高中数学新同步苏教必修章末测评 数列 含解析

专题强化训练(二) 数列(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )A ．d >0B ．d <0C ．a 1d >0D ．a 1d <0D [∵{2a 1a n }为递减数列，∴2a 1a n ＋12a 1a n＝2a 1a n ＋1－a 1a n ＝2a 1d <1＝20，∴a 1d <0，故选D.]2．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11＝( )A ．24B ．48C ．66D ．132D [由a 9＝12a 12＋6得，2a 9－a 12＝12，由等差数列的性质得，2a 9－a 12＝a 6＋a 12－a 12＝12，则a 6＝12，所以S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝132，故选D.] 3．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－21C [由已知得a 2＝a 1＋a 1＝2a 1＝－6，∴a 1＝－3.∴a 10＝2a 5＝2(a 2＋a 3)＝2a 2＋2(a 1＋a 2)＝4a 2＋2a 1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.]4．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2a 8－3a 4，则S 8S 16＝( )A.310B.13C.19D.18A[由题意可得，a1＝2a1＋14d－3a1－9d，∴a1＝52d，又S8S16＝8a1＋28d16a1＋120d＝20d＋28d 40d＋120d ＝48d160d＝310.故选A.]5．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 016项之和S2 016等于() A．1 B．2 010 C．4 018 D．0D[由已知得a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2)，∴a n＋1＝a n－a n－1.故数列的前n项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009，….由此可知数列为周期数列，周期为6，且S6＝0.∵2 016＝6×336，∴S2 016＝S6＝0.]二、填空题6．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n－30，S n是{|a n|}的前n项和，则S10＝________.190[由a n＝2n－30，令a n<0，得n<15，即在数列{a n}中，前14项均为负数，所以S10＝－(a1＋a2＋a3＋…＋a10)＝－102(a1＋a10)＝－5[(－28)＋(－10)]＝190.]7．设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.32[由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2相减可得a3＋a4＝3a4－3a2，同除以a2可得2q2－q－3＝0，解得q＝32或q＝－1.因为q>0，所以q＝32.]8．数列{a n}满足a1＝1，a n－a n－1＝1n(n－1)(n≥2且n∈N*)，则数列{a n}的通项公式为a n＝________.2－1n[a n－a n－1＝1n(n－1)(n≥2)，a1＝1，∴a2－a1＝12×1＝1－12，a 3－a 2＝13×2＝12－13， a 4－a 3＝14×3＝13－14，…， a n －a n －1＝1n (n －1)＝1n －1－1n . 以上各式累加，得a n －a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1－1n . ∴a n ＝a 1＋1－1n ＝2－1n ，当n ＝1时，2－1n ＝1＝a 1，∴a n ＝2－1n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－1n .]三、解答题9．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n ＝5S n －3(n ∈N *)，求a n 的通项公式．[解] 当n ＝1时，a 1＝5S 1－3＝5a 1－3，得：a 1＝34，当n ≥2时，由已知a n ＝5S n －3，得：a n －1＝5S n －1－3，两式作差得a n －a n －1＝5(S n －S n －1)＝5a n ，∴a n ＝－14a n －1，∴数列{a n }是首项a 1＝34，公比q ＝－14的等比数列． ∴a n ＝a 1·q n －1＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14n －1. 10．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .[解] (1)设q (q >0)为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2·2n －1＝2n .(2)S n ＝2(1－2n )1－2＋n ×1＋n (n －1)2×2＝2n ＋1＋n 2－2. [能力提升练]1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n＝( ) A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1 D [设等比数列{a n }的公比为q ，∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 2＝52， ①a 1q ＋a 1q 3＝54， ②由①÷②可得1q ＝2，∴q ＝12，代入①解得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ， ∴S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ， ∴S n a n＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n＝2n －1.] 2．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项B [设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n －2，a 1q n －1，所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q3n －6＝4，两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21q n －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，所以a n 1·q n (n －1)2＝64，即(a 21q n －1)n ＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.]3．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝________.189 [由a n ＋1＝2a n 得{a n }为等比数列，∴a n ＝2n ，∴2b n ＝2n ＋2n ＋1，即b n ＝3·2n －1，∴S 6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.]4．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.1 121 [由于⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，解得a 1＝1. 由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2S n ＋1得S n ＋1＝3S n ＋1，所以S n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列， 所以S n ＋12＝32×3n －1，即S n ＝3n －12，所以S 5＝121.]5．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ， 则S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1， ① S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n 2n . ②①－②得S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n . 所以S n ＝n2n －1.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n 2n －1.。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二章末质量评估(一)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．直线l与平面α所成角为30°，l∩α＝A，m⊂α，A∉m，则m与l所成角的取值范围是________．解析直线l与平面α所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在α内适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的最大值为90°.答案[30°，90°]2．以△ABC的三条中位线DE，EF，FD为折痕将△ADF，△BDE，△CEF 折起，使A，B，C三点重合并记为P，构成三棱锥P－DEF，则在下列给出的图形中：①等腰三角形；②等边三角形；③锐角三角形；④直角三角形；⑤钝角三角形．△ABC不可能是________．解析∵等边三角形折叠起来是一个正三棱锥，∴等腰三角形、等边三角形、锐角三角形都可能按照上述方法折成三棱锥，而直角三角形、钝角三角形折叠的时候不能使得短边与长边同时重合，不能实现上述折叠．答案④⑤3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是__________．解析 若题中所指两直线是相交直线则平面平行，若两直线是平行直线，则两平面相交或平行．答案 平行或相交4．如图，正方体的棱长为1，C 、D 是两棱中点，A 、B 、M 是顶点，则点M 到截面ABCD 的距离是________．解析 作MN ⊥AB 于点N ，取DC 的中点P ，则AB ⊥平面MNP .作MH ⊥NP 于点H ，则MH ⊥平面ABCD ，即MH 为所求．由V M －ABC ＝V A －BCM ，得d ＝23.答案 235．在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)．解析 ∵AC ⊥BD ，∴A 1C 1⊥B 1D 1.又∵CC 1⊥B 1D 1，A 1C 1∩CC 1＝C 1，∴B 1D 1⊥平面A 1C 1C ，∴B 1D 1⊥A 1C .答案 AC ⊥BD (答案不唯一)6．轴截面是正方形的圆柱的侧面积为S ，那么圆柱的体积为________． 解析 设圆柱底面直径为x ，则高为x ，因此有πx ·x ＝S .而V 圆柱＝π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 22·x＝π4x 3＝S 4Sπ.答案S 4S π7．如图，P 点是四边形ABCD 所在平面外一点，O 是AC 与BD 的交点，且PO ⊥平面ABCD ，当四边形ABCD 具有条件________时，点P 到四边形ABCD 四条边的距离相等．(填上你认为正确的一种情况即可)解析 只需考虑O 到四边形四边的距离相等即可． 答案 正方形(或圆的外切四边形等)8．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为________．解析 圆柱的侧面积S 侧＝6π×4π＝24π2.(1)以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面圆周长，所以2πr ＝4π，即r ＝2.所以S 底＝4π，所以S 表＝24π2＋8π.(2)以4π所在边为轴时，6π为圆柱底面圆周长，所以2πr ＝6，即r ＝3.所以S 底＝9π，所以S 表＝24π2＋18π.答案 24π2＋8π或24π2＋18π9．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P 为△ABC 所在平面外一点，且PA ＝PB ＝PC ，则平面PBC 与平面ABC 的关系是________．解析 如右图所示，取BC 的中点O ，连接AO ，PO . ∵PB ＝PC ，∴PO ⊥BC .又△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形， ∴OA ＝OB ，且PA ＝PB ， ∴Rt △POB ≌Rt △POA ，∴∠POA ＝∠POB ＝90°，即PO ⊥OA ， 而OA ∩BC ＝O ，∴PO ⊥平面ABC ，而PO ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面ABC . 答案 垂直10．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的的表面积为12π，则这个正四棱柱的体积为________．解析 设正四棱柱的底面边长为a ，则球的直径2R ＝22＋2a 2，所以S 表＝4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22＋2a 24＝12π， 解得a ＝2，所以正四棱柱的体积V ＝2a 2＝8. 答案 811．考察下列三个命题，在“________”处都缺少一个条件，补上这个条件使其成为真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．⎭⎪⎬⎪⎫①m ⊂α l ∥m⇒l ∥α⎭⎪⎬⎪⎫②l ∥m m ∥α⇒l ∥α；⎭⎪⎬⎪⎫③l ⊥β α⊥β⇒l ∥α. 解析 ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l ⊄α”，它同样适合②和③.答案 l ⊄α12．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为________．解析 作等体积变换：13×34×(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)＝13×34×h ，而h ＝63.答案 6313．设平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝8，BS ＝9，CD ＝34，则CS ＝________.解析 根据题意易得AS SB ＝SC SD .当点S 在α，β之间时，有89＝CS34－CS，即CS＝16；当点S 在α，β之外时，有817＝SCSC ＋34，即SC ＝2729.答案 16或272914．设正三角形ABC 的边长为a ，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ，E 为BC 中点，在平面PAE 内过点A 作AF ⊥PE ，垂足为F ，则AF 的长为________．解析 如右图所示，知AE ⊥BC ，又∵BC ⊥PA ，∴BC ⊥平面PAE . ∴平面PAE ⊥平面PBC .∵AF ⊥PE ，垂足为F ，∴AF ⊥平面PBC .则AF ＝PA ·AE PE ＝217a .答案 217a二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 中，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，C 1D 1的中点．求证：平面D 1EF ∥平面BDG . 解 ∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴EF∥BD.又∵EF⊄平面BDG，BD⊂平面BDG，∴EF∥平面BDG.∵D1G綉EB，∴四边形D1GBE为平行四边形，∴D1E∥GB.又∵D1E⊄平面BDG，GB⊂平面BDG，∴D1E∥平面BDG.又∵EF∩D1E＝E，∴平面D1EF∥平面BDG.16．(本小题满分14分)如图(1)，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．(1)证明：AD⊥D1F；(2)求AE与D1F所成的角；(3)证明平面AED⊥平面A1FD1.(1)证明由正方体ABCD－A1B1C1D1，可得AD⊥面D1DCC1.∵D1F⊂面D1DCC1，∴AD⊥D1F.(2)解如图(2)，取AB的中点G，则易证得A1G∥D1F.又正方形A1ABB1中，E、G分别是对应边的中点，∴A1G⊥AE.∴D1F⊥AE.∴AE与D1F所成的角为90°.(3)证明由正方体可知A1D1⊥面A1ABB1，∴A1D1⊥AE.又由(2)已证D1F⊥AE.∵A1D1∩D1F＝D1，∴AE⊥平面A1FD1.又AE⊂平面AED，∴平面AED⊥平面A1FD1.17．(本小题满分14分)已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PA＝AD＝4，E为BC的中点．(1)求证：DE⊥平面PAE；(2)求直线DP与平面PAE所成的角的大小．(1)证明取AD中点F，连结EF，则ABEF与EFDC都是正方形，∴∠EAD＝∠ADE＝45°，∴AE⊥DE.∵PA⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，∴PA⊥DE.又∵PA∩AE＝A，∴DE⊥平面PAE.(2)解由(1)知∠DPE即为DP与平面PAE所成的角．在Rt△PAD中，PD＝4 2.在Rt△DCE中，DE＝2 2.则在Rt△DEP中，PD＝2DE，∴∠DPE＝30°.即直线DP与平面PAE所成的角为30°.18．(本小题满分16分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB ＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，G为AD的中点．(1)求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)求二面角A­BC­P的大小．(1)证明连结BD，则△ABD为等边三角形．∵G为AD的中点，∴BG⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)证明：连结PG.∵△PAD是等边三角形且G为AD的中点，∴AD⊥PG.又∵AD⊥BG，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG.∵PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.(3)解∵AD⊥PB，AD∥BC，∴BC⊥PB.又∵BG⊥AD，AD∥BC，∴BG⊥BC，∴∠PBG为二面角A­BC­P的平面角．在Rt△PBG中，PG＝BG，∴∠PBG＝45°.19．(本小题满分16分)如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，沿对角线BD将△ABD折起，使点A移至点P，且P在平面BCD内的射影为O，且O 在DC上．(1)求证：PD⊥PC；(2)求二面角P－DB－C的平面角的余弦值．(1)证明∵PO⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴PO⊥BC.∵BC⊥CD，CD∩PO＝O，∴BC⊥平面PCD.∵DP⊂平面PCD，∴BC⊥DP.又∵DP⊥PB，PB∩BC＝B，∴DP⊥平面PBC.而PC⊂平面PBC，∴PD⊥PC.(2)解 △PBD 在平面BCD 内的射影为△OBD ，且S △PBD ＝12×6×23＝63，S △OBD ＝S △CBD －S △BOC ＝63－12×23×OC .在Rt △DPC 中，PC 2＝24.设OC ＝x ，则OD ＝6－x ，∴PC 2－OC 2＝DP 2－DO 2，即24－x 2＝12－(6－x )2.解得x ＝4.∴S △BOD ＝63－43＝2 3.过点P 作PQ ⊥DB ，连结OQ ，则DB ⊥平面OPQ ，∴∠OQP 即为二面角P －DB －C 的平面角，∴cos ∠OQP ＝S △BOD S △PBD ＝2363＝13.20．(本小题满分16分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；(2)求三棱锥P －MAB 与四棱锥P －ABCD 的体积之比．解 (1)由已知MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，所以PD ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC .因为四边形ABCD 为正方形，所以BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，因此BC ⊥平面PDC .在△PBC 中，因为G 、F 分别为PB 、PC 的中点，所以GF ∥BC ，因此GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面PDC .(2)因为PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA ＝1，则PD ＝AD ＝2，所以V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝83. 由于DA ⊥平面MAB ，且PD ∥MA ，所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，三棱锥V P －MAB ＝13S △MAB ·DA ＝13×12×1×2×2＝23， 所以V P －MAB ∶V P －ABCD ＝1∶4.。

章末综合测评(二) 平面解析几何初步(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．直线l：x－3y＋1＝0的倾斜角为________．【解析】l：y＝33x＋33，k＝33，∴α＝30°.【答案】30°2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．【解析】直线方程为y＝3x, 圆的方程化为x2＋(y－2)2＝22，∴r＝2，圆心(0,2)到直线y＝3x的距离为d＝1，∴半弦长为22－1＝3，∴弦长为2 3.【答案】2 33．(2016·常州高一检测)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是__________．【解析】圆心(0,1)到直线l的距离d＝|－1－m＋1|m2＋1＝|m|m2＋1<1＝r.故直线l与圆C相交．【答案】相交4．关于x的方程4－x2＝12(x－2)＋3解的个数为________个. 【导学号：60420097】【解析】作出y＝4－x2和y＝12(x－2)＋3＝12x＋2的图象．可看出直线与半圆有两个公共点．【答案】 25．若直线l与直线3x＋y－1＝0垂直，且它在x轴上的截距为－2，则直线l的方程为________．【解析】因为直线3x＋y－1＝0的斜率为－3，所以直线l的斜率为13.又直线在x轴上的截距为－2，即直线l与x轴的交点为(－2,0)，所以直线l的方程为y－0＝13(x＋2)，即x－3y＋2＝0.【答案】x－3y＋2＝06．(2016·南京高一检测)若曲线(x－1)2＋(y－2)2＝4上相异两点P，Q关于直线kx－y－2＝0对称，则k的值为__________．【解析】依题意得，圆心(1,2)在直线kx－y－2＝0上，于是有k－4＝0，解得k＝4.【答案】 47．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2＋b2的最小值为________．【解析】a2＋b2的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离：d＝|0＋0－15|32＋42＝3.【答案】 38．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和B(x，－1,6)的距离为86，则x 的值为________．【解析】(x＋3)2＋(－1－4)2＋(6－0)2＝86，解得x＝2或－8.【答案】2或－89．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.【解析】依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°.如图，此时a＝1，b＝－1.满足题意，所以a2＋b2＝2.【答案】 210．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．【解析】设平面上的点为P，易知ABCD为凸四边形，设对角线AC与BD 的交点为P′，则|PA|＋|PC|≥|AC|＝|AP′|＋|P′C|，|PB|＋|PD|≥|BD|＝|BP′|＋|P′D|，当且仅当P与P′重合时，上面两式等号同时成立，由AC和BD的方程解得P′(2,4)．【答案】(2,4)11．若直线l1：ax＋3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0平行，则l1与l2距离为________．【解析】由l1∥l2可知a2＝3a＋1≠11，解得a＝－3或a＝2(舍)，∴a ＝－3.∴l 1：－3x ＋3y ＋1＝0，即x －y －13＝0，l 2：2x －2y ＋1＝0，即x －y ＋12＝0， ∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13－122＝5212.【答案】521212．若圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是__________．【解析】 由圆C 的方程x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0可得圆心C (－2,2)，由题意知直线l 过OC 的中点(－1,1)，又直线OC 的斜率为－1，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.【答案】 x －y ＋2＝013．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________．【解析】 设P (3,1)，圆心C (1,0)，切点为A 、B ，则P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形PACB 的外接圆方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝54，①圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程． 【答案】 2x ＋y －3＝014．设集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r >0)}，当A∩B＝B时，r的取值范围是________．【解析】∵A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r>0)}均表示圆及其内部的点，由A∩B＝B可知两圆内含或内切．∴2≤2－r，即0<r≤2－ 2.【答案】(0,2－2]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知圆C的方程为：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，(1)求m的取值范围；(2)若直线x－2y－1＝0与圆C相切，求m的值．【解】(1)由圆的方程的要求可得，22＋42－4m＞0，∴m＜5.(2)圆心(1,2)，半径r＝5－m，因为圆和直线相切，所以有|1－4－1|12＋－2＝5－m，所以m＝9 5 .16．(本小题满分14分) 直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为32，求直线l的方程．【解】若l在两坐标轴上截距为0，设l：y＝kx，即kx－y＝0，则|4k－3|1＋k2＝3 2.解得k＝－6±3214.此时l的方程为y＝⎝⎛⎭⎪⎫－6±3214x；若l在两坐标轴上截距不为0，设l ：x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0，则|4＋3－a |12＋12＝3 2.解得a ＝1或13.此时l 的方程为x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.综上，直线l 的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6±3214x 或x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.17．(本小题满分14分)一个长方体的8个顶点坐标分别为(0,0,0)，(0,1,0)，(3,0,0)，(3,1,0)，(3,1,9)，(3,0,9)，(0,0,9)，(0,1,9)．(1)在空间直角坐标系中画出这个长方体； (2)求这个长方体外接球的球心坐标； (3)求这个长方体外接球的体积． 【解】 (1)如图．(2)因为长方体的体对角线长是其外接球的直径， 所以球心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋02，0＋12，0＋92，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，92. (3)因为长方体的体对角线长d ＝－2＋12＋92＝91，所以其外接球的半径r ＝d 2＝912.所以其外接球的体积V 球＝43πr 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫9123＝91π691.18．(本小题满分16分)已知圆C 的圆心与P (0,1)关于直线y ＝x ＋1对称，直线3x ＋4y ＋1＝0与圆C 相交于E ，F 两点，且|AB |＝4.(1)求圆C 的标准方程；(2)设直线l ：mx －y ＋1－m ＝0(m ∈R )与圆C 的交点A ，B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 (1)点P (0,1)是关于直线y ＝x ＋1的对称点，即圆心C 的坐标为(0,1)，圆心C 到直线3x ＋4y ＋1＝0的距离为d ＝|0＋4＋1|5＝1. 所以r 2＝12＋22＝5，得圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝5. (2)联立得⎩⎨⎧y ＝m x －＋1，x 2＋y －2＝5，消去y ，得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0.由于Δ＝4m 4－4(1＋m 2)(m 2－5)＝16m 2＋20>0，故l 与圆C 必交于两点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22＝m 21＋m 2，y 0＝mx 0－＋1.消去m ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－122＋(y 0－1)2＝14.∴M 点的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝14.19．(本小题满分16分)(2016·盐城月考)已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值． 【解】 (1)由题意知，圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2.又|QC |＝[2－－2＋－2＝42>22，∴|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 所以设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝n －3m ＋2， 即kx －y ＋2k ＋3＝0.由题意知直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，解得2－3≤k ≤2＋3， 所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 20．(本小题满分16分)如图1，已知△ABC 中A (－8,2)，AB 边上的中线CE 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －5y ＋8＝0，求直线BC 的方程．图1【解】 设B (x 0，y 0)，则AB 中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－82，y 0＋22，由条件可得：⎩⎨⎧2x 0－5y 0＋8＝0，x 0－82＋2·y 0＋22－5＝0，得⎩⎨⎧2x 0－5y 0＋8＝0，x 0＋2y 0－14＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝6，y 0＝4，即B (6,4)，同理可求得C 点的坐标为(5,0)． 故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5，即4x －y －20＝0.。

第2章数列§2.1 数列 ( 一)课时目标 1.理解数列及其相关观点； 2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的随意一项； 3.关于比较简单的数列，会依据其前 n 项写出它的通项公式．1．依照必定序次摆列的一列数称为______，数列中的每个数叫做这个数列的____．数列中的每一项都和它的序号相关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项 ( 往常也叫做____项)，排在第二位的数称为这个数列的第 2 项，，排在第n 位的数称为这个数列的第 ____项．2．数列的一般形式能够写成a1， a2，， a n，，简记为______．3．假如数列 {a n} 的第 n 项与序号 n 之间的关系能够用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的 ______公式．一、填空题1．已知数列 {a n} 的通项公式为a n＝1(n∈ N * )，那么1是这个数列的第 ______n n＋ 2120项．3n＋ 1n为正奇数，则它的前 4 项挨次为 _____．2．已知数列 {a n} 的通项公式为a n＝n为正偶数4n－ 13．已知数列 {a n} 的通项公式为a n＝n2－n－ 50，则－ 8 是该数列的第 ________项．31，53，7，一个通项公式是 ________．4.，，52117175．数列 0.3,0.33,0.333,0.333 3 ，的一个通项公式是a n＝ __________.6．设 a n＝1＋ 1 ＋1＋＋1(n∈ N *) ，那么 a n＋1－ a n＝ ________.n＋ 1n＋2n＋32n7．用火柴棒按以下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n 之间的关系式能够是______________．8．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570 年—公元前 500 年)学派的数学家常常在沙岸上研究数学识题，他们在沙岸上画点或用小石子来表示数．比方，他们将石子摆成如下图的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第数是 ______．10 个三角形9．由 1,3,5， ，2n － 1， 组成数列 {a n } ，数列 {b n } 知足 b 1＝ 2，当 n ≥2时， b n ＝ ab n － 1，则 b 6＝ ________.10．已知数列 {a n } 知足： a 4n － 3＝ 1，a 4n － 1＝ 0，a 2n ＝ a n ，n ∈ N * ，则 a 2 009＝ ________，a 2 014＝ ________.二、解答题11．依据数列的前几项，写出以下各数列的一个通项公式：(1)－ 1,7，－ 13,19， (2)0.8,0.88,0.888 ，(3)1， 1，－ 5， 13，－ 29， 61， 2 48 16 32 64 (4)3， 1， 7 ， 9，(5)0,1,0,1 ，2 10 179n 2－ 9n ＋212．已知数列9n2－1；(1)求这个数列的第 10 项；(2)10198是否是该数列中的项，为何？(3)求证：数列中的各项都在区间 (0,1)内；(4)在区间1， 2内有、无数列中的项？如有，有几项？若没有，说明原因．3 3能力提高13．依据以下 5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n 个图中有多少个点．14．在数列 {a n} 中，a1＝ 1，a2n－ a n＋1－ 1＝ 0，则此数列的前 2 010 项之和为 ______________．1．与会合中元素的性质对比较，数列中的项也有三个性质：(1)确立性：一个数在不在数列中，即一个数是否是数列中的项是确立的．(2)可重复性：数列中的数能够重复．(3)有序性：一个数列不单与组成数列的“数”相关，并且与这些数的摆列序次也相关．2．并不是全部的数列都能写出它的通项公式．比如，π的不一样近似值，依照精准的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，，它没有通项公式．3．假如一个数列有通项公式，则它的通项公式能够有多种形式．比如：数列－1,1，－1,1，－ 1,1，的通项公式可写成a n＝ (－ 1)n，也能够写成a n＝ (－ 1)n＋2，还能够写成－1n＝2k－ 1 ，a n＝n＝ 2k 此中 k∈ N* .1，第 2 章 数 列§2.1 数列 ( 一)答案知识梳理1．数列 项 首n2.{a n }3.通项作业设计 1． 10分析 ∵1＝ 1，∴ n(n ＋2) ＝10×12，∴ n ＝ 10. nn ＋2 1202． 4,7,10,153． 7分析n 2－ n － 50＝－ 8，得 n ＝ 7 或 n ＝－ 6(舍去 )．4． a n ＝n ＋23n ＋ 2 115．3(1－ 10n )1－ 16．2n ＋ 1 2n ＋ 2分析 ∵ a n ＝ 1＋ 1＋ 1＋ ＋ 1，n ＋ 1 n ＋ 2 n ＋3 2n∴ a ＋ ＝ 1 ＋ 1 ＋ ＋1＋ 1 ＋ 1 ，n 1n ＋ 2 n ＋3 2n 2n ＋1 2n ＋ 2∴ a n ＋1－ a n ＝ 1 ＋ 1 － 1＝ 1 － 1 .2n ＋ 1 2n ＋ 2 n ＋ 1 2n ＋ 1 2n ＋ 2 7． a n ＝ 2n ＋ 1分析a 1＝ 3， a 2＝ 3＋ 2＝ 5， a 3＝ 3＋2＋ 2＝ 7， a 4 ＝3＋ 2＋ 2＋ 2＝ 9， ，∴ a n ＝ 2n ＋ 1.8． 55分析三角形数挨次为： 1,3,6,10,15， ，第 10 个三角形数为： 1＋ 2＋ 3＋ 4＋ ＋ 10＝ 55.9． 33分析∵ b n ＝ ab n －1，∴ b 2＝ ab 1＝ a 2＝ 3，b 3＝ ab 2＝ a 3＝ 5， b 4＝ ab 3＝ a 5＝ 9，b 5＝ ab 4＝ a 9＝ 17， b 6＝ ab 5＝ a 17＝ 33.10．1分析a2 009＝a4×503－3＝1，a2 014＝a1 007＝a252×4－1＝0.11．解 (1) 符号问题可经过 (－ 1)n或 (－ 1)n ＋1 表示，其各项的绝对值的摆列规律为：后面的数的绝对值总比前方数的绝对值大n *6，故通项公式为 a n ＝ (－ 1) (6n － 5)(n ∈ N )． (2)数列变形为 8 8－0.01)8 0.001)， ，∴ a n ＝ 8 1－ 1 *(1－ 0.1)， (1 ， (1－ 910n (n ∈ N )．9 99(3)各项的分母分别为1, 2, 3,42,3,4 项的分子分别比分母少3.所以把第 12 2 2 2 ， 易看出第 2－ 312342 － 32 －32－3 2 － 3项变成－2 ，所以原数列可化为－21 ， 22 ，－23 ，24 ， ，∴ a n ＝ (－ 1) n 2n － 3 *)．· n (n ∈ N2(4)将数列一致为 3，5， 7 ， 9， 关于分子3,5,7,9， ，是序号的 2倍加 1，可得分子25 1017的通项公式为 b n ＝ 2n ＋ 1，关于分母2，可2,5,10,17， 联想到数列 1,4,9,16 即数列 {n } 得分母的通项公式为c n ＝ n 2＋ 1，∴可得它的一个通项公式为a ＝ 2n 2＋ 1*)．nn ＋ 1 (n ∈ N0 n 为奇数n－ 1 (n ∈N *)或 a n ＝ 1＋cos n(5)a n ＝n 为偶数或 a n ＝1＋12 29n 2－ 9n ＋ 23n － 1 3n － 2 3n －2 12． (1)解 设 f(n) ＝＝3n －13n ＋1＝9n 2－ 13n ＋1.令 n ＝10，得第 10 项 a 10＝ f(10) ＝ 2831.π * (n ∈N )．3n － 298(2)解令＝ ，得 9n ＝300.此方程无正整数解，所以98不是该数列中的项．101(3)证明∵a n ＝3n － 2 3n ＋ 1－ 33，＝＝ 1－3n ＋ 13n ＋ 13n ＋ 1又 n ∈N *，∴ 0< 3<1 ，3n＋ 1∴ 0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内．7(4)解13n － 2 2 ，则 3n ＋1<9n － 6n>67 8.令 <a n ＝ 3n ＋ 1 < ，即8.∴ <n<3 3 9n － 6<6n ＋26 3n<3又∵ n ∈ N * ，∴当且仅当 n ＝ 2 时，上式建立，故区间 1 2 3，3 上有数列中的项，且只有一4项为 a 2＝7.13．解 图 (1) 只有 1 个点，无分支；图 (2)除中间 1个点外，有两个分支，每个分支有 1个点；图 (3)除中间 1 个点外，有三个分支，每个分支有 2 个点；图 (4)除中间有四个分支，每个分支有 3 个点；；猜想第 n 个图中除中间一个点外，有1 个点外，n 个分支，每个分支有 (n－ 1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋ n(n－ 1)＝ n2－n＋ 1. 14．－ 1 0032分析∵ a n＋1＝a n－ 1， a1＝ 1，∴ a2＝ 0， a3＝－ 1， a4＝ 0， a5＝－ 1，，n 为奇数时，除a1＝ 1 外， a n＝－ 1.∴ S2 010＝ a1＋ [(a2＋a3)＋＋ (a2 008＋ a2 009)] ＋ a2 010＝ 1＋ (－ 1) ×1 004＋ 0＝－ 1 003.。

章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中的横线上)1.下列四组对应变量：①学生的数学成绩与总成绩；②一个人的身高与脚的长度；③某工厂工人人数与产品质量；④人的身高与视力.其中具有相关关系的是________.【解析】人的身高与视力之间没有联系，不具有相关关系，同样③也不具有相关关系，其余均有相关关系.【答案】①②2.根据2005～2015年统计，全国营业税收总额y(亿元)与全国社会消费品零售总额x(亿元)之间有如下线性回归方程：y＝0.568 7x－705.01.则全国社会消费品零售总额每增加1亿元时，全国营业税税收总额的变化为________.【解析】由线性回归方程中系数b的含义知全国营业税税收总额平均增加0.568 7亿元.【答案】平均增加0.568 7亿元3.管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内捞出50条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内共有________条鱼.【解析】设池塘内共有n条鱼，则30n＝250，解得n＝750.【答案】7504.某校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本.已知从女生中抽取80人，则n＝________.【解析】 因为80∶1 000＝8∶100，所以n ∶(200＋1 200＋1 000)＝8∶100，所以n ＝192.【答案】 1925.对一组数据x i (i ＝1,2,3，…，n )，如果将他们改变为x i ＋c (i ＝1,2,3，…，n )，其中c ≠0，则下面结论中正确的是________.(填序号)①平均数与方差均不变；②平均数变了，而方差保持不变；③平均数不变，而方差变了；④平均数与方差均发生了变化.【解析】 设原来数据的平均数为x －，将他们改变为x i ＋c 后平均数为x －′，则x －′＝x ＋c ，而方差s ′2＝1n[(x 1＋c －x －－c )2＋…＋(x n ＋c －x －－c )2]＝s 2.【答案】 ②6.(2015·镇江高二检测)一小店批发购进食盐20袋，各袋重量(单位：g)为： 508 500 487 498 509 503 499 503 495 489 504 497 484 498 493 493 499 498 496 495其平均重量x －＝497.4，标准差s ＝6.23，则20袋食盐重量位于(x －－2s ，x －＋2s )的频率是________.【解析】 由题意知x －－2s ＝484.96，x －＋2s ＝509.86.故落在区间(484.96,509.86)间的数据共19个，所以所求频率为1920＝0.95. 【答案】 0.957.一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是________.【解析】 由题意知：m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.【答案】768.茎叶图1记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数即为甲组数据的中位数，则x、y 的值分别为________.图1【解析】因为甲组数据的众数为124，可得x＝4，其中位数为124，由题意可得乙组数据的平均数为124，由此可得16(116×2＋125＋128＋134＋120＋y)＝124，∴y＝5.【答案】4,59.(2015·连云港高一月考)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图2所示.(1)直方图中x的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________.图2【解析】(0.006 0＋0.003 6＋0.002 4×2＋0.001 2＋x)×50＝1，x＝0.004 4，(0.003 6＋0.006＋0.004 4)×50×100＝70.【答案】 (1)0.004 4 (2)7010.甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用茎叶图表示如图3，s 1，s 2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s 1与s 2的关系是________.图3【解析】 由茎叶图可得 x －甲＝78＋81＋84＋85＋925＝84，x －乙＝76＋77＋80＋94＋935＝84，所以s 21＝(78－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(85－84)2＋(92－84)25＝22，s 22＝(76－84)2＋(77－84)2＋(80－84)2＋(94－84)2＋(93－84)25＝62，显然有s 1<s 2.【答案】 s 1<s 211.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x (cm) 174 176 176 176 178 儿子身高y (cm)175175176177177则y 对【解析】 设y 对x 的线性回归方程为y ^＝bx ＋a ，因为b ＝－2×(－1)＋0×(－1)＋0×0＋0×1＋2×1(－2)2＋22＝12，a ＝176－12×176＝88，所以线性回归方程为y ^＝12x ＋88.【答案】 y ^＝12x ＋8812.(2015·徐州高二检测)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图4所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x －，则m e ，m 0，x －之间的关系是________.图4【解析】 由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分.中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即m e ＝5.5,5出现次数最多，故m 0＝5，x－＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030≈5.97.于是得m 0<m e <x －.【答案】 m 0<m e < x －13.某班50名学生期末考试数学成绩(单位：分)的频率分布直方图如图5所示，其中数据不在分点上，对图中提供的信息作出如下的判断：图5①成绩在49.5～59.5分段的人数与89.5～99.5分段的人数相等； ②从左到右数，第四小组的频率是0.03；③成绩在79.5分以上的学生有20人； ④本次考试，成绩的中位数在第三小组. 其中正确的判断有________.【解析】 ①49.5～59.5与89.5～99.5两段所在矩形的高相等，所以人数相等.②从左到右数，第四小组的频率/组距的值为0.03，频率为0.03×10＝0.3. ③79.5分以上的学生共有50×(0.03＋0.01)×10＝20人.④49.5～59.5与89.5～99.5段的人数相等，69.5～79.5段的人数比79.5～89.5的人数多，所以中位数在69.5～79.5段，即在第三小组.【答案】 ①③④14.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是________. 【导学号：90200063】【解析】 ∵总体的个体数是10，且中位数是10.5， ∴a ＋b2＝10.5，即a ＋b ＝21. ∴总体的平均数是10.要使总体的方差最小，只要(a －10)2＋(b －10)2最小， ∵(a －10)2＋(b －10)2＝(a －10)2＋(11－a )2＝2a 2－42a ＋221， ∴当a ＝422×2＝10.5时，(a －10)2＋(b －10)2取得最小值，此时b ＝21－a ＝21－10.5＝10.5.【答案】 10.5,10.5二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：人数管理技术开发营销生产共计老年40404080200中年80120160240600青年40160280720 1 200小计160320480 1 040 2 000(1)(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？(3)若要抽20人调查对北京冬奥会筹备情况的了解，则应怎样抽样？【解】(1)用分层抽样，并按老年4人，中年12人，青年24人抽取；(2)用分层抽样，并按管理2人，技术开发4人，营销6人，生产13人抽取；(3)用系统抽样.对全部2 000人随机编号，号码从0001～2000，每100号分为一组，从第一组中用随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1 900，共20人组成一个样本.16.(本小题满分14分)为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图6)，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5.图6(1)求第四小组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人；(3)若次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少.【解】 (1)由累积频率为1知，第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2. (2)设参加这次测试的学生有x 人，则0.1x ＝5，所以x ＝50.即参加这次测试的学生有50人.(3)达标率为(0.3＋0.4＋0.2)×100%＝90%，所以估计该年级学生跳绳测试的达标率为90%.17.(本小题满分14分)农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高，数据如下：(单位：cm)甲：9,10,11,12,10,20； 乙：8,14,13,10,12,21.(1)在下面给出的方框内绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图；甲 株高 乙(2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况.【解】 (1)茎叶图如图所示：(2)x 甲＝9＋10＋11＋12＋10＋206＝12，x 乙＝8＋14＋13＋10＋12＋216＝13，s 2甲＝16×[(9－12)2＋(10－12)2＋(11－12)2＋(12－12)2＋(10－12)2＋(20－12)2]≈413，s 2乙＝16×[(8－13)2＋(14－13)2＋(13－13)2＋(10－13)2＋(12－13)2＋(21－13)2]≈503.因为x 甲＜x 乙，所以乙种麦苗平均株高较高，又因为s 2甲＜s 2乙，所以甲种麦苗长的较为整齐.18.(本小题满分16分)某地统计局就该地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图8(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500)).图8(1)求居民月收入在[3 000,3 500)的频率； (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽多少人？【解】 (1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0.000 3×(3 500－3 000)＝0.15. (2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1， 0.000 4×(2 000－1 500)＝0.2，0.000 5×(2 500－2 000)＝0.25,0.1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，∴样本数据的中位数为2 000＋0.5－(0.1＋0.2)0.000 5＝2 000＋400＝2 400(元).(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频率为0.000 5×(3 000－2 500)＝0.25，所以10 000人中月收入在[2 500,3 000)的人数为0.25×10 000＝2 500(人).再从10 000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500,3 000)的这＝25人.段应抽取100×2 50010 00019.(本小题满分16分)某花木公司为了调查某种树苗的生长情况，抽取了一个容量为100的样本，测得树苗的高度(cm)数据的分组及相应频率如下：[107,109)3株；[109,111)9株；[111,113)13株；[113,115)16株；[115,117)26株；[117,119)20株；[119,121)7株；[121,123)4株；[123,125]2株.(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)据上述图表，估计数据在[109,121)范围内的可能性是百分之几？【解】(1)画出频率分布表如下：分组频数频率累积频率[107,109)30.030.03[109,111)90.090.12[111,113)130.130.25[113,115)160.160.41[115,117)260.260.67[117,119)200.200.87[119,121)70.070.94[121,123)40.040.98[123,125]20.02 1.00合计100 1.00(2)频率分布直方图如下：(3)由上述图表可知数据落在[109,121)范围内的频率为0.94－0.03＝0.91，即数据落在[109,121)范围内的可能性是91%.20.(本小题满分16分)(2014·全国卷Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表： 【导学号：90200064】(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小乘法估计公式分别为： b ^＝∑ni ＝1 (t i －t －)(y i －y －)∑ni ＝1 (t i－t －)2，a ^＝y －－b ^t －. 【解】 (1)由所给数据计算得t －＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， y －＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3， ∑7i ＝1(t i －t －)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28， ∑7i ＝1(t i －t －)(y i －y －)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝∑7i ＝1 (t i －t －)(y i －y －)∑7i ＝1(t i －t －)2＝1428＝0.5， a ^＝y －－b ^t －＝4.3－0.5×4＝2.3， 所求回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b^＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号t＝9，代入(1)中的回归方程，得y^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.。

第2章 数 列(A)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 011，则序号n 等于________．2．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________.3．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为________．4．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于________．5．已知在等差数列{a n }中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______．6．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4＝________.7．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q ＝________.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝________.910．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是______秒．11．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝________. 12．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 取到最大值的n 是________．13．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的第________项． 14．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0.给出下列结论：①0<q <1；②a 99·a 101－1<0；③T 100的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是______．(填写所有正确的序号)二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式．16．(14分)已知等差数列{a n}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{a n}的前n项和S n. 17．(14分)已知数列{log2(a n－1)} (n∈N*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1a n＋1－a n<1.18．(16分)在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋2n.(1)设b n＝a n2n－1.证明：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}的前n项和．19．(16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝12S n (n ＝1,2,3，…)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当b n ＝log 32(3a n ＋1)时，求证：数列{1b n b n ＋1}的前n 项和T n ＝n 1＋n.20．(16分)已知数列{a n }的各项均为正数，对任意n ∈N *，它的前n 项和S n 满足S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)，并且a 2，a 4，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n ＋1a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T 2n .第2章 数 列(A)答案1．671解析 由2 011＝1＋3(n －1)解得n ＝671.2．15解析 在等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝a 4＋a 12，∴a 12＝16－1＝15.3．120解析 由a 5＝a 2q 3得q ＝3.∴a 1＝a 2q＝3，S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3(1－34)1－3＝120. 4．180解析 ∵(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝3(a 1＋a 20)＝－24＋78＝54，∴a 1＋a 20＝18.∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝180. 5．－4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝23＋5d ≥0a 7＝23＋6d <0，解得－235≤d <－236， ∵d ∈Z ，∴d ＝－4.6．8解析 ∵a 2＋a 6＝34，a 2·a 6＝64，∴a 24＝64， ∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8.7．－1或2解析 依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0.∴q ＝－1或q ＝2.8．3∶4解析 显然等比数列{a n }的公比q ≠1，则由S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝12⇒q 5＝－12， 故S 15S 5＝1－q 151－q 5＝1－(q 5)31－q 5＝1－⎝⎛⎭⎫－1231－⎝⎛⎭⎫－12＝34. 9．n 2＋n解析 由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n .10．15解析 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式得na 1＋n (n －1)d 2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15.11.1316解析 因为a 23＝a 1·a 9，所以(a 1＋2d )2＝a 1·(a 1＋8d )．所以a 1＝d .所以a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝3a 1＋10d 3a 1＋13d ＝1316. 12．20解析 ∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ，∴99－105＝3d .∴d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400.∴当n ＝20时，S n 有最大值．13．50解析 将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个，即⎝⎛⎭⎫11，⎝⎛⎭⎫12，21，⎝⎛⎭⎫13，22，31，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，2n －1，…，n 1， 则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1，则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.14．①②④解析 ①中，⎩⎪⎨⎪⎧ (a 99－1)(a 100－1)<0a 99a 100>1a 1>1⇒⎩⎨⎧a 99>10<a 100<1⇒q ＝a 100a 99∈(0,1)，∴①正确． ②中，⎩⎨⎧ a 99a 101＝a 21000<a 100<1⇒a 99·a 101<1，∴②正确． ③中，⎩⎨⎧T 100＝T 99·a 1000<a 100<1⇒T 100<T 99，∴③错误． ④中，T 198＝a 1a 2…a 198＝(a 1·a 198)(a 2·a 197)…(a 99·a 100)＝(a 99·a 100)99>1，T 199＝a 1a 2…a 198·a 199＝(a 1a 199)…(a 99·a 101)·a 100＝a 199100<1，∴④正确．15．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＝－6，a 6＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0.解得a 1＝－10，d ＝2.所以a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12.(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，q ＝3.所以数列{b n }的前n 项和公式为S n ＝b 1(1－q n )1－q＝4(1－3n )． 16．解 设{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8，d ＝－2. 因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．17．(1)解 设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明 因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ， 所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n ＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n <1. 18．(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1. ∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解 由(1)知，b n ＝n ，a n 2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1. ∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1两边乘以2得：2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ， 两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.19．(1)解 由已知⎩⎨⎧ a n ＋1＝12S n ，a n ＝12S n －1(n ≥2)，得a n ＋1＝32a n (n ≥2)． ∴数列{a n }是以a 2为首项，以32为公比的等比数列． 又a 2＝12S 1＝12a 1＝12，∴a n ＝a 2×(32)n －2(n ≥2)． ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，12×(32)n －2， n ≥2.(2)证明 b n ＝log 32(3a n ＋1)＝log 32[32×(32)n －1]＝n . ∴1b n b n ＋1＝1n (1＋n )＝1n －11＋n. ∴T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝(11－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －11＋n) ＝1－11＋n ＝n 1＋n. 20．解 (1)∵对任意n ∈N *，有S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)，① ∴当n ＝1时，有S 1＝a 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)， 解得a 1＝1或2.当n ≥2时，有S n －1＝16(a n －1＋1)(a n －1＋2)．② ①－②并整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0. 而数列{a n }的各项均为正数，∴a n －a n －1＝3. 当a 1＝1时，a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2， 此时a 24＝a 2a 9成立；当a 1＝2时，a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1， 此时a 24＝a 2a 9不成立，舍去．∴a n ＝3n －2，n ∈N *.(2)T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1) ＝－6a 2－6a 4－…－6a 2n＝－6(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－6×n (4＋6n －2)2＝－18n 2－6n .。

章末综合检测(一)[学生用书P84(单独成册)](时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关系中，正确的个数为()①22∈R；②0∈N*；③{－5}⊆Z；④∅⊆{∅}；⑤∅∈{∅}．A．1B．2 C．3 D．4解析：选D.因为①22∈R，②0∉N*，③{－5}⊆Z，④∅看作集合时正确，由于{∅}中有一个元素是∅，所以⑤正确，选D.2．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝()A．{1，3} B．{1，2}C．{2，3} D．{1，2，3}解析：选A.由题意可得B＝{1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}，故选A.3．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}，N＝{2，3}，则(∁U M)∩N＝() A．{2，3，4} B．{3}C．{2} D．{0，1，2，3，4}解析：选B.全集U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}，则∁U M＝{3，4}，又N＝{2，3}，所以(∁U M)∩N＝{3}．故选B.4．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是() A．M＝P B．M PC．P M D．M与P没有公共元素解析：选B.因为a∈N*，所以x＝a2＋1＝2，5，10，….因为b∈N*，所以y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1，2，5，10，….所以M P.5．设全集为R，A＝{x|x<3，或x>5}，B＝{x|－3<x<3}，则()A．∁R(A∪B)＝R B．A∪(∁R B)＝RC．(∁R A)∪(∁R B)＝R D．A∪B＝R解析：选B.因为∁R A＝{x|3≤x≤5}，∁R B＝{x|x≤－3或x≥3}，逐个验证知B正确．6．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B 的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D.A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0<x<5，x∈N}＝{1，2，3，4}，因为A⊆C⊆B，所以C可为{1，2}，{1，2，3}{1，2，4}，{1，2，3，4}，故集合C的个数为4.7．图中阴影部分所表示的集合是()A．B∩[∁U(A∪C)] B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(∁U B) D．[∁U(A∩C)]∪B解析：选 A.题图中阴影部分集合在A，C区域之外，且在B内，故所表示的集合为B∩[∁U(A∪C)]，选A.8．若集合A，B满足A＝{x∈Z|x＜3}，B⊆N，则A∩B不可能是()A．{0，1，2} B．{1，2}C．{－1} D．∅解析：选C.由B⊆N，－1∉N，故A∩B不可能是{－1}．故选C.9．集合M由正整数的平方组成，即M＝{1，4，9，16，25，…}，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的．M对下列运算封闭的是()A．加法B．减法C．乘法D．除法解析：选 C.由于两个正整数的平方的乘积仍然是一个整数的平方，因此M对乘法封闭．选C.10．设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x|x∈M且x∉P}，则M －(M－P)等于()A．P B．M∩PC．M∪P D．M解析：选B.作出V enn 图．当M ∩P ≠∅时，由图知，M －P 为图中的阴影部分，则M －(M －P )显然是M ∩P . 当M ∩P ＝∅时，M －(M －P )＝M －M ＝{x |x ∈M ，且x ∉M }＝∅＝M ∩P .故选B.11．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝－22或⎩⎨⎧x ＝22，y ＝22.所以A ∩B 的元素个数为2.12．对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－94，x ∈R ，B ＝{x |x <0，x ∈R }，则A ⊕B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－94，0 B.⎣⎡⎭⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－94∪(0，＋∞) 解析：选C.依题意得A －B ＝{x |x ≥0，x ∈R }，B －A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－94，x ∈R ，故A ⊕B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞)．故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知集合M ⊆{4，7，8}，且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有________个．解析：M 可以为∅，{4}，{4，7}，{8}，{8，7}，{7}．答案：614．已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈Z}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则A∩B为________．解析：由1－x2≥0得，－1≤x≤1，因为x∈Z，所以A＝{－1，0，1}．当x∈A时，y＝x2＋1∈{2，1}，即B＝{1，2}，所以A∩B＝{1}．答案：{1}15．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{－1，0，1}，Q＝{－2，2}，则集合P*Q中元素的个数是________．解析：按P*Q的定义，P*Q中元素为2，－2，0，共3个．答案：316．已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A ＝________．(用列举法表示)解析：假设a1∈A，则a2∈A，则由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，与题意不符，所以假设不成立；假设a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，且a1∉A，与题意不符，所以假设不成立，故集合A＝{a2，a3}(经检验知符合题意)．答案：{a2，a3}三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知全集U＝R，A＝{x|2≤x<5}，集合B＝{x|3<x<9}．求(1)∁U(A∪B)；(2)A∩(∁U B)．解：(1)因为A∪B＝{x|2≤x<9}，所以∁U(A∪B)＝{x|x<2或x≥9}．(2)因为∁U B＝{x|x≤3或x≥9}，所以A∩(∁U B)＝{x|2≤x≤3}．18．(本小题满分12分)设全集U＝{2，4，－(a－3)2}，集合A＝{2，a2－a＋2}，若∁U A ＝{－1}，求实数a的值．解：由∁U A ＝{－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧－1∈U ，－1∉A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（a －3）2＝－1，a 2－a ＋2≠－1，解得a ＝4或a ＝2.当a ＝2时，A ＝{2，4}，满足A ⊆U ，符合题意； 当a ＝4时，A ＝{2，14}，不满足A ⊆U ，故舍去． 综上，a 的值为2.19．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，集合B ＝{x |p ＋1≤x ≤2p －1}．若B ⊆A ，求实数p 的取值范围．解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x ≤5， 故A ＝{x |－2≤x ≤5}．①当B ≠∅时，即p ＋1≤2p －1⇒p ≥2.由B ⊆A 得：－2≤p ＋1且2p －1≤5，解得－3≤p ≤3. 所以2≤p ≤3.②当B ＝∅时，即p ＋1>2p －1⇒p <2. 由①②得p 的取值范围是p ≤3.20．(本小题满分12分)设A ，B 是两个非空集合，定义A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．(1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集A －B 与B －A 是否一定相等？说明理由；(3)已知A ＝{x |x >4}，B ＝{x |－6<x <6}，求A －(A －B )和B －(B －A )． 解：(1)如A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，则A －B ＝{1}． (2)不一定相等，由(1)B －A ＝{4}，而A －B ＝{1}，故A －B ≠B －A . 又如，A ＝B ＝{1，2，3}时，A －B ＝∅，B －A ＝∅，此时A －B ＝B －A ，故A －B 与B －A 不一定相等． (3)因为A －B ＝{x |x ≥6}， B －A ＝{x |－6<x ≤4}，A －(A －B )＝{x |4<x <6}， B －(B －A )＝{x |4<x <6}．21．(本小题满分12分)某班50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？解：设全集U ＝{某班50名学生}，A ＝{会讲英语的学生}，B ＝{会讲日语的学生}，A ∩B ＝{既会讲英语又会讲日语的学生}，则由V enn 图知，既不会讲英语又不会讲日语的学生有：50－22－14－6＝8(人)．22．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －8＝0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋a 2－12＝0}，若A ∪B ≠A ，求实数a 的取值范围．解：若B ∪A ＝A ，则B ⊆A ，又A ＝{x |x 2－2x －8＝0}＝{－2，4}， 所以集合B 有以下三种情况：①当B ＝∅，有Δ＝a 2－4(a 2－12)<0⇒a 2>16⇒a <－4 或a >4； ②当B 是单元素集合时，有Δ＝0⇒a 2＝16⇒a ＝－4或 a ＝4. 若a ＝－4，则B ＝{2}⃘A ，若a ＝4，则B ＝{－2}⊆A ；③当B ＝{－2，4}时，有－2，4是关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－12＝0的两根⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2＋4＝－a ，（－2）×4＝a 2－12⇒a ＝－2.此时，B ＝{x |x 2－2x －8＝0}＝{－2，4}⊆A .综上可知，B ∪A ＝A 时，实数a 的取值范围是a <－4或a ≥4或a ＝－2. 所以B ∪A ≠A 时，实数a 的取值范围为－4≤a <4，且a ≠－2.。

章末综合测评(六) 统 计(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某次体检5位同学的身高(单位：米)分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76.则这组数据的中位数是( )A ．1.74B ．1.75C ．1.76D ．1.77C [将5位同学的身高按照从小到大的顺序排列为1.69,1.72,1.76,1.78,1.80，则位于中间的数是1.76，即中位数是1.76.]2．当前，国家正分批修建保障性住房以解决低收入家庭住房紧张的问题．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、1 80户．第一批保障性住房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，若采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为( )A ．30B ．40C ．45D ．50B [从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360360＋270＋180×90＝40.]3．已知一组数据8,9,10，x ，y 的平均数为9，方差为2，则x 2＋y 2＝( ) A ．162 B ．164 C ．168 D ．170D [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧15(8＋9＋10＋x ＋y )＝9，15[(8－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(x －9)2＋(y －9)2]＝2，解得x 2＋y 2＝170.]4．如图是2020年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述正确的是( )①2020年第一季度GDP总量和增速居同一位的省只有1个；②与去年同期相比，2020年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长；③去年同期的GDP总量前三位是D省、B省、A省；④2019年同期A省的GDP总量也是第三位．A．①②B．②③④C．②④D．①③④B[①2020年第一季度GDP总量和增速居同一位的省有2个，B省和C省的GDP总量和增速分别居第一位和第四位，故①错误；由题图知②正确；由题图计算2019年同期五省的GDP总量，可知前三位为D省、B省、A省，故③正确；由③知2019年同期A省的GDP总量是第三位，故④正确．故选B．] 5．已知一种腌菜食品按行业生产标准分为A，B，C三个等级，现针对某加工厂同一批次的三个等级420箱腌菜进行质量检测，采用分层抽样的方法进行抽取，设从三个等级A，B，C中抽取的箱数分别为m，n，t，若2t＝m＋n，则420箱中等级为C级的箱数为()A．120B．140C．160D．180B[由2t＝m＋n，可知等级为C级的腌菜箱数占全部箱数的13，故420箱腌菜中等级为C的腌菜箱数为420×13＝140.]6．为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了n名学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，所得数据都在区间[10,110]内，其频率分布直方图如图所示．已知活动时间在[10,35)内的频数为80，则n的值为()A．700 B．800C．850 D．900B[根据频率分布直方图，知组距为25，所以活动时间在[10,35)内的频率为0.1.因为活动时间在[10,35)内的频数为80，所以n＝800.1＝800.故选B．]7．2016年1月1日我国全面实施二孩政策后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2 400人，30岁至40岁的约3 600人，40岁以上的约6 000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60，则N＝()A．180B．186C．194D．200D[由题意得3 6002 400＋3 600＋6 000＝60N，解得N＝200.]8．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数B[标准差能反映一组数据的稳定程度．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．)9．甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表，某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是( )A B ．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大C ．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)D ．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数ABC [甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均数相同，A正确；s 2甲＝191>110＝s 2乙，甲班成绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，B 正确．甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班不少于150个的人数要多于甲班，C 正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，D 错误．故选ABC ．]10．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是( )A ．平均数x ≤3B ．平均数x ≤3且标准差s ≤2C ．平均数x ≤3且最大值与最小值的差小于或等于2D ．众数等于1且极差小于或等于4CD [对于A ，举反例：0,0,0,0,2,6,6，其平均数x －＝2≤3，不符合指标. A 错；对于B, 举反例：0,3,3,3,3,3,6，其平均数x ＝3，且标准差s ＝187≤2，B 错；对于C ，若最大值与最小值的差等于0或1，在x ≤3的条件下，显然符合指标；若最大值与最小值的差等于2且x≤3，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：(1)0,2，(2)1,3，(3)2,4，符合指标，C对；对于D，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标，D对. 故选CD．]11. AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述正确的是()A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好ABD[由图可知，AQI不大于100天有6日到11日，共6天，所以A对；AQI最小的一天为9日，所以B对；中位为是95＋1042＝99.5，C错．从图中可以4日到9日AQI越来越小，D对．所以选ABD．]12．某地区经过一年的建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是()A．建设后，种植收入减少B．建设后，其他收入增加了一倍以上C．建设后，养殖收入增加了一倍D．建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半BCD[设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，由题图可知：三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．下列数据的70%分位数为________．20,14,26,18,28,30,24,26,33,12,35,22.28[把所给的数据按照从小到大的顺序排列可得：12,14,18,20,22,24,26,26,28,30,33,35，因为有12个数据，所以12×70%＝8.4，不是整数，所以数据的70%分位数为第9个数28.]14．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：10辆，则z的值为________．400[由题意可得50100＋300＋150＋450＋z＋600＝10100＋300，解得z＝400.]15．某高中在校学生有2 000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如表：其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25，为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取________人．36[根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×35＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×32＋3＋5＝36.]16．某班有48名学生，在一次考试后统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实际得了80分却记成了50分，乙得了70分却记成了100分，更正后平均分为__________．方差分别为________．7050[平均数没有变化、方差有变动．登记错了的情况下，s2＝148[…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…]＝75，实际上，s2＝148[…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…]＝50.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获得的利润为30元，未售出的产品，每盒亏损10元．该大学生通过查询资料得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该大学生为这个开学季购进了160盒该产品，以x(单位：盒，100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数；(2)将y表示为x的函数；(3)根据直方图估计利润y不少于4 000元的概率．[解](1)由题中频率分布直方图得，这个开学季内市场需求量x的众数是150盒，需求量在[100,120)内的频率为0.005 0×20＝0.1， 需求量在[120,140)内的频率为0.010 0×20＝0.2， 需求量在[140,160)内的频率为0.015 0×20＝0.3， 需求量在[160,180)内的频率为0.012 5×20＝0.25， 需求量在[180,200]内的频率为0.007 5×20＝0.15.则平均数x ＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153(盒)．(2)因为每售出1盒该产品获得的利润为30元，未售出的产品，每盒亏损10元，所以当100≤x ＜160时，y ＝30x －10×(160－x )＝40x －1 600； 当160≤x ≤200时，y ＝160×30＝4 800. 所以y ＝⎩⎨⎧40x －1 600，100≤x <160，4 800，160≤x ≤200.(3)因为利润y 不少于4 000元，所以当100≤x ＜160时，由40x －1 600≥4 000，解得140≤x ＜160；当160≤x ≤200时，y ＝4 800＞4 000恒成立，所以140≤x ≤200时，利润y 不少于4 000元．故由(1)知利润y 不少于4 000元的概率P ＝1－0.1－0.2＝0.7.18．(本小题满分12分)某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ [解] (1)∵x2 000＝0.19，∴x ＝380.(2)初三年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为482000×500＝12(名)．19．(本小题满分12分)2016年8月7日，在里约奥运会射击女子10米气手枪决赛中，中国选手张梦雪以199.4环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金，俄罗斯选手巴特萨拉斯基纳获得银牌．下表是两位选手的其中10枪成绩．(2)请计算两位射击选手成绩的方差，并比较谁的射击情况比较稳定． [解] (1)x 张＝110×(10.2＋…＋9.2)＝10，x 巴＝110×(10.1＋…＋9.7)＝9.9，可知张梦雪的成绩较好．(2)s 2张＝110×(0.22＋0.32＋(－0.2)2＋0.12＋0＋(－0.7)2＋0.92＋(－0.1)2＋0.32＋(－0.8)2)＝0.222，s 2巴＝110×(0.22＋0.12＋0.52＋0.32＋(－0.7)2＋(－0.7)2＋0.62＋0.32＋(－0.4)2＋(－0.2)2)＝0.202.因为s 2张>s 2巴，所以巴特萨拉斯基纳成绩较稳定．20．(本小题满分12分)根据空气质量指数AQI(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表： [50,100)，[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数． [解] (1)根据频率分布直方图可知：x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫31 825＋2365＋71 825＋31 825＋89 125×50÷50＝11918 250. (2)一年中空气质量为良和轻微污染的天数分别是11918 250×50×365＝119(天)；2365×50×365＝100(天)．21．(本小题满分12分)从某高校自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，把成绩分组，得到的频率分布表如下：组号 分组 频数 频率 第1组 [160,165) 5 0.05 第2组 [165,170) ① 0.35 第3组 [170,175) 30 ② 第4组 [175,180) 20 0.20 第5组 [180,185] 10 0.10合计1001.00(1)(2)这次笔试成绩的中位数落在哪组内？(3)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中利用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮面试，求从第3、4、5组分别抽取多少人进行第二轮面试．[解] (1)由题意知第2组的频数为100－5－30－20－10＝35；第3组的频率为1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30.(2)第1组和第2组的频数和为40，第4组和第5组的频数和为30，所以这次笔试成绩的中位数落在第3组内．(3)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样法在60名学生中抽取6名学生，从第3组抽取3060×6＝3(人)，从第4组抽取2060×6＝2(人)，从第5组抽取1060×6＝1(人)．所以从第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进行第二轮面试．22．(本小题满分12分)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面频数直方图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元), n 表示购机的同时购买的易损零件数．(1)若n ＝19，求y 与x 的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？[解] (1)当x ≤19时，y ＝3 800；当x ＞19时，y ＝3 800＋500(x －19)＝500x －5 700，所以y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧3 800，x ≤19，500x －5 700，x >19，(x ∈N )． (2)由频数直方图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300,10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100×(3 800×70＋4300×20＋4 800×10)＝4 000.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100×(4 000×90＋4 500×10)＝4 050.比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．。

章末综合测评(五）立体几何初步（满分：150分时间：120分钟）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．给出以下四个命题：①不共面的四点中,其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B,C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面,直线a，c共面,则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是(）A．0B．1C．2D．3B[①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面，所以②不正确；③显然不正确；④不正确．因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．] 2．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是（)A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α,l∥β,则α∥βD．若α⊥β，l∥α,则l⊥βB［对于A,若l∥α,l∥β,则α和β可能平行也可能相交，故错误；对于B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；对于C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误;对于D,若α⊥β,l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β,故错误．故选B．]3．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有（）A．1对B．2对C．3对D．5对D［∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB．同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC,平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．］4．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是（）A．60°B．45°C．30°D．120°A［∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角,在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝错误!,即∠ABO＝60°。

章末综合测评(一)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上)1.下面的伪代码运行后的输出结果是________.【解析】第4行开始交换，a＝2，b＝3，c为赋值后的a，∴c＝2.【答案】2,3,22.(2015·北京高考改编)执行如图1所示的程序框图，输出的结果为________.图1【解析】第一次循环：s＝1－1＝0，t＝1＋1＝2，x＝0，y＝2，k＝1；第二次循环：s ＝0－2＝－2，t ＝0＋2＝2，x ＝－2，y ＝2，k ＝2； 第三次循环：s ＝－2－2＝－4，t ＝－2＋2＝0，x ＝－4，y ＝0，k ＝3. 满足条件，退出循环，输出(－4,0). 【答案】 (－4,0)3.执行下面的伪代码，输出的结果是________.【解析】 第一次循环：x ＝0＋1＝1，x ＝12＝1； 第二次循环：x ＝1＋1＝2，x ＝22＝4； 第三次循环：x ＝4＋1＝5，x ＝52＝25. 满足条件，退出循环.输出25. 【答案】 254.对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图2所示，则lg 1 000⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝________. 【导学号：90200031】图2【解析】 令a ＝lg 1 000＝3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4，∴a<b，故输出b－1a＝4－13＝1.【答案】 15.阅读图3的流程图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写________.图3【解析】第一次循环：s＝2－1＝1，i＝1＋2＝3；第二次循环：s＝1－3＝－2，i＝3＋2＝5；第三次循环：s＝－2－5＝－7，i＝5＋2＝7.此时应退出循环，故判断框内应填“i<6”.【答案】i<6(答案不唯一)6.如下图所给出的是一个算法的伪代码.如果输出的y的值是20，则输入的x 的值是________.【解析】当x≤5时，10x＝20，即x＝2；当x>5时，2.5x＋5＝20，解得x ＝6.【答案】2或67.上述伪代码运行后输出的结果为________.【解析】第一次循环a＝Mod(1,5)＝1.I＝2；第二次循环a＝Mod(3,5)＝3.I＝3；第三次循环a＝Mod(6,5)＝1.I＝4；第四次循环a＝Mod(5,5)＝0.I＝5；第五次循环a＝Mod(5,5)＝0.I＝6.【答案】08.图4是求12＋22＋32＋…＋1002的值的流程图，则正整数n＝________.图4【解析】因为第一次判断执行后，S←12，i←2，第二次判断执行后，S←12＋22，i←3，而题目要求计算12＋22＋32＋…＋1002，故n＝100.【答案】1009.(2015·南京高二检测)下列伪代码输出的结果是________.【解析】 第一次循环：s ＝2×1＋3＝5，I ＝1＋2＝3；第二次循环：s ＝2×3＋3＝9，I ＝3＋2＝5；第三次循环：s ＝2×5＋3＝13，I ＝5＋2＝7；第四次循环：s ＝2×7＋3＝17，I ＝7＋2＝9.不满足条件，结束循环，输出17.【答案】 1710.执行如图5所示的流程图，若输入的x 为4，则输出y 的值为________.图5【解析】 当输入x ＝4时， 计算y ＝12x －1，得y ＝1.不满足|y －x |<1.于是得x ＝1，此时y ＝12－1＝－12， 不满足|y －x |<1，此时x ＝－12，得y ＝－54. 这样|y －x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－54＋12＝34<1，执行“Y ”，所以输出的是－54.【答案】－5 411.(2015·南通高一月考)某程序的伪代码如下所示，则程序运行后的输出结果为________.【解析】此程序的功能是计算1＋3＋5＋7的值，故输出结果为16.【答案】1612.阅读流程图6，如果输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为________.图6【解析】当空白矩形框中应填入的语句为S＝2i时，在运行过程中各变量的值如下所示：i S是否继续循环循环前10第一圈25是第二圈36是第三圈49是第四圈510否故输出的i 值为5，符合题意. 【答案】 S ←2i13.(2015·新课标Ⅰ高考改编)执行下面的程序框图7，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝________.图7【解析】 执行第1次，t ＝0.01，S ＝1，n ＝0，m ＝12＝0.5，S ＝S －m ＝0.5，m ＝m2＝0.25，n ＝1，S ＝0.5>t ＝0.01，是，循环；执行第2次，S ＝S －m ＝0.25，m ＝m2＝0.125，n ＝2，S ＝0.25>t ＝0.01，是，循环；执行第3次，S ＝S －m ＝0.125，m ＝m2＝0.062 5 ，n ＝3，S ＝0.125>t ＝0.01，是，循环；执行第4次，S ＝S －m ＝0.062 5，m ＝m2＝0.03 125，n ＝4，S ＝0.062 5>t ＝0.01，是，循环；执行第5次，S ＝S －m ＝0.031 25，m ＝m2＝0.015 625，n ＝5，S ＝0.03 125>t ＝0.01，是，循环；执行第6次，S＝S－m＝0.015 625，m＝m＝0.007 812 5，n＝6，S＝0.015 625>t2＝0.01，是，循环；＝0.003 906 25，n＝7，S＝0.007 执行第7次，S＝S－m＝0.007 812 5，m＝m2812 5>t＝0.01，否，输出n＝7.【答案】714.执行如图8所示的流程图，若输出的结果是8，则判断框内m的取值范围是________.图8【解析】由题知，k＝1，S＝0，第一次循环，S＝2，k＝2；第二次循环，S＝2＋2×2＝6，k＝3；…；第六次循环，S＝30＋2×6＝42，k＝6＋1＝7；第七次循环，S＝42＋2×7＝56，k＝7＋1＝8，此时应输出k的值，从而易知m的取值范围是(42,56].【答案】(42,56]二、解答题(本大题共6个小题，共90分.解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)设计一个算法，将n个数a1，a2，…，a n中的最小数找出来，并用伪代码表示这个算法.【解】算法如下：S1x←a1，l←2；S2如果2≤l≤n，那么转S3；否则转S6；S3输入a l；S4如果a l<x，那么x←a l；S5l←l＋1，转S2；S6输出x.伪代码如下：16.(本小题满分14分)某公司为激励广大员工的积极性，规定：若推销产品价值在10 000元之内的年终提成5%；若推销产品价值在10 000元以上(包括10 000元)，则年终提成10%，设计一个求公司员工年终提成f(x)的算法的流程图.【解】流程图如下图所示：17.(本小题满分14分)下列是某个问题的算法，将其改为伪代码，并画出流程图. 【导学号：90200032】算法：S1 令i ←1，S ←0.S2 若i ≤999成立，则执行S3. 否则，输出S ，结束算法. S3 S ←S ＋1i . S4 i ←i ＋2，返回S2.【解】 伪代码和流程图如下：18.(本小题满分16分)设计算法求11×2＋12×3＋13×4＋…＋199×100的值.要求画出流程图，写出用基本语句编写的流程图.【解】 程序框图：伪代码如下：19.(本小题满分16分)如图9所示程序框图中，有这样一个执行框x i ＝f (x i －1)，其中的函数关系式为f (x )＝4x －2x ＋1，程序框图中的D 为函数f (x )的定义域. (1)若输入x 0＝4965，请写出输出的所有x i ；(2)若输出的所有x i 都相等，试求输入的初始值x 0.图9【解】 (1)当x 0＝4965时，x 1＝f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4965＝1119， x 2＝f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1119＝15， x 3＝f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝－1，终止循环，所以输出的数为1119，15. (2)要使输出的所有数x i 都相等，则x i ＝f (x i －1)＝x i －1.此时有x 1＝f (x 0)＝x 0，即4x 0－2x 0＋1＝x 0，解得x 0＝1或x 0＝2， 所以输入的初始值x 0＝1或x 0＝2时，输出的所有数x i 都相等.20.(本小题满分16分)新课标要求学生数学模块学分认定由模块成绩决定，模块成绩由考试成绩和平时成绩构成，各占50%，若模块成绩大于或等于60分，获得2学分，否则不能获得学分(为0分).设计一算法，通过考试成绩和平时成绩计算学分，并画出流程图.【解】 算法如下：S1 输入考试成绩C 1和平时成绩C 2；S2 计算模块成绩C ＝C 1＋C 22；S3 判断C 与60的大小关系，输出学分F ：若C ≥60，则输出F ＝2；若C <60，则输出F ＝0.流程图如图所示：。