自控原理中高次代数方程近似求根法共21页
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自动控制原理简明版根轨迹法ppt课件
n1
i1 s zi j1 s pi
8
仍以上例说明: R(s)
K1(s 2)
C(s)
s2 2s 2
因为
1 1 1
s2 s1 j s1 j
消去分母 s2 4s 2 0
解上式得到 s1 0.586（舍去） s2 3.414
经检验，s2是根轨迹在实轴上的分离点。 对于采用上述三种方法，所得结果完全一致。由于后面
n
pi / n
j1
18
当K1变化时，极点的重心 保持不变。所以，为了平衡
“重心”的位置，当一部分根 轨
迹随着的增加向左方移动时，
另一部分根轨迹将向右方移动.
例
G(s)H(s)
K1
s(s P2 )( s P3 )( s P4 )
Im p4
p2 p3
0 p1 Re
19
10. 根轨迹上K1值的计算
（2）由劳斯阵列求得（及K1响应的值）；
9 走向
当 n m 2, K1 时 ， 一些轨迹向右，则另一些将向左。
令 dK1 0
ds
s2 2s 2 K1 s 2 s2 4s 2 0
求得 s1 0.586 (舍去)
s2 3.414
C(s)
7
(2)
m 1
n1
i1 s zi j1 s pi
因为
P(s)Q(s) P(s)Q(s) 0
即
P(s) Q(s) P(s) Q(s)
d [ln P(s)] d [lnQ(s)]
d[G1(s)H1(s)] 0或 dK1 0
ds
ds
7 出射角
入射角
复极点处的出射角：
m
n
a 180 (2k 1) i j
自动控制第五章根轨迹法资料
8
绘制根轨迹的基本条件
根轨迹的幅值条件：
n
s pj
j 1
负反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为1800根轨迹；
正反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q)
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为00根轨迹；
9
绘制根轨迹的基本条件
n
s pi
i 1 m
K1
s zj
j 1
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
➢ 根轨迹的幅值条件不仅取决于系统开环零极点的分 布，同时还取决于开环根轨迹的增益K1。
➢ 根轨迹的相角条件仅仅取决于系统开环零极点的分 布，与开环根轨迹的增益K1无关。
2
第一章根轨迹的基本概念
根轨迹的概念的提出 反馈控制系统的性质取决于闭环传函。只要求解
出闭环系统的根，系统的响应就迎刃而解。但是对于 3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可 变参数时，求根更困难了。
1948年，伊凡思提出了一种确定系统闭环特征根 的图解法——根轨迹法。在已知开环零极点分布的基 础上，当某些参数变化时确定闭环极点的一种简单的 图解方法。
12
第二节 绘制根轨迹的基本规则
当K1 时，① s z j ( j 1 ~ m) ，上式成立。 z j 是开环传递
函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在
利用这一方法可以分析系统的性能，确定系统应 有的结构和参数。
3
第一节 根轨迹的基本概念
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
高次方程求解技巧
高次方程求解技巧高次方程是指多项式方程中最高次项的次数大于1的方程。
求解高次方程有很多技巧和方法，本文将介绍几种常用的高次方程求解技巧。
一、根的性质在求解高次方程时，首先可以利用根的性质来推导方程的解。
多项式方程的根是指使方程成立的数值，也就是多项式方程的解。
根的性质有以下几点：1. 如果a是方程P(x)的一个根，那么(a-x)是方程P(x)的一个因式。
2. 如果a是方程P(x)的一个根，那么(a+x)是方程P(x)的一个因式。
3. 如果a是方程P(x)的一个根，那么(a-x)^2是方程P(x)的一个因式。
4. 如果a是方程P(x)的一个根，那么(a+x)^2是方程P(x)的一个因式。
利用这些根的性质，可以将高次方程进行因式分解，从而求解方程。
二、二次方程求解对于二次方程ax^2+bx+c=0，可以使用求根公式来求解。
求根公式是：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)根据这个公式，可以得到二次方程的两个实根或共轭复根。
三、配方法对于形如ax^2+bx+c=0的二次方程，如果无法直接使用求根公式求解，可以使用配方法进行转化。
配方法的基本思想是通过添加或减少一个合适的数使得方程左边变成一个完全平方。
具体步骤如下：1. 如果a不等于1，可以将方程两边同时乘以1/a，得到x^2+(b/a)x+c/a=0。
2. 将方程右边的常数项移到左边，得到x^2+(b/a)x=-c/a。
3. 添加一个数，使得方程左边变成一个完全平方，即加上(b/2a)^2，得到x^2+(b/a)x+(b/2a)^2=-c/a+(b/2a)^2。
4. 将方程左边进行因式分解，得到(x+b/2a)^2=-c/a+(b/2a)^2。
5. 平方根运算，得到x+b/2a=±√(-c/a+(b/2a)^2)。
6. 移项，得到x=-b/2a±√(-c/a+(b/2a)^2)。
通过配方法，可以将二次方程转化为一元二次方程，进而求解方程。
高次方程的解法
高次方程的解法高次方程是指次数大于等于2的方程，例如二次方程、三次方程、四次方程等。
解高次方程是数学中的基本技能之一，能够帮助我们研究各种实际问题。
本文将介绍几种解高次方程的方法，包括因式分解、配方法、提取公因式和根的公式等。
一、因式分解法当高次方程可因式分解时，我们可以通过因式分解的方式求解方程。
举个例子，考虑解二次方程x^2 - 5x + 6 = 0。
首先，我们观察方程中的常数项6，寻找其因数。
可以得知6的因数有1、2、3和6。
然后我们将这些因数带入方程，并观察是否能够满足等式。
不难发现，当将2和3带入方程时，等式成立。
因此，我们可以得出以下因式分解形式：(x - 2)(x - 3) = 0。
由因式分解的性质可知，当一个方程的乘积等于0时，其中一个因式等于0。
因此，我们可以得到两个解：x - 2 = 0 和 x - 3 = 0。
进一步求解可得x的值，即x = 2和x = 3。
因此，原方程的解为x = 2和x = 3。
二、配方法对于一些特殊的高次方程，我们可以通过配方法来求解。
配方法适用于二次方程以及一些特殊的三次方程，例如x^2 + bx + c = 0。
我们仍以二次方程为例进行讲解。
考虑解方程x^2 - 8x + 12 = 0。
首先，我们观察方程中的系数，将常数项12分解为两个数的乘积，这里可以分解为2和6。
然后我们观察方程中的一次项系数-8，将其写成-2和-6之和。
然后将方程重新写成完全平方的形式：(x - 2)(x - 6) = 0。
继续通过因式分解的性质可以得到x的两个解：x - 2 = 0 和 x - 6 = 0。
求解可得x = 2和x = 6。
因此，原方程的解为x = 2和x = 6。
三、提取公因式法当高次方程中存在公因式时，我们可以通过提取公因式的方式简化方程，并进一步求解。
举个例子，考虑解方程x^3 - 4x^2 + 4x = 0。
首先，我们观察方程中的每一项，可以发现每一项都含有x。
自动控制原理 根轨迹法
12
三、根轨迹增益 K r与开环系统增益K的关系 由第三章，系统的开环增益（或开环放大 倍数）为
K lim s G (s) H (s)
s 0
（4-6）
式中 是开环传递函数中含积分环节的个数， 由它来确定该系统是零型系统（ 0）,Ⅰ型系 统（ 1 ）或Ⅱ型系统（ 2 ）等。 将（4-4）代入（4-6）可得
11
根轨迹法的基本任务在于：如何由 已知的开环零、极点的分布及根轨迹增 益，通过图解的方法找出闭环极点。一 旦闭环极点被确定，闭环传递函数的形 式便不难确定，因为闭环零点可由式 （4-5）直接得到。在已知闭环传递函 数的情况下，闭环系统的时间响应可利 用拉氏反变换的方法求出，或利用计算 机直接求解。
5
j
Kr
[s]
P K r 0 1
-2
K r 1
-1
P2 K r 0
0
Kr
图4-1 例4-1的根轨迹
6
当系统参数 K r 为某一确定的值时，闭环系 统特征方程的根在S平面上变化的位臵便可确定， 由此可进一步分析系统的性能。 K r值的变化对闭 环系统特征方程的影响可在根轨迹上直观地看到， 因此系统参数对系统性能的影响也一目了然。所 以用根轨迹图来分析自动控制系统是十分方便的 在上例中，根轨迹图是用解析法作出的，这对于 二阶系统并非难事，但对于高阶系统，求解特征 方程的根就比较困难了。 如果要研究系统参数的变化对闭环系统特征 方程根的影响，就需要大量反复的计算。 1948年伊万斯（W· EVANS）解决了这个问题， R· 提出了根轨迹法。该方法不需要求解闭环系统的 特征方程，只需依据开环传递函数便可会绘制系 统的根轨迹图。
图4-2 控制系统
9高次方程的求根
2 3 2
3
初 等 数
3
学 专 题 研 究
x3 = ω
23
q q q p q p 3 + + +ω + 2 2 2 3 2 3
其中 ω =
2
1 + 3i 2
3
q p 这里 + 叫做方程（2）的判别式。 2 3
（1）当
q p + > 0 时， 2 3
第九讲 高次方程的求根 对于一元方程，人们在获得一次方程、二次方程的求根 公式后，便想寻找一般的n次方程的公式解法，通过努力，在 获得三次、四次方程的求根公式后，寻找五次方程的根式解 法的努力失败了，后来法国年轻的数学家伽罗华证明了次数高 于五次（含五次）的代数方程不可能有求根公式的结论后，人 们才停止了这种搜寻。因此对于高次方程，只能对一些结构 特殊的方程我们可以求出它的初等解，一般的高次方程只能 寻求它的近似解。 本讲主要介绍三次方程的求根公式和称为倒数方程的 求解方法。
a0 ( x 3 +
…③ ③
（次数是最高次数的一半）去除方程③的两边， x3
1 1 1 ) + a1 ( x 2 + 2 ) + a 2 ( x + ) + a 3 = 0 x3 x x
初 等 数 学 专 题 研 究
由于
1 1 3 1 x + 3 = ( x + ) 3( x + ) x x x 1 1 2 2 x + 2 = (x + ) 2 x x 1 所以 作变数替换 y = x + 可以使方程的次数降低一半。 可以使方程的次数降低一半 x
f ( 2) = 3 > 0
3
初 等 数
3
学 专 题 研 究
x3 = ω
23
q q q p q p 3 + + +ω + 2 2 2 3 2 3
其中 ω =
2
1 + 3i 2
3
q p 这里 + 叫做方程（2）的判别式。 2 3
（1）当
q p + > 0 时， 2 3
第九讲 高次方程的求根 对于一元方程，人们在获得一次方程、二次方程的求根 公式后，便想寻找一般的n次方程的公式解法，通过努力，在 获得三次、四次方程的求根公式后，寻找五次方程的根式解 法的努力失败了，后来法国年轻的数学家伽罗华证明了次数高 于五次（含五次）的代数方程不可能有求根公式的结论后，人 们才停止了这种搜寻。因此对于高次方程，只能对一些结构 特殊的方程我们可以求出它的初等解，一般的高次方程只能 寻求它的近似解。 本讲主要介绍三次方程的求根公式和称为倒数方程的 求解方法。
a0 ( x 3 +
…③ ③
（次数是最高次数的一半）去除方程③的两边， x3
1 1 1 ) + a1 ( x 2 + 2 ) + a 2 ( x + ) + a 3 = 0 x3 x x
初 等 数 学 专 题 研 究
由于
1 1 3 1 x + 3 = ( x + ) 3( x + ) x x x 1 1 2 2 x + 2 = (x + ) 2 x x 1 所以 作变数替换 y = x + 可以使方程的次数降低一半。 可以使方程的次数降低一半 x
f ( 2) = 3 > 0
高次方程的解法
高次方程的解法高次方程是指次数大于或等于2的方程。
解高次方程是数学中一项重要的技巧和方法，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的高次方程解法，包括因式分解、配方法、代数求解和数值近似等方法。
一、因式分解法因式分解法是解高次方程的一种常见且直接的方法。
当高次方程具有可因式分解的特点时，我们可以通过因式分解将方程化简为一系列一次或二次方程，进而求解。
例如，我们考虑解方程x^2 + 5x + 6 = 0。
我们尝试将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0。
由此可得x = -2和x = -3，这两个值即为方程的解。
二、配方法配方法是一种常用的解二次方程的方法，但在一些高次方程中同样适用。
配方法的基本思想是通过变量代换和配方，将高次方程转化为一次或二次方程，进而求解。
例如，我们考虑解方程2x^2 + 7x + 3 = 0。
我们可以通过配方法将其转化为(2x + 1)(x + 3) = 0。
由此可得x = -1/2和x = -3，这两个值即为方程的解。
三、代数求解对于一些特定的高次方程，可以通过代数求解的方法来确定其解。
代数求解常用于解三次方程和四次方程等高次方程。
例如，我们考虑解方程x^3 - 3x^2 + x - 3 = 0。
通过代数求解的方法，我们可以得到方程的一个解x = 1。
然后，我们可以通过带入的方式或使用“辗转相除法”等方法继续求解得到方程的其他解。
四、数值近似对于一些高次方程，特别是次数较高，无法直接求解的情况，我们可以使用数值近似的方法来求解。
数值近似方法可以通过迭代计算和数值逼近等技巧，得到方程的近似解。
例如，我们考虑解方程x^5 + 2x^3 - x - 1 = 0。
由于此方程的次数较高，无法通过常规的代数方法求解。
我们可以通过使用牛顿法或二分法等数值方法，逐步逼近解的数值。
通过多次迭代计算，我们可以得到方程的近似解。
综上所述，高次方程的解法可以通过因式分解、配方法、代数求解和数值近似等多种方法来实现。
自动控制原理第四章根轨迹法
例: GK(S)= K/[S(S+a)] 试绘制以a为参变量的根轨迹（K=1） 解：
特征方程：1 + K/[S(S+a)] = 0
进行代数变换：K = - S2 - aS S2 + K = - aS
aS/(S2+K) = -1
-15
-6
0 -4.1
自动控制原理
蒋大明
第三节
一、参数根轨迹
特殊根轨迹
开环增益K为参变量绘出的根轨迹——常规根轨迹。 以系统其它参数为参变量绘出的根轨迹——参数根轨迹。
用参数根轨迹可以分析系统中的各种参数，如开环零极点
的位置、时间常数、反馈系数等对系统性能的影响。
自动控制原理
蒋大明
参数根轨迹
在绘制以K为参变量的常规根轨迹时是以系统的特征方 程为依据： 即: 也可写成: 或: 1 + G(S)H(S) = 0
自动控制原理
蒋大明
第二节 绘制根轨迹的基本法则
一、 根轨迹的分支数 根轨迹在S平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数。 证明：
n阶特征对应有n个特征根。
当开环增益K由0到∞变化时，这n个特征根随K变化必然 会描绘出n条根轨迹。
自动控制原理
蒋大明
绘制根轨迹的基本法则
二、根轨迹对称于实轴。 证明： 闭环特征根若为实数，则必位于实轴上； 闭环特征根若为复数，则一定是以共轭形式成对出现。 所以根轨迹必对称于实轴。
4． 渐近线 σ a= (Σ Pi-Σ Zi)/(n-m) = (0-20-2+j4-2+j4)/(4-0) = -6 φ a= (2K+1)π /(n-m) K=0 φ a= 45° K=1 φ a= 135° K=2 φ a= 225° K=3 φ a= 315°
特征方程：1 + K/[S(S+a)] = 0
进行代数变换：K = - S2 - aS S2 + K = - aS
aS/(S2+K) = -1
-15
-6
0 -4.1
自动控制原理
蒋大明
第三节
一、参数根轨迹
特殊根轨迹
开环增益K为参变量绘出的根轨迹——常规根轨迹。 以系统其它参数为参变量绘出的根轨迹——参数根轨迹。
用参数根轨迹可以分析系统中的各种参数，如开环零极点
的位置、时间常数、反馈系数等对系统性能的影响。
自动控制原理
蒋大明
参数根轨迹
在绘制以K为参变量的常规根轨迹时是以系统的特征方 程为依据： 即: 也可写成: 或: 1 + G(S)H(S) = 0
自动控制原理
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第二节 绘制根轨迹的基本法则
一、 根轨迹的分支数 根轨迹在S平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数。 证明：
n阶特征对应有n个特征根。
当开环增益K由0到∞变化时，这n个特征根随K变化必然 会描绘出n条根轨迹。
自动控制原理
蒋大明
绘制根轨迹的基本法则
二、根轨迹对称于实轴。 证明： 闭环特征根若为实数，则必位于实轴上； 闭环特征根若为复数，则一定是以共轭形式成对出现。 所以根轨迹必对称于实轴。
4． 渐近线 σ a= (Σ Pi-Σ Zi)/(n-m) = (0-20-2+j4-2+j4)/(4-0) = -6 φ a= (2K+1)π /(n-m) K=0 φ a= 45° K=1 φ a= 135° K=2 φ a= 225° K=3 φ a= 315°
自动控制原理根轨迹法PPT课件PPT课件
23
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4.3 绘制根轨迹的基本规则
24
又,渐近线上,对于s =sk → ∞,相当于有-zoi=-poj=sA
m
则
(s zoi )
j
Asymptote Centroid
G(s)H (s) Kg
i 1 n
(s poj )
j 1
s
(
s
Kg
sA
)
nm
(4.16)
由二项式定理
sA s A
－poj : 开环(传函的)极点, j=1,2,..,n.
3
第3页/共69页
4.2 根轨迹的基本概念
于是，特征方程
m
(s zoi )
1 G(s)H (s) 1 Kg
i 1 n
0
(s poj )
j 1
(4.3)
根轨迹法：根据开环传函(开环零点、极点)，找出开环增益 (或别的某个参数)由0→∞变化时，闭环系统特征根的轨迹。 根轨迹法的基本思想：开环传函等于-1的s值，必为特征根。
<例4.1>:绘制某二阶系统 的根轨迹图；
特征方程: s2 2s K s2 2n n2 0 特征根: s1, s2 n n 2 1 1 1 K
K由0→1变化时,特征根 s1,s2: K= 0， s1= 0 , s2 = -2；
K= 1， s1 = s2 = -1 ( = 1)； 0<K<1，( >1), s1,s2:为两个实根
对于一阶二阶系统很容易在它的根轨迹上确定对应参数的闭环极点对于三阶以上的高阶系统通常用简单的作图法如作等阻尼比线等求出系统的主导极点如果存在的话将高阶系统近似地简化成由主导极点通常是一对共轭复数极点构成的二阶系统最后求出其各项性能指标
高数方程近似解
x2 x1 x b0 x
பைடு நூலகம்
f ( x0 ) 令 y = 0 得它与 x 轴的交点( x1 , 0) , 其中 x1 x0 f ( x0 ) 再在点( x1 , f ( x1 )) 作切线 , 可得近似根 x2 .
如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 : f ( xn 1 ) (n 1, 2 ,) xn xn 1 f ( xn 1 )
f ( x) 在(, ) 单调递增, 又 f (0) 1.4 0 , f (1) 1.6 0
故该方程只有一个实根 , [0 , 1] 为其一个隔根区间 , 欲使
n1
必需 2 n 1 1000 , 即 n log 2 1000 1 8.96
确定一个区间[a , b] 使所求的根是位于这个 区间内的唯一实根．区 间 [a , b] 称为所求实 根的隔离区间．
3/2/2017
如图，精确画出 y f ( x ) 的图形，然后从图上 定出它与 x 轴交点的大概位置．
２．以根的隔离区间的端点作为根的初始近似 值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得 满足精确度要求的近似实根． 常用方法——二分法和切线法（牛顿法）
实根时, 要使误差不超过 103 , 至少应对分区间多少次 ?
3 2 f ( x ) x 1 . 1 x 0.9 x 1.4 , 则 f ( x) C (, ) 解: 设 2 ( 5.67 0) f ( x) 3x 2.2 x 0.9 0
称为牛顿迭代公式
3/2/2017
例２ 用切线法求方程 x 3 1.1 x 2 0.9 x 1.4 0
的实根的近似值 , 使误差不超过10 3.
代数方程跟的近似求解方法、
代数方程根的近似求解方法多项式方程1011()0n n n n n P x a x a x a x a --=++++= ,称为n 次代数方程,又称多项式方程.其中12k n a = ，，，是实系数或复系数,00a ≠.当1n >时,它叫高次代数方程,其次数是n .多项式的零点就是对应代数方程的根.当其次数高于四次时是没有公式解的,因此实际的求解方法大多是研究其近似根，这些方法大都可以在数值分析理论中找到.要求高次代数方程实根的精确值,往往是比较困难的,因此这就需要寻求方程的近似解.下面介绍几种近似求解的方法.将超越方程()0f x =左端换成多项式()n P x ,则超越方程就变成了高次代数方程.超越方程求根的各种方法也适用于代数方程.求方程的近似解,可分两步来做.(1) 确定根的分布区间[],a b ,即使所求的根是位于这个区间内的唯一实根.此项工作又称根的隔离,而区间[],a b 又称实根的隔离区间. 具体方法是:一方面可用图解法,由于方程()0f x =的实根在几何上表示曲线()y f x =与x 轴交点的横坐标,故可先较精确地画出函数()y f x =的图形, 然后从图上定出它与x 轴交点的大概位置.由于作图和读数的误差, 这种做法得不出根的高精确度的近似值,但一般可确定出根的隔离区间.另一方面,利用连续函数的介值定理来找根的隔离区间,即若实的连续函数()f x 在区间[],a b 的两个端点的值异号,则()f x 在此区间内至少有一个根. ( 2) 以根的隔离区间的一个端点作根的初始近似值,逐步改善根的近似值的精确程度,直至求得满足精确度要求的近似解. 这里介绍2种常用方法:二分法与牛顿法 1.1 二分法这是利用介值定理计算实函数实根的简单可行的方法.设在区间[]00,a b 上连续,且()()000f x f a ∙>的函数()f x ,取[]00,a b 的二等分点0002a b x +=,计算()0f x ,若()00f x =则0x 为根;若()()000f x f a ∙<,取10a a =,10b x = 作为新的区间端点;若()()000f x f a ∙>,取10a x =,10b b =作为新区间端点;若()()000f x f a ∙>,取10a x =,10b b =作为新区间端点.[]11,a b 的二等分点为1112a b x +=,计算()1f x 的值,并重复以上步骤以确定新区间[]22,a b ,如此继续下去,得到区间序[],k k a b ()0,1,2k = ,它满足()()0k k f a f b ∙<,且()0012kk k b a b a -=-,当达到指定的精度要求时,则取2k kb a x +=为方程的近似解,且其误差不超过()11002k b a +-.例1 求方程()310f x x x =--=在区间[]1.0,1.5内的一个实根，要求准确到小数点后的第2位.解：这里1, 1.5a b ==，而()0f a <，()0f b >取[],a b 的中点0 1.25x =.将区间二等分，由于()00f x <，即()0f x 与()f a 同号，故所求的根x *必在0x 右侧，这时应令10 1.25a x ==，1 1.5b b ==而得到新的有根区间[]11,a b 。
第二章求方程根的近似方法
*
ba 1 先验估计： | xn x | n 102 , 解出等分次数n 8。 2 2
*
误差 分析： ab ba x |x x*| 第1步产生的 1 2 有误差 1 2
第 k 步产生的 xk 有误差 对于给定的精度 , 可估计二分法所需的步数 k ：
ba ε k 2 ln b a ln ε k ln 2
§2.2 迭代法
一. 迭代法的建立与收敛性
1. 建立:把f ( x ) 0 改写成 x ( x )， ( f ， 连续）
所以, 为f的根的充要条件是为的不动点。
取定初值 x0 xn 1 ( xn ) ( n 0, 1, 2, ...)
则产生数列 x1 , x2 ,..., xn , xn 1..., 若此数列收敛，不妨设极限为 ，则
lim xn1 lim ( xn ),
n n
i.e., ( )
即是 f ( x ) 0的根，故当 n充分大时, xn 1可作为的近似值。
( x ) 形式不唯一， 我们该怎样取它？如：
习题5.3，第一种方法，另一种方法用Newton迭代法，在[1,2]收敛，初值取1.5
1 (3) xn x n 1 x n , 1－L Ln (4) | xn | x1 x0 . 1 L
注1：L越小，收敛越快。 由定理结论(3)或(2.2.2)，只要前后两次迭代值的差值足 够小，就可使近似值 xn1 达到任意的精度。在实际计算 中，一般用 | xn1 xn | 来控制迭代过程结束。 注2：定理条件非必要条件，可将[a, b]缩小，定义局部收敛性： 定义2.2.1 若存在 的某 邻域 B = { x | | x | } , 使由 x0B 开始的迭代都收敛, 则称迭代法具有局部收敛性。 定理2.2.2 设(x)在的某邻域内具有连续的一阶导数， 且 | '() | < 1， 则迭代法xn+1 = (xn)具有局部收敛性。
ba 1 先验估计： | xn x | n 102 , 解出等分次数n 8。 2 2
*
误差 分析： ab ba x |x x*| 第1步产生的 1 2 有误差 1 2
第 k 步产生的 xk 有误差 对于给定的精度 , 可估计二分法所需的步数 k ：
ba ε k 2 ln b a ln ε k ln 2
§2.2 迭代法
一. 迭代法的建立与收敛性
1. 建立:把f ( x ) 0 改写成 x ( x )， ( f ， 连续）
所以, 为f的根的充要条件是为的不动点。
取定初值 x0 xn 1 ( xn ) ( n 0, 1, 2, ...)
则产生数列 x1 , x2 ,..., xn , xn 1..., 若此数列收敛，不妨设极限为 ，则
lim xn1 lim ( xn ),
n n
i.e., ( )
即是 f ( x ) 0的根，故当 n充分大时, xn 1可作为的近似值。
( x ) 形式不唯一， 我们该怎样取它？如：
习题5.3，第一种方法，另一种方法用Newton迭代法，在[1,2]收敛，初值取1.5
1 (3) xn x n 1 x n , 1－L Ln (4) | xn | x1 x0 . 1 L
注1：L越小，收敛越快。 由定理结论(3)或(2.2.2)，只要前后两次迭代值的差值足 够小，就可使近似值 xn1 达到任意的精度。在实际计算 中，一般用 | xn1 xn | 来控制迭代过程结束。 注2：定理条件非必要条件，可将[a, b]缩小，定义局部收敛性： 定义2.2.1 若存在 的某 邻域 B = { x | | x | } , 使由 x0B 开始的迭代都收敛, 则称迭代法具有局部收敛性。 定理2.2.2 设(x)在的某邻域内具有连续的一阶导数， 且 | '() | < 1， 则迭代法xn+1 = (xn)具有局部收敛性。
自控中常用数学基础知识
II. 当 A( s ) ( s p1 )( s pn ) 0 有重根时
(设 p1为m重根，其余为单根)
Cm Cm-1 C m 1 Cn C1 F(s) m m-1 (s-p1 ) (s-p1 ) s-p1 s-pm 1 s-pn
C m lim (s p1 )m .F(s) s p1 Cm C m-1 C1 1 1 d m f(t) L [ m m- 1 (s p1 ) .F(s) C m- 1 slim (s-p ) (s-p ) s-p1 p 1 1 1! 1 ds C m 1 Cn ] ( j) s-pm 1 s-pn 1 d m (s p1 ) .F(s) C m-j slim Cm C m-1 m 2 p1 ds j m 1 j ! [ t t C 2 t C1 ].e p1t (m 1 )! (m 2 )! n ( m 1 ) pi t 1 d m C e i (s p1 ) .F(s) C1 (m- 1 )! slim p1 ds m 1 i m 1
f ( n 1) (0)
（3）积分定理
（4）实位移定理
（5）复位移定理 （6）初值定理 （7）终值定理
（终值确实存在时）
四 拉氏反变换
（1）反演公式
f (t )
2 j j
1
j
F ( s ) e t s ds
（2）查表法（分解部分分式法）
1 例1 已知 F(s) ，求 f ( t ) ? s(s a)
I. 当 A( s ) 0 无重根时
n Cn Ci C1 C2 F(s) s p1 s p2 s pn i 1 s pi
实验三求代数方程的近似根.ppt
不动点迭代一般格式
2019年8月28
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8
不动点迭代法
不动点迭代基本思想
构造 f (x) = 0 的一个等价方程： x ( x)
从某个近似根 x0 出发，计算
xk1 ( xk ) k = 0, 1, 2, ... ...
得到一个迭代序列
x k k0
(4) 返回第一步
例：用对分法求 x3 - 3x + 1 = 0 在 [0, 1] 中的解。 fuluA.m
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6
对分法收敛性
收敛性分析
根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的区间序列
{[ak , bk ]} ，在 (ak , bk ) 中含有方程的根。
设方程的根为 x* (ak , bk ) ， 又
fuluE.m
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17
牛顿迭代
牛顿迭代法
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18
牛顿迭代法
牛顿法基本思想
用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法
设非线性方程 f (x)=0 , f (x) 在 x0 处的 Taylor 展开为
f (x)
f ( x0 )
f '( x0 )( x x0 )
f (x) = 0 等价变换 x = (x)
f (x) 的零点
(x) 的不动点
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9
迭代法的收敛
收敛性分析
若
xk
收敛，即
lim
k
xk
x，* 假设
(x)
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不动点迭代法
不动点迭代基本思想
构造 f (x) = 0 的一个等价方程： x ( x)
从某个近似根 x0 出发，计算
xk1 ( xk ) k = 0, 1, 2, ... ...
得到一个迭代序列
x k k0
(4) 返回第一步
例：用对分法求 x3 - 3x + 1 = 0 在 [0, 1] 中的解。 fuluA.m
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对分法收敛性
收敛性分析
根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的区间序列
{[ak , bk ]} ，在 (ak , bk ) 中含有方程的根。
设方程的根为 x* (ak , bk ) ， 又
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牛顿迭代
牛顿迭代法
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牛顿迭代法
牛顿法基本思想
用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法
设非线性方程 f (x)=0 , f (x) 在 x0 处的 Taylor 展开为
f (x)
f ( x0 )
f '( x0 )( x x0 )
f (x) = 0 等价变换 x = (x)
f (x) 的零点
(x) 的不动点
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迭代法的收敛
收敛性分析
若
xk
收敛，即
lim
k
xk
x，* 假设
(x)