信息光学第三四章作业答案
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信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. (1)()();x f dxdx g =(2)()();⎰=dx x f x g (3)()();x f x g = (4)()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g(5)()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解:(1)线性、平移不变; (2)线性、平移不变; (3)非线性、平移不变; (4)线性、平移不变; (5)线性、非平移不变。
1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证明:左边=∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时,右边=0,当n 为偶数时,右边=∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时,左右两边相等。
1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明:根据复合函数形式的δ函数公式0)(,)()()]([1≠''-=∑=i ni i i x h x h x x x h δδ式中i x 是h(x)=0的根,)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。
于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。
解:设卷积为g(x)。
当-1≤x ≤0时,如图题1.1(a)所示, ⎰+-+=-+-=xx x d x x g 103612131)1)(1()(ααα图题1.1当0 < x ≤1时,如图题1.1(b)所示, ⎰+-=-+-=13612131)1)(1()(xx x d x x g ααα 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。
绪论单元测试1.“信息光学”又称为 ____。
答案:第一章测试1.高斯函数的傅里叶变换是()A:B:C:D:答案:B2.函数的傅里叶变换是()。
A:B:C:D:答案:A3.某平面波的复振幅分布为,那么它在不同方向的空间频率,也就是复振幅分布的空间频谱为()。
A:,B:,答案:A4.圆域函数Circ(r)的傅里叶变换是。
()A:错B:对答案:B5.尺寸a×b 的不透明矩形屏,其透过率函数为rect(x/a)rect(y/b)。
()A:错B:对答案:A6.卷积是一种 ____,它的两个效应分别是_和_,两个函数f(x, y)和h(x, y)卷积的积分表达式为____。
答案:7.什么是线性空不变系统的本征函数?答案:8.基元函数是不能再进行分解的基本函数单元,光学系统中常用的三种基元函数分别是什么?答案:第二章测试1.在衍射现象中,当衍射孔径越小,中央亮斑就____。
答案:2.点光源发出的球面波的等相位面为_,平行平面波的等相位面为_。
答案:3.平面波角谱理论中,菲涅耳近似的实质是用_来代替球面的子波;夫琅和费近似实质是用_来代替球面子波。
答案:4.你认为能否获得理想的平行光束?为什么?答案:5.菲涅尔对惠更斯的波动光学理论表述主要有哪两方面的重要贡献?答案:6.已知一单色平面波的复振幅表达式为,请问该平面波在传播方向的空间频率以及在x,y,z方向的空间频率分别是什么?答案:第三章测试1.物体放在透镜()位置上时,透镜的像方焦面上才能得到物体准确的傅里叶频谱。
A:之后B:之前C:前表面D:前焦面答案:D2.衍射受限光学系统是指(),仅考虑光瞳产生的衍射限制的系统。
A:考虑像差的影响B:不考虑像差的影响答案:B3.相干传递函数是相干光学系统中()的傅里叶变换。
A:点扩散函数B:脉冲响应函数C:余弦函数D:复振幅函数答案:A4.()是实现对空间物体进行信息处理和变换的基本光路结构。
A:光学系统B:4f光路C:准直系统D:单透镜系统答案:D5.成像的本质是衍射光斑的叠加结果。
第一章习题1.1 不变线性系统的输入为系统的传递函数。
假设b 取〔1〕50=.b 〔2〕51=.b ,求系统的输出()x g '。
并画出输出函数及其频谱的图形。
答:〔1〕()(){}1==x x g δF 图形从略,〔2〕()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ232+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1+31+1-31+=F 图形从略。
()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零,(1)如果,,试证明证明:(){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f b x sinc a x sinc ab bf af rect y x f y x,f bf af rect y x f W f L f rect y x f y x,f y x y x y x *⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1==∴=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,,F F ,,F ,,F F 1- (2)如果, ,还能得出以上结论吗?答:不能。
因为这时(){}(){}()y x y x bf af rect y x f W f L f rect y x f ,,F ,,F ≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。
1.3 对一个空间不变线性系统,脉冲响应为试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,,求其输出()y x g i ,。
〔必要时,可取合理近似〕〔1〕()x y x f π4=1cos ,答:()(){}(){}{}{}()(){}{}{}{}{}x cos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛74=74==1-1-1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,〔2〕()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫⎝⎛754=2y rect x rect x cos y x f π, 答:()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛77575⋅75*4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754==1-1-11-2y rect x rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x rect x cos y x h y x f y x g x y x ππδπF F F F F ,F ,F F ,〔3〕()()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛758+1=3x rect x cos y x f π, 答: ()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}⎪⎭⎫ ⎝⎛75=75≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛75*⎪⎭⎫ ⎝⎛4+81+4-81+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775*8+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y x x y x x y x x x x y x δδδδδπδπF F F F F F F F , 〔4〕()()()()()y rect x rect x comb y x f 22*=4,答:1.4 给定一个不变线性系统,输入函数为有限延伸的三角波 对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。
第一章 习题解答1.1 已知不变线性系统的输入为()()x x g com b = 系统的传递函数⎪⎭⎫⎝⎛bf Λ。
若b 取(1)50=.b (2)51=.b ,求系统的输出()x g '。
并画出输出函数及其频谱的图形。
答:(1)()(){}1==x x g δF 图形从略,(2)()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ232+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1+31+1-31+=F 图形从略。
1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零, (1)如果L a 1<,Wb 1<,试证明()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1 证明:(){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f b x sinc a x sinc ab bf af rect y x f y x,f bf af rect y x f Wf L f rect y x f y x,f y x y x yx *⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1==∴=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,,F F ,,F ,,F F 1-(2)如果L a 1>, Wb 1>,还能得出以上结论吗? 答:不能。
因为这时(){}(){}()y x yx bf af rect y x f Wf L f rect y x f ,,F ,,F ≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。
1.3 对一个空间不变线性系统,脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc ,试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,,求其输出()y x g i ,。
(必要时,可取合理近似)(1)()x y x f π4=1cos ,答:()(){}(){}{}{}()(){}{}{}{}{}xcos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛74=74==1-1-1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,(2)()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754=2y rect x rect x cos y x f π, 答:()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛77575⋅75*4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754==1-1-11-2y rect x rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x rect x cos y x h y x f y x g x y x ππδπF F F F F ,F ,F F ,(3)()()[]⎪⎭⎫⎝⎛758+1=3x rect x cos y x f π,答: ()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}⎪⎭⎫ ⎝⎛75=75≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛75*⎪⎭⎫ ⎝⎛4+81+4-81+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775*8+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y x x y x x y x x x x y x δδδδδπδπF F F F F F F F ,(4)()()()()()y rect x rect x comb y x f 22*=4, 答:()()()()(){}()(){}{}()()()()()()()()()()()()(){}()()x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f comb y 7x sin y rect x rect x comb y x g y x y x y x y x y x x yx y x y x y x x y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛-3-2120-1+6370+1-6370+41=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫ ⎝⎛41=722*=1-1-1-1-2...,.,.,.,.,F ,.,.,.,F F F F F ,δδδδ0.25δδδ1.4 给定一个不变线性系统,输入函数为有限延伸的三角波()()x x rect x comb x g i Λ*⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛50⎪⎭⎫ ⎝⎛331=对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。
信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. (1)()();x f dxdx g =(2)()();⎰=dx x f x g (3)()();x f x g = (4)()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g(5)()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解:(1)线性、平移不变; (2)线性、平移不变; (3)非线性、平移不变; (4)线性、平移不变; (5)线性、非平移不变。
1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证明:左边=∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时,右边=0,当n 为偶数时,右边=∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时,左右两边相等。
1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明:根据复合函数形式的δ函数公式0)(,)()()]([1≠''-=∑=i ni i i x h x h x x x h δδ式中i x 是h(x)=0的根,)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。
于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。
解:设卷积为g(x)。
当-1≤x ≤0时,如图题1.1(a)所示, ⎰+-+=-+-=xx x d x x g 103612131)1)(1()(ααα图题1.1当0 < x ≤1时,如图题1.1(b)所示, ⎰+-=-+-=13612131)1)(1()(xx x d x x g ααα 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。
第三章习题解答3.1参看图3.5,在推导相干成像系统点扩散函数( 3.35 )式时,对于积分号前的相位因子相对于它在原点之值正好改变n 弧度?设光瞳函数是一个半径为 a 的圆,那么在物平面上相应 h 的第一个零点的半径是多少?时可以弃去相位因子由于原点的相位为零,于是与原点位相位差为 的条件是式中rx 2 y 2,而试问exp j#(x ; y o )2d o2 2 x y iM 2(1) 物平面上半径多大时,相位因子expj£(x 0 y 0)d o(2) (3) 由这些结果,设观察是在透镜光轴附近进行,那么a ,入和d o 之间存在什么关系expk 2 2(x 。
y 。
)2d o (2) y 2)賦 2d o,r o ... d o根据(3.1.5 ) 式,相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样,其中心位于理想像点(%, %)h(x °,y °;x, y)1 2d °d i2P (x,y)exp jp (xi %)2 (yi %)2]dxdy r circ 一aJ_aJ,2 a ) 2d o d i(3)根据线性系统理论,像面上原点处的场分布,必须是物面上所有点在像面上的点 扩散函数对于原点的贡献 h(x ),y 0;0,0) o 按照上面的分析,如果略去 h 第一个零点以外的影响,即只考虑h 的中央亮斑对原点的贡献, 那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近r 。
0.61 d 。
/ a 范围内的小区域。
当这个小区域内各点的相位因子2exp[jkr ° /2d °]变化不大,就可认为(3.1.3 )式的近似成立,而将它弃去,假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度(例如/16 )就满足以上要求,则 kr ;/2d 0162 r °d °/16,也即a 2.44. d 0(4)例如 600nm , d ° 600nm ,则光瞳半径a 1.46mm ,显然这一条件是极易满足 的。
信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. (1)()();x f dxdx g =(2)()();⎰=dx x f x g (3)()();x f x g = (4)()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g(5)()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解:(1)线性、平移不变; (2)线性、平移不变; (3)非线性、平移不变; (4)线性、平移不变; (5)线性、非平移不变。
1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证明:左边=∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时,右边=0,当n 为偶数时,右边=∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时,左右两边相等。
1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明:根据复合函数形式的δ函数公式0)(,)()()]([1≠''-=∑=i ni i i x h x h x x x h δδ式中i x 是h(x)=0的根,)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。
于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。
解:设卷积为g(x)。
当-1≤x ≤0时,如图题1.1(a)所示, ⎰+-+=-+-=xx x d x x g 103612131)1)(1()(ααα图题1.1当0 < x ≤1时,如图题1.1(b)所示, ⎰+-=-+-=13612131)1)(1()(xx x d x x g ααα 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。
第一章 习题解答1.1 已知不变线性系统的输入为()()x x g com b = ,系统的传递函数⎪⎭⎫⎝⎛b f Λ。
若b 取(1)50=.b (2)51=.b ,求系统的输出()x g '。
并画出输出函数及其频谱的图形。
答:(1)()(){}1==x x g δF 图形从略,(2)()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ232+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1+31+1-31+=F 图形从略。
1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零, (1)如果L a 1<,Wb 1<,试证明()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1 证明:(){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f b x sinc a x sinc ab bf af rect y x f y x,f bf af rect y x f Wf L f rect y x f y x,f y x y x yx *⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1==∴=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,,F F ,,F ,,F F 1-(2)如果L a 1>, Wb 1>,还能得出以上结论吗? 答:不能。
因为这时(){}(){}()y x yx bf af rect y x f Wf L f rect y x f ,,F ,,F ≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛。
1.3 对一个空间不变线性系统,脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc ,试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,,求其输出()y x g i ,。
(必要时,可取合理近似) (1)()x y x f π4=1cos ,答:()(){}(){}{}{}()(){}{}{}{}{}xcos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛74=74==1-1-1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,(2)()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754=2y rect x rect x cos y x f π, 答:()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛77575⋅75*4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754==1-1-11-2y rect x rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x rect x cos y x h y x f y x g x y x ππδπF F F F F ,F ,F F ,(3)()()[]⎪⎭⎫⎝⎛758+1=3x rect x cos y x f π,答: ()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}⎪⎭⎫ ⎝⎛75=75≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛75*⎪⎭⎫ ⎝⎛4+81+4-81+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775*8+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y x x y x x y x x x x y x δδδδδπδπF F F F F F F F ,(4)()()()()()y rect x rect x comb y x f 22*=4, 答:()()()()(){}()(){}{}()()()()()()()()()()()()(){}()()x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f comb y 7x sin y rect x rect x comb y x g y x y x y x y x y x x yx y x y x y x x y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛-3-2120-1+6370+1-6370+41=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫ ⎝⎛41=722*=1-1-1-1-2...,.,.,.,.,F ,.,.,.,F F F F F ,δδδδ0.25δδδ 1.4给定一个不变线性系统,输入函数为有限延伸的三角波 ()()x x rect x comb x g i Λ*⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛50⎪⎭⎫ ⎝⎛331=对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。