欧拉图和哈密尔顿图精
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图论讲义第4章-欧拉图与hamilton图
[1] E. Lucas，Récréations Mathématiques IV, Paris, 1921.
Fleury 算法的步骤如下：
输入：欧拉图 G 输出：G 的欧拉闭迹。
step1. 任取 v0 ∈V (G) ，令 w0 := v0 ， i := 0 。 step2. 设迹 wi = v0e1v1 eivi 已取定。从 E \ {e1, e2 , , ei }中选取一条边 ei+1 ，使得 （1） ei+1 和 vi 相关联； （2） ei+1 不选 Gi = G \ {e1, e2 , , ei }的割边，除非没有别的选择。
个顶点都是偶度顶点。从而 G +e 有 Euler 闭迹。故 G 有 Euler 迹。证毕。
一个图 G 如果有一条欧拉迹或欧拉闭迹，则我们可以沿着欧拉迹或欧拉闭迹连续而不 重复地把 G 的边画完。因此存在欧拉迹或欧拉闭迹的图通常称为可一笔画的图，或者说它 可一笔画成。如果图 G 可分解为两条迹或闭迹的并，则 G 的边可用两笔不重复地画完。同 样地，如果图 G 可分解为 k 条迹或闭迹的并，则 G 可 k 笔画成。
获得 2k 个同类 u−v 迹。这种分类构成一个等价关系，因此形成了对有重复点的 u−v 迹集合
的划分。划分出的每一个等价类有偶数个条 u−v 路。这说明有重复点的 u−v 迹总共有偶数条。
有以上两方面知， G′ = G − e 中共有奇数条顶点不重复的 u−v 迹（即 u−v 路），因此，
G 中共有奇数个含有边 e 的圈。
step3. 当 step2 不能再执行时，停止。
定理 4.1.3 若 G 是 Euler 图，则 Fleury 算法终止时得到的是 G 的 Euler 闭迹。
Fleury 算法的步骤如下：
输入：欧拉图 G 输出：G 的欧拉闭迹。
step1. 任取 v0 ∈V (G) ，令 w0 := v0 ， i := 0 。 step2. 设迹 wi = v0e1v1 eivi 已取定。从 E \ {e1, e2 , , ei }中选取一条边 ei+1 ，使得 （1） ei+1 和 vi 相关联； （2） ei+1 不选 Gi = G \ {e1, e2 , , ei }的割边，除非没有别的选择。
个顶点都是偶度顶点。从而 G +e 有 Euler 闭迹。故 G 有 Euler 迹。证毕。
一个图 G 如果有一条欧拉迹或欧拉闭迹，则我们可以沿着欧拉迹或欧拉闭迹连续而不 重复地把 G 的边画完。因此存在欧拉迹或欧拉闭迹的图通常称为可一笔画的图，或者说它 可一笔画成。如果图 G 可分解为两条迹或闭迹的并，则 G 的边可用两笔不重复地画完。同 样地，如果图 G 可分解为 k 条迹或闭迹的并，则 G 可 k 笔画成。
获得 2k 个同类 u−v 迹。这种分类构成一个等价关系，因此形成了对有重复点的 u−v 迹集合
的划分。划分出的每一个等价类有偶数个条 u−v 路。这说明有重复点的 u−v 迹总共有偶数条。
有以上两方面知， G′ = G − e 中共有奇数条顶点不重复的 u−v 迹（即 u−v 路），因此，
G 中共有奇数个含有边 e 的圈。
step3. 当 step2 不能再执行时，停止。
定理 4.1.3 若 G 是 Euler 图，则 Fleury 算法终止时得到的是 G 的 Euler 闭迹。
离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
证明 若G是平凡图，结论显然成立。
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无 向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧 拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V， v2i0,2v0/7j/都23 在C上，
定理15.1的证明
充分性。由于G为非平凡的连通图可知，G中边数 m≥1。
2020/7/23
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0， 对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一 条欧拉通路， 所以G为半欧拉图。
并2行从020/7遍/C23 上G 的i中某的顶欧点拉vr回开路始C行遍i，，i＝每1遇,2,到…v,s*j，i，最就后
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为 半欧拉图， 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路， vi0≠vim。 v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶 数， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， 至今202沿0/7/2用3 。
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无 向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧 拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V， v2i0,2v0/7j/都23 在C上，
定理15.1的证明
充分性。由于G为非平凡的连通图可知，G中边数 m≥1。
2020/7/23
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0， 对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一 条欧拉通路， 所以G为半欧拉图。
并2行从020/7遍/C23 上G 的i中某的顶欧点拉vr回开路始C行遍i，，i＝每1遇,2,到…v,s*j，i，最就后
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为 半欧拉图， 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路， vi0≠vim。 v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶 数， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， 至今202沿0/7/2用3 。
欧拉图和哈密尔顿图
例 “一笔划”问题——G中有欧拉 通路
？
实例
上图中，(1) ,(4) 为欧拉图
中国邮递员问题-模型
数学模型：
构造无向权图G，以道路为边，路长为权 问题的解 ——G 中包含所有边的回路权最小，称为 最优回路(未必是简单回路)。 当G是欧拉图，则最优回路即欧拉回路。
周游世界的游戏
1859 哈密尔顿 “周游世界”游戏： 20个城市，每个城市恰游一次，回到出发地
例
a
10 12 9
从a出发的“较好的”回路 ， a
7
14Biblioteka b7 13 11d
6
c
8
e
5
b
14
a
c
5
6
8
长度：40
e
e
d
算法精度下限
设算法所得的回路长度为d， d0 是最小H_
回路的长度，G有n点，则
d / d0 ½ [ln(n)+1]+ ½
改进：
如果在已有回路中，W(vi,vj)+ W(vi+1,vj+1)< W(vi,vi+1)+ W(vj,vj+1),
货郎担/旅行推销员(TSP)问题：
在一个赋权的完全图中，找出一个具有最小权 的H_回路，也即回路边的权之和最小 对该赋权图上的边，满足三角不等式（距离不 等式） W(a,b) W(a,c) + W(c,b)
数学模型
构造无向带权图G， VG中的元素对应于每个城市， EG中每 个元素对应于城市之间的道路，道路长度用相应边的权表示。 则问题的解对应于G中包含所有边的权最小的哈密尔顿回路。 G是带权完全图，总共有n!/2条哈密尔顿回路。因此，问题 是如何从这n!/2条中找出最短的一条 eg：含20个顶点的完全图中不同的哈密尔顿回路有约6000万 亿条-(1.216451017)/2，若机械地检查，每秒处理10万条，需 2万年
概率论-第二十一讲--欧拉图与哈密尔顿图(略)
16
二、哈密尔顿图
例5. 证明下图中没有汉密尔顿路径。 图中，3个顶点标记为A，5个顶点 A 标记为B，相差2个，不可能存在 一条汉密尔顿路径。 B B 如果在标记过程中，遇到相邻结 点出现相同标记时，如果有一个 结点的度数为2，可在此对应边上 A A 增加一个结点，并标上相异标 A 记。 B B B B B
11
二、哈密尔顿图
定理3：若无向图G=<V,E>是哈密尔顿图， V1是V的任意非空 真子集，则 ω(G- V1)≤| V1 |。 证明：设C是G的一条哈密尔顿回路，对于V的每个非空真子集 V1有：ω(C-V1) ≤|V1|
ω(C- V1)是C删去V1中所有顶点及关联的边后所得图
的连通分支数。 又因为C - V1是G - V1的生成子图，故有
13
二、哈密尔顿图
定义3：若无向图G＝<V,E>的顶点集合V可以划分成两个子集X 和Y，使G中的每一条边e的一个端点在X中，另一个端点 在Y中，则称G为二部图或偶图。二部图可记为 G＝<X,E,Y>，X和Y称为互补结点子集。 二部图不会有自回路。
14
二、哈密尔顿图
定理4：设二部图G=<X, E, Y>，设|X|=m，|Y|=n。若m≠n，则G 必不是汉密尔顿图。 证明：方法1. 用汉密尔顿图的性质证明。 因为|X|≠|Y|，不妨设|X|<|Y|。 显然有ω(G-X)=|Y|>|X|， 这与汉密尔顿图的必要条件ω(G-X)≤|X|矛盾。 因此G必不是汉密尔顿图。
定理2：一个有向连通图具有欧拉路径，当且仅当它 的每个顶点的引入次数等于引出次数，可能 有两个顶点除外，其中一个的引入次数比它 的引出次数大1，另一个的引入次数比它的 引出次数小1。 推论： 一个有向连通图具有欧拉回路，当且仅当它 的每个顶点的引入次数等于引出次数。
二、哈密尔顿图
例5. 证明下图中没有汉密尔顿路径。 图中，3个顶点标记为A，5个顶点 A 标记为B，相差2个，不可能存在 一条汉密尔顿路径。 B B 如果在标记过程中，遇到相邻结 点出现相同标记时，如果有一个 结点的度数为2，可在此对应边上 A A 增加一个结点，并标上相异标 A 记。 B B B B B
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二、哈密尔顿图
定理3：若无向图G=<V,E>是哈密尔顿图， V1是V的任意非空 真子集，则 ω(G- V1)≤| V1 |。 证明：设C是G的一条哈密尔顿回路，对于V的每个非空真子集 V1有：ω(C-V1) ≤|V1|
ω(C- V1)是C删去V1中所有顶点及关联的边后所得图
的连通分支数。 又因为C - V1是G - V1的生成子图，故有
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二、哈密尔顿图
定义3：若无向图G＝<V,E>的顶点集合V可以划分成两个子集X 和Y，使G中的每一条边e的一个端点在X中，另一个端点 在Y中，则称G为二部图或偶图。二部图可记为 G＝<X,E,Y>，X和Y称为互补结点子集。 二部图不会有自回路。
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二、哈密尔顿图
定理4：设二部图G=<X, E, Y>，设|X|=m，|Y|=n。若m≠n，则G 必不是汉密尔顿图。 证明：方法1. 用汉密尔顿图的性质证明。 因为|X|≠|Y|，不妨设|X|<|Y|。 显然有ω(G-X)=|Y|>|X|， 这与汉密尔顿图的必要条件ω(G-X)≤|X|矛盾。 因此G必不是汉密尔顿图。
定理2：一个有向连通图具有欧拉路径，当且仅当它 的每个顶点的引入次数等于引出次数，可能 有两个顶点除外，其中一个的引入次数比它 的引出次数大1，另一个的引入次数比它的 引出次数小1。 推论： 一个有向连通图具有欧拉回路，当且仅当它 的每个顶点的引入次数等于引出次数。
欧拉图和哈密而顿图
17
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.2 哈密顿图
证明： 证明： 是图的一条哈密尔顿回路， 设 C是图的一条哈密尔顿回路， 则对于 的任一 是图的一条哈密尔顿回路 则对于V的任一 非空真子集S可知 可知： 非空真子集 可知： w(C-S) ≤|S| w(C-S)表示 删去 顶点集后得到的图的连通分 表示C删去 表示 删去S顶点集后得到的图的连通分 图的个数。由于G是由 和一些不在C中的边构 是由C和一些不在 图的个数。由于 是由 和一些不在 中的边构 成的， 的生成子图， 成的，C-S是G-S的生成子图，所以 是 的生成子图 w(G-S) ≤ w(C-S) ≤|S|
11
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图
定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当 是连通 是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通 定理 是非平凡的欧拉图当且仅当 的且为若干个边不重的圈的并。 的且为若干个边不重的圈的并。
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15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图
Fleury算法： 算法： 算法 1) 任取 0∈V(G)，令P0=v0; 任取v ， 2) 设 Pi=v0e1v1e2…eivi 已经行遍 ， 按下面方法 来从E(G)-{e1,e2…ei}中选取 i+1： 中选取e 来从 中选取
4
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图 现从G’中取二个顶点 中取二个顶点v 现从 中取二个顶点 i和vj，且vi和vj没有直接联 之间加一根联线变为图G， 现在v 线，现在 i和vj之间加一根联线变为图 ，则变 为奇数点，则从v 一定存在一条欧拉通路 通路。 为奇数点，则从 i到vj一定存在一条欧拉通路。
欧拉图和哈密尔顿图
（b）中去掉结点u1和u2以后，p（G–{ u1，u2}）=3， 由此 可以判定，这两个图都不是哈密尔顿图。
用正十二面体代表地球。游戏题的内容是：沿着正十二面体的棱寻
找一条旅行路线，通过每个城市恰好一次又回到出发城市。这便是 Hamilton回路问题。
欧拉回路是指不重复地走过所有路 径的回路，而哈密尔顿环是指不重复地
走过所有的点，并且最后还能回到起点的回 路
哈密尔顿图
定义：通过图G的每个结点一次且仅一次的环称为哈密尔顿环。 具有哈密尔顿环的图称为哈密尔顿图。通过图G的每个结点一次 且仅一次的开路称为哈密尔顿路。具有哈密尔顿路的图称为半哈 密尔顿图。
解一
a
a：说英语； b：说英语或西班牙语； C: 说英语,意大利语和俄语； d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日语和俄语； g：说法语和德语.
b
d
c
e g
f
解 设7个人为7个结点, 将两个懂同一语言的人之间连一条边 (即他们能直接交谈), 这样就得到一个简单图G, 问题就转化为 G是否连通. 如图所示, 因为G的任意两个结点是连通的, 所以 G是连通图. 因此, 上述7个人中任意两个人能交谈.
欧拉图算法
int main() { memset(g,0,sizeof(g)); cin >> n >> e; for (i = 1; i <= e; i++) { cin >> x >> y; g[y][x] = g[x][y] = 1; du[x]++; //统计每个点的度 du[y]++; } start = 1; // 如果有奇点，就从奇点开始寻找，这样找到的就是 for (i = 1; i <= n; i++) // 欧拉路。没有奇点就从任意点开始， if (du[i]%2 == 1) // 这样找到的就是欧拉回路。(因为每一个点都是偶点) start = i; circuitpos = 0; find_circuit(start); for (i = 1; i <= circuitpos; i++) cout << circuit[i] << ' '; cout << endl; return 0; }
欧拉图和哈密尔顿图
欧拉回路是指不重复地走过所有路 径的回路，而哈密尔顿环是指不重复地
走过所有的点，并且最后还能回到起点的回 路
哈密尔顿图
定义：通过图G的每个结点一次且仅一次的环称为哈密尔顿环。具 有哈密尔顿环的图称为哈密尔顿图。通过图G的每个结点一次且仅 一次的开路称为哈密尔顿路。具有哈密尔顿路的图称为半哈密尔 顿图。
f：说法语、日语和俄语；
g：说法语和德语.
c f
g
解 设7个人为7个结点, 将两个懂同一语言的人之间连一条边
(即他们能直接交谈), 这样就得到一个简单图G, 问题就转化为
G是否连通. 如图所示, 因为G的任意两个结点是连通的, 所以
G是连通图. 因此, 上述7个人中任意两个人能交谈.
解二
c
英
意
e
a
例
半哈密尔顿图
哈密尔顿图 哈密尔顿图
N
周游世界的游戏——的解
哈密顿图
哈密顿图
无哈密顿 通路
哈密顿图
存在哈密 顿通路
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图;
实例
已知有关人员a, b, c, d, e, f, g 的有关信息
a：说英语；
b：说英语或西班牙语；
c；说英语，意大利语和俄语；
a：说英语； b：说英语或西班牙语；
英
德
c；说英语，意大利 语和俄语；
b
g
d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日语和俄语； g：说法语和德语.
西
d
日
法
f
如果题目改为：试问这7个人应如何安排座位, 才能使每个人都能与
他身边的人交谈？
解：用结点表示人，用边表示连接的两个人能说讲一种语言，够造
走过所有的点，并且最后还能回到起点的回 路
哈密尔顿图
定义：通过图G的每个结点一次且仅一次的环称为哈密尔顿环。具 有哈密尔顿环的图称为哈密尔顿图。通过图G的每个结点一次且仅 一次的开路称为哈密尔顿路。具有哈密尔顿路的图称为半哈密尔 顿图。
f：说法语、日语和俄语；
g：说法语和德语.
c f
g
解 设7个人为7个结点, 将两个懂同一语言的人之间连一条边
(即他们能直接交谈), 这样就得到一个简单图G, 问题就转化为
G是否连通. 如图所示, 因为G的任意两个结点是连通的, 所以
G是连通图. 因此, 上述7个人中任意两个人能交谈.
解二
c
英
意
e
a
例
半哈密尔顿图
哈密尔顿图 哈密尔顿图
N
周游世界的游戏——的解
哈密顿图
哈密顿图
无哈密顿 通路
哈密顿图
存在哈密 顿通路
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图;
实例
已知有关人员a, b, c, d, e, f, g 的有关信息
a：说英语；
b：说英语或西班牙语；
c；说英语，意大利语和俄语；
a：说英语； b：说英语或西班牙语；
英
德
c；说英语，意大利 语和俄语；
b
g
d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日语和俄语； g：说法语和德语.
西
d
日
法
f
如果题目改为：试问这7个人应如何安排座位, 才能使每个人都能与
他身边的人交谈？
解：用结点表示人，用边表示连接的两个人能说讲一种语言，够造
离散数学--第十五章 欧拉图和哈密顿图
13
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图; (3)是半哈密顿图; (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？
14
无向哈密顿图的一个必要条件
定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|
证 设C为G中一条哈密顿回路。
当V1顶点在C上均不相邻时， p(CV1)达到最大值|V1|，
求图中1所示带权图k29主要内容欧拉通路欧拉回路欧拉图半欧拉图及其判别法哈密顿通路哈密顿回路哈密顿图半哈密顿图带权图货郎担问题基本要求深刻理解欧拉图半欧拉图的定义及判别定理深刻理解哈密顿图半哈密顿图的定义
第十五章 欧拉图与哈密顿图
主要内容
➢ 欧拉图 ➢ 哈密顿图 ➢ 带权图与货郎担问题
1
15.1 欧拉图
大时，计算量惊人地大
27
例6 求图中(1) 所示带权图K4中最短哈密顿回路.
(1)
(2)
解 C1= a b c d a,
W(C1)=10
C2= a b d c a,
W(C2)=11
C3= a c b d a,
W(C3)=9
可见C3
(见图中(2))
是最短的，其权为9. 28
第十五章 习题课
主要内容 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图及其判别法 哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图 带权图、货郎担问题
点.
由vi 的任意性，结论为真. 充分性 对边数m做归纳法（第二数学归纳法）. (1) m=1时，G为一个环，则G为欧拉图. (2) 设mk（k1）时结论为真，m=k+1时如下证明：
5
从以上证明不难看出：欧拉图是若干个边不重的圈之 并，见示意图3.
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图; (3)是半哈密顿图; (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？
14
无向哈密顿图的一个必要条件
定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|
证 设C为G中一条哈密顿回路。
当V1顶点在C上均不相邻时， p(CV1)达到最大值|V1|，
求图中1所示带权图k29主要内容欧拉通路欧拉回路欧拉图半欧拉图及其判别法哈密顿通路哈密顿回路哈密顿图半哈密顿图带权图货郎担问题基本要求深刻理解欧拉图半欧拉图的定义及判别定理深刻理解哈密顿图半哈密顿图的定义
第十五章 欧拉图与哈密顿图
主要内容
➢ 欧拉图 ➢ 哈密顿图 ➢ 带权图与货郎担问题
1
15.1 欧拉图
大时，计算量惊人地大
27
例6 求图中(1) 所示带权图K4中最短哈密顿回路.
(1)
(2)
解 C1= a b c d a,
W(C1)=10
C2= a b d c a,
W(C2)=11
C3= a c b d a,
W(C3)=9
可见C3
(见图中(2))
是最短的，其权为9. 28
第十五章 习题课
主要内容 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图及其判别法 哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图 带权图、货郎担问题
点.
由vi 的任意性，结论为真. 充分性 对边数m做归纳法（第二数学归纳法）. (1) m=1时，G为一个环，则G为欧拉图. (2) 设mk（k1）时结论为真，m=k+1时如下证明：
5
从以上证明不难看出：欧拉图是若干个边不重的圈之 并，见示意图3.
《离散数学》 第八章 欧拉图与哈密尔顿图
1 10 1
8.1 欧拉图
8.1.4 欧拉图的应用
欧拉图的应用，计算机旋转鼓轮的设计原理。
现在构造一个有向图G，G有8个顶点，每个顶点分别表示 000～111的一个二进制数。设α i∈{0，1}，从顶点α 1α 2α 3 引出两条有向边，其终点分别为α 2α 30和α 2α 31，这两条边 分别为α 1α 2α 30以及α 1α 2α 31，按照此种方法，对于八个 顶点的有向图共有16条边，在这个图的任意一条通路中，其 邻接的边必是α iα jα kα t和α jα kα tα s的形式，即前一条有 向边的后3位与后一条有向边的前3位相同。因为图中的16条 边被记成不同的4位二进制信息，即对应于图中的一条欧拉 回路。
推论 无向连通图中顶点与间存在欧拉通路，当且仅当中 与的度数为奇数，而其他顶点的度数为偶数。
8.1 欧拉图
8.1.2 欧拉图的判定
b
a
d
c
图8.1-2
v1
v2
v1
v3
v4
v5
v6
v2
(a)
图8.1-3
v4
v3 (b)
8.1 欧拉图
8.1.2 欧拉图的判定
定理8.1.3 有向图是欧拉图，当且仅当是强连通的，且 中每个顶点的入度都等于出度。
8.2 哈密尔顿图
8.2.1 哈密尔顿图
在图8.2-2中，（a）、（b）中存在哈密尔顿回路，是哈密 尔顿图，（c）中存在哈密尔顿通路，但不存在哈密尔顿回 路，是半哈密尔顿图，（d）中既无哈密尔顿回路，也无哈 密尔顿通路，不是哈密尔顿图。
（ a）
（ b）
（ c）
（ d）
8.2 哈密尔顿图
8.2.2 哈密尔顿图的判定
欧拉图及哈密顿
哈密顿路径是指一条遍历图的所有顶 点的路径，这条路径的起点和终点是 同一点，但路径上的边可以重复。
哈密顿图的性质
哈密顿图具有连通性，即任意两 个顶点之间都存在一条路径。
哈密顿图的顶点数必须大于等于 3，因为至少需要3个顶点才能 形成一条遍历所有顶点的路径。
哈密顿图的边数必须为奇数，因 为只有奇数条边才能形成一条闭
欧拉图及哈密顿
• 欧拉图 • 哈密顿图 • 欧拉图与哈密顿图的应用 • 欧拉回路与哈密顿回路 • 欧拉路径与哈密顿路径
目录
01
欧拉图
欧拉图的定义
总结词
欧拉图是指一个图中存在一条路径，这条路径可以遍历图中的每条边且每条边 只遍历一次。
详细描述
欧拉图是由数学家欧拉提出的一种特殊的图，它满足特定的连通性质。在欧拉 图中，存在一条路径，这条路径从图的一个顶点出发，经过每条边一次且仅一 次，最后回到起始顶点。
互作用网络的研究。
04
欧拉回路与哈密顿回路
欧拉回路的概念与性质
概念
欧拉回路是指一个图形中，从一点出 发，沿着一条路径，可以回到起始点 的路径。
性质
欧拉回路必须是连续的，不能中断， 也不能重复经过同一条边。此外，欧 拉回路必须是闭合的，起始点和终点 必须是同一点。
哈密顿回路的概念与性质
概念
哈密顿回路是指一个图形中，存在一 条路径，该路径经过了图中的每一条 边且每条边只经过一次。
随机构造法
通过随机选择边和顶点，不断扩展图，直到满足哈密顿图的条件。这种方法需要大量的计 算和随机性，但可以用于构造大规模的哈密顿图。
03
欧拉图与哈密顿图的应用
欧拉图在计算机科学中的应用
算法设计
欧拉图理论是算法设计的重要基础，特别是在图算法和动态规划 中，用于解决诸如最短路径、最小生成树等问题。
哈密顿图的性质
哈密顿图具有连通性，即任意两 个顶点之间都存在一条路径。
哈密顿图的顶点数必须大于等于 3，因为至少需要3个顶点才能 形成一条遍历所有顶点的路径。
哈密顿图的边数必须为奇数，因 为只有奇数条边才能形成一条闭
欧拉图及哈密顿
• 欧拉图 • 哈密顿图 • 欧拉图与哈密顿图的应用 • 欧拉回路与哈密顿回路 • 欧拉路径与哈密顿路径
目录
01
欧拉图
欧拉图的定义
总结词
欧拉图是指一个图中存在一条路径，这条路径可以遍历图中的每条边且每条边 只遍历一次。
详细描述
欧拉图是由数学家欧拉提出的一种特殊的图，它满足特定的连通性质。在欧拉 图中，存在一条路径，这条路径从图的一个顶点出发，经过每条边一次且仅一 次，最后回到起始顶点。
互作用网络的研究。
04
欧拉回路与哈密顿回路
欧拉回路的概念与性质
概念
欧拉回路是指一个图形中，从一点出 发，沿着一条路径，可以回到起始点 的路径。
性质
欧拉回路必须是连续的，不能中断， 也不能重复经过同一条边。此外，欧 拉回路必须是闭合的，起始点和终点 必须是同一点。
哈密顿回路的概念与性质
概念
哈密顿回路是指一个图形中，存在一 条路径，该路径经过了图中的每一条 边且每条边只经过一次。
随机构造法
通过随机选择边和顶点，不断扩展图，直到满足哈密顿图的条件。这种方法需要大量的计 算和随机性，但可以用于构造大规模的哈密顿图。
03
欧拉图与哈密顿图的应用
欧拉图在计算机科学中的应用
算法设计
欧拉图理论是算法设计的重要基础，特别是在图算法和动态规划 中，用于解决诸如最短路径、最小生成树等问题。
图论课件第四章 欧拉图与哈密尔顿图
所以：解为：egjeijdghdbhcbafcg
13
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
2、算法证明
定理1 若G是欧拉图，则G中任意用Fleury算法作出的 迹都是G的欧拉环游。
证明：令Wn=v0e1v1…envn为由Fleury算法得到的一条 G中迹。
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
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0.6 0.4 x 0.2
图论及其应用
应用数学学院
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
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1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
第四章 欧拉图与哈密尔顿图
主要内容 一、欧拉图与中国邮路问题 二、哈密尔顿图 三、度极大非哈密尔顿图与TSP问题 四、超哈密尔顿图问题
“充分性”
若不然，设Q=(v, w)是G的一条不能扩充为G的欧拉环游 的最长迹，显然v = w,且Q包含了与v关联的所有边。即Q是 一条闭迹。
于是，G-v包含G-Q且G-Q的每个顶点度数为偶数.
于是，G-Q的非平凡分支是欧拉图，说明有圈，即G-v有 圈，这与条件矛盾.
19
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
1、 算法 (1)、 任意选择一个顶点v0,置w0=v0;
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(2)、 假设迹wi=v0e1v1…eivi已经选定，那么按下述方 法从E-｛e1,e2,…,ei｝中选取边ei+1:
离散数学15 欧拉图与哈密顿图
穿过每一道门，通过所有房间？
15.2 哈密顿图
1859年，爱尔兰数学家威廉·哈密尔顿发明 了一个旅游世界的游戏。将一个正十二面体的 20个顶点分别标上世界上大城市的名字，要求 玩游戏的人从某城市出发沿12面体的棱，通过 每个城市恰一次，最后回到出发的那个城市。
哈密尔顿游戏是在左图中如何 找出一个包含全部顶点的圈。
定义（哈密顿通路和哈密顿回路） 经过图（有向图或无向图）每个顶点一次
且仅一次的通路称为哈密顿通路。 经过图每个结点一次且仅一次的回路（初
级回路）称为哈密顿回路。 定义（哈密顿图和半哈密顿图）
存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。 存在哈密顿通路但不存在哈密顿回路的图 称为半哈密顿图。 平凡图是哈密顿图。
由两判定定理，立即可知 （4）为欧拉图， （5）、（6）即不是欧拉图，也不是半欧拉图。
例15.2（P296） v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2
◼ Fleury算法
◼ （1）任取v0V(G)，令P0=v0。 ◼ （2）设Pi=v0e1v1e2…..eivi已经行遍，则按下面
判断所示两图是否为欧拉图、半欧拉图？
无向欧拉图与无向半欧拉图的判断方法
定理15.1（无向欧拉图的判定）无向图G是欧拉图当 且仅当G是连通图，且G中没有奇度顶点。
定理15.2（无向半欧拉图的判定）无向图G是半欧拉 图当且仅当G是连通图，且G中恰有两个奇度顶点。
（1）
（2）
（3）
有向欧拉图与有向半欧拉图的判断方法
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）（2）（3）（4）为哈密顿图 （5）为半哈密顿图 （6）既不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
15.2 哈密顿图
1859年，爱尔兰数学家威廉·哈密尔顿发明 了一个旅游世界的游戏。将一个正十二面体的 20个顶点分别标上世界上大城市的名字，要求 玩游戏的人从某城市出发沿12面体的棱，通过 每个城市恰一次，最后回到出发的那个城市。
哈密尔顿游戏是在左图中如何 找出一个包含全部顶点的圈。
定义（哈密顿通路和哈密顿回路） 经过图（有向图或无向图）每个顶点一次
且仅一次的通路称为哈密顿通路。 经过图每个结点一次且仅一次的回路（初
级回路）称为哈密顿回路。 定义（哈密顿图和半哈密顿图）
存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。 存在哈密顿通路但不存在哈密顿回路的图 称为半哈密顿图。 平凡图是哈密顿图。
由两判定定理，立即可知 （4）为欧拉图， （5）、（6）即不是欧拉图，也不是半欧拉图。
例15.2（P296） v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2
◼ Fleury算法
◼ （1）任取v0V(G)，令P0=v0。 ◼ （2）设Pi=v0e1v1e2…..eivi已经行遍，则按下面
判断所示两图是否为欧拉图、半欧拉图？
无向欧拉图与无向半欧拉图的判断方法
定理15.1（无向欧拉图的判定）无向图G是欧拉图当 且仅当G是连通图，且G中没有奇度顶点。
定理15.2（无向半欧拉图的判定）无向图G是半欧拉 图当且仅当G是连通图，且G中恰有两个奇度顶点。
（1）
（2）
（3）
有向欧拉图与有向半欧拉图的判断方法
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）（2）（3）（4）为哈密顿图 （5）为半哈密顿图 （6）既不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
欧拉图和哈密顿图
例如，由定理可知，下图 (a)图为欧拉图，本图 既v成圈8 可圈画v6之v以在1并(看vc2)(成v中为3 圈v)清。4 vv晰1将5v起v2(6av见v)87分v，v1解8，将v成1v与42若个v圈3干圈vv42个画vv24边在，v6不(vb4v)8重v中5v2的v)之6，圈v并也4，的(可两v并6看个v7 不是(a)图特有性质，任何欧拉图都有这个性质。
尽管讨论哈密顿通路和哈密顿回路在形式上与欧
拉通路和欧拉回路非常相似，但遗憾的是到目前为止， 仍然没有找到一个合适的条件来作为判断哈密顿通路 或哈密顿回路存在的充要条件。不过，可以给出哈密 顿通路和哈密顿回路存在的充分条件或必要条件。
定理9.2.1设无向图G=<V, 的任意非空子集，则
E>是哈密顿图，V1是V
下面给出一些哈密顿图的充分条件。
定理9.2.2设G=<V, E>是具有n个节点的简单无向图，若
对任意的u, v∈V均有
deg(v) +deg(u) ≥n－1
则G中存在哈密顿通路。
容易看出，定理9.2.2中的条件对图中是否存在哈密顿路 是充分而不必要的。
如图9.2.6所示的六边形G，虽然任意两个节点度数之和 等于4<6-1(n=6)，但G中却显然有哈密顿路（实际上G是哈密 顿图）。
只要数一下图中节点的度数即可。
❖ 9.1.4 欧拉图的应用 一笔画问题 所谓“一笔画问题”就是画一个图形，笔不离纸，每条 边只画一次而不许重复地画完该图。“一笔画问题”本质上 就是一个无向图是否存在欧拉通路（回路）的问题。如果该 图为欧拉图，则能够一笔画完该图，并且笔又回到出发点； 如果该图只存在欧拉通路，则能够一笔画完该图，但笔回不 到出发点；如果该图中不存在欧拉通路，则不能一笔画完该 图。
第13节欧拉图与哈密顿图
18/25
集合与图论
哈密顿图的充分条件之一
若顶点vir-1,(r=2,3,...,k)与顶点vp相邻， 则G 有哈密顿圈v1v2...vi(r-1)vpvp-1...virv1.
因此vp至少与v1,v2,...,vp-1中的k个顶点不相邻. vp的度数为h，于是h≤p-1-k，从而k+h≤p-1， 因此k与h中至少有一个小于p/2，G 中有一个顶 点的度小于p/2.
集合与图论
欧拉图的判别定理
若G2中还有边，则同样的方式，G2中有圈Z3，如 此等等，最后必得到一个图Gn，Gn中无边. 于是我们得到了G中的n个圈Z1,Z2,...,Zn,，它们是两 两无公共边的，因此，G的每条边在且仅在其中的一个 圈上，于是G的边集被划分为n个圈. 由于G是连通的，所以每个圈Zi至少与其余的某个 圈有公共顶点，从而图G由一些边不重的相互之间有公 6/25 共顶点的圈构成.
19/25
集合与图论
哈密顿图的充分条件之二
定理3 设G是有p(p≥3)个顶点的图，如果 对G的任意一对不相邻的顶点u和v，均有 degu+degv≥p， 则G是一个哈密顿图. 只需证明p(p≥3)个顶点的每个非哈密顿图中至少 有两个不相邻的顶点u和v，有degu+degv≤p-1即可. 刚才的证明中的v1，vp就满足这个性质.
22/25
集合与图论
实 例
例4：某次国际会议8人参加，已知每人至少与其余7 人中的4人有共同语言，问服务员能否将他们安排在 同一张圆桌就座，使得每个人都与两边的人交谈？ 解 做无向图G=<V,E>, 其中 V={v| v为与会者}， E={{u,v} | u,vV且u与v有共同语言，且u v}. 易知G为无向图且vV, deg(v)4，于是，u,vV, 有 deg(u)+deg(v) 8，可知G为哈密顿图. 服务员在G中 找一条哈密顿圈C，按C中相邻关系安排座位即可.
集合与图论
哈密顿图的充分条件之一
若顶点vir-1,(r=2,3,...,k)与顶点vp相邻， 则G 有哈密顿圈v1v2...vi(r-1)vpvp-1...virv1.
因此vp至少与v1,v2,...,vp-1中的k个顶点不相邻. vp的度数为h，于是h≤p-1-k，从而k+h≤p-1， 因此k与h中至少有一个小于p/2，G 中有一个顶 点的度小于p/2.
集合与图论
欧拉图的判别定理
若G2中还有边，则同样的方式，G2中有圈Z3，如 此等等，最后必得到一个图Gn，Gn中无边. 于是我们得到了G中的n个圈Z1,Z2,...,Zn,，它们是两 两无公共边的，因此，G的每条边在且仅在其中的一个 圈上，于是G的边集被划分为n个圈. 由于G是连通的，所以每个圈Zi至少与其余的某个 圈有公共顶点，从而图G由一些边不重的相互之间有公 6/25 共顶点的圈构成.
19/25
集合与图论
哈密顿图的充分条件之二
定理3 设G是有p(p≥3)个顶点的图，如果 对G的任意一对不相邻的顶点u和v，均有 degu+degv≥p， 则G是一个哈密顿图. 只需证明p(p≥3)个顶点的每个非哈密顿图中至少 有两个不相邻的顶点u和v，有degu+degv≤p-1即可. 刚才的证明中的v1，vp就满足这个性质.
22/25
集合与图论
实 例
例4：某次国际会议8人参加，已知每人至少与其余7 人中的4人有共同语言，问服务员能否将他们安排在 同一张圆桌就座，使得每个人都与两边的人交谈？ 解 做无向图G=<V,E>, 其中 V={v| v为与会者}， E={{u,v} | u,vV且u与v有共同语言，且u v}. 易知G为无向图且vV, deg(v)4，于是，u,vV, 有 deg(u)+deg(v) 8，可知G为哈密顿图. 服务员在G中 找一条哈密顿圈C，按C中相邻关系安排座位即可.
欧拉图与哈密顿ppt课件
阐明：该推论是充分条件但不是必要的。 例如：
该五边形是哈密顿图，但恣意两个不相邻的顶点度 数之和为4，图形阶数为5。
;
座位问题
例 在某次国际会议的预备会中，共有8人参与，他 们来自不同的国家。假设他们中任两个无共同言语的人 与其他有共同言语的人数之和大于或等于8，问能否将这 8个人排在圆桌旁，使其任何人都能与两边的人交谈。
;
图中有四个奇度点，v2,v4,v6,v8，将它们分成两 对，比如说v2与v4为一对，v6与v8为一对。
衔接的v2与v4、v6与v8的通路有好几条，但要取权 和最小的一条。
这个图中没有奇度点，故它是欧拉图。对于这个可行方案，反 复边的权和为17。
;
在最优方案中，图中每个圈的反复边的权和不大于 该圈权和的一半。
;
〔1〕
〔2〕
〔3〕
〔4〕
〔5〕
〔6〕
〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕为哈密顿图 〔5〕为半哈密顿图 〔6〕既不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
;
到目前为止，还没有找到判别哈密顿图简单的充分必 要条件。
下面引见哈密顿图和半哈密顿图的必要条件 定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，V1是V的恣 意非空子集，那么有p(G-V1)≤|V1|,其中p(G-V1)为G-V1 的连通分支数。
;
假设在某条道路中边〔vi,vj〕上反复走了几次， 我们在图中vi,vj之间添加几条边，令所添加边的权与 原来的权相等，并把新添加的边，称为反复边。
于是这条道路就是相应新图中的欧拉回路。
;
由于在任何一个图中，奇度点个数为偶数，所以假 设图中有奇度点，就可以把它们配成对。又由于图是连 通的，故每一对奇度点之间必有通路，把权和最小的通 路上的一切边作为反复边加到图中去，可见新图中无奇 度点。
该五边形是哈密顿图，但恣意两个不相邻的顶点度 数之和为4，图形阶数为5。
;
座位问题
例 在某次国际会议的预备会中，共有8人参与，他 们来自不同的国家。假设他们中任两个无共同言语的人 与其他有共同言语的人数之和大于或等于8，问能否将这 8个人排在圆桌旁，使其任何人都能与两边的人交谈。
;
图中有四个奇度点，v2,v4,v6,v8，将它们分成两 对，比如说v2与v4为一对，v6与v8为一对。
衔接的v2与v4、v6与v8的通路有好几条，但要取权 和最小的一条。
这个图中没有奇度点，故它是欧拉图。对于这个可行方案，反 复边的权和为17。
;
在最优方案中，图中每个圈的反复边的权和不大于 该圈权和的一半。
;
〔1〕
〔2〕
〔3〕
〔4〕
〔5〕
〔6〕
〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕为哈密顿图 〔5〕为半哈密顿图 〔6〕既不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
;
到目前为止，还没有找到判别哈密顿图简单的充分必 要条件。
下面引见哈密顿图和半哈密顿图的必要条件 定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，V1是V的恣 意非空子集，那么有p(G-V1)≤|V1|,其中p(G-V1)为G-V1 的连通分支数。
;
假设在某条道路中边〔vi,vj〕上反复走了几次， 我们在图中vi,vj之间添加几条边，令所添加边的权与 原来的权相等，并把新添加的边，称为反复边。
于是这条道路就是相应新图中的欧拉回路。
;
由于在任何一个图中，奇度点个数为偶数，所以假 设图中有奇度点，就可以把它们配成对。又由于图是连 通的，故每一对奇度点之间必有通路，把权和最小的通 路上的一切边作为反复边加到图中去，可见新图中无奇 度点。
图论课件第四章欧拉图与哈密尔顿
性质
欧拉路径的长度等于其经过的边 数。
哈密尔顿路径的定义与性质
定义
哈密尔顿路径是指一个路径在图中经 过所有的顶点且每个顶点只经过一次 ，最后回到起始点。
性质
哈密尔顿路径的长度等于其经过的顶 点数。
欧拉路径与哈密尔顿路径的判定
欧拉路径的判定
对于一个给定的图，判断是否存在一个路径满足欧拉路径的 定义。通常需要通过图的连通性、边的数量和顶点的数量等 条件进行判断。
连通性
连通性是图论中的一个重要概念，研究图中顶点之间的连接关系。常 见的连通性算法包括深度优先搜索和广度优先搜索。
THANKS
感谢观看
图论课件第四章欧拉 图与哈密尔顿
目录
• 欧拉图 • 哈密尔顿图 • 欧拉路径与哈密尔顿路径 • 应用与扩展
01
欧拉图
欧拉图的定义
01
欧拉图是一个连通图，它包含一 条或多条边，并且每条边只包含 一次，使得从起点到终点的每条 路径都恰好经过每条边一次。
02
欧拉图中的路径称为欧拉路径， 起点和终点称为欧拉终点，如果 这条路径的长度恰好是边数，则 称为欧拉回路。
回溯法
通过回溯算法搜索所有可能的路 径，判断是否存在一个路径满足 哈密尔顿路或哈密尔顿路径的条件。
邻接矩阵法
通过判断邻接矩阵是否满足一定条 件来判定一个图是否为哈密尔顿图。
欧拉路径法
通过判断一个图是否存在欧拉路径 来判定该图是否为哈密尔顿图。
03
欧拉路径与哈密尔顿路径
欧拉路径的定义与性质
定义
欧拉路径是指一个路径在图中从 一点出发，经过所有的边且每条 边只经过一次，最后回到起始点 。
哈密尔顿回路是一个路径，它经过图中的每个顶点恰好一次，并且起点和终点必须 不同。
欧拉路径的长度等于其经过的边 数。
哈密尔顿路径的定义与性质
定义
哈密尔顿路径是指一个路径在图中经 过所有的顶点且每个顶点只经过一次 ，最后回到起始点。
性质
哈密尔顿路径的长度等于其经过的顶 点数。
欧拉路径与哈密尔顿路径的判定
欧拉路径的判定
对于一个给定的图，判断是否存在一个路径满足欧拉路径的 定义。通常需要通过图的连通性、边的数量和顶点的数量等 条件进行判断。
连通性
连通性是图论中的一个重要概念，研究图中顶点之间的连接关系。常 见的连通性算法包括深度优先搜索和广度优先搜索。
THANKS
感谢观看
图论课件第四章欧拉 图与哈密尔顿
目录
• 欧拉图 • 哈密尔顿图 • 欧拉路径与哈密尔顿路径 • 应用与扩展
01
欧拉图
欧拉图的定义
01
欧拉图是一个连通图，它包含一 条或多条边，并且每条边只包含 一次，使得从起点到终点的每条 路径都恰好经过每条边一次。
02
欧拉图中的路径称为欧拉路径， 起点和终点称为欧拉终点，如果 这条路径的长度恰好是边数，则 称为欧拉回路。
回溯法
通过回溯算法搜索所有可能的路 径，判断是否存在一个路径满足 哈密尔顿路或哈密尔顿路径的条件。
邻接矩阵法
通过判断邻接矩阵是否满足一定条 件来判定一个图是否为哈密尔顿图。
欧拉路径法
通过判断一个图是否存在欧拉路径 来判定该图是否为哈密尔顿图。
03
欧拉路径与哈密尔顿路径
欧拉路径的定义与性质
定义
欧拉路径是指一个路径在图中从 一点出发，经过所有的边且每条 边只经过一次，最后回到起始点 。
哈密尔顿回路是一个路径，它经过图中的每个顶点恰好一次，并且起点和终点必须 不同。
欧拉图和哈密尔顿图精
3) 1)：
Z1是划分中的一个基回，若{Z1}=E，则Z1就 欧拉回路，G是欧拉图 否则，存在另一回路Z2与Z1有公共点v 构造简单回路，从v经Z1回到v，再经Z2回到v
将Z1UZ2看作Z1，再重复 上述过程，得到穷尽EG 的简单回路。 ∴G—欧拉图。//
提示
全部是偶度点的连通图中的回路 若干小回路串成欧拉回路
解一
a：说英语； b：说英语或西班牙语； C: 说英语,意大利语和俄语； d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日语和俄语； g：说法语和德语.
a
b
d
c
e g
f
解 设7个人为7个结点, 将两个懂同一语言的人之间连一条边 (即他们能直接交谈), 这样就得到一个简单图G, 问题就转化为 G是否连通. 如图所示, 因为G的任意两个结点是连通的, 所以 G是连通图. 因此, 上述7个人中任意两个人能交谈.
判断H-图
•
•
任何一个H_图都可以看成是一个基本回路，再 加上其他若干条边
H_图的充分条件和必要条件均有，但尚无充要 条件
H_图的必要条件
G是H_图，则对VG的任意非空真子集S (S， SV，均有 W(G-S)|S| 其中W(G)是G的分支数
必要条件的应用
[证]
设C是G的H_回路
例
a
10 12 9
从a出发的“较好的”回路 ， a
7
14
b
7 13 11
d
6
c
8
e
5
b
14
a
c
5
6
8
长度：40
e
e
d
算法精度下限
设算法所得的回路长度为d， d0 是最小H_
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最优回路(未必是简单回路)。 当G是欧拉图，则最优回路即欧拉回路。 若G不是欧拉图，则通过加边来消除G中的奇度顶点，
要求使加边得到的欧拉图G'中重复边的权和最小。
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23
周游世界的游戏
1859 哈密尔顿 “周游世界”游戏： 20个城市，每个城市恰游一次，回到出发地
用一个正12面体的20个 顶点代表20个城市，
2） u,v不相邻，向着v方向，取(u,u1)删 (u,u1)，以u1为始，重复过程，直至删 (ui,v)后得到欧拉回路，连上所删除的边，得
到——得到欧拉通路。//
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14
续例 .“一笔划”问题
G连通，从一个奇度点开始画，图只有0或2 个奇度点，则G可一笔画。//
[定理] 对有向图，G有欧拉回路每一结 点入度等于出度。
则从EG−{e1e2……ei}中选ei+1 选择条件：
i. ei与vi相邻 ii. 对EG−{e1e2……ei}而言非割边优先 3) 重复2)，直到不能执行
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17
讨论这种情况下，会否出现
EG−{e1e2……ei}中有边，而2)之条件i不 成立的情况：
如 vi = v0，则必有某个j<i时刻选ej+1 边 为割边
[推论] 欧拉图G是以任一顶点为始点的随机欧拉图 当且仅当G本身是一个基本回路)
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21
中国邮递员问题：
问题：邮递员从邮局出发，走过辖区内每条
街道至少一次，如何选择最短路线？
1）每街一次/至少一次 2）环游最短
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22
中国邮递员问题-模型
数学模型：
构造无向权图G，以道路为边，路长为权 问题的解——G中包含所有边的回路权最小，称为
欧拉图和哈密尔顿图
信号处理中的数学方法 第2-4讲
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1
一.欧拉回路：一般不限于简单图，一般指无向
图
Eg. 哥尼斯堡七桥问题
原问题：“右边的图中是否存在包含每条边一次且恰好 一次的回路？”
原问题等价于：欧拉图
A
A
C
D C
D
B
B
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2
<定义>欧拉回路，欧拉通路
图G的一个回路/通路,它经过G中每条边恰 好一次，则回路/通路称为欧拉回路/通路。
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24
哈密尔顿图
定义：若图G中有经过所有顶点的基本回路，称为 哈密尔顿回路，若G中含哈密尔顿回路，则称G为 H_图。
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10
3) 1)：
Z1是划分中的一个基回，若{Z1}=E，则Z1就 欧拉回路，G是欧拉图
否则，存在另一回路Z2与Z1有公共点v 构造简单回路，从v经Z1回到v，再经Z2回到v
将Z1UZ2看作Z1，再重复 上述过程，得到穷尽EG 的简单回路。 ∴G—欧拉图。//
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11
提示
eg.
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8
[证] 1)2)3) 1)
1) 2):
设Go为G的欧拉回路，可将Go表示为 v1e1v2e2……envn+1(vn+1=v1)，其中vi的
一次出现总关联于左右2条边，对应度数为2 又Go 的e1，e2，……en互不相同，且穷尽了
所有的边，这样任一点vi的度数为vi在Go中 出现的度数之和——必为2的倍数。//
全部是偶度点的连通图中的回路 若干小回路串成欧拉回路
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12
续例 多米诺骨牌问题
d
(
vvii)源自VG8∴能构成回路，能够连成首尾圈。//
[定理] 连通图G，若G中仅有0或2个奇 度数点G有欧拉通路。
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13
<证>
0个奇度数，显然欧拉回路 2个奇度数，u，v，分情况：
1）u,v相邻，删(u,v)余图G’为欧拉图， 从u开始在G’中走欧拉回路，回到u，再 走(u,v)——得到欧拉通路
定义：如果图G中含欧拉回路，则图G称为 欧拉图。
定义：如果图G中仅有欧拉通路，但没有欧 拉回路，则图G称为半欧拉图。
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3
例 “一笔划”问题——G中有欧拉 通路
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？
4
实例
上图中，(1) ,(4) 为欧拉图
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5
例 多米诺骨牌，28块
能否排成一圈使两两相邻的半边的点数相同，问 是否可能？
牌 数 C2728种 7
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6
将0-6看作7个结点，任2点的边看作一块骨牌 这样,该问题转化为G有无欧拉回路的问题
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7
[定理]对连通图，下列命题等价
1）G是欧拉图 2）G的每个结点为偶度数 3）G的边集能划分成为基本回路，即
k
边 集 C 1 ,C 2 , ,C k 不 重 叠 之 基 本 回 路 ， 且 U i= 1 C i E G
注，若G是以v为始点的随机欧拉 图，则任何一个以v为始点的不包含G 中所有边的回路都应该能扩充成欧拉 回路。反之，若G不是以v为始点的随 机欧拉图，则一定存在已经包含了v 所关联的所有边，却未包含G中所有 边的简单回路。
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20
随机欧拉图的判定
[定理] 欧拉图G是以v为始点的随机欧拉图当且仅 当G中任一回路均包含v。
——与2）之ii条件相矛盾，∴不可能 出现，即vi ≠ v0 如vi ≠ v0 ，则vi 的度数为奇数
——与欧拉图相矛盾
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18
提示：
在画欧拉回路时，已经经过的边不能再用； 在走回路中的任何时刻，将已经经过的边删
除，剩下的边必须仍在同一连通分支当中
×
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19
随机欧拉图
<定义>G是欧拉图，vVG，从v开始，每一步从当前 点所关联边中随机选边，均可构造欧拉回路，则G称为 以v为始点的随机欧拉图。
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15
安排国展中心参观路线
A
B
C
I
J
KL
MN
H
O
G
F
参观区域实景
A
B
C
I
J
D
K LM
D N
H
O
E
E
G
F
图G
设E为起始点
E,N,M,O,L,K,I,L,M,J,N可编,D辑p,Cpt ,J,B,I,A,K,H,G,O,F,E 16
<欧拉回路-Fleury算法 >
1) 任取一点v0，置w0=v0 2) 设简单回路wi= v0e1v1e2……eivi 已选定，
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9
2) 3):
G连通，不妨设G是非平凡图
由2）每个结点度数至少为2，所以G中含一基回 Z1，Z1的度数为偶度数，删去Z1的边得到G’， 原G为偶度数，删去G’的每个点仍为偶度数
除孤立点外其余点至少为2度，即余连通点所图 至少2连通
如法炮制，直至余图不含边 {Z1}，{Z2 }，…..,{Zk }为E的一个划分。 //
要求使加边得到的欧拉图G'中重复边的权和最小。
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周游世界的游戏
1859 哈密尔顿 “周游世界”游戏： 20个城市，每个城市恰游一次，回到出发地
用一个正12面体的20个 顶点代表20个城市，
2） u,v不相邻，向着v方向，取(u,u1)删 (u,u1)，以u1为始，重复过程，直至删 (ui,v)后得到欧拉回路，连上所删除的边，得
到——得到欧拉通路。//
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14
续例 .“一笔划”问题
G连通，从一个奇度点开始画，图只有0或2 个奇度点，则G可一笔画。//
[定理] 对有向图，G有欧拉回路每一结 点入度等于出度。
则从EG−{e1e2……ei}中选ei+1 选择条件：
i. ei与vi相邻 ii. 对EG−{e1e2……ei}而言非割边优先 3) 重复2)，直到不能执行
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讨论这种情况下，会否出现
EG−{e1e2……ei}中有边，而2)之条件i不 成立的情况：
如 vi = v0，则必有某个j<i时刻选ej+1 边 为割边
[推论] 欧拉图G是以任一顶点为始点的随机欧拉图 当且仅当G本身是一个基本回路)
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21
中国邮递员问题：
问题：邮递员从邮局出发，走过辖区内每条
街道至少一次，如何选择最短路线？
1）每街一次/至少一次 2）环游最短
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中国邮递员问题-模型
数学模型：
构造无向权图G，以道路为边，路长为权 问题的解——G中包含所有边的回路权最小，称为
欧拉图和哈密尔顿图
信号处理中的数学方法 第2-4讲
可编辑ppt
1
一.欧拉回路：一般不限于简单图，一般指无向
图
Eg. 哥尼斯堡七桥问题
原问题：“右边的图中是否存在包含每条边一次且恰好 一次的回路？”
原问题等价于：欧拉图
A
A
C
D C
D
B
B
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2
<定义>欧拉回路，欧拉通路
图G的一个回路/通路,它经过G中每条边恰 好一次，则回路/通路称为欧拉回路/通路。
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哈密尔顿图
定义：若图G中有经过所有顶点的基本回路，称为 哈密尔顿回路，若G中含哈密尔顿回路，则称G为 H_图。
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10
3) 1)：
Z1是划分中的一个基回，若{Z1}=E，则Z1就 欧拉回路，G是欧拉图
否则，存在另一回路Z2与Z1有公共点v 构造简单回路，从v经Z1回到v，再经Z2回到v
将Z1UZ2看作Z1，再重复 上述过程，得到穷尽EG 的简单回路。 ∴G—欧拉图。//
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11
提示
eg.
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8
[证] 1)2)3) 1)
1) 2):
设Go为G的欧拉回路，可将Go表示为 v1e1v2e2……envn+1(vn+1=v1)，其中vi的
一次出现总关联于左右2条边，对应度数为2 又Go 的e1，e2，……en互不相同，且穷尽了
所有的边，这样任一点vi的度数为vi在Go中 出现的度数之和——必为2的倍数。//
全部是偶度点的连通图中的回路 若干小回路串成欧拉回路
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12
续例 多米诺骨牌问题
d
(
vvii)源自VG8∴能构成回路，能够连成首尾圈。//
[定理] 连通图G，若G中仅有0或2个奇 度数点G有欧拉通路。
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13
<证>
0个奇度数，显然欧拉回路 2个奇度数，u，v，分情况：
1）u,v相邻，删(u,v)余图G’为欧拉图， 从u开始在G’中走欧拉回路，回到u，再 走(u,v)——得到欧拉通路
定义：如果图G中含欧拉回路，则图G称为 欧拉图。
定义：如果图G中仅有欧拉通路，但没有欧 拉回路，则图G称为半欧拉图。
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3
例 “一笔划”问题——G中有欧拉 通路
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？
4
实例
上图中，(1) ,(4) 为欧拉图
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5
例 多米诺骨牌，28块
能否排成一圈使两两相邻的半边的点数相同，问 是否可能？
牌 数 C2728种 7
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6
将0-6看作7个结点，任2点的边看作一块骨牌 这样,该问题转化为G有无欧拉回路的问题
可编辑ppt
7
[定理]对连通图，下列命题等价
1）G是欧拉图 2）G的每个结点为偶度数 3）G的边集能划分成为基本回路，即
k
边 集 C 1 ,C 2 , ,C k 不 重 叠 之 基 本 回 路 ， 且 U i= 1 C i E G
注，若G是以v为始点的随机欧拉 图，则任何一个以v为始点的不包含G 中所有边的回路都应该能扩充成欧拉 回路。反之，若G不是以v为始点的随 机欧拉图，则一定存在已经包含了v 所关联的所有边，却未包含G中所有 边的简单回路。
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20
随机欧拉图的判定
[定理] 欧拉图G是以v为始点的随机欧拉图当且仅 当G中任一回路均包含v。
——与2）之ii条件相矛盾，∴不可能 出现，即vi ≠ v0 如vi ≠ v0 ，则vi 的度数为奇数
——与欧拉图相矛盾
可编辑ppt
18
提示：
在画欧拉回路时，已经经过的边不能再用； 在走回路中的任何时刻，将已经经过的边删
除，剩下的边必须仍在同一连通分支当中
×
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19
随机欧拉图
<定义>G是欧拉图，vVG，从v开始，每一步从当前 点所关联边中随机选边，均可构造欧拉回路，则G称为 以v为始点的随机欧拉图。
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15
安排国展中心参观路线
A
B
C
I
J
KL
MN
H
O
G
F
参观区域实景
A
B
C
I
J
D
K LM
D N
H
O
E
E
G
F
图G
设E为起始点
E,N,M,O,L,K,I,L,M,J,N可编,D辑p,Cpt ,J,B,I,A,K,H,G,O,F,E 16
<欧拉回路-Fleury算法 >
1) 任取一点v0，置w0=v0 2) 设简单回路wi= v0e1v1e2……eivi 已选定，
可编辑ppt
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2) 3):
G连通，不妨设G是非平凡图
由2）每个结点度数至少为2，所以G中含一基回 Z1，Z1的度数为偶度数，删去Z1的边得到G’， 原G为偶度数，删去G’的每个点仍为偶度数
除孤立点外其余点至少为2度，即余连通点所图 至少2连通
如法炮制，直至余图不含边 {Z1}，{Z2 }，…..,{Zk }为E的一个划分。 //