同角三角函数的两个基本关系式

同角三角函数基本关系【要点梳理】要点一：同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：22sincos 1αα+= (2)商数关系：sin tan cos ααα= (3)倒数关系：tan cot 1⋅=αα，sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅=要点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(2)2sin α是2(sin )α的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取。

要点二：同角三角函数基本关系式的变形1．平方关系式的变形： 2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-，，212sin cos (sin cos )αααα±⋅=±2．商数关系式的变形sin sin cos tan cos tan αααααα=⋅=，。

【典型例题】 类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1．若4sin 5α=-，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值。

【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。

在解答过程中如果角α所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角α所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a 给出，应就α所在象限讨论。

举一反三：【变式1】已知3sin 5α=-，求cos α，tan α的值。

类型二：利用同角关系求值例2．已知：tan cot 2,θθ+=求：（1）sin cos ⋅θθ的值；（2）sin cos θθ+的值；（3）sin cos θθ-的值；（4）sin θ及cos θ的值【变式1】已知sin cos αα-=（1）tan α+cot α；（2）sin 3α－cos 3α。

例3．已知：1tan 2θ=-，求： （1）sin cos sin 3cos θθθθ+-； （2）2212sin cos sin cos θθθθ+-； （3）222sin 3sin cos 5cos θθθθ--。

1．2.2 同角三角函数的基本关系 学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．知识点 同角三角函数的基本关系式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α.(2)tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z 的变形公式 sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.1．sin 2α＋cos 2β＝1.( × )提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin 2α＋cos 2α＝1.2．sin 2θ2＋cos 2θ2＝1.( √ ) 提示 在sin 2α＋cos 2α＝1中，令α＝θ2可得sin 2θ2＋cos 2θ2＝1. 3．对任意的角α，都有tan α＝sin αcos α成立．( × ) 提示 当α＝π2＋k π，k ∈Z 时就不成立． 4．若cos α＝0，则sin α＝1.( × )题型一 利用同角三角函数的关系式求值命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值例1 (1)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为( ) A.125 B ．－125 C.512 D ．－512考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 D解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213， ∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D. (2)已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝ . 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 －125解析 ∵sin α＋cos α＝713， ∴(sin α＋cos α)2＝49169， 即2sin αcos α＝－120169<0， 又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故sin α－cos α＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝1713， 可得sin α＝1213，cos α＝－513，tan α＝－125. 反思感悟 (1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，找到解决问题的突破口．跟踪训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值例2 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值． 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角．(1)当α是第二象限角时，则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. (2)当α是第三象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158. 反思感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解．跟踪训练2 已知cos α＝－45，求sin α和tan α. 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝925， 因为cos α＝－45<0， 所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35， tan α＝sin αcos α＝－34； 当α是第三象限角时，sin α＝－35， tan α＝sin αcos α＝34. 题型二 齐次式求值问题例3 已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α. 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简、求值解 (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. 反思感悟 (1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值．(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin 2α＋cos 2α代换后，再同除以cos 2α，构造出关于tan α的代数式．跟踪训练3 已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值． (1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1.考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简、求三角函数值解 由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α， 所以tan α＝3.(1)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89. (2)原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1 ＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310. 三角函数式的化简与证明典例 (1)化简：sin 2αtan α＋cos 2αtan α＋2sin αcos α. 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简解 原式＝sin 2α·sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＋2sin αcos α ＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αsin αcos α＝(sin 2α＋cos 2α)2sin αcos α＝1sin αcos α. (2)求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α. 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式证明证明 ∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， ∴原等式成立．[素养评析] (1)三角函数式的化简技巧①化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．③比较法：即证左边－右边＝0或左边右边＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．(3)掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，提升逻辑推理的数学核心素养.1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值为( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 A解析 ∵α为第二象限角，sin α＝45， ∴cos α＝－35，tan α＝－43. 2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－35 B ．－15 C.15 D.35考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式化简、求三角函数值答案 A解析 sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35. 3．(2018·江西上高第二中学高二期末)若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简答案 B解析 ∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0，∴原式＝－cos αcos α－2sin αsin α＝－3. 4．已知tan x ＝－12，则sin 2x ＋3sin x cos x －1的值为( ) A.13B ．2C ．－2或2D ．－2考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 D5．已知：tan αtan α－1＝－1，则sin α－3cos αsin α＋cos α＝ . 答案 －53解析 由已知得：tan α＝12， ∴sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．3．在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数名的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解．一、选择题1．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α等于( ) A ．－55 B ．－15C ．－255D ．－45考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 C解析 ∵α是第二象限角，∴cos α<0.又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－255.2．下列四个结论中可能成立的是( )A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α考点 同角三角函数基本关系题点 运用基本关系式求值答案 B3．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，0<α<π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A ．－223 B ．－23 C.23 D.223考点 运用基本关系式求值题点 运用基本关系式求值答案 D解析 ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－⎝⎛⎭⎫132＝223.4．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α等于() A.45 B.35 C.25 D.15考点 同角三角函数基本关系题点 运用基本关系式求值答案 B解析 由4x 2＋x －3＝0得x ＝－1或x ＝34.又∵α是锐角，∴tan α>0，sin α>0， ∴tan α＝34.又∵tan α＝sin αcos α＝34，且sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋⎝⎛⎭⎫43sin α2＝1，解得sin α＝35.5．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为() A.23 B ．－23 C.13 D ．－13考点 运用基本关系式化简、求值题点 运用基本关系式化简、求值答案 A解析 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，∴sin 2θcos 2θ＝29，∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0， ∴sin θcos θ＝23.6．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( ) A.34 B ．±310 C.310 D ．－310考点 运用基本关系式化简、求值题点 运用基本关系式化简、求值答案 C解析 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ， 即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3，∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝31＋32＝310. 7．若α为第二象限角，化简tan α·1sin 2α－1等于( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D.12考点 运用基本关系式化简题点 运用基本关系式化简答案 C解析 tan α·1sin 2α－1＝tan α·1－sin 2αsin 2α＝sin αcos α·|cos α||sin α|. 因为α为第二象限的角，所以cos α<0，sin α>0，原式＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. 二、填空题8．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝ . 考点 运用基本关系式化简、求值 题点 运用基本关系式化简、求值答案 －13解析 1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13. 9．已知α为第二象限角，则cos α·1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝ . 考点 运用基本关系式化简题点 运用基本关系式化简答案 0解析 原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α·1|cos α|＋sin α·1|sin α|. 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α·1|cos α|＋sin α·1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式＝0.10．(2018·九江高一检测)若sin α＋cos α＝2，则tan α＋1tan α的值为 ． 考点 运用基本关系式化简、求值题点 运用基本关系式化简、求值答案 2 11．在△ABC 中，2sin A ＝ 3cos A ，则角A ＝ .考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 π3解析 由题意知cos A >0，即A 为锐角．将2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A .∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)， ∴A ＝π3. 三、解答题12．化简：1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫0<α<π2. 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简解 原式＝sin 2α2－2sin α2cos α2＋cos 2α2＋sin 2α2＋2sin α2cos α2＋cos 2α2 ＝⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22＝⎪⎪⎪⎪cos α2－sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α2∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴cos α2－sin α2>0，cos α2＋sin α2>0， ∴原式＝cos α2－sin α2＋cos α2＋sin α2＝2cos α2. 13．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简证明 因为tan 2α＝2tan 2β＋1，所以tan 2α＋1＝2tan 2β＋2，所以sin 2αcos 2α＋1＝2⎝⎛⎭⎫sin 2βcos 2β＋1， 所以1cos 2α＝2cos 2β，即cos 2β＝2cos 2α， 所以1－sin 2β＝2(1－sin 2α)，即sin 2β＝2sin 2α－1.14．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈N *)的值为 ． 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 1解析 ∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0.当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1；当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1，∴sin n α＋cos n α＝1.15．已知sin α，cos α为方程4x 2－4mx ＋2m －1＝0的两个实根，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求m 及α的值．考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 因为sin α，cos α为方程4x 2－4mx ＋2m －1＝0的两个实根， 所以Δ＝16(m 2－2m ＋1)≥0且sin α＋cos α＝m ，sin αcos α＝2m －14. 代入(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，解得m ＝1±32. 又因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 所以sin α·cos α＝2m －14<0，m <12， 所以sin α＋cos α＝m ＝1－32， 所以sin α＝－32，cos α＝12. 又因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以α＝－π3. 所以m ＝1－32，α＝－π3.。

1.2.3 同角三角函数的基本关系式教材知识检索考点知识清单1．同角三角函数的两个最基本的关系为 和 ．2．知道一个角的某一三角函数值，利用这两个关系式和 ，就可以求出这个角的其余____，此外还可以利用他们 和 ．3．证明一个三角恒等式，可以从它的 开始，推出等于另一边，也可以用 证明等式两边之差等于零；还可以先证得 ，并由此推出需要证明的等式成立． 要点核心解读1.同角三角函数的基本关系式如图1-2 -3 -1，在单位圆中，由三角函数的定义和勾股定理可得αααααcos sin tan ,1cos sin 22==+2．需要注意的几个问题(1)公式成立的条件：公式1cos sin 22=+αα对一切R ∈α均成立；αααcos sin tan =仅在)(2z k k ∈+=/ππα时成立． (2)学习同角三角函数的基本关系式时，首先要突出“同角”的含义，这里的“同角”应作广义的理解，例如αππ3,33与与α3是同角，76πβ+与76πβ+也是同角． 同角的三角函数关系是三角学的最基本而且也是最重要的公式，掌握好这些公式对以后的学习至关重要．学习时要从“公式的证”“公式的记忆”“公式的应用”三个方面人手．通过本节的学习，有意识的培养推理论证能力和分析转化能力．(3)使用平方关系,1cos ,cos 1sin 22ααααms -±=-±=正、负号由α所在的象限来确定，而对于其他形式的公式就不必考虑符号问题．(4)运用同角三角函数的基本关系式，应注意公式变形及逆用：如,cos sin 1,sin 1..,cos 1sin 222222αααααα+=-=-=co =αsin ,cos .tan αα.tan cos sin ,11sin cos ααααωαα==(5)这两个关系式是三角函数中最基本的关系式．当我们知道一个角的某一三角函数值时，利用这两个关系式和三角函数的定义，就可求出这个角的其余三角函数值．此外，还可以用它们化简三角函数式和证明三角恒等式．3．两类重要题型的处理方法(1)化简三角函数的目的是为了简化运算，化简的一般要求： ①能求出函数值的要求出函数值来；②函数种类尽可能地少； ③要使化简后的式子项数最少，次数最低；④尽量化去含有根式的式子，尽可能地不含分母，化简的关键是消元和降次．(2)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的的化简，根据不同题型，可采用： ①左边⇒右边；②右边⇒左边；③右边，左边⇒中间．这是就证明题的“方向”而亩的，从“繁、简”角度讲，一般由繁到简，另外要注意“切、割化弦”的变形．典例分类剖析考点1知一求其他问题 命题规律已知一个角的某一三角函数值求这个角的其余三角函数值．[例1] (1)已知,54sin =α且α是第二象限角，则αtan 的值是( )． 34.-A 43.-B 43.C 34.D(2)已知,54sin =α求αtan 的值．[解析] (1),54sin =α 且α是第二象限角，,53)54(1sin 1cos 22-=--=--=∴αα⋅-=-==∴345354cos sin tan ααα 故选A ．αα∴>=,054)2(ms 是第一或第二象限角， 当α为第一象限角时，,53sin 1cos 2=-=αα;34cos sin tan ==∴ααα当α为第二象限角时，,53sin 1cos 2-=--=αα⋅-==∴34cos sin tan ααα∴ 当α为第一象限角时，;34tan =α当α为第二象限角时，⋅-=34tan α[答案】 (1)A(2)见解析．[点拨] (1)已知ααααcot tan cos sin 、、、四个三角函数值中的一个，就可以求另外三个，但在利用平方关系时，符号的选择是看α属于哪个象限，这是易出错的地方，应引起重视．当α的象限不确定时，则需分象限讨论．(2)同角三角函数的基本关系式反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的变形提供了工具和方法，1．(1)已知,51sin =α求.tan ,cos αα(2)A 是△ABC 的—个内角，且,54sin =A 求7cos 158sin 5-+A A 的值 考点2 含字母的知一求其他问题命题规律已知一个角的莱一三角函数值以字母呈现，求这个角的其他三角函数值．[例2] 已知),1|(|sin ≤=m m α求αtan 的值．[解析] 可先由,sin 1cos 2αα-±=根据正、负号的选取情况对α作出讨论，再求.tan α (1)当0=m 时，.0cos sin tan ==ααα (2)当1±=m 时，α的终边落在y 轴上，此时αtan 无意义． (3)当α在第一、四象限时，,0cos >α,11cos 2m ms -=-=∴αα ⋅--=-==∴22111cos sin tan m m m mm ααα 当α在第二、三象限时，,0cos <α,1cos 2m --=∴α⋅--=--==∴111cos sin tan 22m m m mm ααα 2．已知,tan m =α求.cos sin αα、考点3 关于ααcos sin 、齐次式的求值问题 命题规律已知αtan 的值，求含有ααcos sin 、的齐次式的三角函数式的值． [例3] 已知,0cos 2sin 3=-αα求下列各式的值．;sin cos sin cos sin cos sin cos )1(αααααααα-+++-.cos 4cos sin 2sin )2(22αααα+-[解析] 解此题的常规思路是由ααcos 2sin 3=得=αtan ⋅32再讨论α在第一或第三象限时αsin 和αcos 的值，进而可求出所要求的值．但这种方法计算量过大．我们注意到(1)中分子、分母都是关于ααcos sin 和的一次齐次式，因此在它的分子、分母中同除以,cos α就转化成用αtan 表示，因而很容易求出其值．(2)中把分母看做是l ，并用22cos +αm s 的式子α来代替，因而与(1)类似地转化即可．(1)显然,32tan ,0cos =∴=/αα ++-=-+++-=-+++-321321tan 1tan 1tan 1tan 1sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααααααα526321321=-+=++-=+-αααααααααα222222cos sin cos 4cos sin 2sin cos 4cos sin 2sin )2( ⋅=++-=++-1328194434941tan 4tan 2tan 22ααα 3．已知,3tan =α求下列各式的值：;sin cos 3sin cos 3sin cos 4sin cos 4)1(αααααααα+-+-+.4cos sin 3sin 2)2(2+-ααα考点4化简问题 命题规律化简给出的三角函数式， [例4] 化简下列各式：;sin 1sin 1sin 1sin 1tan 1cos 1)1(αααααα+---+++⋅----θθθθ4466cos sin 1cos sin 1)2( [解析] (1)原式=--+++ααααα22sin 1)sin 1(cos sin 1.cos 1+=--ααααcos |cos |sin 1)sin 1(2|cos |sin 1|cos |sin 1αααα--+⎩⎨⎧≡---+==N h zrx hLhhk z x z αααα(tan 21),*9(tan 21 (2)原式=θθθθθθθθ44226622cos sin cos sin cos cos sin --+--+ms)cos 1(cos )sin 1(sin )cos 1(cos )1(sin 22224242θθθθθθθθ-+--+-=ms )cos 1(cos )sin 1(sin )cos 1)(cos 1(cos )sin 1)(sin 1(sin 2222222222θθθθθθθθθθ-+--++-+=θθθθθθθθθθ2222222222sin cos cos sin )cos 1(cos .sin )sin 1(cos sin ⋅+⋅+++⋅=⋅=+++⋅=23cos .sin 2)cos 1sin 1(cos 8222222θθθθθθm [点拨】对(1)运用公式，想方设法将无理式化为有理式，将结果化为最简形式．对(2)，遇到高次，要通过基本关系式降次，将l 代换为,cos 22θθ+ms 再因式分解．注意切化弦的技巧， 4．化简：++++ 38281in )1(222in in s o ;89sin 2;cos sin 3sin cos )2(2266αααα++.cos sin 1cos sin 2cos sin 1)3(⋅+++++αααααα考点5 三角式的证明 命题规律证明给出的三角恒等式成立．[例5] 求证：.)cos sin 1()1)(sin 1(22αααα+-=+-coB[解析] 左边=+=-+-+1cos sin 2cos 2sin 211ααααsin2cos sin 22-+αα+ααcos-+=-ααα(cos 21)sin (cos 2=+-=-+22cos sin 1()sin (cos )sin ）ααααα右边．[点拨]证明三角恒等式的常用方法与证明代数恒等式的常用方法基本相同，即(1)从右证到左；(2)从左证到右；(3)证明左右归一．选择哪一种的原则是化繁为简，另外还有变更命题法，如要证,DCB A = 可证,BC AD =或证A CB D =等． 5．(1)证明：=+-+ααααcos 1sin sin 1cos ⋅++-ααααcos sin 1)sin (cos 2 (2)已知,1tan 2tan22+=βα求证：.1sin 2sin 22-=αβ考点61cos sin 22=+αα的变式应用命题规律已知ααααsin cos cos sin ⋅±、中之一，求其余两个的值或求ααcos sin 、的值． [例6] 已知：),,0(,51cos sin πθθθ∈=+求值： .cos sin )3(;cos sin )2(;tan )1(33θθθθθ+-[解析] ),,0(,51cos sin πθθθ∈=+ .02512cos <-=∴θθms ,0cos ,0sin <>∴θθ且θθcos ,sin 是方程02512512=--x x 的两根，解方程得⋅-==53,5421x x ⋅-==∴53cos ,54sin θθ⋅=+=--=∴12537cos sin ,57cos ,34tan 33θθθθθm s 6．(1)已知,41cos .sin =αα且<<απ4,2π求ααsin cos -的值．(2)设θθcos sin h -是方程0)13(22=++-m x x 的两根，求m 与θθθθθθcos sin 2tan 1cos cot 1sin --+-的值。

同角三角函数的两个基本关系
同角三角函数的基本关系如下：
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1。

(2)商数关系：sin2α/cos2α＝tanα。

同角三角函数关系式的常用变形：
(sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα。

诱导公式的记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。

在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号。

应用诱导公式时应注意的问题：
(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定。

(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号。

(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化。

（一）同角三角函数的基本关系及诱导公式一、【课标要求】1.掌握同角三角函数的基本关系式，掌握公式中“1”的作用。

2.掌握诱导公式，并能进行化简求值。

二、【知识回顾】1．同角三角函数关系式（1）平方关系：22sin cos 1αα+= （2）商的关系：sin tan cos ααα=（3）sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-⋅三者之间，知一可求二，关键是利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±的变形2．诱导公式诱导公式一：sin(2)k απ+= ，cos(2)k απ+= ，tan(2)k απ+= ，k Z ∈诱导公式二：sin()α-= ，cos()α-= ，tan()α-= ， 诱导公式三：sin()πα+= ，cos()πα+= ，tan()πα+= ， 诱导公式四：sin()πα-= ，cos()πα-= ，tan()πα-= ， 诱导公式五：sin()2πα+= ，cos()2πα+= ， 诱导公式六：sin()2πα-= ，cos()2πα-= ，口决：“奇变偶不变，符号看象限”。

形式：将角的形式化为：()2k k Z πα⋅±∈,不管α是多大，统统看成锐角，诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其一般步骤为：31. 化简三角函数式的的一般原则①函数种类尽量少、指数尽量低、项数尽量少 ②尽量化成同名、同角的三角函数③大角化小角、负角化正角，化到锐角就终了 ④化切为弦 ⑤注意“1”的作用【例题精讲】考点一：同角三角函数的基本关系例1.已知sin 2cos αα=，求下列各式的值： （1）sin 4cos 5sin 2cos αααα-+ （2）2sin 2sin cos ααα+例2.已知tan 1tan 6αα=--，求下列各式的值：（1）213sin cos 3cos ααα-+ （2）2cos 3sin 3cos 4sin αααα-+考点二：三角函数式的求值例3.已知sin()cos(2)tan(2)()3tan()cos()2f παπαπααπαπα+--=----（1） 若1860α=-，求()f α （2） 若33cos()25πα-=，求()f α的值。

同角三角函数诱导公式
同角三角函数诱导公式是三角函数中一组具有特定结构的恒等式，它们在三角函数的化简、求值、恒等式证明等领域有着广泛的应用。

同角三角函数的基本关系式包括：
平方和公式：sin^2(α) + cos^2(α) = 1
积化和差公式：sin(α)cos(β) = 1/2[sin(α+β) + sin(α-β)]
和差化积公式：sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ
同角三角函数的诱导公式包括：
sin(x+2kπ)=sinx
cos(x+2kπ)=cosx
tan(x+2kπ)=tanx
sin(π/2-x)=cosx
cos(π/2-x)=sinx
tan(π/2-x)=1/tanx
sin(π/2+x)=cosx
cos(π/2+x)=-sinx
tan(π/2+x)=-tanx
sin(π-x)=sinx
cos(π-x)=-cosx
tan(π-x)=-tanx
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=1/tanα
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-tanα
以上是同角三角函数诱导公式的一部分，这些公式在解三角函数的方程、求三角函数的值、证明三角恒等式等方面都有重要作用。

同角三角函数的基本关系式诱导公式sin(－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α)＝－tanαcot（－α）＝－cotα两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos(α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan(α＋β）＝—————-1－tanα ·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα ·tanβ2tan(α/2)sinα＝——————1＋tan2（α/2）1－tan2(α/2）cosα＝—————-1＋tan2(α/2）2tan（α/2) tanα＝——————1－tan2（α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝--———1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin-－－·cos-－—sinα·cosβ=（1/2）[sin （α+β)+sin（α-β)]2 2α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—2 2α＋βα－βc osα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—2 2α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－— 2 2cosα·sinβ=（1/2)［sin （α+β)—sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)［cos（α+β）+cos（α—β）］sinα·sinβ=—(1/2）［cos （α+β)—cos（α-β)］化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式）直角三角定义它有六种基本函数（初等基本表示）：三角函数数值表（斜边为r，对边为y，邻边为x。

1.2.2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系式 1．公式(1)平方关系： sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系： sin αcos α＝tan α. 2．公式推导如图，以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 的长作为直角三角形三边长，而且OP ＝1．由勾股定理，得OM 2＋MP 2＝1，因此x 2＋y 2＝1， 即sin 2α＋cos 2α＝1．根据三角函数的定义，当α≠k π＋π2(k ∈Z )时，有sin αcos α＝tan α．这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切． [知识点拨]对同角三角函数基本关系式的理解(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1成立，但是sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．(2)sin 2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin 2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin 2α＋cos 2α＝1对一切α∈R 恒成立，而tan α＝sin αcos α仅对α≠π2＋k π(k ∈Z )成立．3．常用的等价变形sin 2α＋cos 2α＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，sin α＝±1－cos 2α，cos α＝±1－sin 2α；tan α＝sin αcos α⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝tan αcos α，cos α＝sin αtan α.[拓展]变形公式的应用要注意哪些方面？(1)使用变形公式sin α＝±1－cos 2α，cos α＝±1－sin 2α时，“±”号是由α的终边所在的象限确定的，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题．(2)对这些关系式不仅要牢牢掌握，还要能灵活运用(正用、逆用、变形应用)． Y 预习自测u xi zi ce1．已知sin α＝78，cos α＝158，则tan α等于( D )A ．78B ．158C ．157D ．715152．(2015·福建文)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( D ) A ．125B ．－125C ．512D ．－5123．化简1－sin 2440°＝__cos80°__．4．化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β＝__1__．H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨根据同角三角函数关系求值 典例1 (1)已知sin α＝15，求cos α，tan α的值；(2)已知cos α＝－35，求sin α，tan α的值．[解析] (1)∵sin α＝15>0，∴α是第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－125＝265，tan α＝sin αcos α＝612；当α为第二象限角时，cos α＝－265，tan α＝－612．(2)∵cos α＝－35<0，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－(－35)2＝45，tan α＝sin αcos α＝－43；当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－35)2＝－45，tan α＝sin αcos α＝43．『规律总结』 在使用开平方关系sin α＝±1－cos 2α和cos α＝±1－sin 2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．〔跟踪练习1〕已知sin α＝－45，并且α是第三象限的角，求cos α、tan α的值．[解析] ∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝1－sin 2α＝1－(－45)2＝925．又∵α是第三象限角，∴cos α<0 即cos α＝－925＝－35， ∴tan α＝sin αcos α＝(－45)×(－53)＝43．命题方向2 ⇨弦化切求值 典例2 已知tan α＝3． (1)求sin α和cos α的值； (2)求3sin α－cos α2cos α＋sin α的值；(3)求sin 2α－3sin αcos α＋1的值．[思路分析] tan α＝3，即sin α＝3cos α，结合sin 2α＋cos 2α＝1，解方程组可求出sin α和cos α；对于(2)，注意到分子分母都是sin α与cos α的一次式，可分子分母同除以cos α化为tan α的表达式；对于(3)，如果把分母视作1，进行1的代换，1＝sin 2α＋cos 2α然后运用(2)的方法，分子分母同除以cos 2α可化为tan α的表达式，也可以将sin α＝3cos α代入sin 2α＋cos 2α＝1中求出cos 2α，把待求式消去sin α，也化为cos 2α的表达式求解．[解析] (1)tan α＝3＝sin αcos α>0，∴α是第一或第三象限角．当α是第一象限角时，结合sin 2α＋cos 2α＝1，有 ⎩⎨⎧sin α＝31010cos α＝1010．当α是第三象限角时，结合sin 2α＋cos 2α＝1，有⎩⎨⎧sin α＝－31010cos α＝－1010．(2)∵tan α＝3，∴3sin α－cos α2cos α＋sin α＝3tan α－12＋tan α＝85．(3)∵tan α＝3，sin 2α＋cos 2α＝1， ∴原式＝sin 2α－3sin αcos α＋11＝2sin 2α－3sin α·cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋11＋tan 2α＝2×32－3×3＋11＋32＝1．『规律总结』 1.若已知tan α＝m ，求形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α(或a sin 2α＋b cos 2αc sin 2α＋d cos 2α)的值，其方法是将分子、分母同除以cos α(或cos 2α)转化为tan α的代数式，再求值，如果先求出sin α和cos α的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．2．形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α通常把分母看作1，然后用sin 2α＋cos 2α代换，分子、分母同除以cos 2α再求解．〔跟踪练习2〕已知tan α＝－12，求下列各式的值：(1)sin α＋2cos α； (2)cos α－5sin α3cos α＋sin α； (3)sin 2α－sin αcos α－3cos 2α5sin αcos α＋sin 2α＋1；(4)2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α．[解析] (1)tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－2sin α又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋4sin 2α＝1 ∴sin 2α＝15，∴sin α＝±55当α为第二象限角时，sin α＝55，cos α＝－255， sin α＋2cos α＝－355，当α为第四象限角时，cos α＝255，sin α＝－55，sin α＋2cos α＝355．(2)cos α－5sin α3cos α＋sin α＝1－5tan α3＋tan α＝1－5×(－12)3－12＝75．(3)sin 2α－sincos α－3cos 2α5sincos α＋sin 2α＋1＝sin 2α－sin αcos α－3cos 2α5sin αcos α＋2sin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan α－32tan 2α＋5tan α＋1＝(－12)2－(－12)－32(－12)2＋5(－12)＋1＝94． (4)2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α＋1tan 2α＋1＝85．命题方向3 ⇨化简三角函数式典例3 (1)1－2sin10°cos10°sin10°－1－sin 210°；(2)1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α．[思路分析] (1)把二次根式中的被开方式化为完全平方式．(2)中所含角α的三角函数次数相对较高，且分子、分母含常数“1”．解答本题中的(1)、(2)时应充分利用“sin 2α＋cos 2α＝1”这一条件．[解析] (1)原式＝(cos10°－sin10°)2sin10°－cos 210°＝|cos10°－sin10°|sin10°－cos10°＝cos10°－sin10°sin10°－cos10°＝－1．(2)解法一：原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2α·sin 2α3cos 2α·sin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23． 解法二：原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2sin 2αcos 2α]1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α) ＝1－1＋2cos 2αsin 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2αsin 2α] ＝2cos 2αsin 2α3cos 2αsin 2α＝23． 『规律总结』 三角函数式的化简过程中常用的方法：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．〔跟踪练习3〕已知α是第三象限角，化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α．[解析] 1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝(1＋sin α)2cos 2α－(1－sin α)2cos 2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝2sin α|cos α|． ∵α是第三象限角，∴|cos α|＝－cos α． 原式＝2sin α－cos α＝－2tan α， 故1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α．命题方向4 ⇨三角恒等式的证明 典例4 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α．[思路分析] 思路一右式分子分母同乘以tan α－sin α→由右式向左式转化思路二 左右两式切化弦→整理化简得证[解析] 方法一：∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．方法二：∵左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α，∴左边＝右边，原等式成立．『规律总结』 利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式 三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有： (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简； (2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子；(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异； (4)变更命题法，如要证明a b ＝c d ，可证ad ＝bc 或证d b ＝ca等；(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．〔跟踪练习4〕证明下列三角恒等式： 2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x ．[解析] 左边＝2sin x cos x[sin x ＋(cos x －1)][sin x －(cos x －1)]＝2sin x cos x sin 2x －(cos x －1)2＝sin x1－cos x ＝sin x (1＋cos x )1－cos 2x＝1＋cos xsin x＝右边，所以原等式成立． X 学科核心素养ue ke he xin su yang sin θ±cos θ，sin θ·cos θ三者的关系及方程思想的运用 sin θ±cos θ，sin θ·cos θ三者的关系：(1)对于三角函数式sin θ±cos θ，sin θ·cos θ之间的关系，可以通过(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θ·cos θ进行转化．(2)若已知sin θ±cos θ，sin θ·cos θ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sin θ，cos θ的值，从而求出其余的三角函数值．典例5 已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，求sin θ，cos θ，sin θ－cos θ，tan θ，sin 3θ＋cos 3θ的值．[解析] 本题考查已知三角函数的关系式，求其他三角函数式的值．解题时先根据已知关系式求出角的范围和三角函数值，进而解决问题．∵sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，∴1＋2sin θ·cos θ＝125，∴2sin θ·cos θ＝－2425<0．又θ∈(0，π)，sin θ>0，∴cos θ<0，∴θ∈(π2，π)．∴sin θ－cos θ>0．∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1＋2425＝4925，∴sin θ－cos θ＝75，∴⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝15，sin θ－cos θ＝75⇒⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝－35，∴tan θ＝sin θcos θ＝45－35＝－43，sin 3θ＋cos 3θ＝37125．『规律总结』 在解三角函数问题时要注意题目中的隐含条件，本题就是灵活运用了平方关系，列方程求出sin θ，cos θ，使问题得解．〔跟踪练习5〕已知sin θ、cos θ是方程4x 2－4mx ＋2m －1＝0的两个根，3π2<θ<2π，求角θ．[解析]∵⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝m ，sin θ·cos θ＝2m －14，Δ＝16(m 2－2m ＋1)≥0，代入(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ，得m ＝1±32．又∵3π2<θ<2π.∴sin θ·cos θ＝2m －14<0，sin θ＋cos θ＝m ＝1－32，∴sin θ＝－32，cos θ＝12．又∵3π2<θ<2π，∴θ＝5π3．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi典例6 已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为__________． [错解] 将sin θ＋cos θ＝3－12两边平方，得1＋2sin θcos θ＝1－32，即sin θcos θ＝－34，易知θ≠π2．故sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝－34，解得tan θ＝－3或tan θ＝－33． [错因分析] 题设条件sin θ＋cos θ＝3－12隐含sin θ>－cos θ这一条件，结合所得sin θcos θ＝－34<0可进一步得到θ的范围，错解忽略了这一点，从而造成增解． [正解] 同错解，解得tan θ＝－3或tan θ＝－33． ∵θ∈(0，π)，sin θcos θ＝－34<0，∴θ∈(π2，π)，由sin θ＋cos θ＝3－12>0可得sin θ>－cos θ，即|sin θ|>|cos θ|，故θ∈(π2，3π4)，则tan θ<－1，∴tan θ＝－3．[点评] 有些关于三角函数的条件求值问题，表面上角的范围不受条件限制，实际上只要对已知式稍加变形，就会推出三角函数值间的限制关系，这种限制关系本身就隐含了角的取值范围．解题时，同学们如果忽略了对已知条件中三角函数值间限制关系的挖掘，就很可能出错．〔跟踪练习6〕已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α的值为 －2 ．[解析] ∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，且π<α<5π4，∴cos α<sin α，∴cos α－sin α<0， ∴cos α－sin α＝－34＝－32． K 课堂达标验收e tang da biao yan shou 1．化简1－sin 23π5的结果是( C )A ．cos 3π5B ．sin 3π5C ．－cos 3π5D ．－sin 3π52．已知tan α＝12，0<α<π，则sin α－cos α＝ －5．． [解析] 由tan α＝12>0，知α为锐角，所以sin α＝55，cos α＝255，∴sin α－cos α＝－55．3．(2016·四川资阳阳安中学月考)已知tan α＝－43，则sin α＋cos αsin α－cos α等于( A )A ．17B ．－17C ．－7D ．74．化简：(1sin α＋1tan α)(1－cos α)＝__sin α__．A 级 基础巩固一、选择题1．α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( B ) A ．513B ．－513C ．512D ．－512[解析] ∵α是第四象限角，∴sin α<0． ∵⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝1213，sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝－513．2．已知cos α＝23，则sin 2α等于( A )A ．59B ．±59C ．53D ．±53[解析] sin 2α＝1－cos 2α＝59．3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( D )A ．15B ．－15C ．513D ．－513[解析] 不妨设α对应的锐角为α′，tan α′＝512，构造直角三角形如图，则|sin α|＝sin α′＝513， ∵α为第四象限角，∴sin α<0，∴sin α＝－513．4．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α等于( C ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2[解析] 原式＝(1＋sin 2αcos 2α)·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1．5．已知sin α－3cos α＝0，则sin 2α＋sin αcos α值为( B ) A ．95B ．65C ．3D ．4[解析] 由sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3， 又sin 2α＋sin αcos α＝sin 2α＋sin αcod αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α1＋tan 2α＝1210＝65．6．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，那么这个三角形的形状为( B )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形[解析] (sin α＋cos α)2＝49，∴2sin αcos α＝－59<0，又∵α∈(0，π)，sin α>0.∴cos α<0，∴α为钝角． 二、填空题7．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则∠A ＝__60°__．[解析] ∵2sin 2A ＝3cos A ，∴2(1－cos 2A )＝3cos A ，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，∴cos A ＝12，cos A ＝－2(舍去)，∴A ＝60°．8．已知tan α＝cos α，那么sin α＝ 2． [解析] 由于tan α＝sin αcos α＝cos α，则sin α＝cos 2α，所以sin α＝1－sin 2α，解得sin α＝－1±52． 又sin α＝cos 2α≥0，所以sin α＝－1＋52．三、解答题9．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α(1＋1tan α)＝1sin α＋1cos α． [证明] 左边＝sin α(1＋sin αcos α)＋cos α(1＋cos αsin α)＝sin α＋sin 2αcos α＋cos α＋cos 2αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋sin 2α＋cos 2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边． 即原等式成立．10．已知tan α＝7，求下列各式的值． (1)sin α＋cos α2sin α－cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α．[解析] (1)sin α＋cos α2sin α－cos α＝sin α＋cos αcos α2sin α－cos αcos α＝tan α＋12tan α－1＝7＋12×7－1＝813．(2)sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝tan 2α＋tan α＋3tan 2α＋1＝49＋7＋349＋1＝5950． B 级 素养提升一、选择题1．已知sin α－cos α＝－54，则sin α·cos α等于( C )A ．74B ．－916C ．－932D ．932[解析] 将所给等式两边平方，得1－2sin αcos α＝2516，故sin αcos α＝－932．2．若π<α<3π2，1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α的化简结果为( D )A ．2tan αB ．－2tan αC ．2sin αD ．－2sin α[解析] 原式＝(1－cos α)21－cos 2α＋(1＋cos α)21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＋1＋cos α|sin α|＝2|sin α|∵π<α<3π2，∴原式＝－2sin α．3．若sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θ·cos θ＝( D )A ．－417B ．45C ．±417D ．417[解析] 由sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝2，得tan θ＝4，sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝417． 4．如果sin x ＋cos x ＝15，且0<x <π，那么tan x 的值是( A )A ．－43B ．－43或－34C ．－34D ．43或－34[解析] 将所给等式两边平方，得sin x cos x ＝－1225，∵0<x <π，∴sin x >0，cos x <0， ∴sin x ＝45，cos x ＝－35，∴tan x ＝－43．二、填空题5．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，则tan θ＝ －34或－512 ．[解析] 由sin 2θ＋cos 2θ＝1得，m ＝0或8． m ＝0时，sin θ＝－35，cos θ＝45，tan θ＝－34；m ＝8时，sin θ＝513，cos ＝－1213，tan θ＝－512．6．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝ 11． [解析] 因为tan A ＝23>0，则∠A 是锐角，则sin A >0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin 2A ＋cos 2A ＝1，sin A cos A ＝23，得sin A ＝2211． 7．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1． [解析] 由tan 2α＝2tan 2β＋1，可得tan 2β＝12(tan 2α－1)，即sin 2βcos 2β＝12(sin 2αcos 2α－1)，故有sin 2β1－sin 2β＝12(sin 2α1－sin 2α－1)＝12×2sin 2α－11－sin 2α，整理得sin 2β1－sin 2β＝sin 2α－121－sin 2α，即sin 2β(1－sin 2α)＝(1－sin 2β)(sin 2α－12)，展开得12sin 2β＝sin 2α－12，即sin 2β＝2sin 2α－1．8．化简下列式子．(1)cos 6α＋sin 6α＋3sin 2αcos 2α； (2)若x 是第二象限角，化简sin x1－cos x·tan x －sin xtan x ＋sin x．[解析] (1)原式＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α)＋3sin 2α·cos 2α＝cos 4α＋2sin 2αcos 2α＋sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2＝1．(2)原式＝sin x 1－cos x·sin x －sin x cos x sin x ＋sin x cos x＝sin x 1－cos x·1－cos x 1＋cos x＝sin x 1－cos x·(1＋cos x )(1－cos x )(1＋cos x )2＝sin x 1－cos x ·|sin x |1＋cos x．∵x 为第二象限角，∴sin x >0，∴原式＝sin 2x1－cos 2x＝1．C 级 能力拔高设A 是三角形的内角，且sin A 和cos A 是关于x 的方程25x 2－5ax －12a ＝0的两个根． (1)求a 的值； (2)求tan A 的值．[解析] (1)∵sin A 和cos A 是关于x 的方程25x 2－5ax －12a ＝0的两个根，∴由韦达定理得 ⎩⎨⎧sin A ＋cos A ＝15a ，①sin A ·cos A ＝－1225a ，②将①两边分别平方得sin 2A ＋2sin A cos A ＋cos 2A ＝125a 2，即1－2425a ＝a 225，解得a ＝－25或a ＝1.当a ＝－25时，sin A ＋cos A ＝－5不合题意，故a ＝1．(2)由⎩⎨⎧sin A ＋cos A ＝a5，sin A cos A ＝－1225a ，得sin A >0，cos A <0，∴sin A ＝45，cos A ＝－35.∴tan A ＝sin Acos A＝－43．。