简单几何体的表面积与体积1．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积 体积圆柱 S 侧＝2πrh V ＝Sh ＝πr 2h圆锥S 侧＝πrlV ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13πr 2l 2－r 2 圆台 S 侧＝π(r 1＋r 2)l V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)h 直棱柱 S 侧＝Ch V ＝Sh 正棱锥 S 侧＝12Ch ′ V ＝13Sh正棱台 S 侧＝12(C ＋C ′)h ′V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S 球面＝4πR 2V ＝43πR 32.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和． [难点正本 疑点清源] 1．几何体的侧面积和全面积几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小． 2．等积法等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．1．圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是________．2．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m 3.3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．4．一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的边长为a ，则球的表面积为________．5.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P —BB 1C 1C 的体积为________．题型一 简单几何体的表面积例1 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80思维启迪：先通过三视图确定空间几何体的结构特征，然后再求表面积．探究提高(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm2.题型二简单几何体的体积例2如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1—B1EDF的体积．思维启迪：思路一：先求出四棱锥C1—B1EDF的高及其底面积，再利用棱锥的体积公式求出其体积；思路二：先将四棱锥C1—B1EDF化为两个三棱锥B1—C1EF与D—C1EF，再求四棱锥C1—B1EDF的体积．解 方法一 连接A 1C 1，B 1D 1交于点O 1，连接B 1D ，EF ，过O 1作O 1H ⊥B 1D 于H .∵EF ∥A 1C 1，且A 1C 1平面B 1EDF ，∴A 1C 1∥平面B 1EDF .∴C 1到平面B 1EDF 的距离就是A 1C 1到平面B 1EDF 的距离． ∵平面B 1D 1D ⊥平面B 1EDF ， 平面B 1D 1D ∩平面B 1EDF ＝B 1D ，∴O 1H ⊥平面B 1EDF ，即O 1H 为棱锥的高． ∵△B 1O 1H ∽△B 1DD 1， ∴O 1H ＝B 1O 1·DD 1B 1D ＝66a .∴VC 1—B 1EDF ＝13S 四边形B 1EDF ·O 1H＝13·12·EF ·B 1D ·O 1H ＝13·12·2a ·3a ·66a ＝16a 3. 方法二 连接EF ，B 1D .设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，则h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a . 由题意得，VC 1—B 1EDF ＝VB 1—C 1EF ＋VD —C 1EF ＝13·S △C 1EF ·(h 1＋h 2)＝16a 3. 探究提高 在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法．在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( ) A.26 B.36 C.23 D.22题型三几何体的展开与折叠问题例3(1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、B、C、D、O为顶点的四面体的体积为________．(2)有一根长为3π cm，底面直径为2 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________ cm.思维启迪：(1)考虑折叠后所得几何体的形状及数量关系；(2)可利用圆柱的侧面展开图．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_______．.方法与技巧1．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．2．要注意将空间问题转化为平面问题．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．182.已知高为3的直棱柱ABC —A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，则三棱锥B ′—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.343．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为( ) A ．48(3＋3) B ．48(3＋23) C ．24(6＋2) D ．1444．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A．28＋65B．30＋6 5C．56＋125D．60＋12 5二、填空题(每小题5分，共15分)5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．6．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.7．已知三棱锥A—BCD的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题(共22分)8．(10分)如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．9．(12分)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A.32π B ．π＋3C.32π＋ 3 D.52π＋ 3 2．在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD,2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E —ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M —EBC 的体积为( ) A.25V B.13V C.23V D.310V 3．已知球的直径SC ＝4，A 、B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为( )A ．33B ．2 3 C. 3 D ．1 二、填空题(每小题5分，共15分)4.如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线 的长为______ cm.5．已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如图所示，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积是________．6．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC＝2.若AD＝2c，且AB＋BD＝AC＋CD＝2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是________．三、解答题7．(13分)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D—ABC，如图2所示．图1 图2(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)求几何体D—ABC的体积．。
长方体和正方体的体积计算方法
体积是在三维空间中的物体所占有的空间大小。
长方体和正方体是常见的几何体，计算它们的体积可以通过简单的公式来实现。
长方体的体积计算方法
长方体是一种具有三个相互垂直的长、宽和高的几何体。
它的体积可以通过以下公式来计算：
体积 = 长 ×宽 ×高
其中，长代表长方体的长度，宽代表宽度，高代表高度。
只需要将对应的数值代入公式中进行计算，就可以得到长方体的体积。
正方体的体积计算方法
正方体是一种具有相等边长的立方体，即它的长、宽和高都相等。
它的体积可以通过以下公式来计算：
体积 = 边长 ×边长 ×边长
其中，边长代表正方体的边长。
只需要将边长的数值代入公式
中进行计算，就可以得到正方体的体积。
示例
以一个长方体的体积计算为例，如果长方体的长为5，宽为3，高为2，则可以通过以下计算得到体积：
体积 = 5 × 3 × 2 = 30
同样地，以一个正方体的体积计算为例，如果正方体的边长为4，则可以通过以下计算得到体积：
体积 = 4 × 4 × 4 = 64
通过以上方法，我们可以简单快速地计算长方体和正方体的体积。
注意：此文档中所述的体积计算方法仅适用于长方体和正方体，其他几何体的体积计算方法可能不同。
此文档中所述的体积计算方法仅适用于长方体和正方体，其他几何体的体积计算方法可能不同。
几何体的体积计算几何体是我们生活中常见的形状，了解如何计算几何体的体积对于我们理解空间和解决实际问题非常重要。
本文将介绍几种常见几何体的体积计算方法。
一、立方体的体积计算立方体是最简单的几何体之一，它的六个面都是正方形。
立方体的体积计算公式为 V = a³，其中 a 表示立方体的边长。
例如，如果一个立方体的边长为 5cm，则它的体积为 V = 5³ = 125cm³。
二、长方体的体积计算长方体是另一种常见的几何体，在我们生活中常见于书本、盒子等物体的形状。
长方体的体积计算公式为 V = lwh，其中 l、w、h 分别表示长方体的长、宽和高。
例如，如果一个长方体的长、宽和高分别为10cm、5cm、8cm，则它的体积为 V = 10 * 5 * 8 = 400cm³。
三、圆柱体的体积计算圆柱体的形状类似于圆筒，它有两个平行的圆形底面，并且侧面是由一个矩形围成的。
圆柱体的体积计算公式为V = πr²h，其中π 是常数，近似取值3.14，r 是圆柱体的底面半径，h 是圆柱体的高。
例如，如果一个圆柱体的底面半径为 4cm，高为 10cm，则它的体积为 V = 3.14 *4² * 10 = 502.4cm³。
四、球体的体积计算球体是一种完全由球面围成的几何体，常见于球体玩具、运动器材等。
球体的体积计算公式为V = (4/3)πr³，其中π 是常数，近似取值3.14，r 是球体的半径。
例如，如果一个球体的半径为 6cm，则它的体积为 V = (4/3) * 3.14 * 6³ = 904.32cm³。
五、金字塔的体积计算金字塔是一种底面是多边形而侧面是三角形的几何体，常见于建筑物、塔楼等。
金字塔的体积计算公式为 V = (1/3)Ah，其中 A 表示底面的面积，h 表示金字塔的高。
例如，如果一个金字塔的底面面积为15m²，高为 12m，则它的体积为 V = (1/3) * 15 * 12 = 60m³。
