2009矩阵分析试题(A卷)

北京交通大学2002008-20098-2009学年第一学期硕士研究生学年第一学期硕士研究生矩阵分析矩阵分析矩阵分析考试试卷考试试卷考试试卷(A)(A)专业班级学号姓名题号一二三四五六七总分得分一、（8分）设线性映射A ：]4R x ⎡→⎣]3R x ⎡⎣且T (())()d f x f x dx=，对任意∈)(x f ]4R x ⎡⎣.求线性映射T 在基2323,,,x x x 及基22,3,x x 下的矩阵表示.其中，]210121{|}n n i nR x a a x a x a x a R −−⎡=++++∈⎣⋯.二（共14分，问题（1）4分，问题（2）10分）（1）叙述矩阵范数的定义（2）设3201i A i −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，求矩阵范数1A ，∞A ，2A ，F A .（这里12−=i ）；三求解题（共18分）（1）（6分）求矩阵的满秩分解。

(2)(4分)设三阶矩阵的特征多项式与最小多项式分别是：证明：13214261073931114128510A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 322()5()5f m λλλλλλ=−=−与4125A A=（3）（8分）求矩阵1010111A i i −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠的正交三角分解UR A =，其中U 是酉矩阵，R 是正线上三角矩阵.四证明题（共16分，每小题各8分）：1设n 阶矩阵002,()k A A k ≠=≥.证明：A 不能与对角矩阵相似.2设,A B 是n 阶正规矩阵，试证：A 与B 相似的充要条件是A 与B 酉相似.五（14分）设01010i A i i i −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，验证A 是Hermite 矩阵并求酉阵U 使得1U AU −是对角矩阵.六（共30分，每小题6分）设308316205A ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠，（1）求A E −λ的Smith 标准形(写出主要步骤)；其中E 为3阶单位阵。

（2）写出A 的初等因子和A 的最小多项式；（3）求相似变换矩阵P 和A 的Jordan 标准形J ,使得J AP P =−1；（4）求2008J 和矩阵函数)(A f ；（5）求2ln()A E +计算行列式2sin()A π.。

2009年联考MBA 联考真题综合试卷一、问题求解（本大题共15题，每小题3分，共45分。

在下列每题给出的五个选项中，只有一项是符合试题要求的。

请在答题卡．．．上将所选的字母涂黑。

） 1．一家商店为回收资金把甲乙两件商品均以480元一件卖出。

已知甲商品赚了20%，乙商品亏了20%，则商店盈亏结果为（A ）不亏不赚 （B ）亏了50元 （C ）赚了50元 （D ）赚了40元 （E ）亏了40元2．某国参加北京奥运会的勇女运动员比例原为19:12，由于先增加若干名女运动员．使男女运动员比例变为20:13．后又增加了若干名男运动员，于是男女运动员比例．最终变为30:19．如果后增加的男运动员比先增加的女运动员多3人，则最后运员的总人数为（ ）。

（A ）686 （B ）637 （C ）700 （D ）661 （E ）6003．某工厂定期购买一种原料，已知该厂每天需用该原料6吨，每吨价格1800元．原料的保管等费用平均每吨3元，每次购买原料支付运费900元，若该厂要使平均每天支付的总费用最省，则应该每（）天购买一次原料。

（A ）11 （B ）10 （C ）9 （D ）8 （E ）74．在某实验中，三个试管各盛水若千克。

现将浓度为12%的盐水10克倒入A 管中，混合后，取10克倒入口管中，混合后再取10克倒入C 管中，结果 A ，B ，C 三个试管中盐水的浓度分别为6%、2%、0.5%，那么三个试管中原来盛水最多的试管及其盛水量各是（A ）A 试管，10克 （B ）B 试管，20克 （C ）C 试管，30克（D ）B 试管，40克 （E ）C 试管，50克5．一艘轮船往返航行于甲、乙两码头之间，着船在静水中的速度不变，则当这条河的水流速度增加50%时，往返一次所需的时间比原来将( )．（A ）增加 （B ）减少半个小时 （C ）不变 （D ）减少1个小时 （E ）无法判断6．方程214x x -+=的根是（ ）。

华南农业大学期末考试试卷（A卷）2008学年第一学期考试科目:算法分析与设计考试类型：（闭卷）考试时间:120分钟学号姓名年级专业一、选择题（20分，每题2分)1.下述表达不正确的是。

A．n2/2 + 2n的渐进表达式上界函数是O（2n）B．n2/2 + 2n的渐进表达式下界函数是Ω（2n）C．logn3的渐进表达式上界函数是O(logn）D．logn3的渐进表达式下界函数是Ω（n3)2.当输入规模为n时，算法增长率最大的是。

A．5n B．20log2n C．2n2D．3nlog3n3.T(n）表示当输入规模为n时的算法效率，以下算法效率最优的是。

A．T（n)= T(n – 1)+1，T（1）=1 B．T（n)= 2n2C．T（n）= T(n/2）+1，T（1）=1D．T（n)= 3nlog2n4.在棋盘覆盖问题中，对于2k×2k的特殊棋盘(有一个特殊方块),所需的L型骨牌的个数是.A．（4k– 1）/3 B．2k /3 C．4k D．2k5.在寻找n个元素中第k小元素问题中，若使用快速排序算法思想，运用分治算法对n个元素进行划分,应如何选择划分基准？下面答案解释最合理。

A．随机选择一个元素作为划分基准B．取子序列的第一个元素作为划分基准C．用中位数的中位数方法寻找划分基准D．以上皆可行。

但不同方法,算法复杂度上界可能不同6.现在要盖一所邮局为这9个村庄服务，请问邮局应该盖在才能使到邮局到这9个村庄的总距离和最短. A ．（4.5,0）B ．（4。

5,4。

5）C ．（5，5）D ．（5，0)7. n 个人拎着水桶在一个水龙头前面排队打水，水桶有大有小，水桶必须打满水,水流恒定.如下说法不正确？A ．让水桶大的人先打水,可以使得每个人排队时间之和最小B ．让水桶小的人先打水，可以使得每个人排队时间之和最小C ．让水桶小的人先打水，在某个确定的时间t 内，可以让尽可能多的人打上水D ．若要在尽可能短的时间内，n 个人都打完水，按照什么顺序其实都一样8. 分治法的设计思想是将一个难以直接解决的大问题分割成规模较小的子问题，分别解决子问题,最后将子问题的解组合起来形成原问题的解。

矩阵分析期末试题及答案矩阵分析是一门重要的数学课程，在科学、工程和经济等领域都有广泛的应用。

期末试题的设置既考查学生对于矩阵分析理论的理解，也测试其应用能力和解决问题的能力。

本文将为您提供一套矩阵分析的期末试题，并附有答案解析。

1. 简答题（每小题2分，共20分）(1) 请简述矩阵的定义和基本术语。

答案：矩阵是由数个数排成m行n列的一个数表。

行数和列数分别称作矩阵的行数和列数。

矩阵的元素用a[i, j]表示，其中i表示所在的行数，j表示所在的列数。

(2) 请解释什么是方阵和对角矩阵。

答案：方阵是行数和列数相等的矩阵。

对角矩阵是除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。

(3) 请解释矩阵的转置和逆矩阵。

答案：矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。

逆矩阵是满足A * A^(-1) = I的矩阵A的逆矩阵，其中I是单位矩阵。

(4) 请简述特征值和特征向量的定义。

答案：特征值是方阵A满足方程A * X = λ * X的标量λ，其中X是非零的列向量。

特征向量是对应特征值的零空间上的非零向量。

(5) 请解释矩阵的秩和行列式。

答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。

行列式是将矩阵的元素按照一定规则相乘并相加得到的一个标量。

(6) 请解释正交矩阵和幂等矩阵。

答案：正交矩阵是满足A * A^T = I的矩阵A。

幂等矩阵是满足A *A = A的矩阵A。

(7) 请解释矩阵的特征分解和奇异值分解。

答案：矩阵的特征分解是将一个矩阵表示为特征向量矩阵、特征值矩阵和其逆的乘积。

奇异值分解是将一个矩阵表示为三个矩阵相乘的形式，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。

(8) 请解释矩阵的迹和范数。

答案：矩阵的迹是指矩阵对角线上元素的和。

范数是用来衡量矩阵与向量的差异程度的指标。

(9) 请解释矩阵的稀疏性和块状矩阵。

答案：矩阵的稀疏性是指矩阵中大部分元素为零的特性。

块状矩阵是由多个子矩阵组成的一个矩阵。

(10) 请解释矩阵的正定性和对称性。

五邑大学 试 卷课程：矩阵分析在3R 中，定义),,2(),,(132321321x x x x x x x x x +--=ℜ，则ℜ是否是3R 上的线性变换？如果是求出ℜ在某一基下的矩阵，并求ℜ的核与值域。

（16分）解：1）3123123(,,),(,,),x x x y y y R k R αβ∀==∈∈，则有()()(),()()k k αβαβααℜ+=ℜ+ℜℜ=ℜ，所以ℜ是3R 上的线性变换。

2）取3R 的一组基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)ααα===，则123()(2,0,1),()(1,1,0),()(1,1,0)αααℜ=ℜ=-ℜ=-，所以123123211(,,)(,,)011100αααααα--⎛⎫⎪ℜ= ⎪ ⎪⎝⎭，故ℜ在该基下的矩阵为A ，211011100A --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

3）ℜ的值域为向量12()(2,0,1),()(1,1,0)ααℜ=ℜ=-生成的子空间。

4）ℜ的核=3{|()0}R αα∈ℜ==3{|0}TR A αα∈=，线性方程组0T A α=的基础解系为11,η⎛⎫⎪= ⎪⎪故ℜ的核是{|}T k k R η∀∈。

二、（12分）设η是欧氏空间V 中一单位向量，定义ηαηαα),(2)(-=ℜ，证明ℜ是正交变换。

解：,,V k R αβ∀∈∈，有()()2(,)2(,)2(,)αβαβηαβηαηαηβηβηℜ+=+-+=-+-； ()2(,)2(,)(2(,))()k k k k k k k ααηαηαηαηαηαηαℜ=-=-=-=ℜ； ((),())(2(,),2(,))(,)2(,)(,)2(,)(,)4(,)(,)(,)(,)2(,)(,)2(,)(,)4(,)(,)(,)αβαηαηβηβηαβηαηβηβαηηαηβηηαβηαηβηβαηηαηβαβℜℜ=--=--+=--+=三、证明对任意的n n ⨯矩阵n n ij a A ⨯=)(，若定义∑∑===ni nj ijaA 11||||||，则|| ∙||是一种矩阵范数，但不是算子范数（从属于向量范数的矩阵范数）。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

（1）当0x 时，()sin fxxax 与2()ln(1)gxxbx 等价无穷小，则（）（A ）11,6ab （B ）11,6ab （C ）11,6ab （D ）11,6ab 【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。

参见水木艾迪考研数学春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义》（秦华大学出版社）例 4.67，强化班教材《大学数学强化 299》16、17 等例题。

【答案】A22220000sinsin1cossin limlimlimlim ln(1)()36xxxx xaxxaxaxaax xbxxbxbxbx230sin lim166.x aaxa b b axa 36ab 意味选项B ，C 错误。

再由201cos lim 3x aax bx存在，故有1cos0(0)aaxx ，故a=1，D 错误，所以选A 。

（2）如图，正方形{(,)|||1,||1}xyxy 被其对角线划分为四个区域，(1,2,3,4),cos KKKD DkIyxdxdy，则14max{}KK I =（）【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。

参见水木艾迪考研数学春季班教材《考研数学通用辅导讲义----微积分》例 12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材《大学数学同步强化 299》117 题，以及《考研数学三十六技》例 18-4。

24,DD 关于x 轴对称，而cos yx 即被积函数是关于y 的奇函数，所以2413;,IIDD 两区域关于y 轴对称，cos()cos yxyx即被积函数是关于x 的偶函数，由积分的保号性，13{(,)|,01}{(,)|,01}2cos0,2cos0xyyxxxyyxx IyxdxdyIyxdxdy，所以正确答案为A 。