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一元二次方程的直接开方法课件

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一元二次方程的解法_直接开平方法_第1课时

一元二次方程的解法_直接开平方法_第1课时

知识回顾
什么叫做平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根。用式子表示：
若x2=a，则x叫做a的平方根。
记作x= a
即x= a 或x= 9的平方根是__±__3__

4
25
a
的平方根是___52___
尝试（利用平方根定义）
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
解（1）∵x是4的平方根 ∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为： x1=2，x2 =－2
（2）移项，得x2=2 ∵ x就是2的平方根
∴x= 2
2 2 即此一元二次方程的解为： x1=
，x2=
典型例题
例1解下列方程
（1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解（1）移项，得x2=1.21
∴x=±1.1
即 x1=1.1，x2=-1.1
则m、n必须满足的条件是（ B ）
A.n=0
B.m、n异号
C.n是m的整数倍 D.m、n同号
练一练
3、解下列方程： （1）（x-1）2 =4 （2）（x+2）2 =3 （3）（x-4）2-25=0 （4）（2x+3）2-5=0 （5）（2x-1）2 =（3-x）2
练一练
4一个球的表面积是100cm2， 求这个球的半径。 （球的表面积s=4R2，其中R是 球半径）
变成（x+h）2=k （k≥0）的形式；
解：（1）移项，得（x-1）2=4 ∴x-1=±2
即x1=3，x2=-1
例2解下列方程： 典型例题
（2） 12（3－2x）2－3 = 0
分析：第2小题先将－3移到方程的右边，再 两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后 两边都除以-2即可。
《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件9

《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件9

(3).横向写出两因式; (x+6)和(x-3)
例2把 x2 2x 15分解因式;
解: 原式 (x+3)(x-5)
x
3
x
-5
-5x+3x=-2x
例3把a2 7a 10分解因式;
解:原式= (a+5) (a+2)
a
5
a
2
5a+2a=7a
练习一选择题:
1. 分解a 2 a 12的结果为( B )
即x1 0，x2 1.
1.解下列方程： .
(2)x2 2 3x 0, 提公因式x(x 2 3) 0， 所以有x 0或x 2 3 0， 即x1 0，x2 2 3.
(3)3x2 6x 3, 移项，得：3x2 6x 3 0， 提公因式得：3(x2 2x 1) 0， 所以3(x 1)2 0， 有(x 1)2 0， 所以x1 x2 1.
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法:
x2=a (a≥0)或 （mx+n)2=a (a≥0)
(2)配方法: (x+h)2=k (k≥0)
(3)公式法: x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
我思 我进步
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
A. (a - 3)(a 4); B. a 3a 4; C. a 6a 2; D. a 6a 2;
2. 分解x 2 2x 8的结果为 ( A )
A. a 4a 2; B. a 4a 2; C. a 4a 2; D. a - 4a 2;
3. 若 多项项M分解的因式是(x - 2)(x - 3),则M是(C)
第2课 解一元二次方程(直接开方法)

第2课 解一元二次方程(直接开方法)


x1＝0.1, x2＝1.9
x＝－12±7
x1＝3，x2＝－4
10. 用直接开方法解一元二次方程：
(1)100(1－x)2＝144;
(2)(1－2x)2＝0.36.
(1－x)2＝1.44 1－x＝± 1.44 1－x＝±1.2 x＝1±1.2 x1＝2.2,±0.6
6. 用直接开方法解一元二次方程：
(1)2x2＝8; x2＝4
(2) 1 x2－27＝0. 3
x2＝81
x＝± 4
x＝± 81
x1＝2，x2＝－2
x1＝9，x2＝－9
知识点2：若(x＋b)2＝a(a≥0)，则x＋b＝± a .
7．(例3)用直接开方法解一元二次方程：
(1)(x－1)2＝2;
(2)2(x－3)2＝18.
(1＋x)2＝25 1＋x＝± 25 1＋x＝±5 x＝－1±5 x1＝4，x2＝－6
9. (例4)用直接开方法解一元二次方程：
(1)100(1－x)2＝81;
(2)(2x＋1)2－49＝0.
(1－x)2＝0.81 1－x＝± 0.81 1－x＝±0.9 x＝1±0.9
(2x＋1)2＝49 2x＋1＝± 49 2x＋1＝±7 2x＝－1±7
(C )
13.解方程： (1)x2－1＝0;
x1＝1，x2＝－1
(2)32x2＝6. x1＝2，x2＝－2
14.解方程：
(1)x2＝13；
x1＝
33，x2＝－
3 3
(2)9x2－5＝3.
x1＝2 3 2，x2＝－2 3 2
第2关 15．解方程：3(x－1)2－6＝0.
x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2
解，则 m＝__－__2____.
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件

人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件

2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
21.2 一元二次方程的解法——直接开平方法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

21.2 一元二次方程的解法——直接开平方法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册


2
(2) x －18＝0．

2
解： x －18＝0

2
x ＝18

x2＝36
∴x1＝6，x2＝－6
10．解方程：
(1)(2－x)2＝8；
解：(2－x)2＝8
2－x＝±2
∴x1＝2－2 ，x2＝2＋2
(2)3(x－1)2－6＝0．
解：3(x－1)2－6＝0
3(x－1)2＝6
(x－1)2＝2
小结：通过移项、系数化为1，化为x2=p（p≥0）的形式求
解.
6．解方程：
(1)(x－2)2＝4；
(2)(x＋6)2－9＝0．
解：(x－2)2＝4
解：(x＋6)2－9＝0
x－2＝±2
(x＋6)2＝9
∴x1＝4，x2＝0
x＋6＝±3
∴x1＝－3，x2＝－9．
小结：将方程化为（x+n）2=p（p≥0）的形式，直接开平方.
7．解方程：
(1)(2x－3)2－9＝0；
(2)(2x－1)2＝(x－3)2．
解：(2x－3)2－9＝0
解：(2x－1)2＝(x－3)2
2x－1＝±(x－3)

∴x1＝－2，x2＝ ．
(2x－3)2＝9
2x－3＝±3

∴x1＝3，x2＝0．
小结：（1）中化为（mx+n） 2=p（p≥0）的形式；（2）中
(3)(x－1)2－25＝0．
解： (x－1)2－25＝0
(x－1)2＝25
x－1＝±5
∴x1＝－4， x2 ＝6
(2)(x－2)2＝3；
解：(x－2)2＝3
x－2＝±
∴x1＝2＋ ，x2＝2－
人教版九年级上册数学《配方法》一元二次方程PPT教学课件

人教版九年级上册数学《配方法》一元二次方程PPT教学课件


将常数项移到右边，含未 2 2 －3=－1
知数的项移到左边
一移
移项
二化
二次项系数 左、右两边同时除以二次 2 － =
化为1
项系数
三配
配方
左、右两边同时加上一次
项系数一半的平方
利用平方根的意义直接开
平方
四开
开平方
五解
解两个一元 移项，合并
一次方程
2
3 1
即 x
4 16
★ 用配方法解方程
探究交流
怎样解方程x2+6x+4=0？
1.把方程变成（x+n)2=
x2+6x+4=0
移项
二次项系数为1的完全平方式：
x2+6x=-4
常数项等于一次项系数一半的平方.
两边都加上9
x2+6x+9=-4+9
配方
(x+3)2=5
2.用直接开平方法解方程(x+3)2=5
(x+3)2=5
开方
x x
1
2
例1 利用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=25；
（1） x2=25，
解：
直接开平方，得 x 5,
x1 5 ，x2 5.
(2) x2－900=0.
（2）移项，得 x2=900.
直接开平方，得 x=±30，
∴x1=30, x2=－30.
★ 用直接开平方法解方程
对照例1中解方程的方法，你认为怎样解方程（x+2）2=25？
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
5.如图，在R
人教版初中数学九年级上册教学课件 第二十一章 一元二次方程 解一元二次方程 教学课件 公式法

人教版初中数学九年级上册教学课件 第二十一章 一元二次方程 解一元二次方程 教学课件 公式法


解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1,
b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9.
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac ＞0，即8m+9＞0 ∴m＞ 9 .
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0
∴m=
9 8
.
8
（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0, ∴m＜ 9 .
（1）当b2-4ac＞0 时，有两个不等的实数根：
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac ; 2a
（2）当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根： x1
x2
b ; 2a
（3）当b2-4ac<0时，没有实数根.
一般的，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通 常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b2-4ac.
x 6 60 . 23
x1
3 3
15
,
x2
3-
15 3
.
探究新知
知识点 2 一元二次方程的根的情况
用公式法解下列方程： （1） x2＋x－1 = 0
（2）x2－2 3 x＋3 = 0
（3） 2x2－2x＋1 = 0 观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根 的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数 项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情 况呢？
探究新知
【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ ⑴ x2＋2x－8 = 0 ⑵ x2 = 4x－4 ⑶ x2－3x = －3
答案：（1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根.
一元二次方程的解法ppt课件

一元二次方程的解法ppt课件

的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=

，x
2=1

观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
解一元二次方程ppt课件

解一元二次方程ppt课件


21.2 解一元二次方程
重
难 ■题型二 利用根的判别式判断三角形的形状
题 型
例 2 已知△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且关于 x
突 的一元二次方程 b（x2-1）-2ax+c（x2+1）=0 有两个相等的实数根．判断
破 △ABC 的形状.
［解析］ 根据已知条件得出 Δ=0，将等式变形，利用勾股定理的逆定理
B． 只有一个实数根
读
C． 有两个不相等的实数根
D． 没有实数根
［解题思路］
原方程
x（x-2）=1
化为一般形式
x2-2x-1=0
确定 a，b，c 的值
a=1，b=-2，c=-1
代入判别式 Δ
b2-4ac=8＞0
判断根的情况
［答案］ C
有两个不相等的实数根
方法点拨 应用根的判别式时要准确确定 a，b，c 的值，代入时要注意不 要丢掉各项系数的符号.
清 单
（1）x2-4x-3=0； （2）2x2-6x=1； （3）（t+3）（t-1）=12．
解
［解题思路］ 按照下面的顺序进行求解.
读
［答案］ 解：（1）移项，得 x2-4x=3，配方，得 x2-4x+4=3+4，即（x-
2）2=7，开方，得 x-2=±
，所以 x1=2+
，x2=2-
；
（2）二次项系数化为 1，得 x2-3x= ，配方，得 x2-3x+
21.2 解一元二次方程
考
点
21.2.1 配 方 法
清
单 ■考点一 直接开平方法
解
读
原理 根据平方根的意义进行“降次”，转化为一元一次方程求解
(上)用直接开平方法解一元二次方程(最新)人教版九年级数学全一册课件(21张)-公开课

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14．用直接开平方法解下列方程： (1)8x2＝2； (2)(3x＋1)2－9＝0； (3)100(1－x)2＝64； (4)3(2x＋3)2－75＝0； (5)x2－4x＋4＝3； (6)3x2＋7＝1.
【名师示范课】上册 21.2.1 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程-2020 秋人教 版九年 级数学 全一册 课件(共 21张PP T)-公 开课课 件（推 荐）
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5．如果 x＝－3 是一元二次方程 ax2＝c 的一个根，那么该方程的另一个根是( A )
A．3
B．－3
C．0
D．1
6．解关于 x 的方程(x＋m)2＝n，正确的结论是( B ) A．有两个根 x＝± n－m B．当 n≥0 时，有两个根 x＝± n－m C．当 n≥0 时，有两个根 x＝± n－m D．当 n≤0 时，无实数根
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(精编课件)直接开平方法解一元二次方程PPT.ppt

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学以致用
1.判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解 并说明理由.
1） x2=2 2） p2 - 49=0 3） 6 x2=3
( √) (√ ) (√ )
4）(5x+9）2+x=0
(× )
5 ) 121-(y+3) 2 =0
(√ )
Excellent courseware
x1 2, x2 2 x 2 x1 2, x2 2
x 2 x1 2, x2 2
概括：一元二次方程ax2+b=0可以转化为x2=a的形 式，然后用直接开平方法解方程。
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探究（三）：如何解方程：（ax+b）2=c?
举一反三：如何解下列方程？ （1）（x-3)2-4=0 （2）3(2x+1)2=12 （3）x2+4x+4=1
2、解下列方程：
（1）x2-9=0
(2)6t2-40=0
(3)16x2+45=0
(4)(2x-3)2=5
(5)(x-5)2+36=0
(6)(6x-1)2 -25(x+1)2=0
注意：解方程时， “左平方，右常数”，
应先把方程变形 常数为负，方程无解；
为：
或“左平方，右平方”。
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（2）（2x+3)2 -5=0 （4）（x-3)2=(3x-2)2
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若一元二次方程方 程有两根,则分别
记为χ1,χ2
探究新知:
探究（一）：如何解方程： x2=a ？

解一元二次方程PPT课件


2、 6t2 -5 =13t
例4
解方程：
x 3 2 3x
2
2
解： 原方程化为：x 2 2 3x 3 0
a 1, b 2 3, c 3
2
x1 x2 0
结论：当 相等的实数根.
2 3 0 2 3 x 3 2 1 2
b 2 4ac 0
2


上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
当 b 4ac >0 时，方程有两个不同的根 2 当 b 4ac =0 时，方程有两个相同的根 当 b 2 4ac <0 时，方程无实数根
2
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
解：移项，得 x2+4x-2=0
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 . b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 . 4 24 4 2 6 x= = 2 1 = 2. 即 x1 = 2 6 , x2 = 2 6 .
练习:
用公式法解下列方程：
1、x2 +2x =5
2
2
即
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
4ac b (1) b 4ac 0, 这时 0 4a
即
此时，方程有两个不等的实数根
b b2 4ac x 2a 2a
完全平方公式？
配方法
我们通过配成完全平方式 （x n） a(a 0) ， 然后直接开平方，得到了一元二次方程的根,这种解 一元二次方程的方法称为配方法

(完整版)直接开方法解一元二次方程

直接开方法解一 元二次方程（2）
直接开方法解一元二次方程开方法的依据
2、会熟炼运用直接开方法解 x2 b b 0或
的方程。
x a2 b b 0;
平方根
1.如果 x2=a（a≥0）则 x 就叫做 a 的
。
2.如果 x2=a（a≥0）则 x = ± ������ 。
(1). χ2=4 (2). χ2－1=0
对于方程(1),可以这样想:
∵ x2=4 根据平方根的定义可知:x是4的( 平方根).
∴ x= 4
即: x=±2 这时,我们常用x1、x2来表示未知数为x的一元二次方程的 两个根。
∴ 方程 x2=4的两个根为 x1=2，x2=－2.
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。
3.如果 x2=64 则 x = ±8 。
方法 小结
1．直接开平方法的依据是什么？（平方根）
2.用直接开平方法可解下列类型的一元二次
方程： x2 b b 0或 x a2 b b 0;
3.根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没 有平方根，所以，当b<0时，原方程无解。
（1）（χ+1）2－4=0 （2） 12（2－χ）2－9=0
分析： 我们可以先把（χ+1）看作一个整体，原方程便可
以变形为：（χ+1）2= 4
现在再运用直接开平方的方法可求得χ的值。
解： (1) 移项，得（χ+1）2=4
∴ χ+1=±2
∴ χ1=1，χ2=－3.
例题讲解
1解方程(2x－1)2=(x－2)2
1、解下列方程： （1）（x-1）2 =4 （2）3（x+2）2 =3 （3）5（x-4）2-25=0 （（45））（（12 22xx+-13））22-=5（=03-x）2
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例2 解下列方程
（1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0.
练习：解下列方程：
（1）（x＋2）2－16＝0；（2）(x－1)2－18＝0；
（3）(1－3x)2＝1；
（4）(2x＋3)2－25＝0
探 索
解下列方程 （1） (2x+1)2=(x-1)2 （2） (2x+3)2=(4-2x)2 （3） 4x2+4x-48=0
【学习过程】
一、复习练习ห้องสมุดไป่ตู้
1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及其系数。
（1）5 4x x2（2） 5 3x 2 （3）y2 y 12 y 2y 2
2、平方根的意义。
（1）文字语言表示：如果一个数的平方等于a，这个
数叫a的平方根。
（2）用式子表示：若 x 2 =a，则x叫做a的平方根。一
这种方法叫做直接开平方法.
（2）也可以这样解吗？
三、例题讲解与练习巩固
例1 （1）x2－2＝0;
解：（1）移项，得
x2＝2.
直接开平方，得
x 2
所以原方程的解是 x1 － 2 ，x2 2
（2）16x2－25＝0.
此题请大家 思考一下！
练习： 1.解下列方程：
（1）x2＝169； （2）45－x2＝0； （3）12y2－25＝0；（4）4x2+16＝0
能 已知a、b是实数，且 2a 6 b 2 0 ， 请探索关于x的方程(a+2)x2+b2=a-1的解
力
【本课小结】
1、用直接开平方法解一元二次方程的根据是平方根 的定义。要特别注意，由于负数没有平方根，所以 括号中规定了范围，否则方程无实数解。 2、注意结合实际，正确运用直接开方，解一元二次 方程。
个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零
的平方根是零；负数没有平方根。
（3）4 的平方根是
，81的平方根
，
100的算术平方根是
。
二、试一试
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
（1）x2＝4；
（2）x2－1＝0;
对于第（1）个方程，有这样的解法：方程 x2＝4， 意味着x是4的平方根，所以 x 4 即 x=±2.
第22章 一元二次方程 §22.2 一元二次方程的解法
第一课时 直接开方法
【学习目标】
1、会用直接开平方法解一元二次方程方程； 2、了解转化的思想在解方程中的应用。 3、经历探索解一元二次方程的过程。
【重点难点】
重点：掌握直接开平方法解一元二次方程，渗透转 化思想。
难点：是怎样的一元二次方程适用于直接开平方法， 并理解一元二次方程有两个实数根，也可能无实数 根。合理选择直接开平方法较熟练地解一元二次方 程，理解一元二次方程无实根的解题过程。