2第二章
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第二章薛定谔方程(4学时)§2.1 薛定谔得出的波动方程§2.2 无限深方势阱中的粒子§2.3 势垒穿透§2.4 谐振子§2.1 薛定谔得出的波动方程在§1.5中我们已说明,微观粒子的状态用波函数ψ描述,波动性和粒子性的关系为:波的强度正比于粒子到达的概率.具体来说,若ψ(r,t)为波函数,d V为空间r点附近的体积元,则t时刻在此体积元内发现粒子的概率正比于|ψ(r,t)|2d V.|ψ(r,t)|2叫做相对概率密度.波函数一般是空间坐标和时间的复函数由于波函数ψ的概率解释,ψ可以相差一个任意常数因子,即ψ和Aψ代表相同的状态.其中A为任意复常数.这是因为将ψ换为Aψ,空间各点的相对概率没有变化.这一点与经典力学有本质区别,在经典力学中,代表波动的函数如果增大A倍,表示振幅增大了A倍,它代表的是另一个振动状态.正因为波函数可以相差一个任意常数,使ψ满足以下归一化条件:1ψd2=⎰V例如,如果ϕ是一个未归一化的波函数,则可令ψ=Aϕ,由归一化条件12222=ϕ=ϕ=ψ⎰⎰⎰dV A dV A dV得到:⎰ϕ=dVA 21, ψ=ϕϕ⎰dV21这样得到的波函数ψ已经满足归一化条件,我们就说ψ已归一,并用它代替ϕ来描述状态.设ψ(r,t )是归一化波函数,则|ψ(r,t )|2d V 的物理意义为t 时刻在r 点附近d V 体积元内发现粒子的概率.|ψ(r,t )|2称为概率密度.由于概率必须单值,有界,连续,所以要求ψ单值,有界,连续.这称为波函数的标准条件,它在决定波函数时起着重要作用. 在经典力学中,粒子的运动满足牛顿定律,它给出了粒子的运动状态随时间的变化规律.上节我们已说明,微观粒子的运动状态用波函数描述.波函数ψ是时间和空间的函数:ψ=ψ(x,y,z,t ).所谓微观粒子的运动规律,也就是描述状态的波函数ψ随时间的变化规律,即ψ所满足的方程,它在量子力学中的地位就相当于经典力学中牛顿方程的地位.这样的方程肯定不能从经典物理学导出,因为经典物理学根本没有涉及微观粒子的波粒二象性.波函数满足的方程由薛定谔首先找到,它的一般形式是包含时间和空间变量的微分方程.叫做薛定谔方程,在一维情形下,其一般形式为:),()],(2[),(222t x t x U xm t x t i ψ+∂∂-=ψ∂∂ 式中U (x ,t )为粒子的势函数。