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第3课时解直角三角形的应用(2)教学目标1．对于测量和计算底部不可到达的物体的高度，要善于将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．2．掌握在实际问题中通过添加辅助线构造成两个直角三角形解决实际问题．教学重难点利用辅助线构造成两个直角三角形解决实际问题．教学过程导入新课以自然景色奇绝著称的佳山，风景秀丽．如果已知佳山电视塔塔身的高度为40米，如何利用测角仪得到佳山的高度？工具：卷尺、测角仪(此问题为底部不可到达的物体高度的测量)推进新课一、合作探究【问题1】出示课本例5测量电视塔高度的方法，让学生画出数学模型，求出电视塔的高．解决此问题的关键在于把它转化为数学问题，利用解直角三角形知识来解决，转化过程中着重请学生画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么)，会利用正切解直角三角形．此种类型的问题一般是通过两个直角三角形，利用两次正切求解．【问题2】在我们的某一方向有一物体，应怎样确定其方向呢？方向角的定义：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如图(1)中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°.特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图(1)的目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．方位角的定义：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．如图(2)中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°.【问题3】如图，一船以20 n mile/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，继续航行1 h到达B处，再测得灯塔C位于北偏东30°，已知灯塔C周围10 n mile内有暗礁．问这船继续向东航行是否安全？如果时间允许，教师可组织学生探讨此题，以加深对方向角的运用．同时，学生对这种问题也非常感兴趣，教师可通过此题创设良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣．若时间不够，此题可作为思考题请学生课后思考．此题应从C点向AB作垂线，如图，问这船继续向东航行是否安全，实际是比较CD的长与10的大小，所以利用Rt△ACD和Rt△BCD中∠CAD，∠CBD的正切值求CD的长是关键．二、巩固提高利用上面解决问题的方法，试设计一种测量方案，解决引入中测量佳山高度的方法．让学生发挥想象力，设计出不同的方案，教师给予指导，选出设计合理、简便的方法．三、随堂练习如图，甲、乙两栋高楼的水平距离BD为90 m，从甲楼顶部C点测得乙楼顶部A点的仰角α为30°，测得乙楼底部B点的俯角β为60°，求甲、乙两栋高楼各有多高？(计算过程和结果都不取近似值)本课小结1．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案．2．如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，利用两个直角三角形进行求解．。
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第4课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容，主要介绍了解直角三角形的知识和方法，以及如何应用这些知识解决实际问题。
本节课的内容是学生在学习了锐角三角函数和直角三角形的性质的基础上进行的，是初中的重要内容，也是中考的热点。
教材通过例题和练习题的形式，让学生掌握解直角三角形的方法，并能够应用到实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数和直角三角形的性质，对解三角形的概念和基本方法有一定的了解。
但是，解直角三角形的应用能力和解决实际问题的能力还有待提高。
因此，在教学过程中，教师需要通过引导和操练，让学生熟练掌握解直角三角形的方法，并能够灵活应用到实际问题中。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握解直角三角形的方法，并能够应用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作和讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和积极的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的方法和应用。
2.难点：解直角三角形在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问和引导，激发学生的思考，让学生主动探索解直角三角形的方法。
2.操练法：教师通过设计不同难度的练习题，让学生反复操练解直角三角形的方法，提高解题能力。
3.小组合作法：教师学生进行小组合作和讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2.学具：练习本、直尺、圆规。
3.教学资源：教材、教学参考书、练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问和复习锐角三角函数和直角三角形的性质，引导学生思考如何解直角三角形。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示教材中的例题，讲解解直角三角形的方法，并引导学生思考如何应用这些方法解决实际问题。
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计5一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容，本节课主要让学生掌握直角三角形的性质，学会用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。
教材通过生活实例引入直角三角形的概念，引导学生探究直角三角形的性质，并用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对三角形有了一定的了解。
但是，对于直角三角形的性质和应用，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、探究等活动，发现直角三角形的性质，并学会运用这些性质解决实际问题。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握直角三角形的性质，学会用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、探究等活动，培养学生的观察能力、动手能力、思考能力和创新能力。
3.情感态度与价值观：让学生体验数学与生活的密切联系，增强学生对数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质，勾股定理和锐角三角函数的应用。
2.难点：如何引导学生发现直角三角形的性质，并学会运用这些性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入直角三角形的概念，引导学生探究直角三角形的性质。
2.启发式教学法：在教学过程中，引导学生观察、思考、探究，发现直角三角形的性质。
3.案例教学法：用具体的案例让学生学会用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示直角三角形的图片、实例和相关的数学知识。
2.教学素材：准备一些实际的例子，让学生观察、操作、思考、探究。
3.教学设备：准备白板、黑板、粉笔等教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的直角三角形实例，如建筑物、家具等，引导学生关注直角三角形，激发学生的学习兴趣。
同时，让学生初步了解直角三角形在实际生活中的应用。
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计1一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23章第2节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的概念和直角三角形的性质的基础上进行学习的。
本节的主要内容有：了解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的方法，直角三角形的应用。
本节课的内容在实际生活中的应用非常广泛，如测量身高、距离等。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于锐角三角函数的概念和直角三角形的性质已经有了一定的了解。
但是，对于解直角三角形的意义和方法还需要进一步的引导和讲解。
另外，学生对于数学在实际生活中的应用还比较陌生，需要通过具体的实例来引导和激发学生的学习兴趣。
三. 教学目标1.让学生了解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的方法。
2.能够运用解直角三角形的方法解决实际问题。
3.培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.解直角三角形的意义和方法。
2.直角三角形的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提问引导学生思考和解题。
2.使用多媒体教学，通过动画和图片等形式直观地展示解直角三角形的过程。
3.通过实际例题，让学生体验数学在生活中的应用。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.直角三角形的模型或图片。
3.实际问题实例。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾锐角三角函数的概念和直角三角形的性质，为新课的学习做好铺垫。
呈现（10分钟）教师通过多媒体展示直角三角形的模型或图片，引导学生了解解直角三角形的意义。
然后，通过动画形式展示解直角三角形的方法，让学生初步掌握解直角三角形的基本步骤。
操练（10分钟）教师给出一些实际的例题，让学生独立或合作完成解直角三角形的计算。
教师在这个过程中要注意引导学生运用解直角三角形的方法，并及时给予反馈和指导。
巩固（10分钟）教师可以通过一些练习题让学生进一步巩固解直角三角形的方法。
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计2一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。
本节主要让学生掌握解直角三角形的知识和方法，能运用解直角三角形解决实际问题。
教材通过引入直角三角形的概念和性质，引导学生探究解直角三角形的方法，并通过例题和练习题使学生熟练掌握解直角三角形的技巧。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质和勾股定理，对基础的三角知识有一定的了解。
但是，对于解直角三角形的应用，他们可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
此外，由于九年级学生的学习压力较大，对于较难的知识点可能存在抵触情绪，因此，在教学过程中，需要注重激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
三. 教学目标1.理解直角三角形的概念和性质。
2.掌握解直角三角形的方法，能运用解直角三角形解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.直角三角形的概念和性质。
2.解直角三角形的方法。
3.运用解直角三角形解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.例题教学法：通过讲解典型例题，使学生掌握解直角三角形的方法和技巧。
3.练习法：通过布置不同难度的练习题，使学生巩固所学知识，提高解题能力。
4.小组合作学习：引导学生分组讨论和解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.准备直角三角板和测量工具。
3.设计不同难度的练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的直角三角形，如建筑物、家具等，引导学生观察和思考，引出直角三角形的概念和性质。
2.呈现（10分钟）讲解直角三角形的定义和性质，如直角三角形的三个内角和为180度，直角边与斜边的比例关系等。
通过讲解，使学生理解直角三角形的特点。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，利用直角三角板和测量工具，测量教室内的直角三角形的边长和角度，验证直角三角形的性质。
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第2课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容，本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的概念、直角三角形的性质等知识的基础上进行讲解的。
本节内容主要让学生了解解直角三角形的各种方法，以及如何应用解直角三角形解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固解直角三角形的方法，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形、锐角三角函数等概念有一定的了解。
但是，解直角三角形的方法和应用可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的讲解和辅导。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握解直角三角形的方法，能够运用解直角三角形解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论等方式，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和毅力，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：解直角三角形的方法和应用。
2.教学难点：如何引导学生运用解直角三角形解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、黑板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对解直角三角形的兴趣，进而导入新课。
2.讲解新课：讲解解直角三角形的方法，结合例题进行讲解，让学生通过动手操作、思考问题，掌握解直角三角形的方法。
3.应用拓展：让学生运用解直角三角形的方法解决实际问题，培养学生的应用能力。
4.总结提升：对本节课的内容进行总结，使学生形成知识体系。
5.布置作业：布置一些有关解直角三角形的练习题，巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出本节课的重点内容。
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计4一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。
本节主要让学生掌握直角三角形的性质，学会用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。
教材通过引入直角三角形的边长关系和三角函数的概念，使学生能够更好地理解直角三角形的应用价值。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，对三角形有了一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学的知识。
因此，在教学过程中，需要注重培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理和锐角三角函数的概念。
2.学会用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.直角三角形的性质2.勾股定理的应用3.锐角三角函数的定义和应用五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究直角三角形的性质。
2.利用几何画板软件，直观展示直角三角形的边长关系。
3.采用案例分析法，让学生学会用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。
4.小组讨论，培养学生的合作能力和交流能力。
六. 教学准备1.教学课件2.几何画板软件3.相关案例资料4.小组讨论问题七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板软件展示直角三角形的边长关系，引导学生思考直角三角形的特殊性。
2.呈现（10分钟）介绍直角三角形的性质，讲解勾股定理和锐角三角函数的概念。
3.操练（10分钟）让学生利用勾股定理和锐角三角函数计算直角三角形的边长，解决实际问题。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）小组讨论，让学生运用所学知识解决实际问题，如测量高度、角度等。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调直角三角形性质、勾股定理和锐角三角函数的应用。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关直角三角形的练习题，巩固所学知识。
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计4一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容，本节内容是在学生已经掌握了直角三角形的性质和勾股定理的基础上进行讲解的。
本节主要让学生了解解直角三角形的各种方法，以及如何应用解直角三角形解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，引导学生掌握解直角三角形的方法，并能够灵活运用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形和勾股定理有一定的了解。
但是，解直角三角形的方法和应用可能还有一些学生不太清楚。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的掌握情况，对于不太理解的学生要及时进行讲解和辅导。
三. 教学目标1.让学生掌握解直角三角形的方法，并能够灵活运用。
2.培养学生解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.解直角三角形的方法。
2.如何应用解直角三角形解决实际问题。
五. 教学方法采用讲解法、演示法、练习法、讨论法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作学习，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关练习题。
3.直角三角板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾直角三角形的性质和勾股定理，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT课件展示解直角三角形的方法，并用直角三角板进行演示。
让学生直观地了解解直角三角形的过程。
3.操练（15分钟）教师给出一些例题，让学生独立完成，然后讲解答案，并引导学生总结解题方法。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成，教师巡回指导，对学生的掌握情况进行了解。
5.拓展（10分钟）教师引导学生运用解直角三角形的方法解决实际问题，如测量高度、距离等。
让学生体会数学在生活中的应用。
6.小结（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，让学生明确解直角三角形的方法和应用。
7.家庭作业（5分钟）教师布置一些练习题，让学生回家巩固所学知识。
23.2解直角三角形及其应用第1课时解直角三角形┃教学过程设计┃第2课时 解直角三角形的应用（1）一、复习回顾,导入新课1.什么是解直角三角形？2.解直角三角形的依据是什么？复习解直角三角形的方法.二、师生互动,探究新知1.仰角、俯角.展示教材P126左侧内容.如图,在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.学生阅读教材,体验两个名词概念：仰角与俯角,并完成练习.(1)由A测得B的仰角为36°,由B去测A的俯角为________.(2)一棵树AC在地面上的影子BC为10米,在树影一端B测得树顶A的仰角为45°,则树高________米；若仰角为60°,树高________米.(精确到1米)2.例题.例1：解决本章引言所提问题.如图,某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB,因为不能直接到达塔底B处,他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C,D两处地面上,用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°,同时量得CD为50 m.已知测角器高为1 m,问电视塔的高度为多少米？(精确到1 m)展示教材例4,提出问题：(1)图中的两个直角三角形中直角边之间有怎样的关系？(2)如果设AB1＝x m,则B1C1,B1D1怎样表示？怎样利用Rt△AD1B1求出电视塔的高度？例2：如图,一船以20n mile/h的速度向东航行,在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上,明确铅垂线、水平线、视线、仰角、俯角的概念,为解决问题打基础.初步感受仰角、俯角的应用.继续航行1h到达B处,再测得灯塔C在北偏东30°的方向上.已知灯塔C四周10n mile内有暗礁,问这船继续向东航行是否安全？展示教材例5,引导学生分析：这船继续向东航行是否安全,取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于10n mile.所以只要求出CD的长度即可.师生总结出解决这类问题的基本图形.学会在复杂情境中解题,提高学生分析问题、解决问题的能力.三、运用新知,解决问题教材P126练习1、2题.进一步巩固所学知识.四、课堂小结,提练观点本节课你有什么收获？加强教学反思,帮助学生系统整理知识.五、布置作业,巩固提升1.教材P128练习第1、2题.2.如图,在一座山的山顶处用高为1米的测角仪测地面C、D两点,测得俯角分别为60°和45°,若已知DC长为20 m,求山的高度.加深认识,深化提高.【板书设计】解直角三角形的应用(1)第3课时解直角三角形的应用（2）【教学目标】1.会运用解直角三角形的有关知识解决与坡度、坡角有关的实际问题.2.会运用解直角三角形的有关知识解决综合性问题.【重点难点】重点：解决有关坡度的实际问题.难点：理解坡度的有关术语.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、创设情境,导入新课在现实生活中我们看到：筑的坝、开的渠、修的路,它们的上底面与下底面都不是同样宽的,侧面是有斜坡的,且倾斜程度是不一样的.这些在设计图纸上都要注明,以便施工时遵循.同学们,如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决：如图,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6 m,坝高23 m,斜坡的坡度i＝1∶3,斜坡CD的坡度i＝1∶2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1 m).通过学生对此题的思考,由坡度引人新课,以此引起学生的兴趣.二、师生互动,探究新知1.回忆坡度与坡角的概念.(1)学生先看教材,明确坡度与坡角的概念.(2)教师讲解.如图,坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面坡度(或坡比).记作i,即i＝ht.坡度通常写成1：m的形式,如i＝1：6.坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.思考：坡度与坡角有什么关系？i＝hl＝tan α,显然,坡度越大,坡角α就越大,坡面就越陡.(3)针对练习.①一斜坡的坡角为30度,则它的坡度为________；②坡度通常写成1：________的形式,如果一个斜坡坡度1∶2.5,则这个坡角为________.2.有关坡度的例题.例1：如图,铁路路基的横断面是四边形设置这组练习一是为巩固坡度与坡角的概念,二是为后面的例题讲解做铺垫.启发学生分析本题辅助线的作法.ABCD.AD∥BC,路基顶宽BC＝9.8 m,路基高5.8 m,斜坡AB的坡度i＝1∶1.6,斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值.讲解本题要注意：(1)弄懂题意,对照图讲清“坡度”的概念,使学生明确,如果在这段水平宽度为l(就是水平距离)内,坡面上升的高度为h(就是垂直距离),那么hl就表示每单位长度的水平距离内,上升的垂直距离是多少,且坡度等于坡角的正切值.3.利用解直角三角形的有关知识解决其他问题.例2：已知：在直线y＝kx＋b上有任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α.求证：tan α＝y2－y1x2－x1＝k.引导学生构造如图所示的图形,利用Rt△P1P2R中,tan α＝P2RP1R＝y2－y1x2－x1,结合P1、P2两点在y＝kx＋b上得到y1=kx1+b，①y2=kx2+b. ②再利用②－①得到y2－y1x2－x1＝k,即可得证.对应练习：教材130页练习.引导学生分析坡度在解题中的作用,并将此题化为两个直角三角形和一个矩形来解,然后判断在这两个直角三角形中已知什么,求什么,以及坡角三角形是否可解.三、运用新知,解决问题某商场门前的台阶截面如图所示.已知每级台阶的宽度(如CD )均为30 cm ,每级台阶高度(如BE )均为20 cm.为了方便残疾人行走,商场决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡,并且设计斜坡的倾斜角为9°.请计算从斜坡起点A 到台阶前的点B 的水平距离.(参考数据：sin 9°≈0.16,cos 9°≈0.99,tan 9°≈0.16)四、课堂小结,提炼观点 本节课你有什么收获？五、布置作业,巩固提升 教材P129练习第1、2题.┃教学小结┃【板书设计】解直角三角形的应用(2)坡角、坡度i ＝tan α＝hl例2：解：。
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计1一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。
本节主要让学生掌握直角三角形的性质，学会用勾股定理计算直角三角形的边长，以及学会用三角函数解决实际问题。
教材通过引入直角三角形的边长和角度的关系，引导学生探究并发现勾股定理，进一步运用勾股定理解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的认识有一定的基础。
同时，学生已经掌握了锐角三角函数的定义和性质，为本节学习解直角三角形提供了前提。
但在解决实际问题时，部分学生可能对将实际问题转化为数学模型有一定的困难。
三. 教学目标1.了解直角三角形的性质，掌握勾股定理及运用。
2.学会用三角函数解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：掌握勾股定理，会用勾股定理计算直角三角形的边长。
2.教学难点：将实际问题转化为数学模型，运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究直角三角形的性质。
2.运用实例分析法，让学生学会将实际问题转化为数学模型。
3.采用合作学习法，培养学生团队合作、交流分享的能力。
六. 教学准备1.准备相关直角三角形的图片和实例。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪等。
3.准备练习题和测试题，用于巩固和检验学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）–利用多媒体展示一些与直角三角形相关的图片，如建筑物的侧面、三角板等。
–提问：你们对这些图片有什么观察和发现？–引导学生关注直角三角形的特征，引发学生对直角三角形性质的兴趣。
2.呈现（10分钟）–介绍直角三角形的定义和性质。
–引导学生发现并总结直角三角形的边长关系，即勾股定理。
–通过实例演示，让学生理解并掌握勾股定理的运用。
3.操练（10分钟）–让学生分组讨论，尝试用勾股定理计算给定直角三角形的边长。
23.2解直角三角形及其应用第1课时解直角三角形教学目标【知识与技能】在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上,会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.【过程与方法】通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】在探究学习的过程中,培养学生合作交流的意识,使学生认识到数与形相结合的意义与作用,体会到学好数学知识的作用,并提高学生将数学知识应用于实际的意识,从而体验“从实践中来,到实践中去”的辩证唯物主义思想,激发学生学习数学的兴趣.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦,产生后继学习激情,增强学好数学的信心.重点难点【重点】直角三角形的解法.【难点】灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.、教学过程一、复习回顾师:你还记得勾股定理的内容吗?生:记得.学生叙述勾股定理的内容.师:直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢?生:两锐角互余.师:直角三角形中,30°的角所对的直角边与斜边有什么关系?生:30°的角所对的直角边等于斜边的一半.师:很好!二、共同探究,获取新知1.概念.师:由sinA=,你能得到哪些公式?生甲:a=c·sinA.生乙:c=.师:我们还学习了余弦函数和正切函数,也能得到这些式子的变形.这些公式有一个共同的特点,就是式子的右端至少有一条边,为什么会是这样的呢?学生思考.生:因为左边的也是边,根据右边边与角的关系计算出来的应是长度.师:对!解三角形就是由已知的一些边或角求另一些边和角,我们现在看看解直角三角形的概念.教师板书:在直角三角形中,由已知的边角关系,求出未知的边与角,叫做解直角三角形.2.练习教师多媒体课件出示:(1)如图(1)和(2),根据图中的数据解直角三角形;师:图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型,你怎样解决这个问题呢?生1:根据cos60°=,得到AB=,然后把AC边的长和60°角的余弦值代入,求出AB边的长,再用勾股定理求出BC边的长,∠B的度数根据直角三角形两锐角互余即可得到.生2:先用直角三角形两锐角互余得到∠B为30°,然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半,求出AB的值,再由sin60°=得到BC=AB·sin60°,从而得到BC边的长.师:你们回答得都对!还有没有其他的方法了?生3:可以求出AB后用AB的值和∠B的余弦求BC的长.生4:可以在求出AB后不用三角函数,用勾股定理求出BC.师:同学们说出这几种做法都是对的.下面请同学们看图(2),并解这个直角三角形.学生思考,计算.师:这两个题目中已经给出了图形,现在我们再看几道题.教师多媒体课件出示:【例1】在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=42°6',c=287.4,解这个直角三角形.师:你怎样解答这道题呢?先做什么?生:先画出图形.师:很好!现在请同学们画出大致图形.学生画图.教师找一生说说解这个直角三角形的思路,然后让同学们自己做,最后集体订下.解: ∠A=90°-42°6'=47°54'.由cosB=,得a=ccosB=287.4×0.7420≈213.3.由sinB=得b=csinB=287.4×0.6704≈192.7.教师多媒体课件出示:【例2】在△ABC中,∠A=55°,b=20 cm,c=30 cm.求△ABC的面积S△ABC.(精确到0.1 cm2)师:这道题是已知了三角形的两条边和一个角,求三角形的面积.要先怎样?学生思考.生:先画出图形.师:对,题中没有已知图形时,一般都要自己画出图形.然后呢?你能给出解这道题的思路吗?生1:先计算AB边上的高,以AB为底,AB边上的高为三角形的高,根据三角形的面积公式,就能计算出这个三角形的面积了.生2:还可以先计算AC边上的高,然后用三角形的面积公式计算这个三角形的面积.师:很好!我们现在讨论以AB为底时求三角形面积的方法,怎样求AB边上的高呢?教师找一生回答,然后集体订正.解:如图,作AB上的高CD.在Rt△ACD中,CD=AC·sinA=bsinA,∴S△ABC=AB·CD=bcsinA.当∠A=55°,b=20 cm,c=30 cm时,有S△ABC=bcsinA=×20×30sin55°=×20×30×0.8192≈245.8(cm2).教师多媒体课件出示:【例3】如图,东西两炮台A、B相距2 000米,同时发现入侵敌舰C,炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向,炮台B测得敌舰C在它的正南方,试求敌舰与两炮台的距离.(精确到1米)师:这是一个与解直角三角形有关的实际问题,你能将它转化为数学模型吗?学生思考后回答:会.师:这相当于已知了哪些条件,让你求什么量?生:已知直角三角形的一个锐角和一条直角边,求它的斜边和另一直角边.师:你回答得很好!现在请同学们计算一下.学生计算,教师巡视指导,最后集体订正.解:在Rt△ABC中,∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,=tan∠CAB,∴BC=AB·tan∠CAB=2 000×tan50°≈2 384(米)又∵=cos50°,∴AC==≈3 111(米).答:敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3 111米和2 384米.三、练习新知师:现在请同学们看课本第125页练习1的第(1)、(2)题.教师找两生各板演1题,其余同学在下面做,然后集体订正.解:(1)∠A=90°-80°=10°,AB=≈≈172.81,AC=≈≈170.16,(2)BC===≈7.42.cosA===0.375,∠A≈67.976°≈67°58'32″,∠B=90°-∠A=22°1'28″.教师找一生板演课本第125页练习的第3题,其余同学在下面做,然后集体订正.解:过点A向DC作垂线,与DC交于一点E.AE=ADsin43°=6×sin43°≈6×0.682=4.092.S=(AB+DC)×AE=(4+8)×4.092≈24.55.答:梯形的面积为24.55.四、巩固提高师:同学们,通过刚才的学习,相信大家都掌握了一定的解直角三角形及其应用题的方法,现在我出几道习题来检测下大家学得怎么样!教师多媒体课件出示习题:1.在△ABC中,∠C=90°,下列各式中不正确的是()A.b=a·tanBB.a=b·cosAC.c=D.c=【答案】B2.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=35,b=28,则tanA=,tanB=.【答案】3.在Rt△ABC中,∠C=90°,c=10,b=5,则∠A=,S△ABC=.【答案】30°4.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,a=104,b=20.49,求∠A和∠B.(可利用计算器进行运算,精确到1°)【答案】∠A=79°,∠B=11°5.如图,在Rt△ABC中,BC=7.85,AB=11.40,解这个直角三角形.(边长保留三个有效数字,角度精确到1°)【答案】AC=8.27,∠A=44°,∠B=46°五、课堂小结师:本节课,我们学习了什么内容?学生回答.师:你还有什么不懂的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思本节课在教学过程中,能灵活处理教材,敢于放手让学生通过自主学习、合作探究,达到理解并掌握知识的目的,并能运用知识解决问题.在本章开头,我带领学生复习了与解直角三角形有关的知识点,使学生在解决问题时能想到并能熟练运用.在解有特殊角的三角形时有不止一种解法,我鼓励学生勇于发言,给了他们展示自我的机会,锻炼他们表达自己想法的能力,并且增强了他们的自信心.第2课时解直角三角形的应用(1)教学目标【知识与技能】使学生掌握仰角、俯角的概念,并学会正确地运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题.【过程与方法】让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途.【情感、态度与价值】使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.重点难点【重点】将实际问题转化为解直角三角形问题.【难点】将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解.教学过程一、创设情境,导入新知教师多媒体课件出示:南浦大桥建桥时为世界第三大斜拉桥,桥全长8346米,6车道,主塔高154米,塔柱中间,由两根高8米、宽7米的上下拱梁牢牢地连接着,呈“H”型.南浦大桥于1991年12月1日建成通车.南浦大桥横卧在黄浦江上,它使上海人圆了“一桥飞架黄浦江”的梦想.问题:南浦大桥主塔高154米,最高的一根钢索与桥面的夹角为30°,问最高的钢索有多长?追问:第二根钢索与桥面的夹角为35°,如何求第二根钢索的长呢?教师带领学生看题目.二、共同探究师:请同学们思考这个问题.这是一个实际问题,我们将它转换为数学模型后是不是很简单了?你能求出最高的钢索长度吗?生:能.教师找一生回答.量:你能求出第二根钢索的长吗?生:能,与最长的一根钢索长的求法一样.教师多媒体课件出示:操场上有一根旗杆,老师让小明去测量旗杆的高度,小明站在离旗杆底部10米远处,目测旗杆的顶部,视线与水平线的夹角为34°,并已知目高为1米.然后他很快就算出旗杆的高度了.师:请同学们思考这个问题,想想他是如何计算的.学生思考,讨论.师:如果我们把已知的条件转化为三角形的一些元素,你能不能算出?生:能.师:很好!现在请同学们想想已知了或容易算出哪些量,需要求的是什么量?生:已知了一个直角梯形的一条底边,一条腰长,并且容易算出它的一个内角,求它的另一底.师:对,那你知道小明是怎么算的吗?学生思考,交流.生:先把各个顶点用字母标出,然后作辅助线,构造直角三角形.教师找一生板演,并让他解释自己的思路.三、继续探究,层层推进1.讲解.师:在实际生活中,解直角三角形有着广泛的应用,例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形.教师在黑板上作图.师:当我们测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角;在水平线以下的角叫做俯角.注意:(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角,而不是与铅垂线所夹的角;(2)仰角和俯角都是锐角.师:我们自己测量角时用什么工具啊?生:量角器.量:测量仰角、俯角也有专门的工具,是测角仪.2.练习新知.教师多媒体课件出示:(1)如图,∠C=∠DEB=90°,FB∥AC,从A看D的仰角是;从B看D的俯角是;从A看B的角是;从D看B的是;从B看A的角是.师:你能根据仰角和俯角的概念回答这些问题吗?生:能.教师找一生回答,然后集体订正得到:从A看D的仰角是∠2,从B看D的俯角是∠FBD,从A看B的仰角是∠BAC,从D看B的仰角是∠3,从B看A的俯角是∠1.教师多媒体课件出示:(2)如图,线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼的高,AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°,测得乙楼底部D的俯角β=60°.已知甲楼的高AB=24米,求乙楼的高CD.学生看题思考.师:这道题也需要我们把它转化为解直角三角形来解决,但现在还没有直角三角形呢,你怎样求?生:因为AB⊥BD,CD⊥BD,所以过A作AE∥BD,即有AE⊥BD,得到Rt△ACE和Rt△ADE,确定仰角和俯角.已知AB=24米,可知DE=24米,可求出AE,进而求出CE.教师作图.师:然后怎样做呢?老师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.解:在Rt△AEC中,∠AEC=90°∠EAC=α=30°.∵tanα==,∴CE=8tanα=8×tan30°=8×=8(米).∴CD=CE+DE=24+8=32(米).四、例题讲解【例1】如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8 m的E处,测得树顶的仰角∠ACD=52°.已知测角器的架高CE=1.6 m,问树高AB为多少米?(精确到0.1 m)解:在Rt△ACD中,∠ACD=52°,CD=EB=8 m.由tan∠ACD=,得AD=CD·tan∠ACD=8×tan52°=8×1.2799≈10.2(m).由DB=CE=16 m得AB=AD+DB=10.2+1.6=11.8(m).答:树高AB为11.8 m.【例2】解决本章引言所提问题.如图,某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB,因为不能直接到达塔底B处,他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C、D两处地面上,用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°,同时量得CD为50 m,已知测角器高为1 m,问电视塔的高度为多少米?(精确到1 m)解:设AB1=x m.在Rt△AC1B1中,由∠AC1B1=45°,得C1B1=AB1.在Rt△AD1B1中,由∠AD1B1=30°,得tan∠AD1B1==,即=.解方程,得x=25(+1)≈68.∴AB=AB1+B1B≈68+1=69(m).答:电视塔的高度为69m.五、巩固提高师:同学们,刚才的讲解你们都听明白了吗?还有什么不懂的地方可以在下课后问我,现在让我们一起来解决几个关于直角三角形应用的问题.老师多媒体课件出示题目:1.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500 m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB长是()A.250 mB.250 mC. mD.250 m【答案】A2.王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°,已知水平距离BD=10 m,楼高AB=24 m,则树CD的高度为()A.(24-)mB.(24-10)mC.(24-5)mD.9 m【答案】B3.升国旗时,某同学站在距离旗杆底部24米处行注目礼,当国旗升到主旗杆顶端时,该同学视线的仰角恰为30°.若该同学的双眼距离地面1.5米,则旗杆的高度大约为.(精确到0.1米) 【答案】15.4米4.如图,某飞机在空中A处探测到地面的目标B,此时从飞机上看目标B的俯角为α,若测得飞机与目标B之间的距离AB大约为2400米,且sinα=0.52,求飞机的飞行高度.【答案】1248米5.如图,为测量某塔AB的高度,在距离该塔底部20米的C处目测塔的顶端A,仰角为60°.已知目高为1.5米,求该塔的高度.(≈1.7)【答案】35.5米六、课堂小结师:本节课,我们学习了什么内容?学生回答.师:你还有什么不懂的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思多媒体课件简洁生动,通过图片形象地向学生展示出所提出的问题,吸引学生的注意,使学生解决问题的同时,吸收了数学中的转化思想、建模思想、方程思想,即把现实问题通过建立数学模型转化成数学问题,并运用构建方程的思想达到数与形的结合.解直角三角形的内容是初中阶段数学教学中的重点之一,使学生对所学知识有了更好的巩固,同时让学生体会到数学与实际的联系.例题设置具有一定坡度,由浅入深,步步深入.第3课时解直角三角形的应用(2)教学目标【知识与技能】会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题.【过程与方法】逐步培养学生分析问题、解决问题的能力,渗透数形结合的思想方法【情感、态度与价值观】使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.重点难点【重点】解决有关坡度的实际问题.【难点】理解坡度的概念和有关术语.教学过程一、创设情境,导入新知师:在现实生活中,经常会有建筑大坝、修地基等,它们的截面上底和下底不是同样宽的,侧面是有斜坡的,且倾斜程度是不一样的,这些在设计图纸上都要注明,以便施工时遵循.教师多媒体课件出示:例:如图,一段路基的横断面是梯形,高为4.2米,上底的宽是12.51米,路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽.(精确到0.1米)师:已知一个大坝的横截面是梯形,坝顶宽6 m,坝高23 m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1 m).学生思考.二、问题探究1.回忆旧知识.师:我们先来回忆一下坡度与坡角的概念.学生看课本.老师作图:师:坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度或坡比,通常用小写字母i表示,坡面与水平面的夹角叫做坡角或倾斜角,一般用α表示.坡度与坡角的关系是:坡度越大,坡角越大.2.练习.教师多媒体课件出示:(1)一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为;(2)坡度通常写成1∶的形式.如果一个坡度为1∶2.5,则这个坡角为;(3)等腰梯形的较小底长为3,腰长为5,高为4,则另一个底长为,坡度为;(4)堤坝横断面是等腰梯形,(如图所示)若AB=10,CD=4,高h=4,则坡度i=,AD=;若AB=10,CD=4,i=,则h=.师:我们再来看几个练习,以加深对坡度和坡角的理解.教师找学生回答,然后集体订正.【答案】(1)(2)m20°48'(3)4∶350.6三、例题讲解【例1】如图,一船以20n mile/h的速度向东航行,在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上,继续航行1h到达B处,再测得灯塔C在北偏东30°的方向上.已知灯塔C四周10n mile内有暗礁,问这船继续向东航行是否安全?分析:这船继续向东航行是否安全,取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于10n mile.解:过点C作CD⊥AB于点D,设CD=x n mile.在Rt△ACD中,AD==.在Rt△BCD中,BD==.由AB=AD-BD,得AB=-=20,即-=20,解方程,得x=10>10.答:这船继续向东航行是安全的.【例2】如图,铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基顶宽BC=9.8 m,路基高BE=5.8 m,斜坡AB的坡度i=1∶1.6,斜坡CD的坡度i'=1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值.解:过点C作CD⊥AD于点F,得CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β.∵BE=5.8 m,=,=,∴AE=1.6×5.8=9.28(m),DF=2.5×5.8=14.5(m).∴AD=AE+FE+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).由tanα=i=,tanβ=i'=,得α≈32°,β≈21°.答:铁路路基下底宽为33.6 m,斜坡的坡角分别为32°和21°.【例3】已知:在直线y=kx+b上有任意两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2) ,这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α.求证:tanα==k.证明:由α是锐角,可知直线y=kx+b是上升的,即函数y=kx+b的值随x值的增大而增大.如图,设x1<x2,则y1<y2.过点P1、P2作x轴的垂线,垂足分别为Q1、Q2,再过点P1作x轴的平行线P1R 交P2Q2于点R,得∠P2P1R=α.在Rt△P2P1R中,ta nα===.∵P1、P2都在直线y=kx+b上,∴y1=kx1+b,①y2=kx2+b.②由②-①,得y2-y1=k(x2-x1),∴k=.即tanα==k.四、巩固练习1.为抗洪需修筑一坡度为3∶4的大坝,如果此大坝斜坡的坡角为α,那么α的正切值为()A. B. C. D.【答案】D2.如图,防洪大坝的横断面是梯形,坝高AC为6米,背水坡AB的坡度i=1∶2,则斜坡AB的长为米.【答案】63.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m,此时他与出发地的垂直距离为2 m,则这个坡面的坡度为.【答案】1∶24.如图,斜坡AC的坡度为1∶,AC=10米,坡顶有一旗杆BC,旗杆的顶端点B与点A用一条彩带AB 相连,AB=14米,求旗杆BC的高度.【答案】设旗杆高为x,在Rt△ADC中,CD=AC=5,AD=AC=5,则在△ADB中,AD2+BD2=AB2,即(5)2+(5+x)2=142,解得x=6,所以旗杆高6米.5.如图,梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图(i=1:是指坡面的铅直高度DE与水平长度CE的比),∠B=60°,AB=6,AD=4,求拦水坝的横断面ABCD的面积.(结果保留三个有效数字,参考数据:≈1.732)【答案】52.0师:请同学们认真思考上面的问题,然后在草稿纸上完成解答过程.教师巡视,对有疑问的学生进行指导.五、课堂小结师:本节课,我们学习了什么内容?学生回答.师:你们还有什么不懂的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思在教学过程中要多给学生提供练习的机会,让学生自己来作辅助线.在解直角三角形时让学生讨论,各抒己见.在有多种方法时,让学生讨论哪一种方法简单.这节课应用了坡比、坡度与解直角三角形的结合,而坡比、坡度的概念有些同学可能忘记了或记得不牢,难于灵活应用,所以在本节课开头我带领学生复习并练习了这些概念,使他们能熟练地在下面的练习中应用.。
