江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：数列(含解析)

专题41 数列的概念及等差数列专题知识梳理1．数列的概念(1) 按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．数列可以看做是定义域为N *或其非空子集的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，其图象是一群孤立的点．注：数列是特殊的函数，应注意其定义域，不要和函数的定义域混淆．(2) 数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }，其中a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．2．数列的分类(1)数列按项数的多少来分：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． (2)按前后项的大小来分：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列．3．数列的通项公式一般地，如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列{a n }的通项公式．注：并不是每一个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一． 4．数列的表示方法数列可以用通项公式来描述，也可以通过图象或列表来表示． 5．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．6．等差数列的通项公式一般地，对于等差数列{a n }的第n 项a n ，有a n ＝a 1＋(n －1)d ，这就是等差数列{a n }的通项公式，其中a 1为首项，d 为公差．第二通项公式为：a n ＝a m ＋(n －m )d ．注：当公差d ≠0时，a n 是n 的一次式，一次项系数为d ；当d ＝0时，a n ＝a 1，此数列是常数列． 7．等差数列的前n 项和公式等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2或S n ＝na 1＋n （n －1）2d ．注：当公差d ≠0时，前n 项和S n 是关于n 的二次式，二次项系数为d 2，一次项系数为a 1－d2，常数项为0；当d ＝0时，S n ＝na 1，此数列是常数列．8．等差数列的性质(1)如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，那么A ＝a ＋b2，我们把A 叫做a 和b 的等差中项．(2)等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p ．(3)等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，其公差是m 2d ． 9．数列的前n 项和S n 与通项公式a n 之间的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1 S n －S n －1，n ≥2.考点探究考向1 由数列的前几项求数列的通项公式【例】写出下面各数列的一个通项公式： （1） 12，34，78，1516，3132，…；（2）－1，32，－13，34，－15，36，…；（3） 1，3，6，10，…【解析】(1)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，所以a n ＝2n －12n .(2)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋（－1）nn.(3) 将数列各项改写为2612202222，，，，…，即12233445(1)22222n n ⨯⨯⨯⨯+，，，，… 故a n =(1)2n n +． 题组训练1.数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝____．【解析】数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.2.设数列{a n }的通项公式是a n ＝—n 2＋9n ，那么20这个数是其中的第_______项． 【解析】令 —n 2＋9n =20，解得 n=4或5．考向2 由Sn 求an【例】已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项a n .(1) S n ＝n 2—4n ＋1； (2) S n ＝3n ＋b .【解析】(1)n ＝1时，a 1＝S 1＝—2；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2—4n ＋1—[（n —1） 2—4（n —1）＋1] =2n —1 —4 =2 n —5.当n ＝1时a 1＝—2，不符合上式．∴a n ＝2, 1,25, 2.n n n -=⎧⎨-≥⎩(2) n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋b .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1.∴当b ＝－1时，a 1＝3－1＝2适合a n ＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1. 当b ≠－1时，a 1＝3＋b 不适合a n ＝2·3n －1.故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.题组训练1.已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，分别求出它们的通项公式．(1) S n ＝2n 2＋3n ； (2) log 2(S n ＋1)＝n ＋1.【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－＝4n ＋1.当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，∴a n ＝4n ＋1.(2)由已知条件可得S n ＋1＝2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n ，当n＝1时，a 1＝S 1＝3，不符合a n ，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.考向3 等差数列中基本量的运算【例】设等差数列{}n a 的其前n 项的和为S n ．（1）（2019· 苏州模拟）若4610+=a a ，55=S ，则其公差是 ．（2）已知24=-a ，且222413=2()+a a a ，求a n 及S n ．【解析】（1）设{a n }的公差为d ，把4610a a +=，55=S 代入公式，得112810,5105a d a d +=⎧⎨+=⎩即1145,2 1.a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得d =2． （2）设a n =1(1)a n d +-，由24=-a ，11=4,(4)+-∴=-+a d d a ①由222413=2()a a a +，得222111(3)2[(2)]a d a a d +=++，化简得2211320a a d d +-=② 将①代入②，得22111132(4)(4)0a a a a -+-+=，11∴=-a ，=3-d ， a n =32-+n ，2(1)31(3)222n n n S n n n -=-+-=-+． 题组训练1.在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 6＝16，则a 9=_______．【解析】设1(1)n a a n d =+-，则11127,1,516. 3.a d a a d d +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩ 故a 9= 1+（9—1）×3=25.2.在等差数列{a n }中，已知a 1＝8，n ＝5，a n ＝12，则S n ＝____．【解析】将数据代入通项公式，得12=8+（5—1）d ，解得158=-d ，再代入等差数列的求和公式，得554158558()284S ⨯=⨯+-=． 3.若数列}{n a 成等差数列，且712,a a 是方程260x x c -+=的两个实数根，则18S = . 【解析】由等差数列性质得711812++6a a a a ==，则1181818()1865422a a S +⨯===． 4.在等差数列{a n }中，已知d ＝12，a n ＝32，S n ＝－152，则a 1＝___．【解析】将数据代入两个公式，得12113(1),227300(1)115222a n n n n n na ⎧+-=⎪⇒--=⎨-⎪+=-⎩g ∴10(3==-n n 舍去），a 1=－3．5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知其前6项和为36，S n ＝324，最后6项的和为180(n >6)，则a 9＋a 10= ．【解析】由题意可知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36①，a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180②，①＋②得，(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，于是a 1＋a n ＝36.又S n ＝n （a 1＋a n ）2＝324，∴18n ＝324.即n ＝18.从而可得a 1＋a 18＝36，故a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.考向4 等差数列的性质及前n 项和【例】在等差数列}{n a 中，若1>m 且2110-+-+=m m m a a a ，2138-=m S ，求m 的值．【解析】∵}{n a 是等差数列，11=m m m m a a a a -+∴++，条件式变为220,0-=∴=m m m a a a 或2=m a ，12121(21)()(21)()(21)2(21)222m m m mm m m a a m a a m a S m a ---+-+-====-=38，显然0=m a 不合题意，则2=m a ，代入上式，得21-m =19，m =10. 题组训练1.等差数列}{n a 前n 项和n S 的最大值为7S ，且||||87a a <，使n S >0的n 的最大值为 .【解析】由7S 最大知780,0≥<a a ，由||||87a a <得78<-a a ,∴780+<a a ．寻求n S >0的n ，∵115780a a a a +=+<，114720a a a +=>，∴114141402a a S +=>（）， 11515152a a S +=（），故n 的最大值为14. 2.（2019·苏北四市模拟）在等差数列中，已知2811+=a a ，则3113+a a 的值为 ．【解析】由等差数列的通项公式及2811+=a a ，得12811+=a d ，故311113=416=2(28)22a a a d a d +++=． 3.若数列{a n }满足a 1＝1，111111+=+++n na a ，则a 10＝ ．【解析】变形成111111n n a a +-=++，则1{}1n a +为等差数列，首项为12，公差为1，故10101011217=(101)1,1,121919a a a +-⨯∴+=∴=-+． 4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0.(1) 求公差d 的范围；(2) 该数列前几项的和最大？说明理由．【解析】(1)根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d >013a 1＋13×122d <0a 1＋2d ＝12，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋112d >0a 1＋6d <0a 1＋2d ＝12.，解得－247＜d ＜－3.(2)由d ＜0可知，{}a n 为一个递减数列．因此，在1≤n ≤12中，必存在一个自然数n ，使得a n ≥0，a n ＋1＜0，此时对应的S n 就是前n 项和的最大值．由于⎩⎪⎨⎪⎧S 12＝6（a 6＋a 7）>0S 13＝13a 7<0，于是a 7＜0，从而a 6＞0.因此，S 6最大．考向5 等差数列的判定及证明【例】已知数列}{n a 是等差数列，公差为d ，设221+=-n n n b a a ． （1）求证：数列{n b }是等差数列；（2）若a 1=a ，求数列{n b }的通项公式及前n 项和n S ． 【解析】 (1) ∵数列{}n a 的公差为d ,则22221211()()n n n n n n b b a a a a ++++-=--- =212111()()()()n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++-+--+ =211()n n n n d a a a a ++++-- =22()2n n d a a d +-= 为常数． ∴数列{n b }是等差数列.(2)由（1）知， 数列{n b }的公差为22d .∴ 22121222(1)222n b b n d a a d n d =+-=-+-2222(22)a a d n d d =-+-+222+2=d n ad d -，∴22221((22+2(4222)))n n n b b n ad d n ad d n ad d S d n --=++==+．题组训练1.已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)．(1) 求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12n 为等差数列；(2) 求数列{a n }的通项公式．【解析】 (1)证明：∵a 1＝5，当n ≥2时，a n －12n －a n －1－12n －1＝（2a n －1＋2n －1）－12n －a n －1－12n －1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12n 是以a 1－12＝2为首项，以1为公差的等差数列．(2) 由(1)知a n －12n ＝2＋(n －1)×1，∴a n ＝(n ＋1)2n ＋1.2.已知数列{a n }中，a 1＝3，前n 项和S n ＝12(n ＋1)(a n ＋1)－1.(1) 求证：数列{a n }是等差数列． (2) 求{a n }的通项公式a n 及S n ．【解析】 (1)证明：∵S n ＝12(n ＋1)(a n ＋1)－1，∴S n ＋1＝12(n ＋2)(a n ＋1＋1)－1，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝12.整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n －1，∴(n ＋1)a n ＋2＝(n ＋2)a n ＋1－1，∴(n ＋1)a n ＋2－na n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ，∴2(n ＋1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n ＋2＋a n )，∴2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，∴数列{a n }为等差数列．(2) a 1＝3，na n ＋1＝()n ＋1a n －1，∴a 2＝2a 1－1＝5，a 2－a 1＝2，即公差为2， ∴ a n ＝a 1＋()n －1d ＝3＋2()n －1＝2n ＋1.∴ S n ＝12(n ＋1)(a n ＋1)－1=12(n ＋1)(2n ＋2)—1=22n n ．。

B ． 3 2．在正项等比数列{a }中，已知 a 4 = 2 ， a = ，则 a 5 的值为（ 8= 2 ， a = ，可得 8 q 4 = 8 = ，又因为 q > 0 ，所以 q = 1 2 2127B ．35063C ．28051D ． 3502第 7 单元 数列（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差 d =（）A ．2【答案】C2 C ．3D ．4【解析】∵a =12，S =90，∴ 5 ⨯12 + 1 5 5 ⨯ 4 2d = 90 ，解得 d=3，故选 C ．n 8 1 ）1 1 A ． B ． - C ． -1 D ．14 4【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{a }中，且 a n 48 1 a 1 a 16 41，则 a = a ⋅ q = 2 ⨯ = 1 ，故选 D ．5 43．在等差数列{a n}中， a 5+ a = 40 ，则 a + a + a = （ ） 13 8 9 10A ．72B ．60C ．48D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知： a 5 + a 13 = 40 ⇒ 2a 9 = 40 ⇒ a 9 = 20 ，a + a + a = 2a + a = 3a = 60 ，故本题选 B ．8 9109994．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7 天，共走了 700 里，则这匹马第 7 天所走的路程等于（）A ．700里里 里【答案】A127里【解析】设马每天所走的路程是 a 1, a 2 ,.....a 7 ，是公比为1的等比数列，a 1 - ( )7 ⎪a = a q 6= 7005．已知等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，且 a=10(a +a )2= 5(a + a ) = 5(a + a ) > 0 ， S =2 = 11a < 0 ， (a + 2d - 1)2 = (a + d - 1)(a + 4d - 1) ⎩ d = 2这些项的和为 700， S = 7 ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 2 ⎭1 - 12 = 700 ⇒ a =1 64 ⨯ 700 127 ，7 1 127 ，故答案为 A ．a 5< -1 ，则满足 S 6n> 0 的最大正整数 n 的值为（）A ．6B ．7C ．10D ．12【答案】C【解析】设等差数列{a n } 的公差为 d ，因为等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，所以 d < 0 ，a又 a 5 < -1 ，所以 a 5 > 0 ， a 6 < 0 ，且 a 5 + a 6 > 0 ，6 所以 S1 101 10 5 6 11 所以满足 S n > 0 的最大正整数 n 的值为 10．11(a + a )1 1166．已知等差数列{a n}的公差不为零， Sn为其前 n 项和， S 3 = 9 ，且 a 2 - 1 ， a 3 - 1， a 5 - 1构成等比数列，则 S 5 = （ ）A ．15B ． -15C ．30D ．25【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为 d (d ≠ 0)，⎧⎪3a + 3d = 9⎧a = 1 由题意 ⎨ 1 ，解得 ⎨ 1 ⎪⎩ 1 1 1．∴ S = 5 ⨯1 +5 5 ⨯ 4 ⨯ 22 = 25 ．故选 D ．7．在等差数列{a n } 中， a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，则数列{a n } 的前 11 项和等于（A ．66B ．132C ． -66D ． -132【答案】D）S = 11⨯ (a + a ) 2 2 2 = 15 ，解得 n = 5 ，( )nC ． a = 3n -1D ． a =3n【解析】因为 a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，所以 a 3 + a 9 = -24 ，又 a 3 + a 9 = -24 = 2a 6 ，所以 a 6 = -12 ，11⨯ 2a1 11 = 6 = -132 ，故选 D ． 118．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为 2n -1 ，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前 15 项和为（）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】由题意， n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第 n +1行， 令 x = 1 ，可得二项展开式的二项式系数的和 2n ，其中第 1 行为 2 0 ，第 2 行为 21 ，第 3 行为 22 ，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为 1，公比为 2 的对边数列，则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 S = n 1- 2n1- 2 = 2n - 1，若除去所有为 1 的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3, 4,L ，可以看成构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，则T =n n (n + 1)2 ，令 n (n + 1)所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和，减去所有的 1，即 27 - 1 - 13 = 114 ，即前 15 项的数字之和为 114，故选 B ．9．已知数列{a }的前 n 项和为 S nn，满足 2S n =3a n -1 ，则通项公式 a n 等于（）A ． a = 2n- 1n【答案】CB ． a= 2nn n： ， + ， + + ， + + + ， ，那么数列 {b }= ⎧⎨ 1 ⎩ a an n +1 ⎭n + 1 ⎭C ． 4 ⨯ ⎝ 2 n + 1 ⎭D ．⎝ 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n n2 a an (n + 1) ⎝ n n + 1 ⎭ = = = 4 ⨯ - ⎪ ， ∴ S = 4 ⨯ 1 - + - + - + ⋅⋅⋅ + - = 4 ⨯ 1 - ⎪ 2 2 3 3 4 n n + 1 ⎭ ⎝ ⎝⎪ ， 1 1 ⎫【解析】当 n = 1 时， 2S 1 = 3a 1 -1 ，∴ a 1 = 1 ，当 n ≥ 2 且 n ∈ N * 时， 2S n -1 = 3a n -1 - 1 ，则 2S n - 2Sn -1 = 2a n = 3a n - 1 - 3a n -1 + 1 = 3a n - 3a n -1 ，即 a n = 3an -1，∴ 数列 {a }是以1 为首项， 3 为公比的等比数列∴ a nn= 3n -1 ，本题正确选项 C ． 10．已知数列 满足，且 ，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用排除法，因为，当当当当时，时，时，时， ，排除 A ；，B 符合题意；，排除 C ；，排除 D ，故选 B ．11．已知数列为（）1 12 1 23 1 2 34 2 3 3 4 4 45 5 5 5⋯ n ⎫ ⎬ 前 项和A ．1 - 1 ⎛ n + 1B ． 4 ⨯ 1 - 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ - 1 ⎫⎪1 1-2 n + 1【答案】B【解析】由题意可知： a =nn (n + 1)= = ， n + 1 n + 1 2∴ b = 1n n n +11 4 ⎛ 1 1 ⎫ n n + 1 ⋅2 2⎛ 1 1 1 1 1 ⎛ n本题正确选项 B ．1 ⎫n + 1 ⎭12．已知数列{a }满足递推关系： a ， a = ，则 a 2017= （12016B ． 12018D ． 1=a 2 -= 1 ． ⎩ a∴ 1=1}满足 a 2 q ，可设三数为 ， a ， aq ，可得 ⎪⎨ a⎪ q 求出 ⎨ ，公比 q 的值为 1．=3an n +1 = a 1 n a + 12 n）A ．12017C ．12019【答案】C【解析】∵ ana + 1 n1， a = ，∴ 1 1 1 a a n +1 n⎧ 1 ⎫∴数列 ⎨ ⎬ 是等差数列，首项为 2，公差为 1．n ⎭a2017= 2 + 2016 = 2018 ，则 a2018 ．故选 C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知等比数列{a n 1 = 12 ，且 a 2a 4 = 4(a3 - 1) ，则 a 5 = _______．【答案】8【解析】∵ a 2a 4 = 4(a 3 - 1) ，∴ a 3 = 4(a 3 -1) ，则 a 3 = 2 ，∴ a = 5 a 2 3 = a122 1 2= 8 ，故答案为 8．14．若三数成等比数列，其积为 8，首末两数之和为 4，则公比 q 的值为_______．【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为⎧a = 2⎩ q = 1⎧ a3 = 8 a q + aq =4 ⎩，15．在数列 {an}中，a 1= 1 ， an 3 + a n(n ∈ N *)猜想数列的通项公式为________．=3a4 3 + a 53 + a 6 3a 3a 32 数列的通项公式为 a = 3n + 2 n + 2+ = (m + n) + ⎪ = 10 + + ⎪ ≥ 10 + 2 ⋅ ⎪⎪ = 2 ， n m ⎭ 8 ⎝ n m ⎭【答案】3n + 2【解析】由 an 3 + a n， a = 1 ，可得 a = 1 2 3a 1 3 + a 13 3 3= ， a = = ， a == ，……，∴ 猜想 3 4 2 33，本题正确结果 ．n16．已知正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，若存在两项 a m ， a n ，使得 8 a m a n = a 1 ，则9 1+ 的最小值 mn为__________．【答案】2【解析】Q 正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，∴ 2a 1q 4 +a 1q 3 =a 1q 2 ，整理得 2q 2 +q - 1 = 0 ，又 q > 0 ，解得 q = 12，Q 存在两项 a ， a 使得 8 a ⋅ a = a ，∴ 64a 2 q m +n -2 = a 2 ，整理得 m + n = 8 ，m nmn111∴则 9 1 1 ⎛ 9 1 ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ m n 8 ⎝ m n ⎭ 8 ⎝9 1 m 9n+ 的最小值为 2，当且仅当 = 取等号，但此时 m ， n ∉ N * ．m n n m又 m + n = 8 ，所以只有当 m = 6 ， n = 2 时，取得最小值是 2．故答案为 2．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10 分）已知等差数列{a n（1）求 {a}的通项公式；n}的公差不为 0， a 1= 3 ，且 a , a , a 成等比数列．2 4 7（2）求 a 2 + a 4 + a 6 + L + a 2n ．【答案】（1） a n = n + 2 ；（2） n 2 + 3n ．【解析】（1）Q a 2 , a 4 , a 7成等比数列，∴a42= a a ，2 7即 (a 1 + 3d )2 = (a 1 + d )(a 1 + 6d ) ，化简得 (a 1 - 3d )d = 0 ，∵公差 d ≠ 0 ，∴ a 1 = 3d ，6=n (a +a ) （2）若b= 4 { ⎪ 12 由题意得 ⎨，则 ⎨ ， ⎩ 7 ⎪(a + 6d )2 = (a + d )(a + 21d )⎩ 1化简得 ⎨⎧a + 2d = 7（2）证明： b = 42n (2n + 4) n (n + 2) 2 ⎝ n n + 2 ⎭ - + - + - + L +⎪1 + - - = - ⎪ < ． ⎪Q a = 3 ，∴ d = 1，∴ a = a + (n - 1)d = n + 2 ．1 n1（2）由（1）知 a 2n = 2n + 2 ，故{a 2n } 是首项为 4、公差为 2 的等差数列，所以 a + a + a + L + a2 4 6 n (4 + 2n + 2)2 2n = = n 2 + 3n ． 2 218．（12 分）已知公差不为零的等差数列{a n } 满足 S 5 = 35 ，且 a 2 ， a 7 ， a 22 成等比数列．（1）求数列{a n } 的通项公式；n nn(a - 1)(a + 3) ，且数列 b n }的前 n 项和为 T n ，求证： T < 3n 4．【答案】（1） a n = 2n + 1；（2）见详解．【解析】（1）设等差数列{a n } 的公差为 d ( d ≠ 0 )，⎧ 5 ⨯ 4⎧S = 355a + d = 35 5a 2 = a a2 221 11 ⎩2a 1 = 3d ⎧a = 3 ，解得 ⎨ 1⎩d = 2，所以 a = 3 + 2 (n -1) = 2n +1． nn nn(a -1)(a + 3) =4 11⎛1 1 ⎫ = = - ⎪ ，所以 T = n 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫- + - 2 ⎝ 1 3 2 4 3 5 n - 1 n + 1 n n + 2 ⎭= 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 3 1 ⎛ 1 1 ⎫ 3 + 2 ⎝ 2 n + 1 n + 2 ⎭ 4 2 ⎝ n + 1 n + 2 ⎭ 419．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn且 S = 2a - 1 (n ∈ N * ) ．n n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前 n 项和 T n．【答案】（1） a = 2n- 1 ；（2） T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．nn【解析】（1）因为 S = 2a - 1 ，当 n ≥ 2 时， S = 2a - 1 ，7= 2a + 1 ， n ∈ N * ．+1)，数列 ⎨ 15 ≤ T n < ； 即 a ∴ 数列 {a }的通项公式为 a = 2n - 1 n ∈ N * ．(2n + 1)(2n + 3) 2⎝ 2n + 1 2n + 3⎪⎭ ， - ⎪ + - ⎪ +⋅⋅⋅+⎪⎥ 2 ⎢⎣⎝ 3 5 ⎭ ⎝ 5 7 ⎭ ⎝ 2n + 2n + 3 ⎭⎦ 6 4n + 6整理可得 a n = 2a n -1 ，Q a = S = 2a - 1 ，解得 a = 1 ，1 111所以数列 {a n}为首项为1 ，公比为 2 的等比数列，∴a = 2n -1 ．n（2）由题意可得：T = 1⨯ 20 + 2 ⨯ 21 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n ，n所以 2T = 1⨯ 21 + 2 ⨯ 22 + ⋅⋅⋅ + (n - 1)2n -1 + n ⋅ 2n ，n两式相减可得 -T = 1 + 21 + 22 + ⋅⋅⋅+ 2n -1 - n ⋅ 2n = n∴ T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．n1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n = 2n - 1 - n ⋅ 2n ，20．（12 分）已知数列{a n}满足 a 1= 1 ， an +1n（1）求证数列{a n +1}是等比数列，并求数列{a n } 的通项公式；（2）设 b = log (a n 2 2n +1 ⎧ 1 ⎫ 1 1b b ⎬ 的前 n 项和 T n ，求证：6 ⎩ n n +1 ⎭．【答案】（1）证明见解析， a = 2n - 1(n ∈ N * )（2）见解析． n【解析】（1）由 an +1 = 2a n + 1 ，得 a n +1 + 1 = 2 (a + 1)，n+ 1n +1 a + 1n= 2 ，且 a + 1 = 2 ，1∴ 数列 {a +1}是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，n∴ a + 1 = 2 ⨯ 2n -1 = 2n ，n( )nn（2）由（1）得： b = logn2(a2n +1+ 1) = log (22n +1- 1 + 1)= 2n + 1 ，2∴1b bn n +11 1 ⎛ 1 1 ⎫ = = -∴T = n1 ⎡⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎤ 1 1 - = - (n ∈ N * )，8又 0 < 1即 1n （2）设数列满足 b = a sin a π2的前 项和 ．⎪⎩n,2 3 L 2 3 L 2 (a + 4) = S + S 2a = d + 4 d = 2 ⎪ ⎩= asin n π + ⎪ = a cos (n π ) ， 2 ⎭ ⎝n +1，2n -1，⎪⎩n, 2 3 L 2 3 L a ⋅ a1 1 1 1 1 1 1≤ ，∴- ≤- < 0 ，∴ ≤ - < ，4n + 6 10 10 4n + 6 15 6 4n + 6 61≤ T < ．15 621．（12 分）已知等差数列的前 项和为 ，且 是 与 的等差中项．（1）求的通项公式；n ，求n n【答案】（1）⎧⎪- (n + 2), ；（2） T = ⎨n n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．⎧a = 7⎧a + 2d = 7 ⎧a = 3 【解析】（1）由条件，得 ⎨ 3 ，即 ⎨ 1 ， ⎨ 1⎪715⎩1⎩，所以{a n }的通项公式是（2）由（1）知， b = a sinnn．(2n + 1)π 2n n⎛ π ⎫（1）当 n = 2k -1 （k =1，2，3，…）即 n 为奇数时， b = -a ， b nnn +1= aT = -a + a - a + L + a n 1 2 3 n -1 - a = -a + (-2) n - 1= -n - 2 ；n 1（2）当 n = 2k （k =1，2，3，…）：即 n 为偶数时， b = a ， bnnn -1= -aT = -a + a - a +⋯- a n 1 2 3 n -1+ a = 2 ⋅ n n 2= n ，⎧⎪- (n + 2), 综上所述， T = ⎨n22．（12 分）设正项数列n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．的前 n 项和为 ，已知 ．（1）求证：数列 是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列的前 n 项和为 ，且 b = 4n nn +1，若对任意 都成立，求实数 的取值范围．9（2）由（1）可得 b = 1 n (n + 1) n n + 1∴ T = 1 - ⎪ + - ⎪ + L + - ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫1 n = 1 -= ， ⎪ 2 ⎭ ⎝ 2 3 ⎭⎝ n n + 1 ⎭n + 1 n + 1⎝，即 nλ < n + (-1)n ⋅ 2 对任意⎢⎣ ⎥⎦n 恒成立，令 f (n ) = (n + 2)(n + 1)Q f (n + 1)- f (n ) = n (n + 1)- 2②当 为奇数时， λ < (n - 2)(n + 1)又 (n - 2)(n + 1)= n - - 1 ，易知：f (n ) = n - 在【答案】（1）见证明，【解析】（1）证明：∵；（2），且．，当当即时，时，有，解得 ．，即．，于是，即．∵ ，∴为常数，∴数列是 为首项， 为公差的等差数列，∴．1 1= - ，nnn + 1都成立⎡ n (n + 1)+ (-1)n ⋅ 2 (n + 1)⎤⇔ λ <⎢⎥ nmin(n ∈ N *)，①当 为偶数时， λ < (n + 2)(n + 1) = n + 2+ 3 ，n nn (n + 1) > 0 ，在 上为增函数，；n 恒成立，2 2 n n n为增函数，，102⨯ 4 ⨯ 3 = 0 ⎧a = -3 ⎪S 4 = 4a 1 + ⎪⎩a = a + 4d = 516 4⎩q3 (a + a + a ) = 120 ∴由①②可知：，综上所述 的取值范围为．第 7 单元 数列（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记 S 为等差数列{a } 的前 n 项和．已知 S = 0 ， a = 5 ，则（）n n45A ． a n = 2n - 5B ． a n = 3n - 10C ． S = 2n 2 - 8nD ． S = 1n nn 2 - 2n【答案】A2．已知等比数列{a }中， a n 3 ⋅ a = 20 ， a = 4 ，则 a 的值是（ ）13 6 10A ．16B ．14C ．6D ．5【答案】D【解析】由等比数列性质可知 a ⋅ a = a 2 = 20 ，3138由 a 6 = 4 ，得 q 4= a 2 8 = a 2620 5= ，∴ a = a q 4 = 5 ，本题正确选项 D ．10 63．等比数列{a } 中， a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，则 a + a + a = （ ）n123456789A ．240B ．±240C ．480D ．±480【答案】C【解析】设等比数列{a } 中的公比为 q ，由 a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，n 1 2 3 4 5 6⎧ 得 ⎨a + a + a = 301 2 31 2 3，解得 q 3 = 4 ，∴ a + a + a = q 3 (a + a + a ) = 480．7 8 9 4 5 6112 ， N = 4．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9 填入3 ⨯ 3 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15．一般地，将连续的正整数1,2,3,L , n 2 填入 n ⨯ n 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记 n 阶幻方的对角线上的数字之和为 N n ，如图三阶幻方的 N 3 = 15 ，那么 N 9 的值为（）A ．369B ．321C ．45D ．41【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于1 + n 2，根据等差数列的求和公式 S = n (1+ n 2 ) 9 9 ⨯ (1+ 92 ) 2 = 369 ，故选 A ．5．已知 1， a 1 ， a 2 ，9 四个实数成等差数列，1， b 1 ， b 2 ， b 3 ，9 五个数成等比数列，则b 2 (a 2 - a 1 ) = （ A ．8 B ．-8 C ．±8 D ．98【答案】A）【解析】由 1， a 1 ， a 2 ，9 成等差数列，得公差 d = a 2 - a 1 = 9 - 1 84 - 1 = 3 ，由 1， b ， b ， b ，9 成等比数列，得 b 2 = 1⨯ 9 ，∴ b = ±3 ，12322当 b = -3 时，1， b ， -3 成等比数列，此时 b 2 = 1⨯ (-3) 无解，2 11所以 b = 3 ，∴ b (a - a 2 2 2 1 ) = 3 ⨯ 8= 8 ．故选 A ．36．已知数列{a n }是公比不为 1 的等比数列， S n为其前 n 项和，满足 a = 2 ，且16a ， 9a ， 2a2 1 4 7成等差数列，则 S = （）3A ． 5B ．6C ．7D ．9【答案】C【解析】数列{a n } 是公比 q 不为 l 的等比数列，满足 a 2 = 2 ，即 a 1q = 2 ，122 ⨯ 2 + 3)⨯ 2 ； 2 ⨯ 2 + 4 )⨯3 ；22- 5 =，且 A n =7n + 45a7= （10B ．172C ． 143A ． 93【解析】因为 7 = 7 = a + a a 2a A = 13 = 7 ⨯13 + 45 = 17 1 13 2 且16a ， 9a ， 2a 成等差数列，得18a = 16a + 2a ，即 9a q 3 = 8a + a q 6 ，1 47417111解得 q = 2，a = 1 ，则 S = 1 3 1 - 23 1 - 2= 7 ．故选 C ．7．将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5，9，14，20，L ，为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第 2016 项与 5 的差，即 a 2016- 5 = （）A ． 2018⨯ 2014B ． 2018⨯ 201C ．1011⨯ 2015D ．1010⨯ 2012【答案】C【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n =1 时， a = 2 + 3 = 11(n =2 时， a = 2 + 3 + 4 = 2…，由此我们可以推断：1 (a = 2 + 3 + L + (n + 2 ) = 1n⎡⎣2 + (n + 2)⎤⎦ ⨯ (n + 1)，∴ a 1⨯ ⎡⎣2 + (2016 + 2)⎤⎦ ⨯ (2016 + 1)- 5 = 1011⨯ 2015 ．故选 C ．20168．已知两个等差数列{a }和 {b }的前 n 项和分别为 A 和 BnnnnB n + 3 b n 7）17D ．15【答案】B771131313(a + a )1 131 13= 2 b 2b b + b 13(b + b ) B 13 + 3 2，故答案选 B ．9．已知数列{ }的前 n 项和为 ， ， （ ），则 （ ）A．32B．64C．128D．25613，∴ S B ．C ． 1a - 1 a - 1，n⎧B ． 2019 ) =+ = + = + =2 ，1 1 + 1 + a 2a 2【答案】B【解析】由，得，又，∴- 1 n +1 S - 1n= 2 ，即数列{则∴10．数列1}是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，，则 ．．故选 B ．满足： ，若数列 是等比数列，则 的值是（）A ．1 【答案】B2 D ．【解析】数列为等比数列 ⇒ a- 1λa - 2上式恒成立，可知 ⎨λ =q⎩-2 = -q⇒ λ = 2 ，本题正确选项 B ．11．已知函数 f (x ) =2( 1 + x 2x ∈ R )，若等比数列满足 a a1 2019= 1 ，则A ．2019【答案】A （ ）2 C ．2D ． 1 2【解析】∴ f (a )+ f (a12019，1 + a2 1 + a 2 1 + a 2 1 + a 21 2019 1 1 1为等比数列，则，14b b3B ． 16 C ． 115D ． 2b b= = - ⎭ 数列 的前 项和 T = - + - ⎪ ⎪ ， 2 ⎝ 3 5 5 72n + 1 2n + 3 ⎭ 2 ⎝ 3 2n + 3 ⎭可得 λ ≤ 12，即12．已知是公比不为 1 的等比数列，数列．满足： ， ， 成等比数列，c =1n2n 2n +2，若数列的前 项和对任意的恒成立，则 的最大值为（ ）A ．115【答案】C【解析】由 ， ，成等比数列得 a 2 =a a ，2 2nb n又是公比不为 1 的等比数列，设公比为 q ，则 a 2 q2b n-2 = a 2 q 2n ，整理得 b = n + 1，c =111n n2n 2n +21 1 ⎛ 1 1 ⎫ (2n + 1)(2n + 3)2 ⎝ 2n + 1 2n +3 ⎪ ，1 ⎛ 1 1 1 11 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 ⎫+ ⋅⋅⋅ +- = - n数列 是单调递增数列，则当 n =1 时取到最小值为1151 ，即 的最大值为，故选 C ．1515，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ，则 S 9 = _________．【答案】36【解析】{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ， a 2 + a 8 = a 4 + a 6 = 2a 5 ，得出 a 5 = 4 ，又由 S = 9 ⋅ (a 1 + a 9 )9 = 9a = 36 ．514．在数列 {a }中， a n 1= 1,an +1- a = 2n + 1 ，则数列的通项 a = ________．n n15x【答案】 n 2【解析】当 n ≥ 2 时，a = (a - a ) + (ann n -1n -1- a n -2) + (an -2- a n -3) + L + (a - a ) + (a - a ) + a ，3 2 2 1 1⇒ a = (2n - 1) + (2n - 3) + (2 n - 5) + L + 5 + 3 + 1 = n当 n = 1 ， a 也适用，所以 a = n 2 ．1nn (2n - 1 + 1) 2= n 2 ，15．设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 ∀n ∈ N *, a n +1a = ________．n【答案】 n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）> a , S ≥ S ．请写出一个满足条件的数列{a } 的通项公式n n 6 n【解析】 ∀n ∈ N * , a n +1> a ，则数列{a } 是递增的， ∀n ∈ N * , S ≥ S ，即 S 最小，n n n 6 6只要前 6 项均为负数，或前 5 项为负数，第 6 项为 0，即可，所以，满足条件的数列{a n } 的一个通项公式 a n = n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）．16．已知函数 f ( x ) = x 2 cosπx2，数列 {a }中， a = f (n )+ f (n + 1)(n ∈ N * ) ，则数列{a }的n n n前 40 项之和 S 40 = __________．【答案】1680【解析】函数 f (x ) = x 2 cos π 2且数列 {a }中， a = f (n )+ f (n +1)，n n可得 a = f (1)+ f (2) = 0 - 4 = -4 ； a = f (2)+ f (3) = -4 + 0 = -4 ；12a = f (3)+ f (4) = 0 +16 = 16 ； a = f (4)+ f (5) = 16 ；3 4a = f (5)+ f (6) = 0 - 36 = -36 ； a = f (6)+ f (7) = -36 ；…，5 6可得数列 {a n 即有数列 {a n}为 -4 ， -4 ， 16 ，16 ， -36 ， -36 ， 64 ， 64 ， -100 ， -100 ，…， }的前 40 项之和：S = (-4 - 4 +16 +16)+ (-36 - 36 + 64 + 64)+ (-100 -100 +144 +144)+ 40⋅⋅⋅+ (-1444 -1444 +1600 +1600) = 24 + 56 + 88 +⋅⋅⋅+ 31216= ⨯10 ⨯ (24 + 312 ) = 1680 ， （ a b a 1 - 22n 2 + n (n ∈ N * )．2 2 222212本题正确结果1680 ．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．10 分）已知数列{a n}是等比数列，数列 {b }是等差数列，且满足： n 1= b = 1 ， + b = 4a ， - 3b = -5 ．1 2 3 2 3 2（1）求数列{a n }和 {b }的通项公式；n（2）设 c n = a n + b n ，求数列 {c n}的前 n 项和 S n ．【答案】（1） a = 2n -1 , n ∈ N * ， b = 2n - 1,n ∈ N * ；（2） S = 2n + n 2 - 1 ．nn n【解析】（1）设 {an}的公比为 q ， {b }的公差为 d ，由题意 q > 0 ，n⎧(1+ d ) + (1+ 2d ) = 4q ⎧-4q + 3d = -2由已知，有 ⎨ ，即 ⎨⎩q 2 - 3(1+ d ) = -5 ⎩ q 2 - 3d = -2⇒ q 2 - 4q + 4 = 0 ⇒ d = q = 2 ，所以 {a n }的通项公式为 an= 2n -1 , n ∈ N * ， {b }的通项公式为 b = 2n - 1,n ∈ N * ．n n（2） c = a + b = 2n -1 + 2n - 1 ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到nnn1 - 2nn (1+ 2n - 1)S =+= 2n + n 2 - 1 ．n18．（12 分）己知数列{a }的前 n 项和为 S n（1）求 {a}的通项公式；nn且 S = n 1 12 2（2）设 b n =1a an n +1，求数列 {b n}的前 100 项和．【答案】（1） a n = n ；（2） T100 =100 101．【解析】（1）当 n ≥ 2 时， S =n两式相减得 a n = S n - S n -1 = n ， n 2 + n ， S = (n - 1)2 + (n - 1)= n 2 + n- n ，17当 n =1时， a = S = + = 1，满足 a = n ，\ a = n ． 2 2骣 1 骣 1 骣1 1 1 1 1001 - + - +L + - +2 = - ， n +1 =2 n∈ N * )． ⎧⎬（2）若数列{b }满足： ba + 1 3n4 4 == 3 +n⎩ a n +1⎭a + 1 = 3n ，所以 a =1 - 1 ． 3n ( )⇒ S = 2n - 144（2）令 b = 2n + 1，求数列 {b }的前 n 项和 T 及 T 的最小值．a + 2 nn1 11 1 n n（2）由（1）可知 b n =1 1 1= - ，n (n + 1) n n + 1所以数列 {b n}的前 100 项和 T100= b +b +?1 2b100= 琪 琪 琪 琪 - = 1 - = ．桫 2桫 3 ? 99 100100 101 101 10119．（12 分）已知数列{a }满足： a n 1 3a -2a n - 3 ( 3a + 4 n（1）证明数列 ⎨ 1 ⎫ 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；⎩ a n + 1⎭nn =3n (n ∈ N * )，求 {b }的前 n 项和 S ． nn n【答案】（1）证明见解析， a = n1 2n - 1 9- 1；（2） S = ⨯ 3n +2 + ．n【解析】（1）因为 an +1+ 1 = -2a - 3 a + 1 1 3a + 4 1 n + 1 = n ，所以 ， 3a + 4 3a + 4 a + 1 a a + 1 n n n +1 n +1 n⎧ 1 ⎫所以 ⎨ ⎬ 是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以n1 n（2）由（1）可知： a =n 1 3n- 1，所以由 b = n 3n a + 1 nn ∈ N * ⇒ b = n ⋅ 3n +1 ， nS = 1 ⨯ 32 + 2 ⨯ 33 + L + (n - 1) ⨯ 3n + n ⨯ 3n +1 ①；n3S = 1 ⨯ 33 + 2 ⨯ 34 + L + (n - 1) ⨯ 3n +1 + n ⨯ 3n +2 ②，n①-②得 -2S = 32 + 33 + L + 3n +1 - n ⨯ 3n +2 = n 32 (3n - 1)3 - 1 - n ⨯ 3n +2n9⨯ 3n +2+ ．20．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 S n = 2a n - 2n -1 ．（1）求数列{a n}的通项公式；n nn185 ⨯ 2n -1 （2）Q b = 2n + 1 1 1 1 ⎛ 3 5 7 2n + 1 ⎫ ，则 T n = ⎪ ， a + 2 52n -1 5 ⎝ 20 21 22 2n -1 ⎭ T = ⎪ 两式作差得 1 - T = ⨯ ⎢3 + ⎛ 1 ⎫ 1 ⎡ ⎛ 2 2 2 ⎫ 2n + 1⎤ 2n + 5 + +⋅⋅⋅+ - = 1 -2n ⎥⎦ ⎝ 2 ⎭ n 5 ⎣21 22 2n -1 ⎭ 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⎧( ⎧ n - 1)2n + , n 是奇数 3 - 3n ⎪b n = 2 2 , n 是奇数2 ， b = ⎨ ；（2） T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数 n -2 ⎪b = 2 2 , n 是偶数n n【答案】（1）a = 5 ⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N *)；（2） T = 2 - 2n +5 3，最小值 ． 5【解析】（1）当 n =1 时， a 1 = S 1 = 2a 1 - 2 - 1 ，解得 a 1 = 3 ，当 n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = 2a n - 2a n -1 - 2 ，解得 a n = 2 a n -1 + 2 ．则 a + 2 = 2 (an n -1+ 2)，故 {a n + 2}是首项为 a 1 + 2 = 5 ，公比为 2 的等比数列，∴ a = 5 ⨯ 2n -1 - 2 (n ∈ N * )． n = ⨯ (2n + 1)⨯ + + + ⋅⋅⋅ +nn1 1 ⎛2 n 5 ⎝3 5 7 2n - 1 2n + 1 ⎫+ + + ⋅⋅⋅ + +21 22 23 2n -1 2n ⎭⎪ ⎪⎝，所以 T = 2 - n 2n + 5 5 ⨯ 2n -1，2n + 5 2n + 7 2n + 5 -2n - 3令 c = ，有 c - c =- = < 0 ，对 n ∈ N * 恒成立， n n +1 n则数列{c n }是递减数列，故{T n } 为递增数列，则 (T n )min 3= T = ． 121．（12 分）已知正项数列且．的前 项和为 ，且 ， ，数列 满足 ，（1）求数列（2）令【答案】（1）， 的通项公式；，求数列 的前 项和 ．n +1 ⎪⎪ n n⎩ n ⎪⎩ 2【解析】（1）当时， ，即 ，，19⎧⎪S + S = a 2 由 ⎨ ，可得= a 2 (n ≥ 2) ，⎪⎩ n由 ⎨ 两式相除，得 n +1 = 2 (n ≥ 2 )，⎧b b = 2n b⎪⎩b n -1b n = 2n -1 (n ≥ 2)综上：b = ⎨ n ⎪b = 2 n -22 , n 是偶数 ⎩ ⎧ 3n ⎪⎪ 2 , 的前 项和为 B ，∴ B = ⎨ ， -3n + 1 ⎪ , n 是奇数 ⎧(n - 1)2n + , n 是奇数 ⎪⎪ 2综上： T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数n +1 n n +1 S + S n -1 n即，又是公差为 ，首项为 的等差数列，，由题意得：，n n +1 b n -1是奇数时，是公比是 ，首项 的等比数列，∴ b = 2nn +1 2 ，同理 是偶数时是公比是 ，首项的等比数列，∴ b = 2nn -2 2 ，n ⎧ n +1⎪b = 2 2 , n 是奇数n．（2）令，即 ，⎧⎪ A = 1⋅ 20 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 22 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n -1的前 项和为 ，则 ⎨ n⎪⎩2 A n = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n，两式相减得 - A = 20 + 21 + 22 + 2n -1 - n ⋅ 2n = n，1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n ，令n n⎪⎩ 2n 是偶数3 - 3nn⎪⎩ 220ln 22 ln 32 ln n 2 (n - 1)(2n + 1) (当 x ≥ a 时， f '( x ) = 1 - = ，此时要考虑 a 与 1 的大小．（2）由（1）可知当 a = 1 ， x > 1 时， x -1 - ln x > 0 ，即 ln x > 1 - x ，所以 ln x = n - 1 - = n - 1 - - ⎪ < n - 1 - + + L + ⎝ 2 n 2 ⎭ ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 n(n + 1) ⎭ 1 ⎫ n - 1 = (n - 1) - n + 1 ⎭ 2(n + 1) ⎛ 122．（12 分）已知函数 f ( x ) =| x - a | - ln x(a > 0) ．（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）比较 + +⋯+ 与 的大小 n ∈ N * 且 n > 2) ，并证明你的结论．22 32 n 2 2(n + 1)【答案】（1）见解析；（2）见解析．⎧ x - ln x - a, 【解析】（1）函数 f ( x ) 可化为 f ( x ) = ⎨⎩a - x - ln x,x ≥ a0 < x < a ，当 0 < x < a 时， f '( x ) = -1 - 1 x< 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, a) 上总是递减的，1 x - 1x x①若 a ≥ 1 ，则 f '( x ) ≥ 0 ，故 f ( x ) 在 [a, +∞ ) 上递增；②若 0 < a < 1 ，则当 a ≤ x < 1 时， f '( x ) < 0 ；当 x > 1 时， f '( x ) > 0 ，故 f ( x ) 在 [a,1) 上递减，在 (1, +∞) 上递增，而 f ( x ) 在 x = a 处连续，所以当 a ≥ 1 时， f ( x ) 在 (0, a) 上递减，在[a, +∞ ) 上递增；当 0 < a < 1 时， f ( x ) 在 (0,1) 上递减，在[1, +∞ ) 上递增．1< 1 - ．x x所以 ln 22 ln 32 ln n 2 1 1 1+ + L + < 1 - + 1 - + L 1 -22 32 n 2 22 32 n 2⎛ 1 1 + ⎝ 22 32 + L + 1 ⎫ 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ ⎪2n 2 - 2 - n + 1 (n - 1)(2n + 1) = = ．2(n + 1) 2(n + 1)21。

2020年高考文科数学一轮复习大题篇----数列题型一 等差数列、等比数列的交汇【例】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．【解】 (1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 11＋q ＝2，a 11＋q ＋q 2＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)可得S n ＝a 11－q n 1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23 ＝2⎣⎡⎦⎤－23＋－1n 2n ＋13＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．【思维升华】 等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n 项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．【训练】已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 1＋1，S 3，S 4成等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若S 4，S 6，S n 成等比数列，求n 及此等比数列的公比．【解】 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 2S 3＝S 1＋1＋S 4，a 22＝a 1a 5，d ≠0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2a 1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. (2)由(1)知a n ＝2n －1，∴S n ＝n 2，∴S 4＝16，S 6＝36，又S 4S n ＝S 26，∴n 2＝36216＝81，∴n ＝9，公比q ＝S 6S 4＝94. 题型二 新数列问题【例】对于数列{x n }，若对任意n ∈N ＋，都 有x n ＋2－x n ＋1>x n ＋1－x n 成立，则称数列{x n }为“增差数列”．设a n ＝t 3n ＋n 2－13n，若数列a 4，a 5，a 6，…，a n (n ≥4，n ∈N ＋)是“增差数列”，求实数t 的取值范围。

专题 11 数列（ 2）一、考点展现1.若数列a n 的前 n 项和 S n n2 1，则数列a n的通项公式 a n .2. 若数列a n 的前 n 项和 S n 2a n 1，则数列 a n 的通项公式 a n .3. 设 S n是等比数列a n 的前 n 项和， a n 0 ，若 s6 2s35 ，则s9 s6的最小值为.n4. 若数列n n 4 2 中的最大项是第k 项，则 k =35. 已知 f x1，各项均为正数的数列a n 知足 a1 1, a n 2 fan，若a2018a2020，1 x则a20 a11的值为6. 设 S n为数列a n 的前 n 项和，S n ( 1)n a n1n , n N , 则2（1）a3 _____；（2）S1 S2 S100___________. 二、例题剖析例 1.设数列a n的前n项和为S n,已知a1 1, a2 6,a3 11, 且5n 8 S n1 5n2 S n An B , n 1,2,3, ,此中 A,B 为常数 ,⑴求 A,B 的值 ;⑵证明 :数列a n为等差数列.例 2. 已知数列a n的前 n 项和为 S n，且对随意正整数n ，都有 2S n n 2 a n 1 ，①求数列 a n1 1 1的通项公式；②设 T na2 a3，求 T n.a1a2anan 1例 3.设数列 a n 的前 n 项和为 S n . 已知 a 11, 2S nan 11 n2 n 2 , n N * .n3 3( Ⅰ ) 求 a 2 的值；(Ⅱ )求数列a n 的通项公式；( Ⅲ ) 证明 : 对全部正整数 n , 有11 L 1 7 .a 1a 2a n4例4.设 { a n }是首项为a 1 ，公差为d 的等差数列，{ b n } 是首项为b 1 ，公比为q 的等比数列．（1）设a 10, b 11,q2 ，若| a nb n |≤ b 1 对 n1,2,3,4均建立，求d 的取值范围；（2）若a 1b 10, mN * ,q(1,m 2] ，证明 .存在dR ，使得| a nb n |≤ b 1 对 n2,3,L ,m1均建立，并求d 的取值范围（用b 1 , m,q表示）．.三、作业1.在数列a n中， a12, a n 1a n n ，则 a n＝.2. 已知等差数列a n的前 n 项和为 S n， a5 5, S5 15 ，则数列1的前 100 项和a n a n 1为3.设S n是数列a n的前n项和，a1 1, a n 1 S n S n 1，则 S n= .4. 已知 a n是首项为1的等比数列，且 a n 3n也是等比数列，则数列 a n 的通项公式为.5. 在三角形 ABC 中，已知a2, b2,c2 成等差数列，则角 B 的最大值为6.已知首项为 1 的等比数列a n的公比为q，它的前 n 项和为 S n，数列 S n 1 也是等比数列，则公比 q ＝.7.设a1 2, a n 12,b na n 2N ，则数列 b n 的通项公式 b n＝.a n 1 a n, n18. 已知数列 a n 是公差不为0 的等差数列，b n 是等比数列，此中 a1 2, b1 1 ，a2 b2，2a4 b3，且存在常数, 使得 a n log b n 对每一个 n N 都建立，则=9. 已知数列 a n 的首项 a1 1 ，前 n 项和为 S n，且知足S n 1Sn 1 2 S n S1 n 2 ，则当 a2 3 时，数列 a n 的通项公式为.10. 已知数列 a n 的前 n 项和为 S n知足 S n 2a n 3n, n N .（1）求数列a n的通项公式 . （ 2）数列a n中能否存在三项能够组成等差数列？若存在，恳求出一组合适条件的项，若不存在，请说明原因.11.已知数列a n 知足 a1 a a 0，且 a 1 ,前n项和为S n,且S na,记11 a nab n a n lg a n n N ,当a 7m ,使得关于随意正整数n ,都有时, 问能否存在正整数3b n b m?若存在,则求出 m 的值;若不存在,则说明原因.12. 已知数列a n的前 n 项和 S n 2a n 2 .⑴求数列 a n的通项公式;⑵设1 1 k,b n ,T n是数列b n , n N都有a n n n 1 的前 n 项和求正整数使得对随意T k T n;⑶设n a n 1 n 是数列n 的前 n 项和若对随意n N 都有n 建立求c 1 a n 1 a n 1 , R c , R , 的最小值 .。

江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练数列一、填空题 1、（南京市2018高三9月学情调研）记等差数列{a n }前n 项和为S n ．若a m ＝10，S 2m －1＝110， 则m 的值为 ▲ ．2、（南京市2018高三9月学情调研）在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1) (n ∈N *)，则a 10的值为 ▲ ．3、（南京市13校2019届高三12月联合调研）设等比数列{}n a 的前n 项积为n P ，若12732P P =，则10a 的值是 ▲ ．4、（苏州市2019届高三上学期期中）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424S S =，则84S S = ▲ ．5、（徐州市2019届高三上学期期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为 ▲ ．6、（盐城市2019届高三上学期期中）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36a =，749S =，则公差d ＝ ．7、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）已知n ∈N*,nn a 2=，21n b n =-，1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．数列{}n c 的前n 项和为n T ，若 0≥+n n T a λ对任意的n ∈N*恒成立，则实数λ的最大值是 ▲ ．8、（苏州市2018高三上期初调研）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*16152,n n a S n n n n N -=+∈-≥，若对任意*n N ∈，总有n k S S ≤，则k 的值是 ．9、（宿迁市2019届高三上学期期末）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，121n n a a +-=，11a =，则9S 的值为 ▲ ．10、（扬州市2019届高三上学期期末）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则1a ＝ ．11、（镇江市2019届高三上学期期末）设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若6312a a =-，则63S S ＝ ．12、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月）） 已知{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ．若324a a -=，416a =，则3S 的值为 ▲13、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若622a a =，则128S S ＝ ． 14、（盐城市2019届高三第三次模拟）已知正项数列{}n a 满足112334121111...n n n a a a a a a a a a ++=++++++++，其中*N n ∈，24=a ，则=2019a ____.15、（江苏省2019年百校大联考）已知{}n a 为各项均为正整数的等差数列，127572a a +=，且存在正整数m ，使1a ，14a ，m a 成等比数列，则所有满足条件的{}n a 的公差的和为 ． 16、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）等差数列{}n a 中，410a =，前12项的和1290S =，则18a 的值为 .17、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14760a a a ++=，25851a a a ++=，若对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，则正整数k 的值为18、（南师附中2019届高三年级5月模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，2221N 22Nn n n a n k k a a n k k *+*⎧+=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩，，，，，则满足2019≤m S ≤3000的正整数m 的所有取值为 ．二、解答题1、（南京市2018高三9月学情调研）如果数列{a n }共有k (k ∈N *，k ≥4)项，且满足条件：① a 1＋a 2＋…＋a k ＝0； ② |a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |＝1，则称数列{a n }为P (k )数列．（1）若等比数列{a n }为P (4)数列，求a 1的值；（2）已知m 为给定的正整数，且m ≥2．① 若公差为正数的等差数列{a n }是P (2m ＋3)数列，求数列{a n }的公差；② 若a n ＝⎩⎨⎧q n －1 3，1≤n ≤m ，n ∈N *，m －n 12，m ＋1≤n ≤2m ，n ∈N *，其中q 为常数，q ＜－1．判断数列{a n }是否为P (2m )数列，说明理由．2、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）已知数列{a n }各项均不相同，a 1＝1，定义k n k n n a a k b +-+=)1()（，其中n ，k ∈N*．（1）若n b n =）1（，求5a ； （2）若b n ＋1(k )＝2b n (k )对2,1=k 均成立，数列{a n }的前n 项和为S n ． （i ）求数列{a n }的通项公式；（ii ）若k ，t ∈N *，且S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，求k 和t 的值．3、（南京市13校2019届高三12月联合调研）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，把满足条件()*1n n a S n N +≤∈的所有数列{}n a 构成的集合记为M ．（1）若数列{}n a 通项为12n na =，求证：{}n a M ∈； （2）若数列{}n a 是等差数列，且{}n a n M +∈，求512a a -的取值范围；（3）若数列{}n a 的各项均为正数，且{}n a M ∈，数列4n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列{}n a 的通项；若不存在，说明理由．4、（南京市2018高三9月学情调研）已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n 2}的前n 项和为T n ，且3T n ＝S n 2＋2S n ，n ∈N *． （1）求a 1的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）若k ，t ∈N *，且S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，求k 和t 的值．5、（苏州市2019届高三上学期期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n A ， 35a =，636A =．数列{}n b 的前n 项和为n B ，且21n n B b =-． （1）求数列}{n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．6、（盐城市2019届高三上学期期中）已知正项数列{}n a 的首项11a =，前n 项和n S 满足22n n n a a S +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是公比为4的等比数列，且11b a -，22b a -，33b a -也是等比数列，若数列n n a b λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭单调递增，求实数λ的取值范围；（3）若数列{}n b 、{}n c 都是等比数列，且满足n n n c b a =-，试证明: 数列{}n c 中只存在三项．7、（泰州市2019届高三上学期期末）已知数列｛n a ｝的前n 项和为Sn ，1232a a a +=，且对任意的n ∈N*，n ≥2都有1112(25)n n n nS n S S ra +--++=。

高考一轮复习备考试题(附参考答案)数列一、填空题1、（2014年江苏高考）在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是▲2、（2013年江苏高考）在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为。

3、（2012年江苏高考）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲．4、（2015届江苏南京高三9月调研）记数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S n ＝2(a 1＋a n )(n ≥2，n ∈N *)，则S n ＝▲5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知等比数列的前项和为，且，则数列的公比为▲6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知等比数列的各项均为正数则▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知数列{a n }满足a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3，n ∈N *)，它的前n 项和为S n ．若S 9＝6，S 10＝5，则a 1的值为▲8、（南通市2014届高三第三次调研）设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若，，且，则数列{b n }的公比为▲．9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1 = 1，S 3 = 6，则S 6 =▲10、（徐州市2014届高三第三次模拟）在等比数列中，已知，．设为该数列的前项和，为数列的前项和．若，则实数的值为▲11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a1d 的值为▲二、解答题1、（2014年江苏高考）设数列{}的前n 项和为.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得，则称{}是“H 数列。

”（1）若数列{}的前n项和=（n），证明：{}是“H数列”；（2）设数列{}是等差数列，其首项=1.公差d0.若{}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{}，总存在两个“H数列”{}和{}，使得=（n）成立。

2020年高考——数列1.(20全国Ⅰ理17)（12分）设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．2.（20全国Ⅲ文17）（12分）设等比数列{a n }满足124a a +=，138a a -=． （1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．3.（20全国Ⅲ理17）（12分）设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．4.（20新高考Ⅰ18）（12分）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．5.(20天津19)（本小题满分15分）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．6.(20浙江20)（本题满分15分）已知数列{a n }，{b n }，{c n }满足1111121,,,nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=∈*N ． （Ⅰ）若{b n }为等比数列，公比0q >，且1236b b b +=，求q 的值及数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若{b n }为等差数列，公差0d >，证明：*12311,n c c c c n d++++<+∈N ．7.（20江苏20）（本小题满分16分）已知数列{}()n a n ∈*N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ～k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ～1”数列，求λ的值； （2）若数列{}n a”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ～3”数列，且0n a ≥？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．8.(20北京21)（本小题15分） 已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2kn la a a =．（Ⅰ）若(1,2,)n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；（Ⅱ）若12(1,2,)n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；（Ⅲ）若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列。

考点 30 数列求和  1．（江苏省南京市、盐城市 2019 届高三第二次模拟考试）等差数列 an 中，a4  10 ，前12 项的和 S12  90 ，则 a18 的值为______. 【答案】 4【解析】由题得a1  3d  1012 1112a1  2 d 90a1 13, d1, a18 13 17  (1)4 .故答案为：-42．（盐城市 2019 届高三年级第一学期期中模拟考试）若数列 的首项，且，则=________.【答案】 【解析】得且所以即 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列。

=n+1，从而3．（江苏省苏北六市 2018 届高三第二次调研测试）设等差数列{ }的前 n 项和为 ，若 ， ， 成等差数列，且 【答案】，则 的值为_______．【解析】由题意可得解得 则4．（江苏省淮安市等四市 2018 届高三上学期第一次模拟）已知等差数列 满足，【答案】，则 的值为____．【解析】由题意，，所以．，，5．（江苏省宿迁市 2018 届高三上学期第一次模拟考试）已知等差数列 满足【答案】11 【解析】等差数列 满足，则 的值为___________． ,故答案为：11. 6．（江苏省七市 2019 届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试）已知集合A  { x | x  2k 1，k  N}，B  { x | x  8k  8，k  N} ，从集合 A 中取出 m 个不同元素，其和记为 S ；从集合 B 中取出 n 个不同元素，其和记为T ．若 S  T 967 ，则 m  2n 的最大值为____．【答案】44 【解析】 欲使 m,n 更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取，S= m 1 2m 1  m2,T  n 0  8n  8  4n2  4n,m2  4n2  4n  967, 即222n 12  m2  968, m, n  N, 令 2n-1=t,则 m+2n=t+m+1,t 为奇数,m 为整数，则 t2  m2  968 ，由基本不等式 t2  m2  m  t ,m  t  44, 当且仅当 m=t=22 时取等，∵t 为奇数，∴ mt 的最大值在 t=22 附近22取到，则 t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）; t=23,m=20,成立；故 m+t 的最大值为 43，所以 m  2n 的最大值为 44故答案为 447．（盐城市 2019 届高三年级第一学期期中模拟考试）已知数列 满足： ，.若成等差数列，【答案】1【解析】，，则=__________.根据题意,数列{an}满足：a1=3, 则 a2=2a1−3=2×3−3=3， a3=2a2−3=2×3+3=9， a4=2a3+3=2×9−3=15， 其中 a1、a3、a4 为等差数列的前 3 项， 又由{a k1}是等差数列,且 k1=1， 则有 k2=3,k3=4， 则 k3−k2=1．(n⩾ 2)，8．（江苏省南通市 2018 年高考数学模拟）已知 为数列{an}的前 n 项和，且 则{an}的首项的所有可能值为______ 【答案】 【解析】，，因为，所以，所以，将以上各式相加，得，又，所以，解得或.9．（江苏省南京师大附中 2018 届高三高考考前模拟考试）在数列{an}中，若 a4＝1，a12＝5，且任意连续三 项的和都是 15，则 a2018＝______． 【答案】9【解析】由题意可得 an+an+1+an+2=15，将 n 换为 an+1+an+2+an+3=15，可得 an+3=an，可得数列{an 是周期为 3 的数列．故，由 an+an+1+an+2=15，n 取 1 可得，故，故答案为 9.10．（江苏省南京师范大学附属中学 2018 届高三 5 月模拟考试）在数列 中，，且任意连续三项的和都是 15，则 【答案】9 【解析】 由题意可得____． ，将 换为，可得，可得数列 为周期为 的数列，，即有，由任意连续三项的和都是 可得可得， 故答案为 .11．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019 届高三年级第一次质量检测）已知数列 满足对任意的，都有，且，其中，．记．（1）若 ，求 的值；（2）设数列 满足．① 求数列 的通项公式；② 若数列 满足 ，且当 时，，是否存在正整数 ，使 ，，成等比数列？若存在，求出所有 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1011（2）① 【解析】；② ， 满足题意（1）当 时，由，得，又，所以，又，所以．（2）由，得，又 又因为 所以 所以，所以， ，，所以．②由题意，得因为 ，，，， 成等比数列，所以 所以，即 ，即， ．， ，由于，所以 ，即 ．当 时， ，得 ．当 时，由(*)，得为奇数，所以 综上，，即 ，代入(*)得 ，．，即，此时 无正整数解．12． （江苏省淮安市淮安区 2019 届高三第一学期联合测试）已知数列 的前 n 项和为 ，且()．（1）求 ；（2）设函数 （3）设 为实数，对满足 实数 的最大值．，()，求数列 的前 n 项和 ；且 的任意正整数 m，n，k，不等式恒成立，试求【答案】（1） 【解析】；（2）（1）当 时，当 时，，满足上式，所以；（3）. ；（2）由分段函数 ，可以得到：，当，时，，故当 ，时，,，所以；（3）由，及得，∵，∴，∵，∴，要恒成立，只要 ，∴ 的最大值为 .13．（江苏省清江中学 2018 届高三学情调研考试）数列 中，，，（）.（1）求数列 的通项公式；（2）设（），，是否存在最大的整数 ，使得任意的 均有总成立？若存在，求出 ；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 【解析】;(2)7.（1）∵，∴（），∴ 等差数列.设公差为 ，又，，∴，∴.（2），∴假设存在整数 满足总成立，又∴数列 是单调递增的∴ 的最小值，故，即又∴适合条件的 的最大值为 7.14．（江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校 2018 届高三联考数学调研测试）设数列 的首项为 1，前 n 项和为 ，若对任意的 为“ 数列”．，均有（k 是常数且）成立，则称数列（1）若数列 为“ 数列”，求数列 的通项公式；（2）是否存在数列 既是“ 数列”，也是“ 项公式及对应的 k 的值；若不存在，请说明理由；数列”？若存在，求出符合条件的数列 的通（3）若数列 为“ 数列”，，设【答案】（1） 【解析】；（2）不存在；（3）证明见解析.（1）因为数列 为“ 数列”，则故，两式相减得：，又 时，，所以，，证明：．故对任意的恒成立，即故数列 为等比数列，其通项公式为（2）假设存在这样的数列 ，则有两式相减得：，（常数）， .，故有故有，同理由 是“数列”可得，所以对任意恒成立．所以，即，又，即，两者矛盾，故不存在这样的数列 既是“ 数列”，也是“（3）因为数列 为“ 数列”，所以，所以，故有，，又 时，，故，满足，所以对任意正整数 恒成立，数列的前几项为：数列”． ．故，所以，两式相减得，显然 故， ，即.    15．（2017-2018 学年度第一学期江苏省常州北郊华罗庚江阴高中三校联考高三数学）已知数列 an 、 bn ，  其中，a11 2，数列an满足 n1 ann 1 an1 ,n  2, n  N*  ，数列 bn 满足 b1  2, bn1  2bn ．（1）求数列 an  、 bn  的通项公式；（2）是否存在自然数 m ，使得对于任意 n  N *, n  2, 有1 1  1 L  1  m  8 恒成立？若存在,求b1 b2bn 4出 m 的最小值；1 , n为奇数（3）若数列cn满足 cn  { nan，求数列cn的前 n 项和Tn ．bn , n为偶数  n2  4n  3  4 2n1 1 , n为奇数  【答案】（1） bn  2n ；（2）存在， m 16 ；（3）Tn  {43n2  2n 4 2n 1, n为偶数．43【解析】（1）由 n 1 an n 1 an1 ，即an an1n 1 n 1．又 a11 2，所以 anan an1an1 an2an2 an3a3 a2a2 a1 a1 n 1  n  2  n  3  2  1  1n 1 n n 1432n1n 1.当 n 1 时，上式成立，  因为 b1  2, bn1  2bn ，所以 bn 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，故 bn  2n .(2) 由（1）知 bn  2n ，则1 1b11 b21 bn11 21 221 2n 21 2n.假设存在自然数 m ，使得对于任意 n  N *, n  2, 有1 1  1 b1 b2L1 bnm 48恒成立，即21 2nm8 4恒成立，由 m  8  2 ，解得 m 16 ． 4所以存在自然数 m ，使得对于任意 n  N *, n  2, 有1 1  1 L  1  m  8 恒成立，此时， m 的最小b1 b2bn 4值为 16.（3）当 n 为奇数时，  Tn  1 a11 3a31 nan  b2b4 bn1 2  4    n 1 22  24    2n1n1   41 4 2  2 n1 n1  n2  4n  3  4 2n1 1 ；221 443当 n 为偶数时，  Tn1   a11 3a3n1 1 an1  b2b4bn 2 4 n22  24    2n n  41 42  2nn  n2  2n  4 2n 1 .2 2 1443  n2  4n  3  4 2n1 1 , n为奇数  因此Tn  {43n2  2n 4 2n 1, n为偶数．4316．（江苏省扬州树人学校 2018 届高三模拟考试四）已知无穷数列 的各项都不为零，其前 n 项和为 ，且满足 求；，数列 满足，其中 t 为正整数．若不等式对任意都成立，求首项 的取值范围；若首项 是正整数，则数列 中的任意一项是否总可以表示为数列 中的其他两项之积？若是，请 给出一种表示方式；若不是，请说明理由．【答案】(1).(2).(3) 数列 中的任意一项总可以表示为数列 中的其他两项之积.理由见解析.【解析】（1）令 ，则，即，又，所以；由，得，两式相减得，又，故，所以 （2）由（1）知数列．是首项为，公差为 1 的等差数列；数列是首项为 ，公差为 1 的等差数列．故所以①当 时奇数时，，即，即对任意正奇数 恒成立，所以 解得， ．②当 时偶数时，，即所以，，即对任意正偶数 恒成立，解得．综合①②得 （3）由数列． 是首项为 1，公差为 1 的等差数列；数列知，数列 的各项都是正整数．是首项为正整数 ，公差为 1 的等差数列设，即，所以 取 故，，取，，不妨设 是偶数，则一定是整数，故当 是偶数时，方程的一组解是当 是奇数时，方程的一组解是所以数列 中的任意一项总可以表示为数列 中的其他两项之积．17．（江苏省宿迁市 2018 届高三上学期第一次模拟考试）已知数列 ，其前 项和为 ，满足，其中，.（1）若，求证：数列 是等比数列；（2）若数列 是等比数列，求 的值；（3）若，且，求证：数列 是等差数列.【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据题意得到，即是等比数列；（2） 是等比数列，设其公比为 ，根据，所以 ，，故数列 ，得解析： （1）证明：若所以即所以，又由，得，，可构造方程进而求得参数值；（3）先求得，由，，两式相减得： ，再由迭代的方法得到数列，化简得到 进而证得数列是等差数列.，则当( ),，，，，即，所以，故数列 是等比数列．（2）若 是等比数列，设其公比为 （），当 时，，即 ，，得 ①当 时，，即，当 时，，即，② ① ，得，③ ② ，得，解得．代入①式，得 ．此时( )，所以 故， 是公比为１的等比数列， ．（3）证明：若，由，得，得 ②，得 ③，又，解得．由，，， ，代入所以 ， ， 成等差数列，得，由，得，两式相减得： 即所以相减得：所以所以，因为，所以，即数列 是等差数列.18．（江苏省南通市 2018 届高三上学期第一次调研测试）若数列 同时满足：①对于任意的正整数 n，恒成立；②若对于给定的正整数 k，对于任意的正整数 n(n＞k)恒成立，则称数列 是“R(k)数列”．（1）已知，判断数列 是否为“R(2)数列”，并说明理由；（2）已知数列 是“R(3)数列”，且存在整数 p(p＞1)，使得，，，成等差数列，证明： 是等差数列． 【答案】（1）是（2）见解析 【解析】 试题分析：（1）根据定义验证两个条件是否成立，由于函数为分段函数，所以分奇偶分别验证（2）根据定义数列隔项成等差，再根据单调性确定公差相等，最后求各项通项，根据通项关系得数列 通项，根据等 差数列证结论试题解析：（1）当 为奇数时，，所以..当 为偶数时，，所以..所以，数列 是“ 数列”.（2）由题意可得：，则数列 ， ， ， 是等差数列，设其公差为 ，数列 ， ， ， 是等差数列，设其公差为 ，数列 ， ， ， 是等差数列，设其公差为 .因为，所以，所以，所以①，②.若，则当时，①不成立；若，则当时，②不成立；若，则①和②都成立，所以.同理得：，所以，记.设，则.同理可得：，所以所以 是等差数列.【另解】，，. ，以上三式相加可得：，所以，所以，，，所以，所以，所以，数列 是等差数列.  19．（江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校 2018 届高三 12 月联考）已知数列 an 的满足  a1 1，前 n项的和为Sn，且an1  an an an 12 4Sn 1n N*.（1）求 a2 的值；  （2）设 bnan an1  an，证明：数列bn是等差数列；（3）设 cn  2bn  an ，若1    2 ，求对所有的正整数 n 都有 22  k  3 2  cn 成立的 k 的取值范围.  【答案】（1） a2  3 ；（2）见解析；（3） k  2  2 2,  .【解析】试题分析：(1)令 n 1 得 a2(2)因为 an1  an an an 12 4Sn 1，所以4Sn1 2an an 1 an1  an①.所以4Sn112an a 1 n2 an2  an1②，由②-①，得2an1an1an2 an2  an1an an 1 an1  an. 因 为 an1  0 ， 所 以2  an2  an .所以1 an1  an  2 ，即 an1  an  1 ，an2  an1 an1  anan2  an1 an1  anan2  an1 an1  an  即 bn1 bn 1 即可得证（3）由（2）知，因为 b1a1 a2  a11 2，所以数列bn的通项公式为 bnn1 2.因为an an1  an1 2，所以 an1 an2 1 2n 12n 2n 1 1，所以2an1n 11an 2n 1，所以数列  an 2n 1  是常数列.由a1 2111，所以an 2n 1 .所以 cn 2bn  ann1222n12  2n 2n 1 .研究数列2cn的单调性求出最小值，变量分离 k与 即可得解.试题解析：（1）令 n 1得 a2  3 .（2）因为 an1  an an an 14S2n1，所以4Sn1 2an an 1 an1  an①.所以 4Sn11 2an a 1 n2 an2  an1②，由②-①，得 2an1an1an2 an2  an1an an 1 an1  an.因为 an10 ，所以 2 an2 an2  an1an an1  an.所以1 an1  an  2 ，即 an1  an  1，an2  an1 an1  anan2  an1 an1  an  即 bn1  bn  1 ，所以数列 bn 是公差为 1 的等差数列.  （3）由（2）知，因为 b1a1 a2  a11 2，所以数列bn的通项公式为 bnn1 2.因为 an  1 ，所以 an1  2 1  2n 1 ，an1  an 2an 2n 1 2n 1所以an12n 11an 2n 1，所以数列  an 2n 1  是常数列.由a1 211 1，所以 an2n1.  所以 cn2bn ann1222n 12  2n 2n 1 .2因为 cn1  cn 2 22n1  2n12n  2n12  2n 2n  3  02所以数列 cn  为单调递增数列当 n 1时， cn  c1  2 ，即 cn 的最小值为 2由 22  k  32cn  k22  2 2 ，所以 k  2  2  max，而当1   2 时，2 在 1,42 递减， 4 2,2递增，所以 2   max12，  当且仅当  1或 2 时取得，故 k  2  2 2,  .20．（江苏省苏州市 2018 届高三调研测试理）在正整数集上定义函数，且．（1）求证：；，满足（2）是否存在实数 a，b，使 【答案】（1）见解析（2） 【解析】（1）因为，对任意正整数 n 恒成立，并证明你的结论．，整理得，由，代入得，所以．（2）由，以下用数学归纳法证明，可得， ．存在实数，，使① 当 时，显然成立．成立．② 当 时，假设存在，使得成立，那么，当时，，即当时，存在，使得成立．由①，②可知，存在实数，，使对任意正整数 n 恒成立．21．（江苏省南通市 2018 届高三最后一卷）已知等差数列 与等比数列 是非常数的实数列，设.（1）请举出一对数列 与 ，使集合 中有三个元素； （2）问集合 中最多有多少个元素？并证明你的结论；【答案】(1).(2)3 个，证明见解析.【解析】（1），则（2）不妨设，由令，原问题转化为 关于的方程①最多有多少个解.下面我们证明：当 时，方程①最多有 个解：时，方程①最多有 个解当 时，考虑函数，则如果，则 为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果，且不妨设由恒大于 或恒小于 ，当得 由唯一零点 时， 恒小于 或恒大于，于是当这样 在区间 与上是单调函数，故方程①最多有 个解当 时，如果 如果 为奇数，则方程①变为时，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程① 如果 为偶数，则方程①变为，由 的情形，上式最多有 个解，即满足①的偶数最多有 个 这样，最多有 个正数满足方程① 对于 ，同理可以证明，方程①最多有 个解. 综上所述，集合 中的元素个数最多有 个. 再由（1）可知集合 中的元素个数最多有 个. 22．（江苏省海门中学 2018 届高三 5 月考试）对于数列 ，记则称数列为数列 的“k 阶塑数列”，(1)已知，①若 为等比数列，求 的值②设 t 为任意正数，证明：存在，当时总有；(2)已知，若且对恒成立，求 的取值范围.【答案】(1) ① .②见解析.(2) 【解析】（1）①.当时，满足题意；② 所以当，，，因此取 不小于的正整数，时总有；（2），因为 因此，所以递增，。

第63课　等差、等比数列的综合问题1. 等差、等比数列(C 级要求).2. 高考中可能重点关注等差、等比数列{a n }的前n 项和S n 与通项公式a n 之间的相互转化，以及基本量、性质的运用.1. 阅读：必修5第65～68页.2. 解悟：①画出本章知识框图；②写出等差、等比数列的常用性质，体会形式上的联系与区别；③体会课本中整理知识的方法.3. 践习：在教材空白处，完成第67～68页习题第5、6、9、15题.　基础诊断　1. 已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比为　2　.解析：设数列{a n }的公差为d(d ≠0).由a ＝a 1a 7，得(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋6d)，解得a 1＝2d ，23故数列{b n }的公比q ＝＝＝＝2.a 3a 1a 1＋2d a 12a 1a 12. 已知等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则数列{a n }的前6项和为　－24　.解析：设数列{a n }的公差为d(d ≠0).根据题意得a ＝a 2a 6，即(a 1＋2d)2＝(a 1＋d)(a 1＋5d)，23解得d ＝0(舍去)或d ＝－2，所以数列{a n }的前6项和为S 6＝6a 1＋d ＝1×6＋6×526×52×(－2)＝－24.3. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝　－　.1n解析：由题意得S 1＝a 1＝－1；由a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.因为S n ≠0，所以＝1，即－＝－1，S n ＋1－S n S n S n ＋11S n ＋11S n故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝－1－(n －1)＝－n ，{1S n }1S 11S n所以S n ＝－.1n4. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝a n －，若1<S k <9 (k ∈N *)，2313则k 的值为　4　Ｗ.解析：由题意S n ＝a n －知当n ≥2时，S n －1＝a n －1－，两式相减，得a n ＝a n －a n －1，231323132323所以a n ＝－2a n －1.又a 1＝－1，所以{a n }是以－1为首项，－2为公比的等比数列，所以a n ＝－(－2)n －1，所以S k ＝.由1<S k <9，得4<(－2)k <28.又k ∈N *，所以k ＝4.（－2）k －13　范例导航　考向❶ 子数列问题例1　已知在等差数列{a n }中，a 2＝5，前10项和S 10＝120，若从数列{a n }中依次取出第2项、第4项、第8项、…、第2n 项，按原顺序组成新数列{b n }，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：设数列{a n }的公差为d ，由题意得解得{a 1＋d ＝5，10a 1＋10×92d ＝120，){a 1＝3，d ＝2，)所以a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1，所以b n ＝a 2n ＝2·2n ＋1＝2n ＋1＋1，所以T n ＝2×(21＋22＋…＋2n )＋n ＝n ＋2×＝2n ＋2＋n －4.2（1－2n ）1－2在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 令b n ＝2a n －10，证明：数列{b n }为等比数列.解析：(1) 设数列{a n }的公差为d.由a 10＝30，a 20＝50得{a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，)解得{a 1＝12，d ＝2，)所以a n ＝12＋(n －1)×2＝2n ＋10.(2) 由(1)得b n ＝2a n －10＝22n ＋10－10＝22n ＝4n ，所以＝＝4，b n ＋1b n 4n ＋14n 所以{b n }是首项为4，公比为4的等比数列.【注】 子数列问题需要搞清楚新数列与原数列之间的关系，既可以利用原数列的性质分析子数列，也可以利用子数列分析原数列的性质.考向❷ 数列与不等式例2　已知数列{c n }的通项公式为c n ＝4×＋1，其前n 项和为T n ，若不等式≥2n －(12)n 12k 4＋n －T n 7对任意的n ∈N *恒成立，求实数k 的取值范围.解析：c n ＝4×＋1，(12)n所以 T n ＝4×＋n ＝4＋n －.12(1－12n )1－1242n由不等式≥2n －7恒成立，得3k ≥恒成立.12k 4＋n －T n 2n －72n设d n ＝，则d n ＋1－d n ＝－＝，所以当n ≤4时，d n ＋1>d n ；当n ≥52n －72n 2n －52n ＋12n －72n －2n ＋92n ＋1时，d n ＋1<d n .又d 4＝，d 5＝，所以 d 4<d 5，所以3k ≥，即k ≥，116332332132故实数k 的取值范围是.[132，＋∞)已知a n ＝2n －1，设T n ＝ (－1)i a i ，若对任意正整数n ，不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n ∑n i ＝1－1恒成立，求实数λ的取值范围.解析：①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2k －a 2k －1)＝2k ，代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1，得λ·2k <4k ，从而λ<.4k2k设f (k )＝，则f (k ＋1)－f (k )＝－＝.　4k 2k 4k ＋12（k ＋1）4k 2k 4k （3k －1）2k （k ＋1）因为k ∈N *，所以f (k ＋1)－f (k )>0，所以函数f (k )单调递增，所以f (k )min ＝2，所以λ<2；②当n 为奇数时，设n ＝2k －1，k ∈N *，则T 2k －1＝T 2k －a 2k ＝2k －(4k －1)＝1－2k ，代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1，得λ(1－2k )<(2k －1)4k ，从而λ>－4k .因为k ∈N *，所以－4k 的最大值为－4，所以λ>－4.综上所述，实数λ的取值范围为(－4，2).【注】 数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法等.考向❸ 新定义(类“等差”“等比”数列)问题例3　若数列{a n }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”.已知数列{a n }满足a n ＝2n －1＋1.判断数列{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论.解析：数列{a n }不是“等比源数列”. 用反证法证明如下：假设数列{a n }是“等比源数列”，则存在三项a m ，a n ，a k (m ＜n ＜k)按一定次序排列构成等比数列，因为a n ＝2n －1＋1，所以a m ＜a n ＜a k .由题意得a ＝a m a k，2n 所以(2n －1＋1)2＝(2m －1＋1)(2k －1＋1)，即22n －m －1＋2n －m ＋1－2k －1－2k －m ＝1.又m ＜n ＜k ，m ，n ，k ∈N *，所以2n －m －1≥1，n －m ＋1≥1，k －1≥1，k －m ≥1，所以22n －m －1＋2n －m ＋1－2k －1－2k －m 为偶数，与22n －m －1＋2n －m ＋1－2k －1－2k －m ＝1矛盾，所以数列{a n }中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列.所以数列{a n }不是“等比源数列”.上例中若数列{a n }为等差数列，且a 1≠0，a n ∈Z(n ∈N *).求证：数列{a n }为“等比源数列”.解析：不妨设等差数列{a n }的公差d ≥0.当d ＝0时，等差数列{a n }为非零常数数列，则数列{a n }为“等比源数列”；当d ＞0时，因为a n ∈Z ，则d ≥1，且d ∈Z ，所以数列{a n }中必有一项a m ＞0.为了使得数列{a n }为“等比源数列”，只需要数列{a n }中存在第n 项，第k 项(m ＜n ＜k )，使得a ＝a m a k成立，即[a m ＋(n －m )d ]2＝2n a m ·[a m ＋(k －m )d ]，即(n －m )[2a m ＋(n －m )d ]＝a m (k －m )成立，当n ＝a m ＋m ，k ＝2a m ＋a m d ＋m 时，上式成立，所以数列{a n }中存在a m ，a n ，a k 成等比数列.所以数列{a n }为“等比源数列”.【注】 新定义问题中，需要严格以新定义为核心，借助特殊值理解题意，借助等差、等比数列的研究技巧进行变形求解.　自测反馈　1. 若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则＝　1　.a 2b 2解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q.由题意得－1＋3d ＝－q 3＝8，解得d ＝3，q ＝－2，所以＝＝1.a 2b 2－1＋3－22. 设公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若－3a 1，－a 2，a 3成等差数列，且a 1＝1，则S 4＝　－20　Ｗ.　解析：设数列{a n }的公比为q ，且q ≠1.由题意得－2a 2＝－3a 1＋a 3，即－2q ＝－3＋q 2，解得q ＝－3或q ＝1(舍去)，所以S 4＝＝－20.1－（－3）41＋33. 设等比数列{a n }的前n 项和S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝4，则a 8＝　2.解析：设{a n }的公比为q.由题意得2S 9＝S 3＋S 6，所以q ≠1，所以{2×a 1（1－q 9）1－q ＝a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q，a 1q ＋a 1q 4＝4，)解得所以a 8＝a 1q 7＝a 1q ×(q 3)2＝8×＝2.{q 3＝－12，a 1q ＝8，)(－12)2 4. 已知{a n }是首项为2，公差不为0的等差数列，若a 1，a 3，a 6成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝ .n 2＋7n 4解析：设数列{a n }的公差为d.由题意得a ＝a 1a 6，即(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋5d)，即(2＋2d)2＝2(223＋5d)，解得d ＝，所以S n ＝na 1＋d ＝2n ＋×＝.12n （n －1）2n（n －1）212n 2＋7n 41. 解决等差(比)数列问题时，通常考虑两类方法：①基本量，即运用条件转化成关于a 1和d(q)的方程；②运用等差(比)数列的性质(如下标和的性质、子数列的性质、和的性质).2. 你还有那些体悟，写下来：。

2020年高考数学数列解答题专项练习40题1、数列{a n}的前n项和为S n，,且成等差数列.(1)求a1的值，并证明为等比数列;(2)设，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.2、已知数列{a n}的前n项和，{b n}是等差数列，且（1）求数列{b n}的通项公式；（2）令求数列{c n}的前n项和.3、已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差，且成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令,求数列{c n}的前n项和.4、已知数列{a n}满足，.（1）证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和5、已知数列{a n}前n项和为。

（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列；求数列的前n项和。

6、设数列{a n}的前n项和为S n，若．(1)求出数列{a n}的通项公式；(2)已知，数列{b n}的前n项和记为，证明：．7、已知等差数列{a n}满足，，数列{b n}满足.（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）求数列的前n项和.8、正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）试求数列{a n}的通项公式；（2）设，求{b n}的前n项和为.（3）在（2）的条件下，若对一切恒成立，求实数m的取值范围.9、已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若，且a2，a6，a18成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为，求证：．10、等差数列{a n}中，已知，且为递增的等比数列.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的通项公式（），求数列{b n}的前n项和S n.11、已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且是S n与2的等差中项，等差数列中，，点在一次函数的图象上．（1）求数列{a n},{b n}的通项和；（2）设，求数列{c n}的前n项和．12、已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，，且成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若，数列{b n}的前n项和为，求.13、记为各项为正数的等比数列{a n}的前S n项和，已知.（1）求数列{a n}的通项公式;（2）令，求的前n项和.14、设数列{a n}的前n项和为S n，已知3S n=4－4，．（1)求数列{a n}的通项公式；(2）令，求数列{b n}的前n项和Tn.15、已知数列{a n}的各项均为正数，对任意，它的前n项和S n满足，并且，，成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，为数列{b n}的前n项和，求．16、已知数列{a n}的前n项和为S n，且，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当时，求证：数列的前n项和．17、已知数列为等差数列，且，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：．18、已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且，，；求：（1）{a n}和{b n}的通项公式；（2）设，，求数列{c n}的前n项和．19、已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}是等差数列，且，求非零常数．20、等差数列{a n}中，，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求的值．21、已知等差数列{a n}的前n项的和为S n，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设(3)设，表示不超过的最大整数，求{c n}的前1000项的和22、S n为数列{a n}的前n项和.已知，.（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前项和.23、已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2S n+1，其中S n为{a n}的前n项和，n∈N*．（1）求a n；（2）若数列{b n}满足b n=，{b n}的前n项和为T n，且对任意的正整数n都有T n ＜m，求m的最小值．24、已知数列{a n}，a=1，=a-n²-n-（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明++…+＜（n∈N）.25、已知数列{a n}的首项a1=a（a>0），其前n项和为S n，设（）．（1）若a2=a+1，a3=2a2，且数列{b n}是公差为3的等差数列，求S2n；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，满足T n=n2．①求数列{a n}的通项公式；②若对且n≥2，不等式恒成立，求a的取值范围．26、设数列{a n}的各项均为不等的正整数，其前n项和为S n，我们称满足条件“对任意的m,n∈N*. 均有”的数列{a n}为“好”数列．（1）试分别判断数列{a n}，{b n}是否为“好”数列，其中，，n∈N*，并给出证明；（2）已知数列{c n}为“好”数列．①若c2017=2018，求数列{c n}的通项公式；②若c1=p，且对任意给定正整数p,s（s>1），有c1,c2,c3成等比数列，求证：t≥s2．27、已知数列{a n}的各项均为正数，，前n项和为S n，且，为正常数．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，（）．求证：①；②．28、已知数列{a n}满足…．（1）求，，的值；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并证明．29、等差数列{a n}的公差为正数，，其前n项和为S n；数列{b n}为等比数列，，且．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)设，求数列{c n}的前n项和．30、设数列{a n}的前n项和为S n，已知，（）．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）若数列{b n}满足：，．①求数列{b n}的通项公式；②是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．31、已知数列{a n}的前n项和S n，且，数列是首项为1，公比为的等比数列. （1）若数列{a n+b n}是等差数列，求该等差数列的通项公式；（2）求数列{a n+n+b n}的前项和.32、已知等比数列{a n}中，.（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列的前项和.33、已知数列{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和，.数列为等比数列且.（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记，其前n项和为，求证：.34、已知数列{a n}的前n项和为S n，满足（1）求证：数列{a n+2}为等比数列；（2）求数列{a n}的通项；（3）若数列{b n}满足为数列的前n项和，求.35、已知各项均为正数的数列{a n},满足且.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设,若的前n项和为S n,求S n；(3)在（2）的条件下,求使成立的正整数n的最小值．36、设数列{a n}的前n项和，数列满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和．37、已知数列{a n}满足，且．（1）求证：数列是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和S n38、已知{a n}是等比数列，满足，且成等差数列（1）求数列{a n}的通项公式（2）设，数列{b n}的前项和为，求正整数k的值，使得对任意n≥2均有g（k）≥g（n）39、已知二次函数f(x)=3x2－2x.，数列{a n}的前n项和为，点均在函数的图像上。

第三节 等比数列1．等比数列的有关概念 (１）定义：如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母ｑ表示,定义的表达式为a n +１a n=q . （2）等比中项：如果ａ，Ｇ,b 成等比数列,那么Ｇ叫做a 与ｂ的等比中项．即:G 是a 与b 的等比中项⇔a ,G ,b 成等比数列⇒Ｇ2=ab 。

２．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1ｑn －1.(2)前n 项和公式:S n ＝错误! ３．等比数列的常用性质 （1）通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ,m ∈Ｎ*);(2）若m ＋n =p ＋q =2ｋ(m ,n ，p ,ｑ,k ∈N *), 则a m ·a n ＝a ｐ·ａq ＝ａ错误!未定义书签。

;(３）若数列{a n },｛ｂn }(项数相同)是等比数列,则｛λａn ｝，错误!未定义书签。

,{ａ错误!未定义书签。

}，｛a ｎ·b n }，错误!（λ≠0)仍然是等比数列;(４)在等比数列{a ｎ｝中,等距离取出若干项也构成一个等比数列，即ａn ,a n +k ，a n +２k ，a n ＋３k ,…为等比数列,公比为q k。

[小题体验］1.设Ｓn 是等比数列错误!的前n 项和,若a 1＝1,a ６=3２,则Ｓ3=＿____＿__. 答案:72．在等比数列{a n ｝中，若ａ1=1,a 3ａ5=４(a ４－1）,则a ７＝________.解析:法一:设等比数列｛a n }的公比为ｑ，因为ａ1=1，ａ3a 5＝４(a 4-1),所以ｑ2·q 4＝4(ｑ3－1),即ｑ6－4ｑ３+4=0,q３=2，所以ａ7=q6＝4。

法二:设等比数列{a n｝的公比为ｑ, 由ａ3a5=4(ａ4-1)得a错误!未定义书签。

＝4(a４-１),即a 错误!未定义书签。

2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测六 数 列第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－2，a 3＝2，则{a n }的公差d 等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3D ．－42．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．93．已知数列{a n }是等差数列，若a 2 016＋a 2 017<0，a 2 016·a 2 017<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么S n 取得最小正值时，n 等于( )A ．4 029B ．4 030C ．4 031D ．4 0324．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝(n ＋1n )n －1C．a n＝n2D．a n＝n5．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则()A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞06．已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n－1，则满足a nn≤2的正整数n的集合为()A．{1,2} B．{1,2,3,4}C．{1,2,3} D．{1,2,4}7．设函数f(x)＝2x－cos x，{a n}是公差为π8的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝5π，则[f(a3)]2－a1a5等于()A．0 B.1 16π2C.18π2 D.1316π28．若数列{a n}满足1a n＋1－pa n＝0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{1b n}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99＝299，则b8＋b92的最小值是()A．2 B．4C．6 D．8第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．已知等比数列{a n}的前n项和为S n＝3n＋a(n∈N*)，则实数a的值是________．10．数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.11．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．12．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．13．在数列{a n }中，a 1≠0，a n ＋1＝3a n ，S n 为{a n }的前n 项和．记R n ＝82S n －S 2na n ＋1，则数列{R n }的最大项为第________项．14．已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝1＋1a n.若对任意的自然数n ≥4，恒有32<a n <2，则a 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)等差数列{a n}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2a n－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．16．(13分)为了综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规．某大城市2015年初机动车的保有量为600万辆，预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%，且报废后机动车的牌照不再使用．同时每年投放10万辆的机动车牌号．只有摇号获得指标的机动车才能上牌，经调研，获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌．(1)问：到2019年初，该城市的机动车保有量为多少万辆；(2)根据该城市交通建设规划要求，预计机动车的保有量少于500万辆时，该城市交通拥堵状况才真正得到缓解，问：至少需要多少年可以实现这一目标．(参考数据：0.954＝0.81,0.955＝0.77，lg 0.75＝－0.13，lg 0.95＝－0.02)17.(13分)已知数列{a n}满足a2＝5，且其前n项和S n＝pn2－n.(1)求p的值和数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}为等比数列，公比为p，且其前n项和T n满足T5<S5，求b1的取值范围．18．(13分)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .19.(14分)已知a 2、a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{a n }是递增的等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝1－12b n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .20．(14分在数列{a n }中，a 1＝12，其前n 项和为S n ，则S n ＝a n ＋1－12，(n ∈N *)． (1)求a n ，S n ；(2)设b n ＝log 2(2S n ＋1)－2，数列{c n }满足c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使4T n >2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值．答案解析1．C [由a 1＋a 7＝2a 4＝－2得a 4＝－1，a 3＝2，d ＝－3，故选C.] 2．D [由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有：a ，－2，b ；b ，－2，a .∴⎩⎨⎧ ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎨⎧ ab ＝4，2a ＝b －2解得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝4. ∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D.] 3．C [∵数列{a n }的前n 项和S n 有最大值， ∴数列{a n }是递减的等差数列． 又∵a 2 016＋a 2 017<0，a 2 016·a 2 017<0， ∴a 2 016>0，a 2 017<0，∴数列的前2 016项为正数，从第2 017项开始为负数， 由求和公式和性质可得S 4 031＝4 031a 2 016>0，S 4 032＝2 016(a 2 016＋a 2 017)<0， ∴S n 取最小正值时n ＝4 031.] 4．D [因为a n ＝n (a n ＋1－a n )， 所以a n ＋1a n＝n ＋1n ，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×32×21×1＝n .]5．B [∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，整理得a 1＝－53d ， ∴a 1d ＝－53d 2＜0，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d3，∴dS 4＝－2d 23＜0，故选B.] 6．B [因为S n ＝2a n －1， 所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1， 整理得a n ＝2a n －1，又因为a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，所以{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 故{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. 而a nn ≤2，即2n －1≤2n ， 所满足的正整数n ＝1,2,3,4.]7．D [∵{a n }是公差为π8的等差数列， ∴a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝2a 3，且a 1＝a 3－π4，a 2＝a 3－π8，a 4＝a 3＋π8，a 5＝a 3＋π4. ∵f (x )＝2x －cos x ，∴f (a 1)＋f (a 5)＝2a 1－cos a 1＋2a 5－cos a 5 ＝2(a 1＋a 5)－(cos a 1＋cos a 5) ＝4a 3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋π4＝4a 3－2cos a 3cos π4＝4a 3－2cos a 3， f (a 2)＋f (a 4)＝2a 2－cos a 2＋2a 4－cos a 4 ＝2(a 2＋a 4)－(cos a 2＋cos a 4) ＝4a 3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－π8＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋π8＝4a 3－2cos a 3cos π8.∴f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＋f (a 5) ＝10a 3－cos a 3－(2＋2cos π8)cos a 3＝10a 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2＋2cos π8cos a 3＝5π，∴a 3＝π2，∴f (a 3)＝2×π2－cos π2＝π. ∴a 1＝π2－π4＝π4，a 5＝π2＋π4＝34π. ∴[f (a 3)]2－a 1a 5＝π2－34π×π4＝1316π2.]8．B [依题意可得b n ＋1＝pb n ，则数列{b n }为等比数列．又b 1b 2b 3…b 99＝299＝b 9950，则b 50＝2.b 8＋b 92≥2b 8·b 92＝2b 50＝4，当且仅当b 8＝b 92，即该数列为常数列时取等号．]9．－1解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2·3n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋a ，因为{a n }是等比数列，所以有3＋a ＝2，解得a ＝－1.10．1解析 设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ， a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1， ∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1.11．10 100解析 由x 2－x <2nx (n ∈N *)得0<x <2n ＋1， 因此a n ＝2n ，所以数列{a n }是一个等差数列， 所以S 100＝100×2＋2002＝10 100.12.2011解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝2＋nn －12，即a n ＝n n ＋12，令b n ＝1a n，故b n ＝2nn ＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011. 13．4解析 ∵a 1≠0，a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是等比数列． ∴R n ＝82a 11－3n 2－a 11－3n1－3a 1·3n 2＝3n 22－823n 2＋813n 21－3＝11－3×(3n 2＋813n 2－82)≤11－3(281－82) ＝643－1. 当且仅当3n 2＝813n 2⇒3n ＝81⇒n ＝4时等号成立．所以数列{R n }的最大项为第4项． 14．(0，＋∞)解析 a 1＝a ，a 2＝1＋1a ＝a ＋1a ，a 3＝1＋aa ＋1＝2a ＋1a ＋1，a 4＝3a ＋22a ＋1.由题意对任意的自然数n ≥4，恒有32<a n <2，所以32<1＋1a n －1<2⇒1<a n －1<2，要使n ≥4都成立，只需32<a 4<2成立，所以32<3a ＋22a ＋1<2，解得a >0.15．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧ a 1＋d ＝4，a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝15， 解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2.(2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝21－2101－2＋1＋10×102 ＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.16．解 (1)设2015年年初机动车保有量为a 1万辆，以后各年年初机动车保有量依次为a 2万辆，a 3万辆，…，每年新增机动车10万辆，则a 1＝600，a n ＋1＝0.95a n ＋10.又a n ＋1－200＝0.95(a n －200)，且a 1－200＝600－200＝400， 所以数列{a n －200}是以400为首项，0.95为公比的等比数列． 所以a n －200＝400·0.95n －1，即a n ＝400·0.95n －1＋200.所以2019年初机动车保有量为a 5＝400×0.954＋200＝524万辆．(2)由题意可知，a n ＝400·0.95n －1＋200<500，即0.95n －1<0.75，所以n >lg 0.75lg 0.95＋1＝7.5， 故至少需要8年的时间才能实现目标．17．解 (1)由题意，得S 1＝p －1，S 2＝4p －2. 因为a 2＝5，S 2＝a 1＋a 2，所以S 2＝4p －2＝p －1＋5，解得p ＝2.所以S n ＝2n 2－n .当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1，得a n ＝(2n 2－n )－[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3.验证知n ＝1时，a 1符合上式，所以a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)，得T n ＝b 11－2n1－2＝b 1(2n －1)． 因为T 5<S 5，所以b 1(25－1)<2×52－5，解得b 1<4531.又因为b 1≠0，所以b 1的取值范围是(－∞，0)∪(0，4531)．18．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎨⎧ 3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4， 解得⎩⎨⎧ a 1＝3，d ＝－1. 故a n ＝3＋(n －1)·(－1)＝4－n .(2)由(1)得，b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1.若q ≠1，将上式两边同乘以q 有qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .两式相减得到(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1＝nq n －q n －1q －1＝nq n ＋1－n ＋1q n ＋1q －1.于是，S n ＝nq n ＋1－n ＋1q n ＋1q －12. 若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12. 所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n n ＋12，q ＝1，nq n ＋1－n ＋1q n ＋1q －12，q ≠1.19．解 (1)由题意得a 2＝3，a 5＝9，公差d ＝a 5－a 25－2＝2， 所以a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1，由S n ＝1－12b n 得，当n ＝1时b 1＝23， 当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝12b n －1－12b n ，得b n ＝13b n －1，所以数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列，所以b n ＝23n .(2)c n ＝a n ·b n ＝4n －23n ，T n ＝4×1－231＋4×2－232＋4×3－233＋…＋4×n －1－23n －1＋4n －23n ， 3T n ＝4×1－230＋4×2－231＋4×3－232＋…＋4×n －1－23n －2＋4n －23n －1， 两式相减得：2T n ＝2＋431＋432＋…＋43n －1－4n －23n ＝4－4n ＋43n ，所以T n ＝2－2n ＋23n .20．解 (1)由S n ＝a n ＋1－12，得S n －1＝a n －12(n ≥2)，两式作差得：a n ＝a n ＋1－a n ，即2a n ＝a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1a n＝2(n ≥2)， 又a 1＝S 1＝a 2－12，得a 2＝1，∴a 2a 1＝2， ∴数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，则a n ＝12·2n －1＝2n －2， S n ＝a n ＋1－12＝2n －1－12.(2)b n ＝log 2(2S n ＋1)－2＝log 22n －2＝n －2， ∴c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ， 即c n (n ＋1)(n ＋2)＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2n －2， c n ＝1n ＋1n ＋2＋2n －2＝1n ＋1－1n ＋2＋2n －2， T n ＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2)＋(2－1＋20＋…＋2n －2) ＝12－1n ＋2＋121－2n 1－2＝12－1n ＋2－12＋2n －1 ＝2n －1－1n ＋2. 由4T n >2n ＋1－1504，得4(2n －1－1n ＋2)>2n ＋1－1504， 即4n ＋2<1504，n >2 014. ∴使4T n >2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值为2 015.。

2020年江苏各地高考数学模考试题汇编第10部分 数列 苏教版（2020年南师附中）已知数列{}n a 满足：1a ＝m （m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时。

若44=a ，则m 所有可能的取值为__4或5或32______。

析：本题可以逆向推导。

由44=a 可得381a =或。

（1）、若38a =则216a =或73（舍），则132a =或5；（2）、若31a =，则22a =或0（舍），则14a =（2020年泰兴）已知数列1}{1=a a n 中，22=a ，当整数1111,2()n n n n S S S S +->+=+时都成立，则=5S ____21_________ 析：51246821S =++++=111()()22n n n n S S S S S +----==即12n n a a +-=（n ≥2），数列{na }从第二项起构成等差数列，51246821S =++++=注：本题由2020江苏卷20题（1）改变而来。

（2020年泰兴）王老师从2020年1月1日开始每年的1月1日到银行新存入a 元（一年定期），若年利率r 保持不变，且每年到期存款及利息均自动转为新的一年定期，到2020年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可以取回 元答案：8(1)(1)a r a r r+-+析：复利问题，本题为等比数列模型。

76(1)(1)(1)a r a r a r ++++++L =7(1)[1(1)]a r r r +-+-=8(1)(1)a r a r r +-+（南师附中最后一卷）已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝3，b 1＝1，a 2＝b 2，3a 5＝b 3，若存在常数u ，v 对任意正整数n 都有a n ＝3log u b n ＋v ，则u ＋v ＝______________． 答案：6（泰州期末）10.在集合{x |2012x∈Z ,x ∈Z } 中取三个不同元素排成一列，使其成等比数列，则此等比数列的公比为 ▲ . 答案：2,21±±（南京三模）13．如图，将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表.已知表中的第一列125,,,a a a L 构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列。