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NP-HARDNESS

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Are mysterious problems unrelated?
• How does this happen? • The notion of reduction
Is this is a coincidence?
• The class of problems P: • All decision problems that can be solved in polynomial time by a usual algorithm.
NP-HARDNESS
May 07: Lecture 24
Clay Institute problems
• Your chance to be a millionaire
Problems with efficient algorithms
• The diameter problem: Find the diameter in the input graph
• The diameter problem: • Find the diameter in the input graph • Shortest path decision problem • Given a graph and a parameter k, is the diameter of the graph k? • Decision inhe class of problems NP:
• All decision problems that can be solved in polynomial time by a non-deterministic algorithm. • All decision problems that can be verified in polynomial time
Innocent changes, huge gaps
• 2-SAT problem: Input is a formula like below, with n Boolean variables, and m clauses of two literals each (xy)(yz)(xz)(zy) • Question for decision: Is this formula satisfiable? • 3-SAT problem: Input is a formula like below, with n Boolean variables, and m clauses of three literals each (xy z)(yz w)(xz w)(zy x) • Question for decision: Is this formula satisfiable?
How common are mysterious problems?
• There are thousands of problems that people meet in the “realworld” that are mysterious. Nobody can find a polynomial time
• If max-clique has a polynomial time algorithm then longest path has one too • If longest path has a polynomial time algorithm then max-clique has one too
Another mysterious problem
• The k-clique: • Given a graph and a parameter k, does the graph contain a subgraph which consists of k nodes and has all edges (clique) • Fastest known algorithm:
Problems without known efficient algorithms
• Longest path problem: Find the longest no-cycles path in the input graph
Search and decision (yes or no) problems
algorithm and nobody can be sure that there is not a polynomial time algorithm.
Are mysterious problems unrelated?
• Most of them are related:
• • • •
If 3SAT has a polynomial time algorithm then max-clique has one too. If max-clique has a polynomial time algorithm then 3SAT has one too. If 3SAT has a polynomial time algorithm then longest path has one too. If longest path has polynomial time algorithm then 3SAT has one too.
Search and decision (yes or no) problems
• Longest path search problem: Find the longest no-cycles path in the input graph • Longest path decision problem: • Given a graph and a parameter k, is there a no-cycles path of length equal to k? • Fastest known algorithm: O(2k n3)

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NP,NPC和NP-hard概念

NP,NPC和NP-hard概念

若A1多项式转换为A2，且A2∈NP，则A1∈NP
16
问题A2的难度不低于问题A1
2.1.4 NP完全问题类(NPC)
Cook在1971年给出并证明了有一类问题具有下述性质： （1）这类问题中任何一个问题至今未找到多项式时间算法； （2）如果这类问题中存在一个问题有多项式时间算法，则这 类问题都有多项式时间算法。
显 然 有 ： P NP
构造字符串（解）的过程及验证算法 H 一起构成一个算法， 称为非确定多项式（时间）算法。
9
说明： 由定义可知，要证明一个判定问题是非确定多项式的， 有两处用到了多项式的限制： （1）S 的输入长度 d(S) 不超过 g(d(I))
（2） 对于算法 H，其计算时间 f(H) 不超过 g(d(I))。
网 络 优 化
Network Optimization
第 2 章
2.1
算法基础
NP,NPC和NP-hard概念
1
2.1.1 问题、实例与输入规模
问题 TSP 背包问题 整数线性规划 实例 问题中各参数:100个城市，城市间距离 d ij 已知. 问题中各参数: 4个物品，大小分别为4,3,2,2. 价 值分别为8,7,5,7. 包的大小为6. 问题中的n,A,b,c已知.
15
在 0-1 背包问题中，若 c j a j ( j 1, 2 , , n ) ，即体积=价值，得到一个特 殊 0-1 背包，也称为子集和问题（subset sum problem） 。其判定问题为：
对给定的整数 c j ( j 1, 2 , , n ) 和 b ，是否存在 {1, 2, , n } 的子集 B ，使 得
例2.7
适定性问题多项式转换为整数（0-1）线性规划问题.
最大团算法时间复杂度

最大团算法时间复杂度

最大团算法时间复杂度Finding the maximum clique in a graph is a challenging problem in graph theory with many practical applications. One popular algorithm used to solve this problem is the Bron–Kerbosch algorithm, which is known for its effectiveness in finding the maximum clique in a graph. This algorithm has a time complexity of O(3^n/3), where nis the number of vertices in the graph. Despite its computational efficiency, the Bron–Kerbosch algorithm can still be time-consuming for large graphs with a large number of vertices.在图论中，找到图中的最大团是一个具有挑战性的问题，具有许多实际应用。

解决这个问题使用的一种流行算法是Bron-Kerbosch算法，以其在图中找到最大团的有效性而闻名。

该算法的时间复杂度为O（3^n/3），其中n是图中顶点的数量。

尽管Bron-Kerbosch算法在计算效率方面表现出色，但对于具有大量顶点的大图仍然可能耗时。

One of the reasons why finding the maximum clique in a graph is a challenging problem is because the problem is NP-hard, meaning that it is difficult to find an efficient algorithm that can solve it in polynomial time. The NP-hardness of the maximum clique problemstems from the fact that checking whether a given subset of vertices forms a clique is a combinatorial problem that requires checking all possible combinations of vertices, which is inherently time-consuming.在图中找到最大团是一个具有挑战性的问题的原因之一是因为这个问题是NP难的，这意味着很难找到一个能够在多项式时间内解决它的高效算法。

介绍np-hard的名词解释

介绍np-hard的名词解释

NP-hard问题是指非确定性多项式时间复杂度问题，是理论计算机科学中的一个重要概念。

它是由斯蒂芬·库克和莱昂雷德·列文提出的，主要用于描述一个问题的困难程度。

NP-hard问题在计算复杂度理论中占据着重要地位，对于计算机科学和算法设计都具有重要的意义。

NP-hard问题是在计算理论中的一个重要问题，可以用来描述计算难度和时间消耗。

NP-hard问题通常是指那些在非确定性图灵机下，需要指数时间复杂度才能被解决的问题。

在计算机科学中，NP-hard问题是一类很难解决的问题，是理论计算机科学中尚未解决的重大难题之一。

在计算机科学中，NP-hard问题是指那些至少和NP问题一样困难的问题。

NP问题是指那些可以用非确定性多项式时间复杂度算法来验证解的问题。

NP-hard问题是指那些困难程度不亚于NP问题的问题。

如果一个问题是NP-hard问题，那么它至少和NP问题一样困难，可能还更难。

NP-hard问题在计算机科学中占据着重要地位，对于算法设计和计算复杂度理论都有着重要的意义。

在实际应用中，很多重要的计算问题被证明是NP-hard问题，这意味着它们很难用有效的算法来解决。

研究如何高效地解决NP-hard问题成为了计算机科学和算法设计的一个重要方向。

NP-hard问题是一类在计算理论中具有重要意义的问题，它们至少和NP问题一样困难，可能还更困难。

研究如何有效解决NP-hard问题对于计算机科学和算法设计都具有重要意义，是一个需要长期努力和探索的方向。

NP-hard问题是计算机科学中一个重要的概念，其在算法领域及实际应用中具有重要的意义。

在实际应用中，很多组合优化问题、调度问题、规划问题等被证明是NP-hard问题，这意味着它们很难用有效的算法来解决。

研究如何高效地解决NP-hard问题成为了计算机科学和算法设计的一个重要方向。

下面将通过对NP-hard问题的定义、性质、应用和解决方法的综述，来探讨NP-hard问题的重要性和影响。

NP-Hard问题和NP-Complete问题

NP-Hard问题和NP-Complete问题

NP-Hard问题和NP-Complete问题对 NP-Hard问题和NP-Complete问题的⼀个直观的理解就是指那些很难（很可能是不可能）找到多项式时间的问题。

因此⼀般初学算法的⼈都会问这样⼀个问题：NP-Hard和NP-Complete有什么不同？简单的回答是根据定义，如果所有NP问题都可以多项式归约到问题A，那么问题A就是 NP-Hard；如果问题A既是NP-Hard⼜是NP，那么它就是NP-Complete。

从定义我们很容易看出，NP-Hard问题类包含了NP-Complete类。

但进⼀步的我们会问，是否有属于NP-Hard但不属于NP-Complete的问题呢？答案是肯定的。

例如停机问题，也即给出⼀个程序和输⼊，判定它的运⾏是否会终⽌。

停机问题是不可判的，那它当然也不是NP问题。

但对于SAT这样的NP-Complete问题，却可以多项式归约到停机问题。

因为我们可以构造程序A，该程序对输⼊的公式穷举其变量的所有赋值，如果存在赋值使其为真，则停机，否则进⼊⽆限循环。

这样，判断公式是否可满⾜便转化为判断以公式为输⼊的程序A是否停机。

所以，停机问题是NP-Hard⽽不是NP-Complete。

NP问题就是指其解的正确性可以在多项式时间内被检查的⼀类问题。

⽐如说数组求和，得到⼀个解，这个解对不对呢，显然是可以在多项式时间内验证的。

再⽐如说SAT，如果得到⼀个解，也是能在多项式时间内验证正确性的。

所以SAT和求和等等都是NP问题。

然后呢，有⼀部分NP问题的解已经可以在多项式时间内找到，⽐如数组求和，这部分问题就是NP中⽐较简单的⼀部分，被命名为P类问题。

那么P以外的NP问题，就是⽬前还不能够在多项式时间内求解的问题了。

会不会将来某⼀天，有⼤⽜发明了⽜算法，把这些问题都在多项式时间内解决呢？也就是说，会不会所有的NP问题，其实都是P类问题呢，只是⼈类尚未发现呢？NP=P吗？可想⽽知，证明NP=P的路途是艰难的，因为NP问题实在太多了，要⼀⼀找到多项式算法。