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五年级奥数同余问题

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1. 两数相除商37余73，求被除数的最小值。

解析：2881

2. 两数相除，商4余8，被除数、除数、商和余数的和为415，则被除数是多少？

解析：被除数是424，除数是79.

3. 小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，求原来

的除数。

解析：除数是10.

4. 小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，余数也

比原来大了3.求原来的除数。

解析：除数是9.

5. 求算式3218+26-757除以9的余数。

解析：3.

6. 求413除以5的余数。

解析：1.

7. 2461×135×6047÷11的余数是多少？

解析：5.

8. 19992000÷7的余数是多少？

解析：0.

9. ……199200除以9的余数是________;

解析：3.

10. 数11…1(2007个1),被13除余多少? 解析：7

11.已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .

解析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17,因此所求的两位数51或68或84.

12.有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果？

解析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313——2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .

因数与倍数：

两数的最大公因数乘最小公倍数等于这两数的乘积。

1、请写出72的所有因数，其中有多少个因数是3的倍数？

2、（1）请写出60的所有因数；（2）请写出105的所有因数。

3、请写出108所有的因数；其中有多少个是4的倍数？

4、（1）180的因数有多少个？（2）200的因数有多少个？

5、（1）144的因数有多少个？（2）500的因数有多少个？

6、490的因数有多少个？

7、10000的因数有多少个？

8、28、72的最大公因数是多少？最小公倍数是多少？

9、求36与56的最大公因数和最小公倍数。

10、计算（28，44，260），[28，44，260]

11、计算：（60，75）；[60，75]

12、求1547与507的最大公因数和最小公倍数。

13、求1085与93的最大公因数与最小公倍数。

14、计算（1064，952），[1064，952]（用辗转相除法解答）

15、用辗转相除法求4811和1981的最大公因数。

16、求3553，3910，1411的最大公因数。

17、儿童节到了，老师买了320个苹果，240个梨，200个香蕉，用来分给全班同学，请问这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？

18、有三根铁丝，一根长54米，另一根长72米，最后一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？

19、现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三中水果中每种水果的数量相等，那么最多分了多少个班？

20、兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，儿哥8天回家一次，小弟12天回家一次，兄弟三人同时在5月1日回家，下次再见面是哪一天？

21、一个数与40的最大公因数是8，最小公倍数是80，这个数是多少？

22、一个数与20的最大公因数是6，最小公倍数是60，那么这个数是多少？

23、甲数和乙数的最大公因数是6，最小公倍数是90，如果甲数是18，那么乙数是多少？

24、一个数与36的最大公因数是4，最小公倍数是288，求这个数。

25、两个数的最大公因数是6，最小公倍数是420，如果这两个数的和是102，那么这两个数是多少？

26、小悦和东东在黑板上各写了一个自然数，这两个自然数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数的和是126，那么这两个数是多少？

27、两个数的最大公因数是16，最小公倍数是160，这两个数相差48，这两个数是多少？

28、已知两数的最大公因数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？

29、两个自然数不成倍数关系，它们的最大公因数是18，最小公倍数是216，这两个数分别是多少？

30、两个数不成倍数关系，它们的最大公因数是15，最小公倍数是90，请问这两个数分别是多少？

31、两个数的最大公因数是21，最小公倍数是105，求这两个数。

32、一个数除2余1，除5余2，除7余3，这个数最小是多少？

33、算式5×10×15×20的积的末尾有几个连续的0？

34、4×5×6×···×14×15的积的末尾有几个连续的0？ 35、三个连续的自然数的乘积等于39270，这三个连续自然数的和等于多少？

36、两个质数的和是39，这两个质数的差是多少？

37、如果两个质数相加等于25，这两个质数是多少？

38、如果两个质数相加等于48，这两个质数是多少？

39、有人说：“7个连续的自然数中一定有质数。”请你举例说明这句话是错的。

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小学五年级逻辑思维学习—余数问题

小学五年级逻辑思维学习—余数问题

小学五年级逻辑思维学习—余数问题

知识定位

余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”

余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识梳理

一、带余除法的定义及性质

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,

0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：

(1)当0r时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商

(2)当0r时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商

注：

一个完美的带余除法讲解模型:

如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等

于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)除以5的余数等于313。

奥数精编训练-同余问题

奥数精编训练-同余问题

1. 学习同余的性质

2. 利用整除性质判别余数

同余定理

1、定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。

2、重要性质及推论：

（1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除

例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711（）能被3整除．

（2）用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)

3、余数判别法

当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．

⑴ 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；

⑵ 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；

⑶ 整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；

⑷ 整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；

⑸ 整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；

⑹ 整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．

模块一、两个数的同余问题

【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.

例题精讲 知识点拨 教学目标

5-5-3.同余问题

【例 2】 某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.

小学奥数 5-5-5 同余问题.教师版

小学奥数 5-5-5 同余问题.教师版

5-5-3.同余问题.题库 教师版 page 1 of 6

1. 学习同余的性质

2. 利用整除性质判别余数

同余定理

1、定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b

( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。

2、重要性质及推论：

（1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除

例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711（）能被3整除．

（2）用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)

3、余数判别法

当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．

⑴ 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；

⑵ 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；

⑶ 整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；

⑷ 整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；

⑸ 整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；

⑹ 整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．

模块一、两个数的同余问题

【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.

六年级奥数：同余问题

六年级奥数：同余问题

六年级奥数：同余问题

1求1992×59除以7的余数。应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。1992除以7余4，59除以7余3。根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。

因为1992×59≡4×3≡5（mod 7）所以1992×59除以7的余数是5。

2已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？

一星期有7天，要求2010年的国庆节是星期几，就要求从2001年到2010年的国庆节的总天数被7除的余数就行了。但在甲酸中，如果我们能充分利用同余性质，就可以不必算出这个总天数。2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年7个平年，即有“366×2+365×7”天。因为366×2≡2×2≡4（mod 7），365×7≡1×7≡0（mod 7），366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7） 答：2010年的国庆节是星期五。

3求2001的2003次方除以13的余数。

2001除以13余12，即2001≡12（mod 13）。根据同余性质（4），可知2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13），但12的2003次方仍然是一个很大的值，要求它的余数比较困难。这时的关键就是要找出12的几次方对模13与1是同余的。经试验可知12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1。所以（12的平方）的1001次方≡1的1001（mod 13），即12的2002次方≡1（mod 13），而12的2003次方≡12的2002次方×12。根据同余性质（2）可知12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13）因为：2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13）12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+112的2003次方≡12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13）所以2001的2003次方除以13的余数是12。