高二数学 空间平行关系

1 高二数学 空间平行关系

知识要点

（一）直线与直线平行的判定方法

1、利用定义：在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行；

2、利用平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行；

3、利用直线与平面平行的性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；

4、利用平面和平面平行的性质定理：两个平面互相平行，和第三个平面相交，它们的交线互相平行；

5、利用直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；

6、利用直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行。

（二）直线与平面平行的判定方法

1、利用定义：直线与平面无公共点，则该直线和该平面平行；

2、利用直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，则该直线和该平面平行（线线平行，则线面平行）。

3、利用平面和平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线都平行于第二个平面。 2

（三）平面和平面平行的判定方法

1、利用定义：两个平面没有公共点，则这两个平面平行；

2、利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线平行，则这两个平面平行；

3、利用平面与平面平行的判定：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行；

4、利用平面与平面平行的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行．

5、利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

（四）直线与平面平行的性质

1、性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；

2、直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行。

（五）平面与平面平行的性质

1、平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 3

2、平面与平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线均平行于第二个平面。

3、平面与平面平行的性质：两个平面互相平行，那么夹在这两个平面之间的平行线段相等。

4、平面与平面平行的性质：平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面。

四、考点与典型例题

考点一 判定直线与直线平行

例1、已知平面α∩β=m，直线a//α，a//β，求证：a//m。

证明：过a 作一平面与α交于直线b，由线面平行的性质可知：a//b；

过a作另一平面与β交于直线c，则：a//c。由平行公理可知：b//c，故b//β.

由线面平行的性质可知：b//m.由平行公理，a//m。

【说明】 判定空间关系的主要思路有三种，一是利用判定定理和相关结论，二是反证法（常利用定义），三是同一法，并且凡是用反证法可以证明的都可以用同一法证明。而且一般地，每个这样的题目都可以同时使用这三种方法.

同一法的主要过程是：欲证某几何图形M具备某性质，可以先作一个图形M′具备这种性质，然后证明所作图形M′与待证图形M是同一个图形，因M′具备这种性质，故M也具备该性质。

如本题可用同一法证明如下：

证明：在m上取一点A，过a、A作一平面分别交α、β于e、f，则e//a，f//a，即过 4 直线外一点有两条直线与之平行，因此e、f重合，记为l；又e在α上，f在β上，且e、f重合于l，故l是α、β的交线，故l与m重合。因l//a，故m//a。

考点二 判定直线与平面平行

例2、平面α外的两条直线a//b，且a//α，求证：b//α.

证明：因a//α，过a作一平面与α交于直线m，则由直线与平面平行的性质可知：a//m.

又因a//b，a//m，故b//m，由线面平行的判定定理可知：b//α.

考点三：线面平行的性质

例3、如图，ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.

求证：AP//GH.

证明：连接AC交BD于O，连接MO.因为ABCD是平行四边形，故O是AC中点.

又M是PC中点，故AP//OM.又AP在平面BDM外，OM在平面BDM上，故AP//平面BDM.

因为平面PAGH∩平面BDM=GH，根据线面平行的性质定理，得PA//GH.

考点四 平面与平面平行的判定

例4、如图，三棱柱ABC－A′B′C′，D是BC上一点，且A′B//平面AC′D，D′是B′C′的中点，求证：平面A′BD′//平面AC′D.

证明：连接A′C交AC′于点E，则E是A′C中点．

连接ED，因为A′B//平面AC′D，平面A′BC∩平面AC′D＝ED，所以A′B∥ED，因为E是A′C中点，所以D是BC中点．又D′是B′C′中点，所以BD′∥C′D，A′D′∥AD．

又A′D′∩BD′＝D′，所以平面A′BD′∥平面AC′D．

考点五 平面与平面平行的性质

例5、已知平面α//γ，γ//β，求证：α//β.

证明：作两个相交平面分别交α、β、γ于a、b、c和a′、b′、c′.

因为α//γ，故a//c，a′//c′.因为γ//β，故b//c，b′//c′.

从而a//b，a′//b′，即平面α、β内分别有两条相交直线平行，故α//β. 5

【模拟试题】

一、选择题

1、关于直线a、b、l及平面M、N，下列命题中正确的是（ ）

A、若a∥M，b∥M，则a∥b

B、若a∥M，b⊥a，则b⊥M

C、若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M

D、若a⊥M，a∥N，则M⊥N

2、已知直线,cm4a//a相距与平面，平面平面内直线b与c相距6cm且a//b，a与b相距5cm，则a、c相距（ ）

A、5cm B、cm97或5cm C、cm97 D、cm65或5cm

3、已知直线a、b和平面，那么从ba//出发一定可以推出的一个结论是 （ ）

A、//b,//a B、b,a C、b//b且 D、a、b与成等角

4、已知、表示平面，a、b表示直线，则使得//a成立的一个条件是 （ ）

A、a,且 B、b//a,b且

C、a∥b，且b∥ D、a,//且

5、空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8、12，过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长是（ ）

A、20 B、10 C、8 D、4

6、（2008安徽卷）．已知,mn是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）

A、,,mnmn若则‖‖‖ B、,,若则‖

C、,,mm若则‖‖‖ D、,,mnmn若则‖

7、下列说法中，正确的个数有（ ）个

A、两条平行线中有一条平行于一个平面，则另一条也平行于这个平面；

B、平行于平面内一条直线的直线平行于该平面；

C、过平面外一点只有一条直线平行于该平面；

D、若一条直线和一个平面平行，则该直线和这个平面内所有直线都平行。

A、0 B、1 C、2 D、3

8.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )

A．0个 B．1个 C．0个或1个 D．1个或无数个

9.α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α和β平行的是( )

A．α和β都垂直于平面γ B．α内不共线的三点到β的距离相等

C．l，m是平面α内的直线，且l∥β，m∥β

D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，m∥β，l∥β

10.设α、β是两个平面，l、m是两条直线，下列命题中，可以判断α∥β的是( ) 6 A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β B．l⊂α，m⊂β，且m∥α

C．l∥α，m∥β，且l∥m D．l⊥α，m⊥β，且l∥m

11.(2012·四川卷)下列命题正确的是( )

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

二、填空题

12. A、B到平面的距离是3cm，5cm，M是AB的中点，则M到平面的距离是________。

13. 夹在两个平行平面、间的线段AB、CD交于S，A，B，C，D，AS=8，BS=9，CD=34，则SC=__________。

14.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝__________．

15.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过B且平行于平面AB1D1的平面与平面AB1D1的距离是________________．

16.下列关于互不相同的直线m，l，n和平面m，l，n的四个命题：

①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；

②若m，l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；

③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；

④若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.

其中假命题的序号是______．

17.如图在正四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，E、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是棱CC′、C′D′、D′D、DC的中点，Ｎ是BC的中点，点Ｍ在四边形EＦＧＨ及其内部运动，则Ｍ满足条件

__________________时，有ＭＮ//平面B′BDD′。