有一个NN的矩阵-将矩阵的外围元素进行顺时针旋转

2006上半年程序员考试真题及答案-下午卷试题一(共15分)阅读以下说明和流程图，回答问题1至问题3，将解答填入答题纸的对应栏内。

[说明]信息处理过程中经常需要将图片或汉字点阵做旋转处理。

一个矩阵以顺时针方向旋转90°后可以形成另一个矩阵，如下图所示:A BCDE F G H1 J K L M N O P ───→M I E AN J F BO K G CP L H D流程图1-1描述了对n*n矩阵的某种处理。

流程图1-2是将矩阵A顺时针旋转90°形成矩阵B的具体算法。

[流程图1-1][流程图1-2][问题1](3分)请写出以下3*3单位矩阵沿顺时针方向旋转90°后所形成的矩阵。

[问题2](3分)如果以下3*3矩阵沿顺时针方向旋转90°后所形成的矩阵就是原来的矩阵：其中，位于*处的元素需要考生填写请完整地写出该矩阵。

[问题3](9分)在上述流程图1-1和1-2的算法中，(1)矩阵A第i行第j列的元素A(i,j)被复制到矩阵B中的哪个位置?(2)A(i,j)后来又被复制到矩阵C中的哪个位置?(3)填补流程图1-2中的空缺。

试题二(共15分)阅读以下说明和C语言函数，将应填入__(n)__处的字句写在答题纸的对应栏内。

[说明]函数chanse(int num)的功能是对四位以内（含四位）的十进制正整数num进行如下的变换：将num的每一位数字重复一次，并返回变换结果。

例如，若num=5234，则函数的返回值为55223344，其变换过程可描述为：(4*10+4)*1 + (3*10+3)*100 + (2*10+2)*10000 + (5*10+5)*1000000 = 55223344 [C语言函数]long change (int num){int d, m =num;long result, mul;if (num <= 0 || [__(1)__) /*若num不大于0或num 的位数大于4，则返回-1*/return -1;mul = 1;__(2)__;while (m > O) {d = m % 10;m = __(3)__;result = result + (__(4)__) * mul;mul = __(5)__;}return result;}试题三(共15分)阅读以下说明和C语言函数，将应填入__(n)__处的字句写在答题纸的对应栏内。

A22 ...
... ...
An 2 ...
A1n A2n ... Ann
称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊
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27
伴 随 矩 阵 有 如 下 重 要 性 质 ： AA*A*A(detA)E
矩阵运算举例
例 例 1 8 设 A123T， B11 21 3， CAB ，
求 Cn
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例4
如：A 11
11
B
1 1
11
AB O
BA
2 2
22
显然有：AB 0 AB BA
总结:矩阵乘法不满足交换律与消去律.
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例5 设
A1 1
2 1
1 1,
求AB与BA
1 2 B1 1
2 3
解
3 0 3
1 3 AB2 6
BA0 3 0 1 7 1
定理2.1 若矩阵A的第i行是零行，则乘积 AB的第i行
a..i.1
... ...
a..is.n......
... bnjs
... ...
cij
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例2 计算
2 1
1 8 10
1 3
4 01 3
2 4
051 9
2 5 22 15
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例3. 非齐次线性方程组的矩阵表示
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
关于矩阵乘法的注意事项： （1）矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右
矩阵的行数相等； （2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是
A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；

时，则称X(tn)仅与前一状态X(tn-1)有关而与更前的 22.03.2状022态无关。这一随机过程就是最简单的马尔柯夫过程，
马尔柯夫过程
将上述过程推广到一般，则马尔柯夫过程是这样一种 随机过程，即其随机变量在任意时刻tn时的状态X(tn)， 仅与其前有限次数之内的状态X(tn-i-1), X(tn-i-2), …,X(tn-i) 有关，而与以前的状态无关。
22.03.2022
马尔柯夫状态转移图
用马尔可夫状态转移图可以简单而清晰地反映这一过程。 因此，在用马尔可夫过程求解系统或设备的状态概率时， 应首先作出相应的状态转移图，并填入有关概率值，则 会一目了然并方便求解。
Pij 1/ 3
Pii 2/3
i
j
Pjj 3/ 4
22.03.2022
Pji 3/ 4
懒 鬼 起 来 吧 ！别再 浪费时 间，将 来在坟 墓内有 足够的 时间让 你睡的 。---富 兰克林 （美国 ）
人 生 太 短 暂 了，事 情是这 样的多 ，能不 兼程而 进吗？ ---爱迪 生（美 国）真 正的敏 捷是一 件很有 价值的 事。因 为时间 是衡量 事业的 标准， 一如金 钱是衡 量货物 的标准 ；所在 在做事 我有两个忠实的助手，企业在市场竞争中输赢的关键在于其 核心竞 争力的 强弱， 而实现 核心竞 争力更 新的惟 一途径 就是创 新。 一项权威的调查显示：与缺乏创新的 企业相 比，成 功创新 的企业 能获得20％甚 至更高 的成长 率；如 果企业80％的 收入来 自新产 品开发 并坚持 下去， 五年內 市值就 能增加 一倍； 全球83％的高 级经理 人深信 ，自己 企业今 后的发 展将更 依赖创 新。
忽 视 当 前 一 刹那的 人，等 于虚掷 了他所 有的一 切。---富 兰克 林（美 国） 时 间 不 可 空 过，惟 用之于 有益的 工作； 一切无 益的行 动，应 该完全 制止。 ---富兰 克林（ 美国）

习题2答案习题2. 写出完成如下平面图形变换的变换矩阵；(1) 保持点（5，10）固定，x 方向放大3倍，y 方向放大2倍。

(2) 绕坐标原点顺时针旋转︒90。

(3) 对直线x y =成轴对称。

(4) 对直线x y -=成轴对称。

(5) 沿与水平方向成θ角的方向扩大1S 倍，沿与水平方向成θ+︒90角的方向扩大2S 倍。

(6) 对于平面上任意一点),(00y x 成为中心对称。

(7) 对平面上任意一条方程为0=++C By Ax 的直线成轴对称。

解答：(1)变换矩阵如下：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⋅⋅--11010020003)10,5()2,3()10,5(T S T(2) 变换矩阵如下：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡︒-︒--︒-︒-=︒-1000010101000)90cos()90sin(0)90sin()90cos()90(R(3) 变换矩阵如下：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=︒-⋅-⋅︒10000101010002222022221000100011000222202222)45()1,1()45(R S R(4) 变换矩阵如下：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=︒-⋅-⋅︒10000101010002222022221000100011000222202222)45()1,1()45(R S R(5) 变换矩阵如下：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅+⋅⋅⋅-⋅⋅-⋅+⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⋅⋅-1000cos sin sin cos )(0sin cos )(sin cos 1000)cos()sin(0)sin()cos(10000001000)cos()sin(0)sin()cos()(),()(2221212122212121θθθθθθθθθθθθθθθθθθS S S S S S S S S S R S S S R(6) 变换矩阵如下：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⋅--⋅--1220100011010001100010001101001),()1,1(),(0000000y x y x y x y x T S y x T(7) 变换矩阵如下：对平面上任意一条方程为0=++C By Ax 的直线成轴对称 当0A ≠时，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+-+-+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-⋅--⋅-⋅-⋅122020210010001100001000100011000010010001)0,())(()1,1())(()0,(22222222222222222222222222222222B A BC B A AC B A B A B A AB B A ABB A A B AC B A A BA B B A B B A A B A A B A B B A B B A A A C AC T A B arctg R S A B arctg R A C T或者当0≠B 时，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+-+-+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-⋅-⋅-⋅--⋅122020210010001100001000100011000010010001),0())(()1,1())((),0(22222222222222222222222222222222B A BCB A AC B A B A B A AB B A ABB A A B BC B A B B A A B A A B A B B A B B A A B A A B A B B C BC T B A arctg R S B A arctg R B C T习题5. 举例说明由平移、比例或旋转构成的组合变换一般不能交换变换的次序，说明什么情况下可以交换次序。