2017年秋季新版北师大版七年级数学上学期第2章、有理数及其运算单元复习导学案3

第二章有理数及其运算第一节有理数【学习目标】1．了解正数与负数是从实际需要中产生的；理解正数与负数的概念，会判断数是正数还是负数；2．会用正负数表示具有相反意义的量，体会数学知识与生活的密切联系；3.在负数概念的形成过程中，培养观察、归纳与概括的能力。

【学习方法】自主学习与合作探究相结合。

【学习重难点】重点：用正负数表示具有相反意义的量。

难点：理解正数与负数的概念，会按要求进行数的分类。

【学习过程】模块一预习反馈一、学习准备1.小学我们学过的数有：自然数，如：_______________;整数，如________________；分数，如：___________________;小数，如：____________________。

2.正数和负数的概念⑴像5，1.2，12，……这样的数叫做，它们都比____大；⑵在正数前面加上“－”号的数叫做，如－10，－3等,它们都比____小；⑶0 既不是，也不是。

0是_______和________的分界点，0是____数，也是____数，也是____数。

3.请同学们阅读教材p23—p25，注意：⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的课后作业和习题.二、教材精读4．用正数和负数表示具有相反意义的量观察下面给出的每一对数量，指出各对数量有什么共同特点。

⑴零上3℃和零下12℃；⑵收入800元和支出500元；⑶增加5kg和减少2kg；⑷水位升高0.5m和降低1.3m通过观察，发现这里给出的每一对数量，都有一个共同的特点：每个语句中都含有一对具有相反意义的量：如“零上”和“”、“收入”和“”、“增加”和“”、“升高”和“”。

归纳：像这样，分别由相反意义的词表示的两个量，就是具有相反意义的量。

为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，用_______数表示，而把与这个量意义相反的量规定为________的，用________数表示。

实践练习：1．气温零上20℃记作：+20℃；那么，气温零下12℃则可记作 ____ .2．如果用+0.07克表示一个篮球质量超出标准质量0.07克，那么一个篮球质量低于标准质量0.05克记作______________.3．某食品包装袋上标有“净含量385克±5克”，这包食品的合格净含量范围是____________克到390克。

第二章有理数及其运算1.理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小.2.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,知道|a|的含义(这里a表示有理数).3.理解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主).4.理解有理数的运算定律,能运用运算律简化计算.5.能运用有理数的运算解决简单的问题.1.在求一个数的相反数和绝对值的过程中,让学生掌握求有理数的相反数和绝对值的方法.2.能按照有理数的运算法则进行有理数的加、减、乘、除及混合运算,掌握计算的方法和技巧.3.能用科学记数法表示数,以及用四舍五入法取近似数,掌握其表示的方法.1.在认识数的过程中,体验知识之间的必然联系,激发学生爱数学、学数学的兴趣.2.培养学生养成认真做题的良好习惯,认识数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.3.在解决问题的过程中,能对问题提出自己的猜想,树立学好数学的信心.对于负数的引入,教材借助生活中的实例,引进负数,让学生在活动中体会数概念的扩张,了解负数的本质意义,然后再指出可以用正负数表示现实生活中具有相反意义的量,使学生感受到负数的引入源自实际生活的需要,体会数学知识与现实世界的联系.就学生的学习而言,负数的概念、意义有一定的抽象性,为什么要引进负数正是学生理解的困难所在.从数学的发展进程来看,数的出现的主要原因更多的是由于对实际现象(事物)“表示”的需要.所以教材遵循历史发展的过程,采用这样的线索展开:产生的实际背景——有理数的意义——数的表示.对于有理数运算法则的获得,教材没有采用直接给出的方式而是设置了丰富的现实背景,如足球比赛中的净胜球数、气温变化等,以直观形象地解释、归纳、探索的方式,寻求有理数运算法则和运算律.如有理数的加法法则,仅仅借助数轴理解,学生会有一定的困难,所以教材先从知识竞赛中的答对题数与答错题数入手,使学生首先理解(+1)+(- 1)=0和(- 1)+(+1)=0,然后利用“正负抵消”的思想,讨论整数加法的几种情形,最后再由特例归纳出有理数的加法法则,并借助数轴加深理解.基于有理数运算的学习重点是对法则和运算律的理解,所以为了避免因为小数、分数运算的复杂性而冲淡学习的重点,有理数的运算以整数运算的学习为出发点,然后过渡到含有小数、分数的运算.【重点】理解有理数的意义,掌握有理数的运算法则和运算律,会用科学记数法表示较大的数.【难点】利用有理数的加、减、乘、除、乘方等运算解决简单的实际问题.1.负数是一个比较抽象的概念.在教学中应该让学生充分了解引入负数的必要性和实际背景,通过生活中具有相反意义的量的讲解,让学生接受负数的概念.2.本章的重点内容是有理数的运算,所以一定要让学生有足够的练习的机会,只有通过一定量的计算实践,才能真正体会并熟练掌握有理数计算的一些技巧.让学生通过计算、观察、猜测、归纳等数学活动,自己总结出有理数的运算律.3.对绝对值概念的学习也要有一个循序渐进的过程,与绝对值相关的知识,如数轴上两点之间的距离的表示、绝对值不等式等,都是在后续学习中要专门安排的,因此这里不要涉及.本章安排绝对值概念,目的是为有理数的运算作准备,会求一个数的绝对值就达到了本章的要求.教材中用字母表示求一个数的绝对值的结论,只是给出一个数的绝对值的符号表示,教学时不要对这个符号表示进行变式训练,更不要在绝对值中出现字母并加以讨论.4.计算器是一个既简便又实用的计算工具,让学生通过实际操作,掌握计算器的基本用法.5.在本章的学习中,要注意数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想的运用.1有理数1课时2数轴1课时3绝对值1课时4有理数的加法2课时5有理数的减法1课时6有理数的加减混合运算3课时7有理数的乘法2课时8有理数的除法1课时9有理数的乘方2课时10科学记数法1课时11有理数的混合运算1课时12用计算器进行运算1课时本章概括整合1课时1有理数1.通过实例理解引入负数的必要性和负数应用的广泛性,理解有理数的含义,体会有理数应用的广泛性.2.能用正数和负数表示具有相反意义的量.3.培养逻辑思维能力,以及按一定规律对事物进行分类整理的能力.会判断一个数是正数还是负数,能应用正负数表示生活中具有相反意义的量,能把有理数合理分类和把具体数正确归类.1.通过实例,使学生深刻体会到有理数和负数的实用性,加深对数的理解.2.让学生体会到数学中的基本概念都来源于实际需要.3.让学生进一步了解学习数学对于解决实际生活中各种问题的必要性,增强学习数学知识的兴趣.【重点】负数的意义、特点及实际应用,有理数的概念,能够对学过的数进行分类.【难点】正确用正、负数表示生活中具有相反意义的量,正确理解有理数的概念,会合理进行有理数的分类和把具体数归类到相应的数集.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P23~24.导入一:师:同学们小学都学过哪些数?生:整数、小数、分数、奇数、偶数……师:原始社会,从打猎记数开始,首先出现自然数,经过漫长岁月,人们用数“0”表示没有,随着人类的不断进步,在丈量土地进行分配时,又用小数使测量结果更加准确,小数也属于分数.那么小学学过的这些数能否满足社会生产生活及数学自身发展的需要呢?[设计意图]通过介绍数的产生与发展,向学生渗透“实践第一”的辩证唯物主义观点,使同学们感到数的每一次发展都是为了满足社会生产与生活的需要,也为讲述有理数概念及其分类做好铺垫.导入二:观察课本P22的图片.珠穆朗玛峰高出海平面8844 m,记作:+8844 m;吐鲁番盆地低于海平面155 m,记作: - 155 m.教师出示图片,并提出问题:1.生活中我们会遇到用负数表示的量,你能说出一些例子吗?2.你在小学的学习中对负数有什么样的认识?3.有了负数,数的运算与过去相比有什么区别和联系?有了负数,能解决哪些实际问题?本章将在小学学习的基础上,进一步学习负数,研究有理数的有关概念及其运算,并利用有理数的知识解决实际问题.[设计意图]通过提供学生熟悉的情境引导学生回顾小学有关负数的知识,三个问题不仅为本节课成功引入,也为本章的学习做了铺垫.学生在对问题的思考与交流中体会负数在生活中的广泛应用,激发了学生学习本章内容的兴趣.(出示课件1)(例题讲解)请同学们完成以下问题,并与同伴交流.某班举行知识竞赛,评分标准是:答对一题加1分,答错一题扣1分,不回答得0分;每个队的基本分均为0分.两个队答题情况如下表:答题情况第一队第二队如果答对题所得的分数用正数表示,那么你能写出每个队答题得分的情况吗?思路一试完成下表:答对题的得分答错题的得分未回答题的得分第一队+6第二队- 2思路二提出思考问题:(1)第一队答对几题?是如何表示的?答错几题?又是如何表示的?(2)第二队答对几题?是如何表示的?答错几题?又是如何表示的?(3)如何理解+6和- 2?(出示课件2)(教材议一议)生活中你见过其他用负数表示的量吗?与同伴进行交流.想一想:根据上面各队分数的计算及2010年全国居民消费价格的上涨情况及温度计上的温度,你能知道正、负数和零的大小关系吗?[处理方式]学生思考交流,完成后再展示说明,学生之间互相补充,教师适时点评.师生总结:“加分与扣分”“上涨量与下跌量”“零上温度与零下温度”等都是具有相反意义的量.为了表示具有相反意义的量,我们把其中一个量规定为正的,用正数来表示,而把与这个意义相反的量规定为负的,用负数来表示.[设计意图]本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,用知识竞赛得分的情境启发学生用正、负数表示相反意义的量.通过练习引导学生举一反三地找出身边可以用正、负数表示的量,从而体会学习负数的必要性.从学生熟悉的情境讨论问题,学生积极参与,在教师的引导下寻找生活实例的过程中充分体会学习负数是生活的需要.探究活动2用正、负数表示生活中具有相反意义的量(出示课件3)(教材例题)(1)某人转动转盘,如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈,那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示?(2)在某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标准质量0.02 g 记作+0.02 g,那么- 0.03 g 表示什么?(3)某大米包装袋上标注着“净含量:10 kg±150 g”,这里的“10 kg±150 g”表示什么?[处理方式]学生先独立思考,再小组交流如何用正、负数表示生活中具有相反意义的量.思路一如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈,那么和逆时针方向具有相反意义的量是,所以沿顺时针方向转了12圈可表示为;一只乒乓球超出标准质量0.02 g记作+0.02 g,那么和超出标准质量具有相反意义的量是,所以- 0.03 g可以表示为;综上所述,“净含量:10 kg±150 g”,这里的“10 kg±150 g”表示.思路二(1)想一想:什么是具有相反意义的量?(2)品一品:如何表示具有相反意义的量?(3)考一考:和逆时针方向具有相反意义的量是,和超出标准质量具有相反意义的量是.【师生活动】学生讨论,教师巡视发现问题,并及时解决.解:(1)沿顺时针方向转了12圈记作- 12圈.(2) - 0.03 g表示乒乓球的质量低于标准质量0.03 g.(3)每袋大米的标准质量应为10 kg,但实际每袋大米可能有150 g的误差,即每袋大米的净含量最多是10 kg+150 g,最少是10 kg - 150 g.反馈练习(出示课件4) (1)在知识竞赛中如果用“+10”表示加10分,那么扣20分记作什么? (2)东、西为两个相反方向,如果 - 4米表示一个物体向西运动4米,那么+2米表示什么?物体原地不动记为什么?(3)某粮库运进面粉7.5吨记作+7.5吨,那么运出3.8吨应记作什么?议一议:你能选定一个高度为标准,用正、负数表示本班每位同学的身高与选定的身高标准的差异吗?你是怎样表示的?与同伴交流.通过例题和练习题的分析,让学生知道用正、负数表示相反意义的量时要明确“基准”.教材例题中各题的基准分别是“转盘静止不动”“一只乒乓球的标准质量”“10 kg ”. “议一议”则联系生活实际让学生学会如何选定“基准”.学生认识当用正、负数表示相反意义的量时要考虑“基准”.“0”是常用的基准,但不是所有的基准都必须为0.探究活动3 有理数的概念及分类1.新的整数、分数概念:引进负数后,数的范围扩大了.过去我们说整数只包括正整数和零,引进负数后,正整数前加上负号的数叫做负整数,因而整数包括正整数、负整数和零,同样分数包括正分数、负分数.整数和分数统称为有理数.(有理数分类结构图如下)有理数{整数{正整数0负整数分数{正分数负分数 2.有理数的分类.问题:为了便于研究某些问题,常常需要将有理数进行分类,需要不同,分类的方法也常常不同,根据有理数的定义可将有理数分成两类:整数和分数.有理数还有没有其他的分类方法呢?待学生思考后,请学生回答、评议、补充.教师小结:按有理数的符号分为三类:正有理数、负有理数和零,并指出,在有理数范围内,正数和零统称为非负数.并向学生强调:对有理数的分类可以根据不同需要,用不同的分类标准,但必须对讨论对象不重不漏地分类.[设计意图] 使学生在原有认知结构的基础上,将数扩充到了有理数的范围.通过练习使学生加深理解有理数的意义.[知识拓展] 对正数和负数的理解要注意以下几点:(1)并不一定必须将某一种量规定为正,若将其中的一种量规定为正,则与其意义相反的量即为负.(2)零既不是正数,也不是负数,这个数十分特殊,随着我们的学习,对于零这个数将有更深刻的认识.(3)负数前面的“一”号,表示这个数的性质,是性质符号,读作“负”号,但正数前面的“+”可以省略.即时巩固将下列各数填入到相应的数集中: - 2015, - 13,14,12, - 513, - 7.3,3,369,0.1,92, - 374.正数集合{ …}; 负数集合{ …}; 正整数集合{ …}; 负整数集合{ …}; 分数集合{ …}; 负分数集合{ …}; 负有理数集合{ …}; 有理数集合{ …}.〔解析〕 小数 - 7.3,0.1都属于分数,369=4不属于分数.(学生口述解答过程,师总结、板演)1.正数与负数都来自于生活实际,用正、负数可以表示实际问题中具有相反意义的量.2.正数前面添上“ - ”号的数是负数;0既不是正数,也不是负数,它表示正、负数的界限.3.有理数的分类方法不是唯一的,可以按整数和分数分成两大类,也可以按正有理数、零、负有理数分成三大类.1.如果将汽车向东行驶3千米记为+3千米,那么记为 - 3千米表示的是 ( )A.向西行驶3千米B.向南行驶3千米C.向北行驶3千米D.向东南方向行驶3千米解析:先根据向东行驶3千米记为+3千米,可确定向西为负,而 - 3千米表示的应是向西行驶3千米.故选A .2.在0,2, - 7, - 513,3.14, - 317, - 3,+0.75中,负数共有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析:在正数的前面加上“ - ”号的数即是负数,本题中的 - 7, - 513, - 317, - 3是负数.故选D .3.飞机上升了 - 80米,实际上是 ( ) A.上升80米 B.下降 - 80米C.先上升80米,再下降80米D.下降80米解析:解题的关键是理解“正”和“负”的相对性,确定一对具有相反意义的量.负号表示与上升意义相反,即下降.故选D .4.举一个能用正数、负数表示生活中的量的实例,并解释其中相关数量的含义.解:本题答案不唯一,只要满足题意即可,如:河道中第一天的水位是 - 0.2米,第二天的水位是+0.3米,其中 - 0.2米表示比正常水位低0.2米,+0.3米表示比正常水位高0.3米.1有理数1.认识生活中的负数.2.用正、负数表示生活中具有相反意义的量.3.有理数的概念及分类.一、教材作业【必做题】教材第26页习题2.1的2,3题.【选做题】教材第26页习题2.1的4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.下列结论中正确的是()A.0既是正数,又是负数B.0是最小的正数C.0是最大的负数D.0既不是正数,也不是负数2.向东运动记作“+”,向西运动记作“- ”,下列说法正确的是()A. - 5米表示向东运动了5米B.向西运动5米表示向东运动了- 5米C.+5米表示向西运动了5米D.向西运动5米也可以记作向西运动- 5米3.武汉市夏季气温比较高,若以30 ℃为标准,高出标准的为正,低于标准的为负,则38 ℃与28 ℃分别记作()A.+8 ℃- 2 ℃B.+8 ℃+2 ℃C. - 8 ℃- 2 ℃D. - 8 ℃+2 ℃4.某药品说明书上标明药品保存的温度是(20±2)℃,该药品在温度范围内保存才合适.5.请指出下列各数中哪些是正数,哪些是负数.- 18,+227,3.1416,0.2011, - 35, - 0.1010…, - π, - 2,99%.【能力提升】6.如果海平面的高度为0 m,一潜水艇在海平面以下40 m处航行,一条鲨鱼在潜水艇上方10 m 处游动,试用正、负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度.7.用正数和负数表示下列具有相反意义的量.(1)钟表的指针逆时针方向旋转20°记作- 20°,顺时针方向旋转30°记作;(2)运进200箱记作,运出150箱记作- 150箱.【拓展探究】8.某日小明在一条南北方向的公路上跑步,他从A地出发,如果把向北跑1100 m记作- 1100 m,那么他向北跑1100 m时向后转又继续跑了1200 m是什么意思?这时他停下来休息,此时他在A地的什么方向?距A地多远?【答案与解析】1.D(解析:根据0既不是正数,也不是负数,可以判断A,B,C都错误,D正确.故选D.)2.B(解析:A. - 5米表示向西运动了5米,故A错误;C.+5米表示向东运动了5米,故C错误;D.向西运动5米记为- 5米,故D错误.故选B.)3.A (解析:因为以30 ℃为标准,高出标准的为正,低于标准的为负,所以38 ℃与28 ℃分别记作:+8 ℃, - 2 ℃.故选A.)4.18~22 ℃(解析:温度是20 ℃±2 ℃,表示最低温度是20 ℃- 2 ℃=18 ℃,最高温度是20 ℃+2 ℃=22 ℃,即18~22 ℃之间是合适温度.)5.解:正数有:+227,3.1416,0.2011,99%;负数有: - 18, - 35, - 0.1010…, - π, - 2.6.解:因为海平面的高度为0 m,所以低于海平面的高度为负数,由于潜水艇和鲨鱼的高度都在海平面的下方,故分别为- 40 m和- 30 m.7.(1)+30°(2)+200箱8.解:如果把向北跑1100 m 记作 - 1100 m ,那么他向北跑1100 m 时向后转又继续跑了1200 m ,说明小明又向南跑了1200 m ,此时他在A 地的南边,距A 地的距离=1200 - 1100=100(m ).本节课从学生较熟悉的珠穆朗玛峰、气温开始,接下来从具体问题情境出发,使学生感受到现有的数确实不够用了,唤起学生的好奇心和求知欲,然后引出负数、正数和零的概念和实际意义,接着引导学生回顾、总结学过的数,告诉学生有理数的意义,和学生一起探讨有理数的分类,这样学生易于接受,在学习过程中,学生经历了观察、比较、归纳、总结,学会了研究问题、解决问题的方法,加深了对所学知识的理解,完成了从数不够用到数可以表示具有相反意义的量的成长过程。

有理数的加减讲义1.掌握有理数加法运算法则和计算题；2.掌握有理数减法运算法则和计算题；3.掌握有理数加减混合运算的计算技巧.1．（1）加法法则①同号相加,取相同符号,并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数加减,取___________的符号,并用较大的绝对值________较小的绝对值.③一个数同0相加,仍得这个数.④_______相加结果一定得0。

（2）交换律和结合律有理数的加法同样拥有交换律和结合律(和整数得交换律和结合律一样)用字母表示为： 交换律：a+b=b+a结合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)2.运算要点：(1)同号相加符号不变,异号相加变减.欲问符号怎么定,绝对值大号选。

(2)在进行有理数加法运算时，一般采取：1.互为相反数的先加（抵消）；2.同号的先加；3.同分母的先加；4.能凑整数的先加;5.异分母分数相加,先通分,再计算。

3.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的________。

其中：两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数。

一不变：被减数不变。

可以表示成： a －b ＝a ＋（－b ）。

参考答案：1.（1）绝对值较大,减去,相反数3.相反数1.有理数加法【例1】用“<”号或“>”号填空：(1)若0,0>>n m ,则0________n m +；(2)若0,0<<n m ,则0________n m +；(3)若0,0<>n m ,且n m >,则0________n m +；(4)若0,0><n m ,且n m >,则0________n m +.【解析】考查有理数的加法法则。

【答案】(1) > (2) < (3) > (4)<【例2】(-25)+34+156+(-65)【解析】根据有理数加法法则和加法交换律即可算出结果。

【答案】解：(-25)+34+156+(-65)=（-25）+（-65）+（34+156）=-90+190=100练习1．不改变原式子的值，将6−(+3)−(−7)+(−2)中的减法改成加法并写成省略加号的和应是( )A ．−6−3+7−2B ．6−3−7−2C ．6−3+7−2D ．6+3−7−2【答案】C练习2．38+（－22）+（+62）+（－78）【答案】0练习3．（－8.25）+8.25+（－0.25）+（－5.75）+（－7.5）【答案】-13.5练习4.（－8）+47+18+（－27）【答案】302.有理数的减法【例3】 (－20)－(+5)－(－5)－(－12)【解析】根据减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，即可求出答案。

北师大版七年级数学上册第二章知识点整理北师大版七年级数学上册第二章知识点整理七年级上册第二章有理数及其运算1.有理数:有理数=整数+分数(包括有限小数+无限循环小数)整数=正整数+0+负整数分数=正分数+负分数有理数=正有理数+0+负有理数正有理数=正整数+正分数负有理数=负整数+负分数l 正数的概念：数轴上0右边的数即比0大的数叫正数，形如+1，+0.5，+10.1，0.001…l 负数的概念：数轴上0左边的数，形如-3，-0.2，-100…（负号不能省略）. l 0既不是正数也不是负数，0是整数也是偶数.① 正负数的表示方法：盈利，亏损；足球比赛胜，负；收入，支出；提高，降低；上升，下降；② 不投入不支出，不盈也不亏，海平面的海拔，某一个标准或基准….用0表示；2.数轴：概念：规定了原点，正方向和单位长度的直线数轴是一条可以向两端无限延伸的直线，数轴有三要素：原点，正方向，单位长度；画法：首先画一条直线；在这条直线上任取一点，作为原点；再确定正方向，一般规定向右为正，画上箭头，反方向为负方向；最后选取适应的长度作为单位长度；数轴上的点与有理数的关系：任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示。

有理数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大，正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.3. 相反数：（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数（在数轴上互为相反数的两点位于原点两侧，并且到原点的距离相等），0的相反数是0；a,b互为相反数 a+b=0;（2）求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即得原数的相反数，当原数是多个数的和差时，要用括号括起来再添“-”；下面的a,b即可以是数字，字母，也可以是代数式；（3）一般地，数a的相反数是-a,这里的a表示任意一个数，可以是正数、负数、0.4. 绝对值：（1）几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；（2）代数定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的两个数的绝对值相等.（3）对于任何有理数a，都有a的绝对值≥0 ,即绝对值非负性；若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数同时为0；（4）比较两个负数，绝对值大的反而小；5.倒数：（1）乘积为1的两个数互为倒数，所以数a(a≠0) 的倒数是 1/a，0没有倒数；（2）求一个整数的倒数，写成这个整数分之一；求一个小数的倒数，先将其化成分数，再求其倒数；求一个带分数的倒数，先将其化为假分数，再求出倒数.（3）用1除以一个非0数，商就是这个数的倒数.6. 有理数的四则运算：⑴ 加法法则：① 同号两数相加，符号不变，把绝对值相加；② 异号两数相加，绝对值相等时（即互为相反数的两个数）相加得0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③ 一个数同0相加，仍得这个数；有理数加法运算律：交换律和结合律（互为相反数的可先相加；相加可得整数的可先相加；同分母的分数可先相加；符号相同的可先相加；易于通分的可先相加）.⑵ 减法法则：① 减去一个数，等于加上这个数的相反数，依据加法法则② 加减混合运算，通过减法法则将减法转化为加法，统一成只含有加法运算的和式；减法没有交换律.⑶ 乘法法则：① 两数相乘，同号得正，异号得负，把绝对值相乘；② 任何数同0相乘，得0；（另外1乘任何数都等于这个数本身；-1乘以任何数都等于这个数的相反数.）③ 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负；当负因数的个数是偶数时，积为正.乘法的运算律：交换律、结合律、乘法对加法的分配律.⑷ 除法法则：① 两数相除，同号得正，异号得负，把绝对值相除；② 0除以任何非0的数都得0.③ 除以一个数，等于乘上这个数的倒数，即 .⑸ 乘方：① 求几个相同因数积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂；，表示n个相同因数乘积的运算；② 负数乘方要用括号括起来；分数乘方要用括号括起来；当指数是1时，可省略不写；③ 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（奇次幂 2n+1,2n-1; 偶次幂 2n）；0的正整数次幂都是0.⑹ 混合运算：① 从左到右的顺序进行；② 先乘方，再乘除，后加减；如有括号，应先算括号里面的；7. 科学记数法（1）把一个大于10的数表示成的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数,它的值等于原数的整数位数减1，），这种记数方法叫科学记数法；（2）准确数与近似数：与实际完全相符的数是准确数；与实际相接近的数是近似数；（3）精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示；一般地，把一个数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到了那一位；所以，精确度是描述一个近似数的近似程度的量；（4）有效数字：在近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；一共包含的数字的个数，叫做有效数字的个数；。

北师大版七年级数学上册第二章《有理数及其运算》全部导学案课题：2.1数怎么不够用了一、教师寄语：知识改变命运，拼搏成就人生。

二、学习目标：1、知识与技能：借助生活中的实例理解有理数的意义，会判断一个数是正数还是负数，能应用正负数表示生活中具有相反意义的量，会将有理数正确分类。

2、过程与方法：（1）、体会负数引入的必要性，感受有理数应用的广泛性，并领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的联系。

（2）、能结合具体情境出现并提出数学问题，并解释结果的合理性。

3、情感态度与价值观：乐于接触社会环境中的数学信息，愿意谈论数学话题，在数学活动中发挥积极作用。

三、学习过程：（一）、创设情境：某班举行知识竞赛，评分标准是答对一题加10分，答错一题扣10分，不回答得0分，每个队的基本分均为0分，四个队的答题情况见课本37页。

（二）、自主学习：探究一：什么是正负数。

1、你能把每个队的最后得分计算出来吗？2、第一队与第四队的得分相同吗？如何区分呢？3、自学课本38页并完成下表：4、上面出现了一些带“—”的数，生活中你见过这样的数吗？5、小组共同学习课本39页。

议一议6、你能再举出生活中的其他实例吗。

（三）、合作交流：1、通过上面的学习你知道什么样的数是正数，什么样的数是负数了吗？0是正数啊还是负数？你能给它们下一个定义吗？2、通过学习你能理解负数引入的必要性吗？归纳总结：1、正数：2、负数：3、零：（四）、例题解析：探究二.探究正负数的意义。

（1）如果上升20m记作+20m，那么下降10m记作＿＿m.（2）高出海平面50m记作+50m，那么-20m表示＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：我们规定上升和高出海平面为正，那么下降记作“负”。

表示为负数的则代表相反意义的量。

4、正负数有什么意义：5、你还能举出生活中的其他的具有相反意义的量吗探究三。

探究什么是有理数？怎样将有理数分类？1、到目前为止你都是学过哪些数？你能举出一些例子吗？2、你能将我们学过的这些数正确的分类吗？小组合作交流。

新北师大版七年级数学上册第二章导学案：有理数及其运算知识点8：有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

1. 9-(-5)=14, -3-1=-4, 0-8=-8, -5-0=-5, 45-(-45)=90, (+3)-(+2)=1, (-3)-(-2)=-12. 对于有理数的加减混合运算，可以将减法变成加法，将减数变成其相反数，然后按照加法运算的步骤进行计算。

例如：-18+12-15+18+6+3-31-28+69+2816-29+7-11+9。

3. 对于有理数的乘法法则，两数相乘同号得正，异号得负，并将绝对值相乘。

如果有多个有理数相乘，积的符号由其中负数的个数决定，再将绝对值相乘。

例如：2/3×0.2=-4/15, 12×(-3)=-36, (-1.2)×(-3)=3.6, (-8/3)×(-1/2)=4/3, (-7/6)×0=0, (-4)×8×(-0.25)=8, (-3/5)×(-25/6)×(-2)=25/4, 7/3×(-5)×(-8/7)=40.4. 倒数的定义是，如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数。

例如，7的倒数是1/7，-3的倒数是-1/3，-8/7的倒数是-7/8，0.2的倒数是5。

5. 对于有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数。

两数相除，同号得正，异号得负，并将绝对值相除。

除以任何一个非零数都得有限小数。

例如，194÷(-2.5)=-77.6, (-10)÷(-8)=5/4, (-0.25)÷(-4.5)=1/18, (-4.5)÷(-2)=-2.25, (-5)÷100=-0.05。

6. 乘方是指将一个数连乘若干次的运算，其中底数表示被连乘的数，指数表示连乘的次数。

正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数。

《有理数及其运算》全章复习与巩固【学习目标】1．理解有理数及其运算的意义，提高运算能力．2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值．3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题．4．会用科学记数法表示数．【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．π--a要点二、有理数的运算1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a ÷b=a ·(b ≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ；（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，1b2(3)9-=3(3)27-=-正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．【典型例题】 类型一、有理数相关概念1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．【答案】（1）0； (2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全．【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念．举一反三：【变式】(1)的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ． -（-8）的相反数是 ；的相反数的倒数是_____. (2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5．8元的意义是 _ ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 ．(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km ，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m ／min ．(4) 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则____ ． 【答案】（1）； ； ；-8；2 （2）降价5．8元，70．2 元；（3）；（4）3； 10na ⨯10a <n 5210⨯321-321-321-21-=++)(323b a cd 35-21321333.7510⨯2．（2018•杭州模拟）已知|x|=|﹣3|，则x 的值为 ． 【思路点拨】根据题意可知|x|=3，由绝对值的性质，即可推出x=±3． 【答案】±3．【解析】解：∵|﹣3|=3，∴|x|=3，∵|±3|=3，∴x=±3．【总结升华】本题主要考查绝对值的性质，关键在于求出3和﹣3的绝对值都为3． 3．在下列两数之间填上适当的不等号：________． 【思路点拨】根据“a-b ＞0，a-b ＝0，a-b ＜0分别得到a ＞b ，a ＝b ，a ＜b ”来比较两数的大小．【答案】 ＜【解析】解法一：作差法由于，所以 解法二：倒数比较法：因为所以 【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用．200520062006200720052006200520072006200610200620072006200720062007⨯-⨯-==-<⨯⨯2005200620062007<2006112007112005200520062006=+>+=2005200620062007<举一反三：【变式】（2018•宁德）有理数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）A ．a+b ＜0B ． a ﹣b ＜0C ． a•b＞0D ． ＞0【答案】B ． 类型二、有理数的运算4．（2019•厦门）计算：．【思路点拨】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．【答案与解析】解：原式=10+8×﹣2×5=10+2﹣10=2．【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．举一反三：【变式】计算：（1） （2）【答案】解：（1） （2）11(2)(2)22-⨯÷⨯-()20064261031-+--⨯-111(2)(2)(1)(2)(1)2(2)4222-⨯÷⨯-=-÷⨯-=-⨯⨯-=()20064261031-+--⨯-=-16+4-3×1=-15类型三、数学思想在本章中的应用5．（1）数形结合思想：有理数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，-a ，1的大小关系．A ．-a ＜a ＜1B ．1＜-a ＜aC ．1＜-a ＜aD ．a ＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y 的值．（3）转化思想：计算： 【答案与解析】解：（1）将-a 在数轴上标出，如图所示，得到a ＜1＜-a ，所以大小关系为：a ＜1＜-a ． 所以正确选项为：D ．（2）因为| x|＝5，所以x 为-5或5因为|y|＝3，所以y 为3或-3．当x ＝5，y ＝3时，x-y ＝5-3＝2当x ＝5，y ＝-3时，x-y ＝5-(-3)＝8当x ＝-5，y ＝3时，x-y ＝-5-3＝-8当x ＝-5，y ＝-3时，x-y ＝-5-(-3)＝-23135()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭故（x-y ）的值为±2或±8（3）原式= 【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．举一反三：【变式】若a 是有理数，|a|-a 能不能是负数?为什么?【答案】解： 当a ＞0时，|a|-a ＝a-a ＝0；当a ＝0时，|a|-a ＝0-0＝0；当a ＜0时，|a|-a ＝-a-a ＝-2a ＞0．所以，对于任何有理数a ，|a|-a 都不会是负数．类型四、规律探索6．将1，，，，，，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．【答案】 33135(7)357724614142⎛⎫--⨯-=⨯+⨯= ⎪⎝⎭12-1314-1516-1200-【解析】 认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是． 【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．【巩固练习】一、选择题1．（2019•益阳）的相反数是（ ）A ．2019B ．﹣2019C ．D ．2.（2018•菏泽）如图，四个有理数在数轴上的对应点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）A ．点MB ． 点NC ． 点PD ． 点Q3． 在-(-2)，-|-7|，-|+1|，|-)511(-|32+，中，负数的个数是 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个４．据有关资料显示，2011年遵义市全年财政总收入202亿元，将202亿用科学记数法可表示（ ）A ．2.02×210人B ．202×810人C ．2.02×910人D ．2.02×1010人5．若-1<a<0,则a ，2a ,a1从小到大排列正确的是（ ） A ．a 2<a<a 1 B ．a <a 1< a 2 C ．a 1<a< a 2 D ．a < a 2 <a1 12101210-1200-6．在数轴上距2.5有3.5个单位长度的点所表示的数是( )A ．6B ．-6C ．-1D ．-1或67．a,b 两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（ ）A ． a+b>0B ． ab>0C ．ba >0 D ．a-b>0 8．已知有理数a ，b 在数轴上对应的两点分别是A ，B ．请你将具体数值代入a ，b ，充分实验验证：对于任意有理数a ，b ，计算A ， B 两点之间的距离正确的公式一定是（ ）A ．a b -B ．||||a b +C ．||||a b -D ．||a b -二、 填空题9.（2018•湖州）计算：23×（）2= ．10.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录为：(规定向上为正，向下为负，单位：厘米)+3，0，-1，+5，-4，+2，-3，-2，那么这里0的含义是___________.11．德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102 000 000 000 000千米，用科学记数法表示出暗星到地球的距离为___ _____千米．12．7=x ，则______=x ； 7=-x ，则______=x . 13．已知实数a , 在数轴上如下图所示，则|1|-a = .14．若|a-2|+|b+3|=0，则3a+2b= ．15．()221---＝ ．16．（2019春•江苏校级期末）观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…你从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：32019的个位数字是 ．三、 解答题17．计算：（1）222172(3)(6)3⎛⎫-+⨯-+-÷- ⎪⎝⎭ （2）4211(10.5)[2(3)]3---⨯⨯--（3）21-49.5+10.2-2-3.5+19 （4）323233351914321251943252⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18．已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，且x 的绝对值为3，求2x 2-(ab-c-d)+|ab+3|的值．19.（2018•顺义区一模）居民用电计费实行“一户一表”政策，以年为周期执行阶梯电价，即：一户居民全年不超过2880度的电量，执行第一档电价标准为0.48元/度；全年用电量在2880度到4800度之间（含4800），超过2880度的部分，执行第二档电价标准为0.53元/度；全年用电量超过4800度，超过4800度的部分，执行第三档电价标准为0.78元/度．小敏家2018年用电量为3000度，则2018年小敏家电费为多少元？20．先观察下列各式： 11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；...；1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，根据以上观察，计算：1111447710+++⨯⨯⨯ (120052008)+⨯的值． 【答案与解析】一、选择题1．【答案】C【解析】解：∵﹣与只有符号不同，∴﹣的相反数是．故选：C ．【解析】∵点M ，N 表示的有理数互为相反数. ∴原点的位置大约在O 点，∴绝对值最小的数的点是P 点，故选C ．3．【答案】 C【解析】负数有三个，分别是：-|-7|，-|+1|，)511(-+4．【答案】D5．【答案】C 【解析】由-1<a<0可知2a 为正数，而其它两数均为负数，且| a |＜a 1，所以a ＞a1，所以a1<a< a 2． 6．【答案】D【解析】2.5+3.5=6, 2.5-3.5=-17．【答案】D【解析】由图可知，a 、b 异号，且b 的绝对值较大．8.【答案】D【解析】按正负对a ，b 分类讨论．二、填空题9.【答案】2.【解析】23×（）2=8×=2.10．【答案】水位无变化11．【答案】1.02×101412．【答案】7,7±±【解析】由图可知：a-1＜0，所以│a-1│=-（a-1）=1- a14．【答案】0【解析】∵|a-2|+|b+3|=0，∴a-2=0，b+3=0，即a=2，b=-3．∴3a+2b=6-6=0；15．【答案】-5【解析】()221415---=--=-16．【答案】1【解析】解：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，……，∵2019÷4=504，∴32019的个位数字与第4个数的个数数相同，是1．故答案为：1．三、解答题17．【解析】解： (1) 原式1 4929(6)9 =-+⨯+-÷4918(6)949185485 =-++-⨯=-+-=-(2) 原式1111115 11[2(9)]11112 232366⎛⎫=---⨯⨯--=--⨯⨯=--=- ⎪⎝⎭（3）原式＝[(21+19)+10.2]+[(-49.5-3.5)-2]＝50.2-55＝-4.8(4) 原式＝322 33519422519435⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2794319162700 8251943258⎛⎫=-⨯-⨯+=-⨯=⎪⎝⎭18．【解析】解：将ab＝1，c+d＝0，|x|＝3代入所给式子中得： 2×32-1+|1+3|＝21．所以2x2-(ab-c-d)+|ab+3|=2119.【解析】解：根据题意得：2880×0.48+（3000﹣2880）×0.53=1446（元），则2018年小敏家电费为1446元．20．【解析】解：原式11111111111 1343473710320052008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…111111111344771020052008⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪⎝⎭1113200812007320086692008⎛⎫=-⎪⎝⎭=⨯=。

有理数及其运算 专训一：有理数的比较大小的方法名师点金：有理数大小的比较需要根据有理数的特征灵活地选择适当的方法，除了常规的比较大小的方法外，还有几种特殊的方法：作差法、作商法、找中间量法、倒数法、变形法、数轴法、特殊值法、分类讨论法等.利用作差法比较大小1731和5293的大小.利用作商法比较大小2.比较－172 016和－344 071的大小.找中间量比较大小1 0072 016与1 0092 017的大小.利用倒数法比较大小1111 111和1 11111 111的大小.利用变形法比较大小5.比较－2 0142 015，－1415，－2 0152 016，－1516的大小.6.比较－623，－417，－311，－1247的大小.利用数轴比较大小7.已知a ＞0，b ＜0，且|b|＜a ，试比较a ，－a ，b ，－b 的大小.运用特殊值法比较大小8.已知a ，b 是有理数，且a ，b 异号，则|a ＋b|，|a －b|，|a|＋|b|的大小关系为________________________________________________________________________.利用分类讨论法比较大小a 3的大小.专训二：有理数中的六种易错类型对有理数有关概念理解不清造成错误1.下列说法正确的是（ ）A .最小的正整数是0B .－a 是负数C .符号不同的两个数互为相反数D .－a 的相反数是a2.已知|a|＝7，则a ＝Ｗ.误认为|a|＝a ，忽略对字母a 分情况讨论3.如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是（）A .负数B .负数或零C .正数或零D .正数4.已知a ＝8，|a|＝|b|，则b 的值等于（ ）A .8B .－8C .0D .±8对括号使用不当导致错误5.计算：－7－5.6.计算：2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋14－12.忽略或不清楚运算顺序7.计算：3×42＋43÷2.8.计算：－81÷94×49÷（－16）.混淆－a n 与（－a ）n的意义9.计算－24正确的是（ ） A .8 B .－8 C .16 D .－1610.计算：－24÷（－2）2＋2×（－2）3.乘法运算中确定符号与加法运算中的符号规律相混淆 11.计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫－214×⎝ ⎛⎭⎪⎫－345.12.计算：－36×⎝ ⎛⎭⎪⎫712－56－1.除法没有分配律13.计算：24÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13－18－16.专训三：有理数中的几种热门考点名师点金：本章主要学习了有理数的定义及其相关概念，有理数的运算，科学记数法与近似数等.本章内容是中考的基本考查内容之一，命题形式多以选择题和简单的计算题为主，注重对基础知识和基本技能的考查.有理数的定义、分类 1.在下列各数中：＋6，－8.25，－0.49，－23，－18，负有理数有（ ） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个相反数、倒数、绝对值2.（1）化简下列各式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝；|＋（－3）|＝；－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝Ｗ. （2）－5的相反数是；－13的绝对值是；54的倒数是Ｗ. 3.式子|m －3|＋5的值随m 的变化而变化，当m ＝时，|m －3|＋5有最小值，最小值是Ｗ.4.已知a ，b 分别是两个不同的点A ，B 所表示的有理数，且|a|＝5，|b|＝2，它们在数轴上的位置如图所示.（1）试确定数a ，b.（2）表示a ，b 两数的点相距多远？（3）若C 点在数轴上，C 点到B 点的距离是C 点到A 点距离的13，求C 点表示的数.（第4题）有理数的大小比较5.（中考·莱芜）在－12，－13，－2，－1这四个数中，最大的数是（ ） A .－12B .－13C .－2 D .－16.如图，数轴上A ，B 两点分别对应有理数a ，b ，则下列结论正确的是（）（第6题）A .a ＜bB .a ＋b ＜0C .a －b ＞0D .ab ＞0有理数的运算7.下列等式成立的是（ ）A .|－2|＝2B .－（－1）＝－1C .1÷（－3）＝13D .－2×3＝614是3，其中三个数分别是－10，＋8，－6，则第四个数是（ ）A .＋8B .－8C .＋20D .＋119.计算下列各题：（1）17－23÷（－2）×3；（2）2×（－5）＋23－3÷12；（3）10＋8÷（－2）2－（－4）×（－3）；（4）（－24）÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＋512×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－（0.5）2.非负数性质的应用10.当a 为有理数，下列说法中正确的是（ ）A .⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12 0162为正数 B .－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12 0162为负数 C .a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 0162为正数 D .a 2＋12 016为正数 11.若|a ＋1|＋（b －2）2＝0，求（a ＋b ）9＋a 6的值.科学记数法的应用12.（2015·某某）今年5月，在某某举行的世界机场城市大会上，某某新机场规划蓝图首次亮相.新机场建成后，某某将成为继、某某之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照远期规划，新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万m 2.用科学记数法表示126万为（ ） A .126×104B .1.26×105C .1.26×106D .1.26×10713.若一个数等于5.8×1021，则这个数的整数位数是（ ） A .20 B .21 C .22 D .23 14.把390 000用科学记数法表示为，用科学记数法表示的数5.16×104的原数是Ｗ.15.（2015·资阳）太阳的半径约为696 000 km ，用科学记数法表示为Ｗ.数学思想方法的应用类型1 数形结合思想16.如图，数轴上的A ，B ，C 三点所表示的数分别为a ，b ，c.根据图中各点位置，下列式子正确的是（ ）（第16题）A .（a －1）（b －1）＞0B .（b －1）（c －1）＞0C .（a ＋1）（b ＋1）＜0D .（b ＋1）（c ＋1）＜0类型2 转化思想17.下列各式可以写成a －b ＋c 的是（ ）A .a －（＋b ）－（＋c ）B .a －（＋b ）－（－c ）C .a ＋（－b ）＋（－c ）D .a ＋（－b ）－（＋c ）18.计算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤113－⎝ ⎛⎭⎪⎫－234÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－712.类型3 分类讨论思想19.比较2a 与－2a 的大小.有理数中的探究与创新20.（2015·某某）一组数1，1，2，x ，5，y ，…，满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y 表示的数为（ ）A .8B .9C .13D .1521.（2015·某某）按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x ，y ，z 表示这列数中的连续三个数，猜测x ，y ，z 满足的关系式是Ｗ.22.（2015·某某）观察下列一组数：13，25，37，49，511，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是Ｗ.23.（2015·某某）填在下面各正方形（如图）中的四个数之间都有一定的规律，据此规律得出a ＋b ＋c ＝Ｗ. （第23题）24.如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30 min 便由1个分裂成2个.（第24题）根据此规律求：（1）这样的一个细胞经过第四个30 min 后可分裂成多少个细胞？（2）这样的一个细胞经过3 h 后可分裂成多少个细胞？（3）这样的一个细胞经过n （n 为正整数）h 后可分裂成多少个细胞？答案专训一1．解：因为5293－1731＝5293－5193＝193＞0，所以5293＞1731. 点拨：当比较的两个数的大小非常接近，无法直接比较大小时，作差法是常采用的方法．2．解：因为172 016÷344 071＝172 016×4 07134＝1 3571 344＞1，所以172 016＞344 071，所以－172 016＜－344 071. 点拨：(1)作商法是比较两个数大小的常用方法，当比较的两个正分数作商易约分时，作商比较往往能起到事半功倍的效果．(2)当这两个数是负数时，可先分别求出它们的绝对值，再作商比较它们绝对值的大小，最后根据绝对值大的反而小下结论．3．解：因为1 0072 016＜12，1 0092 017＞12， 所以1 0072 016＜1 0092 017. 点拨：对于类似的两数的大小比较，我们可以引入一个中间量，分别比较它们与中间量的大小，从而得出问题的答案．4．解：1111 111的倒数是101111，1 11111 111的倒数是1011 111，因为101111＞1011 111，所以1111 111＜1 11111 111. 点拨：利用倒数法比较两个正数的大小时，需先求出其倒数，再根据倒数大的反而小，从而确定这两个数的大小．5．解：每个分数都加1，分别得12 015，115，12 016，116. 因为12 016＜12 015＜116＜115， 所以－2 0152 016＜－2 0142 015＜－1516＜－1415. 点拨：本题直接比较很困难，但通过把这些数适当变形，再进行比较就简单多了．6．解：因为－623＝－1246，－417＝－1251，－311＝－1244，－1244＜－1246＜－1247＜－1251，所以－311＜－623＜－1247＜－417. 点拨：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较．7．解：把a ，－a ，b ，－b 在数轴上表示出来，如图所示，根据数轴可得－a ＜b ＜－b ＜a.(第7题)点拨：本题运用了数轴法比较有理数的大小，在数轴上找出这几个数对应的点的大致位置，即可作出判断．8．|a ＋b|＜|a －b|＝|a|＋|b|点拨：已知a ，b 异号，不妨取a ＝2，b ＝－1或a ＝－1，b ＝2.当a ＝2，b ＝－1时，|a ＋b|＝|2＋(－1)|＝1，|a －b|＝|2－(－1)|＝3，|a|＋|b|＝|2|＋|－1|＝3；当a ＝－1，b ＝2时，|a ＋b|＝|(－1)＋2|＝1，|a －b|＝|－1－2|＝3，|a|＋|b|＝|－1|＋|2|＝3.所以|a ＋b|＜|a －b|＝|a|＋|b|.方法总结：本题运用特殊值法解题，取特殊值时要注意所取的值既要符合题目条件又要考虑可能出现的多种情况，以本题为例，可以分为a 正、b 负和a 负、b 正两种情况．9．解：分三种情况讨论：①当a ＞0时，a ＞a 3； ②当a ＝0时，a ＝a 3； ③当a ＜0时，|a|＞|a 3|，则a ＜a 3.专训二1．D 2.±7 3.C4．D 点拨：因为|a|＝|b|＝8，所以b ＝±8.5．解：原式＝－7＋(－5)＝－12.6．解：原式＝2＋15－14＋12＝2920. 7．解：原式＝3×16＋64÷2＝48＋32＝80.8．解：原式＝－81×49×49×(－116)＝1. 点拨：本题易出现“原式＝－81÷1÷(－16)＝8116”的错误． 9．D10．解：原式＝－16÷4＋2×(－8)＝－20.11．解：原式＝(－94)×(－195)＝17120. 点拨：解本题时常常会出现乘法运算中积的符号的确定与加法运算中和的符号的确定相混淆的错误．如：(－214)×(－345)＝－(94×195)＝－17120. 12．解：原式＝－36×712－(－36)×56－(－36)×1 ＝－21＋30＋36＝45.13．解：原式＝24÷⎝⎛⎭⎪⎫824－324－424 ＝24÷124＝576.点拨：解本题时往往会出现将乘法分配律运用到除法运算中，从而出现“原式＝24÷13－24÷18－24÷16＝72－192－144＝－264”这样的错误．专训三1．D2．(1)12；3；－35 (2)5；13；453．3；54．解：(1)因为|a|＝5，|b|＝2，所以a ＝±5，b ＝±2.由数轴可知a ＜b ＜0，所以a ＝－5，b ＝－2.(2)相距3.(3)C 点表示的数为－12或－234. 5．B 6.C 7.A 8.C9．解：(1)原式＝17－8÷(－2)×3＝17－(－12)＝29.(2)原式＝－10＋8－6＝－8.(3)原式＝10＋8÷4－12＝0.(4)原式＝(－16)×964＋112×(－16)－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1112－14＝－4112. 10．D11．解：由题意得a ＋1＝0，b －2＝0，所以a ＝－1，b ＝2.所以(a ＋b)9＋a 6＝[(－1)＋2]9＋(－1)6＝2.12．C 13.C14．3.9×105；51 60015．6.96×105km16．D 17.B 18．解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤113－⎝ ⎛⎭⎪⎫－234×⎝ ⎛⎭⎪⎫－127＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫－127－⎝ ⎛⎭⎪⎫－114×⎝ ⎛⎭⎪⎫－127＝－167－337＝－7.19．解：当a ＜0时，2a ＜－2a ；当a ＝0时，2a ＝－2a ；当a ＞0时，2a ＞－2a.20．A 点拨：根据从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和，可得x ＝1＋2＝3，y ＝x ＋5＝3＋5＝8，故选A .21．xy ＝z 点拨：由规律可得连续的三个数2a ，2b ，2c 应满足2a ·2b ＝2c，故xy ＝z.22.1021点拨：从这组数可以看出，这组数的分子是从1开始，逐次增加1的自然数，分母是分子的2倍加1，即第n 个数是n 2n ＋1，所以第10个数是102×10＋1＝1021. 23．110 点拨：根据前三个正方形中的数字规律可知：c 所处的位置上的数是连续的奇数，所以c ＝9，而a 所处的位置上的数是连续的偶数，所以a ＝10，而b ＝ac ＋1＝10×9＋1＝91，所以a ＋b ＋c ＝10＋91＋9＝110.24．解：(1)一个细胞经过第四个30 min 后可分裂成16个细胞．(2)一个细胞经过3 h 后可分裂成64个细胞．(3)一个细胞经过n(n 为正整数) h 后可分裂成22n 个细胞．。

北师大版七年级数学上册教案-第二章-有理数及其运算一、教学目标1.理解有理数的概念，能够正确表示正数和负数。

2.学会有理数的加法、减法、乘法和除法运算，掌握运算律。

3.能够运用有理数解决实际问题。

二、教学重点与难点1.教学重点：有理数的概念，有理数的加法、减法、乘法和除法运算。

2.教学难点：有理数的乘法和除法运算，以及混合运算中的符号法则。

三、教学过程第一课时：有理数的概念及加减法运算一、导入1.回顾小学阶段学习的自然数、整数、分数的概念。

2.提问：在日常生活中，我们经常遇到正数和负数，谁能举例说明？二、新课讲解1.引入有理数的概念：整数和分数统称为有理数，有理数包括正有理数、零和负有理数。

2.讲解正数和负数的表示方法：在数字前面加上“+”或“-”号，分别表示正数和负数。

3.讲解有理数的加法和减法运算：a.加法法则：同号相加，异号相减。

b.减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

三、案例分析1.出示案例：2+3,-5(-2),472.学生分组讨论，尝试运用所学知识解决问题。

四、课堂练习1.学生独立完成课后习题。

2.老师抽取部分学生回答，检查掌握情况。

第二课时：有理数的乘除法运算一、复习导入1.复习有理数的加减法运算。

2.提问：有理数的乘除法运算与加减法运算有何不同？二、新课讲解1.讲解有理数的乘法运算：a.同号相乘得正，异号相乘得负。

b.乘法的交换律、结合律。

2.讲解有理数的除法运算：a.除法的定义：乘法的逆运算。

b.异号除法：同号得正，异号得负。

三、案例分析1.出示案例：(-3)×(-4),2÷(-5),(-6)÷32.学生分组讨论，尝试运用所学知识解决问题。

四、课堂练习1.学生独立完成课后习题。

2.老师抽取部分学生回答，检查掌握情况。

第三课时：有理数的混合运算一、复习导入1.复习有理数的加减法和乘除法运算。

2.提问：在有理数的混合运算中，应注意哪些问题？二、新课讲解1.讲解有理数的混合运算顺序：先乘除，后加减。