第一节 分式的基本概念与性质-学而思培优

10.2 分式的基本性质-北京版八年级数学上册教案一、知识点概述分式在初中数学中是比较重要的一个概念，也是求解代数式、方程和函数的基础。

在本节课中，我们将学习分式的基本性质，包括分式的有理化、相加减、乘除等基本操作规则，以及分式的约分、通分等运算。

二、教学目标1.了解分式的定义及基本概念；2.掌握分式化简、通分、约分等运算方法；3.学会通过分式求解简单方程和实际问题。

三、教学重点和难点教学重点：1.掌握分式的有理化、相加减、乘除等基本操作规则；2.学会分式的约分、通分等运算。

教学难点：1.如何应用分式解决实际问题。

四、教学过程及方法1. 导入新知识1.提问：什么是分式？分式有哪些特点？2.引入概念：分式的定义及基本概念。

2. 分组讨论1.按照学生的不同能力水平分组，让他们互相讨论、合作解决分式的有理化、相加减、乘除等基本操作规则。

2.由老师带领讨论分式的约分、通分等运算。

3. 通过例题讲解基本规则1.参考教材例题，补充和解析其中难点较高的例题。

2.以逐步引导、示范的方式使学生理解基本规则，熟练掌握和运用。

4. 练习和巩固1.编写试卷或提供小组内练习题目，帮助学生巩固和加深学习；2.实时教师互动答疑，让学生相互交流和解决问题。

5. 扩展课程通过扩展课程，让学生应用分式解决在题目中可能遇到具体问题和实际问题。

五、教学评价1.课后作业：让学生用自己的理解，整理和归纳规律，为下一节课做好准备；2.考试：对本节课的知识点进行考试和评价，帮助教学人员及时调整教学进程。

六、教材参考1.北京版八年级上册数学教材，第10章，第2节；2.参考书目：《初中数学》，七年级（下）和八年级（下）；《初中数学辅导》，课外读物。

内容基本要求略高要求较高要求分式的有关概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件 能确定使分式值为零的条件 分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分 分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题1.分式概念，能确定分式有意义或值为零的条件；2.利用分式的基本性质进行约分和通分；3.会进行简单的分式乘除运算.趣味小故事：《秃头悖论》 一个人有了10万根头发，当然不能算秃头，不是秃头的人，掉了一根头发，仍然不是秃头。

按照这个道理，让一个不是秃头的人一根一根地减少头发，就得出一条结论：没有一根头发的光头也不是秃头！这种悖论出现的原因是：我们在严格的逻辑推理中使用了模糊不清的概念。

什么叫秃头，这是一个模糊概念，一根头发也没有，当然是秃头，多一根呢？还是秃头吧。

这样一根一根增加，增加到哪一根就不是秃头了呢？很难说，谁也没有一个明确的标准！根据上面的小故事，告诉同学们，在学习数学知识的同时，一定要弄清概念，避免模糊不清。

分式这一章的知识中就要考察我们概念理解的能力，你准备好了么？Go ！中考要求重难点课前预习分式的概念、性质及乘除1.一般地，如果A ,B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式。

整式与分式统称有理式； 2.分式有意义的条件是分母不为0；当分母为0时，分式无意义；3.分式的值为零，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意“同时性”；4.分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变；上述性质用公式可表示为：a a m b b m ⨯=⨯，a a m b b m ÷=÷ (0m ≠)；5.分式的乘法用公式可表示为：=a c acb d bd⨯；6.分式的除法用公式可表示为：=a c a d adb d bc bc÷⨯=.模块一 分式的基本概念【例1】 在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1t ，(2)3x x +，2211x x x -+-，24x x +，52a ，2m ，21321x x x +--，3πx -，323a a a +【答案】分式：1t ，2211x x x -+-，24x x+，21321x x x +--，323a a a +整式：(2)3x x +，52a ，2m ，3πx-．【例2】 下列各式：（1）2x y ，（2）223x y ，（3）38a +，（4）4x y -，（5）214y x -，（6）()3231a ab b a -+，（7）44x x --中，整式有 ，分式有 （填序号）.例题精讲【总结】【易错】模块二分式有无意义的条件☞分子分母不可约分【例3】x为何值时，分式2141xx++无意义？【巩固】求下列分式有意义的条件：（1）1x（2）33x+（3）2a ba b+--（4）21nm+（5）22x yx y++【巩固】（2011房山二模）若分式121xx+-有意义，则x____________.【例4】x为何值时，分式2132x x-+有意义？【巩固】x为何值时，分式2128x x--无意义？【巩固】使分式11)(1) x x+-（有意义的x值是（）.0A x≠.1B x≠.1C x≠-.1D x≠±【巩固】当x取什么值时，分式23 4x x --有意义？【总结】【易错】☞分子分母可约分【例5】x为何值时，分式211xx-+有意义？【巩固】当x= 时，分式26(1)(3)x xx x----无意义.【巩固】当时，分式221634xx x-+-有意义.【总结】【易错】模块三分式值为零的条件☞分子分母不可约分【例6】当x为何值时，下列分式的值为0？（1）1xx+（2）213xx-+（3）288xx+【例7】若分式41xx+-的值为0，则x的值为.【巩固】若分241++xx的值为零，则x的值为___________.【巩固】若分式242aa-+的值为0，则a的值为__________.【巩固】（2011昌平一模）若分式42xx-+的值为0，则x的值为．【总结】【易错】☞分子分母可约分【例8】当x为何值时，下列分式的值为0？（1）211xx-+（2）2231x xx+--（3）2242xx x-+【例9】若分式223(1)(2)x xx x--++的值为0，则x的值为．【巩固】（2011大兴二模）若分式242xx--的值为0，则x的值为.【巩固】若分式2225(5)x x --的值为0，则x 的值为 .【巩固】如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是 .【总结】【易错】模块四 分式的基本性质☞分式变形---扩大与缩小【例10】 填空：（1）()2ab ba = （2）()32x x xy x y =++（3）()2x y x xyxy ++= （4）()222x y x y x xy y +=--+【例11】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？（1）x y x y +- （2）xyx y- （3）22x y x y -+【巩固】把下列分式中的字母x 和y 都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？（1）2x y x y ++ （2）22923x x y +【巩固】若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？（1）2222x y x y +-（2）3323x y（3）223x y xy-【总结】【易错】☞分式变形---系数化整与变号 【例12】 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数．（1）1.030.023.20.5x y x y +- （2）32431532x yx y -+【巩固】不改变分式的值，把下列各式分子与分母的各项系数都化为整数.（1）0.3 1.20.051x x +-； （2）115710.12x yx y -+【例13】 不改变分式的值，使下列分式的分子、分母均不含“-”号.（1）23b a --- （2）14b - （3）35m n-- （4）273yx -【巩固】不改变分式的值，使下列分式的分子、分母均不含“-”号.（1）32m n - （2）3a b- （3）35yx --【例14】 不改变分式值，使下列各式分子与分母中的最高次数项的系数为正数：（1）212a a ---； （2）322353a a a a -+---【巩固】不改变分式的值，使分子和分母中的最高次项系数都为正数：（1）232645x x x x +-+- （2） 23721x x x -+-+-【总结】【易错】☞分式的通分与约分 【例15】 求下列各组分式的最简公分母（1）277a -，2312a a a -+，211a -（2）2145x x --，232xx x ++，22310x x x --（3）22a ab a ab +-，22ab b ab -，222a ab -（4）231881x x -+，2281x -，211881x x ++【例16】 把下列各式通分.（1）222234,,345a ab a b- （2）2212,32x y x xy y --+【巩固】把下列各式通分.（1）238x y -，3512x yz ，3320xy z - （2）1(1)x x x +-，21x x -，2221x x -+【例17】 以下分式化简：（1）42226131x x x x ++=--；（2）x a ax b b+=+；（3）22x y x y x y +=++；（4）22x y x y x y -=-+。

分式的概念及基本性质分式的运算1. 知识精讲及例题分析（一）知识梳理1.分式的概念形如一（A、B是整式，且B中含有字母，B 0 ）的式子叫做分式。

其中A叫分式的分子，B叫分式的B分母。

注：（1）分式的分母中必须含有字母（2）分式的分母的值不能为零，否则分式无意义2. 有理式的分类单项式有理式整式多项式分式3. 分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

A A M A A M，（M为整式，且M 0）B B M B B M4. 分式的约分与通分（1）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。

步骤：①分式的分子、分母都是单项式时②分子、分母是多项式时（2）通分：把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，为进行分式加减奠定基础。

通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幕的积。

求最简公分母的步骤：①各分母是单项式时②各分母是多项式时5. 分式的运算（1）乘除运算（2）分式的乘方（3）分式的加减运算（4）分式的混合运算【典型例题】例1.下列有理式中，哪些是整式，哪些是分式。

例2.下列分式何时有意义(1)1|x| 1 (3)4xx2 1x~2 ~x 2xab21 a a ，x，3x x 1 1 ,厂y，，;(x1y)，(ayb)，例3.下列分式何时值为零F列各式中x为何值时，分式的值为零?(1) 4x 33x(2)x22 |x|1)(x 2)1. 填空。

(1)x xy /(y0) x1( )(3) x y(2 2) (x y 0) x y x y2.3xy-2 ~x 2xa2ab(4)h( )x 2a b( ) 不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数。

(1)0.3x y0.02x 0.5y11x—y（2）3412—x—y23例5.约分(1) 21a3b5c56a2b10d(2)3ab(a b)612a(b a)(3) x2 4x 4 2 2(3a 2a )(3 2a a )2 2(a a)(2a 5a 3)(1)3512 ，2 4a b6b2c2ac(2)x 2x32x x2x 2 2 8 4x例6.通分:1 1例7.分式运算 1. 计算:⑴羊（診a 2 43a 242. 3. 5. 6. (3)计算: x 2 2xy y 2(1)(计算:计算:计算:xy2xy y x 22xy(4) (abb 2)b 2a 8)(弓ab)7 aU )6 ；(2)x )2 (y 22~~2-x4.a 22a 3计算:1x 2 4x 4(x1)2 2x 3x 2 x 17.计算： 22x y2例8.能力提高题2 211.已知X 2 3x 1 0，求X 2牙的值。

第一节一元分式方程的基本概念-学而思
培优
一元分式方程是指方程中只含有一个未知数，并且未知数的指
数为正数的分式方程。

下面将介绍一元分式方程的基本概念。

一元分式方程的形式通常为：$\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}$
其中，$A$、$B$、$C$、$D$表示四个整数。

一元分式方程的解是指能够满足该方程的未知数的取值。

解一
元分式方程的过程通常包括以下几个步骤：
1. 清除分母。

首先，需要将方程中的分母进行消除，以简化方
程的形式。

为此，可以对方程两边同时乘以合适的数来使分母消失。

2. 整理方程。

消除分母后，需要整理方程，并合并同类项。

这
一步骤旨在使方程更简洁、清晰。

3. 解方程。

通过代数运算的方法，可以逐步推导出未知数的值，从而求得方程的解。

常用的代数运算包括加减乘除、开方等。

需要注意的是，在解一元分式方程的过程中，可能会遇到一些特殊情况，如方程无解、方程有无穷多解等。

对于这些情况，需要具体分析，不可盲目进行代数运算。

通过研究一元分式方程的基本概念，我们可以更好地理解和解决与分式方程相关的数学问题，提高数学思维能力和解题能力。

参考文献：
- 学而思培优. 一元分式方程的基本概念. [图片教程]. 学而思培优. 互联网资源.
以上是一元分式方程的基本概念的介绍。

8、分式的概念、分式的基本性质【知识精读】分式的概念要注意以下几点：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；（3）分式有意义的条件是分母不能为0。

分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。

在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中M “不为零”的条件。

下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。

【分类解析】例1. 已知a b ，为有理数，要使分式a b 的值为非负数，a b ，应满足的条件是（ ） A. a b ≥≠00，B. a b ≤<00，C. a b ≥>00，D. a b ≥>00，，或a b ≤<00，分析：首先考虑分母b ≠0，但a 可以等于0，由a b≥0，得a b ≥>00，，或a b ≤<00，，故选择D 。

例2. 当x 为何值时，分式||x x -+55的值为零？ 分析：分式的值为零必须满足两个条件：（1）分子为零；（2）分母不为零。

解：由题意得，得||x x -==±505，，而当x =-5时，分母x +5的值为零。

∴当x =5时，分式55||+-x x 的值为零。

例3. 已知113a b -=，求2322a ab b a ab b----的值（ ） A. 12 B. 23 C. 95D. 4 分析：Θ113113a b b a-=∴-=-，，将分式的分母和分子都除以ab ，得 23222231122333295a ab b a ab b b a b a ----=----=⨯----=()，故选择C 。

例4. 已知x y -=20，求x xy y x xy y2222323-++-的值。

分析：根据已知条件，先消元，再化简求值。

讲义———分式姓名：分式知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式，A 为分子，B 为分母。

知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（B ≠0）②分式无意义：分母为0（B=0）③分式值为0：分子为0且分母不为0（A=0且B ≠0） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。

知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

知识点五：分式的通分分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤：注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

知识点六：分式的四则运算与分式的乘方分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示为：分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

第一节分式的基本概念与性质一、课标导航二、核心纲要1.分式概念一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母(B≠O)，那么式子BA 叫做分式， 注：在理解分式的概念时，注意以下四点(1)分式的分母中必须含有字母；(2)分式的分母的值不为O ；(3)分式是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开；(4)判断分式时需要看最初形式．2．有理式整式与分式统称为有理式．3．分式有意义的条件两个整式相除，除数不能为O ，故分式有意义的条件是分母不为O ；当分母为0时，分式无意义．4．分式的值(1)分式的值为零：必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 即00=⇔=A BA 且.0=/B (2)分式的值为1：满足分式的分子与分母相等，且分式的分母不能为零， 即.01=/=⇔=B A BA (3)分式的值为-1：满足分式的分子与分母互为相反数，且分式的分母不能为零. 即.01=/-=⇔=B A B A (4)分式的值为正：满足分式的分子与分母同号， 即⎩⎨⎧>>⇔>000B A B A 或⎩⎨⎧⋅<<00B A (5)分式的值为负：满足分式的分子与分母异号． 即⎩⎨⎧<>⇔<000B A B A 或⎩⎨⎧⋅><00B A 5.分式的基本性质分式的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变， 即：).0(,=/÷÷==m mb m a b a bm am b a 注：①在运用分式的基本性质时，前提条件是m≠0；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的整式；6．约分(1)概念：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．(2)步骤：①如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去； ②分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去．(3)公因式的确定：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母中的相同字母，指数取次数低的，即为它们的公因式．7.最简分式一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式．约分时，一般将一个分式化为最简分式．8．通分(1)概念：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分．(2)步骤①求出所有分式分母的最简公分母；②将所有分式的分母变为最简公分母．同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子．(3)最简公分母的确定：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积． 本节重点讲解：四个定义，一个性质，一种求值，一个条件．三、全能突破基 础 演 练1．在xx x y x y y x x --+2,4,,3,0,3π中，是整式的有 ；是分式的有2．当x 时，分式53+x 有意义；当x 的值为 时，分式53+x 的值为1．3．如果分式xx x 55||2+-的值为O ，那么x 的值是( )． 0.A 5.B 5.-C 5.±D4． (1)分式2)1(2⋅+-x x 的值为正数的条件是( )． 2.<x A 12.-=/<x x B 且 21.<<-x C 2.>x D(2)使分式52762+-x x 的值是负数的x 的取值范围是( )． 76.<x A 76.>x B 0.<x C D ．不能确定5．(1)把分式yx y x -+22中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值( )． A ．不变 B ．扩大2倍 C ．扩大4倍 D ．缩小2倍(2)把分式xyy x 222+中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值( ). A ．不变 B ．扩大2倍 C ．扩大4倍 D ．缩小2倍(3)不改变分式y x y x +-32252的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是( )． y x y x A +-4152. y x y x B 3254.+- y x y x C 24156.+- yx y x D 641512.+-6．下列各式中正确的是( )．b a b a b a b a A --+=--+-. b a b a b a b a B +--=+--. b a b a b a b a C -+=+---. a b b a b a b a D --=++- .7．下列分式中，最简分式有( )．,22,11,,,32222222222223b ab a b ab a m m n m n m y x y x x a --+--+-++- A.2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个8．将下列分式约分：3623121824)1(x a y x a 969)2(22+--x x x 122212)2()()2()()3(------m n m n a b b a b a a b9．将下列式子进行通分：c b a ab 2235221)1(和 232)2(x b xy a 和 22823)3(bca abc 和 1111)4(+-y y 和 能 力 提 升10.下列说法正确的是( )．xA 13.+不是分式 B ．无论x 取何值，分式132+x x 总有意义 C ．分式4352--x x 的值可以等于零 π+21.D 是分式11．已知当2-=x 时，分式bx a x --无意义，当4=x 时，此分式的值为0，则b a +的值等于( )． 6.-A 2.-B 6.C 2.D12．下列结论：①无论a 取何值，12+a a 都有意义；1-=a ②时，分式112-+a a 的值为O ；③若112++x x 的值为负，则x 的取值范围是;1-<x ④若xx x x 121+÷++有意义，则x 的取值范围是,02=/--=/x H x 其中正确的是( )．A ．①③④B ．①②③C ．①③D ．①④13.若13+a 表示一个整数，则整数a 的值可以取( )． A.l 个 B ．2个 C ．3个 D ．4个14．下列各式计算正确的是( )．11.--=b a b a A ab b a b B2.= )0(.=/=⋅a ma na m n C a m a n m n D ++=.15．化简2293mm m --的结果是( )． 3.+m m A 3.+-m m B 3.-m m C mm D -3. 16．已知,563C a c b b a +=+=+则ca b +的值为( )． 73.A 57.B 52.c 76.D 17．已知式子,1||)1)(8(-+-x x x 当x 时，分式无意义，当x 时，分式的值为0．18．当分式12-+x x 与分式12322-+x x x 的值相等时，x 须满足19．若分式mx x x ++422不论x 取何实数总有意义，则m 的取值范围为20.有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点．甲：分式的值不可能为O ；乙：分式有意义时，x 的取值范围是x≠±1；丙：当x=-2时，分式的值为1．请你写出一个满足上述全部特点的分式：21.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 ,3236,2125,1216,59中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你尝试用含n 的式子表示巴尔末公式22.已知m m m m y ,22.2---=取哪些值时： (l)y 的值是正数．(2)y 的值是负数．(3)y 的值是零. (4)分式无意义．中 考 链 接23．（2012．湖州）要使分式x1有意义，x 的取值范围满足( )． 0.=x A 0.=/x B 0.>x C 0.<x D24.（2010．聊城）使分式1212-+x x 无意义的x 的值是( )．21.-=x A21.=x B 21.-=/x C 21.=/x D25.（河北）观察下面的图形（每一个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：(1)写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示．(2)猜想并写出与第n 个图形相对应的等式．巅 峰 突 破26.要使分式aa a a 3511442++--+没有意义，则a 的值为27．若分式,0)4)(3|(|162=+--x x x 则=x 28．化简⋅++-+++nn n nn x x x x x 164824232。

分式or 分柿漫画释义满分晋级7分式的概念及性质代数式8级 分式的概念 及性质代数式9级 二次根式的 概念及运算 代数式10级 因式分解的 常用方法及应用暑期班 第七讲暑期班 第九讲秋季班 第五讲定义示例剖析分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式，其中A 叫分子，B 叫分母且0B ≠．例如211a ax +，分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等于零即0B ≠． 使1x有意义的条件是0x ≠分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零．即当0A =且0B ≠时，0AB=．使11x x -+值为0的x 值为1知识互联网模块一 分式的基本概念知识导航【例1】 ⑴下列式子：2124233a x y a x xx a b x+---π，，，，，1x x y +其中是分式的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个⑵当x 时，分式2x x +有意义；当x 时，分式211x +有意义；⑶当x 为何值时，下列分式的值为0？① 213x x -+ ②6(6)(1)x x x --+ ③ 216(4)(1)x x x -+- ④ 288xx + ⑤2225(5)x x --【例2】 ⑴当x 时，分式233x x --的值为1；如果分式121x x -+的值为1-，则x 的值是_____. ⑵当x 时，分式48x-的值为正数；当x 时，分式48xx --的值为负数；当x 时，分式61x +的值为正整数.⑶当3x =-时，分式x b x a --无意义，当5x =时，分式x bx a--的值为0，则a b +=_____.能力提升夯实基础模块二 分式的基本性质定义示例剖析分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.即()0A A M A M M B B M B M÷==÷×≠×()330y ay a x ax =≠约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式.通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式.为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.【例3】 ⑴下列式子中，正确的是（ ）A.a b a b c c ---=- B. a b a b c c --+=-- C. a b a b c c ---=- D. a b a bc c --+=-⑵若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？①x y x y +- ②xyx y- ③22x y x y -+ ④22x y x y --⑶不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数：1223________1134x yx y -=+ 0.030.2_______0.080.5a b a b -=+30.4511410a b a b +=- ．能力提升夯实基础知识导航【例4】 ⑴ 约分：3______3mnm =2332510x y x y z -=- 233______26a a a -=- 22121x x x -=-+⑵ 求下列各组分式的最简公分母：①2214a b 与36xab c ；②231x -，()221x x -与21x x-⑶通分：①22235c b aab a c b c --，，； ②1(1)x x x +-，21x x -，2221x x -+； ③1()()a b a c --，1()()b c b a --，1()()c a c b --⑷ 下列分式为最简分式的是（ ）A ．3315baB ．22a b b a --C ．23x xD ．22x y x y++分式的乘法 a c a cb d b d ⋅⋅=⋅ 分式的除法 a c a d a db d bc b c ⋅÷=⋅=⋅ 分式的乘方 nnn a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 同分母分式相加减 a b a bc c c±±=异分母分式相加减a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=0指数幂 01a =(a ≠0)负整数指数幂1p pa a -=（0a ≠，p 为正整数） 1. 分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.知识导航模块三 分式的基本运算⑴先把除法变为乘法；⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘； ⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．．．．． 2. 分式的加减⑴同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。

内容基本要求略高要求较高要求分式的有关概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件 能确定使分式值为零的条件 分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分 分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题1.分式概念，能确定分式有意义或值为零的条件；2.利用分式的基本性质进行约分和通分；3.会进行简单的分式化简及加减乘除混合 运算.趣味小故事：《诗中存在的错误》 有个数学家读了英国诗人捷尼逊的一首诗中的一段“每分钟都有个人死亡，每分钟都有一个人诞生……”时，去信质疑，信上说：“尊敬的阁下，读罢您的诗，令人一快，但有几行不合逻辑，实难苟同。

据您的算法，世界人数是永恒不变的。

可世界人数是不停增长的，每分钟相应的有1.16749人诞生，这与您在诗中提供的数据出入甚多，为了符合实际，我建议您使用7/6这个分数，即改为：每分钟都有一个人死亡，每分钟都有一又六分之一的人在诞生…….”中考要求重难点课前预习分式的概念及运算B模块一 分式的基本概念☞分式定义【例1】 下列各式：（1）2x y ，（2）223x y ，（3）38a +,（4） 4x y -,（5）214y x -，（6）3231()a a b b a -+，（7）44x x --中，整式有 ，分式有 .【巩固】下面的说法中正确的是（ ）A .有除法运算的式子就是分式B .有分母的式子就是分式C .若A 、B 为整式，式子A B 叫分式D .若A 、B 为整式且B 中含有字母，式子AB叫分式【巩固】下面的说法正确的是（ ）A .35是分式 B .22513x x -+是分式 C .2125x x -+是分式 D . 2132x +是分式☞分式有无意义【例2】 使分式1(1)(1)x x +-有意义的x 的值是【巩固】当x = ，分式26x x --无意义.例题精讲【巩固】当x 取什么值时，分式234x x --有意义？【巩固】当x 取什么值时，分式332312x x +--有意义？☞分式值为零【例3】 （08丰台二模，4题）若分式2362x xx --的值为0,则x 的值为【巩固】当x = ，分式363x x--的值为零.【巩固】当x ，分式41x xx ++的值为零.模块二 分式的基本性质☞扩大与缩小【例4】 （09东城二模，4题）如果把分式2xx y+中的x 和y 都扩大原来的3倍，那么分式的值（ ） A .扩大为原来的3倍 B .缩小为原来的3倍C .缩小为原来的6倍D .不变【巩固】若分式22(a ba b a b ++、为正数）中，字母a b 、的值分别扩大原来的2倍，则分式值（ ） A .扩大为原来的2倍 B .缩小为原来的12C .缩小为原来的14D .不变☞系数化整与变号【例5】 不改变分式的值，是下列分式的分子、分母均不含“-”号，且系数为整数.（1）23b a --- （2）2(2)x y - （3）11314a b - （4）0.60.70.20.3x y x y -+【巩固】不改变分式的值，是下列分式的分子、分母均不含“-”号，且系数为整数.（1）35m n -- （2）237(2)m n ---- （3）0.213m n （4）0.20.30.010.1a ba b +-模块三分式计算☞分式乘除运算【例6】计算：22222)x xy y x y xy xxy x-+--÷⋅（【巩固】计算：22225434668 a a a aa a a a+++-÷+--+.【巩固】计算：22 2222322442221()2a x a ax xa x x a a ax x⎛⎫-++⎛⎫÷⋅⎪ ⎪+--+⎝⎭⎝⎭☞分式加减运算【例7】（09，大兴二模，13题）化简：311(1)(2)xx x x----+，并指出x的取值范围.【巩固】计算：221144424x x x x x -+-+-+.【巩固】计算：222299369x x x x x x x +-++++.☞分式混合运算【例8】 （08朝阳二模，14题）化简：221111a a a a a a -÷----【巩固】（2010红河州）计算：22453262a a a a a --÷-+++.【巩固】已知：2x =，求22211(1)22x x x x x-÷++-+的值.【例9】 计算：22214)244x x x x x x x x+---÷--+（．【巩固】计算：44()()xy xyx y x y x y x y-++--+.【巩固】计算：(1)(1)n m n mm m n m m n+-÷---+.☞分式化简求值【例10】 （08，东城二模，14题）先化简，然后请你选择一个合适的x 值代入求值：24433x x xx x --÷++【巩固】先化简，再求值：22222()a ab b a b a ba b a b a b++-+-÷-+-，其中1,2a b =-=.【巩固】化简求值：3222222232a b a b a abab a ab b a b+--÷++-，其中1,1a b ==-.【例11】 （09，石景山二模，16题）已知2244(0)a b ab ab +=≠，求22225369a b a b b a b a ab b a b--÷-++++的值.【巩固】已知：11553,x xy yx y x xy y+--=---则的值为 .【巩固】已知x y 、是方程245x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解，求332232212x x y x xy y x x y xy x y -⋅+-+++-的值.【例12】 （08，顺义一模，13题）请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并将得到的分式化简，再求当4,2x y ==-时分式的值. 2222,,x y xy y y xy --+【巩固】（2010，河南）已知212,,242xA B C x x x ===--+，将它们组合成()A B C -÷或A B C -÷的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值.其中3x =【例13】 （2010，凉山州）已知：2441x x y -+-与互为相反数，则式子()()x yx y y x-÷+的值等于 .【巩固】（2010，襄樊）已知222[()()2()]41x y x y y x y y +--+-÷=，求224142x x y x y--+的值.【练习1】使分式121x x -+无意义的条件是 课堂检测【练习2】（2010，延庆一模，14题）计算：21211x x ---【练习3】（2010，黄冈）1,2ab a b =-+=，则式子b aa b+= .【练习4】计算：23211(1)(1)211x x x x x ++-÷+--+-【练习5】化简求值：2223352x xy x xy y -+-，其中21,32x y =-=.【练习6】（2010，东城二模，15题）已知：2220,()2x y xyx y y x x xy y -=-⋅-+求的值.1.通过本堂课你学会了 ．2.掌握的不太好的部分 ．3.老师点评：① ．② ． ③ ．1.（2010，淄博）下列运算正确的是（ ）.1a b A a b b a -=-- .m n m n B a b a b --=- 11.b b C a a a +-= 2221.a b D a b a b a b +-=---2.（09，平谷二模，15题）化简：22142a a a +--.3.（08中考，17题）已知30x y -=，求222()2x y x y x xy y +⋅--+的值。

八年级下期数学培优学案（5）----分式的概念与性质分式的概念当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点：⑴分式的分母中必然含有字母；⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．分式有意义的条件两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x≠时，分式有意义；当0x=时，分式无意义．分式的值为零分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a amb bm=，a a mb b m÷=÷(0m≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．一、分式的基本概念【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1 t ，(2)3xx+，2211x xx-+-，24xx+，52a，2m，21321xx x+--，3πx-，323a aa+【例2】代数式22221131321223x x x a b a b abm n xyx x y+--++++，，，，，，，中分式有（）A.1个B.1个C.1个D.1个二、分式有意义的条件【例3】求下列分式有意义的条件：⑴1x⑵33x+⑶2a ba b+--⑷21nm+⑸22x yx y++⑹2128x x--⑺293xx-+【例4】要使分式23xx-有意义，则x须满足的条件为．【例5】 ⑴x 为何值时，分式111x ++有意义？⑵要使分式241312a a a-++没有意义，求a 的值.【例6】 x 为何值时，分式122x++有意义？【例7】 x 为何值时，分式122x x+-+有意义？三、分式值为零的条件【例8】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴1x x + ⑵211x x -+ ⑶33x x -- ⑷237x x ++ ⑸2231x x x +--⑹2242x x x-+【巩固】当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴213x x -+ ⑵223(1)(2)x x x x --++ ⑶2656x x x --- ⑷221634x x x -+-⑸288x x +⑹2225(5)x x -- ⑺(8)(1)1x x x -+-四、分式的基本性质【例9】 填空：（1）()2ab ba = （2）()32x x xy x y =++（3）()2x y x xyxy ++= （4）()222x y x y x xy y +=--+【例10】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴x y x y +- ⑵xy x y- ⑶22x y x y -+【巩固】把下列分式中的字母x 和y 都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？（1）2x y x y ++ （2）22923x x y +【例11】 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数．⑴1.030.023.20.5x y x y+- ⑵32431532x yx y -+【巩固】不改变分式的值，把下列各式分子与分母的各项系数都化为整数。

八年级分式知识点总结ppt 分式是初中数学中的一大重点，它在高一乃至高二的学习中经常出现。

分式的概念、性质、化简方法，以及在各种题型中的运用都需要我们重点关注。

一、分式的基本概念1.分式的定义：分式就是分数形式，它是指两个整数之商的形式，其中分母不为零。

2.分式的结构：分式由分子、分母和分数线组成，如：$\frac{a}{b}$。

3.分式的值及其意义：分式的值是一个实数，其意义是表示将分子a等分成分母b份后的每一份的大小。

二、分式的性质1.分式的基本性质：①如果分子和分母同时乘以同一个非零数，那么这个分式的值不变。

②如果两个分式的分母相同，那么它们的和（差）的分子就是原来两个分式的分子的和（差），分数线不变。

③如果两个分式的分母互为相反数，那么它们的和为0。

④相邻两项交换、增减的分式必须化为相同的分母，然后才能运算。

2.分式的约分和通分①约分：将分子、分母同除以它们的最大公约数，使分式的值不变。

②通分：将两个（或多个）分式的分母相同，化成相等分式。

③通分的方法: ⑴因数分解法；⑵公因法；⑶通分的公式。

三、分式的化简1.基本方法（1）因式分解法（2）通分法（3）求幂法（4）约分法（5）借公式法（6）分子分母同时乘上或除去同一个量等。

2.注意事项（1）多项式除以单项式的分式，一般要把多项式按照单项式的因式进行分解后再约分。

（2）多项式分式的化简，要先分解因式，然后按照约分的原则进行化简。

四、分式方程1.基本概念：含有分式的方程叫做分式方程。

2.分式方程化简的步骤（1）分子分母同时乘以分母的最小公倍数。

（2）两侧约通分母。

（3）把含有变量的式子化为通分后的分式。

（4）把分式两侧同时乘以分母，得到一个整式方程。

（5）解出这个整式方程。

五、分式的应用1.分式数值的大小比较（1）同分母分式比较大小时，比较分子大小即可。

（2）异分母分式比较大小时，先通分，再比较分子大小即可。

2.分式在解题中的应用（1）求实际问题中两个或两个以上量之间的比值时。

分式知识点归纳与总结分式是初中数学中的重要内容之一，它与整式一起构成了代数式的基础。

为了帮助大家更好地理解和掌握分式的相关知识，下面将对分式的知识点进行详细的归纳与总结。

一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

需要注意的是，分式的分母不能为 0，因为除数不能为 0。

如果分母 B 的值为 0，那么分式 A/B 就没有意义。

例如，x/（x ＋ 1) 是一个分式，因为分母 x ＋ 1 中含有字母 x；而2/3 不是分式，因为分母 3 是一个常数，不含有字母。

二、分式有意义、无意义和值为 0 的条件1、分式有意义的条件：分母不为 0。

即当B ≠ 0 时，分式 A/B 有意义。

例如，对于分式 1/（x 2)，要使其有意义，必须满足x 2 ≠ 0，即 x ≠ 2。

2、分式无意义的条件：分母为 0。

即当 B ＝ 0 时，分式 A/B 无意义。

例如，对于分式 3/（x ＋ 3)，当 x ＋ 3 ＝ 0，即 x ＝－3 时，分式无意义。

3、分式值为 0 的条件：分子为 0 且分母不为 0。

即当 A ＝ 0 且B ≠ 0 时，分式 A/B 的值为 0。

例如，对于分式（x 1)／（x ＋ 2)，要使其值为 0，必须满足 x 1＝ 0 且 x ＋2 ≠ 0，解得 x ＝ 1。

三、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C，A/B ＝ A÷C/B÷C（C 为不等于 0 的整式）例如，对于分式2x/（3y)，将分子分母同时乘以2，得到4x/（6y)，分式的值不变。

这个性质是分式化简和计算的重要依据。

四、分式的约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。

约分的关键是确定分子和分母的公因式。

公因式的确定方法：系数取分子和分母系数的最大公因数，字母取分子和分母共有的字母，相同字母取最低次幂。

分式的概念和性质【要点梳理】要点一、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如aπ是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2 x y x是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有b ba a-=-，b ba a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b ba a a-==--.分式ab与ab-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.【典型例题】（基础）类型一、分式的概念1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ 2a ，3x ，1m m +，23x +，5π，2a a ，23-．类型二、分式有意义，分式值为02、下列各式中，m 取何值时，分式有意义？（1）2m m +；（2）1||2m -；（3）239m m --．举一反三：【变式1】当x 时，分式有意义．【变式2】当x 为何值时，下列各式的值为0．（1）2132x x +-；（2）221x x x +-；（3）224x x +-．类型三、分式的基本性质3、在括号里填上适当的整式：（1）= （2）=（3）= ．举一反三：【变式1】如果把分式y x x 232-中的y x ,都扩大3倍，那么分式的值（ ） A 扩大3倍 B 不变 C 缩小3倍 D 扩大2倍 【变式2】填写下列等式中未知的分子或分母．（1）22?x y x y x y +-=-； （2）()()?()()()b a c b a c a b b c a c--=----．4、 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“－”号．（1）2a b -；（2）45x y --；（3）3m n -；（4）23b c--．类型四、分式的约分5、 下列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有 个．【典型例题】（提高）类型一、分式的概念 1、指出下列各式中的整式与分式：1x ，1x y +，2a b +，x π，231x -，23-，232y -+，2x x ，24y ．类型二、分式有意义，分式值为02、 当x 取什么数时，下列分式有意义？当x 取什么数时，下列分式的值为零？（1）21x x +；（2）25x x -；（3）2105x x --．．举一反三：【变式1】若分式6522+--x x x 的值为0，则x 的值为___________________.【变式2】当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负数？类型三、分式的基本性质3、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数.(1)； (2)； (3) .举一反三：【变式】下列分式变形正确的是（ ） A ．22x x y y = B ．2222()()()()m n m n m n m n m n m n m n ---==++-- C ．211211x x x x -=-+- D ．2b ab a a =类型四、分式的约分4、下列约分正确的是（ ）A ．=x 3 B ． =0C ．= D ． = 类型五、分式条件求值 5、若2x y=-，求22222367x xy y x xy y ----的值．举一反三：【变式】若0＜x ＜1，且的值．【巩固练习】（基础）一.选择题1．下列式子是分式的是（ ）A. B. C. +y D.+1 2．若分式12x x -+的值为0，则x 的值是（ ） A ．-2 B ．0C ．1D ．1或-23.下列判断错误．．的是（ ） A ．当23x ≠时，分式231-+x x 有意义 B ．当a b ≠时，分式22ab a b-有意义 C ．当21-=x 时，分式214x x +值为0 D ．当x y ≠时，分式22x y y x--有意义 4．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ )A ．21x x+ B ．211x x -- C ．11x x -+ D ．211x x -+ 5．如果把分式yx y x ++2中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值（ ） A ．扩大10倍B ．缩小10倍C ．是原来的32 D ．不变 6．下列各式中，正确的是（ ）A ．a m a b m b+=+ B ．0a b a b +=+ C ．1111ab b ac c +-=-- D ．221x y x y x y -=-+ 二.填空题7．如果分式21x -有意义，那么x 的取值范围是______．8.若分式67x--的值为正数，则x 满足______． 9．（1）112()x x x --=- （2）.y x xy x 22353)(= 10．（1）22)(1y x y x -=+ （2）⋅-=--24)(21y y x11.分式2214a b 与36x ab c的最简公分母是_________. 12. 一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是 ，第n 个式子是（用含的n 式子表示，n 为正整数）．三.解答题13. 当x 取什么值时，分式．（1）没有意义？（2）有意义？（3）值为零？14．已知分式,y a y b-+当y ＝－3时无意义，当y ＝2时分式的值为0， 求当y ＝－7时分式的值．15．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．（1）22x x y-- （2）2b a a -- （3）2211x x x x---+ （4）2231m m m ---【巩固练习】（提高）一.选择题1．若分式6922---a a a 的值为0，则a 的值为（ ） A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．a ≠－22.把分式yx x -2中的x y 、都扩大m 倍（m ≠0），则分式的值（ ） A ．扩大m 倍B ．缩小m 倍C ．不变D ．不能确定 3．要使分式有意义，x 的取值范围为（ ）A.x ≠﹣5B.x ＞0C.x ≠﹣5且x ＞0D.x ≥0 4．若分式1212+-b b 的值是负数，则b 满足（ ） A ．b ＜0 B ．b ≥1 C ．b ＜1 D ．b ＞15．下面四个等式：;22;22;22y x y x y x y x y x y x +-=+---=----=+-③②① ⋅-+=--22y x y x ④其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．化简222()x y y x --的结果是（ ） A ．﹣1 B ．1C ．x y y x +-D ．x y x y +-二.填空题7. 如果分式15x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是______． 8. 若，则= ．9．当______时，分式||44x x --的值为零． 10．填空：)()1(=++-n m n m =-----b a n m m n 212)2(;)(⋅-ba 221 11．填入适当的代数式，使等式成立：22222()a ab b a b a b+-=⋅-+ 12. 分式22112m m m -+-约分的结果是______．三.解答题13. （1）当x=﹣1时，求分式的值．（2）已知a 2﹣4a+4与|b ﹣1|互为相反数，求的值．14. 已知112x y-=，求373232x xy y x xy y +---的值．15.（1）阅读下面解题过程：已知22,15x x =+求241x x +的值． 解：∵22,15x x =+()0x ≠ 12,15x x=+∴即152x x +=⋅ 2422221114115117()2()22x x x x x x ====⋅+++--∴ （2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目： 已知22,31x x x =-+求2421x x x ++的值．。

初三数学第一学期新课预习：分式的基本概念及基本性质一. 本周教学内容：预习：分式的基本概念及基本性质二. 重点、难点：重点：分式的概念及性质。

难点：分式与整式的区别。

【知识梳理】1. 分式的概念用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成AB的形式。

如果B中含有字母，式子AB就叫做分式。

其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，其中B≠0。

整式和分式统称有理式。

2. 分式的特殊值中，注意分母一定不能为零（1）分式AB的值为零，则A＝0，B≠0。

（2）分式AB的值为1，则A＝B≠0。

（3）分式AB的值为-1，则A B=-≠0。

3. 分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A BA MB M =⨯⨯A BA MB M=÷÷（其中M是不等于零的整式）学习分式的基本性质时应注意：（1）它是一个恒等式变形，可以互逆；（2）“都”与“同”两字很关键，应反复领会，细心感悟。

分式的基本性质的作用如下：（1）对分式的定义有合理的解释；（2）是分式符号法则的依据；（3）对分式进行约分、通分提供保证；（4）是化简繁分式的方法之一。

4. 分式的符号法则分式的分子、分母及分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

用式子表示为：b abababa bababa=--=--=---=-=-【典型例题】1. 有关分式的概念问题形如A B的式子叫做分式，其中A 和B 都是整式，B 必须含有字母，这个字母不能是常数，有时A B写成A B ·-1，它只是“整式”形式，本质还是分式。

例1. 下列各式中是分式的是（ ）A. x 2B. x y 221+-π C. 1213x y + D. xy z -23解：选项A 中分母为2，不是分式，是单项式；选项B 中分母是常数π-1，也不是分式；选项C 是多项式；选项D 中式子=xz y32是分式。

认识分式模块一 分式的基本概念知识点一：分式的定义一般地，如果 A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA就叫做分式． 其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母． 因此，分式必须同时满足两个条件：①被除式（分子）是整式（可含字母，也可不含字母）；②除式（分母）必须是含有字母的整式． 如，3a ，21+x 不是分式，而是整式；a 3，12+x ，xx 1-都是分式． 关键：分母中含有字母！例1-1、下列各式：()xx x x y x x x 2225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有（ ）个。

A ．2B ．3C ．4D ．5例1-2、下列各式不是分式的是（ ） A ．B ．C ．D ．练1-1、下列有理式中①，②，③，④中分式有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 练1-2、在式子、、、、、中，分式的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个模块二 分式的意义与值为0知识点二：与分式有关的条件——有无意义与值为0①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）例1-1、（有意义）代数式有意义，则实数x 应满足的条件是（ ）A ．x ＞2B ．x=2C ．x ＜2D ．x ≠2 例1-2、要使分式有意义，x 的取值应该满足（ ）A ．x ≠﹣1B ．x ≠2C ．x ≠﹣1或 x ≠2D ．x ≠﹣1且 x ≠2例1-3、要使分式112+-x x 有意义，则x 的值为（ ） A ．x ＞1 B ．x=1 C ．x ≠—1D ．x 为任意实数例1-4、当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）1110x +- （2132+x x练1-1、分式112--x x 有意义的条件是___________,练1-2、当x 为何值时，分式)4)(3(3-++x x x 有意义？练1-3、当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）421--x （2）42--a a （3）428x --例2-1、（无意义） 当x = 时,分式33--x x 无意义.例2-2、当x 为何值时，分式)4)(3(3-++x x x 有意义？无意义？例2-3、、当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）1110x +- （2132+x x练2-1、已知分式aa 212-.(1) a 为何值时,分式的值为零; (2) a 为何值时,分式没有意义;练2-2、当x 取什么值时，下列分式无意义？ （1）421--x （2）42--a a （3）428x --例3-1、（分式值为0）若分式82+-x x 的值为0,则x 的值为_______. 例3-2、若分式242+-x x 的值为0,则x 的值为_______.例3-3、若，则x 的值为（ ） A ．2 B ．1C ．1或2D ．0练1-1、若分式332+-x x 的值为0,则x 的值为_______. 练1-2、如果分式的值为零，那么x 等于（ ） A ．1B ．﹣1C ．0D ．±1练1-3、若分式的值为0．则x 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．0例4-1、（综合与拓展：命题判定）下列关于分式的判断，正确的是（ ） A ．当x=2时，的值为零 B ．无论x 为何值，的值总为正数C ．无论x 为何值，不可能得整数值 D ．当x ≠3时，有意义例4-2、（综合与拓展：为正为负）已知分式aa 212-.(1) a 为何值时,分式的值为正; (2) a 为何值时,分式的值为负.练4-1、下列判断错误的是（ ） A ．当a ≠0时，分式有意义 B ．当a=﹣3时，分式有意义C ．当时，分式的值为0D ．当a=1时，分式的值为1练4-2、求当x 为何值时，分式的值为正．模块三 分式的基本性质知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。