Lignes de divergence pour les graphes a courbure moyenne constante
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Albert CAMUSphilosophe et écrivain français [1913-1960](1956)LA CHUTERÉCITUn document produit en version numérique par Charles Bolduc, bénévole, professeur de philosophie au Cégep de ChicoutimiCourriel: cbolduc@cegep-chicoutimi.qc.caPage web personnelle dans Les Classiques des sciences sociales Dans le cadre de: "Les classiques des sciences sociales"Une bibliothèque numérique fondée et dirigée par Jean-Marie Tremblay, professeur de sociologie au Cégep de ChicoutimiSite web: http://classiques.uqac.ca/Une collection développée en collaboration avec la BibliothèquePaul-Émile-Boulet de l'Université du Québec à ChicoutimiSite web: http://bibliotheque.uqac.ca/Politique d'utilisationde la bibliothèque des Classiques Toute reproduction et rediffusion de nos fichiers est interdite, même avec la mention de leur provenance, sans l’autorisation for-melle, écrite, du fondateur des Classiques des sciences sociales, Jean-Marie Tremblay, sociologue.Les fichiers des Classiques des sciences sociales ne peuvent sans autorisation formelle:- être hébergés (en fichier ou page web, en totalité ou en partie) sur un serveur autre que celui des Classiques.- servir de base de travail à un autre fichier modifié ensuite par tout autre moyen (couleur, police, mise en page, extraits, support, etc...),Les fichiers (.html, .doc, .pdf, .rtf, .jpg, .gif) disponibles sur le site Les Classiques des sciences sociales sont la propriété des Classiques des sciences sociales, un organisme à but non lucratif composé exclu-sivement de bénévoles.Ils sont disponibles pour une utilisation intellectuelle et personnel-le et, en aucun cas, commerciale. Toute utilisation à des fins com-merciales des fichiers sur ce site est strictement interdite et toute rediffusion est également strictement interdite.L'accès à notre travail est libre et gratuit à tous les utilisa-teurs. C'est notre mission.Jean-Marie Tremblay, sociologueFondateur et Président-directeur général,LES CLASSIQUES DES SCIENCES SOCIALES.REMARQUECe livre est du domaine public au Canada parce qu’une œuvre passe au domaine public 50 ans après la mort de l’auteur(e).Cette œuvre n’est pas dans le domaine public dans les pays où il faut attendre 70 ans après la mort de l’auteur(e).Respectez la loi des droits d’auteur de votre pays.OEUVRES D'ALBERT CAMUSRécits-NouvellesL'ÉTRANGER.LA PESTE.LA CHUTE.L’EXIL ET LE ROYAUMEEssaisNOCES.LE MYTHE DE SISYPHE.LETTRES À UN AMI ALLEMAND.ACTUELLES. Chroniques 1944-1948.ACTUELLES II, chroniques 1948-1953CHRONIQUES ALGÉRIENNES, 1939-1958 (Actuelles III) L'HOMME RÉVOLTÉ.L'ÉTÉ.L'ENVERS ET L'ENDROIT, essais.DISCOURS DE SUÈDE.ThéâtreLE MALENTENDU. CALIGULA.L'ÉTAT DE SIÈGE.LES JUSTES.Adaptations et traductionsLES ESPRITS, de Pierre de Larivey.LA DÉVOTION À LA CROIX, de Pedro Calderon de la Barca.REQUIEM POUR UNE NONNE, de William Faulkner.LE CHEVALIER D’OLMERO, de Lope de Vega.LES POSSÉDÉS, d’après le roman de Dostoïevski.Cette édition électronique a été réalisée par Charles Bolduc, bénévole, professeur de philosophie au Cégep de Chicoutimi et doctorant en philoso-phie à l’Université de Sherbrooke, à partir de :Albert CAMUS [1913-1960]LA CHUTE. Récit.Paris : Les Éditions Gallimard, 1956, 170 pp. Collection : NRF. Polices de caractères utilisée :Pour le texte: Comic Sans, 12 points.Pour les citations : Comic Sans, 12 points.Pour les notes de bas de page : Comic Sans, 12 points.Édition électronique réalisée avec le traitement de textes Micro-soft Word 2008 pour Macintosh.Mise en page sur papier format : LETTRE (US letter), 8.5’’ x 11’’)Édition numérique réalisée le 16 novembre 2010 à Chicoutimi,Ville de Saguenay, province de Québec, Canada.Albert CAMUSphilosophe et écrivain français [1913-1960]LA CHUTE. Récit.Paris : Les Éditions Gallimard, 1956, 170 pp. Collection : NRF.[7]Puis-je, monsieur, vous proposer mes services, sans risquer d’être importun ? Je crains que vous ne sachiez vous faire entendre de l’estimable gorille qui préside aux destinées de cet établissement. Il ne parle, en effet, que le hollandais. A moins que vous ne m’autorisiez à plaider votre cause, il ne devinera pas que vous désirez du genièvre. Voilà, j’ose espérer qu’il m’a compris ; ce hochement de tête doit signi-fier qu’il se rend à mes arguments. Il y va, en effet, il se hâte, avec une sage lenteur. Vous avez de la chance, il n’a pas grogné. Quand il refuse de servir, un grognement lui suffit : personne n’insiste. Etre roi de ses [8] humeurs, c’est le privilège des grands animaux. Mais je me retire, monsieur, heureux de vous avoir obligé. Je vous remercie et j’accepterais si j’étais sûr de ne pas jouer les fâcheux. Vous êtes trop bon. J’installerai donc mon verre auprès du vôtre.Vous avez raison, son mutisme est assourdissant. C’est le silence des forêts primitives, chargé jusqu’à la gueule. Je m’étonne parfois de l’obstination que met notre taciturne ami à bouder les langues civili-sées. Son métier consiste à recevoir des marins de toutes les nationa-lités dans ce bar d’Amsterdam qu’il a appelé d’ailleurs, on ne sait pour-quoi, Mexico-City. Avec de tels devoirs, on peut craindre, ne pensez-vous pas, que son ignorance soit inconfortable ? Imaginez l’homme de Cro-Magnon pensionnaire à la tour de Babel ! Il y souffrirait de dé-paysement, au moins. Mais non, celui-ci ne sent pas son exil, il va son chemin, rien ne l’entame. Une des rares phrases que j’aie entendues de sa bouche proclamait que c’était à prendre ou à laisser. Que fallait-ilprendre ou laisser ? Sans doute, notre ami lui-même. Je vous l’avouerai, je suis attiré [9] par ces créatures tout d’une pièce. Quand on a beaucoup médité sur l’homme, par métier ou par vocation, il arrive qu’on éprouve de la nostalgie pour les primates. Ils n’ont pas, eux, d’arrière-pensées.Notre hôte, à vrai dire, en a quelques-unes, bien qu’il les nourrisse obscurément. A force de ne pas comprendre ce qu’on dit en sa présen-ce, il a pris un caractère défiant. De là cet air de gravité ombrageuse, comme s’il avait le soupçon, au moins, que quelque chose ne tourne pas rond entre les hommes. Cette disposition rend moins faciles les dis-cussions qui ne concernent pas son métier. Voyez, par exemple, au-dessus de sa tête, sur le mur du fond, ce rectangle vide qui marque la place d’un tableau décroché. Il y avait là, en effet, un tableau, et par-ticulièrement intéressant, un vrai chef-d’œuvre. Eh bien, j’étais pré-sent quand le maître de céans l’a reçu et quand il l’a cédé. Dans les deux cas, ce fut avec la même méfiance, après des semaines de rumi-nation. Sur ce point, la société a gâté un peu, il faut le reconnaître, la franche simplicité de sa nature.Notez bien que je ne le juge pas. J’estime [10] sa méfiance fondée et la partagerais volontiers si, comme vous le voyez, ma nature commu-nicative ne s’y opposait. Je suis bavard, hélas ! et me lie facilement. Bien que je sache garder les distances qui conviennent, toutes les oc-casions me sont bonnes. Quand je vivais en France, je ne pouvais ren-contrer un homme d’esprit sans qu’aussitôt j’en fisse ma société. Ah ! je vois que vous bronchez sur cet imparfait du subjonctif. J’avoue ma faiblesse pour ce mode, et pour le beau langage, en général. Faiblesse que je me reproche, croyez-le. Je sais bien que le goût du linge fin ne suppose pas forcément qu’on ait les pieds sales. N’empêche. Le style, comme la popeline, dissimule trop souvent de l’eczéma. Je m’en console en me disant qu’après tout, ceux qui bafouillent, non plus, ne sont pas purs. Mais oui, reprenons du genièvre.Ferez-vous un long séjour à Amsterdam ? Belle ville, n’est-ce pas ? Fascinante ? Voilà un adjectif que je n’ai pas entendu depuis long-temps. Depuis que j’ai quitté Paris, justement, il y a des années de cela.Mais le cœur a sa mémoire et je n’ai rien oublié de [11] notre belle ca-pitale, ni de ses quais. Paris est un vrai trompe-l’œil, un superbe décor habité par quatre millions de silhouettes. Près de cinq millions, au der-nier recensement ? Allons, ils auront fait des petits. Je ne m’en éton-nerai pas. Il m’a toujours semblé que nos concitoyens avaient deux fu-reurs : les idées et la fornication. A tort et à travers, pour ainsi dire. Gardons-nous, d’ailleurs, de les condamner ; ils ne sont pas les seuls, toute l’Europe en est là. Je rêve parfois de ce que diront de nous les historiens futurs. Une phrase leur suffira pour l’homme moderne : il forniquait et lisait des journaux. Après cette forte définition, le sujet sera, si j’ose dire, épuisé.Les Hollandais, oh non, ils sont beaucoup moins modernes ! Ils ont le temps, regardez-les. Que font-ils ? Eh bien, ces messieurs-ci vivent du travail de ces dames-là. Ce sont d’ailleurs, mâles et femelles, de fort bourgeoises créatures, venues ici, comme d’habitude, par mythomanie ou par bêtise. Par excès ou par manque d’imagination, en somme. De temps en temps, ces messieurs jouent du couteau ou du revolver, mais ne [12] croyez pas qu’ils y tiennent. Le rôle l’exige, voilà tout, et ils meurent de peur en lâchant leurs dernières cartouches. Ceci dit, je les trouve plus moraux que les autres, ceux qui tuent en famille, à l’usure. N’avez-vous pas remarqué que notre société s’est organisée pour ce genre de liquidation ? Vous avez entendu parler, naturellement, de ces minuscules poissons des rivières brésiliennes qui s’attaquent par mil-liers au nageur imprudent, le nettoient, en quelques instants, à petites bouchées rapides, et n’en laissent qu’un squelette immaculé ? Eh bien, c’est ça, leur organisation. « Voulez-vous d’une vie propre ? Comme tout le monde ? » Vous dites oui, naturellement. Comment dire non ? « D’accord. On va vous nettoyer. Voilà un métier, une famille, des loi-sirs organisés. » Et les petites dents s’attaquent à la chair, jusqu’aux os. Mais je suis injuste. Ce n’est pas leur organisation qu’il faut dire. Elle est la nôtre, après tout : c’est à qui nettoiera l’autre.On nous apporte enfin notre genièvre. A votre prospérité. Oui, le gorille a ouvert la bouche pour m’appeler docteur. Dans ces [13] pays, tout le monde est docteur, ou professeur. Ils aiment à respecter, parbonté, et par modestie. Chez eux, du moins, la méchanceté n’est pas une institution nationale. Au demeurant, je ne suis pas médecin. Si vous voulez le savoir, j’étais avocat avant de venir ici. Maintenant, je suis juge-pénitent.Mais permettez-moi de me présenter : Jean-Baptiste Clamence, pour vous servir. Heureux de vous connaître. Vous êtes sans doute dans les affaires ? A peu près ? Excellente réponse ! Judicieuse aussi ; nous ne sommes qu’à peu près en toutes choses. Voyons, permettez-moi de jouer au détective. Vous avez à peu près mon âge, l’œil rensei-gné des quadragénaires qui ont à peu près fait le tour des choses, vous êtes à peu près bien habillé, c’est-à-dire comme on l’est chez nous, et vous avez les main lisses. Donc, un bourgeois, à peu près ! Mais un bourgeois raffiné ! Broncher sur les imparfaits du subjonctif, en ef-fet, prouve deux fois votre culture puisque vous les reconnaissez d’abord et qu’ils vous agacent ensuite. Enfin, je vous amuse, ce qui, sans vanité, suppose chez vous une certaine ouverture d’esprit. [14] Vous êtes donc à peu près... Mais qu’importe ? Les professions m’intéressent moins que les sectes. Permettez-moi de vous poser deux questions et n’y répondez que si vous ne les jugez pas indiscrètes. Pos-sédez-vous des richesses ? Quelques-unes ? Bon. Les avez-vous parta-gées avec les pauvres ? Non. Vous êtes donc ce que j’appelle un sadu-céen. Si vous n’avez pas pratiqué les Ecritures, je reconnais que vous n’en serez pas plus avancé. Cela vous avance ? Vous connaissez donc les Ecritures ? Décidément, vous m’intéressez.Quant à moi... Eh bien, jugez vous-même. Par la taille, les épaules, et ce visage dont on m’a souvent dit qu’il était farouche, j’aurais plutôt l’air d’un joueur de rugby, n’est-ce pas ? Mais si l’on en juge par la conversation, il faut me consentir un peu de raffinement. Le chameau qui a fourni le poil de mon pardessus souffrait sans doute de la gale ; en revanche, j’ai les ongles faits. Je suis renseigné, moi aussi, et pour-tant, je me confie à vous, sans précautions, sur votre seule mine. Enfin, malgré mes bonnes manières et mon beau langage, je suis un [15] habi-tué des bars à matelots du Zeedijk. Allons, ne cherchez plus. Mon mé-tier est double, voilà tout, comme la créature. Je vous l’ai déjà dit, jesuis juge-pénitent. Une seule chose est simple dans mon cas, je ne pos-sède rien. Oui, j’ai été riche, non, je n’ai rien partagé avec les autres. Qu’est-ce que cela prouve ? Que j’étais aussi un saducéen... Oh ! en-tendez-vous les sirènes du port ? Il y aura du brouillard cette nuit, sur le Zuyderzee.Vous partez déjà ? Pardonnez-moi de vous avoir peut-être retenu. Avec votre permission, vous ne paierez pas. Vous êtes chez moi à Mexico-City, j’ai été particulièrement heureux de vous y accueillir. Je serai certainement ici demain, comme les autres soirs, et j’accepterai avec reconnaissance votre invitation. Votre chemin... Eh bien... Mais verriez-vous un inconvénient, ce serait le plus simple, à ce que je vous accompagne jusqu’au port ? De là, en contournant le quartier juif, vous trouverez ces belles avenues ou défilent des tramways chargés de fleurs et de musiques tonitruantes. Votre hôtel est sur l’une d’elles, le Damrak. Après [16] vous, je vous en prie. Moi, j’habite le quartier juif, ou ce qui s’appelait ainsi jusqu’au moment où nos frères hitlériens y ont fait de la place. Quel lessivage ! Soixante-quinze mille juifs déportés ou assassinés, c’est le nettoyage par le vide. J’admire cette applica-tion, cette méthodique patience ! Quand on n’a pas de caractère, il faut bien se donner une méthode. Ici, elle a fait merveille, sans contredit, et j’habite sur les lieux d’un des plus grands crimes de l’histoire. Peut-être est-ce cela qui m’aide à comprendre le gorille et sa méfiance. Je peux lutter ainsi contre cette pente de nature qui me porte irrésistiblement à la sympathie. Quand je vois une tête nouvelle, quelqu’un en moi sonne l’alarme. « Ralentissez. Danger ! » Même quand la sympathie est la plus forte, je suis sur mes gardes.Savez-vous que dans mon petit village, au cours d’une action de re-présailles, un officier allemand a courtoisement prié une vieille femme de bien vouloir choisir celui de ses deux fils qui serait fusillé comme otage ? Choisir, imaginez-vous cela ? Celui-là ? Non, celui-ci. Et le voir partir. N’insistons [17] pas, mais croyez-moi, monsieur, toutes les sur-prises sont possibles. J’ai connu un cœur pur qui refusait la méfiance. Il était pacifiste, libertaire, il aimait d’un seul amour l’humanité entiè-re et les bêtes. Une âme d’élite, oui, cela est sûr. Eh bien, pendant lesdernières guerres de religion, en Europe, il s’était retiré à la campa-gne. Il avait écrit sur le seuil de sa maison : « D’où que vous veniez, entrez et soyez les bienvenus. » Qui, selon vous, répondit à cette belle invitation ?Des miliciens, qui entrèrent comme chez eux et l’étripèrent.Oh ! pardon, madame ! Elle n’a d’ailleurs rien compris. Tout ce mon-de, hein, si tard, et malgré la pluie, qui n’a pas cessé depuis des jours ! Heureusement, il y a le genièvre, la seule lueur dans ces ténèbres. Sentez-vous la lumière dorée, cuivrée, qu’il met en vous ? J’aime mar-cher à travers la ville, le soir, dans la chaleur du genièvre. Je marche des nuits durant, je rêve, ou je me parle interminablement. Comme ce soir, oui, et je crains de vous étourdir un peu, merci, vous êtes cour-tois. Mais c’est le trop-plein ; dès que j’ouvre la bouche, les phrases coulent. Ce [18] pays m’inspire, d’ailleurs. J’aime ce peuple, grouillant sur les trottoirs, coincé dans un petit espace de maisons et d’eaux, cerné par des brumes, des terres froides, et la mer fumante comme une lessive. Je l’aime, car il est double. Il est ici et il est ailleurs.Mais oui ! À écouter leurs pas lourds, sur le pavé gras, à les voir passer pesamment entre leurs boutiques, pleines de harengs dorés et de bijoux couleur de feuilles mortes, vous croyez sans doute qu’ils sont là, ce soir ? Vous êtes comme tout le monde, vous prenez ces braves gens pour une tribu de syndics et de marchands, comptant leurs écus avec leurs chances de vie éternelle, et dont le seul lyrisme consiste à prendre parfois, couverts de larges chapeaux, des leçons d’anatomie ? Vous vous trompez. Ils marchent près de nous, il est vrai, et pourtant, voyez où se trouvent leurs têtes : dans cette brume de néon, de geniè-vre et de menthe qui descend des enseignes rouges et vertes. La Hol-lande est un songe, monsieur, un songe d’or et de fumée, plus fumeux le jour, plus doré la nuit, et nuit et jour ce songe est peuplé de Lohen-grin comme ceux-ci, filant rêveusement [19] sur leurs noires bicyclet-tes à hauts guidons, cygnes funèbres qui tournent sans trêve, dans tout le pays, autour des mers, le long des canaux. Ils rêvent la tête dans leurs nuées cuivrées, ils roulent en rond, ils prient, somnambules, dans l’encens doré de la brume, ils ne sont plus là. Ils sont partis à desmilliers de kilomètres, vers Java, l’île lointaine. Ils prient ces dieux grimaçants de l’Indonésie dont ils ont garni toutes leurs vitrines, et qui errent en ce moment au-dessus de nous, avant de s’accrocher, comme des singes somptueux, aux enseignes et aux toits en escaliers, pour rappeler à ces colons nostalgiques que la Hollande n’est pas seu-lement l’Europe des marchands, mais la mer, la mer qui mène à Cipango, et à ces îles où les hommes meurent fous et heureux.Mais je me laisse aller, je plaide ! Pardonnez-moi. L’habitude, mon-sieur, la vocation, le désir aussi où je suis de bien vous faire compren-dre cette ville, et le cœur des choses ! Car nous sommes au cœur des choses. Avez-vous remarqué que les canaux concentriques d’Amsterdam ressemblent aux cercles de l’enfer ? L’enfer bourgeois, naturellement [20] peuplé de mauvais rêves. Quand on arrive de l’extérieur, à mesure qu’on passe ces cercles, la vie, et donc ses cri-mes, devient plus épaisse, plus obscure. Ici, nous sommes dans le der-nier cercle. Le cercle des... Ah ! Vous savez cela ? Diable, vous devenez plus difficile à classer. Mais vous comprenez alors pourquoi je puis dire que le centre des choses est ici, bien que nous nous trouvions à l’extrémité du continent. Un homme sensible comprend ces bizarre-ries. En tout cas, les lecteurs de journaux et les fornicateurs ne peu-vent aller plus loin. Ils viennent de tous les coins de l’Europe et s’arrêtent autour de la mer intérieure, sur la grève décolorée. Ils écoutent les sirènes, cherchent en vain la silhouette des bateaux dans la brume, puis repassent les canaux et s’en retournent à travers la pluie. Transis, ils viennent demander, en toutes langues, du genièvre à Mexico-City. Là, je les attends.À demain donc, monsieur et cher compatriote. Non, vous trouverez maintenant votre chemin ; je vous quitte près de ce pont. Je ne passe jamais sur un pont, la nuit. C’est la conséquence d’un vœu. Supposez, après tout, [21] que quelqu’un se jette à l’eau. De deux choses l’une, ou vous l’y suivez pour le repêcher et, dans la saison froide, vous risquez le pire ! Ou vous l’y abandonnez et les plongeons rentrés laissent par-fois d’étranges courbatures. Bonne nuit ! Comment ? Ces dames, der-rière ces vitrines ? Le rêve, monsieur, le rêve à peu de frais, le voyageaux Indes ! Ces personnes se parfument aux épices. Vous entrez, elles tirent les rideaux et la navigation commence. Les dieux descendent sur les corps nus et les îles dérivent, démentes, coiffées d’une chevelure ébouriffée de palmiers sous le vent. Essayez.[23]Qu’est-ce qu’un juge-pénitent ? Ah ! je vous ai intrigué avec cette histoire. Je n’y mettais aucune malice, croyez-le, et je peux m’expliquer plus clairement. Dans un sens, cela fait même partie de mes fonctions. Mais il me faut d’abord vous exposer un certain nombre de faits qui vous aideront à mieux comprendre mon récit.Il y a quelques années, j’étais avocat à Paris et, ma foi, un avocat assez connu. Bien entendu, je ne vous ai pas dit mon vrai nom. J’avais une spécialité : les nobles causes. La veuve et l’orphelin, comme on dit, je ne sais pourquoi, car enfin il y a des veuves abusives et des orphe-lins féroces. Il me suffisait cependant [24] de renifler sur un accusé la plus légère odeur de victime pour que mes manches entrassent en action. Et quelle action ! Une tempête ! J’avais le cœur sur les man-ches. On aurait cru vraiment que la justice couchait avec moi tous les soirs. Je suis sûr que vous auriez admiré l’exactitude de mon ton, la justesse de mon émotion, la persuasion et la chaleur, l’indignation maî-trisée de mes plaidoiries. La nature m’a bien servi quant au physique, l’attitude noble me vient sans effort. De plus, j’étais soutenu par deux sentiments sincères : la satisfaction de me trouver du bon coté de la barre et un mépris instinctif envers les juges en général. Ce mépris, après tout, n’était peut-être pas si instinctif. Je sais maintenant qu’il avait ses raisons. Mais, vu du dehors, il ressemblait plutôt à une pas-sion. On ne peut pas nier que, pour le moment, du moins, il faille des juges, n’est-ce pas ? Pourtant, je ne pouvais comprendre qu’un homme se désignât lui-même pour exercer cette surprenante fonction. Jel’admettais, puisque je le voyais, mais un peu comme j’admettais les sauterelles. Avec la différence que les invasions [25] de ces orthoptè-res ne m’ont jamais rapporté un centime, tandis que je gagnais ma vie en dialoguant avec des gens que je méprisais.Mais voilà, j’étais du bon côté, cela suffisait à la paix de ma cons-cience. Le sentiment du droit, la satisfaction d’avoir raison, la joie de s’estimer soi-même, cher monsieur, sont des ressorts puissants pour nous tenir debout ou nous faire avancer. Au contraire, si vous en pri-vez les hommes, vous les transformez en chiens écumants. Combien de crimes commis simplement parce que leur auteur ne pouvait supporter d’être en faute ! J’ai connu autrefois un industriel qui avait une femme parfaite, admirée de tous, et qu’il trompait pourtant. Cet homme enra-geait littéralement de se trouver dans son tort, d’être dans l’impossibilité de recevoir, ni de se donner, un brevet de vertu. Plus sa femme montrait de perfections, plus il enrageait. A la fin, son tort lui devint insupportable. Que croyez-vous qu’il fît alors ? Il cessa de la tromper ? Non. Il la tua. C’est ainsi que j’entrai en relations avec lui.Ma situation était plus enviable. Non seulement, je ne risquais pas de rejoindre le [26] camp des criminels (en particulier, je n’avais aucu-ne chance de tuer ma femme, étant célibataire), mais encore je pre-nais leur défense, à la seule condition qu’ils fussent de bons meur-triers, comme d’autres sont de bons sauvages. La manière même dont je menais cette défense me donnait de grandes satisfactions. J’étais vraiment irréprochable dans ma vie professionnelle. Je n’ai jamais ac-cepté de pot-de-vin, cela va sans dire, mais je ne me suis jamais abais-sé non plus à aucune démarche. Chose plus rare, je n’ai jamais consenti à flatter aucun journaliste, pour me le rendre favorable, ni aucun fonc-tionnaire dont l’amitié pût être utile. J’eus même la chance de me voir offrir deux ou trois fois la Légion d’honneur que je pus refuser avec une dignité discrète où je trouvais ma vraie récompense. Enfin, je n’ai jamais fait payer les pauvres et ne l’ai jamais crié sur les toits. Ne croyez pas, cher monsieur, que je me vante en tout ceci. Mon mérite était nul : l’avidité qui, dans notre société, tient lieu d’ambition, m’atoujours fait rire. Je visais plus haut ; vous verrez que l’expression est exacte en ce qui me concerne.[27]Mais jugez déjà de ma satisfaction. Je jouissais de ma propre na-ture, et nous savons tous que c’est là le bonheur bien que, pour nous apaiser mutuellement, nous fassions mine parfois de condamner ces plaisirs sous le nom d’égoïsme. Je jouissais, du moins, de cette partie de ma nature qui réagissait si exactement à la veuve et à l’orphelin qu’elle finissait, à force de s’exercer, par régner sur toute ma vie. Par exemple, j’adorais aider les aveugles à traverser les rues. Du plus loin que j’apercevais une canne hésiter sur l’angle d’un trottoir, je me pré-cipitais, devançais d’une seconde, parfois, la main charitable qui se tendait déjà, enlevais l’aveugle à toute autre sollicitude que la mienne et le menais d’une main douce et ferme sur le passage clouté, parmi les obstacles de la circulation, vers le havre tranquille du trottoir où nous nous séparions avec une émotion mutuelle. De la même manière, j’ai toujours aimé renseigner les passants dans la rue, leur donner du feu, prêter la main aux charrettes trop lourdes, pousser l’automobile en panne, acheter le journal de la salutiste, ou les fleurs de la vieille mar-chande, dont je savais pour [28] tant qu’elle les volait au cimetière Montparnasse. J’aimais aussi, ah, cela est plus difficile à dire, j’aimais faire l’aumône. Un grand chrétien de mes amis reconnaissait que le premier sentiment qu’on éprouve à voir un mendiant approcher de sa maison est désagréable. Eh bien moi, c’était pire : j’exultais. Passons là-dessus.Parlons plutôt de ma courtoisie. Elle était célèbre et pourtant in-discutable. La politesse me donnait en effet de grandes joies. Si j’avais la chance, certains matins, de céder ma place, dans l’autobus ou le métro, à qui la méritait visiblement, de ramasser quelque objet qu’une vieille dame avait laissé tomber et de le lui rendre avec un sou-rire que je connaissais bien, ou simplement de céder mon taxi à une personne plus pressée que moi, ma journée en était éclairée. Je me réjouissais même, il faut bien le dire, de ces jours où, les transports publics étant en grève, j’avais l’occasion d’embarquer dans ma voiture,。
pléte.le.phrase.suivante.e.choisissan.A.B..o.D.Chaqu.phras..u.seu.choix.2.Vous pouvez me donner _______ adresse ?3. A.m....... B.mo..... C.to.......D.votre4.Ces Mexicains n’oublient pas _______ pays.5...A.so...... B.se.......C.leu.......D.leurs6.Pour parfumer ce gâteau, il faut ajouter je ne sais ________ épices.bie.....C.tro.d.... D.lesquelles8._______ année, l’association organise une fête pour tous les membres.9...A.L’autr..... B.Chacun..... C.Chaqu.... D.Toute10._______ est son adresse ?men..... B.Qu.......C.Quell.... D.Qu’12.Donnez-moi le ________ livre du troisième rayon de la bibliothèque.13...A.premie.....B.premièr..... C.premier.... D.premières14.Je te donnerai _______ meilleur cheval.15...A.mo....... B.m...... C.to...... D.ta16.Je me demande _______ est sa réaction ?men.....B.que.....C.o......D.quelle18.Montrez-moi un _______ modèle.19...A.autr....... B.autre...... C.aucu.....D.aucune20.J’ai déjà lu ________ les revues.21...A.toute.....B.tout.....C.tou..... D.tous22.Expliquez _______.23..l..mo...B..m..l... C..mo..l...D..m.cela24.Le directeur ______ d’arriver.25.vien.....B.v......C.es......D..A.I.chant.vraimen.bien.j.l’a.entend.______...26.chante....B.chant.... C.chantan... D.avoi.chanté27.Il a passé toute la soirée _______ écrire des lettre.28.pa..... B.pou..... C....... D.d’29.Est-ce que les enfants _______ les mains avant de se mettre à table ?vé.. vévées31.J’ai beaucoup de disques ; mais vous en avez encore ______ que moi.32.autan....B.mieu..... C.plu.....D.moinsA.Me.parant.on.fêt.leur.soixant.ans.______.son.plu.âgé.33.Le.sien...B.Le.sienne... C.Le.nôtre... D.L.sien34.– Cela mérite d’y aller, à cette exposition ? –Non, il n’y a rien _______ .35.intéressant...B.d’intéressan... C.intéressan... D.d’intéressante36.De nos tous, c’est elle qui danse ______ .37.l.mieu....B.mieu......C.bie......D.trè.bie.38.Elles étaient _______ heureuses à l’idée de partir.39.tou.....B.tout.....C.tout......D.toute.40.On ne sait ______ il vient, où il va, ni qui il est.41.o..... B.l.o.... C.d’o......D.c.qu’A.So.aut.es.e.panne.Pêtez-lu.______.42.l.sie...B.l.sienn.... C.l.vôtr....D.l.vôtre43.C’est une maladie qui est facile ______ guérir.44.pou... B........ C.d.....D.e.45.– As-tu parlé de cette conférence à Jaques ? – Oui, je _____ ai parlé.46.l.lu...B.e.lu.....C.lu.e....D.lu.l’47.Ce jeune couple aime faire ______ longues promenades en forêt.48. d....B.d.....C.le.... D.de.49.Nous décidons de passer nos vacances ______ Irande.50. e....B...... C.su.... D.a.51.–Est-ce que les jeunes pensent à leur avenir ? – Oui, ils _____ pensent souvent.52.....B.l.....C.l.... D.e.53.Passez-moi le dictionnaire ______ j’ai besoin, s’il vous plaît.54.qu...B.don....C.o....D.qu.55.Cet homme pessimiste croit que tout va de mal en _____ .56.ma...B.bie....C.pi....D.plu.mauvais57.Quand vous traversez la rue, vous devez faire attention _______ la circulation. pa...B.pou....C..... D.deI.Mettez les verbes au passé composé ou à l’imparfait ?1.Hier soir ? Non, je (ne pas aller) _____________ au cinéma avec ma femme, je (avoir)_____ trop de travail.2.Oui, oui, ils (rester) à la ma ison parce au’il (pleuvoir)________.3.Hie.après-midi.Marc.(voir)_______.Sophie.Ell.(s.promener.________ave.Vincen.a.jardi.d.Luxembourg.4.Quand tu (téléphoner) __________, je (être) ________dans mon bain.5. C.matin.Sophi.(aller._______..l.banque.Ell.(être._______fermée.6.L’amé.dernière.nou.(aller.________.e.Grèce.C.(être._______.a.moi.d’avril.I.n’.(avoir.________.pa.beaucou.d.touristes.Nou.(passer.________.de.vacance.formidables.7.Quand est-ce qu’elle (déménager) _________ ?8.Je (conduire) _________ Pierre à l’écol e ce matin.9.Il (blesser) ________ un policier.10.Marc.n’.rie.entendu.I.(écouter.______.d.l.musique.11.Je (mettre) ________ souvent cette robe l’an dernier, mais maintenant je ne la porteplus.12.Quand il (entrer) ________ en prison, il ne (savoir) ________ni lire ni écrire.II.Mettez les verbes au présent ou au futur simple.1.Si ta soeur (réserver) _________ sa place maintenant, elle pourra prendre le TGV.2.Nous louerons un appartement plus grand si nous (avoir) _______ assez d’argent.3.Si on rentre après une heure du matin, on (prendre) ________ un taxi.4.Michel (être) _______ très heureux si on lui rend visite dimanche.III.Mettz les verbes au futur simple ou au futur antérieur.1.Quand vous (réparer) ___________ la voiture, nous nous promènerons au bord du lac.2.Je (trava iller) _________ omme architecte quand j’aurai fini mes études.3.Mon ami français me téléphonera lorsau’il (arriver) _________ à Paris.4.L’enfant (faire) ________ des exercices quand son professeur de piano arrivera.5.On (finir) ________ son travail avant la pluie.6.Une fois que tu (poser) _______ la nappe, je pourrai mettre le couvert.IV.Mettez les verbes aux temps convenables.1.Ta mère (téléphoner) _________ il y a quelques secondes.2.Le musée d’Orsay (être) _________ fermé tous les lundi.3.On (pouvoir) _______ v isiter l’exposition jeudi prochain.4.Les dernières vacances, nous les (passer) _______ à Paris.5.Le ciel est bas, je pense qu’il (pleuvoir) _______.6.Le train (venir) _______ de partir quand je suis arrivé à la gare.7.I.étai.midi.Beaucou.d’employé.(déjeuner._____.déjà.8.Dimanche dernier, elle (rendre) ______ visite à des amis.9.Mon grand-père m’a dit qu’il (voyager) _______ très loin à l’âge de 18 ans.10.Je voulais voir le directeur, mais il (partir) _______ en mission.plétez les phrases avec un pronom relatif convenable. bière _______ je bois n’est pas bonne.2.Le fax ______ était sur le bureau a disparu.3.Le musée _______ vous voulez visiter est fermé le mardi. jeune fille ______ vient vers nous est mon professeur de piano.5.Le parfum ______ il m’a offert, c’est Chanel N o5.6.Le Jules Verne est un restaurant ______ se trouve au deuxième étages de la tour Eiffel et______ j’ai connu pour mon trentième anniversaire.7.Le quartier _______ j’habite est très animé.8.Le directeur a une secrétaire _______ arrive toujours en retard.9.C’est le passeport _______ tu viens chercher ?10.Le vert est la couleur _______ que je préfère.11.Le patron a acheté un camion _______ ne roule pas assez vite. Provence est une région de France _______ il fait beau presque toute l’année. tarte aux fruits _______ ma mère prépare sera délicieuse.14.Les grands restaurants de Paris, ______ proposent des spécialités de leur chef, sont trèschers.15.J’ai visité la capitale un jour ______ il y avait un festival. jeune fille à ______ ma mère a parlé est mon professeur de piano.17.Voila Jaques, le garçon ______ je t’ai si souvent parlé.18.Regardez les photos ______ j’ai prises du château de Versailles.19.On a visité un appartement ______ le balcon est très grand.20.Pierre nous a dit une nouvelle ______ il n’éta it pas sûr lui-même. chef du personnel ______ est malade vous revevra la semaine prochaine.22.J’ai emprunter quelques magasines ______ deux sont en français.23.Vous connaissez Marseille ? C’est une ville _____ j’ai travaillé pendant deux ans.24.Les bistrots du Quatier latin, _____ servent des petits menus _____ on apprécie quandon a peu d’argent, sont très typiques.25.Anne veut mettre la robe ______ la couleur est à la mode.plétez les phrases avec une préposition convenable.1.Je voudrais une chambre ______ deux lits.2.Nous apprenons le français ______ un an.3.Il y a une lettre ______ M.Leloup.4.Les clefs sont ______ le bureau.5.Je ferai un voyage ______ Grèce cet été.6.Il reste là ______ rien faire.7.C’est une statue _______ jade.8.Ma voisine fait des provisions _______ quinze jours.9.Le boucher enveloppe la viande _______ une feuille de papier.10.J’ai envie _______ un gâteau à la crème.11.On a assisté ______ une réunion importante.12.Pour des renseignements, adressez-vous _______ l’acceuil.13.Je n’arrive pas ______ comprend re cette phrase.14.Les Dupont projettent ______ acheter une maison de campagne.15.Je pourrai vous aider _____ transporter ces paquets.1.VIII.Traduise.le.phrase.e.chinois.2.Écris comme il faut.3.Faites comme vous voulez.4.Je suis étonné d’apprendre cette nouvelle.5.Ce long voyage m’a beaucoup fatigué.6.Vous pouvez me téléphoner à l’heure du dîner.7.Tu te souviens de la promenade qu’on a faite en forêt ?8.Le téléviseur ne marche plus.9.Mon ami a tellement changé que je ne la reconnais pas.10.C’est bien lui qui a vu l’accid ent. vie est très chère à Paris.12.L’électricité est moins polluante que l’essence. nouvelle mariée est en blanc. production augmente d’année en année.15.Ce verre se casse facilement.16.Le fromage se mange avec du vin rouge.1.IX.Traduise.le.phrase.e.chinois.2.高速公路上发生了一起车祸。
法语综合教程第三册第五课练习答案Le?on 5E xercices de grammaire (L e passé antérieur de l’indicatif)I. Conjuguez au passé antérieur de l’infinitif:II. Mettez les verbes entre parent hèses au passé antérieur ou au passé simple de l’indicatif:1.fus rentré(e), me mis2.écrivis, eus re?u3.eus-je entendu, me levai4.eus rédigé, passai5.démarra, eut donné6.eut re?u, seut re?u,s’embarqua7.eut ouvert, fut8.eurent joué, éclataIII. Mettez les verbes aux temps du passé:1.eut recopié, repartit2.était, avait plu3.eut sonné, se précipitèrent4.ent ra, était5.eut ouvert, se tut6.eut-il fini, applaudit7.eut entendu, sauta, courut8.entendait, descendait, avait9.se fut-il terminé, me mis10.quittèrent, se furent endormisIV. Mettez au passé antérieur les infinitifs entre parenthèses en faisant attention à l’i nversion du sujet :1.eut trouvé,2.eurent atteint3.eurent-ils quitté4.se fut-elle ouverte5.eut prononcé6.eut vite réalisé7.se fut fait couper8.se fut levéE xercices de grammaire (L e gérondif)I. Répondez sur le modèle suivant en utilisant les éléments donnés:1. Nous avons déjeuné en discutant.2. Ils ont conduit en regardant la carte.3. Elle est arrivée en éclatant de rire.4. J’ai marché en admirant le paysage.5. Il a quitté sa femme en claquant la porte.6. J’ai retrouvé mes amis en pleuran t de joie.7. Elle a préparé le repas en écoutant du Mozart.8. J’ai visité Lyon en faisant des achats.II. Mettez une flèche pour associer faits et causes:1.En restant allongée au soleil, j’ai attrapé une insolation.2.Tu aggraves ta vue en ne portant pas tes lunettes.3.Vous m’inquiétez en me disant ?a.4.En m’écrivant parfois elle me montre sa gentillesse.5.Ils se sont acheté un appartement en mettant de l’argent de c?té.6.Ils améliorent leur fran?ais en écoutant la radio.7.En arrêtant de fumer vous prolongez votre vie.8.Vous allez grossir en mangeant si sucré.III. Formulez des conditions à l’aide du gérondif:1.En ouvrant les fenêtres ils entendraient les oiseaux chanter.2.Elle apprendrait facilement ses le?ons en écoutant mieux en classe.3.En prenant le train de 18 heures, j’arriverai avant la nuit.4.Il serait en meilleure forme en faisant du sport.5.Les Fran?ais consommeraient davantage en craignant moins le ch?mage.6.En refusant ce poste tu feras une grave erreur.7.En nous entra?nant régulièrement nous pourrions gagner ce match.IV. Retrouvez la fin des phrases :.A.1-c, 2-g, 3-f, 4-b, 5-e, 6-a, 7-dB.1-b, 2-f, 3-a, 4-e, 5-g, 6-d, 7-cE xercices de grammaire-RévisionI. Complétez le texte par des pronoms relatifs:qui, qu’, qui, qui, où, qui, dont, qu’, dont, oùII. Complétez les textes par:1.et, Mais, car, ou, donc2.pourtant, D’une part, d’autre part, aussi, alors3.car, Soudain, Pourtant, donc, Alors, En effetIII. Complétez les phrases avec qui, que, dont, à quoi:1.qui2.dont3.que4.à quoi5.qui6.qui7.à qu oi8.que9.queIV. Réécrivez le s textes en mettant les verbes au temps passé:A.était, était, devait, proposait/avait proposé, était, cherchait, a pris, se trouvait/se trouve, connaissait, s’est rendu, allait, s’est renseigné, était, est descendu, a couru,commen?ait, avait, est arrivé, s’est présenté, a vérifié, a regardé, avaitB.allais, avions, était, devrait, sommes partis, étions, sommes arrivés, a glissé, s’est fait, pouvait, Fallait, étions, avons cherché, avons monté, allait, était, avions, avons grimpé, sommes redescendus, sommes arrivés, n’était pas, avons eu, l’avons appelé, est revenu, avons démonté, avons continuéV. Mettez les verbes à la forme conjuguée qui convient et complétez la lettre en utilisant les mots de la liste :Le, dernier, pa r, ai trouvé, dans, Quand, suis arrivé, ai eu, derrière, sont, Tous les, suis réveillé, à, ai payé, ai passé, sais, vais, tout de suite, lirai, conseilleraiVI. Complétez cette lettre avec des expressions du temps:il y a, aussit?t/tout de suite, depuis/il y a, pendant, prochaine, prochain, pour, dernier, dans, depuis/pendantE xercices de vocabulaireI. Vous travaillez au ? service clientèle ? d’un grand magasin. Des clients se plaignent. Choisissez la réponse la plus aimable:1.a2.b3.b4.a5.b6.bII. Réécrivez les phrases suivantes en employant la tournure ? assez … pour?:1.Il ne se sent pas assez fort pour se lever.2.Je dessine trop mal pour faire une affiche.3.Il n’est pas assez fort pour porter ce sac.4.Elle travaille assez pour rattraper son retard.5.Vous êtes ici depuis assez longtemps pour le savoir.6.Je ne connais pas assez bien la ville pour vous servir de guide. III. Complétez les phrases suivantes avec l’un des mots proposés:1.téléphone2.main3.tonnerre4.revolver5.pied6.fusil7.raquette8.hache, graceIV. Refaites les phrases suivantes en employant les verbes pronominaux :1.Ce livre se lit facilement./doc/ce728dd3591b6bd97f192279168884868662b822.html Tour Eiffel se voit de loin.3.Ce mot ne s’emploie pas au singulier.4.Nous nous mettons à travailler.5.Des universités se trouvent dans le quartier La tin.6.Cette règle de grammaire se comprend sans difficulté.7.Je me souviens encore de mon excellent séjour en France.8.Ici, le participe passé s’accorde avec son sujet.9.Les cours du matin se terminent à midi moins le quart.10.Elle s’appelle Li Ling.11.T’es-tu pro mené ce matin?12.Les enfants se sont bien amusés dans la cour.13.Le père ne se sent pas assez fort pour se lever.V. Complétez les phrases suivantes avec l’un des mots proposés en faisant attention à l’orthographe:1.douzaine2.siècle3.tarif4.finale5.saison6.bouteille7.tour8.soeurs9.heures10.journéesVI. Lisez les phrases suivantes, donnez-vous la même traduction en chinois au mot souligné ?1.圣经上说,上帝创造了世界。
La Promenade des AnglaisLes grandes villes du bord de mer ont (1) une belle avenue qui longe la côte. Il fait bon (2) promener de jour comme de nuit. Marseille a sa «Cannebière », Cannes sa « Croisette » et Nice sa « Promenade des Anglais ».(3) ,longue de 7 kilomètres, va jusqu'à l’aéroport de Nice. Elle est plantée de magnifiques palmiers (4) font l'originalitéde la ville. Mais pourquoi cette Promenade « des Anglais » en France ?Dès la fin du XVIII e siècle, ils furent nombreux à venir passer l'hiver à Nice. La ville bénéficie (5) ensoleillement et son climat est très doux, grâce aux Alpes qui (6) la ville des vents du nord. De nombreux Anglais sont venus très tôt y soigner leurs poumons et leurs rhumatismes. En 1820, près de 100 familles anglaises (7) à Nice dans de magnifiques demeures avec vue sur la mer.L'hiver 1820-1821 fut exceptionnellement rigoureux àNice. Les mendiants (8) de plus en plus nombreux. Le Révérend Lewis Way, sa femme et son beau-frère, collectèrent des fonds pour employer les chômeurs àla construction d'un chemin de deux mètres de large entre ces maisons et la plage. Ils l'appelèrent le Chemin des Anglais. (9) années, le chemin s'est élargi, allongé... jusqu'àdevenir cette magnifique avenue qui fait (10) de Nice aujourd'hui :la Promenade des Anglais.(1) A. tout B. toute C. tous D. toutes(2) A. d'y B. s'y C. s'en D. où(3) A. Cette dernière B. Ce dernier C. Ces dernières D. ces derniers(4) A. que B. dont C. qui D. où(5) A. un fort B. d'un fort C. de fort D. à fort(6) A. proposent B. provoque C. protègent D. provient(7) A. ont vécu B. étaient vécu C. vivaient D. ont été vécus(8) A. se furent B. furent C. firent D. se firent(9) A. Vers la fin des B. au cours des C. Au fil des D. Au bout des(10) A. l’orgueil B. l’objet C. l'or igine D. l'original(1)D (2)B (3)A (4)C (5)B (6)C (7)C (8)D (9)C (10) ALes Restos du CœurEn 1985,la situation de la France est préoccupante. Textile, charbon, sidérurgie, chantiers navals, chimie :des secteurs entiers de l'économie (1) . 10,5% de la population active est au chômage, (2) 2,5 millions de personnes. Beaucoup ne retrouvent plus de travail. (3) 18 à 24 mois, lorsque les aides de l'État se terminent, ils tombent dans la grande pauvretéet beaucoup ne trouvent plus d'autre solution que de vivre dans la rue.Le comique Coluche, (4) un milieu extrêmement modeste, ne supporte pas cette situation. (5) la mode est aux grands concerts humanitaires pour aider les pays du tiers-monde victimes de la famine, il trouve inadmissible qu'en France tout le monde ne mange pas àsa faim. Il lance àla radio (6) d'une grande cantine gratuite. Le succès est immédiat. Les offres d'aide affluent. Il obtient (7) la distribution des surplus alimentaires européens (8) organisation humanitaire n'avait demandée auparavant. De nombreux amis artistes le rejoignent. (9) naissent « Les Restos du Cœur ».Vingt ans plus tard, et (10) la mort accidentelle de Coluche en 1986, 2 500 Restos distribuent 650 000 repas gratuits chaque jour dans toute la France. 50000 bénévoles ont rejoint cette association qui est la préférée des Français.(1) A. se sont effondrés B. s'effondrent C. s'effondraient D. se fondrent(2) A. sois B. soie C. soit D. soi(3) A. Au bout de B. À bout de C. De D. En(4) A. issue d' B. à issue de C. issu d' D. à issu d'(5) A. Pour que B. Sans que C. Bien que D. Alors que(6) A. l'idée B. l'avis D. la sensation D. le sujet(7) A. quand même B. même C. ensuite D. l'esprit(8) A. que chaque B. que chacune C. qu'aucun D. qu'aucune(9) A. Alors B. Ainsi C. Aussi D. Par conséquent(10) A. malgré B. à cause de C. grâce à D. par suite de(1)B (2)C (3)A (4)C (5)D (6) A (7) B (8) D (9)B (10) AComment demander une augmentation à son patron Contrairement (1) l'on croit, le mois de décembre n'est pas forcément le meilleur moment pour demander une augmentation, car tout le monde décide de le faire à cette période-là.Il faut arriver àl'entretien (2) :«Je vais réussir». Surtout, ne jamais annoncer un chiffre, car le premier qui parle est le plus vulnérable. Il faut commencer par exposer tranquillement le côté (3) de son travail :« Voilà (4) j’ai apporté à l'entreprise ». Montrer qu'on a le souci (5) ,mais qu'on aimerait bien recevoir une part du gâteau en retour. Puis, laisser parler le responsable. Il donnera alors un chiffre. Il faut répéter ce chiffre àvoix haute et rester silencieux. C'est ce qu'on appelle la technique de l'écho. Cela oblige le responsable à justifier sa (6) .Si l'entreprise ne peut pas (7) d'augmentation, on peut négocier un avantage en nature :des congés sans solde, des horaires aménagés... Ne pas menacer de (8) si l'on n'a pas l'intention de le faire :après, on n'est plus crédible. Dire simplement :« Je vais réfléchir ». C'est beaucoup plus efficace. Si c'est le patron qui demande àréfléchir, (9)demander quand il pourra répondre et noter cette date. Si aucune augmentation n'a été obtenue (10) les six à douze mois suivants, alors on peut commencer à regarder ailleurs.(1) A. à ce que B. ce que C. ce qui D. de ce que(2) A. se disent B. disant C. en se disant D. dire(3) A. négatif B. passif C. actif D. positif(4) A. à ce que B. ce que C. ce qui D. de ce que(5) A. être efficace B. d'être efficace C, d'être certain D. d'être sûr(6) A. proportion B. propriétaire C. position D. proposition(7) A. accorder B. accroître C, accrocher D. accomplir(8) A. démarquer B. démobiliser C. démissionner D. démocratiser(9) A. en B. lui C. on D. y(10) A. en B. depuis C. pour D. dans(1)A (2)C (3)D (4)B (5)B (6)D (7)A (8)C (9)B (10)DLe plus gros avion civil du mondeIl s'appelle l'Airbus A 380. Il (1) dix-sept ans pour passer d'une simple idée au vol inaugural le 27 avril 2005 au-dessus du sud-ouest de la France. 50 000 personnes assistaient à l'événement. Les six membres d'équipage étaient (2) des pilotes d'essai très expérimentés. Ils n'avaient pas moins de 13 000heures de vol à leur actif.Six mille ingénieurs ont travaillé sur les plans de ce long courrier construit àla fois en France, en Allemagne, en Espagne et au Royaume-Uni. L'assemblage des pièces (3) en France, à Toulouse. C'est le premier avion àdeux étages. Il mesure 73 mètres de long (4) 24 mètres de large. Seuls soixante aéroports dans le monde pourront l’accueillir et certains devront même entreprendre quelques aménagements. Il pourra transporter de 555 à840 passagers. Dans sa version la plus luxueuse, il proposera des salons, des chambres avec vidéo, une boutique duty free et un bar-restaurant. Ces aménagements n'existeront que dans les versions « affaires » (5) le billet sera dix fois supérieur (6) des classes économiques. (7) la version cargo, elle pourra transporter 150 tonnes de fret.Le 4 septembre 2006, l'A 380 décollait de l'aéroport de Toulouse avec 474 passagers (8),pour un vol de 6 700 km au-dessus de l'Europe. Il s'agissait d'experts (9) de tester le fonctionnement et le confort de la cabine (air conditionné, luminosité, acoustique, toilettes, etc.)Le 12 décembre 2006, il obtenait son certificat de navigabilité après plus de 2 600 heures de vol. À ce jour, 168 appareils ont étécommandés. Le premier A 380 devrait (10) fin 2007 àSingapore Airlines. Cet avion géant devrait révolutionner la mobilité intercontinentale des hommes et des biens.(1) A. faut B. a fallu C. aura fallu D. faudra(2) A. tout B. toutes C. toute D. tous(3) A. se fait B. fait C. faisant D. en faisant(4) A. à B. sur C. de D. pour(5) A. que B. qui C. où D. dont(6) A. à celui B. de celui C. celui qui D. celui que(7) A. Quand B. Quant à C. Selon D. dans(8) A. au bord B. sur le bord C. à bord D. dans le bord(9) A. charger B. chargés C. chargeant D. chargent(10) A. livrés B. livrer C. être délivré D. délivrant.(1)C (2)D (3)A (4)B (5)D (6)A (7)B (8)C (9)B (10)CLa guerre à la cigaretteVoici trente ans que l'État français mène la vie dure aux fumeurs (1) leur faire prendre conscience des risques qu'ils prennent. Le cancer du poumon est le plus meurtrier (2) tous les cancers. Il est responsable de 25 000 nouveaux cas chaque année en France et est considéré comme un problème majeur de santé publique.Le 9 juillet 1976, Iâ loi Veil interdisait de fumer dans les hôpitaux et Jes locaux (3) des mineurs. La mention « abus dangereux » devenait obligatoire sur les paquets de cigarettes.Le 10 juillet 1991,la loi Évin (4) la création de zones fumeurs et non fumeurs dans les restaurants, les trains et les avions. La publicitépour les cigarettes était interdite et le message sanitaire renforcé sur les paquets.En 2003, l'État franchissait un palier supplémentaire (5) la vente de tabac aux mineurs. Et en 2005, la mention《flimer tue » devenait obligatoire sur tous les paquets de cigarettes.(6) 1er février 2007, il sera interdit de fumer dans les lieux publics et les lieux de travail fermés et couverts, (7) dans les cours de récréation des écoles, collèges, lycées et tous lieux hébergeant des mineurs. Il sera possibled'installer des fumoirs, sauf dans les hôpitaux et les écoles. (8) non respect de la loi, les fumeurs devront (9) une amende de 68 euros et les établissements (cafés, tabacs, casinos, hôtels, restaurants, discothèques) d'une amende de 135 euros.《Ne laissez pas votre vie partir en fumée » conseille-t-on (10) Français.(1) A. afin B. afin que C. afin de D. enfin de(2) A. de B. que C. dans D. pour(3) A. accueillent B, accueillant C. accueilli D. en accueillant(4) A. posait B. exposait C. imposait D. déposait(5) A. interdit B. interdise C. interdisant D. en interdisant(6) A. Depuis B. Dans C. À partir de D. À partir du(7) A. ainsi que B. que C. afin que D. sans que(8) A. En vue de B. En cas de C. En cas où D. En raison de(9) A. s'acquitter B. acquérir C. s'acquitter à D. s'acquitter d'(10) A. les B. aux C. des D. avec les(1)C (2)A (3)B (4)C (5)D (6)D (7)A (8) B (9)D (10)BLa place des femmesDe nos jours, plus personne n’oserait affirmer (1) la place des femmes est àla cuisine. Dans le monde, onze femmes sont (2) pouvoir. Six sont chefs d'État :au Chili, au Libéria, en Finlande, en République d'Irlande, en Lettonie et aux Philippines. Quatre sont chefs de gouvernement :en Allemagne, au Mozambique, au Bangladesh et en Nouvelle-Zélande.Quant àHillary Clinton, elle sera en bonne place lors de la prochaine élection américaine. Pourtant, la politique (3) toujours une affaire d'hommes. Mais les femmes bénéficient aujourd'hui d'une image de fraîcheur et de nouveauté, (4) des scandales de corruption.En France, pour la première fois lors d'une élection présidentielle, la candidate socialiste Ségolène Royal a des chances (5) en 2007. Le ministère de la Défense est dirigé par une femme, Michèle Alliot-Marie. La direction de la SNCF a enfin été (6) une femme, Anne-Marie Idrac. Et c'est également une femme, Laurence Parisot, qui a été élue (7) l'organisation patronale le Medef, le Mouvement des Entreprises de France. Le patron des patrons est donc une patronne !Pourtant, dans l'entreprise, la lutte est loin (8) .Les femmes touchent toujours un salaire de 20% inférieur (9) des hommes en moyenne et elles restent nettement moins nombreuses aux postes clefs. Les hommes (10) reprochent toujours d'être trop fragiles physiquement, ou même de ne pas supporter la pression. En réalité, ils acceptent mal d'être dirigés par une femme !(1) A. qui B. où C. que D. dont(2) A. au B. en C. un D. le(3) A. était B. sera C. serait D. a été(4) A. éloignée B. éloigné C. proche D. éloignées(5) A. d'élire B. d'être élue C. d'être élu D. élue(6) A. confié à B. confiée à C. confiée de D. confuse de(7) A. en tête de B. de la tête de C. à la tête de D. de la tête de(8) A. d'arrivée B. achevée C. d'avoir achevé D. d'être achevée(9) A. de celui B. de celle C. à celui D. auquel(10) A. les B. leur C. en D.y(1)C (2) A (3) D (4)A (5)B (6)B (7) C (8)D (9) C (10) BS'installer en maison de retraiteOn connaît les précautions prises pour l'adaptation d'un petit enfant à la crèche. S'adapter à une maison de retraite pour une personne âgée, souvent malade, handicapée, en tout cas diminuée, est (1) une rude épreuve.Afin que le futur résident ne soit pas trop désorientéle jour de son installation, il faut qu'il (2) visiter son nouveau lieu de vie avant (3) emménager, qu'il voie les responsables, qu'il s'entretienne longuement avec (4) . L'idéal est qu'il prenne quelques déjeuners ou dîners sur place pour tester le service, ou même qu'il fasse un séjour (5) .L'établissement doit permettre d' (6) un minimum de petits meubles, de photos, d'effets personnels, afin que la personne âgée se sente un peu chez elle dans sa nouvelle chambre, se raccroche à des bonheurs anciens. Tous ces petits objets provoqueront des échanges avec le personnel et les autres résidents et favoriseront l'adaptation du nouveau venu.Cette préparation doit se faire en famille pour qu'il n'oublie rien et réfléchisse tranquillement (7) il devra emporter. Les vêtements doivent tous être marqués à son nom pour éviter qu'on les (8) :là encore, il a besoin d'aide.Souvent considérée comme un abandon, l’installation en maison de retraite est plutôt mal vécue par les personnes âgées. Elle (9) est aussi par leurs enfants (10) culpabilisent de ne pouvoir les prendre chez eux. Il est donc important de soigner ce moment difficile.(1) A. également B. facilement C. difficilement D. différemment(2) A. peut B. puisse C. pourra D. pourrait(3) A.d’ B.y C d'y D. d'en(4) A. lui B. elle C. lui D. eux(5) A. important B. confortable C. temporaire D. impressionnant(6) A. apporter B. emporter D. exporter D. importer(7) A. ce qui B. ce qu' C. à qui D. à ce qu'(8) A. perd B. perde C. a perdus D. garde(9) A. l’ B. la C. y D. en(10) A. que B. qui C. dont D. où(1)A (2)B (3)C (4)D (5)C (6)A (7)D (8)B (9)A (10) BLe chocolatCertains l'aiment chaud, (1) le préfèrent en tablette, en pâte à tartiner, en barre ou en bouchée ...En France, on (2) en moyenne 7,5 kg de chocolat par an et par habitant (11,7 kg en Suisse). Les femmes sont plus (3) que les hommes et préfèrent le chocolat noir (4) chocolat au lait ou blanc. Très (5),le cacao améliore l'endurance physique et intellectuelle, alors pourquoi (6) priver ?C'est un aliment complet qui contient des vitamines, du potassium, du magnésium, du calcium et du fer. Il est riche en fibres et possède des graisses faciles à digérer.L'Union Européenne a (7) les fabricants de chocolat àajouter sucre, crème et gras au cacao. La Belgique et la Suisse, gros producteurs, profitent largement de ces nouvelles possibilités, mais la France refuse et reste le dernier bastion européen du chocolat pur. Les grands chocolatiers françaissont très (8) dans le monde entier.Pour les folles de chocolat, certains instituts de beautéàla pointe du progrès épilent à la cire de chocolat et proposent des bains ou des massages (9) cacao :la cacao thérapie est née. Le couturier français Thierry Mugler a également crééun parfum au chocolat. Il s'appelle Angel. Une fragrance angélique, sans doute, (10) invite au paradis...(1) A. l'autre B. les autres C. d'autres D. d'autre(2) A. mange B. consomme C. utilise D. sert(3) A. travailleuses B. élégantes C. gourmandes D. feignantes(4) A. du B.à C. au D. en(5) A. nutritif B. sucré C. appétissant D,croquant(6) A. s'en B. s'y C. en D. les(7) A. permis B. prévenu C. accordé D. autorisé(8) A. pris B. privés C. prisé D. prisés(9) A. avec B. au C. dans D, en(10) A. ce qui B. que C. ce que D. qui(1)C (2)B (3)C (4)C (5)A (6) A (7)D (8)D (9)B (10) DLa taille des FrançaisL'industrie du prêt-à-porter a lancé, en 2003, une campagne nationale de mensurations.(1) deux ans, plus de 11 500 personnes, âgées de 5 à 70 ans, ont étémesurées et pesées. Cet échantillon, représentatif de la population française, a permis (2) déterminer les caractéristiques physiques exactes :stature, poids, tour de poitrine, tour de taille, etc. Les résultats (3) au premier semestre 2006.Avec une taille moyenne de 177,9 cm, les Français ont grandi de 5,5 cm en trente ans, mais (4) que les autres Européens. Ils se situent juste devant les Italiens et les Portugais (5) petits. Les Françaises, elles, mesurent en moyenne 162,5 cm. Leur taille_ a progressé(6) de 2,1 cm. Étonnamment, les membres inférieurs des Français ont grandi plus vite que lébuste, probablement à cause d'un excès de protéines (lait, œuf, viande, poisson) dans l’alimentation. Déjà, les fabricants de pantalons proposent leurs articles en (7) longueurs de jambes.Les pieds aussi se sont allongés de deux pointures. La généralisation des chaussures de sport (8) ce phénomène. Les pieds, moins comprimés, s'épanouissent.Enfin, les silhouettes se sont arrondies. Les femmes ont (9) 1,8 kilo, les hommes 5,4 kilos. Cette prise de poids est quand même modeste par rapport (10) autres Européens. Les 8% d'obèses en France représentent toutefois 5 millions de personnes et l'obésitérisque de devenir un problème majeur de santé publique dans les années à venir.(1) A. Il y a B. Depuis C. Pendant D. En(2) A.en B. d'en C. de D. de le(3) A. ont été publiés B. ont publié C. sont publiés D. seront publiés(4) A. plus B. aussi C. autant D. moins(5) A. réputant B. réputés C. appelés D. connaissant(6) A. n’...jamais B. n'...personne C. n’...que D. n'...plus(7) A. plusieurs B. nombreux C. quelques D. beaucoup(8) A.a favorisé B. a diminué C. est favorisée D. a stimulé(9) A. perdue B. perdu C. prise D. pris(10) A. de celui des B. de ceux des C. à celle des D. à celles des (1)C (2)B (3)A (4)D (5)B (6)C (7)A (8)A (9)D (10) C。
轻松阅读学法语(300-500词)â à ç Ç é è ê î ï ée ère ô ù û â《Rémi et le mystère de Saint-Péray》Chapitre 1:L’arrivée à Saint-PérayRémi n’aime pas aller chez les Matéo, les amis de ses parents, car il ne connait personne de son âge. Elisabeth et Jacques Matéo n’ont pas d’enfant. Ils habitent à cent kilomètres au sud de Lyon, à Saint-Péray, une petite ville construite [建造,建筑,建设] au pied d’un château du Moyen Age. Ce château a toujours fait rêver les habitants de la région et de nombreuses légendes circulent à son sujet. On raconte que des tunnels conduisent à Valence, sous le fleuve … Rémi n’est pas content: un week-end sans copains au programme, à supporter[支持, 容忍, 忍住] les discussions des adultes.Rémi aime voyager en voiture: il rêve, il regarde le paysage. Après une heure de route, ils arrivent à Saint-Péray. Son père gare la voiture derrière l’église, à côté de la maison. Rémi court devant, monte l’escalier, il sonne et … surprise, une charmante jeune fille ouvre la porte. Rémi est surpris et reste sans voix:《Euh… euh…-Bonjour! Tu es Rémi? Moi c’est Manon. Et lui c’est Julius, dit-elle en montrant son chien.-Euh … euh… Tu es qui? Enfin, euh… tu habites ici?-Tu es timide[害羞的]? demande-t-elle en souriant. J’habite à côté, la maison bleue.-Euh… ah, c’est sympa!-Je viens souvent ici, j’aime parler avec Elisabeth, elle m’apprendà faire des gâteaux. Aujourd’hui, j’ai fait une tarte Tatin!》Les parents de Rémi arrivent avec les bagages. Elisabeth les accueille. Tout le monde s’embrasse. Elisabeth propose à ses invités de s’installer et de poser leurs affaires dans leur chambre puis de se retrouver tous au salon pour un café et un gâteaux: la tarte Tatin préparée par Manon. Rémi est sous le charme… Elle ressemble un peu à Zoé et elle est très moqueuse.Dans le salon, le père de Remi félicite Manon:《Hum, c’est délicieux! Manon, félicitations; tu devrais donner des leçons à Rémi.- Ah… pourquoi pas…》Ça n’intéresse pas vraiment Rémi Il demande:《Est-ce qu’on peut aller se promener?-Je connais tous les secrets du château! Je cherche quelqu’un pour explorer le château … Le tunnel secret … dit Manon-Il y a un tunnel? Tu es sûre? Tu n’as pas peur? Ce n’est pas dangereux? s’inquiète Rémi.-Tu as peur?-Non, pourquoi? Je fais du journalisme!-Du journalisme? Alors si tu viens avec moi, tu as ton prochain article: A la découverte du chateau de Crusssol!-Bon alors, on y va. Attends-moi, je vais prendre mon sac à dos.-Faites attention aux fantômes! 》S’amusent les Matéo.Rémi revient avec un sac à dos rempli d’une bouteille d’eau, de chocolat, d’une boîte pour les premiers secours, d’un couteau suisse, d’une torch, d’un guide touristique, d’un carnet et d’un stylo pour prendre des notes. Julius, le chien, sent le chocolat et saute de joie. Manon rigole.《Oh là là! Tu es bien équipé! Et Julius t’a adopté. Je vais traverser le village avec un vrai explorateur! Et journaliste en plus! dit-elle d’un ton moqueur. Ton téléphone fait aussi appareil photo? Waouh…》Elle rit[笑, 开玩笑] mais Rémi ne répond pas. Ils sortent et il la suit.[Fin]。
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Tous droits réservés.Les caractéristiques sont sujettesàmodification sans préavis. Les marques commerciales sont la propriétéde Koninklijke Philips N.V. ou de leurs détenteurs respectifs.Date de publication 2023‑12‑22 Version: 11.11.1E A N: 87 20689 00771 9 。
a r X iv:mat h /59477v1[mat h.DG ]21Sep25Lignes de divergence pour les graphes `a courbure moyenne constante Laurent Mazet Universit´e Paul Sabatier,MIG Laboratoire Emile Picard.UMR 5580,31062Toulouse cedex 9,France mazet@picard.ups-tlse.fr R´e sum´e Cet article est consacr´e `a l’´e tude de la convergence des suites de solutions de l’´e quation des surfaces `a courbure moyenne constante H .Nous d´e finissons le lieu de convergence de la suite.Le principale th´e or`e me (Th´e or`e me 8)caract´e rise le compl´e mentaire de ce lieu de convergence :il montre que ce compl´e mentaire est compos´e d’arcs de cercle de courbure 2H .Nous donnons ensuite des r´e sultats permettant d’exploiter ce th´e or`e me.Abstract This paper is devoted to the study of convergence of sequences of solutions to the constant mean curvature H equation.The convergence domain is defined.The main theorem (Theorem 8)characterizes the complement of this convergence domain:it shows that circle arcs of curvature 2H compose this complement.We then give results which allow us to use this theorem.IntroductionLe but de ce texte est de pr´e senter une ´e tude de la convergence des suites de solutions de l’´e quation des surfaces `a courbure moyenne constante :div ∇u 1+|∇u |2 =2H (CMC)Cette ´e quation diff´e rentielle elliptique impose au graphe de u d’ˆe tre une surface `a courbure moyenne constante H .Nous nous int´e ressons donc `a la1convergence des suites(u n)de solutions de(CMC)d´efinies sur un domaine Ω.Le cas H=0correspond au cas des surfaces minimales.Pour l’´e quation des surfaces minimales,une´e tude similaire`a celle qui vaˆe tre pr´e sent´e e a d´e j`a´e t´e faite dans de pr´e c´e dents articles[Ma2,Ma3].Dans la suite,nous allons nous restreindre au cas H>0,sachant que le cas n´e gatif en d´e coule si on consid`e re−u au lieu de u.Dans un article de1972[Sp],J.Spruck´e tudie le probl`e me de Dirichlet attach´e`a l’´e quation(CMC).J.Spruck souhaite autoriser les valeurs+∞et−∞sur le bord du domaine et ainsi trouver un r´e sultat similaire`a celui de H.Jenkins et J.Serrin pour l’´e quation des surfaces minimales[JS].Pour mener ce travail`a bien,J.Spruck s’int´e resse`a la convergence des suites monotones de solutions de(CMC).Dans ce cas,la suite converge sur une partie du domaine de d´efinition et diverge vers+∞ou−∞suivant la mono-tonie sur le reste du domaine.J.Spruck montre que le domaine o`u la suite diverge est d´e limit´e par des arcs de cercle de courbure2H.Il obtient grˆa ce `a cela des conditions d’existence similaires`a celles du cas des surfaces min-imales.Dans notre article,nous allons montrer que ces arcs de cercle qui d´e limitent diff´e rents comportements dans la convergence de la suite existent aussi lorsque que l’on ote l’hypoth`e se de monotonie.Le principale r´e sultat de l’article(th´e or`e me8)affirme que,si en un point P du domaine la suite(∇u n(P))n’est pas born´e e,il en est alors de mˆe me pour tout point Q appartenant`a un arc de cercle de courbure2H deΩpassant par P.Ces arcs de cercles sont appel´e s lignes de divergence de la suite(u n).A l’image de l’´e tude des suites monotones,ce r´e sultat peutˆe tre utilis´e pour la r´e solution du probl`e me de Dirichlet associ´e`a(CMC).Il permet aussi d’obtenir des renseignements sur ces solutions[Ma1].Dans une premi`e re partie,nous allons pr´e senter des notations et donner quelques r´e sultats que nous utiliserons dans les parties suivantes.Dans la deuxi`e me partie,nous donnons la d´efinition du domaine de con-vergence d’une suite,il s’agit d’une partie du domaineΩo`u l’on peut assurer la convergence de(u n).La partie3est consacr´e e`a l’´e tude du compl´e mentaire du domaine de convergence et`a la d´e monstration du th´e or`e me8.Cette partie aboutit`a la d´efinition des lignes de divergence de la suite(u n).La derni`e re partie contient de nombreux r´e sultats qui permettent d’ex-ploiter le th´e or`e me8pour l’´e tude de la convergence ou de la divergence d’une suite(u n).Essentiellement,nous´e tudions les cons´e quences de con-2traintes sur∂Ωpar rapport`a la convergence de la suite(u n).1Pr´e liminaires1.1Quelques notationsDans cette section nous allonsfixer quelques notations que nous utilis-erons par la suite.Consid´e ronsΩun domaine de R2et P un point du bord deΩ.Comme dans[Se1],[Se2]et[Sp],on d´efinit la courbure ext´e rieure de∂Ωau point P comme le supremum des courbures en P de toutes les courbes C2passant par P et ne rencontrant pasΩ.Le signe de la courbure estfix´e par rapport `a la normale entrante dansΩ.La courbure ext´e rieure en P est not´e eˆκ(P). Si aucune courbe C2n’existe,on poseˆκ(P)=−∞.Par exemple,siΩest convexe,en tout point P∈∂Ω,ˆκ(P)≥0.A plusieurs reprises,nous serons amen´e s`a consid´e rer des arcs de cercle de rayon1/(2H).Si C est un tel arc de cercle,sauf mention du contraire,la normale`a C que l’on consid`e rera sera toujours celle donn´e e par le vecteur de courbure.On noteraνcette normale,ainsi le vecteur de courbure sera 2Hν(on rappelle que H est suppos´e positif).Par exemple,si C est l’arc de cercle param´e tr´e parc:s−→ x0+12H sin(2Hs)avec s∈I,la normale estν(c(s))=(−cos(2Hs),−sin(2Hs)).Par abus de notation,il nous arrivera de voir le vecteurνcomme un vecteur horizontal de R3en lui adjoignant une troisi`e me coordonn´e e nulle. De mˆe me,il nous arrivera aussi de voir les vecteurs horizontaux de R3comme des vecteurs de R2.1.2L’´e quation des surfaces`a courbure moyenne constanteConsid´e rons un domaineΩde R2et u une fonction d´efinie surΩ.Sur le graphe de u,la normale que l’on consid`e re est celle qui pointe vers le haut. Le graphe de u a alors une courbure moyenne constante H si u satisfait l’´e quation:div ∇u1+|∇u|2 =2H(CMC)3Lorsque l’on´e tudie les solutions de l’´e quation des surfaces`a courbure moyenne constante,on introduit la forme diff´e rentielleωu=u xWd xOn utilise les notations suivantes:u x et u y d´e signent les d´e riv´e es premi`e res de u et W=Remarquons qu’il nous arrivera d’utiliser,par la suite,les notations usuelles suivantes:p et q pour d´e signer respectivement u x et u y les d´e riv´e es premi`e res de u et r,s et t pour u xx,u xy et u yy.1.3Une famille de solutionsDans cette partie,nous allons pr´e senter une famille particuli`e re de solu-tions de(CMC)que nous utiliserons par la suite.On cherche une solution u(x,y)pr´e sentant une sym´e trie radiale:on suppose que u peut s’´e crire u(x,y)=f(r)avec r=ro`u t est un param`e tre.Pour que la fonction f existe,il faut et il suffit que t<1/(4H);on ne va s’int´e resser qu’au cas o`u t∈]0,1/(4H)[.On montre alors que f n’est d´efinie que sur l’intervaller1(t)=1−√2H≤r≤1+√2H=r2(t)et est d´e rivable sur l’intervalle ouvert.On normalise la solution f en posant f(1/(2H))=0.Ainsi pour tout t∈]0,1/(4H)[,cette fonction f d´efinit une solution de (CMC)que l’on note h t sur la couronne r1(t)≤2+2Ht)ℓ(C)o`uℓ(C)d´e signe la longueur de l’arc C.Ainsi lorsque t tend vers1/(4H),on obtient:lim Cωh t=ℓ(C)52Le domaine de convergenceOn consid`e re un domaineΩde R2et une suite(u n)de solutions surΩde l’´e quation(CMC).Notre but est d’´e tudier la convergence´e ventuelle de la suite.L’objectif de cette partie est de d´e terminer le lieu o`u celle-ci converge.Pour l’´e quation des surfaces`a courbure moyenne constante,on connaˆıt diff´e rents r´e sultats de convergence,le principale est le suivant.Th´e or`e me2.Soit(u n)une suite de solutions de l’´e quation(CMC)sur un domaineΩ.On suppose que la suite est uniform´e ment born´e e surΩ.Il existe alors une sous-suite qui converge surΩvers une solution u de(CMC).La convergence est la convergence C k sur tout compact deΩet ce pour tout k∈N.Ce th´e or`e me est un r´e sultat classique de compacit´e pour les solutions d’´e quations aux d´e riv´e es partielles elliptiques.Maintenant,les suites que nous allons´e tudier ne sont pas,en g´e n´e ral,uniform´e ment born´e es sur le domaine ni mˆe me sur tout compact du domaine.Par exemple,si u est une solution de(CMC)et c n est une suite de r´e els,la suite(u+c n)ne converge que si c n converge.Cette remarque justifie que dans la suite on s’autorisera des translations verticales pour assurer la convergence;une autre fa¸c on de voir cela est de dire que l’on s’int´e resse essentiellement`a la convergence de la suite des d´e riv´e s.La convergence qui nous int´e resse est celle du th´e or`e me2,c’est-`a-dire la convergence C k sur tout compact.Entre autre,ceci implique que,si une suite de solutions de(CMC)converge,la suites de ses gradients ou la suite(W n) reste uniform´e ment born´e e sur tout compact inclus dansΩ.Cette remarque est li´e e`a notre premier r´e sultat.Lemme3.SoitΩun domaine de R2et u une solution de l’´e quation des surfaces`a courbure moyenne constante surΩ.On consid`e re P un point de Ωet on note M=W(P).Il existe alors R>0qui ne d´e pend que de H,M et de la distance de P au bord deΩtel que,sur le disque de centre P et de rayon R,la fonction W soit major´e e par2M.D´e monstration.Tout d’abord,on note r0la distance de P au bord deΩ.La preuve du lemme repose essentiellemnt sur un estim´e des d´e riv´e es secondes de u par W qui est dˆu`a R.Finn[Fi].Dans son article,il d´e montre(Th´e or`e me2)qu’il existe une constante C(H,d)ne d´e pendant que de H et de la distanced au bord deΩtelle que,pour tout point Q:r2(Q)+s2(Q)+t2(Q)≤C(H,d)W6(Q)6L’expression de C est complexe car faisant intervenir des int´e grales ellip-tiques.Toutefois,sa r´e gularit´e nous permet de dire qu’il existe une con-stante C ′ne d´e pendant que de H et de r 0telle que,pour tout point Q dans le disque de centre P et de rayon r 0/2,on ait :r 2(Q )+s 2(Q )+t 2(Q )≤C ′W 6(Q )Maintenant,on a ∇W =(rp +sq W);ainsi sur le disque D (P,r 0/2)on a ||∇W ||≤ CW 3( C ne d´e pendant que de H et r 0).Consid´e rons z unesolution du probl`e me de Cauchy :z ′= Cz 3et z (0)=M ;z est d´e finie sur[0,1M 2−18M 2 C ,z ≤2M .Maintenant,la majoration de ∇W nous ditqu’en coordonn´e e polaire autour de P :W (r,θ)≤z (r ).Donc W est major´e par 2M sur le disque D (P,min(r 0/2,3La propri´e t´e2illustre l’utilisation de translations verticales pour as-surer la convergence d’une sous-suite.Maintenant la compr´e hension de la convergence´e ventuelle d’une suite passe par l’´e tude du compl´e mentaire du domaine de convergence.3Les lignes de divergenceLe but de cette partie est de comprendre ce qui se passe si un point P n’appartient pas au domaine de convergence d’une suite(u n)de solutions de (CMC).La premi`e re´e tape consiste`a traduire le fait que la suite(W n(P)) n’est pas born´e e.Tout d’abord,on remarque que la normale au graphe au dessus du point P est donn´e e par:N n(P)= −p n W n,1)2+y2=(12HCette´e quation est la traduction de l’harmonicit´e de l’application de Gauss sur un surface`a courbure moyenne constante[He].(4H2−2K)est positif ainsi N3est sur-harmonique.Or N3est nulle en l’origine,elle atteint donc son minimum;ceci implique que N3est constante et donc N3=0.D est donc`a courbure moyenne constante H et`a normale horizontale:ceci implique que D est inclus dans le cylindre d’´e quation:(x−12H)2Cette proposition a pour cons´e quence la convergence de la normale vers des vecteurs horizontaux au dessus d’un arc de cercle du domaine. Proposition7.Soit(u n)une suite de solutions de(CMC)d´efinies sur D(0,r);on suppose que N n(0)converge vers le vecteur(1,0,0).Alors pour toutα∈]0,1[,il existe une sous-suite de(N n)que l’on note(N n′)telle que, pour presque tout s∈[−αr,αr],on ait:N n′(c(s))−→(cos(2Hs),−sin(2Hs),0)o`u c est l’arc de cercle:c(s)=(12Hcos(2Hs),12H .Ce disque contient,entre autre,la courbeΓparam´e tr´e epar:s→(c(s),0)pour s∈[−αr,αr].Sur D n′et D,on d´efinit les formes diff´e rentiellesΩ=d X∧N o`u d X=(d x1,d x2,d x3)et N est la normale`a la surface;on note alorsΩ3la troisi`e me coordonn´e e deΩ.Remarquons que ces formes diff´e rentielles ont une d´e pendence en n que l’on ne marque pas.Grˆa ce`a la convergence D n′(βr)→D,il existe dans le graphe de u n′une courbeΓn′telle que la suite(Γn′)converge de fa¸c on lisse versΓ.Plus pr´e cisement,on peut,entre autre,assurer que:1.siγn′est la projection deΓn′sur le plan xy,alors pour toutε>0,γn′est dans unεvoisinage de c pour n′assez grand;2. Γn′Ω3−→ ΓΩ3,ceci car la convergence des disques g´e od´e siques estr´e guli`e re.On a ΓΩ3=−2αr;ainsi lim Γn′Ω3=−2αr.Par ailleurs, Γn′Ω3= γn′ωn′o`uωn est la forme diff´e rentielleωu n introduite dans la premi`e re9partie.On note A=c(−αr)et B=c(αr)les extr´e mit´e s de c et A n′et B n′les extr´e mit´e s deγn′correspondantes.Consid´e ronsε>0,pour n′suffisament grand,γn′est dans leε-voisinage de c.On peut alors relier A`a A n′et B `a B n′par des segments de longueur inf´e rieure`aε.On cr´e e ainsi un lacet inclus dans leε-voisinage de c et dont la majeure partie est compos´e e de c etγn′.Comme dωn′=2H d x∧d y,l’int´e gration deωn′le long de ce lacet nous donne la majoration suivante:cωn′− γn′ωn′≤[A,A n′]∪[B,B n′]ωn′+2H Aire(ε-voisinage de c)=O(ε) Cette majoration montre que lim cωn′=lim γn′ωn′=−2αr.Main-tenant on note N1et N2les deux premi`e res composantes de la normale. Alors:cωn′= αr−αr−cos(2Hs)N1n′(c(s))+sin(2Hs)N2n′(c(s))d sOr,on a−cos(2Hs)N1n′(c(s))+sin(2Hs)N2n′(c(s))≥−1;la convergence de cωn′implique donc que−cos(2Hs)N1n′(c(s))+sin(2Hs)N2n′(c(s))converge vers−1dans L1([−αr,αr]).Ceci implique qu’il existe une sous-suite que l’on indice n′′telle que,pour presque tout s:−cos(2Hs)N1n′′(c(s))+sin(2Hs)N2n′′(c(s))−→−1Ceci se traduit par:N1n′′(c(s)) N2n′′(c(s)) −→ cos(2Hs)−sin(2Hs)Ce qui ach`e ve la d´e monstration.Les deux propositions pr´e c´e dentes sont des r´e sultats locaux;on en d´e duit le r´e sultat global suivant.Th´e or`e me8.SoitΩun domaine et(u n)une suite de solutions de l’´e quation des surfaces`a courbures moyenne constante surΩ.On consid`e re P un point deΩet N un vecteur unitaire horizontal.On note C l’arc de cercle inclus dansΩpassant par P et de vecteur de courbure2HN en P.Finalement, pour Q∈C,on noteν(Q)le vecteur unitaire horizontal normal`a C tel que 2Hν(Q)soit le vecteur de courbure de C en Q(ν(P)=N).Si la suite de normale(N n(P))converge vers N alors,pour tout Q∈C, (N n(Q))converge versν(Q).10Dans la d´e monstration,nous allons utiliser la terminologie d’extraction :une extraction θest une application strictement croissante de N dans N .Ainsi toute sous-suite de (u n )peut s’´e crire u θ(n )avec θune extraction.Une sous-extraction θ′d’une extraction θest une extraction s’´e crivant θ′=θ◦βavec βune extraction.D´e monstration.Tout d’abord on param´e trise l’arc C par longueur d’arc,on d´e finit ainsi c :]a,b [→Ωavec c (0)=P .C est orient´e de telle fa¸c on que(ν(c (s )),c ′(s ))soit une base orthonorm´e e directe.On commence par consid´e rer θune extraction,on va alors montrer qu’il existe une sous-extraction θ′de celle-ci telle que N θ′(n )(Q )→ν(Q )pour presque tout Q ∈C .Pour cela,on note F l’ensemble des ε>0tel qu’il existe θ′sous-extraction de θavec N θ′(n )(Q )→ν(Q )pour presque tout Q ∈c (]a +ε,b −ε[).Comme N θ(n )(P )→ν(P ),la proposition 7montre que F est non-vide.Soit ε0=inf F ,nous allons montrer que ε0=0;pour cela,supposons que ε0>0.On consid`e re P 1=c (a +ε0)et P 2=c (b −ε0).On choisit R tel que les disques D (P i ,R )soient inclus dans Ω.Maintenant,d’apr`e s la d´e finition de ε0;il existe Q 1=c (s 1)avec s 1∈]a +ε0,a +ε0+R/3[,Q 2=c (s 2)avec s 2∈]b −ε0−R/3,b −ε0[et une sous-extraction θ1de θtelle que lim N θ1(n )(Q i )=ν(Q i )et lim N θ1(n )(Q )=ν(Q )pour presque tout Q ∈c (]a +ε0,b −ε0[).On a D (Q i ,2R/3)∈Ω,donc on peut appliquer la proposition 7aux points Q i avec α=3/4.Il existe alors une sous-extraction θ2de θ1telle que N θ2converge vers νpour presque tout point de c (s 1−R/2,s 1+R/2)et c (s 2−R/2,s 2+R/2).Or s 1−R/2<a +ε0et b −ε0<s 2+R/2,donc ε0ne peut ˆe tre strictement positif.ε0´e tant nul,le proc´e d´e diagonal de Cantor permet de construire la sous-extraction θ′de θsouhait´e e.Entre autre,il existe des extractions θtelles que N θ(n )converge vers νpour presque tout Q ∈C ;consid´e rons θune telle extraction.On va montrer qu’en fait on a la convergence pour tout Q de C .Soit Q ∈C tel que N θ(n )(Q )ne converge pas vers ν(Q ).Tout d’abord,comme dans tout voisinage de Q ,il existe des points de C o`u N θ(n )converge vers ν,Q n’appartient pas au domaine de convergence de la suite (u n ).Ainsi il existe θ∗une sous-extraction de θtelle que N θ∗(n )(Q )converge vers N ∗un vecteur unitaire horizontal diff´e rent de ν.A ce vecteur N ∗est associ´e un arc de cercle C ∗de rayon 1/(2H )passant par Q comme dans l’´e nonc´e du th´e or`e me ;on d´e finit aussi la normale ν∗le long C ∗.D’apr`e s ce que l’on vient de montrer,il existe une sous-extraction que l’on notera toujours θ∗telle que N θ∗(n )converge vers ν∗pour presque tout point de C ∗.Quitte `a changer l’origine de c on peut supposer que c (0)=Q .On param´e trise C ∗par longueur d’arc par c ∗avec c ∗(0)=Q ;C ∗est orient´e11comme C par rapport `a N ∗.Soit ε>0,on note alors A =c (−ε)et B ∗=c ∗(ε).Les arcs de cercles ⌢AQ et ⌢QB ∗h´e ritent de l’orientation de C et C ∗.On consid`e re alors D le domaine bord´e par les deux arcs de cercles ⌢AQ et ⌢QB ∗et le segment [B ∗,A ],pour εsuffisament petit D est un vrai domaine inclus dans Ω.De mˆe me avec B =c (ε)et A ∗=c ∗(−ε),le domaine D ′bord´e par les arcs de cercles ⌢A ∗Q et ⌢QB et le segment [B,A ∗]est inclus dans Ωpour εpetit.Suivant les cas,soit l’orientation AQB ∗correspond `a celle de ∂D en tant que bord de D soit c’est celle de A ∗QB qui correspond `a celle de ∂D ′;on se reporte `a la figure 1.C ∗C ∗C C DB ∗B A D ′A ∗QQ Fig.1–On suppose que le premier cas se produit (l’autre cas est identique).On int`e gre alors ωθ∗(n )le long du bord de D :⌢AQ ωθ∗(n )+⌢QB ∗ωθ∗(n )+ [B ∗,A ]ωθ∗(n )= ∂Dωθ∗(n )=2H Aire(D )>0Or d’apr`e s la convergence des normales le long de C et C ∗,on sait que lim ⌢AQ ωθ∗(n )=−εet lim ⌢QB∗ωθ∗(n )=−ε.Donc,en utilisant ||ωn ||<1,un passage `a la limite nous donne 2ε<ℓ([A,B ∗]);ceci contredit l’in´e galit´e triangulaire.On sait donc maintenant que N θ(n )(Q )converge vers ν(Q )pour tout Q ∈C .Soit Q un point de C et supposons que N n (Q )ne converge pas vers ν(Q ).Pour une extraction α,on peut supposer que N α(n )(Q )converge vers N ′un vecteur unitaire diff´e rent de ν(Q ).Or N α(n )(P )converge vers N =ν(P )donc,d’apr`e s ce que l’on a d´e j`a d´e montr´e ,il existe α′une sous-extraction de αtelle que N α′(n )converge vers νpour tout point de C .Entre autre,en Q ,on a N ′=lim N α(n )(Q )=lim N α′(n )(Q )=ν(Q ).12Cecifinit de prouver que N n converge versνpour tout point de C.Il y a diff´e rentes cons´e quences que l’on doit retenir de ce r´e sultat.Tout d’abord,le th´e or`e me8nous dit que le compl´e mentaire du domaine de con-vergence B(u n)est une union d’arc de cercle de rayon1/(2H).On pose d’ailleurs la d´efinition suivante.D´efinition9.On consid`e re C un arc de cercle inclus dansΩde rayon 1/(2H)et on noteνla normale`a C comme dans le th´e or`e me8.Soit(u n) une suite de solutions de(CMC)d´efinies surΩ.Alors si il existe(N n′)une sous suite des normales aux graphes des u n qui converge versνpour tout point Q de C,on dit que C est une ligne de divergence de la suite(u n). On dit de plus que la sous-suite d’indice(n′)fait apparaˆıtre la ligne de divergence C.Ainsi le compl´e mentaire du domaine de convergence est l’union des lignes de divergence de la suite(u n).Comme on l’a vu dans les d´e monstrations,la convergence de la suite des normales le long d’une ligne de divergence se traduit sur la convergence des int´e grales des1-formesωn.Ainsi,consid´e rons C une ligne de divergence(Q)→ν(Q)pour tout point Q de C.On consid`e re avec,par exemple,N nkT un sous-arc de C et on suppose T orient´e par un vecteur v tangent en P∈C tel que(ν(P),v)soit une base directe.On a alors:limk→+∞ Tωn k=−ℓ(T)o`uℓ(T)d´e signe la longueur de l’arc T.D’une mani`e re g´e n´e rale,c’est cette caract´e risation des lignes de divergence qui est la plus utile.4Quelles lignes de divergence existent?Les deux sections pr´e c´e dentes nous expliquent les objets que l’on peut introduire lors de l’´e tude de la convergence d’une suite(u n)de solutions de (CMC).Toutefois elles ne donnent pas de renseignements qui permettent de conclure sur la convergence de la suite.Le but de cette section est de donner des r´e sultat qui permettent cette discussion.Essentiellement,nous allons donner des r´e sultat qui permettent d’inter-dire l’apparition de certaine ligne de divergence.L’id´e e est qu’une ligne de divergence a des extr´e mit´e s sur le bord du domaine et donc des conditions sur∂Ωpermettent de contrˆo ler les lignes de divergence de la suite.134.1Le cas des donn´e es infiniesLe premier r´e sultat que l’on peut donner concerne le cas o`u les fonctions u n prennent toutes des valeurs infinies le long d’une partie du bord de Ω.On sait,grˆa ce `a J.Spruck,que si une solution u de (CMC)prend la valeur +∞le long d’un arc A du bord de Ωalors A est un arc de cercle de courbure ext´e rieure ˆκ=2H .On a alors un premier r´e sultat.Proposition 10.On consid`e re Ωun domaine de R 2dont un arc A du bord est un arc de cercle de courbure ext´e rieure ˆκ=2H .On consid`e re (u n )une suite de solutions de (CMC)sur Ωtelle que,pour tout n ,la fonction u n tende vers +∞en tout point de A .Alors aucune ligne de divergence de la suite (u n )n’a pour extr´e mit´e un point int´e rieur `a A .D´e monstration.Tout d’abord,supposons qu’une telle ligne de divergence C existe et notons P l’extr´e mit´e de C appartenant `a A .On peut supposer que l’arc de cercle A est l’arc param´e tr´e par longueur d’arc de la fa¸c on suivante a :s →(12H sin(2Hs ))avec a (0)=P et −η<s <η.On note νla normale `a C telle que,pour tout point Q de C ,N n ′(Q )→ν(Q ).Quitte `a sym´e triser Ωpar rapport `a y =0et consid´e rer la suite (u n (x,−y ))sur le nouveau domaine,on peut supposer que (ν(P ),(−1,0))forme une base directe.On suivra la suite des notations sur la figure 2.On note alors 2αPDQ 2εAC2αQ 1Fig.2–l’angle entre la tangente `a C en P et celle de A en P ,αest inclus dans14]0,π/2[.Consid´e rons ε>0,on note Q 1le point de C `a distance εde P et Q 2le point de A `a distance εde P appartenant `a y >0.On consid`e re D le domaine compris entre les arcs de cercle⌢Q 1P ⊂C et ⌢P Q 2⊂A et le segment [Q 2,Q 1].On a alors :2H Aire(D )= ∂D ωn ′Ceci implique que :⌢Q 1P ωn ′+ ⌢P Q 2ωn ′=2H Aire(D )− [Q 2,Q 1]ωn ′≤2H Aire(D )+ℓ([Q 2,Q 1])Commme u n ′prend la valeur +∞le long de A , ⌢P Q 2ωn ′=ℓ(⌢P Q 2)avec ℓ(⌢P Q 2)la longueur de l’arc ⌢P Q me C est une ligne de divergence etque N n ′(Q )→ν(Q )pour tout Q ∈C ,un passage `a la limite dans l’in´e galit´e ci-dessus donne ℓ(⌢Q 1P )+ℓ(⌢P Q 2)≤2H Aire(D )+ℓ([Q 2,Q 1]).Or on sait que ℓ(⌢Q 1P )=ℓ(⌢P Q 2)=ε+o (ε),ℓ([Q 2,Q 1])≤2εsin αet Aire(D )≤αε2.Donc on a 2ε+o (ε)≤2Hαε2+2εsin α;ceci implique 2≤2sin α,ce qui est impossible puisque α∈]0,π/2[.On a aussi un r´e sultat ´e quivalent lorsque toutes les fonctions u n prennent la valeur −∞le long du bord.J.Spruck a montr´e que,si une solution u de (CMC)prend la valeur −∞le long d’un arc B du bord de Ω,l’arc B est est un arc de cercle de courbure ext´e rieure ˆκ=−2H .Les techniques de la preuve de la proposition 10s’adaptent alors pour d´e montrer le r´e sultat suivant.Proposition 11.On consid`e re Ωun domaine de R 2dont un arc B du bord est un arc de cercle de courbure ext´e rieure ˆκ=−2H .On consid`e re (u n )une suite de solutions de (CMC)sur Ωtelle que,pour tout n ,la fonction u n tende vers −∞en tout point de B .Alors aucune ligne de divergence de la suite (u n )n’a pour extr´e mit´e un point int´e rieur `a B .Un outil int´e ressant pour ´e tudier les lignes de divergence ainsi que les limites sur le domaine de convergence est donn´e par le r´e sultat suivant.Il permet de comprendre le comportement d’une ´e ventuelle limite de la suite (u n )sur le bord d’une composante du domaine de convergence.Proposition 12.On consid`e re D (r )le disque centr´e de rayon r et C l’arcde cercle d’´e quation (x −1/(2H ))2+y 2=1/(4H 2)inclus dans D (r )(rH est 15suppos´e petit).C s´e pare D(r)en deux composantes connexes:l’une contient (−r,0),elle est not´e D−l’autre contient(r,0)elle est not´e e D+.On consid`e re une suite(u n)de solutions de(CMC)d´efinies sur D−qui converge vers une solution u;on suppose de plus que l’on satisfait l’une des conditions suivantes:1a.pour tout n∈N,u n tend vers−∞sur C ou,1b.pour tout n∈N,la fonction u n est la restriction`a D−d’une solution v n de(CMC)d´efinie sur D(r)et C est une ligne de divergence de (v n).Alors la fonction u tend vers−∞sur C.De mˆe me,si on consid`e re une suite(u n)de solutions de(CMC)d´efinies sur D+qui converge vers une solution u et que l’on suppose de plus que la suite satisfait l’une des conditions suivantes:2a.pour tout n∈N,u n tend vers+∞sur C ou,2b.pour tout n∈N,la fonction u n est la restriction`a D+d’une solution v n de(CMC)d´efinie sur D(r)et C est une ligne de divergence de (v n).Alors la fonction u tend vers+∞sur C.D´e monstration.Les d´e monstrations des quatre cas sont semblables,on va donc s’int´e resser aux cas1a et1b.On consid`e re Cεl’arc de cercle inclus dans D−d’´e quation(x−(1/(2H)−ε))2+y2=1/(4H2).On note alorsΩεla partie de D−comprise entre Cεet C.On oriente les arcs de C et Cεdans le sens des y croissant.On a alors pour tout n:∂Ωεωu n=2H Aire(Ωε)Ceci nous donne,pour tout n:Cωu n− Cεωu n ≤2H Aire(Ωε)+2lεo`u lεest la longueur de l’un des deux arcs de cercles qui forment l’intersection de∂Ωεet∂D(r).Dans les deux cas1a et1b,lim Cωu n=−ℓ(C).Donc en passant`a la limite dans l’in´e galit´e ci-dessus,on obtient:−ℓ(C)− Cεωu ≤2H Aire(Ωε)+2lεLorsqueεtend vers0,Aire(Ωε)et lεtendent vers0,donc Cωu=−ℓ(C). Ceci prouve que,le long de C,ωu=−d s.Ainsi,d’apr`e s le lemme1,u prend la valeur−∞le long de C.16。