中考数学反比例函数的综合题试题附答案

中考数学反比例函数的综合题试题附答案

一、反比例函数

1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（﹣2，3）和点B（m，﹣2）．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）直线x=1上有一点P，反比例函数图象上有一点Q，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，直接写出点Q的坐标．

【答案】（1）解：∵点A（﹣2，3）在反比例函数y= 的图形上，

∴k=﹣2×3=﹣6，

∴反比例函数的解析式为y=﹣ ，

∵点B在反比例函数y=﹣ 的图形上，

∴﹣2m=﹣6，

∴m=3，

∴B（3，﹣2），

∵点A，B在直线y=ax+b的图象上，

∴ ，

∴ ，

∴一次函数的解析式为y=﹣x+1

（2）解：∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，

∴AB=PQ，AB∥PQ，

设直线PQ的解析式为y=﹣x+c，

设点Q（n，﹣ ），

∴﹣ =﹣n+c，

∴c=n﹣ ， ∴直线PQ的解析式为y=﹣x+n﹣ ，

∴P（1，n﹣ ﹣1），

∴PQ2=（n﹣1）2+（n﹣ ﹣1+ ）2=2（n﹣1）2 ，

∵A（﹣2，3）．B（3，﹣2），

∴AB2=50，

∵AB=PQ，

∴50=2（n﹣1）2 ，

∴n=﹣4或6，

∴Q（﹣4. ）或（6，﹣1）

【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再用待定系数法求出直线解析式；（2）先判断出AB=PQ，AB∥PQ，设出点Q的坐标，进而得出点P的坐标，即可求出PQ，最后用PQ=AB建立方程即可得出结论．

2．已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．

（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

（2）若某函数是反比例函数y= （k＞0），他的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；

（3）若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标________，写出符合题意的其中一条抛物线解析式________，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数________．

【答案】（1）解：如图1，

当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，

∵OC=0D=1，

∴正方形ABCD的边长CD= ；∠OCD=∠ODC=45°，

当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，

设小正方形的边长为a，

易得CL=小正方形的边长=DK=LK，故3a=CD= ．

解得a= ，所以小正方形边长为 ，

∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为 或

（2）解：如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，

易知△ADE≌△BAO≌△CBF

此时，m＜2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2﹣m，

∴OF=BF+OB=2，

∴C点坐标为（2﹣m，2），

∴2m=2（2﹣m），解得m=1．

反比例函数的解析式为y= ．

（3）（3，4）；y=﹣ x2+ ；偶数

【解析】【解答】解：（3）实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合

①当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；

②当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在， ③当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在

④当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y= x2+ ；

⑤当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时，另一个顶点C的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣ ；

⑥当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y= x2+ ；

∵由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，

∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．

【分析】解答此题时，要特别注意认真读题，分析题意，注意已知条件点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点。

（1）一次函数y=x+1的图像与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，正确画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标，从而计算出正方形的边长；

（2）由于ABCD是正方形，添加辅助线，作DE，CF分别垂直于x、y轴，得到的等腰直角三角形都是全等的，再利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标，从而可以求解；

（3）抛物线的开口可能向上，也可能向下，当抛物线的开口向上时，正方形的另一个顶点也在抛物线上，这个点可能在（3，4）的左侧，也可能在（3，4）的右侧 ，因此过点（3，4）作x轴的垂线，利用全等三角形确定线段的长， 即可求出抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也一样分两种情况来讨论；由抛物线的伴侣正方形的定义知一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，因此所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数。

3．如图，点P（ +1， ﹣1）在双曲线y= （x＞0）上．

（1）求k的值；

（2）若正方形ABCD的顶点C，D在双曲线y= （x＞0）上，顶点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，求点C的坐标． 【答案】（1）解：点P（ ， ）在双曲线 上，

将x= ，y= 代入解析式可得：

k=2；

（2）解：过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OB于点F，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD=BC，∠CBA=90°，

∴∠FBC+∠OBA=90°，

∵∠CFB=∠BOA=90°，

∴∠FCB+∠FBC=90°，

∴∠FBC=∠OAB，

在△CFB和△AOB中，

，

∴△CFB≌△AOB（AAS），

同理可得：△BOA≌△AED≌△CFB，

∴CF=OB=AE=b，BF=OA=DE=a，

设A（a，0），B（0，b），

则D（a+b，a）C（b，a+b），

可得：b（a+b）=2，a（a+b）=2，

解得：a=b=1．

所以点C的坐标为：（1，2）．

【解析】【分析】（1）由待定系数法把P坐标代入解析式即可；（2）C、D均在双曲线上，它们的坐标就适合解析式，设出C坐标，再由正方形的性质可得△CFB≌△AOB△BOA≌△AED≌△CFB，代入解析式得b（a+b）=2，a（a+b）=2，即可求出C坐标.

4．如图，P1、P2（P2在P1的右侧）是y= （k＞0）在第一象限上的两点，点A1的坐标为（2，0）．

（1）填空：当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将________（减小、不变、增大）

（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，

①求反比例函数的解析式；

②求出点P2的坐标，并根据图象直接写在第一象限内，当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值．

【答案】（1）减小

（2）解：①如图所示，作P1B⊥OA1于点B，

∵A1的坐标为（2，0），

∴OA1=2，

∵△P1OA1是等边三角形，

∴∠P1OA1=60°，

又∵P1B⊥OA1 ，

∴OB=BA1=1，

∴P1B= ，

∴P1的坐标为（1， ），

代入反比例函数解析式可得k= ，

∴反比例函数的解析式为y= ；

②如图所示，过P2作P2C⊥A1A2于点C，

∵△P2A1A2为等边三角形，

∴∠P2A1A2=60°，

设A1C=x，则P2C= x，

∴点P2的坐标为（2+x， x），

代入反比例函数解析式可得（2+x） x= ，

解得x1= ﹣1，x2=﹣ ﹣1（舍去）， ∴OC=2+ ﹣1= +1，P2C= （ ﹣1）= ﹣ ，

∴点P2的坐标为（ +1， ﹣ ），

∴当1＜x＜ +1时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值

【解析】【解答】解：（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，

故△P1OA1的面积将减小，

故答案为：减小；

【分析】（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故△P1OA1的面积将减小；（2）①由A1的坐标为（2，0），△P1OA1是等边三角形，求出P1的坐标，代入反比例函数解析式即可；②由△P2A1A2为等边三角形，求出点P2的坐标，得出结论.

5．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．

（1）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= ，y=2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；

（2）若y= 的值不大于2，求符合条件的x的范围；

（3）若y= ，当a≤x≤2时既无最大值，又无最小值，求a的取值范围；

（4）y=2（x﹣m）2+m﹣2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．

【答案】 （1）解：y=2x+1中k=2＞0，

∴y随x的增大而增大，

∴当x=2时，y最小=5；当x=4时，y最大=9．

∵y= 中k=2＞0，

∴在2≤x≤4中，y随x的增大而减小，

∴当x=2时，y最大=1；当x=4时，y最小= ．

∵y=2（x﹣1）2+1中a=2＞0，且抛物线的对称轴为x=1，

∴当x=1时，y最小=1；当x=4时，y最大=19

（2）解：令y= ≤2，

解得：x＜0或x≥1．

∴符合条件的x的范围为x＜0或x≥1