大学物理(第四版)课后习题及答案 刚体

题4.1：一汽车发动机曲轴的转速在s12内由13minr102.1均匀的增加到13minr107.2。（1）求曲轴转动的角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转？

题4.1解：（1）由于角速度2n（n为单位时间内的转数），根据角加速度的定义tdd，在匀变速转动中角加速度为

200srad1.132tnnt

（2）发动机曲轴转过的角度为

tnnttt0020221

在12 s内曲轴转过的圈数为

圈390220tnnN

题4.2：某种电动机启动后转速随时间变化的关系为)1(0te，式中10srad0.9，s0.2。求：（1）s0.6t时的转速；（2）角加速度随时间变化的规律；（3）启动后s0.6内转过的圈数。

题4.2解：（1）根据题意中转速随时间的变化关系，将t  6.0 s代入，即得

100s6.895.01te

（2）角加速度随时间变化的规律为

220s5.4ddtteet

（3）t = 6.0 s时转过的角度为

rad9.36d1d60060ststet

则t = 6.0 s时电动机转过的圈数

圈87.52N

题4.3：如图所示，一通风机的转动部分以初角速度0绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C为一常量。若转动部分对其轴的转动惯量为J，问：（1）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（2）在此时间内共转过多少转？

题4.3解：（1）通风机叶片所受的阻力矩为ωMC，由转动定律αMJ，可得叶片的角加速度为

JCtdd（1）

根据初始条件对式（1）积分，有

00dddttJCt

由于C和J均为常量，得 tJCe0

当角速度由0021时，转动所需的时间为

2lnCJt

（2）根据初始条件对式（2）积分，有

ttJCte000dd

即

CJ20

在时间t内所转过的圈数为

CJN420

题4.4：一燃气轮机在试车时，燃气作用在涡轮上的力矩为mN1003.23，涡轮的转动惯量为2mkg0.25。当轮的转速由13minr1080.2增大到14minr1012.1时，所经历的时间为多少？

题4.4解1：在匀变速转动中，角加速度t0，由转动定律αMJ，可得飞轮所经历的时间

s8.10200nnMJJMt

解2：飞轮在恒外力矩作用下，根据角动量定理，有

00dJtMt

则

s8.10200nnMJJMt

题4.5：用落体观察法测定飞轮的转动惯量，是将半径为R的飞轮支承在O点上，然后在绕过飞轮的绳子的一端挂一质量为m的重物，令重物以初速度为零下落，带动飞轮转动，记下重物下落的距离和时间，就可算出飞轮的转动惯量。试写出它的计算式。（假设轴承间无摩擦）

题4.5解1：设绳子的拉力为FT，对飞轮而言，根据转动定律，有

JRFT

而对重物而言，由牛顿定律，有

maFmgT（2）

由于绳子不可伸长，因此，有

Ra（3）

重物作匀加速下落，则有

221ath（4） 由上述各式可解得飞轮的转动惯量为

1222hgtmRJ

解2：根据系统的机械能守恒定律，有

0212122Jmvmgh（1）

而线速度和角速度的关系为

Rv（2）

又根据重物作匀加速运动时，有

atv（3）

ahv22（4）

由上述各式可得

1222hgtmRJ

若轴承处存在摩擦，上述测量转动惯量的方法仍可采用。这时，只需通过用两个不同质量的重物做两次测量即可消除摩擦力矩带来的影响。

题4.6：一飞轮由一直径为cm30，厚度为cm0.2的圆盘和两个直径为cm10，长为cm0.8的共轴圆柱体组成，设飞轮的密度为33mkg108.7，求飞轮对轴的转动惯量。

题4.6解：根据转动惯量的叠加性，由匀质圆盘、圆柱体对轴的转动惯量公式可得

2424122221121mkg136.0211612212212adlddmdmJJJ

题4.7：如图所示，圆盘的质量为m，半径为R。求它对OO轴（即通过圆盘边缘且平行于盘中心轴）的转动惯量。

题4.7解：根据平行轴定理2OOmRJJ和绕圆盘中心轴O的转动惯量2O21mRJ可得

2222OO2321mRmRmRmRJJ

题4.8：试证明质量为m，半径为R的均匀球体，以直径为转轴的转动惯量为252mR。如以和球体相切的线为轴，其转动惯量又为多少？

题4.8证：如图所示，图中阴影部分的小圆盘对OO轴的转动惯量为

xxRxRmrJd21d21d22222 式中343Rm为匀质球体的密度。则球体以其直径OO为转轴的转动惯量为

222252d21dmRxxRJJRR

又由平行轴定理可得球绕O1O1轴的转动惯量为

2257mRmRJJ

题4.9：质量面密度为的均匀矩形板，试证其对与板面垂直的，通过几何中心的轴线的转动惯量为)(1222bllb。其中l为矩形板的长，b为它的宽。

题4.9证：取如图所示坐标，在板上取一质元yxmddd，它对与板面垂直的，通过几何中心的轴线的转动惯量为

yxyxJddd22

整个矩形板对该轴的转动惯量为

22222222121dddJllbbbllbyxyxJ

题4.10：如图所示，质量kg161m的实心圆柱体A，其半径为cm15r，可以绕其固定水平轴转动，阻力忽略不计。一条轻的柔绳绕在圆柱体上，其另一端系一个质量kg0.82m的物体B。求：（1）物体由静止开始下降s0.1后的距离；（2）绳的张力TF。

题4.10解：（1）分别作两物体的受力分析图。对实心圆柱体而言，由转动定律得

21T21rmJrF（1）

对悬挂物体而言，依据牛顿定律，有

amFgmFP2T2T2（2）

且TTFF。又由角量与线量的关系，得

ra

解上述方程组，可得物体下落的加速度

21222mmgma

在t = 1.0 s时，B下落的距离为

m45.222121222mmgtmats

（2）由式（2）可得绳中的张力为

N2.3922121gmmmmagmFT

题4.11：质量为1m和2m的两物体A、B分别悬挂在如图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为R和r，两轮的转动惯量分别为1J和2J，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳的张力。

题4.11解：分别对两物体及组合轮作受力分析，根据质点的牛顿定律和刚体的转动定律，有

11T111T1amFgmFP（1）

222T22T2amgmFPF（2）

21T2T1JJrFRF（3）

T2T2T1T1,FFFF（4）

由角加速度和线加速度之间的关系，有

Ra1（5）

ra2（6）

解上述方程组，可得

gRrmRmJJrmRma222121211

grrmRmJJrmRma222121212

gmrmRmJJRrmrmJJF122212122221T1

gmrmRmJJRrmRmJJF222212112121T2

题4.12：如图所示装置，定滑轮的半径为r，绕转轴的转动惯量为J，滑轮两边分别悬挂质量为1m和2m的物体A、B。A置于倾角为的斜面上，它和斜面间的摩擦因数为。若B向下作加速运动时，求：（1）其下落加速度的大小；（2）滑轮两边绳子的张力。（设绳的质量及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑）

题4.12解：作A、B和滑轮的受力分析图。其中A是在张力FT1、重力P1，支持力FN和摩擦力Ff的作用下运动，根据牛顿定律，沿斜面方向有

11111TcossinamgmgmF（1）

而B则是在张力FT2和重力P2的作用下运动，有

22T22amFgm（2）

由于绳子不能伸长、绳与轮之间无滑动，则有

raa21

对滑轮而言，根据定轴转动定律有

JrFrFT1T2（4）

且有

T22T1TT1,FFFF（5）

解上述各方程可得

22111221cossinrJmmgmgmgmaa

2212121T1cossincossin1rJmmrgJmgmmF

2212221T2cossin1rJmmrgJmgmmF

题4.13：如图所示，飞轮的质量为kg60，直径为m50.0，转速为13minr100.1。现用闸瓦制动使其在s0.5内停止转动，求制动力F。设闸瓦与飞轮之间的摩擦因数40.0，飞轮质量全部分布在轮缘上。

题4.13解：飞轮和闸杆的受力分析如图所示。根据闸杆的力矩平衡，有

01N21lFllF

而NNFF，则闸瓦作用于轮的摩擦力矩为

dFllldFdFM121Nf2212（1）

摩擦力矩是恒力矩，飞轮作匀角加速转动，由转动的运动规律，有

tntt200（2）

因飞轮的质量集中于轮缘，它绕轴的转动惯量42mdJ，根据转动定律JM，由式（1）、（2）可得制动力

N1014.32211tllnmdlF

题4.14：图是测试汽车轮胎滑动阻力的装置。轮胎最初为静止，且被一轻质框架支承者，轮轴可绕点O自由转动，其转动惯量为2mkg75.0、质量为kg0.15、半径为cm0.30。今将轮胎放在以速率1sm0.12移动的传送带上，并使框架AB保持水平。（1）如果轮胎与传送带之间的动摩擦因数为60.0，则需要经过多长时间车轮才能达到最终的角速度？（2）在传送带上车胎滑动的痕迹长度是多少？

题4.14解：车胎所受滑动摩擦力矩为

mgrM（1）

根据转动定律，车轮转动的角加速度为

JM （2）

要使轮与带之间无相对滑动，车轮转动的角速度为

vr （3）

开始时车轮静止，即00，故由匀加速转动规律t0，可得

t (4)

由上述各式可解得

s13.12mgrJvt

（2）在t时间内，轮缘上一点转过的弧长

22trrs

而传送带移动的距离l = vt，因此，传送带上滑痕的长度

m80.6221222mgrJvtrvtsld

题4.15：一半径为R、质量为m的匀质圆盘，以角速度绕其中心轴转动，现将它平放在