黄金分割法的MATLAB程序算例
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机械优化设计matlab优化设计程序学校:班级:学号:姓名:指导老师:一.进退法求最优点所在区间1.算例:函数:f=x(1)^3+x(2)^2-10*x(1)*x(2)+1;初始参数:x0=0,step=0.01,st=[0,0],sd=[1,1];2.编程代码:function [lb,ub]=jintuifa(x0,step0,st,sd)% lb为区间下限,up为区间上限% x0初始探测点,step0是初始探测步长,st初始搜索点,sd是初始搜索方向step=step0;f0=jintui(x0,st,sd);x1=x0+step0;f1=jintui(x1,st,sd);if f1<=f0while truestep=2*step;x2=x1+step;f2=jintui(x2,st,sd);if f1<=f2lb=x0;ub=x2;break;elsex0=x1;x1=x2;f0=f1;f1=f2;endendelsewhile truestep=2*step;x2=x0-step;f2=jintui(x2,st,sd);if f0<=f2lb=x2;ub=x1;break;elsex1=x0;x0=x2;f1=f0;f0=f2;endendendend%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function f=jintui(a,st,sd)f=objfun(st+a.*sd);end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function f=objfun(x)f=x(1)^3+x(2)^2-10*x(1)*x(2)+1;end3.运行结果二.黄金分割法求最求最优值1.eg:函数:f=x^2+2*x;初始参数:a=-3,b=5,e=0.0001;2.编程代码:function [ans,sp]=golden(a,b,e)%[a,b]初始区间,e为最小区间长度要求%ans为最优解,sp为所需迭代次数a(1)=a;b(1)=b;L=e;t(1)=a(1)+0.382*(b(1)-a(1));u(1)=a(1)+0.618*(b(1)-a(1));k=1;m(1)=feval('f1',t(1));n(1)=feval('f1',u(1));while(b(k)-a(k)>L)if(m(k)>n(k))a(k+1)=t(k);b(k+1)=b(k);t(k+1)=u(k);u(k+1)=a(k+1)+0.618*(b(k+1)-a(k+1));elsea(k+1)=a(k);b(k+1)=u(k);u(k+1)=t(k);t(k+1)=a(k+1)+0.382*(b(k+1)-a(k+1));endm(k+1)=feval('f1',t(k+1));n(k+1)=feval('f1',u(k+1));ans=feval('f1',t(k+1));k=k+1;endans=(a(k)+b(k))/2;sp=k-1;end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function y=f1(x)y=x^2+2*x;end3.运行结果三.无约束优化方法——坐标轮换法1.eg:函数:min f(x)=4*(x(1)-5)^2+(x(2)-6)^2;初始参数:初始点x为[8,9];2.编程代码:function [x,f]=lunhuan(x0)%输入初始点x0[8,9]%输出最优解点x,与最优解值fp=1;h=0.000001;x=x0;while(p>h)%做精度比较w=x(1);q=x(2);d1=[1,0];a1=golden('objfun',x,d1);%黄金分割法求最佳步长 x=x+a1*d1;d2=[0,1];a2=golden('objfun',x,d2);x=x+a2*d2;p=sqrt((x(1)-w)^2+(x(2)-q)^2);endf=objfun(x);end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function f=objfun(x)%函数名f=4*(x(1)-5)^2+(x(2)-6)^2;end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [lb,ub]=jintuifa(st,sd)%进退法函数x0=0;step0=0.000001;step=step0;f0=jintui(x0,st,sd);x1=x0+step0;f1=jintui(x1,st,sd);if f1<=f0while truestep=2*step;x2=x1+step;f2=jintui(x2,st,sd);if f1<=f2lb=x0;ub=x2;break;elsex0=x1;x1=x2;f0=f1;f1=f2;endendelsewhile truestep=2*step;x2=x0-step;f2=jintui(x2,st,sd);if f0<=f2lb=x2;ub=x1;break;elsex1=x0;x0=x2;f1=f0;f0=f2;endendendend %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function f=jintui(a,st,sd)f=objfun(st+a.*sd);end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function ans=golden(f_name,st,sd)[a,b]=jintuifa(st,sd); %进退法求最佳步长区间a(1)=a;b(1)=b;L=0.1;t(1)=a(1)+0.382*(b(1)-a(1));u(1)=a(1)+0.618*(b(1)-a(1));k=1;p=st+t(1)*sd;q=st+u(1)*sd;m(1)=feval(f_name,p);n(1)=feval(f_name,q);while(b(k)-a(k)>L)if(m(k)>n(k))a(k+1)=t(k);b(k+1)=b(k);t(k+1)=u(k);u(k+1)=a(k+1)+0.618*(b(k+1)-a(k+1));elsea(k+1)=a(k);b(k+1)=u(k);u(k+1)=t(k);t(k+1)=a(k+1)+0.382*(b(k+1)-a(k+1));endw=st+t(k+1)*sd;z=st+u(k+1)*sd;m(k+1)=feval(f_name,w);n(k+1)=feval(f_name,z);ans=feval(f_name,w);k=k+1;endt(k)=0;u(k)=0;m(k)=0;n(k)=0;p=[a',b',t',u',m',n'];ans=(a(k)+b(k))/2;end3.运行结果四.无约束优化方法——鲍威尔法1.eg:函数:min f(x)=4*(x(1)-5)^2+(x(2)-6)^2;初始参数:初始点x为[8,9],初始搜索方向[0,1],[1,0];2.编程代码:function [x,f]=powill(x0,d1,d2)%输入x0为初始点,d1,d2为两个线性无关向量for k=1:2w=x0(1);q=x0(2);a1=golden('objfun',x0,d1);x1=x0+a1*d1;a2=golden('objfun',x1,d2);x2=x1+a2*d2;d1=d2;d2=x2-x0;a3=golden('objfun',x2,d2);x3=x2+a3*d2;x0=x3;endx=x0;f=objfun(x);end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function f=objfun(x)f=4*(x(1)-5)^2+(x(2)-6)^2;end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [lb,ub]=jintuifa(st,sd)x0=0;step0=0.0001;step=step0;f0=jintui(x0,st,sd);x1=x0+step0;f1=jintui(x1,st,sd);if f1<=f0while truestep=2*step;x2=x1+step;f2=jintui(x2,st,sd);if f1<=f2lb=x0;ub=x2;break;elsex0=x1;x1=x2;f0=f1;f1=f2;endendelsewhile truestep=2*step;x2=x0-step;f2=jintui(x2,st,sd);if f0<=f2lb=x2;ub=x1;break;elsex1=x0;x0=x2;f1=f0;f0=f2;endendend %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function f=jintui(a,st,sd)f=objfun(st+a.*sd);end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function ans=golden(f_name,st,sd)[a,b]=jintuifa(st,sd);a(1)=a;b(1)=b;L=0.1;t(1)=a(1)+0.382*(b(1)-a(1));u(1)=a(1)+0.618*(b(1)-a(1));k=1;p=st+t(1)*sd;q=st+u(1)*sd;m(1)=feval(f_name,p);n(1)=feval(f_name,q);while(b(k)-a(k)>L)if(m(k)>n(k))a(k+1)=t(k);b(k+1)=b(k);t(k+1)=u(k);u(k+1)=a(k+1)+0.618*(b(k+1)-a(k+1));elsea(k+1)=a(k);b(k+1)=u(k);u(k+1)=t(k);t(k+1)=a(k+1)+0.382*(b(k+1)-a(k+1));endw=st+t(k+1)*sd;z=st+u(k+1)*sd;m(k+1)=feval(f_name,w);n(k+1)=feval(f_name,z);ans=feval(f_name,w);k=k+1;endend3.运行结果五.有约束优化方法——复合形法1.eg:函数:min f(x)=x1^2+x2^2-x1*x2-10*x1-4*x2+60 St:g1(x)=-x1≤0g2(x)=-x2≤0g3(x)=x1-6≤0g4(x)=x2-8≤0g5(x)=x1+x2-11≤02.编程代码:function fuhexing(n,b,h,xb1,xb2)%元素数n,初始可行点b,精度h,xb1横坐标上下界,xb2为纵坐标上下界if (rem(n,2)==0)k=n+n/2;elsek=n+(n+1)/2;end%取k值A=kexingdian(k,xb1,xb2,b');%确定可行点A=mubiao(A,n,k,h);%求出目标函数并排序比较,得出最优解End %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function A=mubiao(A,n,k,h)for i=1:kA(3,i)=objfun(A(:,i));endB=A';%根据目标函数值排序A=sortrows(B,3)';p=0;for j=1:kx=(objfun(A(:,j))-objfun(A(:,1)))^2;p=p+x;endo=sqrt(p/(k-1));%收敛条件if(o<h)%判断所求点是否为最优点disp('最优点为')xz(1)=A(1,1);xz(2)=A(2,1);disp(xz);disp('其函数值为')f=A(3,1);disp(f);elsexr=Xcpanduan(A,k,n,h,1.3);endend %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function A=kexingdian(k,xb1,xb2,b)A=zeros(3,k);A(1,1)=b(1);A(2,1)=b(2);for i=2:kA(1,i)=xb1(1)+rand(1)*(xb1(2)-xb1(1));A(2,i)=xb2(1)+rand(1)*(xb2(2)-xb2(1));%产生j个顶点endt=0;for j=1:kif(A(1,j)+A(2,j)<=11&&A(1,j)<=6&&A(2,j)<=8)%判断是否有不可行点t=t+1;T(:,t)=A(:,j);endendif(t<k)%计算出可行点的中心位置xcxc=zhongxindian(T,t);endt=0;for j=1:k%利用中心点将原不可行点逼近为可行点while(A(1,j)+A(2,j)>11||A(1,j)>6||A(2,j)>8)A(:,j)=xc+0.5*(A(:,j)-xc);endendendx=x0;f=objfun(x);end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function f=objfun(x)f= x1^2+x2^2-x1*x2-10*x1-4*x2+60;end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function xc=Xcpanduan(A,k,n,h,a)for i=1:k-1T(:,i)=A(:,i);endxc=zhongxindian(T,k-1);%计算除最坏点以外的可行点中心坐标if(xc(1)+xc(2)<=11&&xc(1)<=6&&xc(2)<=8)%判断xc是否可行xr=Xrpanduan(xc,A,a,n,k,h);A(:,k)=xr;else%不可行时,即重新确定初始可行点fuhexing(n,h,A(:,1),xr);endend %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function xc=zhongxindian(T,t)xc=[0;0;0];for i=1:txc=xc+T(:,i);endxc=xc/t;%求解中心点end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function xr=Xrpanduan(xc,A,a,n,k,h)xr=xc+a*(xc-A(:,k));while(xr(1)+xr(2)>11||xr(1)>6||xr(2)>8)%判断xr 是否可行若不可行,则持续迭代a=0.5*a;xr=xc+a*(xc-A(:,k));endxr=ercipanduan(a,xr,A(:,k),A,n,k,xc,h,xr);%可行时进入下一判断end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function xr=ercipanduan(a,p,b,A,n,k,xc,h,t)if(objfun(p)>=objfun(b))%判断反射点和最坏点函数值的大小if(a<=1e-10)A(:,k)=A(:,k-1);xr=Xcpanduan(A,k,n,h,a);disp(xr);elsea=0.5*a;xr=Xrpanduan(xc,A,a,n,k,h);%返回中心点判断,持续迭代endelseA(:,k)=p;%以反射点取代最坏点进行循环mubiao(A,n,k,h);xr=t;endend3.运行结果五.有约束优化方法——混合惩罚法1.eg:函数:min f(x)=(x(4)-x(1))^2+(x(5)-x(2))^2+(x(6)-x(3))^2;St:g1=x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2-5;g2=(x(4)-3)^2+x(5)^2-1;g3=x(6)-8;g4=4-x(6);2.编程代码function [x,f]=hunhechengfa(x0,r0,c,h1,h2)k=1;z=0;A(:,1)=x0;r(1)=r0;while (z==0)k=k+1;x=lunhuan(x0,r(k-1));A(:,k)=x;r(k)=c*r(k-1);z=shoulian(A,r,h1,h2,k);if(z==1)break;endx0=x;enddisp('最优解点x=');disp(x);disp('最优值=');f=fhanshu(x);disp(f);end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function z=shoulian(A,r,h1,h2,k)%判断收敛条件U=abs(objfun(A(:,k),r(k))-objfun(A(:,k-1),r(k-1))/obj fun(A(:,k-1),r(k-1)));V=0;for i=2:kV=V+(A(1,k)-A(1,k-1))^2;endV=sqrt(V);if(U<=h1&&V<=h2)z=1;elsez=0;end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function p=objfun(x,r)%φ函数g1=x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2-5;g2=(x(4)-3)^2+x(5)^2-1;g3=x(6)-8;g4=4-x(6);j=sqrt(r);u=r*(1/g1+1/g2+1/g3+1/g4);v=(g1^2+g2^2+g3^2+g4^2)/j;p=fhanshu(x)-u+v;end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function f=fhanshu(x)%目标函数f=(x(4)-x(1))^2+(x(5)-x(2))^2+(x(6)-x(3))^2;end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function x=lunhuan(x0,r)%轮换法p=1;h=0.01;d=zeros(6,6);a=zeros(6,1);x=x0;for i=1:6for j=1:6if(i==j)d(i,j)=1;endendendwhile(p>h)t=x;v=0;for k=1:6a(k)=golden(x,d(:,k),r);c=d(:,k);x=x-a(k)*c';v=v+(x(k)-t(k))^2;endp=sqrt(v);endend %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function ans=golden(st,sd,r)%黄金分割法求最佳步长 [g,h]=jintuifa(st,sd,r);a(1)=g;b(1)=h;L=0.01;t(1)=a(1)+0.382*(b(1)-a(1));u(1)=a(1)+0.618*(b(1)-a(1));k=1;p=st+t(1)*sd';q=st+u(1)*sd';m(1)=objfun(p,r);n(1)=objfun(q,r);while(b(k)-a(k)>L)if(m(k)>n(k))a(k+1)=t(k);b(k+1)=b(k);t(k+1)=u(k);u(k+1)=a(k+1)+0.618*(b(k+1)-a(k+1));elsea(k+1)=a(k);b(k+1)=u(k);u(k+1)=t(k);t(k+1)=a(k+1)+0.382*(b(k+1)-a(k+1));endw=st+t(k+1)*sd';z=st+u(k+1)*sd';m(k+1)=objfun(w,r);n(k+1)=objfun(z,r);k=k+1;endans=(a(k)+b(k))/2;end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function f=jintui(a,st,sd,r)%代入步长f=objfun(st+a.*sd',r);end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [lb,ub]=jintuifa(st,sd,r)%进退法求最佳步长区间x0=0;step0=0.001;step=step0;f0=jintui(x0,st,sd,r);x1=x0+step0;f1=jintui(x1,st,sd,r);if f1<=f0while truestep=2*step;x2=x1+step;f2=jintui(x2,st,sd,r);if f1<=f2lb=x0;ub=x2;break;elsex0=x1;x1=x2;f0=f1;f1=f2;endendelsewhile truestep=2*step;x2=x0-step;f2=jintui(x2,st,sd,r);if f0<=f2lb=x2;ub=x1;break;elsex1=x0;x0=x2; f1=f0; f0=f2;endendend3.运行结果。
黄金分割法求极小点例题黄金分割法是一种优化算法,用于求解函数的极小点。
它基于黄金比例的特性,通过不断缩小搜索范围来逼近极小点。
下面我将给出一个例题,并从多个角度进行解答。
假设我们要求解函数 f(x) = x^2 + 2x + 1 的极小点。
首先,我们需要确定搜索范围。
由于该函数是一个二次函数,开口向上,因此极小点位于函数的顶点处。
为了简化问题,我们可以选择一个合适的搜索范围,比如 [-10, 10]。
接下来,我们可以使用黄金分割法进行迭代计算。
黄金分割法的基本思想是在搜索范围内选择两个距离极点较远的点,并通过比较函数值来缩小搜索范围。
首先,我们选择搜索范围内的两个初始点,可以选择两个距离较远的点,比如 -10 和 10。
然后,根据黄金分割比例,我们可以计算出两个新的点,分别是 -10 + (10 (-10)) 0.382 ≈ -1.18 和 -10 + (10 (-10)) 0.618 ≈ 1.18。
接下来,我们分别计算这两个新点的函数值。
f(-1.18) ≈ (-1.18)^2 + 2 (-1.18) + 1 ≈ 1.5724。
f(1.18) ≈ (1.18)^2 + 2 (1.18) + 1 ≈ 5.5724。
根据比较函数值的结果,我们可以确定新的搜索范围是 [-1.18, 10]。
然后,我们再次根据黄金分割比例计算出两个新的点,分别是-1.18 + (10 (-1.18)) 0.382 ≈ 2.2364 和 -1.18 + (10 (-1.18)) 0.618 ≈ 6.9436。
再次计算这两个新点的函数值。
f(2.2364) ≈ (2.2364)^2 + 2 (2.2364) + 1 ≈ 10.4722。
f(6.9436) ≈ (6.9436)^2 + 2 (6.9436) + 1 ≈ 63.4722。
根据比较函数值的结果,我们确定新的搜索范围是 [-1.18,2.2364]。
我们可以继续进行迭代计算,直到搜索范围足够小,或者满足特定的停止条件。
MATLAB中的非线性优化算法详解在计算机科学和工程领域,非线性优化是一个非常重要的问题。
它涉及到在给定一些约束条件下,寻找使得目标函数取得最优值的变量取值。
MATLAB作为一种强大的数值计算工具,提供了多种非线性优化算法来解决这个问题。
本文将详细介绍一些常用的非线性优化算法,并探讨它们的特点和适用场景。
1. 数学背景在介绍非线性优化算法之前,我们先来了解一下非线性优化的基本数学背景。
一个非线性优化问题可以表示为以下形式:minimize f(x)subject to g(x) ≤ 0h(x) = 0其中,f(x)是目标函数,g(x)是不等式约束条件,h(x)是等式约束条件。
x是优化变量。
目标是找到x使得f(x)取得最小值,并且满足约束条件。
2. 黄金分割法黄金分割法是一种经典的非线性优化算法。
它基于一个简单的原则:将搜索区间按照黄金分割比例分为两段,并选择一个更优的区间进行下一次迭代。
该算法的思想简单明了,但是它的收敛速度比较慢,特别是对于高维问题。
因此,该算法在实际应用中较少使用。
3. 拟牛顿法拟牛顿法是一类比较常用的非线性优化算法。
它通过近似目标函数的梯度信息来进行迭代优化。
拟牛顿法的核心思想是构造一个Hessian矩阵的近似矩阵,来更新搜索方向和步长。
其中,DFP算法和BFGS算法是拟牛顿法的两种典型实现。
DFP算法是由Davidon、Fletcher和Powell于1959年提出的,它通过不断迭代来逼近最优解。
该算法的优点是收敛性比较好,但是它需要存储中间结果,占用了较多的内存。
BFGS算法是由Broyden、Fletcher、Goldfarb和Shanno于1970年提出的。
它是一种变种的拟牛顿法,通过逼近Hessian矩阵的逆矩阵来求解最优解。
BFGS算法在存储方面比DFP算法更加高效,但是它的计算复杂度相对较高。
4. 信赖域法信赖域法是一种迭代优化算法,用于解决非线性优化问题。
它将非线性优化问题转化为一个二次规划问题,并通过求解这个二次规划问题来逼近最优解。
老三论由控制论、信息论和系统论统称。
新三论指突变理论、耗散结构理论和协同论。
美国数学家维纳的“控制论”,美国数学家申农的“信息论”,美籍奥地利理论生物学家和哲学家贝塔朗菲的“系统论”;比利时化学家普里高津的“耗散结构理论”,德国物理学家哈肯的“协同论”,法国数学家托姆的“突变理论”。
老三论(系统论、控制论和信息论)及其意义:20世纪40年代,由于自然科学、工程技术、社会科学和思维科学的相互渗透与交融汇流,产生了具有高度抽象性和广泛综合性的系统论、控制论和信息论。
系统论是研究系统的模式、性能、行为和规律的一门科学。
它为人们认识各种系统的组成、结构、性能、行为和发展规律提供了一般方法论的指导。
系统论的创始人是美籍奥地利理论生物学家和哲学家路德维格·贝塔朗菲。
系统是由若干相互联系的基本要素构成的,它是具有确定的特性和功能的有机整体。
人们研究和认识系统的目的之一,就在于有效地控制和管理系统。
控制论则为人们对系统的管理和控制提供了一般方法论的指导,它是数学、自动控制、电子技术、数理逻辑、生物科学等学科和技术相互渗透而形成的综合性科学。
控制论的思想渊源可以追溯到遥远的古代。
但是,控制论作为一个相对独立的科学学科的形成却起始于本世纪20~30年代,而1948年美国数学家维纳出版了《控制论》一书,标志着控制论的正式诞生。
几十年来,控制论在纵深方向得到了很大发展,已应用到人类社会各个领域,如经济控制论、社会控制论和人口控制论等。
为了正确地认识并有效地控制系统,必须了解和掌握系统的各种信息的流动与交换,信息论为此提供了一般方法论的指导。
语言是人与人之间的信息交流的工具,文字扩大了信息交流的范围,19世纪电话和电报的发明和应用使信息交流进入了电气化时代。
信息论最早产生于通讯领域,现在已同材料和能源一起构成了现代文明的三大支柱。
信息的概念已渗透到人类社会的各个领域,因此,人们说现在是信息社会、信息时代。
美国政府提出了建设信息高速公路的宏大计划,得到了国内外的广泛支持,欧洲和日本等发达国家积极呼应,我国政府也拨出了巨额资金,以便在这项高科技领域内跟上世界发展的步伐。
1黄金分割法的优化问题(1)黄金分割法基本思路:黄金分割法适用于[a , b]区间上的任何单股函数求极小值问题,对函数除要求“单谷”外不做其他要求,甚至可以不连续。
因此,这种方法的适应面非常广。
黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法,即在搜索区间[a, b]内适当插入两点al, a2,并计算其函数值。
al, a2将区间分成三段,应用函数的单谷性质,通过函数值大小的比较,删去其中一段,是搜索区间得以缩小。
然后再在保留下来的区间上作同样的处理,如此迭代下去,是搜索区间无限缩小,从而得到极小点的数值近似解。
(2)黄金分割法的基本原理一维搜索是解函数极小值的方法之一,其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。
一维搜索的解法很多,这里主要采用黄金分割法(0.618法)。
该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率,从而可以看成是斐波那契法的近似,实现起来比较容易,也易于人们所接受。
rl=a+0,382(>-a) r2=a+0,618Cb-a) 如图班2户母4) 所以新区间为[a ,于2]以为新区间,继域求新的试点黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点* *的一种方法。
它是优化计算中的经典算法,以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称,是许多优化算法的基础,但它只适用于一维区间上的凸函数[6],即只在单峰区间内才能进行一维寻优,其收敛效率较低。
其基本原理是:依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。
具体步骤是:在区间[a,b]内取点:al , a2把[a,b]分为三段。
如果f(a1)>f(a2),令a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a);如果f(a1)<f(a2) ,令b=a2,a2=a1,a1=b-r*(b-a), 如果 | (b-a)/b | 和 | (y1-y2)/y2 | 都大于收敛精度e重新开始。
1黄金分割法的优化问题(1)黄金分割法基本思路:黄金分割法适用于[a,b]区间上的任何单股函数求极小值问题,对函数除要求“单谷”外不做其他要求,甚至可以不连续。
因此,这种方法的适应面非常广。
黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法,即在搜索区间[a,b]内适当插入两点a1,a2,并计算其函数值。
a1,a2将区间分成三段,应用函数的单谷性质,通过函数值大小的比较,删去其中一段,是搜索区间得以缩小。
然后再在保留下来的区间上作同样的处理,如此迭代下去,是搜索区间无限缩小,从而得到极小点的数值近似解。
(2)黄金分割法的基本原理一维搜索是解函数极小值的方法之一,其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。
一维搜索的解法很多,这里主要采用黄金分割法(0.618法)。
该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率,从而可以看成是斐波那契法的近似,实现起来比较容易,也易于人们所接受。
黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点α*的一种方法。
它是优化计算中的经典算法,以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称,是许多优化算法的基础,但它只适用于一维区间上的凸函数[6],即只在单峰区间内才能进行一维寻优,其收敛效率较低。
其基本原理是:依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。
具体步骤是:在区间[a,b]内取点:a1 ,a2 把[a,b]分为三段。
如果f(a1)>f(a2),令a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a);如果f(a1)<f(a2) ,令b=a2,a2=a1,a1=b-r*(b-a),如果|(b-a)/b|和|(y1-y2)/y2|都大于收敛精度ε重新开始。
因为[a,b]为单峰区间,这样每次可将搜索区间缩小0.618倍或0.382倍,处理后的区间都将包含极小点的区间缩小,然后在保留下来的区间上作同样的处理,如此迭代下去,将使搜索区[a,b]逐步缩小,直到满足预先给定的精度时,即获得一维优化问题的近似最优解。
最优化⽅法三分法+黄⾦分割法+⽜顿法最优化_三等分法+黄⾦分割法+⽜顿法⼀、实验⽬的1. 掌握⼀维优化⽅法的集中算法;2. 编写三分法算法3. 编写黄⾦分割法算法4. 编写⽜顿法算法⼆、系统设计三分法1.编程思路:三分法⽤于求解单峰函数的最值。
对于单峰函数,在区间内⽤两个mid将区间分成三份,这样的查找算法称为三分查找,也就是三分法。
在区间[a,b]内部取n=2个内等分点,区间被分为n+1=3等分,区间长度缩短率=1 3 .各分点的坐标为x k=a+b−an+1⋅k (k=1,2) ,然后计算出x1,x2,⋯;y1,y2,⋯;找出y min=min{y k,k=1,2} ,新区间(a,b)⇐(x m−1,x m+1) .coding中,建⽴left,mid1,mid2,right四个变量⽤于计算,⽤新的结果赋值给旧区间即可。
2.算法描述function [left]=gridpoint(left,right,f)epsilon=1e-5; %给定误差范围while((left+epsilon)<right) %检查left,right区间精度margin=(right-left)/3; %将区间三等分,每⼩段长度=marginm1=left+margin; %left-m1-m2-right,三等分需要两个点m2=m1+margin; %m2=left+margin+marginif(f(m1)<=f(m2))right=m2; %离极值点越近,函数值越⼩(也有可能越⼤,视函数⽽定)。
else %当f(m1)>f(m2),m2离极值点更近。
缩⼩区间范围,逼近极值点left=m1; %所以令left=m1.endend %这是matlab的.m⽂件,不⽤写return.黄⾦分割法1.编程思路三分法进化版,区间长度缩短率≈0.618.在区间[a,b]上取两个内试探点,p i,q i要求满⾜下⾯两个条件:1.[a i,q i]与[p i,b i]的长度相同,即b i−p i=q i−a i;2.区间长度的缩短率相同,即b i+1−a i+1=t(b i−a i)]2.算法描述⾃⼰编写的:function [s,func_s,E]=my_golds(func,left,right,delta)tic%输⼊: func:⽬标函数,left,right:初始区间两个端点% delta:⾃变量的容许误差%输出: s,func_s:近似极⼩点和函数极⼩值% E=[ds,dfunc] ds,dfunc分别为s和dfunc的误差限%0.618法的改进形式:每次缩⼩区间时,同时⽐较两内点和两端点处的函数值。
黄金分割法python代码黄金分割法Python代码黄金分割法是一种优化算法,它可以在最短时间内找到函数的最小值。
这种算法的原理是将函数的区间分成两个部分,然后选择其中一个部分进行计算,直到找到最小值。
在这个过程中,每次选择的区间都是原区间的黄金分割点。
黄金分割法的优点是可以在较短的时间内找到函数的最小值,而且不需要对函数进行求导。
这种算法的缺点是需要对函数进行多次计算,因此在计算复杂度上可能会比较高。
下面是黄金分割法的Python代码:```pythonimport mathdef golden_section_search(f, a, b, tol=1e-6):"""Golden section search algorithm to find the minimum of a function fon the interval [a, b]."""# Define the golden ratiophi = (1 + math.sqrt(5)) / 2# Define the initial pointsx1 = b - (b - a) / phix2 = a + (b - a) / phi# Define the initial function valuesf1 = f(x1)f2 = f(x2)# Loop until the interval is small enough while abs(b - a) > tol:# Choose the smaller function value if f1 < f2:b = x2x2 = x1f2 = f1x1 = b - (b - a) / phif1 = f(x1)else:a = x1x1 = x2f1 = f2x2 = a + (b - a) / phif2 = f(x2)# Return the minimum pointreturn (a + b) / 2```这个函数接受四个参数:函数f、区间的左端点a、区间的右端点b 和容差tol。
黄金分割法黄金分割法也叫0.618法,它是一种基于区间收缩的极小值点搜索算法,当用进退法确定搜索区间后,我们只知道极小值点包含于搜索区间内,但是具体是哪个点,无法得知。
1. 算法原理黄金分割法的思想很直接,既然极小值点包含于搜索区间内,那么可以不断地缩小搜索区间,就可以使搜索区间的端点逼近到极小值点。
[]a,b 为搜索区间,黄金分割法首先根据黄金比例产生两个内点12,x x 。
120.382*()0.618*()x a b a x a b a =+-=+-然后根据()1f x ,()2f x 的大小关系来重新选择搜索区间。
(1) 若()()12f x f x <,则搜索区间变为1[,]x b ;(2) 若()()12f x f x >,则搜索区间变为2[,]a x 。
2. 算法步骤用黄金分割法求无约束问题min (),f x x R ∈的基本步骤如下:(1) 选定初始区间11[,]a b 及精度0ε>,计算试探点:11110.382*()a b a λ=+-11110.618*()a b a μ=+-。
(2) 若k k b a ε-<,则停止计算。
否则当()()k k ff λμ>时转步骤(3)。
当()()k k f f λμ≤转步骤(4)。
(3) 置 11111110.382*()k k k k k kk k k k a b b a b a λλμμ+++++++=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=+-⎩转步骤(5) (4) 置11111110.382*()k k k k k kk k k k a a b a b a μμλλ+++++++=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=+-⎩转步骤(5) (5) 令1k k =+,转步骤(2)。
3. 算法的MATLAB 实现在MATLAB 中编程实现黄金分割法的函数为:min HJ 。
功能:用黄金分割法求解一维函数的极值。
调用格式:[,min ]min (,,,)x f HJ f a b eps =其中,f :为目标函数;a :极值区间的左端点;b :极值区间的右端点;e p s :精度;x :目标函数取最小值时的自变量值;m i n f :目标函数的最小值。