高中数学课件-第2讲 等差数列

戴氏教育簇桥校区 等差数列 授课老师:唐老师

1 等差数列

知识梳理

1.定义：daann1（d为常数）（2n）；

2．等差数列通项公式：

*11(1)()naanddnadnN ， 首项:1a，公差:d，末项:na

推广： dmnaamn)(． 从而mnaadmn；

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2baA或baA2

（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa

4．等差数列的前n项和公式：1()2nnnaas1(1)2nnnad211()22dnadn2AnBn

（其中A、B是常数） （当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若daann1或daann1(常数Nn) na是等差数列．

（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa．

（3）数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。

（4）数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若daann1或daann1(常数Nn) na是等差数列．

7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）通常把题中条件转化成只含1a和d的等式！ 戴氏教育簇桥校区 等差数列 授课老师:唐老师

1 等差数列、等比数列的证明

例1．已知数列na满足11a，13232nnaann，

（Ⅰ）求证：数列nan是等比数列；

（Ⅱ）求数列na的通项公式。

例2．已知数列na满足12a，112nnnaaa，

（Ⅰ）求证：数列1na是等差数列；

（Ⅱ）求数列na的通项公式。

例3．已知数列na，nS是它的前n项和，且*142nnSanN，11a

（Ⅰ）设*12nnnbaanN，求证：数列nb是等比数列；

（Ⅱ）设2nnnac，求证：数列nc是等差数列；

（Ⅲ）求数列na的通项公式。

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练习1．已知数列na满足15a，*123nnnaanN，

（Ⅰ）求证：数列3nna是等比数列；

（Ⅱ）求数列na的通项公式。

2．已知数列na满足11a，1222nnnaan，

（Ⅰ）求证：数列2nna是等差数列；

（Ⅱ）求数列na的通项公式。

3．数列na的前n项和nS，且131nnaS ,（1）证明数列na等比数列；（2）求通项公式.

4.已知数列na的前n项和为nS，11a ，数列nnSa是公差为2的等差数列.

（1）证明2na是等比数列；（2）求通项公式.

5. 已知数列na的前n项和为nS，11a ，正整数n对应的nnSan,,成等差数列.

（1）证明2nSn成等比数列；（2）求nS

求通项公式 3 （一） 给出递推公式求通项公式

类型一、，可利用累加法已知关系式)(1nfaann

例1中在数列na，已知,11a当2n时，有)2(121nnaann，求数列的通项公式.

变式：中在数列na，,11a)2(311naannn，求通项.

类型二、)(1nnfaan•已知关系式，可利用累乘法

1 2.2 第2课时 等差数列的性质

A级 基础巩固

一、选择题

1．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所组成的数列的第37项值为( )

A．0 B．37 C．100 D．－37

解析：设cn＝an＋bn，则c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，故d＝c2－c1＝0，故cn＝100(n∈N*)，从而c37＝100.

答案：C

2．如果数列{an}是等差数列，则下列式子一定成立的有( )

A．a1＋a8＜a4＋a5 B．a1＋a8＝a4＋a5

C．a1＋a8＞a4＋a5 D．a1a8＝a4a5

解析：由等差数列的性质有a1＋a8＝a4＋a5.

答案：B

3．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…下列说法正确的是( )

A．新数列不是等差数列

B．新数列是公差为d的等差数列

C．新数列是公差为2d的等差数列

D．新数列是公差为3d的等差数列

解析：因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1＋an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，

所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．

答案：C

4．在数列{an}中，a3＝2，a7＝1，如果数列1an＋1是等差数列，那么a11等于( )

A.13 B.12 C.23 D．1

解析：依题意得1a3＋1＋1a11＋1＝2·1a7＋1，

所以1a11＋1＝21＋1－12＋1＝23，

所以a11＝12.

答案：B 2 5．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( )

A．－2 B．－3 C．－4 D．－5

解析：设该数列的公差为d，则由题设条件知：a6＝a1＋5d>0，a7＝a1＋6d<0.

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等差数列复习

一、等差数列的有关概念：

1、等差数列的判断方法：定义法1(nnaadd为常数）或11(2)nnnnaaaan。

如设{}na是等差数列，求证：以bn=naaan21 *nN为通项公式的数列{}nb为等差数列。

2、等差数列的通项：1(1)naand或()nmaanmd。

如(1)等差数列{}na中，1030a，2050a，则通项na （答：210n）；

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d）

3、等差数列的前n和：1()2nnnaaS，1(1)2nnnSnad。

如（1）数列 {}na中，*11(2,)2nnaannN，32na，前n项和152nS，则1a＝ ＿，n＝＿（答：13a，10n）；

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（2）已知数列 {}na的前n项和212nSnn，求数列{||}na的前n项和nT（答：2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnNTnnnnN）.

4、等差中项：若,,aAb成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且2abA。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为„，2,,,,2adadaadad„（公差为d）；偶数个数成等差，可设为„，3,,,3adadadad,„（公差为2d）

5、等差数列的性质：

（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nnnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0.