样本量计算工具(sample size)

数理统计中的关键公式速查统计学作为一门重要的学科，充斥着大量的数学运算和公式。

掌握统计学中的关键公式对于学习和应用统计学都具有重要的意义。

本文将为大家提供数理统计中的关键公式速查，帮助读者快速准确地找到所需公式。

1. 描述统计学公式1.1 样本均值（Sample Mean）样本均值是评估样本集中趋势的常用方式。

公式：$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$1.2 样本方差（Sample Variance）样本方差用于衡量样本数据的离散程度。

公式：$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$1.3 样本标准差（Sample Standard Deviation）样本标准差是样本方差的平方根。

公式：$s=\sqrt{s^2}$1.4 总体均值（Population Mean）总体均值是指整个总体中的变量的平均值。

公式：$\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i$1.5 总体方差（Population Variance）总体方差是指整个总体中的变量的离散程度。

公式：$\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$1.6 总体标准差（Population Standard Deviation）总体标准差是总体方差的平方根。

公式：$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$2. 概率论公式2.1 条件概率（Conditional Probability）条件概率是指事件 A 在事件 B 已经发生的前提下发生的概率。

公式：$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$2.2 乘法定理（Multiplication Rule）乘法定理适用于计算多个事件同时发生的概率。

公式：$P(A\cap B)=P(A|B)P(B)$2.3 加法定理（Addition Rule）加法定理适用于计算多个事件至少有一个发生的概率。

样本含量估算方法及其软件实现（一）样本含量（sample size）即观察例数的多少，又称样本大小。

在保证研究结论具有一定的可靠性（精度和检验功效）的前提下，常需要在设计阶段就人估计最少的受试对象。

在医学科研中，只要是抽样研究，就要考虑样本含量的估计。

样本含量估计充分反映了科研设计中“重复”的基本原则，过小过大都有其弊端。

样本含量过小，所得指标不稳定，用于推断总体的精密度和准确度差；检验的功效性低，应有的差别不能显示出来，难以获得正确的研究结果，结论也缺乏充分的证据；样本含量过大，会整加实际工作的困难，浪费人力、物力、财力和时间。

由于过分追求数量，可能会引起更多的混杂因素，从而影响数据的质量。

影响假设检验时样本含量估计的因素有四个：1.第一类错误概率的大小α也称检验水准。

α越小所需样本含量越多，对于相同α，双侧检验比单侧检验所需要的样本含量更多。

2.检验功效(1－β)或第二类错误概率的大小β检验功效越大，第二类错误的概率愈小，所需要样本含量愈多。

3.容许误差δ容许误差δ愈大，所需的样本含量愈小。

4.总体标准差ζ或总体概率ζ愈大，所需样本含量自然愈多。

总体概率越接近0.5，则所需样本含量愈多。

样本含量的估算方法有查表法和计算法两种。

随着计算机的普遍使用，统计学家也开发了一些专门的样本含量估算软件。

其算法都是根据上述影响因素结合统计学原理求得。

我就通过实例的样本含量的计算过程，使大家对样本含量有一个更加直观的认识。

1 计量资料单组设计基于t检验的差异性检验举例：已知中国50-70岁男性的平均收缩压为158 mmHg，标准差为18，用药物AAA干预，平均收缩压下降10 mmHg 则认为有临床意义，α=0.05, Power=90%，Power =1-β, 双侧检验，需要多少病例数。

启动医学研究样本含量估算系统SASA1.0，在桌面上双击SASA1.0快捷方式或点击开始\ 所有程序\ Sample Size Adviser \ Sample Size Adviser，进入SASA1.0主窗口。

样本量估算系列02--基于PASS两样本率非劣效比较样本量计算题记：今天我们用一个案例介绍基于PASS软件的两样本率非劣效比较的样本量计算方法。

1. 基础知识各位可参考我们上一篇文章 (样本量估算系列 01 -- 基于PASS两样本率比较的样本量计算)，此处不再赘述。

2. 案例分析[案例] 一个新的抗肿瘤药物A与标准药物B对照进行III期临床试验。

已知药物B的有效率为30%。

根据临床应用的实际情况，设置非劣效性的限值为10%。

根据预实验，估计新药A有效率为25%。

按照1:1平行非劣效性设计，单侧检验，alpha=0.025，power=90%，每组需要多少样本？总计需要多少样本？分析：按照非劣效设计，A药只要不比B药的有效性低10%则认为A药有用。

这种情况临床很常见，B药作为标准治疗虽然效果很好，但可能存在一些不足，比如价格昂贵、副反应大等。

A药作为一种替代药品具有价格便宜，安全性高等优势，如果疗效上不比B药差，或者仅仅比B药差那么一点，当然也有可能优于B药，我们则认为A药有效。

我们可根据专业知识或者文献回顾设定一个非劣效性的界值，此处设为10%，即A药的有效率只要不低于10%，我们都认为B药与A药疗效一致。

此外，还要已知其他参数：A药的实际有效率（根据文献回顾或预实验获得）25%，1:1平行设计，单侧检验，alpha=0.025，power=90%。

3. PASS计算过程第一步，如图依次点击：图1. 依次选择Proportions--Two IndependentProportions--Non-Inferiority -- Non-Inferiority Test For the Difference BetweenTwo Proportions第二步，如图依次填入参数图2. 如图依次设置参数参数解释：Sample Size表示待计算的试验组样本量，此处为选择项；Higher Proportions Are: Better，此处为选择项，相当于告诉软件后面填入的Proportion越大表示效果越好。

SAS、PASS、Stata三种常用软件样本量计算方法及结果差异的比较作者：林洁孙志明来源：《中国医药导报》2015年第18期[摘要] 目的分析和探讨运用SAS、PASS、Stata 3种软件在两均数（率）比较中进行样本量估计的结果差异，推荐合适的样本量估计软件。

方法通过设定不同的参数情况，分别运用3种软件计算各自样本量，并且与公式计算结果进行比较。

结果在两均数比较时，Stata和PASS的样本量估计结果最准确，不同的参数会影响SAS的结果；在两个率比较时，SAS最准确，PASS的准确性与样本量大小有关系，Stata结果偏大且受不同参数的影响。

结论不同软件计算结果并不一致，综合考虑推荐用SAS软件进行两样本均数（率）比较的样本量估计。

[关键词] 样本量估计；SAS；PASS；Stata[中图分类号] R181 [文献标识码] A [文章编号] 1673-7210（2015）06（c）-0133-05样本量（sample size）是指承受研究实施的样本所包含之观察单位数，或样本例数。

除个别设计方法外，在研究设计中必须确定需要多少实验对象或观察对象。

样本量对研究效果有重要影响，在小样本研究中尤其如此[1]。

一系列规范的的医学研究报告，如加强观察性流行病学研究报告质量的声明和临床试验报告统一标准等均要求在研究报告中描述“如何计算样本含量”[2-6]。

开展一项研究，往往因为各种因素（人力、物力、经费等）限制，只能对总体中的一部分进行研究，即研究样本，然后由样本统计量推断总体参数。

样本过小，结果不稳定，不能真实地反映总体规律；而样本量过大，会增大研究的难度，并造成人力、物力的浪费[7]。

所以合理的样本量，一方面，可以在既定的经费下保证精确度和可靠性；另一方面，可以在既定的精确度和可靠性合理利用资源，保证抽样推断的最大效果。

目前可以用于估计样本含量的软件很多，其中较常用的有SAS、Stata、PASS等。

SAS、PASS、Stata三种常用软件样本量计算方法及结果差异的比较林洁;孙志明【摘要】Objective To analyze the differences between SAS, PASS and Stata for sample size calculation in a test of two means (rates) and recommend the appropriate software for sample size calculation. Methods By setting different pa-rameters, sample sizes were calculated using three kinds of software respectively and compared with the formula results. Results In two sample means test, Stata and PASS had the most accurate results, the results in SAS were affected by different parameters. In two sample rates test, the SAS results were the best of three, the accuracy of PASS was related with the sample size, the results in Stata were larger than others and affected by different parameters. Conclusion The results are not consistent using different software, SAS is recommended for two sample mean (rate) of sample size calcu-lation.%目的：分析和探讨运用SAS、PASS、Stata 3种软件在两均数(率)比较中进行样本量估计的结果差异,推荐合适的样本量估计软件。

实例教程：手把手教你计算样本量作者：张耀文小玲看了新英格兰医学杂志的一篇文章[1]后，有些地方不明白，于是来找小咖讨论。

小玲：我觉得这个研究做的棒棒哒，但有一点没看明白，就是原文中统计方法部分的样本量计算到底写了个啥：小咖：你没看明白就对了。

这段话确实没有讲明白样本量到底怎么计算来的。

你应该去看看这个研究的Protocol和Supplementary Appendix，里面应该会详细写到。

因为限于篇幅，有些研究会在正文中省略一些信息。

小玲：那么，哪里能找到这个研究的Protocol和Supplementary Appendix呢？小咖：来，跟着我操作。

首先搜到新英格兰医学杂志的这篇文章，然后点击①PDF下载这篇文章，再点开②Supplementary Material。

下载③Protocol 和④Supplentary Appendix 。

小玲：原来是这样啊，那我赶紧再去读一读这两个文件。

小玲读完后，又来找小咖。

小玲：我找到啦，原来在Protocol 的84-85页有样本量计算的详细介绍。

小咖：很好。

你先总结一下大意。

小玲：比较主要结局（体重变化）时，按照P =0.05进行双侧t 检验。

对于另一个主要结局（二分类变量）——体重下降5%及以上、10%以上的人数比例，采用双侧卡方检验比较。

假设对照组体重下降10%以上的人数比例为10%，利拉鲁肽组的这个比例为14%。

当利拉鲁肽组和对照组的样本量分别为2400例、1200例时，可以有超过90%的把握度发现这种差异。

小咖：很好，你get 到了所有的point。

以本研究为例，计算样本量时，需要知道以下几个重要的参数：1、研究设计类型（随机对照试验）；2、结局指标类型（二分类变量——体重下降10%以上的人数比例）；3、结局指标的预计值（安慰剂组10%，利拉鲁肽组14%）；4、检验水准α（通常取α=0.05）；5、把握度1-β（通常为80%或更高，本研究为90%）。

应用Epi info2002流行病学分析软件进行样本量的计算（“Epi info2002流行病学分析软件应用讲座”补充资料，主讲人：李海闽） （一）关于Epi info2002计算样本量涉及的几个概念1、把握度又称检验效能（power of test），是用数量描述的事物现象之间如果确定有一个真正的差别存在，能被显著性检验所检出的概率。

数理统计学用β表示II型错误的概率，1-β称为把握度。

做研究设计时，如果要求检出差别显著性的把握度越大，则要求样本含量也越多。

2、置信水平置信水平（confidence level）是置信度的互补概率。

例如95％置信度，其置信水平为0.05；99％置信度，其置信水平为0.01。

一般情况α取0.05，则置信度为95%（1-α=0.95）。

3假设检验的两类错误由于假设检验是根据有限的样本信息对总体作推断，不论做出哪一种推断结论，都有可能发生错误。

这就是假设检验的两类错误。

如果实际情况与H0不一致，检验结论为拒绝H0，接受H1, ；或者实际情况与H0一致，检验结论为接受H0；这两种推断结论都是正确的。

如果实际情况与H0一致，仅仅由于抽样的原因，使得统计量的观察值落到拒绝域，拒绝原本正确的H0，导致推断结论错误。

这样的错误称为第I类错误。

如果实际情况与H0不一致，也仅仅是抽样的原因使得统计量的观察值落到接受域,不能拒绝原本错误的H0，则导致了另一种推断错误。

这样的错误称为第II类错误。

表6-3 归纳了假设检验中两种实际情况和不同检验结论的关系。

犯第 I 类错误的概率用α来控制，其大小与检验水准相同。

根据研究者的需要。

常取为0.05 或0.01 等。

当α取为0.05 时，其意义是：如果原假设H0 成立，按照同样的方法在原假设H0 规定的总体中重复抽样，那么在每100 次检验结论中平均可以有5 次拒绝H0 （犯第I类错误）。

犯第II类错误的概率用β来控制。

因为H0 不成立时检验统计量的精确分布往往难以确定，所以在多数情况下准确估计β的数值比较困难。

SAS、PASS、Stata三种常用软件样本量计算方法及结果差异的比较目的分析和探讨运用SAS、PASS、Stata 3种软件在两均数（率）比较中进行样本量估计的结果差异，推荐合适的样本量估计软件。

方法通过设定不同的参数情况，分别运用3种软件计算各自样本量，并且与公式计算结果进行比较。

结果在两均数比较时，Stata和PASS的样本量估计结果最准确，不同的参数会影响SAS的结果；在两个率比较时，SAS最准确，PASS的准确性与样本量大小有关系，Stata结果偏大且受不同参数的影响。

结论不同软件计算结果并不一致，综合考虑推荐用SAS软件进行两样本均数（率）比较的样本量估计。

标签：样本量估计；SAS；PASS；Stata样本量（sample size）是指承受研究实施的样本所包含之观察单位数，或样本例数。

除个别设计方法外，在研究设计中必须确定需要多少实验对象或观察对象。

样本量对研究效果有重要影响，在小样本研究中尤其如此[1]。

一系列规范的的医学研究报告，如加强观察性流行病学研究报告质量的声明和临床试验报告统一标准等均要求在研究报告中描述“如何计算样本含量”[2-6]。

开展一项研究，往往因为各种因素（人力、物力、经费等）限制，只能对总体中的一部分进行研究，即研究样本，然后由样本统计量推断总体参数。

样本过小，结果不稳定，不能真实地反映总体规律；而样本量过大，会增大研究的难度，并造成人力、物力的浪费[7]。

所以合理的样本量，一方面，可以在既定的经费下保证精确度和可靠性；另一方面，可以在既定的精确度和可靠性合理利用资源，保证抽样推断的最大效果。

目前可以用于估计样本含量的软件很多，其中较常用的有SAS、Stata、PASS 等。

SAS是由美国北卡罗来纳州立大学1966年开发的统计分析软件，在国际上被誉为统计分析的标准软件，在各个领域得到了广泛应用[8]；Stata是Statacorp 于1985年开发的统计程序，在全球范围内被广泛应用于经济学、社会学及流行病学等领域；PASS是由Hintze等人研发，专门用于计算样本量的统计软件，操作简便快捷。

样本量计算软件大全，再也不用担心样本量的计算导语：在临床研究设计阶段，临床研究者最纠结的问题在哪里？需要多少病例即样本量估算，必是其中问题之一。

来源：梅斯医学因为样本量太小，试验难以得出设计的效果，结果不稳定，错误风险也大，得到“假阴性”结果；样本量太大，增加试验的成本和难度。

并且CONSORT和STROBE等报告规范已要求要指明样本量的确定方法。

那如何把握这个度呢？第一类：临床试验（以RCT为主），根据研究设计类型不同研究课题假设有三种类型：1. 优效性假设检验：研究的干预措施效果将优于对照组；2. 等效性假设检验：研究的干预措施效果将等于对照组；3. 非劣效性假设检验：研究的干预措施效果将不等于对照组；这三类试验类型中又有样本率的比较和样本均数的比较。

第二类：非RCT研究，如病例对照研究，队列，诊断性研究，单组比较分析等，样本量估计方法也另有所不同。

有关样本量计算软件，这里梅斯医学小编收集一下，基本算是大全了。

一、在线样本量计算工具1、PowerAndSampleSize可计算单样本均数，两样本均数比较，k个样本均数比较，单个率，两个率比较，配对率比较，两样本率比较，k个样本率比较，时间-事件数据（生存数据）比较，OR值比较，以及其它。

该软件的一个重要特点是可提供样本量的计算公式和R语言代码，在写标书时不用愁啦。

/Calculators/2、MedSci样本量计算软件(MedSci Sample Size tools, MSST)这是小编的绝密消息哦，刚刚上线不久，就受到广泛欢迎。

其一，全中文，并且带有引导和指示的；其二，方便简单，手机端即可操作；其三，功能可不简单哦，功能强大。

涵盖了十多种最常见的样本量计算方法，临床上90%以上的样本量计算，这里就可以搞定了，包括RCT，诊断性研究，病例对照研究等。

讲了这么多，在哪里？大家可以下载：梅斯医学APP (各大应用市场都有)，然后在APP 首页的一排按纽（各种各样的好功能哦），然后点击更多进入“医生工具”，这里面便有统计向导、样本量计算、ICD-10查询等各种各样的小工具了。

Pass样本量计算公式的文献一、概述在医学、生物统计学和社会科学研究中，确定合适的样本量是非常重要的。

一个合理的样本量可以保证研究结果的可靠性和外推性，同时可以节约研究资源和时间。

Pass样本量计算公式是一种常用的计算样本量的工具，它可以帮助研究者确定所需的样本容量，从而保证研究的科学性和可靠性。

下面将对Pass样本量计算公式的文献进行分析和总结，以便更好地理解和应用该公式。

二、文献分析1. MacCallum RC, et al. 在1996年发表的“Sample Size in Factor Analysis”。

这篇文章系统地介绍了样本量计算在因子分析中的应用。

文章首先对因子分析的基本原理进行了梳理和阐述，然后详细解释了如何应用Pass样本量计算公式来确定因子分析所需的样本容量。

通过实例分析，作者指出了Pass样本量计算公式的优点和局限性，为研究者提供了详细的指导和建议。

2. Krishnan L, et al. 在2004年发表的“Sample size calculations”。

这篇文章对于一般的样本量计算方法进行了综述和比较，重点介绍了Pass样本量计算公式的原理和应用。

作者通过对比不同的样本量计算方法，指出了Pass样本量计算公式在各种研究设计和分析方法中的适用性和局限性，具有很高的参考价值。

3. Machin D, et al. 在2018年发表的“Sample Size Tables”。

这篇文章从实际出发，通过建立一系列的样本量表格，详细展示了Pass样本量计算公式在不同研究场景下的应用。

作者根据不同的研究设计和学科领域，提供了大量的样本量计算实例和样本量表格，帮助研究者更加直观地理解和使用Pass样本量计算公式。

三、总结和展望Pass样本量计算公式的文献多样且广泛，基本上涵盖了医学、生物统计学和社会科学研究中的各个领域和应用场景。

这些文献从不同的角度对Pass样本量计算公式进行了综合介绍和分析，为研究者提供了丰富的研究案例和实践经验。

样本量计算的重要性及方法在进行科研调查、实验设计、市场调研等领域时，样本量的确定是非常重要的一环。

样本量的大小直接影响到研究结果的可靠性和推广性，因此合理的样本量计算是保证研究质量的关键之一。

本文将介绍样本量计算的重要性及方法。

一、样本量计算的重要性1. 确保研究结果的可靠性：样本量的大小直接影响到研究结果的可靠性。

样本量过小会导致研究结果的偏差，无法准确反映总体情况；而样本量过大则会增加研究成本，浪费研究资源。

因此，通过科学的样本量计算，可以确保研究结果的可靠性。

2. 提高研究的推广性：样本量的大小也影响到研究结果的推广性。

样本量足够大可以提高研究结果的普适性和代表性，使得研究结论更具有说服力，更容易被广泛接受和应用。

3. 降低研究风险：样本量计算可以帮助研究者在设计研究方案时更好地控制研究风险。

通过科学的样本量计算，可以避免因样本量不足而导致的研究结果失真，降低研究风险，提高研究的成功率。

二、样本量计算的方法1. 根据研究类型选择合适的样本量计算方法：不同类型的研究需要采用不同的样本量计算方法。

常见的样本量计算方法包括：方差分析法、相关分析法、回归分析法、生存分析法等。

研究者需要根据具体研究目的和研究设计选择合适的样本量计算方法。

2. 确定显著性水平和效应大小：在进行样本量计算时，需要确定研究的显著性水平和效应大小。

显著性水平通常取0.05或0.01，效应大小可以根据研究领域的经验值或文献报道进行估计。

3. 使用样本量计算工具进行计算：为了方便和准确地进行样本量计算，研究者可以使用专门的样本量计算工具或软件。

常用的样本量计算软件包括G*Power、PASS、Sample Size Calculator等，这些工具可以根据研究设计的参数快速计算出所需的样本量。

4. 考虑实际情况进行修正：在进行样本量计算时，研究者还需要考虑到实际情况进行修正。

例如，考虑到样本的丢失率、实验的复杂度、实验的可行性等因素，适当调整计算得出的样本量，以确保研究的可行性和有效性。

Package‘sampsizeval’October14,2022Title Sample Size for Validation of Risk Models with Binary OutcomesVersion1.0.0.0Description Estimation of the required sample size to validate a risk model for binary out-comes,based on the sample size equations pro-posed by Pavlou et al.(2021)<doi:10.1177/09622802211007522>.For precision-based sam-ple size calculations,the user is required to enter the anticipated values of the C-statistic and out-come prevalence,which can be obtained from a previous study.The user also needs to spec-ify the required precision(standard error)for the C-statistic,the calibration slope and the calibra-tion in the large.The calculations are valid under the assumption of marginal normal-ity for the distribution of the linear predictor.License MIT+file LICENSELazyData falseRoxygenNote7.1.1Suggests testthat(>=3.0.0)Config/testthat/edition3Imports stats,sn,pracma,dplyr,plyrURL https:///mpavlou/sampsizevalBugReports https:///mpavlou/sampsizeval/issuesNeedsCompilation noAuthor Menelaos Pavlou[aut,cre](<https:///0000-0003-1161-1440>)Maintainer Menelaos Pavlou<***************.uk>Repository CRANDate/Publication2021-05-2807:30:02UTCR topics documented:sampsizeval (2)Index41sampsizeval sampsizeval:Estimation of Required Sample Size for Validation ofRisk Models for Binary OutcomesDescriptionThis function calculates the sample size required in the validation dataset to estimate the C-statistic(C),the calibration Slope(CS)and the Calibration in the Large(CL)with sufficient precision.Ittakes as arguments the anticipated values of the C-statistic and the outcome prevalence(obtained, for example,from a previous study)and the required standard error for C,CS and CL.Usagesampsizeval(p,c,se_c,se_cs,se_cl,c_ni=FALSE)Argumentsp(numeric)The anticipated outcome prevalence,a real number between0and1 c(numeric)The anticipated C-statistic,a real number between0.5and1se_c(numeric)The required standard error of the estimated C-Statisticse_cs(numeric)The required standard error of the estimated Calibration Slopese_cl(numeric)The required standard error of the estimated Calibration in the Large c_ni(logical)Numerical integration is used for the calculations for C-statistic(TRUE) or the closed-form expression(FALSE).Default value is’FALSE’DetailsThe sample size calculations are valid under the assumption of marginal normality for the distri-bution of the linear predictor.The default sample size calculation based on C uses the closed-form expression in equation(9)as proposed by Pavlou et al.(2021).This is quick to run and accurate for all values of anticipated C and p.The default sample size calculations based on CS and CL use the formulae(12)and(13)that require the use of numerical integration.The parameters of the assumed Normal distribution used in the latter two expressions are obtained using equations(7)and(8)and arefine-tuned for values of anticipated C>0.8.Sample size calculations from the estimator based on C that uses numerical integration can also be obtained.Valuesize_c:the sample size based on the C-statisticsize_cs:the sample size based on the Calibration Slopesize_cl:the sample size based on the Calibration in the Largesize_recommended:thefinal sample size recommendation(the largest of the three above)ReferencesPavlou M,Chen Q,Omar ZR,Seaman RS,Steyerberg WE,White RI,Ambler G.Estimation of required sample size for external validation of risk models for binary outcomes,SMMR(2021).doi:10.1177/09622802211007522Examples#Calculate the sample size of the validation data to estimate the#C-statistic,the Calibration slope and the Calibration in the Large with#sufficient precision.It is assumed that the anticipated prevalence is0.1#and the C-statistic is0.75.The required SE for the C statistic is0.025#(corresponding to a confidence interval of width approximately0.1)and the#required SE for the calibration slope and calibration in the large is0.1#(corresponding to a confidence interval of width approximately0.4).sampsizeval(p=0.1,c=0.75,se_c=0.025,se_cs=0.1,se_cl=0.1)Indexsampsizeval,24。