数学概率统计常见难点解析

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

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概率论与数理统计完整版公式

第1章 随机事件及其概率

（1）排列组合公式 )!(!nmmPnm 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

)!(!!nmnmCnm 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

（2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n

种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。

（3）一些常见排列 重复排列和非重复排列（有序）

对立事件（至少有一个）

顺序问题

（4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。

一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，„表示事件，它们是的子集。

为必然事件，Ø为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算 ①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA

如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。

重难点05 概率与统计

【命题趋势】统计与概率是高考文科中的一个重要的一环高考对概率与统计内容的考查一

般以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古

典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,该题出现在解答题第二或第

三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题.虽为中档题，但是实际生活背景在加强，

阅读量大，所以快速阅读考题并准确理解题意是很重要的.对于这部分，我们还应当重视与

传统内容的有机结合. 为了准确地把握2020年高考概率统计命题思想与趋势，在最后的复

习中做到有的放矢，提高复习效率，纵观近五年的全国文科I卷，我们看到近几年每年一

考,多出现在19题，分值12分；从难度上看：以中档题为主，重基础，考查的重点为统计图表的绘制与分析、数字特征的计算与分析、概率计算、线性回归分析，独立性检验等知

识点，一般都会以实际问题为载体，代替传统建模题目.本专题我们把这些热点问题逐一说

明，并提出备考指南，希望同学们在复习时抓住重点、事半功倍.

【热点预测以及解题技巧】

热点一：“统计”背景下的“概率”问题

这类问题一般将统计与概率相结合.以频率分布直方图或茎叶图为背景来考查概率知识，有

时以表格为背景来考查概率知识，需要从统计图、表格获取信息、处理数据的能力，并根

据得出的数据求概率.

热点二：样本分析并通过样本分析作决策

进行样本分析时从统计图表中获取数据，得出频率、平均数、方差，用样本频率估计概率、

样本数字特征估计总体数字特征，有时需以此作出决策.

热点三：线性回归分析

根据最小二乘法得出回归直线方程，有时需适当换元转化为线性回归方程. 由于计算量很大，题目一般会给出的参考数据，但是注意数据设置的“障眼法”，这时就要认真领会题

意，找出适用的参考数据加以计算.

热点四：独立性检验

寻找数据完成列联表，下面的解题步骤比较固定，按部就班完成即可.

热点五：与函数相结合的概率统计题

这类题也是近几年出现较多的一类题，其综合性强，理解题意后找准变量，构建函数关系

高中数学概率统计题解析与实例分析

概率统计是高中数学中的一个重要分支，它与我们日常生活息息相关。在考试中，概率统计题目也是出现频率较高的一类题型。本文将通过具体的例子，对概率统计题进行解析与实例分析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应对这类题目。

一、基础概念的理解与应用

概率统计题目常常涉及到一些基础概念的理解与应用。例如，某次考试的数学成绩分布服从正态分布，已知平均分为80分，标准差为10分。现有一名学生的数学成绩为90分，问他的成绩在全班中的百分位是多少？

解析：根据正态分布的性质，平均分左右的成绩占据了大部分，而离平均分越远的成绩占据的比例越小。因此，我们可以利用标准正态分布表来计算该学生成绩所在的百分位。

首先，计算该学生的z值，即标准差的倍数。z = (90 - 80) / 10 = 1，然后查表可得，z = 1对应的累积概率为0.8413。因此，该学生的成绩在全班中的百分位为84.13%。

这个例子中，我们通过对正态分布的理解，运用了标准正态分布表来计算百分位。这种方法在解决类似问题时非常实用。

二、事件的概率计算

概率统计题目中，经常要求计算某个事件的概率。例如，一副扑克牌中，红桃和方块的牌各有26张，黑桃和梅花的牌各有26张。从中随机抽取一张牌，问抽到红桃或方块的概率是多少？

解析：根据题目所给的信息，我们可以计算出整副扑克牌中红桃和方块的牌共有52张。而整副扑克牌共有52张。因此，抽到红桃或方块的概率为52/52 = 1。 这个例子中，我们通过计算事件发生的可能性与总的可能性的比值，得出了事件的概率。这种方法在计算简单事件的概率时非常有效。

三、条件概率与独立性

概率统计题目中，还经常涉及到条件概率与独立性的概念。例如，某班有40名男生和60名女生，其中20名男生和30名女生擅长数学。现在从班级中随机选取一名学生，问他擅长数学的概率是多少？

解析：根据题目所给的信息，我们可以计算出班级中擅长数学的学生共有20 +

1 第1章 随机事件及其概率

（1）排列组合公式 )!(!nmmPnm 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

)!(!!nmnmCnm 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

（2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n

种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。

（3）一些常见排列 重复排列和非重复排列（有序）

对立事件（至少有一个）

顺序问题

（4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。

一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。

为必然事件，Ø为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算 ①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA

如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。