， 当 0≠P 时y y P P d 12d -=，于是 21)1(-=y C P .根据 21==x y，11-='=x y ，知12-='=y y 代入上式，得 11-=C ，从而得到x y yd )1(d 2-=-，积分得 211C x y +=-，再由21==x y ，求得 02=C ，于是当0≠P 时，原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11， 当0=P 时，得C y =(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解x y =-11中. 故原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11，即 xy 11+=. 8.求方程0)'(''2=-y yy 的通解.解：方程不显含自变量x , 令)('y p y =原方程可变为0d d 2=-⋅⋅p ypp y , 即0=p 或p ypy=d d , 由0'==p y 得C y =.由p y p y=d d 分离变量，得yy p p d d =, 两边积分得⎰⎰=y yp p d d ,求积分得 1ln ln ln C y p +=, 即y C p 1=, 解y C y 1'= 得xC C y 1e 2=,因C y =包含于xC C y 1e2=中, 故原方程通解为 xC C y 1e2=.9.写出下列微分方程的通解：（1）0'2''=+-y y y , （2）08'=+y y . 解：（1）特征方程0122=+-r r , 特征根121==r r , 通解为x x C C y e )(21+=.（2）特征方程08=+r , 特征根8-=r , 通解为xC y 81e-=.10.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:（1）xy y y 3e6'2''-=-+, 1)0(',1)0(==y y ,（2） x y y sin 2''=+，1)0(',1)0(==y y . 解：（1）先解06'2''=-+y y y ,。

复习题（一）一、选择题1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001cos)(x x xx x f 在0=x 处( )A 、连续；B 、不连续；C 、为第一类间断点；D 、为第二类间断点.2、已知2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n ( )A 、1)]([+n x f ；B 、n x f n )]([；C 、1][+n f(x)n!；D 、n x f n )]([! 3、设xe y sin =，则dy=（ ）A 、x d e 22sin ；B 、x d e x sin sin ；C 、x d e x sin 2sin ；D 、xdx e x sin 2sin . 4.函数)(x f 在0x 可导是函数)(x f 在该点连续的 （ ）A 、充分条件；B 、必要条件；C 、充要条件；D 、非充分非必要条件.5、1lim(1)n n n→∞-=( )A.2eB.1C. 1 -eD. e6. 0tan 1lim(sin )x x x x x→-=( )A. 1B. 2C. 0D. 不存在 7、 数列收敛是数列有界的（ ）A 、充分非必要条件；B 、必要非充分条件；C 、充分必要条件；D 、既不充分又不必要条件. 8、0x →时，下列无穷小中，（ ）是等价无穷小A 、arcsin x x 与 x ；B 、1cos x -与 22x ；C 、1xe -与 2x ；D 、22x x -与 24x x -.9、设1112()1xxe f x e+=+，则0x =是()f x 的（ ）A 、可去间断点；B 、跳跃间断点；C 、无穷间断点；D 、振荡间断点. 10、函数()f x 在0x 不可导，则()f x 在0x 处（ ）A 、一定不连续；B 、一定无界；C 、不一定连续；D 、一定无定义.11、设曲线L 的参数方程是2(sin )2(1cos )x t t y t =-⎧⎨=-⎩，则曲线在2t π=处的切线方程是（ ）A 、x y π-=；B 、4x y π+=-；C 、x y π+=；D 、4x y π-=-.12、设tan ln 2y x =+，则y '=（ ）A 、1sec 2x +；B 、2sec 2x +； C 、2sec x ；D 、cot x .二、填空题1. 当)(),(),(0x x x x x γβα时，→都是无穷小，且))(o()(x x βα=,)(x β～)(x γ，则)()()(limx x x x x γβα+→=2. 21lim()xx x x→∞+= 3.设a )(=x x f 在连续，且6)1(2tan lima 0=-→xe f x x x x ，则=)a (f ； 4、过曲线xxy -+=66上点（2，2）处的切线方程为 ； 5、设)0(,)sin(ln >=x x y ，则=dy x d ln 。

高等数学复习题及答案高等数学复习题及答案高等数学作为一门重要的学科，对于理工科学生来说是必修课程。

在学习高等数学过程中，掌握和复习数学题目是非常关键的。

本文将为大家提供一些高等数学复习题及答案，希望能够帮助大家更好地复习和掌握这门学科。

一、微积分1. 计算下列定积分：∫(x^2+2x+1)dx解答：∫(x^2+2x+1)dx = (1/3)x^3 + x^2 + x + C2. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x的导函数f'(x)。

解答：f'(x) = 3x^2 + 4x - 33. 求曲线y = x^3 + 2x的切线方程。

解答：由y = x^3 + 2x可得，y' = 3x^2 + 2。

切线方程为y - y0 = y'(x - x0)，代入x0 = 1，y0 = 3可得切线方程为y = 5x - 2。

二、线性代数1. 求矩阵A = [2 1; 3 4]的逆矩阵A^-1。

解答：A^-1 = (1/(2*4 - 1*3)) * [4 -1; -3 2] = [2/5 -1/5; -3/5 4/5]2. 已知矩阵B = [1 2; -1 3]，求B的特征值和特征向量。

解答：特征值λ满足|B - λE| = 0，其中E为单位矩阵。

解方程可得λ^2 - 4λ + 5 = 0，得到特征值λ1 = 2 + i和λ2 = 2 - i。

将特征值代入(B - λE)X = 0，得到特征向量X1 = [1; i]和X2 = [1; -i]。

三、概率论与数理统计1. 一枚硬币抛掷10次，求正面朝上的次数大于等于7次的概率。

解答：设X为正面朝上的次数，X服从二项分布B(10, 0.5)。

P(X ≥ 7) = P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)= C(10, 7) * (0.5)^7 * (0.5)^3 + C(10, 8) * (0.5)^8 * (0.5)^2 + C(10, 9) * (0.5)^9 * (0.5) + C(10, 10) * (0.5)^10= 0.1718752. 一批产品的重量服从正态分布N(60, 4)，求随机抽取一个产品，其重量大于65的概率。

高等数学复习题一、选择题 1、已知函数)2arctan(2)(-+-=x x x f ，则函数)(x f 的定义域为 （ ）①)2,1(-， ②]3,1(-， ③]2,1[， ④]2,(-∞.2、已知函数)(x f 的定义域为[0,1]，则函数)2(x f -的定义域为 （ ） ①]2,(-∞， ②(1,2)， ③[0，1], ④[1,2].3、已知函数|1|arcsin )(-=x x f ，则函数)(x f 的定义域为 （ ） ①]1,1[-， ②]1,1(-， ③)2,0(， ④]2,0[.4、=∞→xx x πsinlim （ ）① 1 ② π ③不存在 ④ 05、下列函数中为奇函数的是 ( )①)1(log 2++x x a ， ②2x x e e -+， ③x cos ， ④x2.6、下列函数中是相同函数的是 （ ） ① 1)(,)(==x g xxx f ② 33341)(,)(-=-=x x x g x x x f ③ 2)()(,)(x x g x x f == ④ x x g x x f lg 2)(,lg )(2==7、=→xxx 3sin lim0 （ ）①1 ② 2 ③ 3 ④ ∞ 8、()=+→xx x 121lim ( )①2-e ， ②2e ， ③2， ④+∞.9、=→xx x arcsin 0lim( )①0， ②1， ③2， ④不存在.10、=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x 21lim ( )①2-e ， ②2e ， ③2， ④+∞.11、=++--∞→103422lim 22x x x x x ( ) ①0， ②1， ③2， ④不存在.12、=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x x 2lim ( )①2-e ， ②2e ， ③2， ④+∞.13、=∞→xx x arctan lim( )① 0， ② 1， ③ 2， ④不存在. 14、()=+→xx x 1021lim ( )①2-e ， ②2e ， ③2， ④+∞.15、当0→x 时，下列函数为无穷小量的是 （ ） ①x x sin ②x x 1sin 2③)1ln(1+x x ④x11+ 16、当x x 2tan 0时，与→等价的无穷小量是 ( ) ①x -， ②x ， ③2x ， ④2x .17、下列函数在指定变化趋势下是无穷小量的是 ( ) ①1,ln →x x ， ②+→0,ln x x ， ③∞→x e x,， ④+∞→x e x,. 18、下列函数在指定变化趋势下不是无穷小量的是 ( )①1,ln →x x ， ②0,cos →x x ， ③∞→x x ,sin 1， ④+∞→-x ex,. 19、当x x 2sin 0时，与→等价的无穷小量是 ( ) ①x -， ②x ， ③2x ， ④2x .20、点0=x 是函数⎩⎨⎧≥-<=0,10,)(x e x x x f x 的 （ ）①连续点 ②可去间断点③第二类间断点 ④第一类间断点，但不是可去间断点 21、函数)(x f y =由参数方程0sin cos ≠⎩⎨⎧==a ta y ta x ，则 =dx y d （ ）①t sin - ② t tan ③ t cot - ④t sec 22、设==dy ey x则, （ ）①dx ex x， ②dx e x， ③xdx e x 2， ④xdx e x23、设==-dy ey x则,1 （ ）①dx e x1-， ②dx e x x 121--， ③dx e xx 121-， ④dx e x x 11--24、设,sin 2x y= 则=dy （ ）① x x cos sin 2 ② xdx cos 2 ③ xdx sin 2 ④xdx 2sin25、设函数||)(x x f = 则在0=x 点处 （ ） ①不连续， ②连续但左右导数均不存在， ③连续且可导， ④连续但不可导.26、设函数||cos )(x x f = 则在0=x 点处 （ ） ①不连续， ②连续但左右导数均不存在， ③连续且可导， ④连续但不可导. 27、设函数x x f =)(，则)(x f 在点0=x 处 （ ） ①可导 ②不连续③连续，但不可导 ④可微28、设21,1,()31,1x x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，则f (x )在x =1处 ………………………………( )①既可导又连续 ②可导但不连续 ③不连续也不可导 ④连续但不可导 29、函数x y sin =，则 =)12(y（ ）①x cos ② x cos - ③ x sin ④x sin - 30、曲线26322-+=x x y 在点(3,1)处的切线的斜率=k ( )①3 ②1 ③15 ④ 0 31、设'0000(2)()()limh f x h f x f x h→+-=存在，则 ………………………..….. ( )①'0()f x ②'0()f x h - ③'02()f x h - ④'02()f x32．设函数3)(x x f = ， 则在0=x 是函数的 （ ） ① 驻点与极值点; ②不是驻点与极值点; ③极值点; ④驻点. 33、设函数()f x 区间[0,1]满足罗尔定理的是 （ ） ①|5.0|)(-=x x f , ②⎩⎨⎧≥-<=5.0225.02)(x x x xx f , ③)sin()(x x f π=, ④ x x f =)(34、设函数()f x 在0x 的()00f x '=，则()f x 在0x （ ） ① 一定取极大值 ② 一定 取极小值 ③ 一定 不取极值 ④ 极值情况不确定35、设函数)(x f 在0x 处具有二阶导数，且0)(0='x f ，0)(0<''x f ，则)(0x f 为① 最小值 ②极小值 ③最大值 ④极大值36、⎰='])([dx x F d ( ) ①dx x F )('， ②)(x F ， ③dx x F )(， ④. )(x F '37、设x sin 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x f )( （ ）①C x +sin ② C x +cos ③C x x ++cos sin ④C x x +sin 38、⎰=-dx xx 212 ( )①C x +arcsin ， ②C x +-21， ③C x +--212， ④C x +2arcsin 2139、⎰=+dx x x212 ( )①C x +arctan ， ②C x +2arctan 21， ③C x +2， ④C x ++)1ln(240、下列函数中，为)(222x xe e y --=的原函数的是………………………….( )① x xe e22-- ②)(2122x x e e -- ③x x e e 22-+ ④)(2122x x e e -+41、dx x x e⎰+1)ln 1(1= ( )① 12ln + ②C +2ln ③2 ④2ln42、=⎰badaddx x f )( （ ）① )()(a f b f - ②)(a f - ③ f(b ) ④ 0 43、=⎰21sin xdx x dx d ( )① x sin x ②0 ③2 ④344、=⎰badbddx x f )( （ ）① )()(a f b f -， ② f(b )， ③)(a f -， ④ 0.二、填空题1、 若)(x f 的定义域为)0,(-∞,则)(ln x f 的定义域为 ；2、 已知函数291)(xx f -=，则函数)(x f 的定义域为 。

高等数学复习题及答案一、选择题（每题2分，共10题）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为：A. 2x+3B. x^2+3C. 2x+6D. x+1答案：A2. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. πD. 2答案：B3. 函数f(x)=e^x的不定积分为：A. e^x+CB. xe^x+CC. 1/e^x+CD. ln(e^x)+C答案：A4. 曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率为：A. 4C. 0D. 2答案：C5. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点为：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4答案：B6. 函数f(x)=ln(x)的定义域为：A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)答案：B7. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值为：A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A8. 函数f(x)=x^3的二阶导数为：B. 3xC. 6x^2D. 6x答案：C9. 函数f(x)=x^2+2x+1的值域为：A. [0, +∞)B. (-∞, +∞)C. [1, +∞)D. (1, +∞)答案：C10. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期为：A. πB. 2πC. π/2D. 4π答案：B二、填空题（每题3分，共5题）1. 函数f(x)=x^3的一阶导数为________。

答案：3x^22. 极限lim(x→∞)(1/x)的值为________。

答案：03. 函数f(x)=e^x的原函数为________。

答案：e^x+C4. 曲线y=x^2-2x+1在x=1处的切线方程为________。

答案：y=2x-15. 函数f(x)=x^2-4x+4的顶点坐标为________。

答案：(2, 0)三、解答题（每题10分，共2题）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点及其对应的极值。

大学高数必考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处的导数为0D. f(x)在x=a处的导数不存在答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：B3. 以下哪个选项不是微分方程：A. dy/dx = yB. d^2y/dx^2 + y = 0C. ∫y dx = x^2 + CD. dy/dx + y = x答案：C4. 若级数∑(1/n^2)收敛，则下列级数中也收敛的是：A. ∑(1/n)B. ∑(1/n^3)C. ∑(1/n^1.5)D. ∑(1/n^0.5)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-3x+2，则f'(x)=______。

答案：3x^2-32. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率为______。

答案：23. 函数y=ln(x)的不定积分为______。

答案：xln(x)-x+C4. 微分方程dy/dx+2y=x的通解为______。

答案：y=(1/3)e^(-2x)(x+Ce^(2x))三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最大值和最小值。

答案：首先求导数f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2。

在区间[1,3]上，f'(x)在x=2处由负变正，因此x=2是极小值点，f(2)=3-4+3=2。

检查端点值，f(1)=1^2-4+3=0，f(3)=3^2-4*3+3=0。

因此，最小值为0，最大值为2。

2. 求由曲线y=x^2与直线x=1和x轴所围成的面积。

答案：由曲线y=x^2，直线x=1和x轴围成的面积可以通过积分求得。

积分区间为[0,1]，被积函数为y=x^2。

复习题一一、单项选择题：1．当0→x 时，x x arcsin -是3x 的 （ ） A. 高阶无穷小； B. 同阶无穷小，但非等价无穷小； C. 低阶无穷小； D. 等价无穷小． 2．设)1ln(tan )(x xx x f ++=，则0=x 是)(x f 的 （ ）A. 连续点；B. 跳跃间断点；C. 可去间断点；D. 第二类间断点．3．设)(x f 在0x 处连续，在0x 的某去心邻域内可导，且0x x ≠时，0)()(0>'-x f x x ，则 )(0x f 是 （ ） A. 极小值； B. 极大值；C. 0x 为)(x f 的驻点；D. 0x 不是)(x f 的极值点．4．设x e y 2sin =，则=dy （ ） A. x d e x 2sin ； B. x d e x 2sin sin 2；C. x xd exsin 2sin 2sin ； D. x d exsin 2sin ．5．设周期为4的函数)(x f 在实数域内可导，12)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在))5(,5(f 处切线斜率为 （ ）A. 0.5；B. 0C. -1 ；D. -2． 二、填空题：1．已知2325lim2=+++∞→n bn an n ，则=a ，=b ． 2．若)(x f 为可导的奇函数，且5)(0='x f ，则=-')(0x f ．3．函数bx x a x x f ++=223)(在1-=x 处取得极值2-,则_________,==b a ． 4．广义积分2x xe dx +∞-⎰= ．5．dx xa x x a a)1sin (222⎰--+= （其中0a >）． 三、计算下列各题：1．2220sin cos 1lim x x x x -→．2．求由方程3ln sin 21=+-y y x 所确定函数的二阶导数．3．设)1ln(211222++++=x x x x y ，求y ''． 4．dx e x ⎰-2． 5．⎰-π75sin sin dx x x ．6. 求由参数方程sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩确定的函数的导数．四、证明题：1. 设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且a b f b a f ==)(,)(，)0(>a ，证明存在一点),(b a ∈ξ使ξξξ)()(f f -='．2. 设)(x f 在],[b a 上连续,且0)(>x f ,又⎰⎰-=x ab xdt t f dt t f x F )(1)()( 证明方程0)(=x F 在),(b a 内有唯一实根．五、求抛物线2y x =与直线210x y --=及x 轴所围成图形的面积，以及此平面图 形绕x 轴一周形成立体的体积．六、求函数78624++-=x x x y 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．复习题二一、填空题1. 已知321lim2=+++∞→n bn an n ,则常数),(b a = ； 2. 设x e x f 2)(=，则=)(x df x de ； 3. 设()y y x =由1y y xe =+确定，=x dx dy= ； 4. 级数∑∞=+-1)12)(12(1n n n 的和是 ；5. 函数)1ln()(x x x f +=的麦克劳林展开式中n x 的系数为 .二、单项选择题6. 设函数=)(x f 1lim 2++∞→x t t e x ，则0=x 是)(x f 的 （ ）A. 连续点；B. 跳跃间断点；C. 可去间断点；D. 无穷间断点．7. 设)(x f 在0x 处连续，在0x 的某去心邻域内可导，且0x x ≠时，0)()(0<'-x f x x ， 则 )(0x f 是)(x f 的 （ ） A. 极小值； B. 极大值；C. 0x 为)(x f 的驻点；D. 0x 不是)(x f 的极值点．8. 级数)0()1(11>-∑∞=+p n n pn 的敛散性为 ( ) A ．1p >时绝对收敛，1p ≤时条件收敛； B ．1p <时绝对收敛，1p ≥时条件收敛； C ．1p ≤时发散，1p >时收敛； D ．对任何0p >，均绝对收敛．9. 设x xe x f 2)(=, 则=)0()10(f ( )A. 102；B. 10210⨯；C. 1025⨯；D. 10215⨯.10. 设21)(xx f =，则积分dx x f ⎰-11)( ( )A ．等于0；B ．等于2-；C ．等于2；D ．不存在．11. 计算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→1e 1)1ln(1lim 0x x x ； 12. 求由参数方程sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩确定的函数的二阶导数；13.dx x xx ⎰+-cos 1sin ；14. 求函数2)2(1--=x x y 的单调性与极值，及其图形的凹凸区间与拐点； 15. 将21)(2-+=x x x f 展开成x 的幂级数． 16.⎰-π53sin sin dx x x .17. 曲线2x y =与x 轴及直线2=x 围成一平面图形，计算该图形的面积以及该图形绕y 轴旋转一周形成的旋转体的体积．18 . 证明当0x >时，arctan ln(1)1xx x+>+； 19 . 求幂级数nn x n n ∑∞=-11的收敛半径、收敛域及和函数；复习题三一、单项选择题：1．函数23()(2)f x x x x x =+--的不可导点的个数为 ( )A ．3；B ．2；C ．1；D ．0．2．级数)0()1(11>-∑∞=+p n n pn 的敛散性为 ( ) A ．1p >时 绝对收敛，1p ≤时条件收敛； B ．1p <时 绝对收敛，1p ≥时条件收敛； C ．1p ≤时 发散，1p >时收敛； D ．对任何0p >，均绝对收敛．3．设)()1)(1()(2x g x x x x f +-=，其中)(x g 在[-1，1]上有连续二阶导数，则在)1,1(-内 ( )A ．至少有两个点i ξ，使0)(=''i f ξ；B ．至少有三个点i ξ，使0)(='i f ξ；C ．最多有一个点i ξ，使0)(=''i f ξ；D ．最多有两个点i ξ，使0)(='i f ξ．4．已知)()(x g x f ='，则=)(2x df ( ).A ．2()g x dx ；B ．22()xg x dx ；C ．2()xg x dx ；D ．22()x g x dx ．5．若)(x f 为可导函数,且(0)0,(0)2,f f '==则204()limx x f t dt x →⎰的值是( ).A ．0；B ．1；C ．2；D ．不存在． 二、填空题：1．已知01lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+∞→b ax x x x ,其中b a ,为常数,则_______=a ,_______=b . 2．曲线x y xe -=的水平渐近线方程为____________..3．)2ln(1)(x x x f -+=的定义域为 .4．已知2)3(='f ，则0(3)(3)lim___________2h f h f h→--=．5．设)(x f 连续，且满足10()2()f x x f x dx =+⎰，则)(x f = . 三、计算下列各题：1．011lim ln(1)e 1x x x →⎛⎫- ⎪+-⎝⎭．2．求级数∑∞=-1)1(n n x n 的收敛域及和函数．3．⎰．4．2cos sin x x x dx π-⎰．5．求2(ln )xy x =的导数y '．6. 设()y y x =由1yy xe =+确定，计算22x d ydx=．四、证明题：1. 当0x >时，arctan ln(1)1xx x+>+． 2. 设)(x f 在[0，1]上可导，且120(1)2()0f xf x dx -=⎰，证明至少存在一点(0,1)ξ∈，使()()0f f ξξξ'+=． 五、应用题1.过曲线2x y =)0(≥x 上某点A 作一切线，使之与曲线2x y =以及x 轴所围成图形的面积为121．求（1）过切点的切线方程；（2）上述图形绕x 轴旋转一周形成的旋转体的体积．2. 设函数324()x f x x +=，求函数的单调区间、极值、凹凸区间及拐点.参考答案一、1.B ； 2.A ； 3.A ； 4.B ； 5.B ．二、1. 1，1- ； 2 .0=y ； 3. )2,1()1,1[⋃-； 4.1-； 5. 1x -． 三、1．解：当0x →时,2e 1~,ln(1)~,(e 1)ln(1)~x x x x x x x -+-+原式=200e 1ln(1)1ln(1)lim lim (e 1)ln(1)x x x x x x e x x x →→⎛⎫--+--+= ⎪-+⎝⎭20011(1)1limlim 122x x x x e e x x x →→+-++===．2．解：令1x t -=，对于级数∑∞=1n nnt ，111n n a n a n++=→ )(∞→n ∴ 11R t ==，处，级数∑∞=1n n 发散，1t =-处，级数1(1)n n n ∞=-∑发散∴ 收敛域为（-1，1），故原级数收敛域（0，2）1111()nn nn n n nt t ntt t ∞∞∞-==='==∑∑∑，而11()()()1nn n n tt t t ∞∞=='''==-∑∑ ， 11t -<<∴ 21()1(1)nn t t nt t t t ∞='==--∑ ∴21(1)(1)(2)nn x n x x ∞=--=-∑ 02x <<. 3．解：=⎰⎰12(1(1)21arcsin 21arcsin(1)2x tt t t Cx C+==-=---=+=++⎰4．解：2cos sin x x x dx π-⎰424(cos sin )(sin cos )x x x dx x x x dx πππ=-+-⎰⎰,其中 2244(sin cos )()(cos sin )2x t x x x dx t t t dt πππππ=--=---⎰⎰440(cos sin )(cos sin )2t t dt t t t dt πππ=---⎰⎰原式40(cos sin )1)22t t dt πππ=-=⎰.5.解：)()(][)1(])[(ln 2123)ln(ln 2'-'+'='-+'='-x x e x x x y x x xln(ln )1[ln(ln )]ln x x ex x =++2123x +2321-x=1(ln )[ln(ln )]ln x x x x ++ 6. 解：1y y xe =+两边对x 求导数 y y y e xe y ''=+整理 得 11y y ye y xe e x-'==-- 两边再对x 求导数223112()()()()y y yy y ye y e x y e x e x e x e x ------'---'''=--=-=--- 当0x =时，1y =故220x d ydx ==220,1x y d y dx ==230,122()y yx y e xe e x --==-==-．四、证明题1．证明：只要证当0x >时，(1)ln(1)arctan x x x ++>. 设()(1)ln(1)arctan f x x x x =++-则2221()ln(1)1ln(1)11x f x x x x x '=++-=++++ 当0x >时，()0f x '>，所以 [0,)+∞上，()f x 单调增加. 当0x >时，()(0)0f x f >=，即 (1)l n(1)a r c t a n x x x ++->.2．证明：由定积分中值定理得至少存在一点1[0,]2η∈使得1201(1)2()2()()2f xf x dx f f ηηηη==⋅=⎰令)()(x xf x F =，由已知)(x F 在]1,[η可导又)()()1()1(ηηηF f f F === 由罗尔定理得至少存在一点)1,0()1,(⊂∈ηξ使得0)(='ξF ， 即()()0f f ξξξ'+=．五、1．解：设200(,)M x x ，过M 的切线方程是 20002()y x x x x -=-，该切线与x 轴的交点)0,2(0x N 依题意 0003220000021[2()]1212x x x x x dx x x x x dx =-+-=⎰⎰，所以 10=x ，于是 (1,1)M ．（1）切线方程 )1(21-=-x y ，即012=+-x y ． （2）⎰⎰=--=112122230)12()(πππdx x dx x V x ．2．解：定义域),0()0,(+∞-∞ ，381x y -='， 令0='y ，得驻点2=x ．所以，区间)0,(-∞，(2,)+∞为单调增区间；)2,0(为单调减区间；2=x 为极小值点，极小值3=y .又因为0244>=''xy ，所以，区间),0(),0,(+∞-∞为凹区间，无拐点.复习题四一、填空题：1．设()内可导，，＋－在∞∞⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+=0010)(2x c bx x x a x x f 则.________________,_______,===c b a3．设()x f y x f sin )(//=存在，，则__________22=dxyd 。

高数复习题目和答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间[-1, 2]上的最大值是：A. 1B. 3C. 5D. 72. 曲线y=x^3-2x^2+x在点(1,0)处的切线斜率是：A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题3. 若函数f(x)=2x-3在区间[0, 5]上连续，求f(0)+f(5)的值为______。

4. 已知函数g(x)=sin(x)+cos(x)，求g'(x)的导数表达式为______。

三、简答题5. 求函数y=x^3-6x^2+9x+2在x=2处的导数，并解释其几何意义。

6. 证明：若函数f(x)在区间(a, b)内连续，并且满足f(a)f(b)<0，则至少存在一点c∈(a, b)，使得f(c)=0。

四、计算题7. 计算定积分∫(1, 3) (2x-1)dx。

8. 求解微分方程：dy/dx + 2y = x^2，y(0) = 1。

五、证明题9. 证明：对于任意正整数n，有\( \sum_{k=1}^{n} k^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。

10. 证明：函数f(x)=e^x是严格单调增函数。

六、应用题11. 某工厂生产某种商品，其成本函数为C(x)=100+5x，其中x是生产数量。

求生产100件商品时的平均成本。

12. 某公司股票价格随时间变化的函数为S(t)=100e^(0.05t)，其中t 是时间（以年为单位）。

如果公司决定在两年后卖出股票，求其卖出时的预期价格。

答案：一、选择题1. 正确答案：C. 5解析：f(x)=(x+3/2)^2-1/4，当x=2时，函数取得最大值5。

2. 正确答案：C. 1解析：求导得y'=3x^2-4x+1，代入x=1得到y'(1)=0。

二、填空题3. 答案：7解析：f(0)=-3，f(5)=40，所以f(0)+f(5)=-3+40=37。

4. 答案：g'(x)=cos(x)-sin(x)解析：根据导数的和与三角函数导数公式，得到g'(x)。

高等数学(文本)复习题一、单项选择题1．函数12cos sin ++=x x x y 是（ ） A.奇函数B.偶函数C.周期函数D.非奇非偶函数2. 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且0)x (f 0='，那末当0)(0<''x f 时( )A ．函数f(x)在点x0处取得最小值B ．函数f(x)在点x0处不取得极值C ．函数f(x)在点x0处取得极大值D ．函数f(x)在点x0处取得极小值3.函数y=cos x 的定义域是（ ） A.()+∞∞-,B.[)+∞,0C.[)+∞,1D.()+∞,04.函数y=sin 2x的周期为（ ） A.πB.4πC.5πD.6π5. 级数∑∞=++-1112)1(n n n 是( )A ．收敛的B ．发散的C ．绝对收敛的D ．部分和无界的级数6.过原点作曲线y=e x的切线，则：切线的方程为( )A.y=e xB.y=e xC.y=xD.y=2e x 7.设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),则：方程f ′(x)=0,在〔0,3〕内的根的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.48.设⎰x2dt )t (f =2x 3,则: ⎰1dx )x (f ( )A.1B.2C.3D.4 9.如果广义积分⎰-xP 2dx x 收敛，则( )A.P>1B.P<1C.P>3D.P<3.10.函数Z=f(x,y)在点(x 0,y 0)处连续是z=f(x,y),在点(x 0,y 0)处存在一阶偏导数的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分，又非必要条件11.方程y xdx dy -=的通解为( ) A.x 2-y 2=C B.xy=C C.x 2+y 2=C D.x+y=C12.下列级数中绝对收敛的级数是( ) A.∑∞=-1n n)1(1n 1+ B.∑∞=1n tg2n 1 C.∑∞=-1n n)1( 32n 1n 2++ D.∑∞=1n ln(1+n1) 13.抛物线y=x 2上点N （x 0,y 0）的切线平行于ox 轴，则N （x 0,y 0）为（ ） A.（1，1） B.（1，0） C.（0，0） D.（0，1） 14.设y=xlnx ，则='y （ ）A.lnxB.x1C.xlnx+1D.lnx+115.设y=ln cosx ，则=''y （ ） A.sec 2xB.-sec 2xC.csc 2xD.-csc 2x16.设⎩⎨⎧==3ty t ln x 则=dx dy （ ） A.3t 3B.3t 2C.t 4D.3t31 17.对于函数2x 11)x (f +=，满足罗尔定理全部条件的区间是（ ） A.[-2，0] B.[0，1] C.[-1，2] D.[-2，2] 18.函数y=x+arctgx 在（-∞，+∞）上（ ） A.单调减少 B.单调增加 C.不连续 D.不可导19.a x的一个原函数是（ ）A.a xB.aln a xC.a x lnaD.a x+120.微分方程思念siny dx+(1+e -x)cosy dy=0是( )A. 二阶微分方程B.齐次方程C.一阶线性微分方程 D 可分离变量的微分方程二、填空题1. ∞→n lim （n n n -+42）=___________。