matlab第四章PPT
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《Matlab编程》PPT课件
• switch S(i).Marks
• case 100
• S(i).Rank='满分';
• case a
• S(i).Rank=' 优秀';
• case b
• S(i).Rank=' 良好';
• case c
• S(i).Rank=' 及格';
• otherwise • S(i).Rank='不及格'; • end • end •% • disp(['学生姓名 ',' 得分 ',' 等级']);disp(' ') • for i=1:5; • disp([S(i).Name,blanks(6),num2str(S(i).Marks),blanks(6),S(i).R
例4-4
• if c>='A' & c<='Z'
• disp(setstr(abs(c)+abs(‘a’)-abs(‘A’))); % char代替setstr
• elseif c>='a'& c<='z'
•
disp(setstr(abs(c)- abs('a')+abs('A')));
• elseif c>='0'& c<='9'
if m==m1*m1*m1+m2*m2*m2+m3*m3*m3
•
disp(m)
•
end
• end
• 例4-9 已知
MATLAB-第4章
v
i 1
n
2 i
。
max { vi } 。
1 ≤i ≤n
设 A 是一个 m ×n 的矩阵，矩阵的 3 种常用范数如下。 1-范数： A 1 max { aij } 。
1 ≤ j ≤n i 1 m
2-范数： A 2 1 ，其中 λ 1 为 A'A 最大特征值。 ∞-范数： A max { aij } 。
【例4.6】先建立5 × 5矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1， 第二行乘以2，…，第五行乘以5。 用一个对角矩阵左乘一个矩阵时，相当于用对角阵的第一个 元素乘以该矩阵的第一行，用对角阵的第二个元素乘以该 矩阵的第二行……依此类推，因此，只需按要求构造一个 对角矩阵D，并用D左乘A即可。命令如下： A=[1:5;2:6;3:7;4:8;5:9] D=diag(1:5); D*A %用D左乘A,对A的每行乘以一个指定常数
（2）构造对角矩阵 设V为具有m个元素的向量，diag(V,k)的功能是产生一个 n × n（n = m + k|）对角阵，其第k条对角线的元素即为 向量V的元素。 例如： diag(1:3,-1) ans = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 省略k时，相当于k为0，其主对角线元素即为向量V的元素。
2．矩阵的秩与迹 （1）矩阵的秩 rank(A) （2）矩阵的迹 矩阵的迹即矩阵的对角线元素之和。 trace(A)。
3．向量和矩阵的范数
设向量 V = (v1 ,v2 ,…,vn )，向量的 3 种常用范数如下。 1-范数： V 2-范数： V ? -范数： V
1
vi 。
i 1
n
2
3．矩阵的转置 所谓转置，即把源矩阵的第一行变成目标矩阵第一列，第二 行变成第二列……依此类推。显然，一个m行n列的矩阵 经过转置运算后，变成一个n行m列的矩阵。MATLAB中， 转置运算符是单撇号(')。
MATLAB讲稿——第四章.ppt
P [an an1 a1 a0 ]
二、 多项式行向量的生成方法 1、直接输入法
将多项式的各项系数依降幂次序排放在行 向量的元素位置上。
缺项系数输为0。
2、利用指令生成法 指令 P=poly(AR)
说明:(1)若AR是方阵，则多项式P就是该方阵的 特征多项式；
(2)若AR是行向量，即
AR [ar1 ar2
再例：
>> R=[-0.5 -0.3+0.4i -0.3-0.4i] %根向量
R=
-0.5000
-0.3000 + 0.4000i -0.3000 - 0.4000i
>> P=poly(R) % R的特征多项式
P=
1.0000 1.1000 0.5500 0.1250
>> PPR=poly2str(P,'x') %用习惯的方式显示多项式
例：
>> A=[1 4 7;3 11 6;5 32 68]; >> PA=poly(A) %A的特征多项式
PA =
1.0000 -80.0000 588.0000 -147.0000 >> PPA=poly2str(PA,'s') %用习惯的方式显示多项式
PPA =
s^3 - 80 s^2 + 588 s - 147
PPR =
x^3 + 1.1 x^2 + 0.55 x + 0.125
4．2 多项式运算函数及调用格式
举例
(s2 2)(s 4)(s 1)
例：求
s3 s 1
的“商”和“余”多项式。
>> p1=conv([1 0 2],conv([1 4],[1 1])); %计算分子多
第4章 MATLAB绘图ppt课件
plotyy(x1,y1,x2,y2)
其中x1—y1对应一条曲线，x2—y2对应 另一条曲线。横坐标的标度相同，纵坐 标有两个，左纵坐标用于x1—y1数据对， 右纵坐标用于x2—y2数据对。
精品课件
目录 17
例4.4 用不同标度在同一坐标内绘制曲线 y1=e-0.5xsin(2πx)
及曲线y2=1.5e-0.1xsin(x)。 程序如下：
x1=(0:12)/2;
y3=2*exp(-0.5*x1).*sin(2*pi*x1);
plot(x,y1,'g:',x,y2,'b--',x1,y3,'rp');
目录
精品课件
16
4．双纵坐标函数plotyy
plotyy函数是MATLAB 5.X新增的函数。 它能把函数值具有不同量纲、不同数量 级的两个函数绘制在同一坐标中。调用 格式为：
plot(x,y) 其中x和y为长度相同的向量，分别用于存储x坐
标和y坐标数据。条件是元素个数能对应。
精品课件
目录 4
例4.1 在0≤X≤2区间内，绘制 曲线y=2e-0.5xsin(2πx)。
程序如下：>> x=0:pi/100:2*pi;
y=2*exp(-0.5*x).*sin(2*pi*x); plot(x,y)
可搭配使用，如选项“ro” 表示绘制红色的圆划线，“y-”表
示黄色的实划线。
精品课件
14
例 用不同线型和颜色在同一坐标内绘制曲 线y=sinx,y=cosx的图像。
程序如下：
x=linspace(0,2*pi,100); plot(x,sin(x),‘kh’,x,cos(x),‘gp’) %正、余弦曲
其中x1—y1对应一条曲线，x2—y2对应 另一条曲线。横坐标的标度相同，纵坐 标有两个，左纵坐标用于x1—y1数据对， 右纵坐标用于x2—y2数据对。
精品课件
目录 17
例4.4 用不同标度在同一坐标内绘制曲线 y1=e-0.5xsin(2πx)
及曲线y2=1.5e-0.1xsin(x)。 程序如下：
x1=(0:12)/2;
y3=2*exp(-0.5*x1).*sin(2*pi*x1);
plot(x,y1,'g:',x,y2,'b--',x1,y3,'rp');
目录
精品课件
16
4．双纵坐标函数plotyy
plotyy函数是MATLAB 5.X新增的函数。 它能把函数值具有不同量纲、不同数量 级的两个函数绘制在同一坐标中。调用 格式为：
plot(x,y) 其中x和y为长度相同的向量，分别用于存储x坐
标和y坐标数据。条件是元素个数能对应。
精品课件
目录 4
例4.1 在0≤X≤2区间内，绘制 曲线y=2e-0.5xsin(2πx)。
程序如下：>> x=0:pi/100:2*pi;
y=2*exp(-0.5*x).*sin(2*pi*x); plot(x,y)
可搭配使用，如选项“ro” 表示绘制红色的圆划线，“y-”表
示黄色的实划线。
精品课件
14
例 用不同线型和颜色在同一坐标内绘制曲 线y=sinx,y=cosx的图像。
程序如下：
x=linspace(0,2*pi,100); plot(x,sin(x),‘kh’,x,cos(x),‘gp’) %正、余弦曲
matlab第四章PPT.ppt.ppt
25
3.矩阵逆 如果n×n矩阵A和B，满足AB=In×m，那么B称作A的逆， 并采用符号A-1记述之。
MATLAB提供一个求矩阵逆的指令如下：
A_1=inv(A) 求非奇异方阵A的逆，使A*A_1=I
26
4.2.4 一般代数方程的解
[x, favl]=fzero(fun,x0) [x, fval]=fsolve(fun,x0) 求一元函数零点指令的最简格式 解非线性方程组的最简单格式
2 0 . 1 t
例 4 . 2 9 求 f ( t ) s i n te 0 . 5 | t | 的 零 点 。
27
（2） 数值法求解 （A）使用内联对象表示被处理函数。 （B）作图法观察函数零点分布
28
（C）利用zoom和ginput指令获得零点的初始近似值。 >>zoom on >>[tt,yy]=ginput(5);zoom off
一、近代交通业发展的原因、特点及影响 1．原因 (1)先进的中国人为救国救民，积极兴办近代交通业，促
进中国社会发展。
(2)列强侵华的需要。为扩大在华利益，加强控制、镇压
中国人民的反抗，控制和操纵中国交通建设。
(3)工业革命的成果传入中国，为近代交通业的发展提供 了物质条件。
2．特点 (1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和
23
1 5 9 13 2 6 10 14 x 的解。 例4.2 8求方程 3 7 11 15 4 8 12 16 如何确定解得性状（唯一与否，准确与否）； 如何求特解和齐次解； 如何检查解得正确性。
24
（3） 求特解和通解，并对由它们 （1）创建待解方程的A和b （2）检查b是否在A的值空间中 构成的全解进行验算 （确定解：不唯一，准确解）
matlab第四章课件
4.1.1 M文件的分类
M文件是由若干 Matlab 命令组合在一起构成的，它可 以完成某些操作，也可以实现某种算法
事实上，Matlab 提供的内部函数以及各种工具箱，都是利用 Matlab 语言编写的 M文件 用户也可以结合自己的工作需要，开发自己的程序或工具箱
M文件根据调用方式的不同可以分为两类： Script file：命令文件/脚本文件 Function file：函数文件
例2 输入x，y的值，并将它们的值互换后输出（swap.m）。 x=input('Input x please.'); y=input('Input y please.'); z=x; x=y; y=z; disp(x); disp(y); 例3 求一元二次方程ax2 +bx+c=0的根(root.m)。 a=input('a=?'); b=input('b=?'); c=input('c=?'); d=b*b-4*a*c; x=[(-b+sqrt(d))/(2*a),(-b-sqrt(d))/(2*a)]; disp(['x1=',num2str(x(1)),',x2=',num2str(x(2))]);
例如：
s=0; a=[12 13 14;15 16 17;18 19 20;21 22 23] for k=a s=s+k; end disp(s); 该程序的功能是求矩阵各行元素之和，执行结果是： 39 48 57 66
while语句
while expr （条件） statement（循环体语句） end 若expr成立，则执行循环体的内容，执行后 再判断条件是否为真，如果不成立则跳出循环体。
第四章 根轨迹法 matlab simulink与控制系统仿真 第三版 课件
分支数＝开环极点数 ＝开环特征方程的阶数
二、根轨迹对称于实轴
闭环极点为 实数→在实轴上 复数→共轭→对称于实轴
返回子目录
28
三、根轨迹的起点与终点
起于开环极点，终于开环零点。
由根轨迹方程有：
m
i 1 n
(s (s
zi ) pi)
1 K*
i1
29
起点 K* 0 → spi 0→ s pi
终点 K* → szi 0 → s zi
n
1
m
1
i1 dpi j1 dzj
z 式中： j 为各开环零点的数值；
p i 为各开环极点的数值。
50
例4－6
•已知系统的开环传递函数
G(s)H(s) K*(s1) s23s3.25
试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d，并概 略绘制出根轨迹图。
51
解：根据系统开环传递函数求出开环极点
p 1 1 .5j1 ,p 2 1 .5j1
• 在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹， 而模值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点
的 K * 值。
20
例4-1
已知系统的开环传递函数 G (s)H (s)2K/(s2)2
试证明复平面上点 s1 2j4 ,s2 2j4 是该系统的闭环极点。
证明： 该系统的开环极点 p1 2, p2 2
若系统闭环极点为 s1 , s2
分离角计算公式
d1 l[2 (k1)π jm 1
n
dzj dsi]
il1
（4-45）
56
式中：
d 为分离点坐标；
z j为开环零点； si为当 kkd时，l除 个重极点外 其他 nl个非重根。
所谓会合角是指根轨迹进入重极点处 的切线与实轴正方向的夹角。
二、根轨迹对称于实轴
闭环极点为 实数→在实轴上 复数→共轭→对称于实轴
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28
三、根轨迹的起点与终点
起于开环极点，终于开环零点。
由根轨迹方程有：
m
i 1 n
(s (s
zi ) pi)
1 K*
i1
29
起点 K* 0 → spi 0→ s pi
终点 K* → szi 0 → s zi
n
1
m
1
i1 dpi j1 dzj
z 式中： j 为各开环零点的数值；
p i 为各开环极点的数值。
50
例4－6
•已知系统的开环传递函数
G(s)H(s) K*(s1) s23s3.25
试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d，并概 略绘制出根轨迹图。
51
解：根据系统开环传递函数求出开环极点
p 1 1 .5j1 ,p 2 1 .5j1
• 在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹， 而模值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点
的 K * 值。
20
例4-1
已知系统的开环传递函数 G (s)H (s)2K/(s2)2
试证明复平面上点 s1 2j4 ,s2 2j4 是该系统的闭环极点。
证明： 该系统的开环极点 p1 2, p2 2
若系统闭环极点为 s1 , s2
分离角计算公式
d1 l[2 (k1)π jm 1
n
dzj dsi]
il1
（4-45）
56
式中：
d 为分离点坐标；
z j为开环零点； si为当 kkd时，l除 个重极点外 其他 nl个非重根。
所谓会合角是指根轨迹进入重极点处 的切线与实轴正方向的夹角。
第四章___matlab_绘图
例，绘制阶梯曲线 x=0:pi/20:2*pi;y=sin(x);stairs(x,y)
1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
0
-0 .2
-0 .4
-0 .6
-0 .8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
例：阶梯绘图
h2=[1 1;1 -1];h4=[h2 h2;h2 -h2]; h8=[h4 h4;h4 -h4];t=1:8; subplot(8,1,1);stairs(t,h8(1,:));axis('off') subplot(8,1,2);stairs(t,h8(2,:));axis('off') subplot(8,1,3);stairs(t,h8(3,:));axis('off') subplot(8,1,4);stairs(t,h8(4,:));axis('off') subplot(8,1,5);stairs(t,h8(5,:));axis('off') subplot(8,1,6);stairs(t,h8(6,:));axis('off') subplot(8,1,7);stairs(t,h8(7,:));axis('off') subplot(8,1,8);stairs(t,h8(8,:));axis('off')
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 -0.2 -0.4
y
y1 y2
例 3：y=sin(t);y1=sin(t+0.25);y2=sin(t+0.5); y3=cos(t);y4=cos(t+0.25);y5=cos(t+0.5); plot(t,[y',y1',y2',y3',y4',y5'])
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（确定解：不唯一，准确解）
2020/4/7
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25
刘梦亭
3.矩阵逆 如果n×n矩阵A和B，满足AB=In×m，那么B称作A的逆，
并采用符号A-1记述之。
MATLAB提供一个求矩阵逆的指令如下：
A_1=inv(A) 求非奇异方阵A的逆，使A*A_1=I
2020/4/7
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解微分方程
例4.1-7 求微分方程
d2x dt 2
(1
x2 )
dx dt
x
0,
2,
在初始条件x(0)=1,dx(0) dt
0
情况下的解，并图示。
（1）把高阶微分方程改写成一阶微分方程组
令y1
x，y2
dx dt
, 于是原二阶方程可改写成如下一阶方程组
dy1
dt dy2
y2
(1
y12
27
刘梦亭
（2） 数值法求解 （A）使用内联对象表示被处理函数。 （B）作图法观察函数零点分布
2020/4/7
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28
刘梦亭
（C）利用zoom和ginput指令获得零点的初始近似值。 >>zoom on >>[tt,yy]=ginput(5);zoom off
（D）利用0.1作为初值求精确零点
26
刘梦亭
4.2.4 一般代数方程的解 [x, favl]=fzero(fun,x0) [x, fval]=fsolve(fun,x0)
求一元函数零点指令的最简格式 解非线性方程组的最简单格式
例4.2 9求f (t) sin2 t0.1t ge 0.5 | t |的零点。
2020/4/7
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2020/4/7
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3
刘梦亭
（2） 计算数值导数时，自变量的增量取得适当
2020/4/7
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4
刘梦亭
4.1.2 数值求和与近似数值积分
m
Sx=sum(X)
沿列方向求和 Sx(k) X mn (i, k)
i 1
Scs=cumsum(X) 沿列方向求累计和
St=trapz(x,y) 采用梯形法沿列方向求函数ｙ关于自变量 ｘ的积分
2020/4/7
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29
刘梦亭
4.4 多项式运算和卷积
4.4.1 多项式的运算函数 1.多项式表达方式的约定
MATLAB约定降幂多项式a(x) a1xn a2xn1 ... an x an1
用以下系数行向量表示：a [a1, a2 ,...an , an1]
即把多项式的各项系数依降幂次序排放在行向量的元素位置上。
区别：是否需要计算积分区间端点
S1=quad(fun,a,b,tol) 采用递推自适应Simpson法计算积分 S1=quadl(fun,a,b,tol) 采用递推自适应Lobatto法求数值积分 S2=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol) 二重(闭型)数值积分 S3=triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)
17
刘梦亭
2.矩阵的标量特征参数 MATLAB指令： rank(A) 秩
trace（A）迹 det（A） 行列式
2020/4/7
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18
刘梦亭
例4.2-3 矩阵标量特征参数计算示例
2020/4/7
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19
刘梦亭
4.2.2 矩阵的变换和特征值分解
[R,ci]=rref(A) 借助初等变换把A变换成行阶梯矩阵R
2020/4/7
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23
刘梦亭
1 5 9 13 例4.2 8求方程 2 6 10gx 14的解。
3 7 11 15 4 8 12 16 如何确定解得性状（唯一与否，准确与否）；
如何求特解和齐次解；
如何检查解得正确性。
2020/4/7
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24
刘梦亭
（1）创建待解方程的A和b （3） 求特解和通解，并对由它们 （2）检查b是否在A的值空间中 构成的全解进行验算
第四章 数值计算
4.1 数值微积分 MATLAB数值计算中，没有专门求极限和导数的指令。
但MATLAB提供了与“求导”概念有关的“求差分”指令：
dx=diff(x) FX=gradient(F) [FX,FY]=gradient(F)
求差分 求一元(函数)梯度 求二元(函数)梯度
2020/4/7
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（2）把复数特征值对角阵D转换成
实数块对角阵
（3）分解结果的验算
2020/4/7
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21
刘梦亭
4.2.3 线性方程的解 1. 线性方程解的一般结论
Am×nx=b 它的解有以下几种可能：
当向量b在矩阵A列向量所张空间中，有准确解。
a）若n=r，则解唯一。（r是矩阵A的秩） b）若n>r, 则解不唯一。 （r是矩阵A的秩）
1
刘梦亭
例4.1-1 设
f1
(
x)
1
x
cos sin
2 x
x
,
f2
(x)
sin x
x
试用机器零阈值eps替代理论0计算极限
L1(0)
lim
x0
f1(x)
L2 (0)
lim
x0
f2 (x)
2020/4/7
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2
刘梦亭
例4.1-2 已知x=sin(t)，求该函数在区间[0, 2π]中的近似导函数。 （1）计算数值导数时，自变量的增量取得过小（eps）
2020/4/7
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11
刘梦亭
例4.1-6
已知y (x )ge|sin(x )|,
在 / 2 x / 2区间，
求函数的极小值。
（1）采用优化法 （2）图形法
2020/4/7
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12
刘梦亭
4.1.5 常微分方程的数值解
[t,y]=ode45(odefun,tspan,y0) 采用4阶Runge-Kutta数值积分法
颜色 黄色 粉红 亮蓝 大红 绿色 蓝色 白色 黑色
标点
· ○ × ＋ －
： －· (--)
线型 点线 圈线 ×线 ＋字线 实线 星形线 虚线 点划线
2020/4/7
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刘梦亭
4.1.3 计算精度可控的数值积分 数值积分有闭型算法(Closed-type)，.2 矩阵和代数方程
4.2.1 矩阵运算和特征参数 1.矩阵运算 表4.2-1 矩阵运算含义及相应符号
例4.2-1已知矩阵 A24 ， B43，采用三种不同的编程
求这两个矩阵的乘积。C23 A24B43
2020/4/7
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16
刘梦亭
2020/4/7
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2020/4/7
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30
刘梦亭
2. 多项式运算函数（表4.4-1）
例4.4 1矩阵和特征多项式，特征值和多项式根。
（1)求矩阵的特征多项式 （2）方阵特征值和特征多项式根
2020/4/7
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31
刘梦亭
（3）特征多项式的伴随矩阵
2020/4/7
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32
刘梦亭
例4.4-2 构造指定特征根的多项式。
2020/4/7
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33
刘梦亭
当向量b不在矩阵A列向量所张空间中，则无准确解，但存在 最小二乘解。
a) 当A列满秩时，存在唯一的最小二乘解。 b) 当A列不满秩时，存在最小范最小二乘解和最少非零元素最
小二乘解。
2020/4/7
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刘梦亭
2. 除法运算解方程
x=A\b
运用左除解方程Ax=b
说明： A在变量x的左边，所以A必须在“\”的左边 若xC=d， 则使用“右除”，即指令为x=d/C
三重(闭型)数值积分
2020/4/7
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8
刘梦亭
例4.1-4 求 I 1 ex2 dx 0
（1） 采用符号计算获得具有32位精度的积分值
（2）采用trapz计算积分
（3）采用字符串表达被积函数
2020/4/7
吉林大学珠海学院电子系
9
刘梦亭
例4.1-5 求 s 2 1 x ydxdy 10
（1）符号计算法
（2） 数值积分法
2020/4/7
吉林大学珠海学院电子系
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刘梦亭
4.1.4 函数极值的数值求解 两条求极小值的优化指令：
[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(fun,x1,x2,options) 求一元函数在区间（x1,x2)中极小值
[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(fun,x0,options) 单纯形法求多元函数极值点
Sct=cumtrapz(x,y) 采用梯形法沿列方向求函数y关于自变量 x的累计积分
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例4.1-3
求积分s(x)= /2 y(t)dt,其中y 0.2 sin t。 0
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3.矩阵逆 如果n×n矩阵A和B，满足AB=In×m，那么B称作A的逆，
并采用符号A-1记述之。
MATLAB提供一个求矩阵逆的指令如下：
A_1=inv(A) 求非奇异方阵A的逆，使A*A_1=I
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解微分方程
例4.1-7 求微分方程
d2x dt 2
(1
x2 )
dx dt
x
0,
2,
在初始条件x(0)=1,dx(0) dt
0
情况下的解，并图示。
（1）把高阶微分方程改写成一阶微分方程组
令y1
x，y2
dx dt
, 于是原二阶方程可改写成如下一阶方程组
dy1
dt dy2
y2
(1
y12
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（2） 数值法求解 （A）使用内联对象表示被处理函数。 （B）作图法观察函数零点分布
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（C）利用zoom和ginput指令获得零点的初始近似值。 >>zoom on >>[tt,yy]=ginput(5);zoom off
（D）利用0.1作为初值求精确零点
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4.2.4 一般代数方程的解 [x, favl]=fzero(fun,x0) [x, fval]=fsolve(fun,x0)
求一元函数零点指令的最简格式 解非线性方程组的最简单格式
例4.2 9求f (t) sin2 t0.1t ge 0.5 | t |的零点。
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（2） 计算数值导数时，自变量的增量取得适当
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4.1.2 数值求和与近似数值积分
m
Sx=sum(X)
沿列方向求和 Sx(k) X mn (i, k)
i 1
Scs=cumsum(X) 沿列方向求累计和
St=trapz(x,y) 采用梯形法沿列方向求函数ｙ关于自变量 ｘ的积分
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4.4 多项式运算和卷积
4.4.1 多项式的运算函数 1.多项式表达方式的约定
MATLAB约定降幂多项式a(x) a1xn a2xn1 ... an x an1
用以下系数行向量表示：a [a1, a2 ,...an , an1]
即把多项式的各项系数依降幂次序排放在行向量的元素位置上。
区别：是否需要计算积分区间端点
S1=quad(fun,a,b,tol) 采用递推自适应Simpson法计算积分 S1=quadl(fun,a,b,tol) 采用递推自适应Lobatto法求数值积分 S2=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol) 二重(闭型)数值积分 S3=triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)
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2.矩阵的标量特征参数 MATLAB指令： rank(A) 秩
trace（A）迹 det（A） 行列式
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例4.2-3 矩阵标量特征参数计算示例
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4.2.2 矩阵的变换和特征值分解
[R,ci]=rref(A) 借助初等变换把A变换成行阶梯矩阵R
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1 5 9 13 例4.2 8求方程 2 6 10gx 14的解。
3 7 11 15 4 8 12 16 如何确定解得性状（唯一与否，准确与否）；
如何求特解和齐次解；
如何检查解得正确性。
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（1）创建待解方程的A和b （3） 求特解和通解，并对由它们 （2）检查b是否在A的值空间中 构成的全解进行验算
第四章 数值计算
4.1 数值微积分 MATLAB数值计算中，没有专门求极限和导数的指令。
但MATLAB提供了与“求导”概念有关的“求差分”指令：
dx=diff(x) FX=gradient(F) [FX,FY]=gradient(F)
求差分 求一元(函数)梯度 求二元(函数)梯度
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（2）把复数特征值对角阵D转换成
实数块对角阵
（3）分解结果的验算
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4.2.3 线性方程的解 1. 线性方程解的一般结论
Am×nx=b 它的解有以下几种可能：
当向量b在矩阵A列向量所张空间中，有准确解。
a）若n=r，则解唯一。（r是矩阵A的秩） b）若n>r, 则解不唯一。 （r是矩阵A的秩）
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例4.1-1 设
f1
(
x)
1
x
cos sin
2 x
x
,
f2
(x)
sin x
x
试用机器零阈值eps替代理论0计算极限
L1(0)
lim
x0
f1(x)
L2 (0)
lim
x0
f2 (x)
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例4.1-2 已知x=sin(t)，求该函数在区间[0, 2π]中的近似导函数。 （1）计算数值导数时，自变量的增量取得过小（eps）
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例4.1-6
已知y (x )ge|sin(x )|,
在 / 2 x / 2区间，
求函数的极小值。
（1）采用优化法 （2）图形法
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4.1.5 常微分方程的数值解
[t,y]=ode45(odefun,tspan,y0) 采用4阶Runge-Kutta数值积分法
颜色 黄色 粉红 亮蓝 大红 绿色 蓝色 白色 黑色
标点
· ○ × ＋ －
： －· (--)
线型 点线 圈线 ×线 ＋字线 实线 星形线 虚线 点划线
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4.1.3 计算精度可控的数值积分 数值积分有闭型算法(Closed-type)，.2 矩阵和代数方程
4.2.1 矩阵运算和特征参数 1.矩阵运算 表4.2-1 矩阵运算含义及相应符号
例4.2-1已知矩阵 A24 ， B43，采用三种不同的编程
求这两个矩阵的乘积。C23 A24B43
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2. 多项式运算函数（表4.4-1）
例4.4 1矩阵和特征多项式，特征值和多项式根。
（1)求矩阵的特征多项式 （2）方阵特征值和特征多项式根
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（3）特征多项式的伴随矩阵
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例4.4-2 构造指定特征根的多项式。
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当向量b不在矩阵A列向量所张空间中，则无准确解，但存在 最小二乘解。
a) 当A列满秩时，存在唯一的最小二乘解。 b) 当A列不满秩时，存在最小范最小二乘解和最少非零元素最
小二乘解。
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2. 除法运算解方程
x=A\b
运用左除解方程Ax=b
说明： A在变量x的左边，所以A必须在“\”的左边 若xC=d， 则使用“右除”，即指令为x=d/C
三重(闭型)数值积分
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例4.1-4 求 I 1 ex2 dx 0
（1） 采用符号计算获得具有32位精度的积分值
（2）采用trapz计算积分
（3）采用字符串表达被积函数
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例4.1-5 求 s 2 1 x ydxdy 10
（1）符号计算法
（2） 数值积分法
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4.1.4 函数极值的数值求解 两条求极小值的优化指令：
[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(fun,x1,x2,options) 求一元函数在区间（x1,x2)中极小值
[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(fun,x0,options) 单纯形法求多元函数极值点
Sct=cumtrapz(x,y) 采用梯形法沿列方向求函数y关于自变量 x的累计积分
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例4.1-3
求积分s(x)= /2 y(t)dt,其中y 0.2 sin t。 0
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