2013年高考数学一轮复习 2.7 幂函数精品教学案(学生版)新人教版

专题07 二次函数与幂函数1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质 函数特征性质y ＝xy ＝x 2 y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域RR R[0，＋∞){x |x ∈R ， 且x ≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y |y ∈R ，且y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇非奇非偶奇2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n )． 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称高频考点一 幂函数的图象和性质例1、(1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12B ．1 C.32D ．2(2)若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1，2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2解析 (1)由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. (2)因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，m ≤－5－12或m ≥5－12，－1＜m ＜2，即5－12≤m <2. 答案 (1)C (2)D【方法规律】 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)α的正负：当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【变式探究】 (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )(2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn2－3n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2高频考点二 二次函数的图象与性质例2、已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数； (3)当a ＝－1时，求f (|x |)的单调区间．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]， ∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15， 故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．(3)当a ＝－1时，f (|x |)＝x 2－2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3＝（x ＋1）2＋2，x ≤0，x 2－2x ＋3＝（x －1）2＋2，x >0， 其图象如图所示，又∵x ∈[－4，6]，∴f (|x |)在区间[－4，－1)和[0，1)上为减函数，在区间[－1，0)和[1，6]上为增函数．【方法规律】解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．【变式探究】 (1)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________．解析 (1)由A ，C ，D 知，f (0)＝c <0，从而由abc >0，所以ab <0，所以对称轴x ＝－b2a>0，知A ，C 错误，D 满足要求；由B 知f (0)＝c >0，所以ab >0，所以x ＝－b2a <0，B 错误．(2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称， ∴b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2， 又f (x )的值域为(－∞，4]， ∴2a 2＝4， 故f (x )＝－2x 2＋4. 答案 (1)D (2)－2x 2＋4 高频考点三 二次函数的应用例3、 (2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x－3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m【方法规律】(1)对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若是二次函数，就隐含着a ≠0，当题目未说明是二次函数时，就要分a ＝0和a ≠0两种情况讨论．(2)由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a ≥f (x )⇔a ≥f (x ) max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .(3)涉及二次函数的零点常与判别式有关，常借助函数的图象的直观性实施数形转化． 【变式探究】(1)(已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，如果对x ∈[－3，1]，f (x )＞0恒成立，则实数a 的取值范围为________．(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点，则m 的取值范围是________．解析 (1)因为f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4， 对称轴x ＝－(a －2)，对x ∈[－3，1]，f (x )＞0恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3，1]的位置关系得：⎩⎪⎨⎪⎧－（a －2）＜－3，f （－3）＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧－3≤－（a －2）≤1，Δ＜0， 或⎩⎪⎨⎪⎧－（a －2）＞1，f （1）＞0，解得a ∈∅或1≤a ＜4或－12＜a ＜1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4.(2)函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点可化为函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m 恰有4个交点，作函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象如图所示，故m 的取值范围是(－1，0)．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4 (2)(－1，0) 高频考点四、分类讨论思想在二次函数最值中的应用 例4、已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值． 解 (1)当a ＝0时，f(x)＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f(x)min＝f(1)＝－2.[2分](2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a ≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，∴f(x)在[0，1a ]上递减，在[1a，1]上递增． ∴f(x)m in ＝f(1a )＝1a －2a ＝－1a.②当1a >1，即0<a<1时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f(x)在[0,1]上递减．∴f(x)min＝f(1)＝a －2.[9分](3)当a<0时，f(x)＝ax2－2x 的图象的开口方向向下， 且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f(x)＝ax2－2x 在[0,1]上递减． ∴f(x)min＝f(1)＝a －2.[11分] 综上所述，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2， a<1，－1a ，a≥1.【方法与技巧】 1．二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便． 2．研究二次函数的性质要注意： (1)结合图象分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论． 3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．【失误与防范】1．对于函数y ＝ax2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a ＝0和a≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．1.【2016高考新课标3理数】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．1．（2014·全国卷）若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．【答案】(－∞，2]2．（2014·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D 【答案】D【解析】只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选D.3．（2013·安徽卷）“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|，若a＝0，则f(x)＝|x|，此时f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；若a<0，则二次函数y＝ax2－x的对称轴x＝12a<0，且x＝0时y＝0，此时y＝ax2－x在区间(0，＋∞)上单调递减且y<0恒成立，故f(x)＝|ax2－x|在区间(0，＋∞)上单调递增，故a≤0时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是充分的；反之若a>0，则二次函数y＝ax2－x的对称轴x＝12a >0，且在区间0，12a上y<0，此时f(x)＝|ax2－x|在区间0，1 2a 上单调递增，在区间12a，1a上单调递减，故函数f(x)不可能在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是必要的．4．（2013·湖南卷）函数f(x)＝2ln x的图像与函数g(x)＝x2－4x＋5的图像的交点个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】法一：作出函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5的图像如图：可知，其交点个数为2，选B.法二：也可以采用数值法：x 1 2 4f(x)＝2ln x 0 2ln 2＝ln 4>1 ln 42<5g(x)＝x2－4x＋5 2 1 5可知它们有2个交点，选B.5．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )A．x0∈R，f(x0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f(x)的极值点，则f′(x 0)＝0 【答案】C【解析】x→－∞ 时，f(x)<0 ，x→＋∞ 时，f(x)>0，f(x) 连续，x 0∈R ，f(x 0)＝0，A 正确；通过平移变换，函数可以化为f(x)＝x 3＋c ，从而函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形，B 正确； 若x 0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x 1 ，则f (x)在区间(x 1 ，x 0)单调递减．C 错误．D 正确．故答案为C.6．（2013·北京卷）函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f(x)＝( )A ．ex ＋1B ．ex －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1【答案】D1．已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y ＝x α的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为( )A ．1，3B ．－1，1C ．－1，3D ．－1，1，3解析 因为函数y ＝x α为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y ＝x －1的值域为{y |y ≠0}，函数y ＝x ，y ＝x 3的值域都为R .所以符合要求的α的值为1，3.答案 A2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝0解析 因为f (0)＝f (4)>f (1)，所以函数图象应开口向上，即a >0，且其对称轴为x ＝2，即－b2a＝2，所以4a ＋b ＝0. 答案 A3．在同一坐标系内，函数y ＝x a(a ≠0)和y ＝ax ＋1a的图象可能是( )解析 若a <0，由y ＝x a 的图象知排除C ，D 选项，由y ＝ax ＋1a 的图象知应选B ；若a >0，y ＝x a 的图象知排除A ，B 选项，但y ＝ax ＋1a的图象均不适合，综上选B. 答案 B4．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f （x ）x 在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数 解析 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋a 在(－∞，1)上有最小值，且f (x )关于x ＝a 对称，∴a <1，则g (x )＝x ＋a x－2a (x >1)． 若a ≤0，则g (x )在(1，＋∞)上是增函数，若0<a <1，则g (x )在(a ，＋∞)上是增函数，∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数，综上可得g (x )＝x ＋a x－2a 在(1，＋∞)上是增函数．答案 D5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)6．函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值( ) A ．恒大于0 B ．恒小于0 C ．等于0 D ．无法判断 解析 依题意，幂函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，4m 9－m 5－1>0，解得m ＝2，则f (x )＝x 2 015. ∴函数f (x )＝x 2 015在R 上是奇函数，且为增函数．由a ＋b >0，得a >－b ，∴f (a )>f (－b )，则f (a )＋f (b )>0.答案 A7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是______．解析 作出函数y ＝f (x )的图象如图．则当0<k <1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根．答案 (0，1)8．已知P ＝2－32，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________． 解析 P ＝2－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且22>12>25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223>⎝ ⎛⎭⎪⎫123>⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P >R >Q .答案 P >R >Q9．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．10．已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．解析 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.∴m －n 的最小值是1.答案 111．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N ＋)的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解 幂函数f (x )的图象经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1. ∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2.又∵m ∈N ＋，∴m ＝1.∴f (x )＝x 12， 则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 12．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2，3]，对称轴x ＝－32∈[－2，3]， ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知，a ＝－13或－1. 13．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a＝－1， 解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x >0，－（x ＋1）2，x <0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.。

幂函数教学目标： 知识与技能 通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．教学重点：重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 教学程序与环节设计：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．下面我们举例学习这类函数的一些性质． 作出下列函数的图象：利用所学知识和方法尝试作出五个具体幂函数的图象，观察所图象，体会幂函数的变化规律．（1）x y =；（2）21x y =；（3）2x y =；（4）1-=x y ；（5）3x y =．问题引入．解] ○1 列表（略） ○2 图象 师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性． 师生共同分析，强调画图象易犯的错误．材料二：幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 例1、求下列函数的定义域；()()()()()1133212212345y xy xy xy x y x--=====例2、比较下列两个代数值的大小：()()()()33 1.5 1.55522 1.2 1.23311.5,1.720.7,0.632.2,1.840.15,0.17----[例3] 讨论函数25y x =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．练习、1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1）433.2，434.2； （2）5631.0，5635.0；（3）23)2(-，23)3(-；（4）211.1-，219.0-．2．作出函数23x y =的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明． 3．作出函数2-=x y 和函数2)3(--=x y 的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．4．用图象法解方程：（1）1-=x x ； （2）323-=x x函数αx y =在第一象限内的图象，已1．如图所示，曲线是幂知α分别取2,21,1,1-四个值，则相应图象依次为： ．2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？（1）3-=x y 和31-=xy ；（2）45x y =和54x y =．。

人教版高中必修一《幂函数》教案一、教学目标1.了解幂函数的定义和特点；2.学习叠加思想，并掌握简单的幂函数叠加方法；3.能够解决一些实际问题。

二、教学重难点1.幂函数的定义及其特点；2.幂函数的叠加思想；3.幂函数的绘图方法；三、教学过程1.引入幂函数的定义：$y=x^p(p\\in \\mathbb{R})$让学生发现x的取值范围对函数图象的影响，并对函数图象进行描述。

2. 概念讲解1.首先讲解幂函数的定义，指出它是一种基本函数；2.介绍幂函数的性质，让学生知道幂函数的图像不可能横切x轴；3.引入幂函数的叠加思想，让学生知道可以将不同的函数图像叠加在一起。

3. 具体例子讲解1.书写公式，说明函数图象的性质；2.给出幂函数的图象，描出函数的图象；3.确定函数图象的性质，让学生明白函数图象的变化。

4. 例题解析1.给出实际问题，提供数据；2.根据实际问题列出函数式，确定函数图象；3.通过实际问题，解释函数图象的意义。

5. 分组讨论1.将学生分成若干小组，每组做一道练习题；2.每组向其他组展示自己的想法、方法及结果；3.学生之间相互交流，共同探讨出最佳答案。

四、教学方法1.板书法：结合具体例子进行讲解；2.案例法：让学生通过实际问题练习解题思路；3.分组讨论法：提高学生探究问题、思考问题和解决问题的能力。

五、教学帮助1.帮助学生理解定义和性质；2.尤其帮助学生掌握幂函数的叠加思想，找出函数图象的变化规律。

六、课堂反馈1.倾听学生提出的疑问和问题；2.鼓励并指导学生提出自己的解决方案；3.搜集学生反馈，及时调整教学进度和方法。

七、课堂作业1.完成教师布置的作业；2.阅读教材给出的例题；3.自己找出一些幂函数的例子进行探究。

幂函数一、知识梳理：（阅读教材必修1第77页—第79页）1、幂函数的定义和性质（1）、一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数。

（2）、幂函数的定义依据的取值的不同而不同，在（0，上都有意义，所以对于幂函数性质的讨论，先讨论幂函数在（0，上的性质，在根据函数的奇偶性（如果函数具有奇偶性），讨论其在（0上的性质即可。

（3）、几个常见的幂函数，=，2，3，-1，-2, ，它们的图象如图：y= y= y= y=定义域奇偶性在第一象限增减性图象过定点二、题型探究[探究一]：应用幂函数的单调性比较大小及解不等式例1：（1）已知，试比较， ,的大小。

例2：比较与的大小例3：与，则的取值范围是。

[探究二]：综合应用幂函数的图象及性质例4：已知幂函数 (p)在（0，）上是增函数，且在定义域上是偶函数，求P 的值，并写出相应的函数解析式。

三、 方法提升幂函数问题主要考虑到与y= （）,y= （）, y= （）时的图象进行比较分析即可。

四、 反思感悟五、 课时作业幂函数单元测试题一.选择题(36分)1.下列函数是幂函数的是( )(A) y=2x (B) y=2x -1 (C) y=(x+1)2 (D) y=32x2.下列说法正确的是( )(A) y=x 4是幂函数,也是偶函数; (B) y=-x 3是幂函数, 也是减函数;(C) y=x 是增函数, 也是偶函数; (D) y=x 0不是偶函数.3. 下列幂函数中,定义域为R 的是( )(A) y=x -2(B) y=21x (C) y=41x (D) y=21x4.若A=2,B=33,则A 、B 的大小关系是( )(A) A>B (B) A<B (C) A 2>B 3(D) 不确定 5.下列是y=32x 的图象的是( )(A) (B) (C) (D) 6.y=x 2与y=2x的图象的交点个数是（ ）（A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 二．填空题（21分）7．y=(m 2-2m+2)x 2m+1是一个幂函数，则m= . 8. y=x 的单调增区间为 .y9.在函数①y=x 3②y=x 2③y=x -1④y=x 中，定义域和值域相同的是 .三．解答题（43分）10．证明：f(x)=x 在定义域内是增函数。

高中数学幂函数教课设计新人教版必修1教课目的：1．经过实例，认识幂函数的观点．12．详细联合函数y x, y x2 , y x3 , y x 2 , y x 1的图象，认识幂函数的变化状况．3．在归纳五个幂函数的基天性质时，应注意指引学生类比前方研究一般的函数、指数函数、对函数等过程中的思想方法，对研究这些函数的思路作出指导．教课要点：从五个详细的幂函数中认识幂函数的一些性质．教课难点：画五个幂函数的图象并由图象归纳其性质是教课中可能碰到的困难．一、新课导入先看五个详细的问题：（ 1）假如张红购置了每千克 1 元的蔬菜 w千克，那么她需要支付p=w 元，这里 p 是 w 的函数；（ 2）假如正方形的边长为a，那么正方形的面积S a 2，这里S是 a 的函数；（ 3）假如立方体的边长为a，求立方体的体积V a 3，这里V是a的函数；1（ 4）假如一个正方形场所的面积为S ，那么这个正方形的边长 a S 2，这里 a 是S的函数；（ 5）假如某人t s 内骑车进行了1km，那么他骑车的均匀速度v t 1km/s，这里 v 是 t 的函数．议论：以上五个问题中的函数拥有什么共同特点？它们拥有的共同特点：幂的底数是自变量，指数是常数．从上述函数中，我们察看到，它们都是形如二、师生互动，新课解说：1、幂函数的定义y x的函数．一般地，函数 y x (a R) 叫做幂函数（power function ），此中 x 是自变量，是常数．对于幂函数 y x ，我们只议论1,2,3, 1, 1时的情况．22、幂函数的图象1在同向来角坐标系内作出幂函数y x ；y x 2； y x2； y x 1； y x 3的图象．察看以上函数的图象的特点，归纳出幂函数的性质．y x y x 2 y x 31y x 1 y x 2定义域R R R [ 0, ) { x | x 0}值域R [ 0, ) R [ 0, ) { y | y 0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单一性增增增公共点（1,1 ）3、幂函数的性质1）．五个详细的幂函数的性质1x 2 x3 x 1（ 1）函数y x ；y x 2； y ； y 和 y 的图象都经过点（1， 1）；（ 2）函数y x ；y x3 ； y x 1 是奇函数，函数y x 2 是偶函数；1（ 3）在区间(0, ) 上，函数y x ，y x2， y x3和 y x2是增函数，函数y x 1是减函数；（ 4）在第一象限内，函数y x 1 的图象向上与y 轴无穷凑近，向右与x 轴无穷凑近．2）．一般的幂函数的性质（ 1）全部的幂函数y x 在（ 0， +∞）都有定义，而且图象都过点（1， 1）；（ 2）0时，幂函数的图象经过原点，而且在区间[ 0, ) 上是增函数；>1 时，图象向上，凑近y 轴；0< <1，图景向上，凑近x 轴；=1 是条直线。

第7课时 二次函数与幂函数1．了解幂函数的概念． 2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况． 3．掌握二次函数的概念、图象特征．4．掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值．5．掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的密切关系，提高解综合问题的能力．『梳理自测』一、幂函数1．下列函数中是幂函数的是( ) A ．y ＝2x 2 B ．y ＝1x 2C ．y ＝x 2＋xD ．y ＝－1x2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13『答案』1.B 2.A◆以上题目主要考查了以下内容：(1)形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 为自变量，α为常数． (2)五种幂函数的性质二、二次函数1．一般式：f (x )＝________________________________． 2．顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h ，k )，则其解析式为： f (x )＝______________________．3．两根式：若相应一元二次方程的两根为x 1，x 2，则其解析式为f (x )＝____________________________．4．函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈『－1，1』，则y 的最小值是( ) A ．－32 B ．3C ．－1D ．不存在5．抛物线y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________．6．若函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈『a ，b 』)的图象关于直线x ＝1对称，则f (x )max ＝________．『答案』1.ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0) 2.a (x －h )2＋k 3.a (x －x 1)(x －x 2) 4.C 5.9或25 6.30 ◆以上题目主要考查了以下内容： 二次函数的图象和性质『指点迷津』1．研究二次函数的性质要注意二次项系数a的正负，及对称轴的位置，两点不应忽视．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．3．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y＝x＋1，y＝x2－2x等都不是幂函数．考向一 幂函数图象性质及应用(1)(2014·山西太原模拟)当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________．(2)(2014·江西临川模拟)已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象与x 轴、y 轴无交点且关于原点对称，则m ＝________．『审题视点』 利用幂函数图象结合指数的奇偶性解答． 『典例精讲』 (1)分别作出f (x )，g (x )，h (x )的图象，如图所示． 可知h (x )＞g (x )＞f (x )．(2)由题意知m 2－2m －3为奇数且m 2－2m －3＜0，由m 2－2m －3＜0得－1＜m ＜3，又m ∈N *，故m ＝1，2.当m ＝1时，m 2－2m －3＝1－2－3＝－4(舍去)． 当m ＝2时，m 2－2m －3＝22－2×2－3＝－3，∴m ＝2. 『答案』 (1)h (x )＞g (x )＞f (x ) (2)2『类题通法』 (1)在(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸； 0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸．1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )『解析』选C.设幂函数y ＝x α，∴2＝4α，∴α＝12，∴y ＝x 12，图象为C.考向二 求二次函数解析式已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1. (1)求f (x )解析式；(2)若g (x )与f (x )图象关于原点对称，求g (x )解析式．『审题视点』 对于(1)，可设二次函数的零点式，再结合最值求出系数a 即得；对于(2)，可通过图象上点的对应关系求g (x )解析式．『典例精讲』 (1)由于f (x )有两个零点0和－2， 所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ， 由于f (x )有最小值－1，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0－a ＝－1，解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x .(2)设点P (x ，y )是函数g (x )图象上任一点，它关于原点对称的点P ′(－x ，－y )必在f (x )图象上，所以－y ＝(－x )2＋2(－x )， 即－y ＝x 2－2x ， y ＝－x 2＋2x ， 故g (x )＝－x 2＋2x .『类题通法』 求二次函数解析式的方法及思路求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：2．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间『－1，1』上，不等式f (x )＞2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 『解析』(1)由f (0)＝1得，c ＝1. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1. 因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )＞2x ＋m 等价于x 2－x ＋1＞2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m ＞0，要使此不等式在『－1，1』上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在『－1，1』上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在『－1，1』上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1＞0，得m ＜－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．考向三 二次函数图象性质及应用函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间『t ，t ＋1』(t ∈R)上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式； (2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．『审题视点』 分类讨论t 的范围分别确定g (t )解析式． 『典例精讲』 (1)f (x )＝(x －1)2＋1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1.当t ＜1＜t ＋1，即0＜t ＜1时，g (t )＝f (1)＝1， 当t ≥1时，g (t )＝f (t )＝(t －1)2＋1， 综上可知g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1≤0，t ≤0，1，0＜t ＜1，t 2－2t ＋2，t ≥1.(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0』上递减，在『1，＋∞)上递增，因此g (t )在『0，1』上取到最小值1.『类题通法』 (1)二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．(2)求二次函数最值的类型及解法①二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；②常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得．(3)二次函数单调性问题的解法结合二次函数图象的升、降对对称轴进行分析讨论求解．3．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈『－4，6』． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间『－4，6』上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．『解析』(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈『－4，6』， ∴f (x )在『－4，2』上单调递减，在『2，6』上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在『－4，6』上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈『－6，6』，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]x 2＋2x ＋3，x ∈（0，6]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0，6』， 单调递减区间是『－6，0』．二次函数闭区间上的最值讨论(2014·安阳高三模拟)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．『审题视点』 本题针对字母a 进行讨论，a ＝0、a ＞0，a ＜0及抛物线对称轴与区间『0，1』的位置关系．『思维流程』a ＝0，f (x )是一次函数．开口向上的抛物线的对称轴x ＝1a ∈『0，1』，x ＝1a时，取最小值． 开口向上时，对称轴x ＝1a ∈(1，＋∞)，x ＝1时，取最小值．开口向下时，对称轴x ＝1a∈(－∞，0)，x ＝1时，取最小值．总结答案．『规范解答』 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在『0，1』上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.2分(2)当a ＞0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在『0，1』内，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增．∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a.6分②当1a ＞1，即0＜a ＜1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在『0，1』的右侧，∴f (x )在『0，1』上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.8分(3)当a ＜0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a ＜0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在『0，1』上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.10分综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a ＜1，－1a，a ≥1.12分『规范建议』 (1)函数f (x )＝ax 2－2x 中，a ∈R ，并不一定是二次函数，故本题讨论中易丢失a ＝0，a ＜0，及(2)中1a＞1的情况．(2)分清本题讨论的层次 第一层：函数类型a ＝0和a ≠0. 第二层：开口方向a ＞0和a ＜0.第三层：对称轴x ＝1a与区间『0，1』的位置关系，左、内、右．1．(2013·高考广东卷)设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R}，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R}，则M ∪N ＝( )A ．{0}B ．{0，2}C ．{－2，0}D ．{－2，0，2}『解析』选D.先确定两个集合的元素，再进行并集运算．集合M ＝{0，－2}，N ＝{0，2}，故M ∪N ＝{－2，0，2}，选D.2．(2013·高考浙江卷)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)＞f (1)，则( ) A ．a ＞0，4a ＋b ＝0 B ．a ＜0，4a ＋b ＝0 C ．a ＞0，2a ＋b ＝0 D ．a ＜0，2a ＋b ＝0『解析』选A.根据条件可确定函数图象的开口方向和对称轴，化简即得．因为f (0)＝f (4)>f (1)，所以函数图象应开口向上，即a >0，且其对称轴为x ＝2，即－b2a ＝2，所以4a ＋b＝0，故选A.3．(2013·高考重庆卷)（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92C ．3 D.322『解析』选B.利用配方法结合函数的定义域求解． （3－a ）（a ＋6）＝－a 2－3a ＋18 ＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋3a ＋94＋814 ＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋814， 由于－6≤a ≤3，∴当a ＝－32时，（3－a ）（a ＋6）有最大值92.4．(2012·高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为『0，＋∞)，若关于x 不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．『解析』f (x )＝(x ＋a 2)2＋b －a 24，∵值域为『0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝(x ＋a2)2，由f (x )＜c ，(x ＋a2)2＜c ，－a 2－c ＜x ＜－a2＋c ， ∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m －a2＋c ＝m ＋6，①②∴②－①得2c＝6，c＝9.『答案』9。

2.7 幂函数考纲要求1．了解幂函数的概念．2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，12y x ＝，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况．1．幂函数的定义形如______(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是______，α为____． 2．五种幂函数的图象 3．五种幂函数的性质1．下列函数中是幂函数的是( )．①y ＝1x2；②y ＝ax m(a ，m 为非零常数，且a ≠1)；③13y x ＝＋x 2；④y ＝x n；⑤y ＝(x －1)3；⑥y ＝2x 2；⑦y ＝x 2＋1.A ．①②③④B ．①④C ．②④⑤⑥D ．②④⑦2．幂函数f (x )＝x α(α是有理数)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则f (x )的一个单调递减区间是( )．A ．[0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，0)3．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝12x ，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是__________．4．已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的定义域为__________，奇偶性为__________，单调减区间为__________．一、幂函数定义的应用【例1】已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，求当m 为何值时，f (x )：(1)是幂函数；(2)在(1)的条件下是(0，＋∞)上的增函数；(3)是正比例函数；(4)是反比例函数．方法提炼1．判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)幂系数为1.2．若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征．请做演练巩固提升4二、幂函数的图象与性质【例2－1】已知幂函数f (x )＝21()m m x -+(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．【例2－2】已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)27325t t x +-(t ∈Z )是偶函数，求实数t 的值． 方法提炼1．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α的正负：α＞0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸．2．幂函数的图象不经过第四象限，幂函数的图象最多只能经过两个象限．请做演练巩固提升2忽视y ＝x 0这一特殊情况而致误 【典例】已知幂函数223m m y x --＝(m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，则m 的值为__________，幂函数的解析式为__________．解析：先根据幂函数的图象与x 轴、y 轴都无公共点这一条件构建关于m 的不等式求出m 的取值范围，再根据幂函数图象关于y 轴对称，确定出m 的具体值，从而得到幂函数的解析式．因为幂函数223m m y x --＝ (m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无公共点，所以m 2－2m －3≤0，解得－1≤m ≤3. 又m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.而223m m y x --＝的图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3为偶数．当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，为偶数；当m ＝0时，m 2－2m －3＝－3，为奇数；当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，为偶数；当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，为奇数；当m ＝3时，m 2－2m －3＝0，为偶数． 综上m ＝－1,1,3.故幂函数的解析式为y ＝x －4或y ＝1(x ≠0)．答案：－1,1,3 y ＝x －4或y ＝1(x ≠0) 答题指导：1．在解答本题时，有两大误区：(1)本题易漏掉m 2－2m －3＝0的情况，此时y ＝x 0(x ≠0)与x 轴、y 轴也无交点，且关于y 轴对称．(2)对函数y ＝1(x ≠0)忽视了注明“x ≠0”而失误．2．利用幂函数的图象与性质时，还有以下几个误区，在备考中要高度关注： (1)画的图象太粗糙而致误；(2)忽视函数的定义域，产生增根；(3)将幂函数的单调性记混，造成结论错误．1．设a ＝log 32，b ＝ln 2，125c -=，则( )． A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a2．如图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )． A ．①y ＝13x ，②y ＝x 2，③y ＝12x ，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝12x ，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝12x ，④y ＝x －1D ．①y ＝13x ，②y ＝12x ，③y ＝x 2，④y ＝x －13．下图中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )．A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－124．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝__________.5．设f (x )是定义在R 上以3为最小正周期的周期函数，当－1≤x ＜2时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18，求函数在[3k －1,3k ＋2)(k ∈Z )上的表达式f (x )．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．y ＝x α自变量 常数 3．R R R [0，＋∞) {x |x ∈R ，且x ≠0} R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R ，且y ≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 增 x ∈[0，＋∞)时，增 x ∈(－∞，0)时，减 增 增 x ∈(0，＋∞)时，减 x ∈(－∞，0)时，减 (1,1)基础自测1．B 解析：根据幂函数的定义，形式上符合y ＝x α(α∈R )的函数才是幂函数，于是y ＝1x2＝x －2，y ＝x n是幂函数，其余都不是．2．B 解析：∵图象过⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则14＝2α， ∴α＝－2.∴f (x )＝x －2.由y ＝x －2图象可知f (x )的单调减区间是(0，＋∞)．3．h (x )＞g (x )＞f (x ) 解析：分别作出f (x )，g (x )，h (x )在第一象限内的图象，如图所示．可知h (x )＞g (x )＞f (x )．4．(－∞，0)∪(0，＋∞) 奇函数 (－∞，0)和(0，＋∞) 解析：设f (x )＝x α(α∈R )，则⎝ ⎛⎭⎪⎫33α＝33，即3223=3α-.∴－α2＝32，得α＝－3.∴f (x )＝x －3＝1x3.∴f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且f (x )为奇函数，单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． 考点探究突破【例1】 解：(1)∵f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1.(2)当m ＝－1时，f (x )＝x 2，在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝2时，f (x )＝x －13，在(0，＋∞)上不是增函数，故不符合题意． (3)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－45，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(4)若f (x )是反比例函数， 则－5m －3＝－1，即m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25.【例2－1】 解：(1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m 2＋m 为偶数． ∴函数f (x )＝21()m m x -+(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)∵函数经过点(2，2)， ∴2＝21()2m m -+，即211()222m m -+=，∴m 2＋m ＝2， 解得m ＝1或m ＝－2.又∵m ∈N *，∴m ＝1，f (x )＝12x ， 又∵f (2－a )＞f (a －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a ＜32.故m 的值为1，满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围为1≤a ＜32.【例2－2】 解：∵f (x )是幂函数，t ∈Z ， ∴t 3－t ＋1＝1.∴t ＝－1,1或0. 又∵函数f (x )是偶函数，∴7＋3t －2t 2是偶数． ∴t ＝1或t ＝－1. 演练巩固提升1．C 解析：∵12＜log 32＝ln 2ln 3＜ln 2，而c ＝5－12＜12，∴c ＜a ＜b .2．B 解析：可以根据图象对应寻求函数，故应选B. 3．B 4．32解析：由题意可知k ＝1， ∵22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12. 故k ＋α＝32.5．解：因为当－1≤x ＜2时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18， 令y ＝f (x )＝x α，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝18，所以α＝3，即f (x )＝x 3.又因为f (x )是定义在R 上以3为最小正周期的周期函数， 所以当x ∈[3k －1,3k ＋2)(k ∈Z )时，x －3k ∈[－1,2)．所以f (x )＝f (x －3k )＝(x －3k )3，即函数在[3k －1,3k ＋2)(k ∈Z )上的表达式为f (x )＝(x －3k )3.。

高中数学幂函数的教案
一、教学目标：
1. 理解幂函数的基本概念和特点；
2. 掌握幂函数的图像特征和性质；
3. 能够解决幂函数相关的问题。

二、教学重点：
1. 幂函数的定义和基本特点；
2. 幂函数的图像性质。

三、教学难点：
1. 幂函数的特殊情况的解决方法；
2. 幂函数的应用问题的解决。

四、教学过程：
1. 导入：通过实际生活中的例子引入幂函数的概念，引发学生的兴趣。

2. 概念讲解：介绍幂函数的定义和基本特点，解释幂函数的图像特征和性质。

3. 实例演练：通过案例分析，让学生运用所学知识解决幂函数相关的问题。

4. 拓展应用：引导学生探讨幂函数在实际问题中的应用，开拓思维。

五、课堂讨论：组织学生讨论幂函数的特殊情况和解决方法，促进学生之间的交流和思考。

六、练习测试：布置与幂函数相关的习题，检验学生对知识的掌握程度。

七、总结反思：引导学生总结本节课的重点知识，反思学习过程中的问题和感悟。

八、课后复习：提醒学生及时复习幂函数相关知识，完成作业，并准备下节课内容。

九、教学手段：采用多媒体教学、案例分析、讨论互动等方式，激发学生学习兴趣。

十、教学评估：根据学生的学习情况和表现，及时调整教学策略，确保教学效果。

十一、教学延伸：鼓励学生主动学习，拓展幂函数相关知识，提高数学思维能力。

以上是高中数学幂函数的教案范本，仅供参考。

祝教学顺利！。

2013版高考数学一轮复习精品学案：第二章函数、导数及其应用2.7幂函数【高考新动向】一、考纲点击（1）了解幂函数的概念。

（2）结合幂函数y=x，y=x2，y=x3，1yx=，12y x=的图象，了解它们的变化情况。

二、热点提示（1）高考主要考查幂函数的概念、图象与性质，单独考查的频率较低.（2）常与函数的性质及二次函数、指数函数、对数函数等知识交汇命题.（3）题型多以选择题、填空题的形式出现，属低中档题.【考纲全景透析】1、幂函数的定义形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

2、五种幂函数的图象比较注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，12y x=，y=x-1方法：可画出x=x0；当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2，y=x，12y x=，y=x-1；当0<x0<1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x-1，12y x=，y=x，y=x2，y=x3。

3、幂函数的性质比较提示：（1）由于在第四象限x>0，又因为此时0x >因此幂函数图象上的点不会在第四象限； （2）由函数的定义可知，幂函数的图象最多出现在两个象限内。

【热点难点全析】一、幂函数定义的应用 1、相关链接（1）判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：①指数为常数；②底数为自变量;③幂系数为1.（2）若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征. （3）几个具体函数的定义 ①正比例函数(0)y kx k =≠； ②反比例函数(0,0)ky k x x=≠≠； ③一次函数(0)y kx b k =+≠； ④二次函数2(0)y ax bx c a =++≠； ⑤幂函数y x α=（R α∈） 2、例题解析〖例1〗已知函数f(x)=(m 2-m-1)x -5m-3,m 为何值时，f(x)：(1)是幂函数；(2)是幂函数，且是(0，+∞)上的增函数； (3)是正比例函数； (4)是反比例函数.【方法诠释】利用幂函数必须满足的三个特征，构建关于m 的式子求解(1)(2)；利用正比例函数、反比例函数的定义，构建关于m 的方程，求解(3)(4).解析：(1)∵f(x)是幂函数，故m 2-m-1=1,即m 2-m-2=0, 解得m=2或m=-1.(2)若f(x)是幂函数，且又是(0,+∞)上的增函数，则,⎧--=⎨--⎩2m m 115m 30＞∴m=-1. (3)若f(x)是正比例函数， 则-5m-3=1,解得.=-4m 5此时m 2-m-1≠0,故.=-4m 5(4)若f(x)是反比例函数，则-5m-3=-1,则=-2m 5，此时m 2-m-1≠0,故.=-2m 5〖例2〗已知y=(m 2+2m-2)·211m x -+(2n-3)是幂函数，求m 、n 的值.思路解析：本题是求实数m 、n 的值，由于已知幂函数的解析式，因此在解题方法上可从幂函数的定义入手，利用方程思想解决.解答：由题意得：2222110230m m m n ⎧+-=⎪-≠⎨⎪-=⎩，解得332m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以3m =-，32n =。

一、教学目标1．了解幂函数的概念，会画出幂函数2132,1,,,x y xy x y x y x y =====的图象，根据上述幂函数的图象的变化情况，了解幂指数对函数图象的影响；2．了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式的值的大小； 3．进一步体会数形结合的思想． 二、基础梳理 热身训练1．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,2,1,21,1a ，则使函数a x y =为奇函数且定义域为R 的所有a 的值为______.（答案：1,3） 【教学建议】本题是2007年山东卷（理）的改编题，主要是帮助学生复习、理解幂函数的概念，以及巩固函数定义域和奇偶性的相关知识点.教学时，可先简单回顾这5种幂函数的图象，然后引导学生观察图象可知，当1=a 或3时，函数ax y =为奇函数且定义域为R .2．下列命题中正确的有_________.（参考答案：②⑤）①幂函数的图象都经过点（1,1）和点（0,0）；②幂函数的图象不可能在第四象限； ③当0=n 时，函数nx y =的图象是一条直线；④幂函数nx y =，当0>n 时是增函数； ⑤幂函数nx y =，当0<n 时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小. 【教学建议】本题主要是复习、巩固幂函数的图象。

通过该题，可以帮助学生理解幂函数图象的简单性质。

教学时可这样设计：在上面第1题的基础上，结合图象，由幂函数的性质知，①和④错误，②和⑤正确.又当0=n 时，函数nx y =中0≠x ，故其图象是一条去掉点（0,1）的直线，故③错误. 三、诊断练习1．教学处理：本课内容难度不大，课前要求学生先预习，然后抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误，几个常见幂函数的图象可让学生上黑板画，教师给予必要的指导即可。

2．诊断练习点评题1．比较下列各组数的大小：（1）35352.4-_____4.2-）（； （2）21--65）（ 21--54）（； （3）3132)5_____()(π-. 【分析与点评】本题选自教材，让学生巩固幂函数的单调性，会比较两个底数不同而指数相同的指数式值的大小.观察知，这3小题均是此情形.在课堂上，可根据学情，灵活安排讲评策略，可采取数形结合的方式讲解. 题2．若幂函数(,)ny mx m n R =∈的图象经过点(18,4),则n =_____________. 【分析与点评】此题中，隐含条件是当1m =，这是幂函数的定义，代入时注意底数是自变量x . （参考答案：23-） 题3. 给出关于幂函数的以下说法：①幂函数的图象都经过(1,1)点；②幂函数的图象都经过(0,0)点；③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数；④幂函数的图象不可能经过第四象限；⑤幂函数在第一象限内一定有图象；⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是递增函数．其中正确的说法有________．答案：①④⑤ 【分析与点评】本题主要是复习、巩固幂函数的图象。