人教版数学九下《第26章二次函数》word小结与复习

九年级数学下册26.2二次函数知识点总结人教新课标版九年级数学下册 26.2二次函数知识点总结人教新课标版人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如ya某2b某c（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数ya某2b某c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量某的二次式，某的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二次函数各种形式之间的变换二次函数ya某2b某c用配方法可化成：ya某hk的形式，其中2hb2a，k4acb4a2.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①ya某2；②ya某2k；③ya某h；④ya某hk；⑤ya某2b某c.22二次函数解析式的表示方法一般式：ya某2b某c（a，b，c为常数，a0）；顶点式：ya(某h)2k（a，h，k为常数，a0）；两根式：ya(某某1)(某某2)（a0，某1，某2是抛物线与某轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与某轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数ya某2b某c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数ya某2b某c化为顶点式ya(某h)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与某轴的交点某1，0，某2，0（若与某轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与某轴的交点，与y轴的交点.二次函数ya某的性质a的符号a02开口方向顶点坐标对称轴向上性质某00，00，0y轴时，y随某的增大而增大；某0时，y随某的增大而减小；某0时，y有最小值0．时，y随某的增大而减小；某0时，y随a0向下y某0轴某的增大而增大；某0时，y有最大值0．1二次函数ya某2c的性质a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上性质某00，c0，c2y轴时，y随某的增大而增大；某0时，y随某的增大而减小；某0时，y有最小值c．时，y随某的增大而减小；某0时，y随a0向下y轴某0某的增大而增大；某0时，y有最大值c．二次函数ya某h的性质：a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上性质某hh，0h，02时，y随某的增大而增大；某h时，y某=h随某的增大而减小；某h时，y有最小值0．某ha0向下某=h时，y随某的增大而减小；某h时，y随某的增大而增大；某h 时，y有最大值0．二次函数ya某hk的性质a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上性质某hh，kh，k时，y随某的增大而增大；某h时，y某=h随某的增大而减小；某h时，y有最小值k．某h 时，y随某的增大而减小；某h时，ya0向下某=h随某的增大而增大；某h时，y有最大值k．抛物线ya某2b某c的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；b2aa相等，抛物线的开口大小、形状相同.对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作某4acb（，）顶点坐标：2a4ab2.特别地，y轴记作直线某0.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.抛物线ya某b某c中，a,b,c与函数图像的关系二次项系数a二次函数ya某2b某c中，a作为二次项系数，显然a0．⑴当a0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．一次项系数b2在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，当b0时，当b0时，当b0时，b2ab2ab2a000，即抛物线的对称轴在y轴左侧；，即抛物线的对称轴就是y轴；，即抛物线对称轴在y轴的右侧．⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时，当b0时，当b0时，b2ab2ab2a000，即抛物线的对称轴在y轴右侧；，即抛物线的对称轴就是y 轴；，即抛物线对称轴在y轴的左侧．总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．总结：常数项c⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在某轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在某轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：b2ya某22b4acbb某ca某2a4a2，∴顶点是b4acb，对称轴是直线某.（，）2a2a4a配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为ya某hk的形式，得2到顶点为(h,k)，对称轴是直线某h.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式一般式：ya某b某c.已知图像上三点或三对某、y的值，通常选择一般式.顶点式：ya某hk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.22交点式：已知图像与某轴的交点坐标某1、某2，通常选用交点式：ya某某1某某2.直线与抛物线的交点y轴与抛物线ya某2b某c得交点为(0,c).与y轴平行的直线某h与抛物线ya某2b某c有且只有一个交点(h,ah2bhc).抛物线与某轴的交点:二次函数ya某2b某c的图像与某轴的两个交点的横坐标某1、某2，是对应一元二次方程a某2b某c0的两个实数根.抛物线与某轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与某轴相交；②有一个交点（顶点在某轴上）0抛物线与某轴相切；③没有交点0抛物线与某轴相离.平行于某轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是a某2b某ck的两个实数根.一次函数yk某nk0的图像l与二次函数ya某2b某ca0的图像yk某nG的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同2ya 某b某c的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.抛物线与某轴两交点之间的距离：若抛物线ya某2b某c与某轴两交点为 A某1，0，B某2，0，由于某1、某2是方程a某b某c0的两个根，故2某1某2ba,某1某22ca2AB某1某2某1某2某1某24某1某224cbaab4aca2a二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于某轴对称ya某2b某c关于某轴对称后，得到的解析式是ya某2b某c；ya某hk2关于某轴对称后，得到的解析式是ya某hk；2关于y轴对称ya某2b某c关于y轴对称后，得到的解析式是ya某2b某c；ya某hk2关于y轴对称后，得到的解析式是ya某hk；2关于原点对称ya某2b某c关于原点对称后，得到的解析式是ya某2b某c；ya某hk关于原点对称后，得到的解析式是ya某hk；关于顶点对称ya某b某c关于顶点对称后，得到的解析式是ya某b某cya某hkb22a；关于顶点对称后，得到的解析式是ya某hk．4关于点m，n对称ya某hk2关于点m，n对称后，得到的解析式是ya某h2m2nk2总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图象的平移平移步骤：2⑴将抛物线解析式转化成顶点式ya某hk，确定其顶点坐标h，k；⑵保持抛物线ya某2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：y=a某2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k定点Q，直线y(a2)某2经过点Q,求抛物线的解析式。

第二十六章 二次函数第1课时 26.1 二次函数一、阅读教科书第2—3页上方 二、学习目标：1．知道二次函数的一般表达式；2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 三、知识点：一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。

其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 四、基本知识练习1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－32x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________． 2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数．3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．（1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2（4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1x五、课堂训练1．y ＝(m ＋1)x mm 2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________．2．下列函数中是二次函数的是（ ）A ．y ＝x ＋12 B ． y ＝3 (x －1)2 C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝1x2 －x3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3． 求：（1）函数y 与x 的函数关系式；（2）当x ＝4时，y 的值；（3）当y ＝－13时，x 的值．6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．六、目标检测1．若函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋a 2－1是二次函数，则（ ） A ．a ＝1 B ．a ＝±1 C ．a ≠1 D ．a ≠－12．下列函数中，是二次函数的是（ ）A ．y ＝x 2－1B ．y ＝x －1C ．y ＝8xD ．y ＝8x23．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式．4．已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3．当x ＝2时，y ＝3，求 这个二次函数解析式．第2课时 二次函数y ＝ax 2的图象与性质一、阅读课本：P4—6上方 二、学习目标：1．知道二次函数的图象是一条抛物线； 2．会画二次函数y ＝ax 2的图象；3．掌握二次函数y ＝ax 2的性质，并会灵活应用． 三、探索新知：画二次函数y ＝x 2的图象．【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x 、y 的对应值；②描点（表中x 、y 的数值在坐标平面中描点（x ，y ）；③连线（用平滑曲线）．】由图象可得二次函数y＝x2的性质：1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________．3．自变量x的取值范围是____________．4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．5．抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（，）叫做抛物线y＝x2的_________．因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________．6．抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”）．四、例题分析例1 在同一直角坐标系中，画出函数y＝12x2，y＝x2，y＝2x2的图象．y＝x2的图象刚画过，再把它画出来．归纳：抛物线y＝12x2，y＝x2，y＝2x2的二次项系数a_______0；顶点都是__________；对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”）．例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y ＝－x 2，y ＝－12x 2， y ＝－2x 2的图象．归纳：抛物线y ＝－x 2，y ＝－12x 2， y ＝－2x 2的二次项系数a______0，顶点都是________，对称轴是___________，顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”） ． 五、理一理122．抛物线y ＝x 2与y ＝－x 2关于________对称，因此，抛物线y ＝ax 2与y ＝－ax 2关于_______ 对称，开口大小_______________．3．当a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________； 当a ＜0时，｜a ｜ 越大，抛物线的开口越_________；因此，｜a ｜ 越大，抛物线的开口越________，反之，｜a ｜ 越小，抛物线的开口越________．六、课堂训练 12．若二次函数y ＝ax 2的图象过点（1，－2），则a 的值是___________． 3．二次函数y ＝(m －1)x 2的图象开口向下，则m____________． 4．如图， ① y ＝ax 2 ② y ＝bx 2 ③ y ＝cx 2 ④ y ＝dx 2 比较a 、b 、c 、d 的大小，用“＞”连接． ___________________________________七、目标检测1．函数y ＝37x 2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，当x ＝___________时，有最_________值是_________． 2．二次函数y ＝mx 22 m 有最低点，则m ＝___________．3．二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k 的取值 范围为___________．4．写出一个过点（1，2）的函数表达式_________________．第3课时 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质一、阅读课本：P6—7上方 二、学习目标：1．会画二次函数y ＝ax 2＋k 的图象；2．掌握二次函数y ＝ax 2＋k 的性质，并会应用； 3．知道二次函数y ＝ax 2与y ＝的ax 2＋k 的联系． 三、探索新知：在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝x 2＋1，y ＝x 2－1的图象．观察图象得：2．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．四、理一理知识点1．2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；抛物线y ＝2x 2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．因此，把抛物线y ＝ax 2向上平移k （k ＞0）个单位，就得到抛物线_______________； 把抛物线y ＝ax 2向下平移m （m ＞0）个单位，就得到抛物线_______________． 3．抛物线y ＝－3x 2与y ＝－3x 2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y ＝ax 2与y ＝ax 2＋k 的形状__________________．五、课堂巩固训练2．将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________． 3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．4．抛物线y ＝4x 2＋1关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________．六、目标检测2．抛物线y ＝－13 x 2－2可由抛物线y ＝－13x 2＋3向___________平移_________个单位得到的．3．抛物线y ＝－x 2＋h 的顶点坐标为（0，2），则h ＝_______________．4．抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________，与x 轴的交点坐标为_________．第4课时 二次函数y ＝a(x-h)2的图象与性质一、阅读课本：P7—8二、学习目标：1．会画二次函数y ＝a （x -h ）2的图象；2．掌握二次函数y ＝a （x -h ）2的性质，并要会灵活应用； 三、探索新知：画出二次函数y ＝－12 (x ＋1)2，y －12(x －1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．12．请在图上把抛物线y ＝－12x 2也画上去（草图）．①抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ，y ＝－12 x 2，y ＝－12 (x －1)2的形状大小____________．②把抛物线y ＝－12 x 2向左平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ；把抛物线y ＝－12 x 2向右平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2 ．四、整理知识点2．对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．五、课堂训练2．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．3．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．4．将抛物线y＝－13(x－1)x2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式___________________________．六、目标检测1．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．2．抛物线y ＝m (x ＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y ＝－4 (x －4)2，则 m ＝__________，n ＝___________．3．若将抛物线y ＝2x 2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________． 4．若抛物线y ＝m (x ＋1)2过点（1，－4），则m ＝_______________．第5课时 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质一、阅读课本：第9页． 二、学习目标：1．会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象； 2．掌握二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质；3．会应用二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质解题． 三、探索新知：画出函数y ＝－12(x ＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．由图象归纳：2．把抛物线y ＝－12x 2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2－1．2．抛物线y＝a (x－h)2＋k与y＝ax2形状___________，位置________________．五、课堂练习2．y＝6x2＋3与y＝6 (x－1)2＋10_____________相同，而____________不同．3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝12x2相同的解析式为（）A．y＝12(x－2)2＋3 B．y＝12(x＋2)2－3C．y＝12(x＋2)2＋3 D．y＝－12(x＋2)2＋34．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值为__________________．5．将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．6．若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上，且x＝1时，y＝－3，求a、k的值．7．若抛物线y＝a (x－1)2＋k上有一点A（3，5），则点A关于对称轴对称点A’的坐标为__________________．六、目标检测2．抛物线y＝－3 (x＋4)2＋1中，当x＝_______时，y有最________值是________．3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（）A B CD4．将抛物线y＝2 (x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________．5．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为____________________________．（任写一个）第6课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质一、阅读课本：第10页．二、学习目标：1．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式；3．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象．三、探索新知：1．求二次函数y＝12x2－6x＋21的顶点坐标与对称轴．解：将函数等号右边配方：y＝12x2－6x＋212．画二次函数y＝12x2－6x＋21的图象．解：y＝12x2－6x＋21配成顶点式为_______________________．3．用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴．五、课堂练习1．用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．2．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标．3．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________．4．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y有_________值是___________．六、目标检测1．用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝12x2－2－1的顶点坐标．2．二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，求其最大值．第7课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质一、复习知识点：第6课中“理一理知识点”的内容． 二、学习目标：1．懂得求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴、y 轴的交点的方法； 2．知道二次函数中a ，b ，c 以及△＝b 2－4ac 对图象的影响． 三、基本知识练习1．求二次函数y ＝x 2＋3x －4与y 轴的交点坐标为_______________，与x 轴的交点坐标____________．2．二次函数y ＝x 2＋3x －4的顶点坐标为______________，对称轴为______________． 3．一元二次方程x 2＋3x －4＝0的根的判别式△＝______________． 4．二次函数y ＝x 2＋bx 过点（1，4），则b ＝________________．5．一元二次方程y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），△＞0时，一元二次方程有_______________， △＝0时，一元二次方程有___________，△＜0时，一元二次方程_______________． 四、知识点应用1．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点（含y ＝0时，则在函数值y ＝0时，x 的值是抛物线与x 轴交点的横坐标）．例1 求y ＝x 2－2x －3与x 轴交点坐标．2．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点（含x ＝0时，则y 的值是抛物线与y 轴交点的纵坐标）．例2 求抛物线y ＝x 2－2x －3与y 轴交点坐标．3．a 、b 、c 以及△＝b 2－4ac 对图象的影响． （1）a 决定：开口方向、形状（2）c 决定与y 轴的交点为（0，c ）（3）b 与－b2a共同决定b 的正负性（4）△＝b 2－4ac ⎪⎩⎪⎨⎧<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与x x x 000例3 如图， 由图可得：a_______0b_______0c_______0△______0例4 已知二次函数y ＝x 2＋kx ＋9．①当k 为何值时，对称轴为y 轴；②当k 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点； ③当k 为何值时，抛物线与x 轴只有一个交点． 五、课后练习1．求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标__________，与y轴的交点坐标为_______．2．抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上，则m＝__________．3．如图：由图可得：a_______0b_______0c_______0△＝b2－4ac______0六、目标检测1．求抛物线y＝x2－2x＋1与y轴的交点坐标为_______________．2．若抛物线y＝mx2－x＋1与x轴有两个交点，求m的范围．3．如图：由图可得：a _________0b_________0c_________0△＝b2－4ac_________0第8课时二次函数y＝ax2＋bx＋c解析式求法一、阅读课本：第12～13页．二、学习目标：1．会用待定系数法求二次函数的解析式；2．实际问题中求二次函数解析式．三、课前基本练习1．已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点（1，2），则m的值为________________．2．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2＋bx＋c上的两点，则这条抛物线的对称轴为_____________________．3．将抛物线y＝－(x－1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为____________________．4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y＝－12x2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解析式为________________________________．四、例题分析例1 已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．例3 已知抛物线与x 轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）． 求抛物线的解析式． 五、归纳用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法： 1．已知抛物线过三点，设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ．2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y ＝a(x －h)2＋k ．3．已知抛物线与x 轴有两个交点（或已知抛物线与x 轴交点的横坐标），设两根式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2) ．（其中x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标）六、实际问题中求二次函数解析式例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管应多长？七、课堂训练1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式．3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，与 y 轴交于点C （0，3），求二次函数的顶点坐标．4．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12mm ，BC ＝24mm ，动点P 从点A 开始沿边AB向B 以2mm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么△PBQ 的面积S 随出发时间t 如何变化？写出函数关系式及t 的取值范围．八、目标检测1．已知二次函数的图像过点A （－1，0），B （3，0），C （0，3）三点，求这个二次函数解析式．Q P C B A第9课时用函数观点看一元二次方程一、阅读课本：第16～19页二、学习目标：1．知道二次函数与一元二次方程的关系．2．会用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式△＝b2－4ac判断二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的个数．三、探索新知1．问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2．考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？2．观察图象：（1）二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△＝_______0；（2）二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有___________个交点，则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式△＝_______0；（3）二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴________公共点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△_______0．四、理一理知识1．已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程__________________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x的值．一般地：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m．反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m的自变量x的值．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b2－4ac．（1）当△＝b2－4ac＞0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；（2）当△＝b2－4ac＝0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点；（3）当△＝b2－4ac＜0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．五、基本知识练习1．二次函数y＝x2－3x＋2，当x＝1时，y＝________；当y＝0时，x＝_______．2．二次函数y＝x2－4x＋6，当x＝________时，y＝3．3．如图，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为________________ 4．如图一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解为_________________5．如图填空：（1）a________0（2）b________0（3）c________0（4）b2－4ac________0六、课堂训练1．特殊代数式求值：①如图看图填空：（1）a ＋b＋c_______0（2）a －b＋c_______0（3）2a －b_______0②如图2a＋b_______04a＋2b ＋c_______02．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________；（2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________；（3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________；（4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________；（5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________；（6）不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________．七、目标检测根据图象填空：（1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0；（4）△＝b2－4ac_____0；（5）a＋b＋c_____0；（6）a－b＋c_____0；（7）2a＋b_____0；（8）方程ax2＋bx＋c＝0的根为__________；（9）当y＞0时，x的范围为___________；（10）当y＜0时，x的范围为___________；八、课后训练1．已知抛物线y＝x2－2kx＋9的顶点在x轴上，则k＝____________．2．已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围___________．3．已知函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等实数根D．无实数根4．如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1，x2＝3；③a＋b＋c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大．正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上）．第10课时实际问题与二次函数（1）一、阅读教科书：P22的问题二、学习目标：几何问题中应用二次函数的最值．三、课前基本练习1．抛物线y＝－(x＋1)2＋2中，当x＝___________时，y有_______值是__________．2．抛物线y＝12x2－x＋1中，当x＝___________时，y有_______值是__________．3．抛物线y＝a x2＋b x＋c（a≠0）中，当x＝___________时，y有_______值是__________．四、例题分析：（P15的探究）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？五、课后练习1．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？3．如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC＋BD＝10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？DCBA4．一块三角形废料如图所示，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝12．用这块废料剪出一个长方形CDEF ，其中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上．要使剪出的长方形CDEF 面积最大，点E 应造在何处？六、目标检测如图，点E 、F 、G 、H 分别位于正方形ABCD 的四条边上，四边形EFGH 也是正方形．当 点E 位于何处时，正方形EFGH 的面积最小？第11课时 实际问题与二次函数（2）商品价格调整问题一、阅读课本：第23页（探究1）二、学习目标：1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2．会应用二次函数的性质解决问题．三、探索新知某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？F E D C B A HG F E D C B A分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？解：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元．（2）设每件降价x元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．四、课堂训练1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月函数的图象是抛物线的一段（如图）．（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）五、目标检测某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空间．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定介增加x元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？图①第12课时 实际问题与二次函数（3）一、阅读课本：第25页探究3二、学习目标：1．会建立直角坐标系解决实际问题；2．会解决桥洞水面宽度问题．三、基本知识练习1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为___________________________________．2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y ＝－14x 2，当拱桥下水位线在AB 位置时，水面宽为 12m ，这时水面离桥拱顶端的高度h 是（ ）A ．3mB ．2 6 mC ．4 3 mD ．9m3．有一抛物线拱桥，已知水位线在AB 位置时，水面的宽为4 6 米，水位上升4米，就达到警戒线CD ，这时水面宽为4 3 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M 处？四、课堂练习1．一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y ＝ax 2＋c 的形式，请根据所给的数据求出a 、c 的值；（2）求支柱MN 的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m ，高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．2．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 时，水面CD 的宽是10m ．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式．（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？第13课时二次函数综合应用一、复习二次函数的基本性质二、学习目标：灵活运用二次函数的性质解决综合性的问题．三、课前训练1．二次函数y＝kx2＋2x＋1（k＜0）的图象可能是（）2．如图：（1）当x为何范围时，y1＞y2?（2）当x为何范围时，y1＝y2?（3）当x为何范围时，y1＜y2?3．如图，是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的图象，则a＝____________．4．若A（－134，y1），B（－1，y2），C（53，y3）为二次函数y＝－x2－4x＋5图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y35．抛物线y＝(x－2) (x＋5)与坐标轴的交点分别为A、B、C，则△ABC的面积为__________．6．如图，已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD ＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向做匀速运动，同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A→B→C→D的路线做匀速运动．当点P运动到点D时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．（1）求点P从点A运动到点D所需的时间．（2）设点P运动时间为t（秒）①当t＝5时，求出点P的坐标．②若△OAP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．五、目标检测如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过A（－1，0），B（3，0）两交点，且交y轴于点C．（1）求b、c的值；（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点M为此抛物线的顶点，试确定△MCD的形状．。

第26章 二次函数全章总结提升◆本章总结归纳（一）知识框架（二）重点难点突破1．函数图象的理解与应用易错点：函数图象的意义认识不表，它的性质、特征与函数图象联系不上，不能达到数形互助；突破点：加强对函数图象中点的坐标的意义认识，分析各点的坐标，理解y 随x 的变化情况，从而达到能直接根据图象说出二次函数的有关性质。

（如：增减性、极值、对称轴等）理解,,a b c 的值对抛物线2y ax bx c =++的影响，提高解题效率 2.抛物线2y ax bx c =++的特征与,,a b c 符号：,,a b c 决定开口方向0,0,a a >⎧⎨<⎩开口向上;开口向下.,,a b c 与b 决定对称轴位置,,a b a b ⎧⎨⎩同号,在轴左侧;异号,在轴右侧.c 决定抛物线与y 轴交点的位置0,0,0,c c c >⎧⎪=⎨⎪<⎩交点在y 轴的正半轴上;交点在原点;交点在y 轴的负半轴上. 易错点：以上关系不清楚，导致做题盲目，出错。

突破点：数形结合，变式训练，特别是,,a b c 与b 一走决定对称轴位置的理解与判定。

3．解析式之间的转化与解析式的求法。

易错点：①将2y ax bx c =++化成顶点式224()24b ac b y a x a a -=++ ②用待定系数法求解时，不能根据不同条件恰当地选取解析式。

突破点：①强调配方的步骤、配方的规律，注意恒等变形与检验。

②比较不同形式的解析式的优劣，应用的环境，加强对顶点式、交点式的理解，并能正确运用。

4．抛物线的平移规律，表达式的变化。

易错点：抛物线的移动，对解析式变化理解不透，不同方向的移动，到底是加还是减判断不清。

突破点：抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减。

5．抛物线与x 轴交点情况。

易错点：此类题综合性较大，对应关系不很明确，隐含条件较多，极易出错。

突破点：抛物线与x 轴交点横坐标就是相应一元二次方程的两根，把交点的个数转化为方程。

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新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章《二次函数》知识点总结及精品试题第一部分 基础知识1。

定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴。

（2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系。

①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.(3）顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a 。

3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合)y 轴的抛物线。

4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5。

二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=;④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2。

6。

抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =。

人教版数学第26章《二次函数》小结与复习（3）教学目标：1．使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。

2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，获得用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。

重点难点：重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。

难点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。

教学过程：一、例题精析，引导学法，指导建模1．何时获得最大利润问题。

例：重庆市某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P=－150(x－30)2＋10万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q=－4950(50－x)2＋1945(50－x)＋308万元。

(1)若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少?(2)若按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少?(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法。

学生活动：投影给出题目后，让学生先自主分析，小组进行讨论。

教师活动：在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题。

教师精析：(1)若不开发此产品，按原来的投资方式，由P=－150(x－30)2＋10知道，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M1＝10×10=100万元。

【人教版】初中数学九年级知识点总结26二次函数【人教版】初中数学九年级知识点总结：26二次函数【人教版】初中数学九年级知识点总结:26二次函数【按】二次函数知识很更易与纳米技术其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。

因此，以二次函数知识为主的综合性是中考的热点考题，往往以大题为形式出现．教职员在讲解本章内容时应著重注重培养学生数形结合的思想和独立思考问题的能力。

一、目标与要求1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的，体会方程与函数之间的联系。

2．理解二次函数与x轴交角的个数与一元二次方程的一元二次方程根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等四个的实数和没有实根。

3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标。

4.掌握把抛物线yax2平移至ya(xh)2+k的规律；5.会画出ya(xh)2+k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质。

二、知识框架三、重点、难点1．探索关系具体症结中的数量关系和变化规律．2．结合数学方法具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关本体论概念．3．会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．4．会运用配方式确定二次函数图象的顶点、开口方向和旋转轴．5．会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．6．须要通过对现实情境的分析，确定二次函数的公式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．四、知识点、概念总结1.二次函数：一般的，形如y=ax+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数。

自变量（通常为x）和因变量（通常为y）。

右边是整式，且自变量的前三位次数是2。

注意，“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。

未知数只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），变量可在一定范围内任一任意取值。

在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或多项式也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义虽然有所不同。

二次函数知识点总结和题型总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵a b c，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．例题：例1、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。

练习、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围 为 。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

c的性)2h的性4.()2y a x h k=-+的性质：二次函数的对称轴、顶点、最值如果解顶点式－则最值果解析般式y=ax2+bx+c则最值为4ac-b24a）1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。

2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴6．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ 。

三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质例题：1．抛物线y=x 2+4x+9的对称轴是 。

九年级数学下册262二次函数知识点总结人教新课标版人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如a2bc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数a2bc的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二次函数各种形式之间的变换二次函数a2bc用配方法可化成：ah的形式，其中2hb2a，4acb4a2二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①a2；②a2；③ah；④ah；⑤a2bc22二次函数解析式的表示方法一般式：a2bc（a，b，c为常数，a0）；顶点式：ah2（a，h，为常数，a0）；两根式：a12（a0，1，2是抛物线与轴两交点的横坐标）注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化二次函数a2bc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数a2bc化为顶点式ah2，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与轴的交点1，0，2，0（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点二次函数a的性质a的符号a02开口方向顶点坐标对称轴向上性质00，00，0轴时，随的增大而增大；0时，随的增大而减小；0时，有最小值0．时，随的增大而减小；0时，随a0向下0轴的增大而增大；0时，有最大值0．1二次函数a2c的性质a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上性质00，c0，c2轴时，随的增大而增大；0时，随的增大而减小；0时，有最小值c．时，随的增大而减小；0时，随a0向下轴0的增大而增大；0时，有最大值c．二次函数ah的性质：a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上性质hh，0h，02时，随的增大而增大；h时，X=h随的增大而减小；h时，有最小值0．ha0向下X=h时，随的增大而减小；h时，随的增大而增大；h 时，有最大值0．二次函数ah的性质a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上性质hh，h，时，随的增大而增大；h时，X=h随的增大而减小；h时，有最小值．h 时，随的增大而减小；h时，a0向下X=h随的增大而增大；h时，有最大值．抛物线a2bc的三要素：开口方向、对称轴、顶点a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；b2aa相等，抛物线的开口大小、形状相同对称轴：平行于轴（或重合）的直线记作4acb（，）顶点坐标：2a4ab2特别地，轴记作直线0顶点决定抛物线的位置几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同抛物线abc中，a,b,c与函数图像的关系二次项系数a二次函数a2bc中，a作为二次项系数，显然a0．⑴当a0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．一次项系数b2在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，当b0时，当b0时，当b0时，b2ab2ab2a000，即抛物线的对称轴在轴左侧；，即抛物线的对称轴就是轴；，即抛物线对称轴在轴的右侧．⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时，当b0时，当b0时，b2ab2ab2a000，即抛物线的对称轴在轴右侧；，即抛物线的对称轴就是轴；，即抛物线对称轴在轴的左侧．总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．总结：常数项c⑴当c0时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与轴交点的位置．总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：b2a22b4acbbca2a4a2，∴顶点是b4acb，对称轴是直线（，）2a2a4a配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为ah的形式，得2到顶点为h,，对称轴是直线h运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失用待定系数法求二次函数的解析式一般式：、的值，通常选择一般式顶点式：ah已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式22交点式：已知图像与轴的交点坐标1、2，通常选用交点式：a12直线与抛物线的交点轴与抛物线a2bc得交点为0,c与轴平行的直线h与抛物线a2bc有且只有一个交点h,ah2bhc抛物线与轴的交点:二次函数a2bc的图像与轴的两个交点的横坐标1、2，轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与轴相交；②有一个交点（顶点在轴上）0抛物线与轴相切；③没有交点0抛物线与轴相离平行于轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是a2bc的两个实数根一次函数n0的图像与二次函数a2bca0的图像nG的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同2abc的解时与G有两个交点;②方程组只有一组解时与G只有一个交点；③方程组无解时与G没有交点抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线a2bc与轴两交点为A1，0，B2，0，由于1、2是方程abc0的两个根，故212ba,122ca2AB12121241224cbaab4aca2a二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于轴对称a2bc关于轴对称后，得到的解析式是a2bc；ah2关于轴对称后，得到的解析式是ah；2关于轴对称a2bc关于轴对称后，得到的解析式是a2bc；ah2关于轴对称后，得到的解析式是ah；2关于原点对称a2bc关于原点对称后，得到的解析式是a2bc；ah关于原点对称后，得到的解析式是ah；关于顶点对称abc关于顶点对称后，得到的解析式是abcah222222b22a；关于顶点对称后，得到的解析式是ah．4关于点m，n对称ah2关于点m，n对称后，得到的解析式是ah2m2n2总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图象的平移平移步骤：2⑴将抛物线解析式转化成顶点式ah，确定其顶点坐标h，；⑵保持抛物线a2的形状不变，将其顶点平移到h，处，具体平移方法如下：=a2向上>0【或向下0【或左h0【或左h0【或下0【或左h0【或下定点Q，直线a22经过点Q,求抛物线的解析式。

第二十六章小结与复习一、本章学习回顾1． 知识结构2．学习要点（1）能结合实例说出二次函数的意义。

（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。

（3）掌握二次函数的平移规律。

（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。

（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。

（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。

（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。

3．需要注意的问题在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。

在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。

二、本章复习题A 组一、填空题01．已知函数m m mx y -=2，当m= 时，它是二次函数；当m= 时，抛物线的开口向上；当m= 时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．02．抛物线2ax y =经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为 ． 03．抛物线9)1(22-++=k x k y ，开口向下，且经过原点，则k= ．04．点A （-2，a ）是抛物线2x y =上的一点，则a= ； A 点关于原点的对称点B 是 ；A 点关于y 轴的对称点C 是 ；其中点B 、点C 在抛物线2x y =上的是 ．05．若抛物线c x x y +-=42的顶点在x 轴上，则c 的值是 ．06．把函数261x y -=的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新图象的函数关系式为 ． 07．已知二次函数m x x y +-=82的最小值为1，那么m 的值等于 ．08．二次函数322++-=x x y 的图象在x 轴上截得的两交点之间的距离为 ． 09．抛物线122--=x x y 的对称轴是 ，根据图象可知，当x 时，y 随x 的增大而减小．10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，且经过点（-2，-2），则抛物线的函数关系式为 ．11．若二次函数c bx x y ++=2的图象经过点（2，0）和点（0，1），则函数关系式为 ．12．抛物线322--=x x y 的开口方向向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ，当x= 时，y 有最 值是 ．13．抛物线c x x y ++=2与x 轴的两个交点坐标分别为)0,(1x ，)0,(2x ，若32221=+x x ，那么c 值为 ，抛物线的对称轴为 ．14．已知函数42)1(22-++-=m x x m y ．当m 时，函数的图象是直线；当m 时，函数的图象是抛物线；当m 时，函数的图象是开口向上，且经过原点的抛物线．15．一条抛物线开口向下，并且与x 轴的交点一个在点A （1，0）的左边，一个在点A （1，0）的右边，而与y 轴的交点在x 轴下方，写出这条抛物线的函数关系式 ．二、选择题16．下列函数中，是二次函数的有 （ ） ①221x y -= ②21x y = ③)1(x x y -= ④)21)(21(x x y +-= A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 17．若二次函数32)1(22--++=m m x m y 的图象经过原点，则m 的值必为（ ）A 、-1或3B 、-1C 、3D 、无法确定18．二次函数m x m x y 4)1(22++-=的图象与x 轴（ ）A 、没有交点B 、只有一个交点C 、只有两个交点D 、至少有一个交点19．二次函数222+-=x x y 有（ ）A 、最大值1B 、最大值2C 、最小值1D 、最小值220．在同一坐标系中，作函数23x y =，23x y -=，231x y =的图象，它们的共同特点是 A 、都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 （D ）B 、都是关于y 轴对称，抛物线开口向下C 、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点D 、都是关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点21．已知二次函数772--=x kx y 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A 、47->K B 、47-≥K 且0≠k C 、47-≥K D 、47->K 且0≠k 22．二次函数2)1(212+-=x y 的图象可由221x y =的图象（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到B ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到C ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到D ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到23．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去．为了投资少而获利大，每床每晚应提高A 、4元或6元B 、4元C 、6元D 、8元 （ ）24．若抛物线c bx ax y ++=2的所有点都在x 轴下方，则必有（ ）A 、04,02>-<ac b aB 、04,02>->ac b aC 、04,02<-<ac b aD 、04,02<->ac b a25．抛物线1422-+=x x y 的顶点关于原点对称的点的坐标是 （ ）A 、（-1，3）B 、（-1，-3）C 、（1，3）D 、（1，-3）三、解答题26．已知二次函数12212++=x x y ． （1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值；（2）求抛物线与x 轴、y 轴的交点；（3）作出函数图象的草图；（4）观察图象，x 为何值时，y ＞0；x 为何值时，y= 0；x 为何值时，y ＜0？27．已知抛物线过（0，1）、（1，0）、（-1，1）三点，求它的函数关系式．28．已知二次函数，当x=2时，y 有最大值5，且其图象经过点（8，-22），求此二次函数的函数关系式．29．已知二次函数的图象与x 轴交于A （-2，0），B （3，0）两点，且函数有最大值2．(1)求二次函数的函数关系式；(2)设此二次函数图象的顶点为P ，求⊿ABP 的面积．30．利用函数的图象，求下列方程（组）的解：（1）0322=--x x ；（2）⎩⎨⎧-=--=x x y x y 213． 31．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m （件）与每件的销售价x （元）满足一次函数：m=162-3x ．（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式；（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？B 组一、选择题32．若所求的二次函数的图象与抛物线1422--=x x y 有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，则所求二次函数的函数关系式为（ D ）A 、422-+-=x x yB 、)0(322>-+-=a a ax ax yC 、5422---=x x yD 、)0(322<-+-=a a ax ax y33．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，当x=1时，函数y 有最大值，设),(11y x ，（),22y x 是这个函数图象上的两点，且211x x <<，则（ ）A 、21,0y y a >>B 、21,0y y a <>C 、21,0y y a <<D 、21,0y y a ><34．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≤-≥ax a x 5153无解，则二次函数41)2(2+--=x x a y 的图象与x 轴 （ ）A 、没有交点B 、相交于两点C 、相交于一点D 、相交于一点或没有交点二、解答题35．若抛物线)5(2342-+=--m x y m m的顶点在x 轴的下方，求m 的值． 36．把抛物线n mx x y ++=2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是222+-=x x y ，求m 、n ．37．如图，已知抛物线3)5(2122-+-+-=m x m x y ，与x 轴交于A 、B ， 且点A 在x 轴正半轴上，点B 在x 轴负半轴上，OA=OB ，（1）求m 的值；（2）求抛物线关系式，并写出对称轴和顶点C 的坐标．38．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式．C 组39．如图，已知二次函数n mx x y ++-=2，当x=3时有最大值4．（1）求m 、n 的值；（2）设这个二次函数的图象与x 轴的交点是A 、B ，求A 、B 点的坐标；（3）当y ＜0时，求x 的取值范围；（4）有一圆经过A 、B ，且与y 轴的正半轴相切于点C ，求C 点坐标．40．阅读下面的文字后，解答问题．有这样一道题目：“已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点A(0,a) 、B(1,-2)、 ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=2．”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能，写出求解过程，若不能请说明理由；（2）请你根据已有信息在原题中的矩形框内填上一个适当的条件，把原题补充完整．41．已知开口向下的抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A （1x ，0）、B （2x ，0），其中1x ＜2x ，P 为顶点，∠APB=90°，若1x 、2x 是方程021)2(222=-+--m x m x 的两个根，且262221=+x x ．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线的函数关系式．42．已知二次函数)1(3)2(2++-+-=m x m x y 的图象如图所示．（1）当m ≠-4时，说明这个二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）求m 的取值范围；（3）在（2）的情况下，若6=⋅OB OA ，求C 点坐标；（4）求A 、B 两点间的距离；（5）求⊿ABC 的面积S ．。