2020-2021学年山东省寿光现代中学高二11月月考数学试题(解析版)

2020届山东省寿光现代中学高三10月月考数学试题一、单选题1．复数311i i++的虚部是（ ）A ．﹣iB ．﹣1C ．iD ．1【答案】B【解析】根据复数的除法法则可知分子分母同乘以分母的共轭复数1i -，然后化简成复数的标准形式，即可求得复数的虚部． 【详解】解：31(1)(1)21(1)(1)2i i i ii i i i +---===-++- ∴复数311i i++的虚部是1-故选：B ． 【点睛】本题主要考查了复数的概念，以及复数代数形式的乘除运算，同时考查了计算能力，属于基础题．2．设集合A ＝{x|24x ＋234y ＝1}，B ＝{y|y ＝x 2}，则A∩B ＝( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[0，＋∞)D ．{(－1,1)，(1,1)}【答案】B【解析】由题意可得，A ＝{x|－2≤x≤2}，B ＝{y|y≥0}，则A∩B ＝[0,2]．3． 潍坊模拟)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，则ξ在(0,1)内取值的概率为 ( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.4 D ．0.8 【答案】C【解析】因为μ＝1，所以P (0<ξ<2)＝0.8＝2P (0<ξ<1)，故P (0<ξ<1)＝0.4． 故选C.点睛：本题主要考查正态分布知识的理解和运用.题目所给X 是服从正态分布，正态分布一般记为()2,N μσ，μ为正态分布的均值，σ是正态分布是标准差，解题时，主要利用的正态分布的对称性，均值就是对称轴，标准差需要记忆的就是3σ原理. 4．已知两条直线a ，b 与两个平面α，β，b ⊥α，则下列命题中正确的是( )．①若a ∥α，则a ⊥b ；②若a ⊥b ，则a ∥α；③若b ⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b ∥β. A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③【答案】A【解析】过直线a 作平面γ使α∩γ＝c ，则a ∥c ，再根据b ⊥α可得b ⊥c ，从而b ⊥a ，命题①是真命题；下面考虑命题③，由b ⊥α，b ⊥β，可得α∥β，命题③为真命题．故正确选项为A.5．在ABC ∆中，cos 2C =，则AB=A ．BCD ．【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-所以22232cos 125215()325c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴= A. 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 6．已知:|10||9|p x x a -+-…的解集为R ，1:1q a<，则p ⌝是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】p ⌝成立等价1a >，q 成立等价于0a <或1a >，故由p ⌝成立能推出q 成立，但由q 成立不能推出p 成立，由充要条件的定义可得． 【详解】解：|10||9|x x -+-表示数轴上的点x 到9和10的距离之和，故其最小值为1，又|10||9|x x a -+-…的解集为R等价于1a „，故p 成立等价于1a „，即p ⌝成立等价于1a >．q ：11a <等价于110a-<，即10a a ->，解得0a <或1a >．故由p ⌝能推出q ，但由q 不能推出p ⌝，故p ⌝是q 的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】本题考查绝对值的几何意义，分式不等式的解法，充分条件、必要条件的定义，属于基础题．7．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B 班各抽取20名同学参加环保知识测试，统计得到成绩与专业的列联表：（）附：参考公式及数据：（1）统计量：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，（n a b c d=+++）.（2）独立性检验的临界值表：则下列说法正确的是A．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关【答案】A【解析】分析：首先计算观测值k0的值，然后给出结论即可.详解：由列联表计算观测值：()2401413672804.912 3.8412119202057k⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，则有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关.本题选择A选项.点睛：本题主要考查独立性检验及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．函数()()()220410lnx x x x f x x x ⎧-+⎪=⎨+≤⎪⎩＞的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】题目中条件：“函数22(0)()41(0)lnx x x x f x x x ⎧-+>=⎨+⎩„的零点个数”转化为方程22lnx x x =-的根的个数问题及一次函数410x +=的根的个数问题，分别画出方程22lnx x x =-左右两式表示的函数图象即得．【详解】解：Q 对于函数2()2f x lnx x x =-+的零点个数∴转化为方程22lnx x x =-的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数：如图．由图象可得两个函数有两个交点． 又一次函数410x +=的根的个数是：1．故函数22(0)()41(0)lnx x x x f x x x ⎧-+>=⎨+⎩„的零点个数为3故选：D ．【点睛】函数的图象直观地显示了函数的性质．在判断方程是否有解、解的个数及一次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．体现了数形结合的数学思想，属于基础题． 9．已知函数ln 1()xf x ex x=--，则函数(1)y f x =+的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】当11,();01,().x f x x f x x x>=<≤=函数(1)y f x =+的图象就是把函数ln 1()xf x ex x=--的图象向左平移1个单位．A 正确 10．已知矩形ABCD 的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC 把△ACD 折起，则三棱锥D ﹣ABC 的外接球的表面积等于（ ） A ．4π B ．8πC ．16πD ．24π【答案】C【解析】设矩形ABCD 的边长分别为x 、y ，则8xy =，矩形周长最小时，22x y ==，由此能求出外接球表面积． 【详解】解：设矩形ABCD 的边长分别为x 、y ，则8xy =， 所以矩形周长()2C x y =+，0,0x y >>Q ，()2482C x y xy ∴=+≥=，当且仅当22x y ==时取等号，∴矩形周长最小时，22x y ==，2(2)284AC x ∴==⨯=，4222AC DE ∴===，因为2DE EB AE CE ====∴外接球的半径2R DE ==，外接球表面积2244216R πππ==⨯=．故选：C ． 【点睛】本题考查多面体的外接球的表面积的求法，基本不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，属于中档题．11．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===o若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u v u u u v的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A 【解析】【详解】分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD V 为等边三角形，把数量积AE BE ⋅u u u v u u u v分拆，设(01)DE tDC t =≤≤u u u v u u u v，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。

山东省潍坊市寿光现代中学2020-2021学年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知条件，条件，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略2. 已知数列和对任意的都有，当时，数列和的极限分别是和，则………………………………………………………………………（）(A) (B)(C) (D) 和的大小关系不确定参考答案：B3. 在等差数列中，（）A. 18B. 12C. 14D. 16参考答案：A考点：等差数列通项公式【方法点睛】(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．4. 已知S n表示等差数列{a n}的前n项和，且=，那么=( )A．B．C．D．参考答案：B【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据等差数列的性质若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a m+a n=a p+a q，再结合等差数列的通项公式可得a1=3d，利用基本量表示出所求进而可得答案．【解答】解：由题意得=，因为在等差数列{a n}中，若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a m+a n=a p+a q．所以，即a1=3d．那么==．故选B．【点评】解决此类问题的关键熟练掌握等差数列的性质与等差数列的通项公式，并且加以正确的运算．5. 某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（）A．9 B．18 C．27 D．36参考答案：B【考点】分层抽样方法．【分析】根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果．【解答】解：设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得该单位老年职工共有90人，∵在抽取的样本中有青年职工32人，∴每个个体被抽到的概率是=，用分层抽样的比例应抽取×90=18人．故选B．6. 已知不等式| x–a| + | x– 3 | < 1的解集是空集，则实数a的取值范围是（）（A）( 0，1 ) （B）( 1，+ ∞ )（C）( –∞，2 ] （D）( –∞，2 ]∪[ 4，+ ∞ )参考答案：D7. 已知抛物线上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而利用点A的纵坐标求得点A到准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案．【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为y=﹣1，∴点A到准线的距离为4+1=5，根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，∴点A与抛物线焦点的距离为5，故选：D．8. 设双曲的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为A. B. C. D.参考答案：D试题分析：设该双曲线方程为得点B（0，b），焦点为F（c，0），直线FB的斜率为由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a、b、c的等式，变形整理为关于离心率e 的方程，解之即可得到该双曲线的离心率；设该双曲线方程为可得它的渐近线方程为，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点，∴直线FB的斜率为，∵直线FB与直线互相垂直，∵双曲线的离心率e＞1，∴e=,故选：D考点：双曲线的简单性质9. 已知，若向区域内随机投一点，则点落在区域内的概率为()A. B. C. D.参考答案：D10. 已知向量＝(1,x,－2)＝(2,1,x)且⊥，则x的值为____A、－1B、0C、1D、2参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 球的半径扩大为原来的倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.参考答案：解析：12. 已知点P 是椭圆上的一点，Q,R 分别为圆和圆上的点，则的最小值是参考答案：913. 设椭圆与双曲线有公共焦点为，P 是两条曲线的一个公共点，则的值等于 ．参考答案：14. 抛物线上一点M(1,m) (m>0)到其焦点的距离为5,双曲线的左顶点为A.若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行,则实数等于 . 参考答案：由题意可知：抛物线的准线方程为，则点，双曲线的左顶点为，所以直线的斜率为，由题意可知：.15. 已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+ y2 = 16相切，则p 的值为____________.参考答案：2 略16. 己知A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），则平面ABC 的一个单位法向量是________．参考答案：【考点】平面的法向量【解答】解： =（﹣1，1，0）， =（﹣1，0，1）， 设平面ABC 的一个法向量为 =（x ，y ，z ），则 ，即 ，取 =（1，1，1）．则平面ABC 的一个单位法向量= = ．故答案为： ．【分析】设平面ABC 的一个法向量为 =（x ，y ，z ），可得 ，即可得出平面ABC 的一个单位法向量= ．17. 在数列中，=1，，则的值为____________参考答案： 101略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

山东省潍坊市寿光现代中学2020年高二数学月考试卷2020、9命题人：马良杰本试卷分两部分第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共150分，120分钟。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。

）1．在等差数列an中，a12,a514，则其前5项的和为（）A．40B．44C．45D．482cos10°－sin20°的值是()2．sin70°13A．2B．2C．3D．2sinxcosx3．f(x)＝1＋sinx＋cosx的值域为()A．(―3―1,―1)∪(―1,－2－1,―1)∪(―1,2－1 3―1)B．[2]2－3－13－1D －2－12－1C．(2,2)．[2,2]π4等于()4．已知x∈(－,0)，cosx＝，则tan2x25772424A．24B．－24C．7D．－75．一个只有有限项的等差数列，它的前5项和为34，最后5项的和为146，全部项的和为234，则它的第七项等于()A．22B．21C．19D．18παα5π6．已知0＜α＜2，tan2＋cos2＝2，则sin(α－3)的值为()A．4＋33B．4－33C．33－4D．－4＋33 101010107．已知A(6,1)，B(0,-7)，C(-2,-3)，则△ABC的形状为（）A．锐角三角B．直角三角形C钝角三角形D．等腰三角形8．已知等差数列a n的公差d1，且a1a2a3++a98=137，那么a2a4a6++a98的值等于（）A．97B．95C．93D．919．在△ABC中，若已知a=18，b=22，A=35°，求B时，解的个数是（）A．无解B．一解C．两解D．无数解4m－610．等式sinα＋3cosα＝4－m存心义，则m的取值范围是()7777 A．(－1,)B．[－1,]C．[－1,]D．[―,―1] 333311．等差数列｛a n｝中，a10＜0，a11＞0，且a11＞∣a10∣，S o为数列的前n项和，则使S n＞0的n的最小值为（）12锐角三角形ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C的对边，设B=2A，则b的取值范围a是（）A.（-2，2）B.（0，2）C.（2，2）D.（2，3）二、填空题：（本大题共4小题，每题4分，共16分。

高二数学质量检测试题一、选择题．本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有 一个选项是符合题意的，把正确选项的代号涂在答题卡上．1. 在等比数列{a n }中，公比q 1,则数列{a n }为（ ）A .递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.不能确定单调性2．已知na 是等比数列，16,252==a a ，则公比q 等于A ．2B ．2-C ．21 D ．21-3．在ABC ∆中,c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，且,222bc c b a ++=则A ∠等于 A ．30° B ．45°C ．60°D ．120°4 在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是（ ）A ．钝角三角形.B ．直角三角形.C ．锐角三角形.D ．不能确定.5. 等差数列}a {n 中，已知前15项的和90S 15=，则8a 等于（ ）．A ．245B ．12C ．445 D ．66. 已知数列{a n }满足a 1＝1且a n ＋1a n＝n ＋1n ，则a 2 012＝( )A ．2 010B ．2 011C ．2 012D ．2 0137、设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．－11B ．－8C ．5D ．118.已知等差数列}{n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于( ) A 4- B 6- C 8- D 10-9.如果一个等差数列中，前三项和为34，后三项和为146，所有项的和为390，则数列的项数是：A 13B 12C 11D 1010.等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若=，则=（ ） A ．B ．C ．D ．11设等比数列｛a n ｝中,每项均为正数,且a 3·a 8=81,log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于A.5B.10C.20D.4012 在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝ ( )． A ．7 B ．8C ．9D ．10二、填空：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上. 13 ．在数列}{n a 中，==-=+n n n a a a a ，则1,1311_________14. 在△ABC 中,若3a =,3b =,3A π∠=,则C ∠的大小为___________.15.在数列{n a }中，已知其前n 项和32+=nn s ,则通项公式为__________ 16.等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，给出下列四个命题：①数列}21{na ）（为等比数列；②若a 2＋a 12＝2，则S 13＝13； ③前n 项和为可以表示为S n ＝na n －nn －12d ；④若d >0，则S n 一定有最大值．其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17本小题满分12分在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =． （Ⅰ）求sinC 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．18本小题满分12分已知递增等比数列{a n }的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项 分别减去1,3,9后成等差数列．(1)求{a n }的首项和公比；(2)设S n ＝a 12＋a 22＋…＋a n 2，求S n .19.本小题满分12分已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝35，a 5和a 7的等差中项为13.(1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝4a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .20.本小题满分12分在ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.(Ⅰ)求cos B 的值;(Ⅱ)边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值.21.本小题满分12分.三角形ABC 中，AB=34 , AC=32 ,AD 是BC 上的中线，角BAD= 030, 求 BC 的长22.本小题满分14分已知数列{}n a 满足：()2,1221≥∈-+=+-n N n a a n n n 且654=a . （1)求数列{}n a 的前三项；（2）是否存在一个实数λ，使数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a 2λ为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，求数列{}n a 的前n 项和n S .高二数学质量检测参考答案1．D 2 A 3 D 4A 5 D 6 C 7A 8B 9 A 10 B 11C 12 C13 213.211+=-n n a 14答案】2π 15[答案] ⎩⎨⎧≥==-22151n n a n n16解析 答案 ①②③17 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，A B C π++=，由5cos 13A =-，2A ππ<<，得12sin 13A =，…………2分 由3cos 5B =，02B π<<，得4sin 5B =． …………4分所以16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=．……6分（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⨯===．…………9分 所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=．……12分18[解析] (1)由a 3·a 5·a 7＝a 53＝512，∴a 5＝8.设公比为q ，则a 3＝8q 2，a 7＝8q 2， 由题设(8q 2－1)＋(8q 2－9)＝10 解得q 2＝2或12.∵{a n }是递增数列，∴q 2＝2，∴q ＝ 2. ∵a 5＝a 1q 4＝4a 1＝8，∴a 1＝2. (2)a n 2＝[2×(2)n －1]2＝2n ＋1 ， ∴S n ＝42n －12－1＝2n ＋2－4.19解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 因为S 5＝5a 3＝35，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋nn －12×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1， 所以b n ＝4a 2n －1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.20(1)由已知12=+,++=,=,cos =32B AC A B C B B ππ∴ (2)解法一:2=b ac ,由正弦定理得23sin sin =sin =4A C B解法二:2=b ac ,222221+-+-=cos ==222a c b a c acB ac ac,由此得22+-=,a c ac ac 得=a c所以===3A B C π,3sin sin =4A C 21 略课本第十页 22.解：（1）3,9,25123===a a a（2）1221-+=-n n n a an n n n n a a 2112211-+=∴--，1212111+-=-∴--n n n n a a 1-=∴λ时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a 2λ成等差数列(3) n n a nn =-+-=-)1(2132112+⋅=∴n n n an n S n n +⋅++⋅+⋅+⋅=∴223222132令 n n n T 223222132⋅++⋅+⋅+⋅= 则13222)1(22212+⋅+-++⋅+⋅=n n n n n T13222222+⋅-++++=-∴n n n n T 11222n n n ++=--⋅1(1)22n n +=--22)1(1+-=∴+n n n T 22)1(1++-=+n n S n n。

2023-2024学年山东省潍坊市高二上册11月综合二数学模拟试题一、单选题1．若向量()4,2,1a =- 与向量()2,,b x y = 共线，则x y -=（）A ．32-B ．12-C ．12D ．1【正确答案】B 根据向量共线直接求解.【详解】因为向量()4,2,1a =- 与向量()2,,b x y =共线，所以2421x y ==-，解得11,2x y =-=-，所以12x y -=-，故选：B2．已知过点(),2A a ，()1,4B -的直线的斜率为-1，则=a （）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【正确答案】C根据题意，由直线的斜率公式可得4211AB k a-==---，求解即可.【详解】过点(),2A a ，()1,4B -的直线的斜率为1-,4211AB k a-==---,解得1a =，故选：C3．圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是（）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切【正确答案】B【分析】利用几何法直接判断圆与圆的位置关系.【详解】圆221:9C x y +=的圆心为()10,0C ，半径13r =；圆222:8690C x y x y +-++=化为()()224316x y -++=，圆心为()24,3C -，半径24r =，圆心距125C C ==.因为121212r r C C r r -<<+，所以两圆相交，故选：B ．4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈610=立方寸），一斛粟米卖324钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子（）A ．200两B ．400两C ．432两D ．480两【正确答案】D 计算底面半径为12223r ==⨯，2132143V =⨯⨯⨯=，换算单位得到答案.【详解】底面半径为12223r ==⨯，2132143V =⨯⨯⨯=立方丈6410=⨯立方寸4000027=斛，故40000324100048027⨯÷=两.故选：D5．已知直线()110a a x y -+-=与直线310x ay ++=垂直，则实数=a （）A ．12B ．0或12C ．0或23D ．23【正确答案】C由题意利用两条直线垂直的性质，求出a 的值.【详解】因为直线()110a a x y -+-=与直线310x ay ++=垂直，所以3(1)0,a a a -+=解得0a =或23a =.故选：C6．过点()0,0A 、()2,2B 且圆心在直线24y x =-上的圆的标准方程为（）A ．()2224x y -+=B ．()2224x y ++=C ．()()22448x y -+-=D ．()()22448x y ++-=【正确答案】A设圆心的坐标为(),24a a -，根据圆心到点A 、B 的距离相等可得出关于实数a 的等式，求出a 的值，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出所求圆的标准方程.【详解】设圆心为(),24C a a -，由AC BC ==整理可得20a -=，解得2a =，所以圆心()2,0C ，所求圆的半径为2AC =，因此，所求圆的标准方程为()2224x y -+=.故选：A.方法点睛：求圆的方程常见的思路与方法如下：（1）求圆的轨迹方程，直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于x 、y 的方程即可；（2）根据几何意义直接求出圆心坐标和半径，即可写出圆的标准方程；（3）待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般方程，再根据所给条件求出参数即可.7．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A D ，1D D 的中点；则异面直线EF 与BD 所成的角为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【正确答案】C以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线EF 与BD 所成的角.【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则11(,0,1),(0,0,),(1,1,0),(0,0,0)22E F B D ，11(,0,),(1,1,0)22EF BD =--=--设异面直线EF 与BD 所成的角为θ，则1||12cos 2||||122EF BD EF BD θ⋅==⋅⋅ ，=60θ∴︒∴异面直线EF 与BD 所成的角为60°故选：C8．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠=︒，E 是AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻折至1A DE △的位置，使得面1A ED ⊥面BCDE ，则点1A 到直线DB的距离为A ．2BCD 【正确答案】A证明1A E ⊥平面BCDE ，得1A E BE ⊥，求得1A B =在等腰三角形1BA D 中，由等面积法求点1A 到直线DB 的距离．【详解】如图，E 是AB 的中点，1112EB EA EA AB ∴====，在菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠=︒，得ABD △、BCD △是等边三角形，2BD CD AB ∴===，即12A D AD AB ===，正三角形ABD 中，E 是AB 的中点，则DE AB ⊥，可得1DE A E ⊥，又面1A ED ⊥面BCDE ，且面1A ED ⋂面BCDE DE =，1A E ∴⊥平面BCDE ，则1A E BE ⊥，在Rt △1A EB 中，由11A E BE ==，可得1A B =在等腰三角形1BA D 中，取1A B 的中点H ，连接DH ，可得DH =设点1A 到直线DB 的距离为h ，则由等面积法可得，11122A B DH BD h ⨯⨯=⨯⨯，122A B DHh BD⨯∴===故选：A 二、多选题9．若m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥B ．若n α⊥，//n m ，则m α⊥C ．若m α⊥，//m β，则αβ⊥D ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥【正确答案】ABC利用线面垂直的性质定理及相关的推论考查所给的选项是否正确即可.【详解】逐一考查所给的选项：由线面垂直的性质定理推论可知：若m α⊥，//n α，则m n ⊥，选项A 正确；由线面垂直的性质定理推论可知：若n α⊥，//n m ，则m α⊥，选项B 正确；由线面垂直的性质定理推论可知：若m α⊥，//m β，则平面β内存在直线l ，满足//l m ，则l α⊥，然后利用面面垂直的判定定理可得αβ⊥，选项C 正确；在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面,αβ分别为平面11,ABCD ADD A ，直线m 为棱11B C ，满足αβ⊥，//m α，但是不满足m β⊥，选项D 错误；故选：A B C.10．在同一平面直角坐标系中，表示直线1:l y ax b =+与2:l y bx a =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】AC【分析】分情况讨论a 与b 的正负情况，分别判断各选项.【详解】A 选项：由1l 的图象可知0a >，0b <，1l 经过一、三、四象限，则2l 需经过二、三、四象限，故A 选项正确；B 选项：由1l 的图象可知0a >，0b >，1l 经过一、二、三象限，则2l 需经过一、三、四象限，故B 选项错误；C 选项：由1l 的图象可知a<0，0b >，1l 经过一、二、四象限，则2l 需经过一、二、三象限，故C 选项正确；D 选项：由1l 的图象可知a<0，0b <，1l 经过二、三、四象限，则2l 需经过一、二、四象限，故D 选项错误；故选：AC.11．如图，正四棱台1111ABCD A B C D -的高为1AD =11AD D C ⊥，则下述正确的是（）A ．AB =B ．145B CA ∠=︒C ．三棱锥11B CAD -外接球的半径为D ．点D 到面1AB C的距离为【正确答案】ABD利用正四棱台的结构特点分析AB 选项；根据11,,,AO CO B O D O 的长度关系确定外接球的球心，从而求解出外接球的半径并判断C 选项；利用等体积法分析点D 到面1AB C 的距离并判断D 选项.【详解】连接1111,,,AD CD AB CB ，连接AC BD O = ，连接11,B O D O，如下图所示：对于A ：因为几何体为正四棱台，所以11AD CD ==又11AD CD ⊥，所以8AC =，又因为AC =，所以AB =，故正确；对于B：因为几何体为正四棱台，所以111AB CB AD ===22211AB CB AC +=，所以1B CA 为等腰直角三角形，所以145B CA ∠=︒，故正确；对于C ：由上可知1B CA ，1D CA 均为等腰直角三角形，所以11142AO CO B O D O AC =====，所以三棱锥11B CAD -的外接球的球心为O ，且半径等于4，故错误；对于D ：设点D 到面1AB C 的距离为h ，又11D AB C B ADC V V --=，所以11133AB C ADC h S S ⋅⋅=⨯ ，且116,1622AB C ADC S S ==== ，所以h =，故正确，故选：ABD.方法点睛：平面外一点A 到平面α的距离的求解方法：（1）等体积法：通过替换顶点和底面，利用体积相等关系求解出点面距离；（2）向量方法：建立合适空间直角坐标系，在平面α内取一点B ；求解出AB和平面α的法向量n ；根据AB nd n⋅= 即可求解出点A 到平面α的距离.12．已知圆22:4C x y +=，直线:0l x y m ++=，则下列结论正确的是（）A ．当2m =时，直线l 与圆C 相交B ．()11,P x y 为圆C 上的点，则()(22111x y -+-的最大值为9C ．若圆C 上有且仅有两个不同的点到直线l 的距离为1，则mm <<D ．若直线l 上存在一点P ，圆C 上存在两点A 、B ，使90APB ∠= ，则m 的取值范围是[]4,4-【正确答案】AD计算圆心C 到直线l 的距离，并和圆的半径比较大小，可判断A 选项的正误；求出圆C 上的点到点(1,的距离的最大值，可判断B 选项的正误；根据已知条件求出实数m 的取值范围，可判断C 选项的正误；分直线l 与圆C 有公共点和直线l 与圆C 相离两种情况讨论，结合题意得出关于实数m 的不等式，求出实数m 的取值范围，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，当2m =时，直线l 的方程为20x y ++=，圆C 的圆心为()0,0C ，圆心C 到直线l 的距离为2d =，此时，直线l 与圆C 相交，A 选项正确；对于B 选项，点P 到点(1,25=，所以，()(22111x y -+-的最大值为25，B 选项错误；对于C 选项，当圆C 上有且仅有两个点到直线l 的距离等于1，如下图所示：由于圆C 的半径为2，则圆心C 到直线l 的距离d 满足21d -<，解得13d <<，即13<<，解得m -<<m <<C 选项错误；对于D 选项，若点P 为直线l 与圆C 的公共点，只需当AB 为圆C 的一条直径（且A 、B 不与点P 重合），则90APB ∠= ；若直线l 与圆C 相离，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为M 、N ，由题意可得90MPN APB ∠≥∠= ，所以，sin CMCP CPM=≤∠设点(),P x y ≤()228x x m +--≤，即222280x mx m ++-≤，则存在x R ∈，使得222280x mx m ++-≤成立，可得()2224886440m m m ∆=--=-≥，解得44m -≤≤，D 选项正确.故选：AD.关键点点睛：对于B 选项，解题的关键点就是要分析出1r d -<，对于D 选项，解题的关键就是要分析出90MPN APB ∠≥∠= ，进而得出CP ≥x 的不等式有解求参数.三、填空题13．点()1,1到直线10x y ++=的距离为________.利用点到直线的距离公式即可得出．【详解】利用点到直线的距离可得：d故答案为14．一个漏斗的上半部分是一个长方体，下半部分是一个四棱锥，两部分的高都为12米，公共的底面是边长为1米的正方形，那么这个漏斗的容积为________米3.【正确答案】23由已知分别求出长方体与棱锥的体积，作和得答案.【详解】由长方体体积公式可得，容器上半部分的体积1111122V =⨯⨯=.由棱锥体积公式可得，容器上半部分的体积211111326V =⨯⨯⨯=,则这个漏斗的容积为12113122663V V V +=+=+==.故答案为:2315．一条光线从点()2,3射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y -++=相切，则反射光线所在直线的斜率为________.【正确答案】34-或43-由题意可知点(2,3)-在反射光线上，设反射光线所在的直线方程为3(2)y k x -=+，利用直线与圆的相切的性质即可得出.【详解】由题意可知点(2,3)-在反射光线上，设反射光线所在的直线方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=.圆()()22321x y -++=的圆心(3,2)-，半径为1，1=，解得34k =-或43-.故34-或43-四、双空题16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 为棱11AC 上的点.且1//BC 平面1AB D ，则11A DDC =________.已知11AB BC AA ===，AC ，以D为半径的球面与侧面11AA B B 的交线长度为________.【正确答案】13π取AC 的中点为E ，分别连接1C E 和BE ，利用面面平行的性质定理证明//AD CE ，又1//DC AE ，可证得四边形1ADC E 为平行四边形，进而可得D 为11AC 的中点，进一步计算可得11A DDC 的值；球面与侧面11AA B B 的交线长，即截面圆的弧长，通过分析计算可得PD Q '△为等边三角形，进而可求出弧PQ 的长度.【详解】取AC 的中点为E ，分别连接1C E 和BE ，细查题意知，只有当D 是11A C 的中点时，才满足题意，原因如下：当D 是11A C 的中点时，1//AD EC ，1//B D BE ，1AD B D D ⋂=，//BE 平面1AB E ，1//DC 平面1AB E ，∵1BE EC E ⋂=，∴平面1//BEC 平面1AB E ，∵1BC ⊂平面1BEC ，1//BC ∴平面1AB D ，平面1//ADB 平面BCE ，又平面11AA CC ⋂平面1ADB AD =，平面11AACC ⋂平面11BC E C E =，∴1//AD C E ，又 1//DC AE ，∴四边形1ADC E 为平行四边形，∴1111122AE DC AC A C ===，即D 为11A C 的中点，所以111A DDC =；球面与侧面11AA B B 的交线长，即截面圆的弧长，1AB BC ==Q ，AC =∴222AB BC AC +=，即AB BC ⊥，易得1111A B B C ⊥，取11A B 的中点为D ¢，故可得11D D A B '⊥，平面111A B C Ç平面1111A ABB A B =，DD '⊂平面111A B C ，∴D D '⊥平面平面11A ABB ，圆心距12DD '=，设交线的轨迹为PQ ，DS =截面圆半径1D S '===，又因为1PQ =，所以PD Q '△为等边三角形， 133PQππ=⨯=.故1，3π.方法点睛：对于第一空，证明四边形1ADC E 为平行四边形，可利用面面平行的性质定理；对于第二空，通过作出图形，分析截面圆的特征，然后进行几何计算，进而得出PD Q '△为等边三角形，最后计算弧长.五、解答题17．如图，在空间四边形OABC 中，2BD DC = ，点E 为AD 的中点，设OA a = ，OB b = ，OC c =.（1）试用向量a ，b ，c 表示向量OE；（2）若3OA OC ==，2OB =，60AOC BOC AOB ∠=∠=∠=︒，求OE AC ⋅的值.【正确答案】（1）111236a b c ++ （2）32-(1）根据向量的运算性质求出OE即可；(2）根据向量的运算性质代入计算即可.【详解】（1）2BD DC =，111()()333BD BC OC OB c b ∴==-=- 故121(),333OD OB BD b c b b c →=+=+-=+ ∵点E 为AD 的中点，故1111();2236OE OA OD a b c =+=++（2）由题意得9,3,32a c abc b ⋅=⋅=⋅=故AC c a=- 故111()()236OE AC a b c c a ⋅=++⋅- 221111126333a c a cbc b a=-++⋅+⋅-⋅ 111119933cos 6032cos 6032cos 6026333︒︒︒=-⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯3.2=-18．已知圆C ：220x y ax ++=过点,22⎛- ⎝⎭.（1）求圆C 的标准方程及其圆心、半径；（2）若直线0x y +=分别与x 轴，y 轴交于M 、N 两点，点P 为圆C 上任意一点，求MNP△面积的取值范围.【正确答案】（1）22(2x y +=，圆心为，0)（2）[22（1）把点的坐标代入圆的方程求得a 值，可得圆的方程，配方化为圆的标准方程，求得圆心坐标与半径；（2）由题意得M 与N 的坐标，求得||MN ，再求出圆心C 到直线MN 的距离，可得点P 到直线MN 的距离的最小值与最大值，则MNP △面积的取值范围可求．【详解】（1）由题意，22(0+=，解得a =-∴圆C 的方程为220x y +-=，化为标准方程：22(2x y +=，圆心为，0)（2）由题意得，(M 0)，(0,N ，||2MN ∴=，圆心C 到直线MN 的距离2d =，∴点P 到直线MN 的距离的最小值为22．MNP ∴ 的面积的最小值为12(222⨯⨯=，最大值为12(222⨯⨯=+MNP ∴ 面积的取值范围是[2-2+．关键点点睛：求圆上一点到直线的距离的最大值与最小值，先求圆心到直线的距离d ,则,d r d r +-分别是圆上点到直线的距离的最大值与最小值.19．从①2BG GC =，②G 是PB 的中点，③G 是PBC 的内心.三个条件中任选一个条件，补充在下面问题中，并完成解答.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥底面ABCD ，且1PD =，AB =2AD =，E ，F 分别为PC ，BD 的中点.(1)判断EF 与平面PAD 的位置关系，并证明你的结论；(2)若G 是侧面PBC 上的一点，且________，求三棱锥G DEC -的体积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【正确答案】(1)//EF 平面PAD ，证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）连接AC ，可知F 为AC 的中点，利用中位线的性质得出//EF PA ，利用线面平行的判定定理可得出结论；（2）推导出BC ⊥平面PCD .选①或②，推导出GC ⊥平面PCD ，计算出GC 和DEC 的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥G DCE -的体积；选③，设PBC 的内切圆切PC 于点H ，推导出GH ⊥平面PCD ，计算出GH 和DEC 的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥G DCE -的体积.【详解】（1）//EF 平面PAD ，理由如下：如下图所示，连接AC ，因为四边形ABCD 为矩形，且点F 为BD 的中点，则点F 为AC 的中点，又因为E 为PC 的中点，所以EF PA ∥，∵EF ⊂/平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，∴//EF 平面PAD ；（2）∵四边形ABCD 为矩形，则BC CD ⊥，∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC PD ⊥，∵CD PD D = ，∴BC ⊥平面PCD .∵E 为PC 的中点，则11112444DEC PCD S S CD PD ==⋅==△△.选①：∵2BG GC = ，则G BC ∈，∴GC ⊥平面PCD ，且1233GC BC ==，112333G DEC DEC V S GC -=⋅==△选②：∵G 、E 分别为PB 、PC 的中点，∴GE BC ∥，且112GE BC ==，∵BC ⊥平面PCD ，∴GE ⊥平面PCD ，11133G DEC DEC V S GE -=⋅==△选③：设PBC 的内切圆切PC 于点H ，连接GH ，则GH PC ⊥，∵BC ⊥平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，∴BC PC ⊥，在平面PBC 内，BC PC ⊥，GH PC ⊥，则GH BC ∥，∴GH ⊥平面PCD ，2PC ==，PB ==由等面积法可得()1122PBC S BC PC PC BC PB GH =⋅=++⋅△，所以，2BC PC GH BC PC PB ⋅==++所以，(11233412G DEC DEC V S GH -=⋅=⨯⨯=△.20．某工厂M （看作一点）位于两高速公路（看作两条直线）OA 与OB 之间．已知M 到高速公路OA 的距离是9千米，到高速公路OB 的距离是18千米，60AOB ∠=︒，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求直线OB 的方程；(2)现紧贴工厂M 修建一直线公路连接高速公路OA 和OB ，与OA 的连接点为C ，与OB 的连接点为D ，且M 恰为该路段CD 的中点，求CD 的长度．【正确答案】(1)3y x =(2)36千米【分析】（1）根据题意求直线的斜率及方程；（2）根据题意列式求点,C D 的坐标，再求CD 的长度.【详解】（1）因为60AOB ∠=︒，所以直线OB 的斜率为tan 3k AOB =∠所以直线OB 的方程为3y x =．（2）设(),9M a ，因为OB 30y -=，M 到高速公路OB 的距离是18千米，()()22391831a -=+-，解得153a =3a =-（舍去），所以()153,9M .设()()122,0,,C x D x y ，因为M 为CD 的中点，D 在OB 上，所以1222215320923x x y y +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得12236318x x y ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，即()()243,0,3,18C D ，所以()()222436301836CD =-+-，所以公路段CD 的长度为36千米．21．如图，几何体为圆柱Ω的一半，四边形ABCD 为圆柱Ω的轴截面，点E 为圆弧AB 上异于A ，B 的点，点F 为线段ED 上的动点.（1）求证：BE AF ⊥；（2）若2AB =，1AD =，30ABE ∠=︒，且直线CA 与平面ABF 所成角的正弦值为10，求平面ABF 与平面ADE 所成锐二面角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）14（1）证明BE ⊥平面ADE 即可得出BE AF ⊥；（2）建立空间坐标系根据直线CA 与平面ABF 所成角的正弦值为10求出F 的坐标，再求出平面ABF 的法向量n ，计算n 和EB的夹角得出二面角的大小．【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是圆柱的轴截面，AB ∴是圆柱底面圆的直径，BE AE ∴⊥，AD 是圆柱的母线，AD ∴⊥平面ABE ，AD BE ∴⊥，又AD AE A ⋂=，BE ∴⊥平面ADE ，又AF ⊂平面ADE ，BE AF ∴⊥．（2）2AB = ，AE BE ⊥，30ABE ∠=︒，1AE ∴=，BE =以E 为原点，以EB ，EA 及平面ABE 的过点E 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系E xyz -，如图所示，则(3C 0，1)，(0A ，1，0)，(3B 0，0)，(0E ，0，0)，(0D ，1，1)，∴(3CA =- ，1，1)-，3AB = 1-，0)，(0ED = ，1，1)，(0EA =，1，0)，设(0EF ED λ==，λ，)λ，则(0AF EF EA =-=，1λ-，)λ，(01)λ，设平面ABF 的法向量为(n x = ，y ，)z ，则00n AB n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即30(1)0x y y z λλ-=-+=⎪⎩，令3x =(3n =3，33)λ-，cos CA ∴< ，233||||3512(3)CA n n CA n λλ-⋅>==⨯+- 直线CA 与平面ABF 151023315103512(3)λλ-=⨯+-，解得13λ=，∴(3n =，3，6)，由（1）可知BE ⊥平面ADE ，∴(3EB =，0，0)为平面ADE 的法向量，cos EB ∴< ，314||||433n EB n n EB ⋅>==⨯，∴平面ABF 与平面ADE 所成锐二面角的余弦值为14．关键点点睛：求二面角的夹角的相关问题，优先考虑建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用向量夹角的方式求解更优.22．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线:74l y x =+上，B （7，3），以线段AB 为直径的圆C （C 为圆心）与直线l 相交于另一个点D ，AB ⊥CD .（1）求圆C 的标准方程；（2）若点A 不在第一象限内，圆C 与x 轴的正半轴的交点为P ，过点P 作两条直线分别交圆于M ，N 两点，且两直线的斜率之积为－5，试判断直线MN 是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【正确答案】（1）22(4)(7)25x y -+-=或22(3)25x y -+=；（2）19,03⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）由已知可得17BD k =-，设(,74)D a a +，由两点求斜率公式可得a 值，得到(0,4)D ，再由已知可得||||AD BD =，设(,74)A b b +，利用两点间的距离公式列式求得b ，分类求解圆心，可得圆的标准方程；（2）由题意知，圆的标准方程为22(3)25x y -+=，设直线MP 的方程为(8)y k x =-，与圆的方程联立求得M 的坐标，同理求得N 的坐标，再分直线MN 的斜率存在和不存在求解MN 的方程，即可证明直线MN 恒过定点19(,0)3．【详解】解：（1）BD AD ⊥ ，∴17BD k =-，设(,74)D a a +，得743177a a +-=--，得0a =．(0,4)D ∴，在ABD △中，AB CD ⊥，C 为AB 的中点，||||AD BD ∴=，设(,74)A b b +解得1b =或1b =-．①当1b =时，(1,11)A ，2|10R AD =，圆心为(4,7)，此时圆的标准方程为22(4)(7)25x y -+-=；②当1b =时，(1,3)A --，2|10R AD =，圆心为(3,0)，此时圆的标准方程为22(3)25x y -+=．∴圆的标准方程为22(4)(7)25x y -+-=或22(3)25x y -+=；（2）由题意知，圆的标准方程为22(3)25x y -+=．设直线MP 的方程为(8)y k x =-，联立22(8)(3)25y k x x y =-⎧⎨-+=⎩，得2222(1)(116)64160k x k x k +-++-=．∴2264161M P k x x k-=+ ，得22821M k x k -=+，则2282(1k M k -+，2101k k -+， 两直线的斜率之积为5-，∴用5k-代替k ，可得222002(25k N k -+，250)25k k +．当直线MN 的斜率存在，即25k ≠时，3222242225010603006251200282102505251MNk k k k k k k k k k k k k k ++++===---+-+-++．∴直线MN 的方程为222210682(151k k k y x k k k ---=-+-+，整理得：2619()53k y x k =--，可得直线MN 过定点19(,0)3；当直线MN 的斜率不存在时，即25k =时，直线MN 的方程为193x =，过定点19(,0)3．综上可得，直线MN 恒过定点19(,0)3．本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力.。

2019-2020学年山东省潍坊市寿光市现代中学高二（上）10月月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 下列命题中，正确的是（）A.若a>b，c>d，则a−c>b−dB.若a>b，c>d，则ac>bdC.若ac>bc，则a>bD.若ac2<bc2，则a<b【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】利用不等式的性质进行判断，即可得出结论．【解答】对于A，同向不等式，只能相加，不能相减，故不正确；对于B，同向不等式均为正时，才能相乘，故不正确；对于C，c的符号不定，故不正确；对于D，c2>0，故正确．2. 在等差数列{a n}中，已知a3+a9＝16，则该数列前11项和S11＝（）A.58B.88C.143D.176【答案】B【考点】等差数列的前n项和【解析】根据等差数列的性质可知a1+a11＝a3+a9，然后根据等差数列的求和公式解之即可求出所求．【解答】∵等差数列{a n}，∴a1+a11＝a3+a9＝16，则S11=a1+a112×11=8×11＝88．3. 已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84【答案】B【考点】等比数列的通项公式【解析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴a1(1+q2+q4)=21，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2−6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7=a1(q2+q4+q6)=3×(2+4+8)=42．故选B.4. 已知x，y∈R+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为（）A.3B.6C.2D.4【答案】A【考点】基本不等式及其应用【解析】利用基本不等式的性质及解不等式即可得出．【解答】因为x，y∈R+，x3+y4=1，有：1=x3+y4≥2√x3⋅y4，解得：xy≤3；（当且仅当x3=y4，即x=32，y＝2时取等号），故xy≤3；5. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n+1，则数列{a n}的通项公式为（）A.a n=−2n−1B.a n=2n−1C.a n＝2n−3D.a n=2n−1−2【答案】A【考点】数列递推式【解析】由S n＝2a n+1，可得n≥2时，a n＝S n−S n−1，化为：a n＝2a n−1．n＝1时，a1＝2a1+1，解得a1．【解答】∵S n＝2a n+1，∴n≥2时，a n＝S n−S n−1＝2a n+1−(2a n−1+1)，化为：a n＝2a n−1．n＝1时，a1＝2a1+1，解得a1＝−1．∴数列{a n}为等比数列，公比为2．∴a n＝−2n−1．6. 等比数列{a n}的前n项和S n＝3n+t，则t+a3的值为（）A.1B.−1C.17D.18【答案】C【考点】等比数列的前n项和【解析】由题意易得数列的前3项，可得t的方程，解t值可得答案．【解答】由题意可得a1＝S1＝3+t，a2＝S2−S1＝6，a3＝S3−S2＝18，由等比数列可得36＝(3+t)⋅18，解得t＝−1，∴t+a3＝−1+18＝177. 正数a，b满足ab＝a+b+3，则ab的取值范围是（）A.[9, +∞)B.(9, +∞)C.[3, +∞)D.(3, +∞)【答案】A【考点】基本不等式及其应用【解析】根据均值不等值把已知条件转化成关于ab的不等式，解不等式即可【解答】∵a，b是正数∴ab＝a+b+3≥2√ab+3，当{a=bab=a+b+3即a＝b＝3时等号成立即ab≥2√ab+3∴ab−2√ab−3≥0∴(√ab+1)(√ab−3)≥0∴√ab≤−1()√ab≥3∴ab≥98. 已知x≥52,f(x)=x2−4x+52x−4有（）A.最大值54B.最小值54C.最大值1D.最小值1【答案】D【考点】函数的最值及其几何意义【解析】先对函数f(x)进行化简变形，然后利用均值不等式求出最值，注意条件：“一正二定三相等”．【解答】f(x)=x2−4x+52x−4=(x−2)2+12(x−2)=12[(x−2)+1x−2]≥1当且仅当x＝3时取等号，9. 两个等差数列{a n}和{b n}，其前n项和分别为S n，T n，且S nT n =7n+2n+3，则a2+a20b7+b15等于()A.9 4B.378C.7914D.14924【答案】D【考点】等差数列的性质 【解析】由已知，根据等差数列的性质，把a 2+a 20b 7+b 15转化为 S 21T 21求解．【解答】 解：a 2+a 20b7+b 15=a 1+a 21b 1+b 21=212(a 1+a 21)212(b 1+b 21) =S 21T 21=7×21+221+3=14924．故选D .10. 下列结论正确的是( ) A.当x >0且x ≠1时，lgx +1lgx ≥2 B.当x >0时，√x √x ≥2C.当x ≥2时，x +1x 的最小值为2D.当0<x ≤2时，x −1x 无最大值【答案】 B【考点】 基本不等式 【解析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A 中不满足“正数”，C 中“=”取不到． 【解答】解：A 中，当0<x <1时，lgx <0，lgx +1lgx ≥2不成立； 由基本不等式B 正确； C 中“=”取不到；D 中x −1x 在0<x ≤2时单调递增，当x =2时取最大值．故选B . 11.已知等比数列{a n }满足a n >0，n =1，2，…，且a 5⋅a 2n−5=22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log2a1+log2a3+...+log2a2n−1=( )A.n(2n−1)B.(n+1)2C.n2D.(n−1)2【答案】C【考点】对数函数的图象与性质数列递推式对数及其运算【解析】先根据a5⋅a2n−5=22n，求得数列{a n}的通项公式，再利用对数的性质求得答案．【解答】解：∵a5⋅a2n−5=22n=a n2，a n>0，∴a n=2n，∴log2a1+log2a3+...+log2a2n−1=log2(a1a3...a2n−1)=log221+3+⋯+(2n−1)= log22n2=n2．故选C．12. 已知正实数a，b满足a+b＝1，则2a2+1a +2b2+4b的最小值为（）A.10B.11C.13D.21【答案】B【考点】基本不等式及其应用【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】正实数a，b满足a+b＝1，则2a2+1a +2b2+4b=2a+2b+1a+4b，＝2+(1a +4b)(a+b)，＝7+ba +4ab≥7+4＝11，当且仅当ba =4ab且a+b＝1即b=23，a=13时取等号，二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分不等式x−1x+2>1的解集是________．【答案】{x|x<−2}【考点】其他不等式的解法【解析】已知不等式x−1x+2>1，先将其移项、通分，从而求出不等式的解集．【解答】∵ x−1x+2>1 ∴ x−1x+2−1>0， ∴ −3x+2>0， ∴ x +2<0， ∴ x <−2，数列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+⋯+n ，…的前n 项和S n =________． 【答案】2nn +1 【考点】 数列的求和 【解析】利用等差市领导前n 项和公式化简数列的通项，并将通项裂成两项的差，利用裂项法求出数列的前n 项和． 【解答】解：∵ 数列的通项为11+2+3+⋯+n =2n(n+1)=2(1n −1n+1)∴ 数列的前n 项和为2(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)=2(1−1n+1)=2nn+1 故答案为2nn+1等比数列{a n }中，若前n 项的和为S n =2n −1，则a +a 22+...+a n 2=________．【答案】43(4n−1) 【考点】等比数列的前n 项和 【解析】由已知可得等比数列{a n }的首项和公比，进而可得数列{a n 2}也是等比数列，且首项为a 12=1，公比为q 2=4，代入等比数列的求和公式可得答案． 【解答】解：∵ a 1=S 1=1，a 2=S 2−S 1=3−1=2，∴ 公比q =2．又∵ 数列{a n 2}也是等比数列，首项为a 12=1，公比为q 2=4，∴ a 12+a 22+⋯+a n 2=1×(1−42)1−4=43(4n −1)故答案为：43(4n −1)已知正实数x ，y 满足x +4y −xy ＝0，若x +y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为________ 【答案】(−∞, 9] 【考点】基本不等式及其应用 【解析】由等式x +4y −xy ＝0，变形得4x +1y =1，将代数式x +y 与代数式4x +1y 相乘并展开，利用基本不等式可求出x +y 的最小值，从而可求出m 的取值范围． 【解答】由于x +4y −xy ＝0，即x +4y ＝xy ，等式两边同时除以xy 得，4x +1y =1， 由基本不等式可得x +y =(x +y)(4x +1y )=4y x+x y +5≥2√4y x ⋅xy +5=9，当且仅当4yx =xy ，即当x ＝2y 时，等号成立，所以，x +y 的最小值为9． 因此，m ≤9．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16．（1）求数列{a n }的通项公式及其前n 项和公式S n ．（2）若数列{a n }满足b n =21og 2a n (n ∈N ∗)，求出数列{b n }的前n 项和T n ． 【答案】数列{a n }的公比为q ，已知a 1＝2，a 4＝16＝2q 3，q ＝2， 所以a n =a 1q n−1=2n ， S n =2(1−2n )1−2=2n+1−2；b n =21og 2a n =21og 22n =2n ，故{b n }是首项为2，公差为2的等差数列， 故数列{b n }的前n 项和T n =n(2+2n)2=n(n +1)．【考点】 数列的求和等比数列的通项公式 【解析】（1）利用等比数列的性质求出q ，代入即可；（2）求出{b n }是首项为2，公差为2的等差数列，直接计算即可． 【解答】数列{a n }的公比为q ，已知a 1＝2，a 4＝16＝2q 3，q ＝2， 所以a n =a 1q n−1=2n ， S n =2(1−2n )1−2=2n+1−2；b n =21og 2a n =21og 22n =2n ，故{b n }是首项为2，公差为2的等差数列， 故数列{b n }的前n 项和T n =n(2+2n)2=n(n +1)．已知不等式(1−a)x 2−4x +6>0的解集是{x|−3<x <1}． （1）求a 的值；（2）解不等式(x −a)(x +b)≤0． 【答案】由题意知，1−a <0，且−3和1是方程(1−a)x 2−4x +6＝0的两根， ∴ {1−a <041−a =−261−a=−3 ，解得a ＝3；由（1）得，(x −3)(x +b)≤0，当−b <3，即b >−3时，不等式的解集为{x|−b ≤x ≤3}， 当−b >3，即b <−3时，不等式的解集为{x|3≤x ≤−b}， 当−b ＝3，即b ＝−3时，不等式的解集为{x|x3}． 【考点】一元二次不等式的应用 【解析】（1）由题意，1−a <0，且−3和1是方程(1−a)x 2−4x +6＝0的两根，由此可求得a ；（2）分类讨论即可得解． 【解答】由题意知，1−a <0，且−3和1是方程(1−a)x 2−4x +6＝0的两根， ∴ {1−a <041−a =−261−a=−3，解得a ＝3；由（1）得，(x −3)(x +b)≤0，当−b <3，即b >−3时，不等式的解集为{x|−b ≤x ≤3}， 当−b >3，即b <−3时，不等式的解集为{x|3≤x ≤−b}， 当−b ＝3，即b ＝−3时，不等式的解集为{x|x3}．已知数列{a n }为等比数列，a 1＝2，公比q >0，且a 2，6，a 3成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝log 2a n ，T n =1b1b 2+1b 2b 3+1b 3b 4+⋯+1b n b n+1，求使T n <67的n 的值．【答案】由a 2，6，a 3成等差数列， 得12＝a 2+a 3又{a n }为等比数列，且a 1＝2， 故12＝2q +2q 2解得q ＝2，或q ＝−3， 又q >0， ∴ q ＝2，∴ a n =2⋅2n−1=2n ⋯ ∵ b n =log 22n =n ， ∴ b n b n+1=1n(n+1)=1n −1n+1⋯∴ T n =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)=1−1n+1⋯故由$${\{\{T\}}$_${\{n\}}$<\frac{6}{7}}$，得n ＜6，又n ∈N${^{*}}$ ∴ ${n}$的取值为${1}$，${2}$，${3}$，${4}$，${5}$． 【考点】 数列的求和数列与不等式的综合 等差数列的性质 等比数列的通项公式 【解析】（1）由a 2，6，a 3成等差数列，知12＝a 2+a 3，由{a n }为等比数列，且a 1＝2，故12＝2q +2q 2，由此能求出数列{a n }的通项公式．（2）由b n =log 22n =n ，知b n b n+1=1n(n+1)=1n −1n+1，由此利用裂项求和法能够求出由T n <67的n 的取值． 【解答】由a 2，6，a 3成等差数列， 得12＝a 2+a 3又{a n }为等比数列，且a 1＝2， 故12＝2q +2q 2解得q ＝2，或q ＝−3， 又q >0， ∴ q ＝2，∴ a n =2⋅2n−1=2n ⋯ ∵ b n =log 22n =n ， ∴ b n b n+1=1n(n+1)=1n −1n+1⋯∴ T n =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)=1−1n+1⋯故由$${\{\{T\}}$_${\{n\}}$<\frac{6}{7}}$，得n ＜6，又n ∈N${^{*}}$ ∴ ${n}$的取值为${1}$，${2}$，${3}$，${4}$，${5}$．已知不等式mx 2−mx −1<0．（1）若当x ∈R 时不等式恒成立，求实数m 的取值范围．（2）若x ∈[1, 3]时不等式恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】当x ∈R 时不等式mx 2−mx −1<0恒成立， 当m ＝0时，−1<0，恒成立；当m <0，△<0，即m 2+4m <0，可得−4<m <0； 当m >0，不等式不恒成立， 综上可得m 的范围是(−4, 0]；x ∈[1, 3]时不等式mx 2−mx −1<0恒成立， 当x ＝1时，−1<0恒成立；当1<x ≤3时，m(x 2−x)<1，即m <1x 2−x 在1＜x≤3时恒成立，设f(x)=1x2−x 即f(x)=1(x−12)2−14，在1<x≤3时，f(x)递减，可得f(x)的最小值为f(3)=16，则m<16．【考点】不等式恒成立的问题【解析】（1）对m讨论，m＝0，m>0，m<0，结合二次函数的图象可得所求范围；（2）由题意可得x∈[1, 3]时不等式mx2−mx−1<0恒成立，讨论x＝1，1<x≤3，运用参数分离和构造函数，求最值，可得所求范围．【解答】当x∈R时不等式mx2−mx−1<0恒成立，当m＝0时，−1<0，恒成立；当m<0，△<0，即m2+4m<0，可得−4<m<0；当m>0，不等式不恒成立，综上可得m的范围是(−4, 0]；x∈[1, 3]时不等式mx2−mx−1<0恒成立，当x＝1时，−1<0恒成立；当1<x≤3时，m(x2−x)<1，即m<1x2−x在1＜x≤3时恒成立，设f(x)=1x2−x 即f(x)=1(x−12)2−14，在1<x≤3时，f(x)递减，可得f(x)的最小值为f(3)=16，则m<16．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2．当n≥2时．S n−1+l，a n．S n+1成等差数列．(I)求证：{S n+1}是等比数列：(II)求数列{na n}的前n项和．【答案】（I）证明：∵S n−1+l，a n．S n+1成等差数列∴2a n＝s n+s n−1+2∴2(s n−s n−1)＝s n+s n−1+2即s n＝3s n−1+2∴s n+1＝3(s n−1+1)，n≥2∴{s n+1}是首项为s1+1＝3，公比为3的等比数列(II)由(I)可知s n+1=3n∴s n=3n−1⋯当n≥2时，a n＝s n−s n−1＝2⋅3n−1又∵a1＝3∴a n=2⋅3n−1⋯∴T n=2+4⋅3+6⋅32+⋯+2(n−1)⋅3n−2+2n⋅3n−1 (1)3T n=2⋅3+4⋅32+⋯+(2n−1)⋅3n−1+2n⋅3n (2)（1）−(2)得：−2T n＝2+2⋅3+2⋅32+...+2⋅3n−1−2n⋅3n=2(1−3n)1−3−2n⋅3n＝3n−1−2n⋅3n∴T n=(2n−1)⋅3n+12⋯【考点】数列的求和等比数列的性质【解析】（I）由题意可得2a n＝s n+s n−1+2，结合a n＝s n−s n−1可得s n与s n−1之间的递推关系，进而可证明(II)由(I)可求s n+1，进而可求s n，然后利用a n＝s n−s n−1可求a n，然后利用错位相减可求T n【解答】（I）证明：∵S n−1+l，a n．S n+1成等差数列∴2a n＝s n+s n−1+2∴2(s n−s n−1)＝s n+s n−1+2即s n＝3s n−1+2∴s n+1＝3(s n−1+1)，n≥2∴{s n+1}是首项为s1+1＝3，公比为3的等比数列(II)由(I)可知s n+1=3n∴s n=3n−1⋯当n≥2时，a n＝s n−s n−1＝2⋅3n−1又∵a1＝3∴a n=2⋅3n−1⋯∴T n=2+4⋅3+6⋅32+⋯+2(n−1)⋅3n−2+2n⋅3n−1 (1)3T n=2⋅3+4⋅32+⋯+(2n−1)⋅3n−1+2n⋅3n (2)（1）−(2)得：−2T n＝2+2⋅3+2⋅32+...+2⋅3n−1−2n⋅3n=2(1−3n)1−3−2n⋅3n＝3n−1−2n⋅3n∴T n=(2n−1)⋅3n+12⋯东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=√n+1n次投入后的年利润为f(n)万元．（1）求出f(n)的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【答案】第n次投入后，产量为10+n万件，价格为100元，固定成本为√n+1元，科技成本投入为100n，)−100n⋯所以，年利润为f(n)=(10+n)(100−n+1)−100n．由（1）f(n)=(10+n)(100√n+1=1000−80(√n+1+≤520（万元）√n+1时当且仅当√n+1=√n+1即n＝8时，利润最高，最高利润为520万元．答：从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）先根据题意可得：第n次投入后，产量为10+n万件，价格为100元，固定成本为元，科技成本投入为100n，进而可求年利润为f(n)√n+1)，进而可以利用基本不等式，求（2）将函数整理成f(n)=1000−80(√n+1+√n+1出最高利润．【解答】元，第n次投入后，产量为10+n万件，价格为100元，固定成本为n+1科技成本投入为100n，)−100n⋯所以，年利润为f(n)=(10+n)(100−√n+1)−100n．由（1）f(n)=(10+n)(100√n+1=1000−80(√n+1+≤520（万元）√n+1时当且仅当√n+1=√n+1即n＝8时，利润最高，最高利润为520万元．答：从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．。

2016-2017学年山东省潍坊市寿光市现代中学高二（上）10月月考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列1，，，，…，则3是它的第（）项．A．，22 B．23 C．24 D．282．在△ABC中，已知a=，b=2，B=45°，则角A=（）A．30°或150°B．60°或120°C．60°D．30°3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8=（）A．18 B．36 C．54 D．724．设a，b，c，d∈R．且a＞b，c＞d，且下列结论中正确的是（）A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．5．两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离分别为a海里、2a海里，灯塔A在观察站的北偏东35°，灯塔B在观察站的南偏东25°，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A．3a海里B．a海里C．a海里D．a海里6．△ABC中，==，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形7．等差数列{a n}中，已知a1=，a2+a5=4，a n=33，则n的值为（）A．50 B．49 C．48 D．478．数列{a n}，a n≠0，若a1=3，2a n﹣a n=0，则a5=（）+1A．B．C．48 D．949．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项10．下列函数中，最小值为4的是（）A．B．（0＜x＜π）C．D．y=log3x+4log x311．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值12．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n．若a1=d=1，则的最小值为（）A．10 B．C．D． +2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．14．在项数为奇数的等差数列中，所有奇数项的和为175，所有偶数项的和为150，则这个数列共有项．15．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q=，a8=1，则S8=．16．若x＞2，则x+的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，B=45°，AC=，cosC=，求BC的长．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=35，a5和a7的等差中项为13．（1）求a n及S n；（2）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前项和T n．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．20．已知数列{a n}的前n项和为S n=2n2﹣30n．（1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；（2）求使得S n最小的序号n的值．21．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？=2a n+3，n∈N+22．已知数列{a n}的首项a1=1，且a n+1（1）求证：数列{a n+3}是等比数列；（2）求数列{n（a n+3）}的前n项和T n．2016-2017学年山东省潍坊市寿光市现代中学高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列1，，，，…，则3是它的第（）项．A．，22 B．23 C．24 D．28【考点】数列的函数特性．【分析】由数列1，，，，…，可得通项公式（n∈N*）．令3=，解得n即可．【解答】解：由数列1，，，，…，可得通项公式（n ∈N*）．令3=，解得n=23．∴3是它的第23项．故选：B．2．在△ABC中，已知a=，b=2，B=45°，则角A=（）A．30°或150°B．60°或120°C．60°D．30°【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理的式子，结合题中数据算出sinA=，根据a＜b 可得A＜B，因此算出A=30°．【解答】解：∵a=，b=2，B=45°，∴由正弦定理，得可得sinA==∴A=30°或150°∵a＜b，可得A＜B，∴A=30°故选：D3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8=（）A．18 B．36 C．54 D．72【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a4+a5=18，由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，∴S8===72故选：D4．设a，b，c，d∈R．且a＞b，c＞d，且下列结论中正确的是（）A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．【考点】不等关系与不等式．【分析】A、设a，b，c，d∈R．且a＞b，c＞d，根据同向不等式的可加性知，A 正确；B、C、D三个选项分别令a、b、c、d取特殊值，可知它们不正确．【解答】解：A、设a，b，c，d∈R．且a＞b，c＞d，根据同向不等式的可加性知，A正确；B、令a=2，b=0，c=0，d=﹣3，可知B、C不正确；D、令a=﹣1，b=﹣2，c=﹣1，d=﹣2，可知D不正确．故选A．5．两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离分别为a海里、2a海里，灯塔A在观察站的北偏东35°，灯塔B在观察站的南偏东25°，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A．3a海里B．a海里C．a海里D．a海里【考点】解三角形的实际应用．【分析】先根据题意求得∠ACB，进而根据余弦定理求得AB．【解答】解：依题意知∠ACB=180°﹣25°﹣35°=120°，在△ABC中，由余弦定理知AB==a．即灯塔A与灯塔B的距离为a．故选B．6．△ABC中，==，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【考点】正弦定理．【分析】由，利用正弦定理可得tanA=tanB=tanC，再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：=，又，∴tanA=tanB=tanC，又A，B，C∈（0，π），∴A=B=C=，则△ABC是等边三角形．故选：D．7．等差数列{a n}中，已知a1=，a2+a5=4，a n=33，则n的值为（）A．50 B．49 C．48 D．47【考点】等差数列的通项公式．【分析】设公差为d，由条件a1=，a2+a5=4，可求得d的值，再由a n=33，利用等差数列的通项公式，求得n的值．【解答】解：设公差为d，∵a1=，a2+a5=4，∴a1+d+a1+4d=4，即+5d=4，可得d=．再由a n=a1+（n﹣1）d=+（n﹣1）×=33，解得n=50，故选A．8．数列{a n}，a n≠0，若a1=3，2a n+1﹣a n=0，则a5=（）A．B．C．48 D．94【考点】数列递推式．【分析】利用等比数列的定义通项公式即可得出．【解答】解：∵a1=3，2a n+1﹣a n=0，a n≠0，∴数列{a n}是等比数列，公比为．则a5=3×=．故选：B．9．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项【考点】等差数列的性质．【分析】先根据题意求出a1+a n的值，再把这个值代入求和公式，进而求出数列的项数n．【解答】解：依题意a1+a2+a3=34，a n+a n﹣1+a n﹣2=146∴a1+a2+a3+a n+a n﹣1+a n﹣2=34+146=180又∵a1+a n=a2+a n﹣1=a3+a n﹣2∴a1+a n==60∴S n===390∴n=13故选A10．下列函数中，最小值为4的是（）A．B．（0＜x＜π）C．D．y=log3x+4log x3【考点】基本不等式．【分析】通过给变量取特殊值，举反例可得选项A、D不正确，故可排除掉．对于选项B，使用基本不等式时，等号成立的条件不具备，故排除．剩下的一个选项可用基本不等式进行证明．【解答】解：当x＜0时，＜0，故选项A显然不满足条件．当0＜x＜π时，sinx＞0时，≥4，当且仅当sinx=2时取等号，而sinx=2不可能，故有y＞4，故选项B不满足条件．当log3x＜0时，y=log3x+4log x3＜0，故选项D不满足条件．∵e x＞0，∴e x+≥2=4，当且仅当e x =2时，等号成立，故只有C 满足条件，故选C．11．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用结论：n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各选项，排除错误答案．【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d=a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0，a8＜0，显然C选项是错误的．∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；故选C．12．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n．若a1=d=1，则的最小值为（）A．10 B．C．D． +2【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知条件推导出==，由此利用均值定理取最小值．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n．a1=d=1，∴==1++=≥+=，当且仅当，即n=4时，取最小值．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．【考点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系．【分析】由C 为三角形的内角，及cosC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC 的值，再由a 与b 的值，利用余弦定理列出关于c 的方程，求出方程的解得到c 的值，再由sinC ，c 及b 的值，利用正弦定理即可求出sinB 的值．【解答】解：∵C 为三角形的内角，cosC=，∴sinC==， 又a=1，b=2，∴由余弦定理c 2=a 2+b 2﹣2abcosC 得：c 2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：14．在项数为奇数的等差数列中，所有奇数项的和为175，所有偶数项的和为150，则这个数列共有 13 项．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】设此等差数列为{a n }，则a 1+a 3+…+a 2n +1=175，a 2+a 4+…+a 2n =150，可得nd﹣a 2n +1=﹣25，即a n +1=25，=（2n +1）a n +1=325，联立解出即可得出．【解答】解：设此等差数列为{a n }，则a 1+a 3+…+a 2n +1=175，a 2+a 4+…+a 2n =150，则nd ﹣a 2n +1=﹣25，即a n +1=25，=（2n +1）a n +1=325， ∴（2n +1）×25=325，解得n=6．∴此数列共有13项．故答案为：13．15．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q=，a8=1，则S8=255．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵q=，a8=1，∴=1，解得a1=27=128．∴S8==255．故答案为：255．16．若x＞2，则x+的最小值为6．【考点】基本不等式．【分析】本题可以配成积为定值形式，然后用基本不等式得到本题结论．【解答】解：∵x＞2，∴x﹣2＞0．∴x+=≥=6．当且仅当，即x=4时，取最小值．故答案为6．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，B=45°，AC=，cosC=，求BC的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】如图所示，过A作AD⊥BC，可得出三角形ABD为等腰直角三角形，即AD=BD，在直角三角形ADC中，由cosC的值求出sinC的值，利用正弦定理求出AD的长，进而利用勾股定理求出DC的长，由BD+DC即可求出BC的长．【解答】解：如图所示，过A作AD⊥BC，在Rt△ABD中，B=45°，∴△ABD为等腰直角三角形，即AD=BD，在Rt△ADC中，cosC=，∴sinC==，由正弦定理=，即AD==，利用勾股定理得：DC==2，则BC=BD+DC=AD+DC=3．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=35，a5和a7的等差中项为13．（1）求a n及S n；（2）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【分析】（1）通过设等差数列{a n}的公差为d，利用S5=5a3=35、a5+a7=26解得可知首项和公差，代入公式计算即得结论；（2）通过（1）可知a n=2n+1，进而裂项、并项相加即得结论．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，因为S5=5a3=35，a5+a7=26，…所以，解得a1=3，d=2，…所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1，…，…（2）由（1）知a n=2n+1，所以，…所以．…19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）法一：由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用，化简可得cosA，结合范围A∈（0，π），由特殊角的三角函数值即可得解A的值．法二：由已知及余弦定理，整理可求cosA，结合范围A∈（0，π），由特殊角的三角函数值即可得解A的值．（Ⅱ）利用三角形面积公式可求bc的值，进而利用余弦定理可求b2+c2=8，联立即可得解b，c的值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）法一：由（2b﹣c）cosA﹣acosC=0及正弦定理得（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC=0，所以2sinBcosA﹣sin（A+C）=0，…因为sinB=sin（A+C）＞0，所以，…因为A∈（0，π），所以．…法二：由（2b﹣c）cosA﹣acosC=0及余弦定理得，整理得b2+c2﹣a2=bc，…从而，…因为A∈（0，π），所以．…（Ⅱ）△ABC的面积，故bc=4．…而a2=b2+c2﹣2bccosA=4，故b2+c2=8，…所以b=c=2．…20．已知数列{a n}的前n项和为S n=2n2﹣30n．（1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；（2）求使得S n最小的序号n的值．【考点】数列递推式．【分析】（1）n≥2，，a n=S n﹣S n﹣1=4n﹣32，由此能求出结果．（2），由此能求出结果．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n=2n2﹣30n．∴n≥2，，=4n﹣32，a n=S n﹣S n﹣1n=1时，a1=S1=﹣28，也适合上式，∴这个数列的通项公式为a n=4n﹣32．=（4n﹣32）﹣[4（n﹣1）﹣32]=4，又∵n≥2，a n﹣a n﹣1∴{a n}是等差数列．（2），又∵n是正整数，∴n=7或8时，S n最小，最小值是S7=S8=2×﹣=﹣112．21．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理．【解答】解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为y元，则底面积为m2，池底的造价为1600×150=240000元，则y=240000+720（x+）≥240000+720×2=240000+720×2×40=297600，当且仅当x=，即x=40时，y有最小值297600（元）答：当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元．22．已知数列{a n}的首项a1=1，且a n+1=2a n+3，n∈N+（1）求证：数列{a n+3}是等比数列；（2）求数列{n（a n+3）}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）a n+1+3=2a n+3+3，即a n+1+3=2（a n+3），由等比数列的定义，即可证数列{a n+3}是等比数列；（2）根据（1）由等比数列的通项公式，求出a n+3，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式，求出前n项和T n．【解答】解：（1）a n+1+3=2a n+3+3，即a n+1+3=2（a n+3），∴，又a1+3=4≠0，∴数列{a n+3}是首项为4，公比为2的等比数列；（2）由（1）得a n+3=4•2n﹣1=2n+1，∴n（a n+3）=n•2n+1，T n=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1，①2T n=1×23+2×24+…+（n﹣1）•2n+1+n•2n+2，②①﹣②得：﹣T n=4+23+24+…+2n+1﹣n•2n+2=4+﹣n•2n+2=﹣4+（1﹣n）•2n+2，∴T n=2n+2（n﹣1）+4．2017年1月15日。

2019-2020学年山东省潍坊市寿光现代中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知命题:0P x ∀>，总有(1)1x x e +>，则p ⌝为（ ）A ．00x ∃≤ 使得00(1)xx e +1≤B ．00x ∃> 使得00(1)xx e +1≤C ．0x ∀> 总有(1)1x x e +≤D ．0x ∀≤,总有(1)1x x e +≤【答案】B【解析】利用全称命题的否定解答即得解. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p 为∃x 0＞0，使得（x 0+1）0e x ≤1， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.2．已知空间向量()()1,,2,2,1,2a n b ==-r r ，若2a b -r r 与b r垂直，则||a r 等于（ ）A ．B C D 【答案】D【解析】∵a v=（1，n ，2），b v=（﹣2，1，2），∴2a v ﹣b v=（4，2n ﹣1，2）， ∵2a v ﹣b v 与b v垂直，∴（2a v ﹣b v）•b v =0，∴﹣8+2n ﹣1+4=0，解得，n=52，∴a v=（1，52，2）∴|a v ．故选D ．3．若110a b<<，则下列不等式中不正确的是（）. A ．a b ab +< B ．2b aa b+> C ．2ab b <D ．22a b >【答案】D【解析】先判断出0a b 、、的大小关系，然后根据不等式的性质以及基本不等式逐项判断. 【详解】 由110a b<<，得0b a <<，22a b ∴<，2ab b <，故D 不正确，C 正确；0a b <Q +，0ab >，a b ab ∴+<，故A 正确；0b a >Q，0a b >，2b a a b ∴+>=，取等号时a b =，故B 正确，故选D . 【点睛】本题考查利用不等式性质以及基本不等式判断不等式是否成立，难度一般.注意使用基本不等式计算最值时，取等号的条件一定要记得添加.4．双曲线221y x m-=的充分必要条件是（ ）A ．12m >B ．m 1≥C ．1m >D ．2m >【答案】C【解析】根据离心率定义得到e =>. 【详解】双曲线221y x m -=的离心率大于2，则0m >，且11e m =>>故选：C 【点睛】本题考查了根据离心率的范围求参数，意在考查学生的计算能力. 5．若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ． 【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养． 6．已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB AC u u u r u u u r与的夹角为（ ） A ．030 B ．045C ．060D ．090【答案】C【解析】先求出,AB AC u u u r u u u r的坐标，再利用空间向量夹角余弦公式求解即可.【详解】因为()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，所以()()10,1,0,3,3,AB AC =-u u u r u u u r=，1cos ,2322AB AC AB AC AB AC ⋅===⨯⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，0,60AB AC =u u u r u u u r故选C. 【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算以及空间向量夹角余弦公式的应用，属于基础题. 7．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，121AB BC AA ，===，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ）A ．6 B 25C 15D 10【答案】D【解析】如图，作出1BC 在平面11BB D D 上的射影1C E ，求出1BC 和1C E ，然后直接求正弦值111sin C EC BE BC∠=即可 【详解】如图所示，在平面1111D C B A 内过点1C 作11B D 的垂线，垂足为E ，连接BE .1111111111C E B D C E BB C E B D BB B ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭平面11BDD B ，1C BE ∴∠的正弦值即为所求.221215BC =+=Q ，1222C E ==，111210sin 55C E C BE BC ∴∠===.【点睛】本题考查线面角的计算问题，属于基础题，解题核心在于找到平面外直线在平面的射影 8．若直线2y kx =-与抛物线28y x =交于,A B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且,4,AF BF 成等差数列，则k = （ ） A ．2或1- B ．1-C ．2D ．15【答案】C【解析】设1122,,()(),A x y B x y ．由228y kx y x=-⎧⎨=⎩得()224240k x k x -++=，由韦达定理得1224(2)k x x k++=，因为直线2y kx =-与抛物线28y x =交于,A B 两个不同的点，所以>0∆即1k >-， 由抛物线的性质可知11222,222p pAF x x BF x x =+=+=+=+，再结合条件有124x x +=，进而得而出答案。

2020-2021学年山东省潍坊市寿光市现代中学高二（上）期中数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）已知直线l的方向向量α⃗ .平面α的法向量μ⃗ .若α⃗ =（1.1.1）. μ⃗ =（-1.0.1）.则直线l与平面α的位置关系是（）A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.直线l在平面α内或直线l与平面α平行2.（单选题.5分）方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是（）＜m＜1A. 14B.m＜1或m＞14C.m＜14D.m＞13.（单选题.5分）设直线ax+by+c=0的倾斜角为α.且sinα+cosα=0.则a.b满足（）A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=04.（单选题.5分）若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1无交点.则点P（b.a）与圆C的位置关系是（）A.点在圆上B.点在圆外C.点在圆内D.不能确定5.（单选题.5分）设α.β是两个不同的平面.l.m是两条不同的直线.且l⊂α.m⊂β.（）A.若l⊥β.则α⊥βB.若α⊥β.则l⊥mC.若l || β.则α || βD.若α || β.则l || m6.（单选题.5分）已知点A（2.-1）.B（3.m）.若m∈[ −√33−1，√3−1 ].则直线AB的倾斜角的取值范围为（）A.[ π3 . 5π6]B.[0. π3]∪[ 5π6.π）C.[ π3 . π2）∪（π2. 5π6]D.[ π3 . π2）∪[ 5π6.π）7.（单选题.5分）已知圆M：x2+y2-2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2 √2 .则圆M与圆N：（x-1）2+（y-1）2=1的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.相离8.（单选题.5分）将一张坐标纸折叠一次.使得点（0.2）与点（4.0）重合.点（7.3）与点（m.n）重合.则m+n=（）A. 345B. 365C. 283D. 3239.（多选题.5分）下列命题正确的是（）A.若直线AB与直线CD是异面直线.则直线AC与直线BD一定异面B.方程x2+y2+2ax-b2=0表示圆的一般方程C.若空间向量a⃗ . b⃗⃗ . c⃗不共面.则a⃗+b⃗⃗ . a⃗+c⃗ . b⃗⃗ - c⃗不共面D.夹在两个平行平面间的两条平行线段相等10.（多选题.5分）已知直线l：（a2+a+1）x-y+1=0.其中a∈R.下列说法正确的是（）A.当a=-1时.直线l与直线x+y=0垂直B.若直线l与直线x-y=0平行.则a=0C.直线l过定点（0.1）D.当a=0时.直线l在两坐标轴上的截距相等11.（多选题.5分）下列说法正确的有（）A.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限.则（k.b）在第二象限B.任何一条直线都有倾斜角.都存在斜率C.过点（2.-1）斜率为- √3的点斜式方程为y+1=- √3（x-2）D.直线的斜率越大.倾斜角越大12.（多选题.5分）如图.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.E是DD1的中点.则（）A.直线B1C || 平面A1BDB.B1C⊥BD1C.三棱锥C1-B1CE的体积为13D.异面直线B1C与BD所成的角为60°13.（填空题.5分）已知A（1.-2.11）、B（4.2.3）、C（x.y.15）三点共线.则xy=___ ．14.（填空题.5分）已知C的圆心在直线x-2y-3=0上.且过点A（2.-3）.B（-2.-5）.则圆C的标准方程为___ ．15.（填空题.5分）当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时.直线y=（k-1）x+2的倾斜角a=___ ．16.（填空题.5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上.且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2.0）.B（0.4）.AC=BC.则△ABC的欧拉线方程为___ ．17.（问答题.10分）求适合下列条件的直线方程：（1）经过点A（2.-3）.并且其倾斜角等于直线x−√3y+1=0的倾斜角的2倍的直线方程．（2）求经过点A（-2.2）并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程．18.（问答题.12分）已知△ABC的顶点C（2.-8）.直线AB的方程为y=-2x+11.AC边上的高BH所在直线的方程为x+3y+2=0．（1）求顶点A和B的坐标；（2）求△ABC外接圆的一般方程．19.（问答题.12分）已知圆C经过点A（2.-1）.和直线x+y-1=0相切.且圆心在直线y=-2x上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过原点.并且被圆C截得的弦长为2.求直线l的方程．20.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy中.已知圆心在第二象限.半径为2 √2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．（1）求圆C的方程；（2）试探求圆C上是否存在异于原点的点Q.使Q到定点F（4.0）的距离等于线段OF的长.若存在.请求出点Q的坐标；若不存在.请说明理由．21.（问答题.12分）如图.已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直.AB=AF=2.∠ADC=60°.（1）求直线BF与平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面FBD的距离．22.（问答题.12分）如图所示的几何体P-ABCDE中.△ABP和△AEP均为以A为直角顶点的等腰直角三角形.AB⊥AE.AB || CE.AE || CD.CD=CE=2AB=4.M为PD的中点．（Ⅰ）求证：CE⊥PE；（Ⅱ）求二面角M-CE-D的大小；（Ⅲ）设N为线段PE上的动点.使得平面ABN || 平面MCE.求线段AN的长．2020-2021学年山东省潍坊市寿光市现代中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）已知直线l的方向向量α⃗ .平面α的法向量μ⃗ .若α⃗ =（1.1.1）. μ⃗ =（-1.0.1）.则直线l与平面α的位置关系是（）A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.直线l在平面α内或直线l与平面α平行【正确答案】：D【解析】：由α⃗• μ⃗ =0.即可判断出直线l与平面α的位置关系．【解答】：解：∵ α⃗• μ⃗ =-1+1=0.∴ α⃗⊥ μ⃗ .∴直线l在平面α内或直线l与平面α平行．故选：D．【点评】：本题考查了平面法向量的应用、直线与平面的位置关系.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．2.（单选题.5分）方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是（）A. 1＜m＜14或m＞1B.m＜14C.m＜14D.m＞1【正确答案】：B【解析】：利用圆的一般方程表示圆的充要条件.D2+E2-4F＞0 求解即可．或m＞1．【解答】：解：由（4m）2+4-4×5m＞0知m＜14故选：B．【点评】：本题考查二元二次方程表示圆的充要条件.考查知识的应用能力.是基础题．3.（单选题.5分）设直线ax+by+c=0的倾斜角为α.且sinα+cosα=0.则a.b满足（）A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【正确答案】：D【解析】：由sinα+cosα=0.我们易得tanα=-1.即函数的斜率为-1.进而可以得到a.b的关系．【解答】：解：∵sinα+cosα=0∴tanα=-1.k=-1.- a=-1.a=b.a-b=0b故选：D．【点评】：本题考查的知识点是同角三角函数关系及直线的倾斜角.根据已知求出直线的斜率.再根据倾斜角与斜率之间的关系是解答的关键．4.（单选题.5分）若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1无交点.则点P（b.a）与圆C的位置关系是（）A.点在圆上B.点在圆外C.点在圆内D.不能确定【正确答案】：C＞1.变形可得：【解析】：根据题意.分析圆的圆心与半径.由直线与圆的位置关系可得d=√a2+b2a2+b2＜1.即（a-0）2+（b-0）2＜1.由点与圆的位置关系分析可得答案．【解答】：解：根据题意.圆C：x2+y2=1的圆心为（0.0）.半径r=1.＞1.直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1无交点.则圆心C到直线的距离d=√a2+b2变形可得：a2+b2＜1.即（a-0）2+（b-0）2＜1.则点P（b.a）一定在圆的内部；故选：C．【点评】：本题考查直线与圆、点圆的位置关系的判定.关键是掌握点到圆及直线到圆的位置关系的判别方法.属于基础题．5.（单选题.5分）设α.β是两个不同的平面.l.m是两条不同的直线.且l⊂α.m⊂β.（）A.若l⊥β.则α⊥βB.若α⊥β.则l⊥mC.若l || β.则α || βD.若α || β.则l || m【正确答案】：A【解析】：A根据线面垂直的判定定理得出A正确；B根据面面垂直的性质判断B错误；C根据面面平行的判断定理得出C错误；D根据面面平行的性质判断D错误．【解答】：解：对于A.∵l⊥β.且l⊂α.根据线面垂直的判定定理.得α⊥β.∴A正确；对于B.当α⊥β.l⊂α.m⊂β时.l与m可能平行.也可能垂直.∴B错误；对于C.当l || β.且l⊂α时.α与β可能平行.也可能相交.∴C错误；对于D.当α || β.且l⊂α.m⊂β时.l与m可能平行.也可能异面.∴D错误．故选：A．【点评】：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题.也考查了数学符号语言的应用问题.是基础题目．6.（单选题.5分）已知点A（2.-1）.B（3.m）.若m∈[ −√33−1，√3−1 ].则直线AB的倾斜角的取值范围为（）A.[ π3 . 5π6]B.[0. π3]∪[ 5π6.π）C.[ π3 . π2）∪（π2. 5π6]D.[ π3 . π2）∪[ 5π6.π）【正确答案】：B【解析】：根据题意.设直线AB的倾斜角为α.由AB的坐标求出直线AB的斜率.结合m的范围可得k即tanα的取值范围.又由正切函数的性质分析可得α的范围.即可得答案．【解答】：解：根据题意.设直线AB的倾斜角为α.点A（2.-1）.B（3.m）.则直线AB的斜率k= m+13−2=m+1.又由m∈[ −√33−1，√3−1 ].则k的取值范围为[- √33. √3 ].即tanα的范围为[- √33. √3 ].又由0≤α＜π.则α∈[0. π3]∪[ 5π6.π）.故选：B．【点评】：本题考查直线的斜率计算.涉及直线斜率与倾斜角的关系.属于基础题．7.（单选题.5分）已知圆M：x2+y2-2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2 √2 .则圆M与圆N：（x-1）2+（y-1）2=1的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.相离【正确答案】：B【解析】：根据直线与圆相交的弦长公式.求出a的值.结合两圆的位置关系进行判断即可．【解答】：解：圆的标准方程为M：x2+（y-a）2=a2（a＞0）.则圆心为（0.a）.半径R=a.圆心到直线x+y=0的距离d=√2.∵圆M：x2+y2-2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2 √2 .∴2 √R2−d2 =2 √a2−a22 =2 √a22=2 √2 .即√a 22= √2 .即a2=4.a=2.则圆心为M（0.2）.半径R=2.圆N：（x-1）2+（y-1）2=1的圆心为N（1.1）.半径r=1. 则MN= √12+12 = √2 .∵R+r=3.R-r=1.∴R-r＜MN＜R+r.即两个圆相交．故选：B．【点评】：本题主要考查直线和圆相交的应用.以及两圆位置关系的判断.根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键．8.（单选题.5分）将一张坐标纸折叠一次.使得点（0.2）与点（4.0）重合.点（7.3）与点（m.n）重合.则m+n=（）A. 345B. 365C. 283D. 323【正确答案】：A【解析】：由两点关于一条直线对称的性质.求得对称轴所在的直线方程为 2x-y-3=0.再根据垂直及中点在轴上这两个条件求得m.n的值.可得m+n的值【解答】：解：由题意可得.对称轴所在的直线即为点（0.2）与点（4.0）构成的线段的中垂线．由于点（0.2）与点（4.0）连成的线段的中点为（2.1）.斜率为- 12.故对称轴所在的直线方程为y-1=2（x-2）.即 2x-y-3=0．再根据点（7.3）与点（m.n）重合.可得{n−3m−7×2=−12•m+72−n+32−3=0.求得{m=35n=315.∴m+n= 345.故选：A．【点评】：本题主要考查两点关于一条直线对称的性质.求一个点关于某直线的对称点的坐标的求法.利用了垂直及中点在轴上这两个条件.还考查了中点公式.用两点式求直线的方程.属于基础题．9.（多选题.5分）下列命题正确的是（）A.若直线AB与直线CD是异面直线.则直线AC与直线BD一定异面B.方程x2+y2+2ax-b2=0表示圆的一般方程C.若空间向量a⃗ . b⃗⃗ . c⃗不共面.则a⃗+b⃗⃗ . a⃗+c⃗ . b⃗⃗ - c⃗不共面D.夹在两个平行平面间的两条平行线段相等【正确答案】：AD【解析】：用反证法判断直线AC.BD 一定是异面直线.选项A 正确；根据表示圆的条件得出选项B 错误；假设存在非零实数x.y.z 使得x （ a ⃗ + b ⃗⃗ ）+y （ a ⃗ + c ⃗ ）+z （ b ⃗⃗ - c ⃗ ）= 0⃗⃗ .求出x 、y 、z 的值.判断选项C 错误；利用平行四边形证明夹在两个平行平面间的两条平行线段相等.判断选项D 正确．【解答】：解：对于A.假设直线AC.BD 不是异面直线即直线AC.BD 共面；则A.B.C.D 四点共面.所以AB.CD 是共面直线.这与已知条件“AB .CD 是两个异面直线”矛盾． 所以假设不成立.所以直线AC.BD 一定是异面直线.选项A 正确；对于B.只有当a 2+b 2＞0时.方程x 2+y 2+2ax-b 2=0表示圆的一般方程.所以选项B 错误；对于C.假设存在非零实数x.y.z 使得x （ a ⃗ + b ⃗⃗ ）+y （ a ⃗ + c ⃗ ）+z （ b ⃗⃗ - c ⃗ ）= 0⃗⃗ . 则 {x +y =0x +z =0y −z =0.解得-x=y=z.不妨令x=1.y=z=-1. 所以存在非零实数x.y.z 使得x （ a ⃗ + b ⃗⃗ ）+y （ a ⃗ + c ⃗ ）+z （ b ⃗⃗ - c ⃗ ）= 0⃗⃗ . 所以 a ⃗ + b ⃗⃗ . a ⃗ + c ⃗ . b ⃗⃗ - c ⃗ 共面.C 错误；对于D.设平面α || β.直线AB || CD.且A∈α.B∈β.C∈α.D∈β；连接AC.BD.如图所示；则由AB 、CD 确定平面为ABDC.且AC 、BD 共面.无公共点.所以AC || BD.所以四边形ABDC 为平行四边形.所以AB=CD ；即夹在两个平行平面间的两条平行线段相等.选项D 正确．故选：AD ．【点评】：本题考查了命题真假的判断问题.也考查了分析问题与判断问题的能力.是中档题．10.（多选题.5分）已知直线l ：（a 2+a+1）x-y+1=0.其中a∈R .下列说法正确的是（ ）A.当a=-1时.直线l 与直线x+y=0垂直B.若直线l 与直线x-y=0平行.则a=0C.直线l过定点（0.1）D.当a=0时.直线l在两坐标轴上的截距相等【正确答案】：AC【解析】：对于A.当a=-1时.直线l的斜率k1=1.直线x+y=1的斜率为-1.直线l与直线x+y=0垂直；对于B.若直线l与直线x-y=0平行时.a=0或a=-1；对于C.无论a取何值.当x=0时.y=1；对于D.当a=0时.直线l：x-y+1=0在x轴上的截距为-1.在y轴上的截距为1．【解答】：解：直线l：（a2+a+1）x-y+1=0.对于A.当a=-1时.直线l的斜率k1=1.直线x+y=1的斜率为-1.直线l与直线x+y=0垂直.故A 正确；对于B.若直线l与直线x-y=0平行.则a2+a+1=1.解得a=0或a=-1.故B错误；对于C.无论a取何值.当x=0时.y=1.∴直线l过定点（0.1）.故C正确；对于D.当a=0时.直线l：x-y+1=0在x轴上的截距为-1.在y轴上的截距为1.当a=0时.直线l在两坐标轴上的截距不相等.故D错误．故选：AC．【点评】：本题考查命题真假的判断.考查直线方程、直线与直线平行、直线与直线垂直等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．11.（多选题.5分）下列说法正确的有（）A.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限.则（k.b）在第二象限B.任何一条直线都有倾斜角.都存在斜率C.过点（2.-1）斜率为- √3的点斜式方程为y+1=- √3（x-2）D.直线的斜率越大.倾斜角越大【正确答案】：AC【解析】：A中.由直线y=kx+b过第一、二、四象限得出k、b的取值范围.判断点（k.b）所在象限；B中.说明倾斜角为90°时斜率不存在；C中.由点斜式方程写出对应的直线方程；D中.在[0°.180°）时.直线的斜率越大.不满足倾斜角也越大．【解答】：解：对于A.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限.则k＜0.b＞0.所以点（k.b）在第二象限.选项A正确；对于B.任何一条直线都有倾斜角.但是不一定都存在斜率.如倾斜角为90°时斜率不存在.所以选项B错误；对于C.由点斜式方程知.过点（2.-1）斜率为- √3的点斜式方程为y+1=- √3（x-2）.所以选项C 正确；对于D.在[0°.90°）内.直线的斜率越大.倾斜角就越大；在（90°.180°）时.直线的斜率越大.倾斜角也越大；在[0°.180°）时.直线的斜率越大.不满足倾斜角也越大；所以选项D错误．故选：AC．【点评】：本题考查了直线方程的应用问题.也考查了命题真假的判断问题.是基础题．12.（多选题.5分）如图.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.E是DD1的中点.则（）A.直线B1C || 平面A1BDB.B1C⊥BD1C.三棱锥C1-B1CE的体积为13D.异面直线B1C与BD所成的角为60°【正确答案】：ABD【解析】：我们在研究线面关系时通常利用线面关系的判定定理和性质定理来解决.必要时利用转化思想来处理．在正方体中我们往往要掌握一些特殊的平行和垂直关系．在处理异面直线的夹角问题时我们要利用转化思想求解．【解答】：解：B1C || A1D.我们可得B1C || 平面A1BD.于是A选项正确；B1C⊥D1C.B1C⊥BC1.于是B1C⊥平面BD1C1.所以B1C⊥BC1.B选项正确；V C1−B1CE =V B1−C1EC=13S△C1EC•B1C1 = 16.于是C选项错误；由于B1C || A1D.则B1C与BD夹角等于A1D与BD夹角.在等边△A1BD中.∠A1DB=60°.故D选项正确．故选：ABD．【点评】：本题考查了线面的平行与垂直关系.难度适中.在考查几何体体积和异面直线夹角时注重考查了转化关系.难度增大．13.（填空题.5分）已知A（1.-2.11）、B（4.2.3）、C（x.y.15）三点共线.则xy=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由A （1.-2.11）、B （4.2.3）、C （x.y.15）三点共线.得 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λAC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .λ≠0.列出方程组.求出λ.x.y.由此能求出xy 的值．【解答】：解：∵A （1.-2.11）、B （4.2.3）、C （x.y.15）三点共线.∴ AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .λ≠0. ∴（3.4.-8）=λ（x-1.y+2.4）=（λ（x-1）.λ（y+2）.4λ）.∴ {λ(x −1)=3λ(y +2)=44λ=−8 .解得 {λ=−2x =−12y =−4.∴xy=- 12×(−4) =2．故答案为：2．【点评】：本题考查两数乘积的求法.考查三点共线、向量平行的性质等基础知识.考查运算求解能力.属于基础题．14.（填空题.5分）已知C 的圆心在直线x-2y-3=0上.且过点A （2.-3）.B （-2.-5）.则圆C 的标准方程为___ ．【正确答案】：[1]（x+1）2+（y+2）2=10【解析】：设圆心C （2a+3.a ）.根据CA 2=CB 2.求出a 的值.可得圆心和半径.从而求得圆的标准方程．【解答】：解：设圆心C （2a+3.a ）.由于圆经过点A （2.-3）.B （-2.-5）.则CA 2=CB 2.即 （2a+3-2）2+（a+3）2=（2a+3+2）2+（a+5）2.求得a=-2.可得圆心C （-1.-2）.故半径为CA= √(−1−2)2+(−2+3)2 = √10 .故圆的方程为 （x+1）2+（y+2）2=10.故答案为：（x+1）2+（y+2）2=10．【点评】：本题主要考查求圆的标准方程.关键是求出圆心和半径.属于中档题．15.（填空题.5分）当方程x 2+y 2+kx+2y+k 2=0所表示的圆的面积取最大值时.直线y=（k-1）x+2的倾斜角a=___ ．【正确答案】：[1] 3π4【解析】：把圆的一般方程化为标准方程.求出半径的平方取得最大值时k的值.可得所给直线的斜率.从而求得它的倾斜角．【解答】：解：当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆.即（x+ k2）2+（y+1）2 =1- 34k2 的面积取最大值时.有 1- 34k2 最大.∴k=0.直线y=（k-1）x+2.即 y=-x+2.它的斜率为-1.故它的倾斜角a= 3π4.故答案为：3π4．【点评】：本题主要考查圆的一般方程和标准方程.直线的斜率和倾斜角.属于中档题．16.（填空题.5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上.且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2.0）.B（0.4）.AC=BC.则△ABC的欧拉线方程为___ ．【正确答案】：[1]x-2y+3=0【解析】：直接利用直线的垂直的充要条件和定义性问题的应用求出结果．【解答】：解：由题意知：线段AB的中点M（1.2）所以k AB=-2.所以线段AB的垂直平分线为y-2= 12(x−1) .即x-2y+3=0．由于AC=BC.所以△ABC的重心.外心垂心都位于线段AB的垂直平分线上.因此△ABC的欧拉线方程为x-2y+3=0．故答案为：x-2y+3=0．【点评】：本题考查的知识要点：直线的方程.直线垂直的充要条件.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．17.（问答题.10分）求适合下列条件的直线方程：（1）经过点A（2.-3）.并且其倾斜角等于直线x−√3y+1=0的倾斜角的2倍的直线方程．（2）求经过点A（-2.2）并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程．【正确答案】：【解析】：（1）首先利用点斜式的应用求出直线的方程．（2）利用截距式的应用和三角形的面积求出直线的方程．【解答】：解：（1）因为直线 x −√3y +1=0 的斜率为 √3 .所以其倾斜角为30°. 所以.所求直线的倾斜角为60°.故所求直线的斜率为 √3 .又所求直线经过点A （2.-3）.所以其方程为 y +3=√3(x −2) .即 √3x −y −3−2√3=0 .（2）设直线方程为 x a +y b =1 . 则 {12|ab |=1−2a +2b =1 .解得 {a =2b =1 或 {a =−1b =−2 .故所求的直线方程为：x+2y-2=0或2x+y+2=0．【点评】：本题考查的知识要点：直线方程的形式.点斜式和截距式.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．18.（问答题.12分）已知△ABC 的顶点C （2.-8）.直线AB 的方程为y=-2x+11.AC 边上的高BH 所在直线的方程为x+3y+2=0．（1）求顶点A 和B 的坐标；（2）求△ABC 外接圆的一般方程．【正确答案】：【解析】：（1）由题意直线BH.AB 联立求出B 的坐标.及求出直线AC 的方程.与直线AB 联立求出A 的坐标；（2）设圆的一般方程将A.B.C 三点坐标代入求出圆的一般方程．【解答】：解：（1）由 {y =−2x +11x +3y +2=0可得顶点B （7.-3）. 又因为AC⊥BH 得. k BH =−13 .所以设AC 的方程为y=3x+b.将C （2.-8）代入得b=-14.由 {y =−2x +11y =3x −14可得顶点为A （5.1）. 所以A 和B 的坐标分别为（5.1）和（7.-3）.（2）设△ABC 的外接圆方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.将A （5.1）、B （7.-3）和C （2.-8）三点的坐标分别代入得 {5D +E +F +26=07D −3E +F +58=02D −8E +F +68=0 则有 {D =−4E =6F =−12.所以△ABC 的外接圆的一般方程为x 2+y 2-4x+6y-12=0．【点评】：考查求直线与直线的交点和圆的方程.属于基础题．19.（问答题.12分）已知圆C 经过点A （2.-1）.和直线x+y-1=0相切.且圆心在直线y=-2x 上．（1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 经过原点.并且被圆C 截得的弦长为2.求直线l 的方程．【正确答案】：【解析】：（1）设出圆心坐标和半径.根据题目条件列方程组可解得；（2）根据点到直线的距离及勾股定理可得直线斜率k ．【解答】：解：（1）由题可设圆心（a.-2a ）.半径为r （r ＞0）.则圆的方程为：（x-a ）2+（y+2a ）2=r 2所以 (2−a )2+(−1+2a )2=r 2√2=r 解得 {a =1r =√2. 所以圆C 的方程为（x-1）2+（y+2）2=2；（2）当直线l 斜率不存在时.满足条件.此时直线方程为 x=0.当直线l 斜率存在时.设直线方程为：kx-y=0.则 1+（ √k 2+1 2=2 解得k=- 34 . 此时直线方程：3x+4y=0.故所求直线方程为x=0或 3x+4y=0．【点评】：本题考查了直线与圆相交的性质.属中档题．20.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy中.已知圆心在第二象限.半径为2 √2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．（1）求圆C的方程；（2）试探求圆C上是否存在异于原点的点Q.使Q到定点F（4.0）的距离等于线段OF的长.若存在.请求出点Q的坐标；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设出圆的标准方程.由相切和过原点的条件.建立方程求解．（2）要探求圆C上是否存在异于原点的点Q.使Q到定点F（4.0）的距离等于线段OF的长.我们可以转化为探求圆（x-4）2+y2=16与（1）所求的圆的交点数．【解答】：解：（1）设圆心坐标为（m.n）（m＜0.n＞0）.则该圆的方程为（x-m）2+（y-n）2=8已知该圆与直线y=x相切.那么圆心到该直线的距离等于圆的半径.则√2=2 √2即|m-n|=4 ①又圆与直线切于原点.将点（0.0）代入得m2+n2=8 ②联立方程① 和② 组成方程组解得{m=−2 n=2故圆的方程为（x+2）2+（y-2）2=8；（2）设Q（x.y）.则Q到定点F（4.0）的距离等于线段OF的长.方程为（x-4）2+y2=16．联立两圆.解得x= 45 .y= 125．即存在异于原点的点Q（45 . 125）.使得Q到定点F（4.0）的距离等于线段OF的长．【点评】：本题考查的是圆的位置关系和圆锥曲线的基本概念的理解．对于题中第二小问中.探求圆C上是否存在异于原点的点Q.使Q到定点F（4.0）的距离等于线段OF的长.我们可以转化为探求圆（x-4）2+y2=16与（1）所求的圆的交点数.可使问题简化．21.（问答题.12分）如图.已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直.AB=AF=2.∠ADC=60°.（1）求直线BF与平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面FBD的距离．【正确答案】：【解析】：以OD 为x 轴.OA 为y 轴.建立空间坐标系.（1）求出平面ABCD 的法向量. BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√3，1，2) .通过空间向量的数量积求解直线BF 与平面ABCD 的夹角．（2）求出平面FBD 的法向量. AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，0，2) .利用空间向量的数量积求解点A 到平面FBD 的距离．【解答】：解：设AC∩BD=O .以OD 为x 轴.OA 为y 轴.建立空间坐标系.（1）由已知得：A （0.1.0）. B(−√3，0，0) .C （0.-1.0）. D(√3，0，0) .F （0.1.2）.易得平面ABCD 的法向量为 m ⃗⃗⃗=(0，0，1) . BF⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√3，1，2) . cos ＜m ⃗⃗⃗，BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＞=m ⃗⃗⃗⃗BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|m ⃗⃗⃗⃗|•|BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1•2√2=√22.即 ＜m ⃗⃗⃗，BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＞=π4 . 所以直线BF 与平面ABCD 的夹角为 π4 ．（2）因为 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2√3，0，0) . BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√3，1，2) .设平面FBD 的法向量为 n ⃗⃗=(x ，y ，z) . {BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n ⃗⃗=0BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n ⃗⃗=0⇒{x =0√3x +y +2z =0 . 令z=1得 n ⃗⃗=(0，−2，1) .又因为 AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，0，2) . 所以点A 到平面FBD 的距离 d =AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗n ⃗⃗|n ⃗⃗|=√5=2√55．【点评】：本题考查了线面角的求法和点到平面的距离.考查了运算求解能力和转化与化归能力.空间想象能力.属于中档题．22.（问答题.12分）如图所示的几何体P-ABCDE 中.△ABP 和△AEP 均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形.AB⊥AE .AB || CE.AE || CD.CD=CE=2AB=4.M 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：CE⊥PE ；（Ⅱ）求二面角M-CE-D 的大小；（Ⅲ）设N 为线段PE 上的动点.使得平面ABN || 平面MCE.求线段AN 的长．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）推导出PA⊥AB .PA⊥AE .PA⊥平面ABCDE.AB⊥AE .建立以A 为原点.AB.AE.AP 为x.y.z 轴的空间直角坐标系.利用向量法能证明CE⊥PE ．（Ⅱ）求出平面MEC 的法向量和平面DEC 的一个法向量.利用向量法能求出二面角M-CE-D 的大小．（Ⅲ）设 PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .[λ∈[0.1]）.求出N （0.2λ.2-2λ）.令 AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ n ⃗⃗ .则 AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n ⃗⃗ =0.解得N 为PE 的中点.利用向量法能求出线段AN 的长．【解答】：解：（Ⅰ）证明：依题意△ABP 和△AEP 均为以直角为顶点的等腰直角三角形. 则PA⊥AB .PA⊥AE .∴PA⊥平面ABCDE.又AB⊥AE .建立以A 为原点.AB.AE.AP 为x.y.z 轴的空间直角坐标系.则A （0.0.0）.B （2.0.0）.C （4.2.0）.D （4.6.0）.E （0.2.0）.P （0.0.2）.M （2.3.1）. CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-4.0.0）. PE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.2.-2）. ∵ CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∴CE⊥PE ． （Ⅱ）解： ME⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2.-1.-1）. MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.-1.-1）. 设 n ⃗⃗ =（x.y.z ）是平面MEC 的法向量.则 {n ⃗⃗•ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2x −y −z =0n ⃗⃗•MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2x −y −z =0.令y=1.得 n ⃗⃗ =（0.1.-1）. 平面DEC 的一个法向量 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.0.2）. ∴cos ＜ n ⃗⃗，AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞= n ⃗⃗•AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗|•|AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| =- √22 . 由图得二面角M-CE-D 为锐二面角.∴二面角M-CE-D 的大小为45°．（Ⅲ）解：设 PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .[λ∈[0.1]）.N （x.y.z ）. 则（x.y.z-2）=λ（0.2.-2）.∴N （0.2λ.2-2λ）.令 AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ n ⃗⃗ .则 AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n ⃗⃗ =0.解得 λ=12 .∴N 为PE 的中点.∵AB || 平面MCE.AN || 平面MCE.AB∩AN=A .∴当N 为PE 的中点时.平面ABN || 平面MCE.此时.N （0.1.1）.| AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √02+12+12 = √2 ． ∴线段AN 的长为 √2 ．【点评】：本题考查线线垂直的证明.考查二面角的求法.考查线段长的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力以及化归与转化思想.是中档题．。

2019-2020学年山东省潍坊市寿光现代中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知命题:0P x ∀>，总有(1)1x x e +>，则p ⌝为（ ）A ．00x ∃≤ 使得00(1)xx e +1≤B ．00x ∃> 使得00(1)xx e +1≤C ．0x ∀> 总有(1)1x x e +≤D ．0x ∀≤,总有(1)1x x e +≤【答案】B【解析】利用全称命题的否定解答即得解. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p 为∃x 0＞0，使得（x 0+1）0e x ≤1， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.2．已知空间向量()()1,,2,2,1,2a n b ==-r r ，若2a b -r r 与b r垂直，则||a r 等于（ ）A 53B ．212C ．372D ．352【答案】D【解析】∵a v=（1，n ，2），b v =（﹣2，1，2），∴2a v ﹣b v=（4，2n ﹣1，2）， ∵2a v ﹣b v 与b v垂直，∴（2a v ﹣b v）•b v =0，∴﹣8+2n ﹣1+4=0，解得，n=52， ∴a v=（1，52，2）∴|a v 25144++35．故选D ．3．若110a b<<，则下列不等式中不正确的是（）. A ．a b ab +< B ．2b aa b+> C ．2ab b <D ．22a b >【答案】D【解析】先判断出0a b 、、的大小关系，然后根据不等式的性质以及基本不等式逐项判断. 【详解】 由110a b<<，得0b a <<，22a b ∴<，2ab b <，故D 不正确，C 正确；0a b <Q +，0ab >，a b ab ∴+<，故A 正确；0b a >Q ，0a b >，2b a b aa b a b∴+>⋅=，取等号时a b =，故B 正确，故选D .【点睛】本题考查利用不等式性质以及基本不等式判断不等式是否成立，难度一般.注意使用基本不等式计算最值时，取等号的条件一定要记得添加.4．双曲线221y x m-=2的充分必要条件是（ ）A ．12m >B ．m 1≥C ．1m >D ．2m >【答案】C【解析】根据离心率定义得到12me +=>. 【详解】双曲线221y x m -=的离心率大于2，则0m >，且121me m +=>>故选：C 【点睛】本题考查了根据离心率的范围求参数，意在考查学生的计算能力. 5．若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ． 【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ． 【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．6．已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB AC u u u r u u u r与的夹角为（ ）A ．030B ．045C ．060D ．090【答案】C【解析】先求出,AB AC u u u r u u u r的坐标，再利用空间向量夹角余弦公式求解即可.【详解】因为()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，所以()()10,1,0,3,3,AB AC =-u u u r u u u r=，0301cos ,2322AB AC AB AC AB AC ⋅++===⨯⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，0,60AB AC =u u u r u u u r 故选C. 【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算以及空间向量夹角余弦公式的应用，属于基础题.7．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，121AB BC AA ，===，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ）A ．6 B ．25C ．155D ．105【答案】D【解析】如图，作出1BC 在平面11BB D D 上的射影1C E ，求出1BC 和1C E ，然后直接求正弦值111sin C EC BEBC ∠=即可 【详解】如图所示，在平面1111D C B A 内过点1C 作11B D 的垂线，垂足为E ，连接BE .1111111111C E B D C E BB C E B D BB B ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭平面11BDD B ，1C BE ∴∠的正弦值即为所求.221215BC =+=Q ，1222C E ==，111210sin 5C E C BE BC ∴∠===.【点睛】本题考查线面角的计算问题，属于基础题，解题核心在于找到平面外直线在平面的射影8．若直线2y kx =-与抛物线28y x =交于,A B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且,4,AF BF 成等差数列，则k = （ ） A ．2或1- B ．1-C ．2D ．15±【答案】C【解析】设1122,,()(),A x y B x y ．由228y kx y x =-⎧⎨=⎩得()224240k x k x -++=，由韦达定理得1224(2)k x x k ++=，因为直线2y kx =-与抛物线28y x =交于,A B 两个不同的点，所以>0∆即1k >-， 由抛物线的性质可知11222,222p pAF x x BF x x =+=+=+=+，再结合条件有124x x +=，进而得而出答案。

高二数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知直线l的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，若()1,1,1a =， ()1,0,1n =-，则直线l 与平面α的位置关系是（ ） A. 垂直B. 平行C. 相交但不垂直D. 直线l 在平面α内或直线l 与平面α平行 【答案】D 【解析】 【分析】由0a n =，即可判断出直线l 与平面α的位置关系． 【详解】∵110a n =-+=， ∴a ⊥n ，∴直线l 在平面α内或直线l 与平面α平行． 故选D ．【点睛】本题考查平面法向量的应用、直线与平面位置关系的判定，考查推理能力与计算能力．2. 方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是（ ）A.114m << B. 114mm 或 C. 14m <D. 1m【答案】B 【解析】 【分析】由圆的方程化化为222(2)(1)451x m y m m ++-=-+，得出24510m m -+>，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，圆224250x y mx y m ++-+=，可化为222(2)(1)451x m y m m ++-=-+，则24510m m -+>，即(41)(1)0m m -->，解得14m <或1m ，故选B. 【点睛】本题主要考查了圆的一般方程与标准方程的应用，其中熟练把圆的一般方程化为标准方程，得到24510m m -+>是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 3. 设直线0ax by c 的倾斜角为，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（）A. 1=+b aB. 1=-b aC.D.【答案】D 【解析】【详解】因为sin cos 0αα+=，所以tan 1α=-，1k =-，1ab-=-，a b =，0a b -=． 故选D4. 若直线l ：1ax by +=与圆C ：221x y +=无交点，则点(,)P b a 与圆C 的位置关系是（ ）A. 点在圆上B. 点在圆外C. 点在圆内D. 不能确定【答案】C 【解析】 【分析】由题意知圆心到直线的距离大于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，再利用两点间的距离公式判断，可得出结论．【详解】直线l ：1ax by +=与圆C ：221x y +=221a b>+，即221a b +<，∴点(),P b a 在圆C 内部. 故应选C.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，属于基础题.5. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A. 若l β⊥，则αβ⊥B. 若αβ⊥，则l m ⊥C. 若//l β，则//αβD. 若//αβ，则//l m【答案】A 【解析】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得l β⊥，l α⊂ 可得αβ⊥考点：空间线面平行垂直的判定与性质6. 已知点(2,1),(3,)A B m -，若1m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则直线AB 的倾斜角的取值范围为（ ） A. 5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 50,,36πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C. 5,,3226ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D.5,,326ππππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】依题意表示出AB k ，再根据m 的取值范围及斜率与倾斜角的关系计算可得； 【详解】解：因为(2,1),(3,)A B m -，所以()1132AB m k m --==+-，因为1m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1m ⎡+∈⎢⎣，设倾斜角为α，[)0,απ∈，则t an α⎡∈⎢⎣， 所以50,,36ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：B【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角之间的关系、正切函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．7. 已知圆()22:200M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆()()22:111N x y -+-=的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离【答案】B 【解析】化简圆()()2221:0,,M x y a a M a r a M +-=⇒=⇒到直线0x y +=的距离d =⇒()221220,2,2a a M r +=⇒=⇒=， 又()2121,1,1N r MN r r MN =⇒=⇒-<< 12r r +⇒两圆相交. 选B8. 将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(,)m n 重合，则m n +=（ ） A.345B.365C.283D.323【答案】A 【解析】 【分析】由两点关于一条直线对称的性质，求得对称轴所在的直线方程为230x y --=，再根据垂直及中点在轴上这两个条件求得m ，n 的值，可得m n +的值.【详解】由题意可得，对称轴所在的直线即为点(0,2)与点(4,0)构成的线段的中垂线. 由于点(0,2)与点(4,0)连成线段的中点为(2,1)，斜率为12-， 故对称轴所在的直线方程为12(2)y x -=-，即230x y --=.再根据点(7,3)与点(,)m n 重合，可得3217732?3022n m m n -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，求得35315m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，345m n ∴+=，故选：A.二、多选题（每小题给的选项中有多项符合要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分，每题5分共22分）9. 下列命题正确的是（ ）A. 若直线AB 与直线CD 是异面直线，则直线AC 与直线BD 一定异面B. 方程22220x y ax b ++-=表示圆的一般方程C. 若空间向量a ，b ，c 不共面，则a b +，a c +，b c -不共面D. 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等 【答案】AD 【解析】 【分析】用反证法判断直线AC ，BD 一定是异面直线，选项A 正确； 根据表示圆的条件得出选项B 错误；假设存在非零实数x ，y ，z 使得()()()0x a b y a c z b c ++++-=，求出x 、y 、z 的值，判断选项C 错误；利用平行四边形证明夹在两个平行平面间的两条平行线段相等，判断选项D 正确. 【详解】解：对于A ，假设直线AC ，BD 不是异面直线，即直线AC ，BD 共面； 则A ，B ，C ，D 四点共面，所以AB ，CD 是共面直线，这与已知条件“AB ，CD 是两个异面直线”矛盾.所以假设不成立，所以直线AC ，BD 一定是异面直线，选项A 正确；对于B ，只有当220a b +>时，方程22220x y ax b ++-=表示圆的一般方程，所以选项B 错误；对于C ，假设存在非零实数x ，y ，z 使得()()()0x a b y a c z b c ++++-=，则000x y x z y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得x y z -==，不妨令1x =，1y z ==-， 所以存在非零实数x ，y ，z 使得()()()0x a b y a c z b c ++++-=， 所以a b +，a c +，b c -共面，C 错误；对于D ，设平面//αβ，直线//AB CD ，且A α∈，B β∈，C α∈，D β∈； 连接AC ，BD ，如图所示；则由AB 、CD 确定平面为ABDC ，且AC 、BD 共面，无公共点，所以//AC BD ， 所以四边形ABDC 为平行四边形，所以AB CD =； 即夹在两个平行平面间的两条平行线段相等，选项D 正确. 故选：AD.10. 已知直线l ：2(1)10a a x y ++-+=，其中a R ∈，下列说法正确的是（ ） A. 当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直 B. 若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0 C. 直线l 过定点(0，1)D. 当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC 【解析】 【分析】利用两直线平行、垂直以及过定点和在两轴上的截距分析直线方程的特征，逐项分析，得到结果.【详解】对于A 项，当a ＝－1时，直线l 的方程为10x y -+=，显然与x ＋y ＝0垂直，所以正确；对于B 项，若直线l 与直线x －y ＝0平行，可知2(1)(1)1(1)a a ++⋅-=⋅-， 解得0a =或1a =-，所以不正确；对于C 项，当0x =时，有1y =，所以直线过定点(0,1)，所以正确； 对于D 项，当a ＝0时，直线l 的方程为10x y -+=，在两轴上的截距分别是1,1-，所以不正确； 故选：AC.【点睛】该题考查的是有关直线的问题，涉及到的知识点有两直线平行，两直线垂直，直线过定点问题，直线在两轴上的截距的求解，属于简单题目. 11. 下列说法正确的有（ ）A. 若直线y kx b =+经过第一、二、四象限，则(,)k b 在第二象限B. 任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率C. 过点(2,1)-斜率为12)y x +=-D. 直线的斜率越大，倾斜角越大 【答案】AC 【解析】 【分析】A 中，由直线y kx b =+过第一、二、四象限得出k 、b 的取值范围，判断点(,)k b 所在象限；B 中，倾斜角为90︒时斜率不存在；C 中，由点斜式方程写出对应的直线方程；D 中，在[0︒，180)︒时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大.【详解】解：对于A ，若直线y kx b =+经过第一、二、四象限，则0k <，0b >，所以点(,)k b 在第二象限，选项A 正确；对于B ，任何一条直线都有倾斜角，但是不一定都存在斜率，如倾斜角为90︒时斜率不存在，所以选项B 错误；对于C ，由点斜式方程知，过点(2,1)-斜率为12)y x +=-，所以选项C 正确；对于D ，在[0︒，90)︒内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；在90,1()80︒︒时，直线的斜率越大，倾斜角也越大；在[0︒，180)︒时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大；所以选项D 错误.故选：AC .12. 如图，正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，E是1DD的中点，则（）A. 直线1//B C平面1A BD B.11B C BD⊥C. 三棱锥11C B CE-的体积为13D. 异面直线1B C与BD所成的角为60︒【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A，()1,0,0B，()1,1,0C，()0,1,0D，()10,0,1A，()11,0,1B，()11,1,1C，()10,1,1D，10,1,2⎛⎫⎪⎝⎭E，()1B C0,1,1=-，()11,1,1BD=-，()1,1,0BD=-，()11,0,1BA =-所以()111011110B C BD=-⨯+⨯+-⨯=，即11BC BD⊥，所以11B C BD⊥，故B正确；()11011101B C BD=-⨯+⨯+-⨯=，12B C=2BD=，设异面直线1B C与BD所成的角为θ，则111cos2B C BDB C BDθ==，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D正确；设平面1A BD的法向量为(),,n x y z=，则1·0·0n BAn BD⎧=⎨=⎩，即x yx z-+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n=，则()10111110n B C=⨯+⨯+⨯-=，即1Cn B⊥，又直线1B C⊄平面1A BD，所以直线1//B C平面1A BD，故A正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选：ABD【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________. 【答案】2． 【解析】试题分析：由三点共线得向量AB 与AC 共线，即AB k AC =，(3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，124348x y -+==-，解得12x =-，4y =-，∴2xy =． 考点：空间三点共线．14. 已知圆C 的圆心在直线230x y --=上，且过点3(2,)A -，(2,5)B --，则圆C 的标准方程为_________【答案】22(1)(2)10x y +++= 【解析】 【分析】由圆心在直线230x y --=上有(23,)C m m +，设半径为r 结合所过点,A B 即可求圆C 的标准方程.【详解】圆C 的圆心在直线230x y --=上，令(23,)C m m +，半径为r ， ∴圆C 的方程为：222(23)()x m y m r --+-=，又3(2,)A -，(2,5)B --，有()()()()222222213{255m m r m m r+++=+++=，解得2210m r =-⎧⎨=⎩，有(1,2)C --， 故答案为：22(1)(2)10x y +++=；【点睛】本题考查了求圆的标准方程，根据圆心位置、所过的点求圆的方程，属于简单题. 15. 已知方程22220x y kx y k ++++=所表示的圆有最大的面积，则直线(1)2y k x =-+的倾斜角α=_______________． 【答案】34π【解析】 试题分析：方程22220x y kx y k ++++=所表示的圆为()()222243143024k k x y k -⎛⎫+++=-> ⎪⎝⎭，可得当0k =时面积最大，所以直线为2y x =-+，倾斜角为34π考点：圆的方程以及直线倾斜角16. 数学家欧拉在1740年提出定理：三角形外心、垂心、重心依次位于同一直线上，且重心到外心距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称为三角形的欧拉线，ABC 的顶点(2,0)A ，(0,4)B ，AC BC =，ABC 的欧拉线方程为________.【答案】230x y -+= 【解析】 【分析】由于AC BC =，可得ABC 的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，求出线段AB 的垂直平分线，即可得出ABC 的欧拉线方程.【详解】(2,0)A ，(0,4)B ，则线段AB 的中点为()1,2M ，40202AB k -==--， ∴线段AB 垂直平分线为：()1212y x -=-，即230x y -+=， AC BC =，∴ABC 的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，因此ABC 的欧拉线方程为：230x y -+=，故答案为：230x y -+=【点睛】本题考查了点斜式方程、中点坐标公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 求适合下列条件的直线方程：（1）经过点()2,3A -，并且其倾斜角等于直线10x -+=的倾斜角的2倍的直线方程. （2）求经过点()2,2A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程. 【答案】（130y ---=；（2）220x y +-=或220x y ++=. 【解析】 【分析】（1）求出直线10x +=的倾斜角,可得所求直线的倾斜角从而可求出斜率，再利用点斜式可求得方程. （2）设直线方程为1x y a b +=，将点()2,2A -代入，再结合面积为112ab =，即可解得a 、b 的值，从而求出直线的方程.【详解】（1）因为直线10x -+=， 所以其倾斜角为30，所以，所求直线的倾斜角为60︒又所求直线经过点()2,3A -，所以其方程为)32y x +=-，30y ---=，（2）设直线方程为1x ya b +=，则112221ab a b⎧=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或12a b =-⎧⎨=-⎩，故所求的直线方程为：220x y +-=或220x y ++=.【点睛】本题主要考查了求直线的方程，涉及了点斜式和截距式，属于中档题.18. 已知ABC ∆的顶点(2,8)C -，直线AB 的方程为211y x =-+，AC 边上的高BH 所在直线的方程为320x y ++=（1）求顶点A 和B 的坐标； （2）求ABC ∆外接圆的一般方程.【答案】（1）()5,1和()7,3-；（2）2246120x y x y +-+-=【解析】 【分析】（1）联立直线AB 与直线BH 的方程可得点B 的坐标，由AC BH ⊥，进而设出直线AC 的方程，将C 的坐标代入得方程，再与直线AB 方程联立即可得点A 的坐标； （2）由（1）知A ，B ，C 的坐标，设ABC ∆外接圆的一般方程，代入求解即可.【详解】（1）由211320y x x y =-+⎧⎨++=⎩可得顶点(7,3)B -,又因为AC BH ⊥得，13BH k =-所以设AC 的方程为3y x b =+， 将(2,8)C -代入得14b =-由211314y x y x =-+⎧⎨=-⎩可得顶点为(5,1)A 所以A 和B 的坐标分别为(5,1)和(7,3)-（2）设ABC ∆的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(5,1)A 、(7,3)B -和(2,8)C -三点的坐标分别代入，得52607358028680D E F D E F D E F +++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩，解得4612D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以ABC ∆的外接圆的一般方程为2246120x y x y +-+-=.【点睛】本题主要考查两直线交点的求法，待定系数法求圆的方程，属于基础题. 19. 已知圆C 经过点()2,1A -，和直线1x y +=相切，且圆心在直线2y x =-上. （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程.【答案】（1）()()22122x y -+=+；（2）0x =或34y x =-. 【解析】 【分析】（1）先设圆心的坐标为(),2C a a -，根据题中条件列出等量关系求解，得出a ，求出半径，进而可求出结果；（2）讨论直线l 的斜率不存在，和直线l 的斜率存在两种情况，根据弦长，列出等式求解，即可得出直线方程.【详解】（1）设圆心的坐标为(),2C a a -， 因为圆C 经过点()2,1A -，和直线1x y +=相切，=，化简得2210a a -+=，解得1a =，∴()1,2C -，半径r AC ===∴圆C 的方程为()()22122x y -+=+.（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为ykx =1=，解得34k =-，∴直线l 的方程为34y x =-， 综上所述，直线l 的方程为0x =或34y x =-. 【点睛】思路点睛：根据圆的弦长求弦所在直线方程的方法有：（1）几何法：根据圆的性质（圆心到直线距离的平方与弦长一半的平方和等于半径的平方）列出等式，即可求解；（2）代数法：设出所求直线方程，联立直线与圆的方程，根据弦长公式列出等式求解，即可得出结果.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O . （1）求圆C 的方程；（2）试探求圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点(4,0)F 的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）22(2)(2)8x y ++-=；（2）存在，412,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为()(),0,0m n m n <>，则该圆的方程为()()228x m y n -+-=，由相切和切于原点的条件，列出方程求解，即可得出结果；（2）先假设圆C 上存在异于原点的点(,)Q x y ，根据题中条件，得到,x y 满足的关系式，再和（1）中所求的圆的方程联立求解，即可得出结果. 【详解】（1）设圆心坐标为()(),0,0m n m n <>， 则该圆的方程为()()228x m y n -+-=，已知该圆与直线y x =相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，=4m n -=①又圆与直线y x =切于原点，所以110n m -⋅=--，即n m =-② 由①②解得22m n =-⎧⎨=⎩或22m n =⎧⎨=-⎩（舍），故圆的方程为()()22228x y ++-=；（2）假设圆C 上存在异于原点的点(,)Q x y ，使得Q 到定点(4,0)F 的距离等于线段OF 的长，4=，即()22416x y -+=，由()()()2222228416x y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩，解得45125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00x y =⎧⎨=⎩， 故存在异于原点的点412,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得Q 到定点(4,0)F 的距离等于线段OF 的长. 【点睛】关键点点睛：求解本题第二问的关键在于根据点Q 到定点(4,0)F 的距离等于线段OF 的长，得到一个新的圆的方程，将问题转化为求两圆交点的问题，即可求解.21. 如图，已知菱形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2==AB AF ，060ADC ∠=.(1)求直线BF 与平面ABCD 的夹角； (2)求点A 到平面FBD 的距离. 【答案】(1) 4π25【解析】 【分析】 设ACBD O =,以O 点为坐标原点，以OD 为x 轴， OA 为y 轴，过O 点且平行于AF 的方向为z 轴正方向，建立空间坐标系，（1）由题意，求出直线BF 的方向向量，平面ABCD 的一个法向量，由向量夹角，即可得到直线与平面夹角；（2）先求出平面FBD 的一个法向量n ，由点A 到平面FBD 的距离⋅=AF n d n，即可求出结果.【详解】设AC BD O =，因为菱形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，所以易得AF ⊥平面ABCD ；以O点为坐标原点，以OD 为x 轴， OA 为y 轴，过O 点且平行于AF的方向为z 轴正方向，建立空间坐标系，（1）由已知得：(0,1,0)A ,(3,0,0)B -,(0,1,0)C -,(3,0,0)D ,(0,1,2)F , 因为z 轴垂直于平面ABCD ，因此可令平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =，又(3,1,2)BF =, 设直线BF 与平面ABCD 的夹角为θ，则有2sin cos ,2122θ⋅=<>===⋅⋅m BF m BF m BF, 即4πθ=，所以直线BF 与平面ABCD 的夹角为4π. （2）因为(23,0,0)BD =,(3,1,2)BF =, 设平面FBD 的法向量为(,,)n x y z =，23000320x BD n BF n x y z ⎧⎧=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎩⎩，令1z =得(0,2,1)n =-， 又因为(0,0,2)AF =,所以点A 到平面FBD 的距离2555AF n d n⋅===.【点睛】本题主要考查求直线与平面所成的角，以及点到平面的距离问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.22. 如图所示的几何体P ABCDE -中，ABP △和AEP △均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形，AB AE ⊥，//AB CE ，//AE CD ，24CD CE AB ===，M 为PD 的中点.（1）求证：CE PE ⊥；（2）求二面角M CE D --的大小；（3）设N 为线段PE 上的动点，使得平面//ABN 平面MCE ，求线段AN 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）45︒；（32【解析】 【分析】（1）根据题意，得出PA AB ⊥，PA AE ⊥，根据线面垂直的判定定理得出PA ⊥平面ABCDE ，则AB AE ⊥，建立以A 为原点，AB ，AE ，AP 为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，利用向量法能证明CE PE ⊥；（2）求出平面MEC 的法向量和平面DEC 的一个法向量，利用向量法能求出二面角M CE D --的大小；（3）设PN PE λ→→=，[[0λ∈，1])，求出(0N ，2λ，22)λ-，令AN n →→⊥，则0AN n →→=，解得N 为PE 的中点，利用向量法能求出线段AN 的长．【详解】解：依题意得，ABP △和AEP △均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形， 则PA AB ⊥，PA AE ⊥， 所以PA ⊥面ABCDE ，又AB AE ⊥，可以建立以A 为原点，分别以AB →，AE →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()4,2,0C ，()4,6,0D ，()0,2,0E ，()002P ,,，()2,3,1M ，（1）证明：由题意，()4,0,0CE →=-，()0,2,2PE →=-， 因为0CE PE →→⋅=，所以CE PE ⊥.（2）解：()2,1,1ME →=---，()2,1,1MC →=--， 设(),,n x y z →=为平面MEC 的法向量，则00n ME n MC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020x y z x y z ---=⎧⎨--=⎩， 不妨令1y =，可得()0,1,1n →=-， 平面DEC 的一个法向量()0,0,2AP →=，因此有2cos ,2n APn AP n AP→→→→→→⋅==-，由图可得二面角M CE D --为锐二面角， 所以二面角M CE D --的大小为45︒.（3）解：（方法一）设[]()0,1PN PE λλ→→=∈，(),,N x y z ，所以()(),,20,2,2x y z λ-=-，因此()0,2,22N λλ-， 令AN n →→⊥，即0AN n →→⋅=， 解得12λ=，即N 为PE 的中点， 因为//AB 平面MCE ，//AN 平面MCE ，AB AN A =，所以当N 为PE 的中点时，平面//ABN 平面MCE ， 此时即()0,1,1N ，AN →==所以线段AN .（方法二）设[]()0,1PN PE λλ→→=∈，(),,N x y z ，所以()(),,20,2,2x y z λ-=-，因此()0,2,22N λλ-， 设(),,m x y z →=为平面ABN 的法向量，则00m AB m AN ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()402220x y z λλ=⎧⎨+-=⎩，不妨令1y λ=-，可得()0,1,m λλ→=-， 因为平面//ABN 平面MCE ，所以//m n →→， 解得：12λ=，此时即()0,1,1N ，AN →==所以线段AN .【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，以及利用空间向量法求出二面角和线段长，还涉及空间中线面的判定定理和性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．。

山东省寿光现代中学高二6月月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用交集的定义求解即可.详解：由题，，则.故选C.点睛：本题考查交集的运算，属基础题.2．设，则（）A. 0B.C.D. 1【答案】D【解析】分析：利用复数的代数运算得到，即可求出.详解：故选D.点睛：本题考查复数的代数运算及复数的模，属基础题.3．幂函数的图象过点，则（）A. -2B.C.D. 2【答案】C【解析】分析：根据幂函数的定义求其解析式，进而得到.详解：由题幂函数的图象过点，根据幂函数的定义可得即函数的解析式为故选C.点睛：本题考查幂函数的定义，属基础题. 4．设，，，则（ ）A.B.C.D.【答案】A5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A.B.C.D.【答案】B 6．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A.B.C.D.【答案】D7．设,a b ∈R ，那么“1a b >”是“0a b >>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：2,1,1a a b b =-=->，但a b <，故1ab>是0a b >>的必要不充分条件.【考点】充要条件．8．函数的图象大致是( )A. B. C.D.【答案】D9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】分析：判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．详解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图所示，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度：故选C．点睛：本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力．10．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（）A. B. C. 8 D.【答案】A11．已知定义在上的函数是奇函数，且在上是减函数，，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C12．设函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．详解：函数，的图象如图：满足），可得：或，解得．故选：D．点睛：本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力．二、填空题13．函数的定义域是__________．【答案】.15．已知，，，…，类比这些等式，若（，均为正整数），则__________．【答案】55.16．函数，若有且只有一个零点，则的取值范围是__________．【答案】.三、解答题17．设全集为，集合，.（1）求；（2）已知，若，求实数的取值范围.【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：（I）集合是一元二次不等式，解得；集合是对数不等式，解得.由此求得；（II）由（I）求得，是其子集，故有①当，即时，，满足题意.②当，即时，有或.所以实数的取值范围为.试题解析：(Ⅰ)或，对于集合，有，即，，，所以.(Ⅱ)因为①当，即时，，满足题意.②当，即时，有或即或.综上，实数a的取值范围为【考点】集合交并补，一元二次不等式，对数不等式．18．已知命题：函数在上为增函数；命题：不等式对任意实数恒成立，若是真命题，求实数的取值范围.【答案】.【解析】试题分析：对于命题，底数大于，指数为二次函数，要上为增函数，需.对于命题，时成立，当时，，解得.若是真命题，则至少有一个真命题，直接求不方便，先求两个都是假命题时的范围，然后取其补集.试题解析：命题p为真时,函数在为增函数，故，从而命题p为假时， a 1.若命题q为真，当a－2＝0，即a＝2时，－4＜0符合题意．当a≠2时，有即－2＜a＜2.故命题q为真时：－2＜a≤2；q为假时：a≤－2或a＞2.若p∨q为假命题，则命题p，q同时为假命题．即，所以a＞2.∴ p∨q为真命题时：.【考点】含有逻辑连接词命题判断真假．19．已知定义在上的函数.（1）判断函数的奇偶性；（2）判断并证明的单调性；（3）若，求实数的取值范围.【答案】(1) 函数为奇函数.(2)见解析.(3) .【解析】试题分析：（I）化简可知函数为奇函数；（II）因为，所以为R上的单调递减函数；（III）由有，根据函数的单调性，有，解得.试题解析：（Ⅰ）因为函数的定义域为，，即，所以函数为奇函数.（Ⅱ）法1：任取，且，则，因为，所以，即，，所以为R上的单调递减函数.法2：因为，所以为R上的单调递减函数.（Ⅲ）因为函数在定义域上既为奇函数又为减函数，，即，所以，即，解得.【考点】函数的单调性与奇偶性．20．如图1，在直角梯形中，，，，是的中点，是与的交点.将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.（1）证明：平面；（2）当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.【答案】(1)见解析.(2) .【解析】试题分析：（1）运用是中点，判断得出面，考虑，即可判断面；（2）运用好折叠之前与之后的图形得出是四棱锥的高，平行四边形的面积，运用体积公式，即可求出的值．试题解析：（1）证明：在图（1）中，因为，，是中点，，所以，且，所以在图（2）中，，，又平面，，所以平面．（2）解：由题意，可知平面平面，且平面平面，又由（1）可得，所以平面，即是四棱锥的高，由图（1）知，，，所以四棱锥的体积，由，得．【考点】平面与平面垂直的性质，直线与平面垂直的判定．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与性质、四棱锥的体积的计算，其中解答中涉及到空间几何体的结构特征、棱锥的体积公式的应用、直线与平面垂直的判定定理与性质定理等知识点综合考查，着重考查了转化与化归思想和空间想象能力，同时熟练应用图形折叠前、后的关系是解答的关键，属于基础题．21．设函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）当时，若函数在区间上存在唯一零点，求的取值范围.【答案】(1) 当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为，当时，函数有极小值为；(2) .【解析】试题分析：（I）先求导，得，然后对分成两类进行分类讨论，由此求得函数的单调区间和极值；（II）当时，由（I）可知，为函数的最小值点，分成与两类，讨论的取值范围.试题解析：（Ⅰ），（1）若，则在区间上，的单调递增区间为，没有极值点.（2）若，令，即，解得，故在区间内，单调递减；在区间内,单调递增；当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为,当时，函数有极小值为.（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）可知，为函数的最小值点因为，若函数在区间上上存在唯一零点，则当零点为函数的极小值点时：，得.当零点在极小值点左侧时：，得.综上所述，函数在区间上上存在唯一零点，则.【考点】函数导数与极值、最值．22．（题文）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.详解：（1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.23．选修4-5：不等式选讲已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当时，，即故不等式的解集为．（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.。

【全国市级联考】山东省潍坊寿光市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}12345,246A B ==，，，，，，，P A B =⋂，则集合P 的子集有（ ） A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．命题“2,10x x ∀∈+>R ”的否定是（ ） A ．2,10x R x ∀∈+< B ．2,10x R x ∀∈+≤C ．200,10x R x ∃∈+≤ D ．200,10x R x ∃∈+<3．函数()()2log 2f x x =+的定义域为（ ）A ．()2,3-B ．(]2,3-C ．()0,3D ．(]0,34．若0.633log 0.6,3,0.6a b c ===，则（ ）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．a c b >>5．函数2ln y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．()()f x f x -是奇函数 B ．()()f x f x -是奇函数 C ．()()f x f x --是偶函数 D ．()()f x f x +-是偶函数7．设,a b ∈R ，则“22log log a b >”是“21a b ->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．若0,0,a b c d >><<则一定有（ ）A ．a b c d> B ．a b c d< C ．a b d c> D ．a b d c< 9．设函数()()f x x R ∈为奇函数，()()()()11,222f f x f x f =+=+，则()5f -=（ ） A ．52-B ．32C ．52D ．510．函数2()(0,0)f x ax bx a b =+>>在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则8a bab+的最小值是（ ） A ．10B ．9C ．8D．11．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()2f x x =，若方程()()00ax a f x a +-=>恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．112，⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．[]02，C ．()12，D ．[)1+∞， 12．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为f x ，满足()()f x f x '>，且()03f =，则不等式()3x f x e <的解集为（ ）A ．,0B ．(),2-∞C ．0,D ．2,二、填空题13．函数()2log 030x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________. 14．已知实数,x y 满足260,0x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则2z x y =+的最大值是__________．15．已知函数2(2)f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是(0,5)，若对于任意[2,4]x ∈，不等式()2f x t +≤恒成立，则t 的取值范围为__________．16．设曲线()1*n y xn N +=∈在点()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为nx ，则201712017220172016log log log x x x +++=__________．三、解答题17．已知全集U R =，集合{}{}6|128,|10,|14x A x B x C x a x a x ⎧⎫=<<=+<=<<+⎨⎬-⎩⎭.（1）求集合()U C A B ⋂；（2）若BUC B =，求实数a 的取值范围. 18．定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件：()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时，()1f x >.（1）求(0)f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数； （3）解关于t 的不等式2(2)1f t t -<.19．设某物体一天中的温度T 是时间t 的函数，已知()32T t t at bt c =+++，其中温度的单位是0C ，时间的单位是小时，规定中午12：00相应的0t =，中午12：00以后相应的t 取正数，中午12：00以前相应的t 取负数（例如早上8：00相应的4t =-，下午16：00相应的4t =），若测得该物体在中午12：00的温度为060C ，在下午13：00的温度为058C ，且已知该物体的温度在早上8：00与下午16：00有相同的变化率. （1）求该物体的温度T 关于时间t 的函数关系式；（2）该物体在上午10：00至下午14：00这段时间中（包括端点）何时温度最高？最高温度是多少？20．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使()00f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点. （1）若函数()425f x x x=+-，求此函数的不动点； （2）若二次函数()23f x ax x =-+在()1,x ∈+∞上有两个不同的不动点，求实数a 的取值范围.21．已知函数()ln 1xx f x e+=(e 是自然对数的底数)，()1ln h x x x x =--. （1）求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）求()h x 的单调区间；（3）设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数，证明：对任意()20,1x g x e -><+.22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的参数方程为1cos {(sin x y ϕϕϕ=+=为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是2sin()333πρθ+=．记射线：与圆分别交于点，，与直线l 交于点，求线段的长． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()()21f x x m x m R =++-∈． （Ⅰ）当1m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；（Ⅱ）设关于x 的不等式()21f x x ≤+的解集为A ，且[]1,2A ⊆，求实数m 的取值范围．参考答案1．B 【解析】∵集合A ={}12345，，，，,B ={}246，，，∴P =A ∩B ={}12345，，，，∩{}246，，={}24，∴集合P 的子集有22=4.故选：B. 2．C 【解析】全称性命题的否定是特称性命题,所以选C. 3．B 【解析】由题意得：273020x x ⎧-≥⎨+>⎩解得：2x 3-<，故选：B.4．C 【解析】∵0.63>03=1,0.63log <13log =0, 0<30.6<00.6=1，∴b >1，a<0，0<c <1，∴b c a >>故选C 5．A 【解析】 【分析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断． 【详解】 解：()()2ln f x x x f x -=+=，()y f x ∴=为偶函数，()y f x ∴=的图象关于y 轴对称，故排除B ，C ，当0x →时，y →-∞，故排除D ，或者根据，当0x >时，2ln y x x =+为增函数，故排除D ， 故选：A ． 【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题． 6．D 【解析】因为()()()F x f x f x =⋅-满足()()()()F x f x f x F x -=-⋅=，所以()()()F x f x f x =⋅-是偶函数；因为()()()M x f x f x =⋅-满足()()()()M x f x f x M x -=-⋅≠，同时()()()()M x f x f x M x -=-⋅≠-，所以()()()M x f x f x =⋅-既不是奇函数也不是偶函数；又()()()H x f x f x =--满足()()()()H x f x f x H x -=--=-是奇函数；()()()G x f x f x =+-满足()()()()G x f x f x G x -=-+=是偶函数；应选答案D ．7．A 【解析】当22log log a b >时，0a b >>，所以0a b ->，21a b ->，但21a b ->时，0a b ->即a b >，不能保证,a b 为正数，所以“22log log a b >”是“21a b ->”的充分不必要条件，故选A.8．D 【解析】本题主要考查不等关系．已知0,0a b c d >><<,所以110d c->->，所以a bd c ->-，故a bd c<．故选D9．A 【解析】函数()()f x x R ∈为奇函数()()()()1,1,222f f x f x f =+=+，取1x =-,可得()()()()()11212f f f f f =-+=-+,∴()()2211f f ==，则()()()()()()53232212f f f f f f -=--=-+-=--+-()()()()522122121122f f f f =-+-=--=-⨯-=-故选：A. 10．B 【解析】对函数求导可得，()'2.f x ax b =+根据导数的几何意义，()'122f a b =+=，即b1.2a += 8a b ab +=81b a +=(81b a +)·b (2a +)=8a b 2b a +，当且仅当228a b2a b b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.所以8a b ab +的最小值是9. 故选B.点睛：本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件 11．A 【详解】由题意可得周期为T=2，原方程可变形为()(1)f x a x =+，则为y=f(x)与y=a （x+1）（0a >）曲线交点恰有三个．由图可知斜率k=a 1(,1)2∈,选A.【点睛】若直线求函数零点不好求时，常把函数变形为()()f x g x =，这样就变为求()y f x =与()y g x =交点个数问题．12．C 【分析】由已知条件构造函数()()()()(),0xxf x f x f x F x F x ee-=='<'，可得()F x 在R上单调递减，从而得()()0F x F <，解之可得选项. 【详解】 构造函数()()()()(),0xxf x f x f x F x F x ee-=='<'，所以()F x 在R 上单调递减，又因为()03f =，所以()3xf x e <等价于()()003xf x f ee<=，即()()0F x F <，解得0x <.故选：C. 【点晴】无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是较好的思路，属于中档题. 13．19【分析】先求1()4f 的值，再求14f f⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值. 【详解】 由题得211()=log 244f =-， 所以211(2)349f f f -⎡⎤⎛⎫=-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为19【点睛】本题主要考查指数对数运算和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 14．10 【解析】由约束条件260,0x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩作出可行域如图，联立26x y x y -=⎧⎨+=⎩解得A (4,2)，化目标函数2z x y =+为2y x z =-+，由图可知，当直线2y x z =-+过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为10. 故答案为：10. 15．(,10]-∞ 【解析】由题意可得220x bx c ++=的根为0和5.代入得0,10c b ==-，2()210f x x x =-，原不等式可化为22102,t x x ≤-++[]2,4x ∈恒成立，即2min (2102)t x x ≤-++，令2()2102,[2,4]g x x x x =-++∈，对称轴5[2,4]2x =∈，所以(2)14,(4)10g g ==，最小值为10，所以10t ≤，填(],10-∞． 【点睛】一元二次不等式解集的分界点为所对应方程的根．恒成立问题常转化为分离参数，如本题把参数t 分离，转化求g(x)的最难值问题． 16．1- 【解析】 由1n y x+=,得y '=(n +1) n x ∴x 1|1y n ==+'，∴曲线1n y x+= (n ∈N ∗)在(1,1)处的切线方程为()()111y n x -=+-，取0y =,得n x =1−11n +=n1n +， ∴12x x …2016x =12×23×…×20162017=12017，则201712017220172016log log log x x x +++=2017122016log ()x x x ⋯=20171log 2017=−1. 故答案为：−1. 17．(Ⅰ){}UA B |2034x x x ⋂=-<≤≤<，或． (Ⅱ)[2,3]-．【解析】 【详解】 试题分析：（1）求出A 与B 中不等式的解集确定出A 与B ，找出两集合的交集即可； （2）根据B 与C 的并集为B ，得到C 为B 的子集，确定出a 的范围即可． 试题解析：(Ⅰ)由128x <<，得03x <<，则{|03}A x x =<<，62100-44x x x ++><-得， 所以()()420x x -+<，所以24x -<<， {|24}B x x =-<<，{|0,3}UA x x x =≤≥或，所以{}U (A)B |2034x x x ⋂=-<≤≤<，或．(Ⅱ)因为{}1C x a x a =<<+，且B C B ⋃=，所以C B ⊆， 所以142a a +≤⎧⎨≥-⎩，解得23a -≤≤．所以，实数a 的取值范围是[]2,3-． 18．(1) (0)1f =；(2)见解析；（3） 1(0,)2. 【详解】（1）由题意：定义在R 上的函数()y f x =对任意的,R x y ∈， 满足条件：()()()1f x y f x f y +=+-,令0x y ==，由()()()1f x y f x f y +=+-，解得()01f =. （2）证明：设12x x <，12,R x x ∈，则210x x ->， 由题意知，()211f x x ->，所以()()()()()()()21211121111f x f x f x x x f x f x x f x f x -=-+-=-+--()2110f x x =-->，即()()21f x f x >，所以函数()f x 是R 上的单调增函数．（3）由（1）（2）可知函数()f x 是R 上的单调增函数，且()01f =，不等式()221f t t -< ，即 ()()220f t t f -<， 故220t t -<，解得102t <<. 所以不等式的解集为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 19．（Ⅰ）3()360(1212).T t t t t =-+-≤≤（Ⅱ）在上午11:00与下午14:00该物体温度最高，最高温度是62.℃.【解析】试题分析：（1）由题意可得当0t =时，60T t =（）； 当1t =时，58T t =（）；'4'4T T -=（）（），由此求得待定系数a b c 、、的值，可得函数的解析式．（2）利用导数研究函数的单调性，由单调性求得函数的最大值，从而得出结论． 试题解析：（Ⅰ）求导函数可得232T t at b =++'，∵该物体的温度在早上8:00与下午16:00有相同的变化率∴()()44T T '-='，∴488488a b a b -+=++，∴0a =∴()3T t t bt c =++ ∵该物体的温度在中午12:00的温度是60℃，下午13:00的温度为58℃∴()()0601158T c T b c ⎧==⎪⎨=++=⎪⎩ ∴0,3,60a b c ==-= ∴()()33601212.T t t t t =-+-≤≤（Ⅱ）()()233311,T t t t =-=+-' 22t -≤≤其中 令0,T '>可得1t <-或1t >；令0,T '<可得11t -<<∴函数在()2,1--上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,2上单调递增∵()()()()258,162,158,262T T T T -=-===∴1t =-或2t =时，()T t 取得最大值62.说明在上午11:00与下午14:00该物体温度最高，最高温度是62.℃.20．(Ⅰ)1或4 . （Ⅱ）1(0,).3【解析】 试题分析： （1）由定义可得f x x =（），解方程即可得到所求不动点； （2）由题意可得2230ax x -+=在()1,x ∈+∞上有两个不等的实根，讨论00a a ><或和判别式大于0，对称轴介于1x =的右边，1x =的函数值大于0，解不等式即可得到所求范围．试题解析：(Ⅰ)()0000425f x x x x =+-=得， 00450x x +-=， 200540,x x ∴-+= 解得：0014x x ==或. 所以此函数的不动点是1或4 . ，令（Ⅱ）当0a >时，()200003f x ax x x =-+=得200230ax x -+= 令()200023g x ax x =-+此时()0g x 在()01,x ∈+∞上有两个不同的零点 ()412011,110a a g a =->⎧⎪⎪∴>⎨⎪=+>⎪⎩ 解得：0<a <13, 当0a <时，()200023g x ax x =-+ 的图像开口向下且()030g =>此时必有一个零点小于0，显然不合题意.综上所述，实数a 的取值范围是10,.3⎛⎫ ⎪⎝⎭点睛：本题是新定义题，根据定义第二问转化为二次函数的零点问题，考查根的分布，结合函数图像进行分类讨论 21．（Ⅰ）1y e=（Ⅱ）单调递增区间为2(0,)e -；单调递减区间为2(,)e -+∞. （Ⅲ）见解析. 【解析】试题分析：（1）求出f x （）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；（2）求导数，利用导数的正负，求h x （）的单调区间； （3）()1ln x x x x g x e--=，()0,x ∈+∞．由1h x x xlnx =--（），确定当()0,x ∈+∞时，212h x h e e ≤-=+-（）（）．当()0,x ∈+∞时，101x e<<，即可证明结论． 试题解析： （Ⅰ）()ln 1x x f x e +=的定义域为()0,+∞, 由()ln 1x x f x e +=，得()11f e =，∴点A 的坐标为11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ()1ln x x x x f x xe--'=，所以()10k f ='=， 所以曲线()f x 在点A ()()11f ，处的切线方程为1y e= （Ⅱ）()()1ln ,0,h x x x x x =--∈+∞，所以()ln 2h x x '=--令()0h x '=得2x e -=，因此当()20,x e -∈时()0h x '>，()h x 单调递增；当()2,x e -∈+∞时()0h x '<，()h x 单调递减. 所以()h x 的单调递增区间为()20,e -；单调递减区间为()2,e -+∞. （Ⅲ）证明：因为()()g x xf x ='，所以()1ln ,0x x x x g x x e--=>，()21g x e -<+等价于()21ln 1x x x x e e ---<+在0x >时恒成立,由（Ⅱ）知,当2x e -=时，()h x 的最大值()221h ee --=+， 故21ln 1x x x e ---≤+，因为0x >时1x e >，所以()221ln 11x x x x e e e ----≤+<+，因此任意0x >，()21g x e -<+.点睛：本题是导数综合题，主要考查导数的几何意义，单调性，及不等式的证明，巧妙的采用第二问的结论，利用一步放缩即得解22．（1）2cos ρθ=；（2）线段PQ 的长为2.【解析】试题分析：（Ⅰ）把22cos sin 1ϕϕ+=代入圆C 的参数方程为1cos {sin x y ϕϕ=+=（ϕ为参数），消去参数化为普通方程，把cos {sin x y ρθρθ==代入可得圆C 的极坐标方程．（Ⅱ）设11()P ρθ，，联立2cos {3ρθπθ==，解得11ρθ，；设22()Q ρθ，，联立2(){3sin ρθθπθ+==，解得22ρθ，，可得PQ ．试题解析：解：（Ⅰ）消去参数ϕ，得到圆C 的普通方程为令cos ,{sin x y ρθρθ==代入圆C 的普通方程，得C 的极坐标方程为22cos ρρθ=，即2cos ρθ=．（Ⅱ）在l 的极坐标方程中令π3θ=，得3ρ=，所以3OQ = 在C 的极坐标方程中令π3θ=，得1ρ=，所以1OP =． 所以．考点：1．参数方程化成普通方程；2．简单曲线的极坐标方程．23．（I ）4{|0}3x x ≤≤. （II ）[3,0]-．【解析】试题分析：（1）当1m =-时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得，当[]1,2x ∈时，关于x 的不等式()21f x x ≤+恒成立，即22x m -≤+≤ 恒成立，即22x m x --≤≤-+ 恒成立，由此可得实数m 的取值范围．试题解析：（I ）当1m =-时，()121f x x x =-+-， ()2f x ≤⇒ 1212x x -+-≤，上述不等式可化为121122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩或1121212x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩或11212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩ 解得120x x ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或1122x x ⎧<<⎪⎨⎪≤⎩或143x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩, ∴102x ≤≤或112x <<或413x ≤≤， ∴原不等式的解集为4{|0}3x x ≤≤. （II ）∵()21f x x ≤+的解集包含[]1,2，∴当[]1,2x ∈时，不等式()21f x x ≤+恒成立， 即2121x m x x ++-≤+在[]1,2x ∈上恒成立，∴2121x m x x ++-≤+， 即2x m +≤，∴22x m -≤+≤，∴22x m x --≤≤-+在[]1,2x ∈上恒成立，∴()()max min 22x m x --≤≤-+， ∴30m -≤≤，所以实数m 的取值范围是[]3,0-．。