专题01 三角函数与解三角形(核心考点)-备战2018年高考之数学(理)解答题高分宝典

专题1.1 三角篇高考考纲对于解三角形的要求为：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 综合近两年的高考试卷可以看出：三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点．不仅选择题中时有出现，而且解答题也经常出现，故这部分知识应引起充分的重视．【3年高考试题回顾】1.【2015新课标2】ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (Ⅰ) 求sin sin BC∠∠；(Ⅱ)若1AD =，2DC =，求BD 和AC 的长．2.【2016新课标1】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （I ）求C ；（II ）若c ABC △=的面积为2，求ABC △的周长．【答案】（I ）πC 3=；（II ）5. 【解析】试题分析：（I ）利用正弦定理进行边角代换，化简即可求角C ；（II ）根据1sin C 2ab =．及πC 3=可得6ab =．再利用余弦定理可得 ()225a b +=，从而可得ΑΒC △的周长为5． 试题解析：（I ）由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=，由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +-=． 故2213a b +=，从而()225a b +=．所以ΑΒC △的周长为5．【考点】正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=-()tan tan A B C +=-,这是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”.3.【2017新课标1】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A.（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=.3由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.4.【2017新课标2】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=． （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =；（2）2b =．“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐．5.【2017新课标3】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin 0A A +=，a ,b =2. （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC,求△ABD 的面积.【答案】（1）4c = ；（2【解析】试题分析：（1）由题意首先求得2π3A =，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得4c =； （2）利用题意首先求得ABD △的面积与ACD △的面积的比值，然后结合ABC △的面积可求得ABD △的.5【考点】余弦定理解三角形；三角形的面积公式【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.【3年高考试题分析】正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查： 1．边和角的计算． 2．三角形形状的判断． 3．面积的计算．4．有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．【必备基础知识融合】1．正弦定理和余弦定理2.三角形中的常用公式及变式(1)三角形面积公式S ＝12bc sin A＝12ac sin B ＝12ab sin C=abc 4R =12(a ＋b ＋c )r ．其中R ，r 分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A ＋B ＋C ＝π，则A ＝π－(B ＋C )，A 2＝π2－B ＋C2，从而sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )，tan A＝－tan(B ＋C )；sin A 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝sin B ＋C 2，tan A2＝1tanB ＋C2.tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .(3)若三角形三边a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ⇔2sin B ＝sin A ＋sin C ⇔2sin B 2＝cos A －C 2⇔2cosA ＋C2＝cosA －C2⇔tan A 2tan C 2＝13. (4)在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝a cos C ＋c cos A ，c ＝a cos B ＋b cos A .(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)【解题方法规律技巧】典例1：在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．【规律总结】7在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角的关系(注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论)或边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状．同时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．如： (1)A ＋B ＋C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60°.典例2：在△ABC 中，A 、B 、C 是三角形的三个内角，a 、b 、c 是三个内角对应的三边，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc. ①求角A 的大小；②若sinBsinC ＝34，试判断△ABC 的形状，并说明理由．【规律总结】应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际，从而得出实际问题的解．典例3：设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinBcosA ＝sinAcosC ＋cosAsinC.(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．【规律总结】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．典例4：已知a ， b ， c 分别为ABC 三个内角A ， B ， C 的对边， cos sin 0a C C b c +--=. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若ABC 为锐角三角形，且a =22b c +的取值范围.解析：（Ⅰ）由cos sin 0a C C b c --=，得： sin cos cos sin sin 0A C A C B C --=，9典例5：在ABC ∆， 3B π=， 2BC =（1）若3AC =，求AB 的长（2）若点D 在边AB 上， AD DC =， DE AC ⊥， E 为垂足，2ED =，求角A 的值.解：（1）设AB x =，则由余弦定理有： 2222cos AC AB AC AB AC B =+-⋅即2223222cos60x x =+-⋅︒【规律总结】（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理.（2）如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理.（3）以上特征都不明显时,要考虑两个定理都有可能用到.（4）解题中一定要注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.（5）遇见中点时要想到与向量的加法运算结合；（6）遇见角平分线时要想到角平分线定理.（7）在三角形中，大边对大角，正线大则边大，自然角就大.（8）解三角形的实际应用问题的求解关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中,然后利用正、余弦定理求解.典例6：某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20 n mile的A处，并以30 n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v n mile/h的航行速度匀速行驶，经过t h与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S n mile，则11S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos（90°－30°）＝900t 2－600t ＋400＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300， 故当t ＝13时，S min ＝103，此时v ＝10313＝30 3.即小艇以30 3 n mile/h 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． (2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t2.∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30.故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30 n mile/h ，小艇能以最短时间与轮船相遇．【规律总结】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也常用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简便．【归纳常用万能模板】【引例】(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长.规范解答(1)由已知及正弦定理得132cos C (sin A ·cos B ＋sin B ·cos A )＝sin C ， 1分得分点①即2cos C ·sin(A ＋B )＝sin C .3分得分点② 因为A ＋B ＋C ＝π，A ，B ，C ∈(0，π)， 所以sin(A ＋B )＝sin C >0，所以2cos C ＝1，cos C ＝12.5分得分点③所以C ＝π3.6分得分点④(2)由余弦定理及C ＝π3得7＝a 2＋b 2－2ab ·12，8分得分点⑤即(a ＋b )2－3ab ＝7，又S ＝12ab ·sin C ＝34ab ＝332，所以ab ＝6，10分得分点⑥所以(a ＋b )2－18＝7，a ＋b ＝5，11分得分点⑦ 所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7. 12分得分点⑧ 【解答细节突破】1.牢记公式，正确求解：在三角函数及解三角形类解答题中，通常涉及三角恒等变换公式、诱导公式及正弦定理和余弦定理，这些公式和定理是解决问题的关键，因此要牢记公式和定理.如本题第(2)问要应用到余弦定理及三角形的面积公式.2.注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解.3.写全得分关键：在三角函数及解三角形类解答题中，应注意解题中的关键点，有则给分，无则不给分，所以在解答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，没有将正弦定理表示出来的过程(即得分点①)，则不得分；第(2)问中没有将面积表示出来则不得分，只有将面积转化为得分点⑦才得分. 【解题程序展示】第一步：利用正弦定理将已知的边角关系式转化为角的关系式； 第二步：利用三角恒等变换化简关系式； 第三步：求C 的余弦值，得角C 的值.第四步：利用三角形的面积为332，求出ab 的值；第五步：根据c ＝7，利用余弦定理列出a ，b 的关系式； 第六步：求(a ＋b )2的值，进而求△ABC 的周长.【易错易混温馨提醒】一、多解问题的取舍容易忽视：易错1：①如图C ∆AB 中，已知点D 在C B 边上，且D C 0A ⋅A =，sin C ∠BA =，AB =D B =（1）求D A 的长； （2）求cosC ．（1）若的面积为，求；（2）若，求.15【答案】（1）（2）或.二、由22sincos 1(ααα+=为三角形内角)，知sin α求cos α时的正负问题容易出错：易错2：如图，在ABC ∆中， 3B π∠=， D 为边BC 上的点， E 为AD 上的点，且8AE =，AC =4CED π∠=．（1）求CE 的长；（2）若5CD =，求cos DAB ∠的值．【答案】（1）CE =21（2）在CDE ∆中，由正弦定理得sin sin CE CDCDE CED=∠∠，5sin 4π=所以5sin 442CDE π∠===， 所以4sin 5CDE ∠=． 因为点D 在边BC 上，所以3CDE B π∠>∠=，而45<， 所以CDE ∠只能为钝角， 所以3cos 5CDE ∠=-，17所以cos cos cos cos sin sin 333DAB CDE CDE CDE πππ⎛⎫∠=∠-=∠+∠ ⎪⎝⎭314525=-⨯+=．三、已知内角为锐时，易知转化为余弦值大于0，但容易忽视小于1，钝角亦是如此，余弦应该是(-1,0).在中，角、、所对的边分别是、、，已知，且.（1）当，时，求、的值；（2）若角为锐角，求的取值范围【答案】（1）（2）∴,又由可得所以.四、注意求值平方后开方时取正负的问题：在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且4sin b A =.（1）求sin B 的值；（2）若,,a b c 成等差数列，且公差大于0，求cos cos A C -的值.【答案】（1）sin B =（2）cos cos A C -=.（Ⅱ）由已知和正弦定理以及（Ⅰ）得sin sin A C +=① 设cos cos A C x -=， ② ①2＋②2，得2722cos()4A C x -+=+． ③ 7分 又a b c <<，A B C <<，所以00090B <<，cos cos A C >， 故3cos()cos 4A CB +=-=-． 10分 代入③式得274x =．因此cos cos A C -=． 五、锐角三角形内角范围的考虑要全面，需满足三个内角均为锐角：易错5：在ABC ∆ 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，，且2222sin 2cos cos A cos B AsinB C ++=.（1）求角C 的值；（1）若ABC ∆为锐角三角形，且c =a b -的取值范围.19【答案】（1）3C π=（2）()1,1-（2）由（1）知 2233A B B A ππ+==-， 由sin sin sin a b cA B C==得， 2,2a sinA b sinB ==，22222)233a b sinA sinB sinA sin A sinA sin A ππ⎛⎫⎛⎫-=-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵ABC ∆为锐角三角形， 02B π<<，又∵23B A π=-， ∴,62A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ∴,366A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ∴()2sin 1,13A π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，即a b -的取值范围为()1,1-. 【新题好题提升能力】1.[2016·山西四校一联] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)sin A ＝ab (sin C ＋2sin B )，a ＝1. (1)求角A 的大小；(2)求△ABC 的周长的取值范围．2. 在ABC ∆中，点D 在BC 边上，AD 平分,6,4BAC AB AD AC ∠===. （1）利用正弦定理证明: AB BDAC DC=； （2）求BC 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）5BC =.213. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c（Ⅰ）证明：a+b=2c;（Ⅱ）求cosC 的最小值． 【解析】()I 由题意知 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+， 即()2sin sin sin A B A B +=+． 因为A B C π++=, 所以()()sin sin sin A B C C π+=-=． 从而sin sin =2sin A B C +． 由正弦定理得2a b c +=．()∏由()I 知所以当且仅当a b =时，等号成立．故 cos C 的最小值为 4.四边形ABCD C 互补，且AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求角C 的大小和线段BD 的长度；(2)求四边形ABCD 的面积.5.(2017·贵州适应性考试)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围.解 (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ，∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0，∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0.即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12. ∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3. (2)由余弦定理得23b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号. ∴(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2.又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2].即a ＋c 的取值范围是(3，2].6.在中，角所对的边分别为，且，． （Ⅰ）若，求角的正弦值及的面积； （Ⅱ）若在线段上，且，，求的长．【答案】（I ），面积为；（II ）.即，解得，则，所以， 在直角中，．7.已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若5,402c b a A ==-=.（1）求a 的值；（2）若B A λ=，求λ的值.【答案】（1）32a =（2）2。

第一单元 高考中档大题突破解答题01：三角函数与解三角形基本考点——三角函数性质与三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式； 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质； 3．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba.1．(2017·浙江卷)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解：(1)由sin2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f 2π3＝322－－122－23×32×－12，所以f 2π3＝2.(2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得 f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )． 2．(2017·岳阳二模)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π2. (1)求f (x )的最小正周期和对称轴方程； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3， π4时，求f (x )的值域． 解：(1)f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋1－cos(2x ＋π)＝32cos 2x ＋32sin 2x ＋1 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1， 所以f (x )的最小正周期T ＝π. 令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称轴方程为x ＝k π2＋π12，k ∈Z .(2)因为－π3≤x ≤π4，所以－ π3≤2x ＋π3≤5π6，所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，3＋1. 常考热点——三角恒等变换与解三角形1．两个定理(1)正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．(2)余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.2．三角形的面积公式(1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别是边a ，b ，c 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .(2017·揭阳一模)已知：复数z 1＝2sin A sin C ＋(a ＋c )i ，z 2＝1＋2cos A cos C ＋4i ，且z 1＝z 2，其中A 、B 、C 为△ABC 的内角，a 、b 、c 为角A 、B 、C 所对的边．(1) 求角B 的大小；(2) 若b ＝22，求△ABC 的面积．[思路点拨] (1)根据复数相等得到2sin A sin C ＝1＋2 cos A cos C ，根据两角和余弦公式和诱导公式，即可求出B 的大小；(2)由余弦定理以及a ＋c ＝4，可得ac ，再根据三角形的面积公式计算即可． 【解】 (1)∵z 1＝z 2∴2sin A sin C ＝1＋2cos A cos C ，① a ＋c ＝4，②由①得2(cos A cos C －sin A sin C )＝－1， 即cos(A ＋C )＝cos(π－B )＝－cos B ＝－12，∴cos B ＝12，∵0＜B ＜π，∴B ＝π3；(2)∵b ＝22，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ⇒a 2＋c 2－ac ＝8，④ 由②得a 2＋c 2＋2ac ＝16，⑤ 由④⑤得ac ＝83，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×83×32＝233.(2016·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A.(1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值． (1)【证明】 由题意知2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos A cos B ， 化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ， 即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＋sin B ＝2sin C ， 由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)【解】 由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab＝38·⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12， 当且仅当a ＝b 时，等号成立， 故cos C 的最小值为12.(1)本题是三角恒等变换、解三角形与基本不等式的交汇问题．(2)解答此类问题的一般思路是利用三角恒等变换对所给条件进行转化，再结合正余弦定理，转化到边的关系，利用基本不等式求解．1．(2017·清远二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A .(1)求角A 的大小；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π2－B －2sin 2C2的取值范围． 解：(1)因为3a cos C ＝(2b －3c )cos A ，所以由正弦定理可得， 3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ， 从而可得，3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ， 即3sin B ＝2sin B cos A ，又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32， 又A 为三角形内角，因此，A ＝π6.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫5π2－B －2sin 2C2＝sin B ＋cos C －1 ＝sin B ＋cos ⎝⎛⎭⎫5π6－B －1， ＝sin B ＋cos 5π6cos B ＋sin 5π6sin B －1，＝32sin B －32cos B －1＝3sin ⎝⎛⎭⎫B －π6－1， 由A ＝π6可知，B ∈⎝⎛⎭⎫0，5π6，所以B －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，2π3，从而sin ⎝⎛⎭⎫B －π6∈⎝⎛⎦⎤－12，1， 因此，3sin ⎝⎛⎭⎫B －π6－1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－3＋22，3－1， 故cos ⎝⎛⎭⎫5π2－B －2sin 2C 2的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－3＋22，3－1. 2．(2017·贵阳二模)已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝sin(A ＋C )，cos(A －C )＋cos B ＝3c .(1)求角A 的大小； (2)求b ＋c 的取值范围．解：(1)∵b ＝sin(A ＋C )，可得：b ＝sin B ， ∴由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，可得：a ＝sin A ，c ＝sin C ，∵cos(A －C )＋cos B ＝3c ，可得： cos(A －C )－cos(A ＋C )＝3c ，可得：cos A cos C ＋sin A sin C －(cos A cos C －sin A sin C )＝3c ， ∴2sin A sin C ＝3c ， ∴2ac ＝3c ，可得：a ＝32＝sin A ， ∵A 为锐角，∴A ＝π3.(2)∵a ＝32，A ＝π3， ∴由余弦定理可得⎝⎛⎭⎫322＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即34＝b 2＋c 2－bc ，整理可得(b ＋c )2＝34＋3bc ， 又∵34＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c 时等号成立，∴(b ＋c )2＝34＋3bc ≤34＋94＝3，解得b ＋c ≤3，当且仅当b ＝c 时等号成立， 又b ＋c ＞a ＝32，∴b ＋c ∈⎝⎛⎦⎤32，3.1．(2017·九江二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足bc ＝3sinA ＋cos A .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2，求△ABC 的面积的最大值． 解：(1)∵bc＝3sin A ＋cos A ，∴由正弦定理可得：sin B ＝3sin A sin C ＋sin C cos A ， 又∵sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴3sin A sin C ＝sin A cos C ， ∵sin A ≠0，∴解得tan C ＝33， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π6.(2)∵c ＝2，C ＝π6，∴由余弦定理可得4＝a 2＋b 2－3ab ≥(2－3)ab ， 即ab ≤42－3，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴S △ABC ＝12ab sin C ≤12×42－3×12＝2＋3，当且仅当a ＝b 时等号成立，即△ABC 的面积的最大值为2＋ 3.2．(2017·广元二模)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝13.(1)求cos 2B ＋C2＋cos 2A 的值．(2)若a ＝3，求△ABC 的面积S 的最大值． 解：(1)∵cos A ＝13，∴cos 2B ＋C 2＋cos 2A ＝sin 2A 2＋cos 2A ＝1－cos A 2＋(2cos 2A －1)＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫29－1＝－49；(2)由cos A ＝13得sin A ＝1－cos 2A ＝223， ∴S ＝12bc sin A ＝23bc ，要求S 的最大值，只须求bc 的最大值， ∴2bc 3＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2，又a ＝3， ∴bc ≤94.(当且仅当b ＝c ＝32时取等号)，故S 的最大值为324.3．(2017·济宁一模)设f (x )＝⎝⎛⎭⎫3sin x 2＋cos x 2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π2－12. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知，f ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝－12，a ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)f (x )＝⎝⎛⎭⎫3sin x 2＋cos x 2cos x 2－12 化简可得f (x )＝3sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－12＝32sin x ＋12cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 根据正弦函数的性质可知：－π2＋2k π≤x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，f (x )是单调递增，∴得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝－12， 得sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝－12， ∴sin A ＝32， 由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得3＝b 2＋c 2＋bc ≥2bc ＋bc ＝3bc ， 当且仅当b ＝c ＝1时，等号成立， ∴bc ≤1，∴S △ABC ＝12bc sin A ≤34，即△ABC 面积的最大值为34. 4．(2017·大庆二模)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝4，B ＝π2＋A .(1)求cos B 的值； (2)求sin 2A ＋sin C 的值． 解：(1)∵B ＝π2＋A ，∴cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝－sin A ，又a ＝3，b ＝4，所以由正弦定理得3sin A ＝4sin B ，所以3－cos B ＝4sin B，所以－3sin B ＝4cos B ，两边平方得9sin 2B ＝16cos 2B ， 又sin 2B ＋cos 2B ＝1， 所以cos B ＝±35，而B ＞π2，所以cos B ＝－35.(2)∵cos B ＝－35，∴sin B ＝45，∵B ＝π2＋A ，∴2A ＝2B －π，∴sin 2A ＝sin(2B －π)＝－sin 2B ＝－2sin B cos B ＝－2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝2425 又A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝3π2－2B ，∴sin C ＝－cos 2B ＝1－2cos 2B ＝725.∴sin 2A ＋sin C ＝2425＋725＝3125.5．(2017·东北三省四市二模)已知f (α)＝cos α 1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α.(1)当α为第二象限角时，化简f (α)； (2)当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，求f (α)的最大值．解：(1)当α为第二象限角时，sin α＞0，cos α＜0，f (α)＝cos α 1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α＝cos α(1－sin α)21－sin 2α＋sin α(1－cos α)21－cos 2α＝cos α·1－sin α|cos α|＋sin α·1－cos α|sin α|＝sin α－1＋1－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4 (2)当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，由(1)可得f (α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4 ∴α－π4∈⎝⎛⎫π4，3π4， 则sin ⎝⎛⎭⎫α－π4∈⎝⎛⎦⎤22，1 ∴f (α)的最大值为 2.6．(2017·南阳二模)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －sin 2ωx ＋1(ω＞0)相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求ω的值及函数f (x )的单调递减区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且满足a ＝3，f (A )＝1，求△ABC 面积 S 的最大值．解：(1)f (x )＝3sin ωx cos ωx －sin 2ωx ＋1 ＝32sin 2ωx －1－cos 2ωx 2＋1 ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋12. ∵相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴T 2＝π2，则T ＝π＝2π2ω，则ω＝1. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12. 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . ∴f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z ； (2)由f (A )＝1，得sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋12＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12，∵2A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，则A ＝π3. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得3＝b 2＋c 2－2bc ×12＝b 2＋c 2－bc ，则bc ≤3，当且仅当b ＝c 时“＝”成立． ∴(S △ABC )max ＝12bc ·sin A ＝12×3×32＝334.。

1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①）．2．方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°,北偏西45°等．3．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．【知识拓展】1．三角形的面积公式：S＝p p－a p－b p－c（p＝错误!），S＝错误!＝rp(R为三角形外接圆半径，r为三角形内切圆半径，p＝错误!）．2．坡度（又称坡比）：坡面的垂直高度与水平长度之比．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×）(2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为[0，错误!]．（×)（3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．（√）（4)方位角大小的范围是［0，2π)，方向角大小的范围一般是［0，错误!)．（√）1．（教材改编）如图所示,设A，B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB＝45°,∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为（）A．50错误!m B．50错误!mC．25 2 m D.错误!m答案A解析由正弦定理得错误!＝错误!，又∵B＝30°，∴AB＝错误!＝错误!＝50错误!（m）．2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC,则点A在点B的( )A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10° D．北偏西10°答案B解析如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC,∴∠CBA＝45°，而β＝30°,∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴点A在点B的北偏西15°。

1．角的概念(1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内,构成的角的集合是S＝{β｜β＝k·360°＋α，k∈Z｝．(3)象限角:使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．弧度制（1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0。

(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad，1°＝错误!rad,1 rad＝错误!°。

(3）扇形的弧长公式：l＝｜α|·r，扇形的面积公式：S＝错误!lr＝错误!|α|·r2。

3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x,tan α＝错误!(x≠0）．三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin αR＋＋－－cos αR＋－－＋tan α{α|α≠kπ＋错误!，k∈Z}＋－＋－4。

三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P,过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T。

三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线。

【知识拓展】1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．任意角的三角函数的定义（推广）设P（x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝错误!，cos α＝错误!，tan α＝错误!（x≠0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．（×）(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(√）（3）不相等的角终边一定不相同．（×）(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√）(5）若α∈(0，错误!)，则tan α>α〉sin α.（√)(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(√)1．角－870°的终边所在的象限是(）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同,在第三象限．2．(教材改编）已知角α的终边与单位圆的交点为M（错误!，y)，则sin α等于(）A 。

专题一 三角函数与解三角形三角函数的图象和性质【背一背基础知识】 1.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：22sin cos 1αα+=，()2sin cos 12sin cos 1sin 2ααααα±=±=±（2）商数关系：sin tan ,cos 2k k Z απααπα⎛⎫=≠+∈ ⎪⎝⎭.2.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限.3.两角和与差的三角函数：（1）和角：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+，()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-；（2）差角：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-，()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+；4.二倍角公式：sin 22sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，22tan tan 21tan ααα=-.5.降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=，sin 2sin cos 2ααα=； 6.辅助角公式：()()sin cos 0a x b x x a ϕ+=+>，其中ϕ由tan b aϕ=确定；7.三角函数的基本性质：8.三角函数图像变换（1）平移变换：sin y x =0)((0))||ϕϕϕ><向左(向右平移单位sin()y x ϕ=+sin y x ω=(0)ω>0)((0))||ϕϕϕω><向左(向右平移单位sin()y x ωϕ=+ （2）周期变换：sin y x =1ω向横坐标变为原来的单位，纵坐标不变sin y x ω=(0)ω>（3）振幅变换：sin y x =A 纵坐标变为原来的单位，横坐标不变sin (0)y A x A => 【讲一讲基本技能】1.必备技能：①在求解三角函数的基本性质时，首先一般要将三角函数解析式利用和差角公式、降幂公式和辅助角公式将三角函数解析式化为()sin A x b ωϕ++或()cos A x b ωϕ++，然后利用整体法u x ωϕ=+并借助正弦函数或余弦函数进行求解；在求函数()()sin f x A x b ωϕ=++在x D ∈上的最值时，首先求出u =x ωϕ+的取值范围D '，然后作出正弦函数在区间D '的图象，确定sin u 的最值，然后代入解析式进行求解.②在解已知三角函数图像求解析式问题时，常有两种思路，思路1：先根据图像求出周期和振幅，利用周期公式求出ω，再由特殊点（常用最值点）求出ϕ；思路2：先根据图像求出振幅A ，再利用sin()y A x ωϕ=+“五点点作图法”列出关于ωϕ，的方程，即可求出ωϕ，.③在处理图像变换问题时，先把函数化成系数为正同名三角函数，再利用图像变换知识解题，注意用“加左减右，加上减下”判定平移方向，先平移后周期变换和先周期变换后平移平移单位不同. 2.典型例题例1【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A例2【2017北京，文16】已知函数())2sin cos 3f x x -x x π=-.（I ）f (x )的最小正周期； （II ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x ≥-． 【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题解析：（Ⅰ）31π()2sin 2sin 2sin 22sin(2)223f x x x x x x x =+-=+=+. 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==. （Ⅱ）因为ππ44x -≤≤， 所以ππ5π2636x -≤+≤.所以ππ1sin(2)sin()362x +≥-=-.所以当ππ[,]44x ∈-时，1()2f x ≥-.【练一练趁热打铁】1.已知函数)2,0)(cos()(f πϕπωϕω<<>+=x x 为奇函数，且函数)(x f 的图 象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为2π. （1）求函数)(x f 的解析式. （2）若53)(=αf ，α为第二象限角，求)4(tan πα-的值. 【答案】（1）x x f sin =）（；（2）7）4（tan -=-πα．2.【2018届湖北省武汉市高三二月调研】已知函数在上单调递减，且满足.（1）求的值； （2）将的图象向左平移个单位后得到的图象，求的解析式.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用辅助角公式把原函数化为，再利用对称轴为得到或，最后根据在上为减函数舎去.（2）利用左加右减求解的解析式.解析：（1）.，则图象关于对称，在时，，，而，或，在时，在上单减，符合题意.可取.在时，在上单增，不合题意，舍去.因此，.（2）由（1）可知，将向左平移个单位得到，.解三角形【背一背基础知识】1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等（设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则2sin sin sin a b cR A B C===（其中R 为ABC ∆的外接圆的半径长）. 变式：（1）2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =；（2）sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R=.2.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦乘积的两倍，即2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-.变式：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab+-=；3.面积公式：111sin sin sin 222ABC S bc A ac B ab C ∆===，适用条件：两边及其夹角. 【讲一讲基本技能】1.必备技能：利用正弦定理与余弦定理解三角形，要根据题中边角的已知条件类型选择合适的定理求解.在已知条件中，若等式或分式中边的次数相同或正弦值的次数相等时，可以利用正弦定理将边与对应的角的正弦值进行互化，结合余弦定理或三角变换等知识进行计算；已知条件中，若给定的是三条边的平方关系或或两边的和，一般选择余弦定理进行求解；在已知三角形给定的条件中，若给定的条件是一边与其对角以及另外一边，一般选择余弦定理求解三角形较为方便；求三角形的面积时，要选择一个角及其两条邻边，围绕这三个元素来进行计算.2.典型例题例1【2017课标3，文15】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，bc =3，则A =_________. 【答案】75°【解析】由题意：sin sin b c B C=，即sin 2sin 32b C B c ===，结合b c < 可得45B = ，则18075A B C =--=.例2【2016高考新课标1卷】ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （I ）求C ；（II）若c ABC =∆,求ABC 的周长． 【答案】（I ）C 3π=（II）5+【解析】（I ）由已知及正弦定理得,()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =, 即()2cosCsin sinC A+B =． 故2sin C cos C sin C =． 可得1cos C 2=,所以C 3π=． （II ）由已知,1sin C 22ab =．又C 3π=,所以6ab =． 由已知及余弦定理得,222cosC 7a b ab +-=．故2213a b +=,从而()225a b +=．所以C ∆AB 的周长为5【温馨提醒】解三角形问题，关键在于能利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理、余弦定理实现边角转化；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.【练一练趁热打铁】1. 【2017课标1，文11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B 【解析】2.【2016高考四川】在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =；（II ）若22265b c a bc +-=，求tan B . 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4. 【解析】（Ⅰ）根据正弦定理，可设sin a A =sin b B =sin c C=k (k >0)． 则a =k sin A ，b =k sin B ，c =k sin C ．代入cos Aa+cos Bb=sin Cc中，有cos sin Ak A +cossinBk B=sinsinCk C，变形可得sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B=sin(A+B)．在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sin C，所以sin A sin B=sin C．（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=65bc，根据余弦定理，有cos A=2222b c abc+-=35．所以sin A=45．由（Ⅰ），sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B，所以45sin B=45cos B+35sin B，故sintan4cosBBB==．解答题（12*5=60分）1．【2018届广东省江门市高三3月模拟（一模）】在△中，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）△的面积，求△的边的长．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）由得，所以，再由可得，从而可得．（Ⅱ）由和正弦定理得，根据面积可得，解得，然后根据余弦定理可得．试题解析：（Ⅰ）由得，，∴，∵，∴，∴，∴．（Ⅱ）设角、、所对边的长分别为、、由和正弦定理得，又，∴解方程组，得（负值舍去），在△中，由余弦定理得，∴．2．【2018届甘肃省高三第一次诊断性考试】中，三个内角的对边分别为，若，，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题中向量垂直得到，再由正弦定理得到，从而得到角B；（2）由余弦定理得到，因为，∴，得到，从而求得面积.解析：（Ⅰ）∵，∴ ，∴∴，∴，∴.（Ⅱ）根据余弦定理可知，∴，又因为，∴，∴，∴，则.3.设函数()sin sin 3f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合；（2）不画图，说明函数()y f x =的图像可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到.【答案】（1）最小值为x 的集合为22,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭；（2）详见解析.【解析】（1）()1sin sin sin sin cos cos sin sin cos 3332f x x x x x x x x x πππ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭3sin 226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 故当()262x k k Z πππ+=-+∈，即当()223x k k Z ππ=-+∈，函数()f x 取最小值，即()()min 1f x =-=此时，函数()f x 取最小值时x 的取值集合为22,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭； （2）解法一：先将函数sin y x =的图象向左平移6π个单位长度得到函数()sin 6g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，然后再将函数()sin 6g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象；解法二：先将函数sin y x =()h x x =的图象，然后再将函数()h x x =的图象向左平移6π个单位即可得到函数()6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象. 4.【2018届浙江省嵊州市高三第一学期期末】已知函数()2sin cos cos 3f x x x x π⎡⎤⎛⎫=⋅-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（1）求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）求()f x 的最大值与最小值.【答案】（1）1；（2；最小值0. 【解析】试题分析：（1）将x 6π=代入函数解析式()2sin cos cos 3f x x x x π⎡⎤⎛⎫=⋅-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用特殊角的三角函数求解即可；（2）利用两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式化简()262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求得52666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，结合正弦函数的图象，利用正弦函数的单调性可得()f x 的最大值与最小值.试题解析：（1）1cos 62π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 1sin 62π= 所以111216222f π⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()2sin cos cos 3f x x x x π⎡⎤⎛⎫=⋅-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦12sin cos cos 22x x x x ⎡⎤⎛⎫=⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦)3sin21cos22x x =-262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以52666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，. 又因为sin y z =在区间62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是递增，在区间526ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减.所以，当262x ππ-=，即3x π=时， ()f x 有最大值2； 当266x ππ-=-，即0x =时， ()f x 有最小值0.5.【2018届江西省赣州市寻乌中学高三上学期期末】已知函数()3(0)2f x sin x cos x ωωω=+>的周期为4.（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数()g x 的图象， ,P Q 分别为函数()g x 图象的最高点和最低点(如图），求OQP ∠的大小.【答案】(1) ()23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (2) 6OQP π∠=试题解析：（1）()3cos 2f x x x ωω=+1sin 22x x ωω⎫=+⎪⎪⎭sin cos cos sin 33x x ππωω⎫=+⎪⎭3x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ∵4,0T ω=>，∴242ππω==.∴()23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）将()f x 的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数()2g x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∵,P Q 分别为该图象的最高点和最低点，∴((,3,P Q .∴2,4,OP PQ OQ ===∴222cos 2OQ PQ OP OQP OQ QP +-∠==⋅∴6OQP π∠=.。

高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编理附详解Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形一、选择题1.【2018全国二卷6】在中，，，则 A ．BCD ．2.【2018全国二卷10】若在是减函数，则的最大值是A ．B ．C ．D ．3.【2018全国三卷4】若，则A ．B ．C ．D ．4．【2018全国三卷9】的内角的对边分别为，，，若的面积为， 则 A ．B ．C ．D ．5.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A. 1 B. 2 C. 36.【2018天津卷6】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A 在区间35[,]44ππ上单调递增 B 在区间3[,]4ππ上单调递减 C 在区间53[,]42ππ上单调递增 D 在区间3[,2]2ππ上单调递减 7．【2018浙江卷5】函数y=||2x sin2x 的图象可能是ABC △cos2C 1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π1sin 3α=cos2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π6A ．B ．C ．D ．二、填空题1.【2018全国一卷16】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_________． 2．【2018全国二卷15】已知，，则__________．3.【2018全国三卷15】函数在的零点个数为________．4.【2018北京卷11】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．5．【2018江苏卷7】已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ．6．【2018江苏卷13】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．7.【2018浙江卷13】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________． 三．解答题1.【2018全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，2.【2018北京卷15】在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=–17． （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）求AC 边上的高．3.【2018天津卷15】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-.（I ）求角B 的大小； （II ）设a=2，c=3，求b 和sin(2)A B -的值.4.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+= （1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．5.【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．6.【2018浙江卷18】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求c osβ的值．7.【2018上海卷18】设常数a R ∈，函数f x （）=x x a 2cos 22sin +（1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =（）ππ-［，］上的解.参考答案一、选择题 二、填空题1. 2-2.3. 34.235.π6- 6. 9 7.3721； 三．解答题 1.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin 5ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠== （2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯25=. 所以5BC =.2.解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cosB=–17，∴B ∈（π2，π），∴由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A，∴．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A=π3． （Ⅱ）在△ABC 中，∵sinC=sin （A+B ）11()72-+． 如图所示，在△ABC 中，∵sinC=h BC ，∴h=sin BC C ⋅=7，∴AC 边上的高为33．12-3.解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B =，可得sin sin b A a B =， 又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan 3B =．又因为(0π)B ∈，，可得B=π3．（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a=2，c=3，B=π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b=7．由πsin cos()6b A a B =-，可得3sin 7A =．因为a<c ，故cos 7A =．因此43sin 22sin cos A A A ==，21cos22cos 17A A =-=． 所以，sin(2)sin 2cos cos2sin AB A B A B -=-=431133327⨯-⨯=．4.解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，． （2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此． 因为，所以，因此，．5.解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH=10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD 的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP 的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK=KN=10． 令∠GOK=θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）． 当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈5cos()αβ+=-225sin()1cos ()αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k （sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2）． 设f （θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2），则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[来源:学§科§网]6.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=.（Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±.由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 7. 解：（1）11cos 22sin )(2+-+=x x a x f =12cos 2sin ++x x a ，1)2cos()2sin()(+-+-=-x x a x f 12cos 2sin ++-=x x a当)(x f 为偶函数时：)()(x f x f -=，则a a -=，解得0=a 。

2018年高考数学——三角函数解答1.(18北京理（15）（本小题13分）)在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．2.（18江苏16．（本小题满分14分））已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=． （1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．3.（18全国一理17．（12分））在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=o ，45A ∠=o ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .4.（18天津理（15）（本小题满分13分））在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-. （I ）求角B 的大小；学科*网（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.5.（18浙江18．（本题满分14分））已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．6.（18北京文（16）（本小题13分））已知函数2()sin cos f x x x x =+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值.参考答案：1.解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B =2431cos B -=． 由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A =43，∴sin A =3． ∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =31143()72⨯-+⨯=33． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=33337⨯=， ∴AC 边上的高为33．2.解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为5cos()αβ+=，所以225sin()1cos ()αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．3.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以2sin ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以223cos 1255ADB ∠=-=.（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯ 25=.所以5BC =.4.（Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B =π3． （Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a <c ，故cos A ．因此sin 22sin cos A A A =21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=-=1127-=5.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-， 所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-， 由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-.6.【解析】（Ⅰ）1cos 211π1()22cos 2sin(2)22262x f x x x x x -=+=-+=-+， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知π1()sin(2)62f x x =-+. 因为π[,]3x m ∈-，所以π5ππ2[,2]666x m -∈--. 要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32，即πsin(2)6x -在π[,]3m -上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3m ≥. 所以m 的最小值为π3.。

专题01三角函数与解三角形1．（2017·浙江卷）已知函数22sin cos cos ()()x x x f x x x =--∈R ．（1）求2()3f π的值． （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）2；（2）最小正周期为π，单调递增区间为2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ．()cos 22f x x x =-2sin(2)6x π=-+．所以()f x 的最小正周期是π．由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π≤+≤+π∈Z ， 解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数()ϕω+=x A y sin 的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即()ϕω+=x A y sin ，然后利用三角函数u A y sin =的性质求解．2．（2017·新课标Ⅰ卷理）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A.（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.【答案】（1）23；（2）3+（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-. 所以2π3B C +=， 故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=.故△ABC 的周长为3+【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.3．（2017·江苏卷）已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，取得最大值3；5π6x =时，取得最小值-【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，3所以3sin x x =．若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan x =． 又，所以5π6x =．4．若函数()()ππsin 0,0,22f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如下图所示. （1）求函数的解析式；（2）设π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且，求的值.【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）410+.【解析】（1）由题图得，，3π5π3π43124T =+=，解得，于是由2ππT ω==，得．∵π2π2sin 233f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴2ππ2π32k k ϕ+=+∈Z ,，即π2π6k k ϕ=-∈Z ,， 又ππ22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，∴π6ϕ=-， ∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．∴π4cos 265α⎛⎫-== ⎪⎝⎭． ∴ππsin 2sin 266αα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππsin 2cos cos 2sin 6666αα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3415252=⨯+⨯410+=5．已知向量()1,sin x =a ，（1）若⊥a b ，求tan2x 的值；5（2）令()f x =⋅a b ，把函数()f x 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿x 轴向左平移π12个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间. 【答案】（1）（2把函数()f x 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变）图象，再把所得图象沿x()g x ∴6．已知ABC △的三个内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，且()2cos cos cos B c A a C b +=. （1）证明：,,A B C 成等差数列；（2）若ABC △，求b 的最小值.【答案】（1）见解析；（2.【解析】（1）因为()2cos cos cos B c A a C b +=，所以由正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin B C A A C B +=，即()2cos sin sin B A C B +=. 在ABC △中，()sin sin A C B +=且sin 0B ≠， 所以1cos 2B =. 因为()0,πB ∈，又因为πA B C ++=，所以,,A B C 成等差数列.（2 所以6ac =.所以222222cos 6b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥=，当且仅当a c =时取等号.所以b .7．如图，在ABC △D 在边AB 上，,AD DC DE AC =⊥，E 为垂足.（1）若BCD △的面积为AB 的长；（2）若2ED =，求角A 的大小.7【答案】（1；（2）π4. 【解析】（1）∵BCD △的面积为∴23BD =.（2）∵DE =，∴sin 2sin DE CD AD A A===， 在BCD △中，由正弦定理可得sin sin BC CDBDC B=∠. ∵2BDC A ∠=∠，∴2sin22sin sin60A A =︒，∴cos 2A =.【名师点睛】此题主要考查了正弦定理、余弦定理、以及三角恒等变换中倍角公式在解三角形中的应用，属于中档题型，也是常考考点.在解决此类问题的过程中，常将所求角、边与已知的角、边转化集中到同一个三角形，再运用三角公式进行恒等变形及运算，以已知角为线索，寻找合适的正弦定理、余弦定理，从而解决问题.8．已知函数πππ()cos(2)2sin()cos()()344f x x x x x =-+--∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期及()f x 在区间π2π[,]上的值域；（2）在ABC △中，5AB =，ABC △的面积.【答案】（1）πT =（2）2或4.πsin(2)6x =-.)(x f ∴的最小正周期为2ππ2T ==；9∵π2π[,]123x ∈， ∴π7π2[0,]66x -∈， ∴max ππππ()()sin(2)sin 13362f x f ==⨯-==，min 2π2ππ7π1()()sin(2)sin 33662f x f ==⨯-==-, ∴()f x 在区间π2π[,]123（2π1sin(2)62A -=，即π6A =，由余弦定理得2725(0b b b =+-⇒--=，∴b =b =∴ABC △9．已知函数5()sin(2)2sin()cos()644f x x x x ππ3π=---+. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若[,]123x ππ∈，且()4()cos(4)3F x f x x λπ=---的最小值是32-，求实数λ的值. 【答案】（1）πT =，单调递增区间为[,],63k k k πππ-π+∈Z ；（2）12λ=.1cos 22cos 22x x x =-sin(2)6x π=-.∴22T π==π， 由222,262k x k k ππππ-≤-≤π+∈Z ，得,63k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， ∴函数()f x 的单调递增区间为[,],63k k k πππ-π+∈Z . （2）()4()cos(4)3F x f x x λπ=---24sin(2)[12sin (2)]66x x λππ=-----22sin (2)4sin(2)166x x λππ=----222[sin(2)]126x λλπ=----，∵[,]123x ππ∈， ∴0262x ππ≤-≤， ∴0sin(2)16x π≤-≤.①当0λ<时，当且仅当sin(2)06x π-=时，()f x 取得最小值1-，这与已知不相符；②当01λ≤≤时，当且仅当sin(2)6x λπ-=时，()f x 取得最小值212λ--，由已知得23122λ--=-，解得12λ=；11【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，二倍角公式，两角和与差的正、余弦公式，考查了转化思想与分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力.（1）求解关于三角函数的图象与性质的问题时，一定要将函数解析式化简为()sin()f x A x ωϕ=+（()cos()f x A x ωϕ=+）的形式，再根据正弦（余弦）函数的性质求解即可；（2）化简可得()2[sin(2)6F x x π=-22]12λλ---，可以利用换元法将此式变形为22()1y t λ=--22λ-，πsin(2)[0,1]6t x =-∈，然后利用对称轴t λ=与定义域[0,1]之间的关系进行讨论，即分0λ<、1λ>、01λ≤≤三种情况讨论求解即可.10．在海岛A 上有一座海拔1km 的山峰，山顶设有一个观察站P ，有一艘轮船按一固定方向作匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东15、俯角为30的B 处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西45、俯角为60的C 处.（1）求船的航行速度；（2）求船从B 到C 行驶过程中与观察站P 的最短距离.【答案】（1（2在ACB △中，154560CAB ∠=+=，∴由余弦定理得21cos603BC ==，（2）作AD BC ⊥于点,D 当船行驶到点D时，AD 最小，从而PD 最小，此时，3sin60AB AC AD BC⋅⋅=== 14PD ∴==， ∴ 船在行驶过程中与观察站P。

【名师精讲指南篇】 【高考真题再现】例1 【2015江苏高考】已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3【解析】12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++-． 例2 【2016江苏高考】定义在区间[0，3π]上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 . 【答案】7【考点】三角函数图象【名师点睛】求函数图象的交点个数，有两种方法：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解；二是数形结合，分别画出函数图象，数出交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其是要明确函数的增长幅度. 【结束】例3 【2017江苏高考】若π1tan(),46α-=则tan α= ．【答案】75【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．【热点深度剖析】1. 三角函数的性质及解三角形在高考的填空题和解答题中均有考查，涉及数形结合思想和等价转化思想，着重考查学生运算求解能力和推理论证能力. 三角函数的性质及解三角形在解答题中常和平面向量的知识结合考查.2.三角函数中涉及到的公式很多，在复习的过程中，一方面要对公式进行有意义的理解和记忆，另一方面要根据实际情况选择恰当的公式，根据问题的条件和结论多角度思考问题，从而选择恰当的方法解决问题.3.三角函数知识在高考中的总体难度中等，在复习过程中注意加强对同角三角函数的关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角公式以及正余弦定理的训练.4. 预计18年考查重点仍为同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角公式以及正余弦定理.【最新考纲解读】要求对所列知识的含义有最基本的认识，函数）、【重点知识整合】1. 任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 2．诱导公式，两角和与差公式，二倍角公式，配角公式. 3. 三角函数图像与性质 4. 正弦定理和余弦定理 【应试技巧点拨】1. ①给角求值问题，利用诱导公式找到给定角和常见特殊角的联系求出值；②对于给值求值的问题的结构特点是“齐次式”，求值时通常利用同角三角函数关系式，常数化为正弦和余弦的性质，再把正弦化为正切函数的形式.2. 求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而结合三角函数的性质求解．(2)将三角函数式化为关于sin x ，cos x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解.3. 三角函数图象的变换规则是：平移时“左加右减，上加下减”，伸缩的倍数是，求三角函数的最值，一般要把三角函数化为f (x )=Asin(ωx +φ)+B 的形式，有时还要注意ωx+φ的取值范围．4. 正弦定理、余弦定理都体现了三角形的边角关系，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用． 【考场经验分享】1.目标要求：三角题目一般不难；三角函数重点考查化简求值、图像变换、恒等变换；要重视与其它知识的综合，如平面向量.2.注意问题：①不可随意展开已知角，整体思想和等价转化是研究三角函数性质必备思想方法.首先将研究的对象化为形如sin()y A x B ωϕ=++，或c o s ()y A x B ωϕ=++或tan()y A x B ωϕ=++，再将x ωϕ+看做一个角，这样就等价转化为基本三角函数，以下套用基本三角函数相关性质即可. ②对于左右平移时，要记住相对x 轴而言，一定要在x 的基础上进行加减.3.经验分享：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。