新编(北京版)高考数学分项汇编 专题06 数列(含解析)理

十年高考分类汇编专题06万有引力与航天（2011-2020）目录题型一、考查万有引力定律、万有引力提供物体重力的综合类问题 ............................................ 1 题型二、考查万有引力提供卫星做圆周运动向心力的相关规律 .................................................... 6 题型三、考查飞船的变轨类问题 ...................................................................................................... 18 题型四、考查万有引力与能量结合的综合类问题 .......................................................................... 20 题型五、考查双星与三星系统的规律 .............................................................................................. 21 题型六、关于开普勒三定律的相关考查 .......................................................................................... 22 题型七、天体运动综合类大题 . (25)题型一、考查万有引力定律、万有引力提供物体重力的综合类问题1.（2020全国1）.火星的质量约为地球质量的110，半径约为地球半径的12，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为（ ） A. 0.2B. 0.4C. 2.0D. 2.5【考点】万有引力在非绕行问题中的应用 【答案】B【解析】设物体质量为m ，在火星表面所受引力的大小为F 1,则在火星表面有:1121M mF GR 在地球表面所受引力的大小为F 2，则在地球表面有：2222M mF GR 由题意知有：12110M M ；1212R R故联立以上公式可得：21122221140.4101F M R F M R ==⨯=。

高考数学真题分项汇编专题：06 立体几何（解答题）（文科专用）1．【2022年全国甲卷】小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．(1)证明：EF//平面ABCD；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．【答案】(1)证明见解析；√3．(2)6403【解析】【分析】（1）分别取AB,BC的中点M,N，连接MN，由平面知识可知EM⊥AB,FN⊥BC，EM=FN，依题从而可证EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可知EM//FN，即可知四边形EMNF为平行四边形，于是EF//MN，最后根据线面平行的判定定理即可证出；（2）再分别取AD,DC中点K,L，由（1）知，该几何体的体积等于长方体KMNL−EFGH的体积加上四棱锥B−MNFE体积的4倍，即可解出．(1)如图所示：，分别取AB,BC 的中点M,N ，连接MN ，因为△EAB,△FBC 为全等的正三角形，所以EM ⊥AB,FN ⊥BC ，EM =FN ，又平面EAB ⊥平面ABCD ，平面EAB ∩平面ABCD =AB ，EM ⊂平面EAB ，所以EM ⊥平面ABCD ，同理可得FN ⊥平面ABCD ，根据线面垂直的性质定理可知EM//FN ，而EM =FN ，所以四边形EMNF 为平行四边形，所以EF//MN ，又EF ⊄平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，所以EF//平面ABCD ． (2)如图所示：，分别取AD,DC 中点K,L ，由（1）知，EF//MN 且EF =MN ，同理有，HE//KM,HE =KM ，HG//KL,HG =KL ，GF//LN,GF =LN ，由平面知识可知，BD ⊥MN ，MN ⊥MK ，KM =MN =NL =LK ，所以该几何体的体积等于长方体KMNL −EFGH 的体积加上四棱锥B −MNFE 体积的4倍．因为MN =NL =LK =KM =4√2，EM =8sin60∘=4√3，点B 到平面MNFE 的距离即为点B 到直线MN 的距离d ，d =2√2，所以该几何体的体积V =(4√2)2×4√3+4×13×4√2×4√3×2√2=128√3+2563√3=6403√3．2．【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD 中，AD ⊥CD,AD =CD,∠ADB =∠BDC ，E 为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F−ABC 的体积．【答案】(1)证明详见解析(2)√34【解析】【分析】（1）通过证明AC⊥平面BED来证得平面BED⊥平面ACD.（2）首先判断出三角形AFC的面积最小时F点的位置，然后求得F到平面ABC的距离，从而求得三棱锥F−ABC的体积.(1)由于AD=CD，E是AC的中点，所以AC⊥DE.由于{AD=CD BD=BD∠ADB=∠CDB，所以△ADB≅△CDB，所以AB=CB，故AC⊥BD，由于DE∩BD=D，DE,BD⊂平面BED，所以AC⊥平面BED，由于AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.(2)依题意AB=BD=BC=2，∠ACB=60°，三角形ABC是等边三角形，所以AC=2,AE=CE=1,BE=√3，由于AD=CD,AD⊥CD，所以三角形ACD是等腰直角三角形，所以DE=1. DE2+BE2=BD2，所以DE⊥BE，由于AC∩BE=E，AC,BE⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC.由于△ADB≅△CDB，所以∠FBA=∠FBC，由于{BF =BF∠FBA =∠FBC AB =CB ，所以△FBA ≅△FBC ，所以AF =CF ，所以EF ⊥AC ，由于S △AFC =12⋅AC ⋅EF ，所以当EF 最短时，三角形AFC 的面积最小值. 过E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，在Rt △BED 中，12⋅BE ⋅DE =12⋅BD ⋅EF ，解得EF =√32，所以DF =√12−(√32)2=12,BF =2−DF =32，所以BF BD =34.过F 作FH ⊥BE ，垂足为H ，则FH//DE ，所以FH ⊥平面ABC ，且FHDE =BFBD =34， 所以FH =34,所以V F−ABC =13⋅S △ABC ⋅FH =13×12×2×√3×34=√34.3．【2021年甲卷文科】已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，11BF A B ⊥.（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点，证明：BF DE ⊥. 【答案】(1)13；(2)证明见解析.【解析】 【分析】（1）先证明ABC 为等腰直角三角形，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；（2）将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论. 【详解】（1）由于11BF A B ⊥，11//AB A B ，所以AB BF ⊥， 又AB ⊥BB 1，1BB BF B ⋂=，故AB ⊥平面11BCC B ， 则AB BC ⊥，ABC 为等腰直角三角形， 111221222BCE ABC S S ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△△，11111333F EBC BCE V S CF -=⨯⨯=⨯⨯=△. （2）由（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体1111ABCM A B C M -，如图所示，取棱,AM BC 的中点,H G ，连结11,,A H HG GB ，正方形11BCC B 中，,G F 为中点，则1BF B G ⊥， 又111111,BF A B A B B G B ⊥=，故BF ⊥平面11A B GH ，而DE ⊂平面11A B GH ， 从而BF ⊥DE . 【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化.4．【2021年乙卷文科】如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】 【分析】（1）由PD ⊥底面ABCD 可得PD AM ⊥，又PB AM ⊥，由线面垂直的判定定理可得AM ⊥平面PBD ，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM ⊥平面PBD ；（2）由（1）可知，AM BD ⊥，由平面知识可知，~DAB ABM ，由相似比可求出AD ，再根据四棱锥P ABCD -的体积公式即可求出． 【详解】（1）因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ， 所以PD AM ⊥， 又PB AM ⊥，PBPD P =，所以AM ⊥平面PBD ， 而AM ⊂平面PAM ， 所以平面PAM ⊥平面PBD ． （2）[方法一]：相似三角形法 由（1）可知AM BD ⊥． 于是∽ABD BMA ，故=AD ABAB BM．因为1,,12===BM BC AD BC AB ，所以2112BC =，即BC =故四棱锥P ABCD -的体积13=⋅⋅=V AB BC PD ． [方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法由（2）知⊥AM DB ,所以1⋅=-AM BD k k ． 建立如图所示的平面直角坐标系，设2(0)BC a a =>．因为1DC =，所以(0,0)A ，(1,0)B ，(0,2)D a ，()1,M a ． 从而2020(2)211001--⋅=⨯=⨯-=-=---AM BD a a k k a a a ．所以2a =，即DA =. [方法三]【最优解】：空间直角坐标系法 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，设||=DA t ，所以(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，(,0,0)A t ，(,1,0)B t ． 所以,1,02t M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(,1,1)PB t =-，,1,02t AM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以2110(1)1022t t PB AM t ⎛⎫⋅=⋅-+⨯+⨯-=-+= ⎪⎝⎭．所以t ，即||=DA . [方法四]：空间向量法由PB AM ⊥，得0PB AM ⋅=． 所以()0++⋅=PD DA AB AM ． 即0⋅+⋅+⋅=PD AM DA AM AB AM ．又PD ⊥底面ABCD ，AM 在平面ABCD 内， 因此PD AM ⊥，所以0⋅=PD AM ． 所以0⋅+⋅=DA AM AB AM ，由于四边形ABCD 是矩形，根据数量积的几何意义，得221||||02-+=DA AB ，即21||102-+=BC ．所以||2BC =，即BC =. 【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积； 方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解；方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.5．【2020年新课标1卷文科】如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO ，求三棱锥P −ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】 【分析】（1）根据已知可得PA PB PC ==，进而有PAC △≌PBC ，可得90APC BPC ∠=∠=，即PB PC ⊥，从而证得PC ⊥平面PAB ，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线l 和底面半径r 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形ABC 边长，在等腰直角三角形APC 中求出AP ，在Rt APO 中，求出PO ，即可求出结论.【详解】（1）连接,,OA OB OC ，D 为圆锥顶点，O 为底面圆心，OD ∴⊥平面ABC ，P 在DO 上，,OA OB OC PA PB PC ==∴==，ABC 是圆内接正三角形，AC BC ∴=，PAC △≌PBC ，90APC BPC ∴∠=∠=︒，即,PB PC PA PC ⊥⊥，,PA PB P PC =∴⊥平面,PAB PC ⊂平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为,rl rl π==2222OD l r =-=，解得1,r l ==2sin 603AC r ==在等腰直角三角形APC 中，AP ==在Rt PAO 中，PO ===∴三棱锥P ABC -的体积为11333P ABC ABC V PO S -=⋅==△【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.6．【2020年新课标2卷文科】如图，已知三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）24. 【解析】 【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，只需证明EF ⊥平面1A AMN 即可；（2）根据已知条件求得11EB C F S 四边形和M 到PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得11B EB C F V -. 【详解】 （1）,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴又11//AA BB 1//MN AA ∴在等边ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥ 又侧面11BB C C 为矩形， 1BC BB ∴⊥1//MN BBMN BC ⊥由MN AM M ⋂=，,MN AM ⊂平面1A AMN ∴BC ⊥平面1A AMN又11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC又11B C ⊂平面11EB C F ，且平面11EB C F ⋂平面ABC EF =11//B C EF ∴//EF BC ∴又BC ⊥平面1A AMN∴EF ⊥平面1A AMNEF ⊂平面11EB C F∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN（2）过M 作PN 垂线，交点为H ，画出图形，如图//AO 平面11EB C FAO ⊂平面1A AMN ，平面1A AMN ⋂平面11EB C F NP =//AO NP ∴ 又//NO AP∴6AO NP ==O 为111A B C △的中心.∴1111sin 606sin 6033ON AC =︒=⨯⨯︒=故：ON AP ==3AM AP ==平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F ⋂平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN∴MH ⊥平面11EB C F 又在等边ABC 中EFAPBC AM =即2AP BCEF AM ⋅===由（1）知，四边形11EB C F 为梯形∴四边形11EB C F 的面积为：111126=62422EB C F EF B C S NP ++=⋅⨯=四边形 111113B EBC F EB C F V S h -∴=⋅四边形，h 为M 到PN 的距离sin 603MH =︒=， ∴1243243V =⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.7．【2020年新课标3卷文科】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥；（2）点1C 在平面AEF 内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质得AC BD ⊥，根据长方体性质得1AC BB ⊥,进而可证AC ⊥平面11BB D D ,即得结果；（2）只需证明1//EC AF 即可，在1CC 上取点M 使得12CM MC =,再通过平行四边形性质进行证明即可.【详解】（1）因为长方体1111ABCD A B C D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥,因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥ 因为11,BB BD B BB BD =⊂、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC =所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以M F A D 、、、四点共面，所以四边形MFAD 为平行四边形， 1//,//DM AF EC AF ∴∴，所以1E C A F 、、、四点共面，因此1C 在平面AEF 内【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题.。

专题06 数列一．基础题组1. 【2014上海,文10】设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= .【考点】无穷递缩等比数列的和.2. 【2013上海,文2】在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝30，则a 2＋a 3＝______.【答案】15　3. 【2013上海,文7】设常数a ∈R .若25()a x x+的二项展开式中x 7项的系数为－10，则a ＝______.【答案】－2　4. 【2012上海,文7】有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则12lim ()n n V V V →∞+++=…__________.【答案】875. 【2012上海,文8】在(x －1x)6的二项展开式中，常数项等于__________．【答案】－206. 【2012上海,文14】已知1()1f xx=+，各项均为正数的数列{a n}满足a1＝1，a n＋2＝f(a n)．若a2010＝a2 012，则a20＋a11的值是__________．7. 【2012上海,文18】若π2ππsin sin sin777nnS=+++…(n∈N*)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是( )A．16 B．72 C．86 D．100【答案】 C　8. 【2008上海,文14】若数列{}n a 是首项为1，公比为32a =的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．54【答案】B9. 【2007上海,文14】数列{}n a 中，22211100010012n n n a n n n n⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩，≤≤， 则数列{}n a 的极限值（ ）Ａ.等于0Ｂ.等于1Ｃ.等于0或1Ｄ.不存在【答案】B二．能力题组1. 【2014上海,文23】（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=.（1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是等比数列，且11000m a =，正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的仅比；（3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围.【答案】（1）[3,6]；（2）1[,2]3；（3）k的最大值为1999，此时公差为11999d=-.【考点】解不等式（组），数列的单调性，分类讨论，等差（比）数列的前n项和.2. 【2013上海,文22】已知函数f(x)＝2－|x|，无穷数列{a n}满足a n＋1＝f(a n)，n∈N*.(1)若a1＝0，求a2，a3，a4；(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；(3)是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．【答案】(1)a2＝2，a3＝0，a4＝2 ;(2)a1＝2-舍去)或a1＝2+(3) 当且仅当a1＝1时，a1，a2，a3，…构成等差数列3. 【2012上海,文23】对于项数为m的有穷数列{a n}，记b k＝max{a1，a2，…，a k}(k＝1,2，…，m)，即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列{b n}是{a n}的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{a n}；(2)设{b n}是{a n}的控制数列，满足a k＋b m－k＋1＝C(C为常数，k＝1,2，…，m)，求证：b k＝a k(k＝1,2，…，m)；(3)设m＝100，常数a∈(12，1)，若(1)22(1)n nna an n+=--，{b n}是{a n}的控制数列，求(b1－a1)＋(b2－a2)＋…＋(b100－a100)．【答案】(1)参考解析;(2) 参考解析;(3) 2 525(1－a)4.【2011上海,文23】已知数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n ＝3n ＋6，b n ＝2n ＋7(n ∈N *)．将集合{x |x ＝a n ，n ∈N *}∪{x |x ＝b n ，n ∈N *}中的元素从小到大依次排列，构成数列c 1，c 2，c 3，…c n ，….(1)求三个最小的数，使它们既是数列{a n }中的项又是数列{b n }中的项；(2) c 1，c 2，c 3，…，c 40中有多少项不是数列{b n }中的项？请说明理由；(3)求数列{a n }的前4n 项和S 4n (n ∈N *)．【答案】(1)9,15,21; (2)10; (3)241233n S n n=+5. 【2010上海,文21】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n ∈N *.(1)证明：{a n －1}是等比数列；(2)求数列{S n }的通项公式，并求出使得S n ＋1＞S n 成立的最小正整数n .【答案】(1)参考解析; (2) S n ＝n ＋75·(56)n －1－90, 最小正整数n ＝156. (2009上海,文23)已知{a n}是公差为d的等差数列,{b n}是公比为q的等比数列.(1)若a n=3n+1,是否存在m、k∈N*,有a m+a m+1=a k?请说明理由;(2)若b n=aq n(a,q为常数,且aq≠0),对任意m存在k,有b m·b m+1=b k,试求a、q满足的充要条件;(3)若a n=2n+1,b n=3n,试确定所有的p,使数列{b n}中存在某个连续p项的和是数列{a n}中的一项,请证明.【答案】(1)不存在m、k∈N*, (2) a=q c,其中c是大于等于-2的整数;(3) p为奇数7. 【2008上海,文21】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，第3小题满分8分．已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）．记112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．（1）若1231264a a a a ++++= ，求r 的值；（2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +， ，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．【答案】（1）4;（2）参考解析;（3）293294297298,,,T T T T()1241.121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;m n n n n T m m n m m T m n m m T m r nn m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，8. 【2007上海,文20】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.如果有穷数列123m a a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m = ，，，），我们称其为“对称数列”. 例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”.（1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b .依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中492625,,c c c ⋅⋅⋅是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，是首项为2，公差为3的等差数列.求{}n d 前n 项的和n S (12100)n = ，，，.【答案】（1）25811852，，，，，，;（2）67108861;（3）参考解析9. 【2006上海,文20】（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

专题06 数列1. 【2006高考北京理第7题】设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈ ，则()f n 等于（ ）（A ）2(81)7n-（B ）12(81)7n +-（C ）32(81)7n +-（D ）42(81)7n +-【答案】D2. 【2008高考北京理第6题】已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-【答案】C考点：数列3. 【2010高考北京理第2题】在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】C　考点：等比数列的通项公式.4. 【2014高考北京理第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D考点：等比数列的性质，充分条件与必要条件的判定，容易题.5. 【2007高考北京理第10题】若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-= ，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最小的项是第项．6. 【2008高考北京理第14题】某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，．()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．【答案】(1,2) (3, 402)考点：数列的通项7. 【2009高考北京理第14题】已知数列{}n a 满足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =________；2014a =_________.【答案】1，0考点：周期数列等基础知识.8. 【2011高考北京理第11题】在等比数列{}n a 中，若112a =，44a =-，则公比q =________；12||||||n a a a +++= ________.【答案】2- 1122n --9. 【2012高考北京理第10题】已知}{n a 等差数列n S 为其前n 项和。

一．基础题组1。

【湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底考试数学（理）试题】已知等差数列{}na 的前n 项和nS 满足350,5SS ==，数列21211{}n n a a -+的前2016项的和为 。

【答案】20164031-考点：等差数列的通项公式，裂项相消法求和．2. 【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）(开学考试）】已知等比数列{}na 中,262,8a a ==，则345a a a =( ）A ．64±B ．64C ．32D ．16 【答案】B 【解析】试题分析：由等比数列的性质可知226416a a a ⋅==，而246,,a a a 同号,故44a =，所以3345464a a a a ==. 考点：等比数列的性质．3。

【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一)（开学考试）】 数列{}na 满足()121112n n an N a a *+=+=∈,记212n n n b a =，则数列{}nb 的前n 项和nS = ．【答案】2332nn +-【解析】 试题分析：11n a +=得221112n n a a +-=,且2111a =，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列，所以211(1)221nn n a =+-⨯=-，从而得到2121n a n =-，则212nnn b-=， 所以21321222nn n S-=+++，231113232122222nn n n n S +--=++++, 两式相减,得2111111121222222n n n n S -+-=++++-1111121323122222n n n n n -++-+=+--=- 所以2332nnn S+=-. 考点：错位相减法求和．【名师点睛】利用错位相减法求数列的前n 项和时，应注意两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项,另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的1n -项是一个等比数列．4。

数列是高考数学的重要知识点之一，下面是一道可能在北京高考数学试卷中出现的数列问题示例：问题描述：设数列{an} 满足a1 = 1，且an+1 - an = n + 1 (n ∈N*)．（1）求数列{an} 的通项公式；（2）求数列{an} 的前n 项和Sn；（3）若将数列{an} 中的第n 项an 改为第n 项除以2，记新数列为{bn}，求数列{bn} 的前n 项和Tn。

解题思路：（1）首先，我们根据给定的递推关系式an+1 - an = n + 1，可以推导出数列的通项公式。

通过累加法，我们可以将递推关系式转化为等差数列的形式，从而求出通项公式。

（2）接下来，我们利用等差数列的求和公式来求出数列{an} 的前n 项和Sn。

根据等差数列的求和公式，我们可以得到Sn 的表达式，并进一步求解。

（3）最后，我们根据题目要求，将数列{an} 中的第n 项an 改为第n 项除以2，得到新数列{bn}。

然后，我们利用等差数列的求和公式来求出数列{bn} 的前n 项和Tn。

由于数列{bn} 是由数列{an} 修改得到的，因此我们可以利用数列{an} 的前n 项和Sn 来求解Tn。

参考答案：（1）由递推关系式an+1 - an = n + 1，我们可以得到：an - an-1 = n (n ≥2)，an-1 - an-2 = n-1 (n ≥3)，...，a2 - a1 = 2。

将以上各式相加得：an - a1 = 2 + 3 + ... + n。

因此，an = 1 + 2 + ... + n = n(n + 1) / 2。

当n = 1 时，a1 = 1 也适合上式。

因此，数列{an} 的通项公式为an = n(n + 1) / 2。

（2）由等差数列的求和公式得：Sn = (a1 + an)n / 2 = (1 + n(n + 1) / 2)n / 2 = n(n + 1)n / 4。

（3）根据题目要求，新数列{bn} 的第n 项为an / 2 = n(n + 1) / 4。

1. 【2014高考北京版理第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2. 【2014高考福建卷第3题】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D3. 【2014高考江苏卷第7题】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 .4. 【2014辽宁高考理第8题】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >5. 【2014重庆高考理第2题】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列6. 【2014天津高考理第11题】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________．7. 【2014大纲高考理第10题】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C ．8. 【2014高考广东卷理第13题】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= .9. 【2014高考安徽卷理第12题】数列{}n a 是等差数列，若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，则q =________.10. 【2014高考北京版理第12题】若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大.【答案】8。

一．基础题组1.【2013课标全国Ⅰ，文6】设首项为1，公比为23的等比数列{a n}的前n项和为S n，则()．A．S n＝2a n－1 B．S n＝3a n－2 C．S n＝4－3a n D．S n＝3－2a n【答案】：D【解析】：11211321113n nnnaa a qa qSq q--(-)===---＝3－2a n，故选D.2.【2012全国1，文6】已知数列{an}的前n项和为S n，a1＝1，S n＝2a n＋1，则S n＝() A．2n－1B．13()2n-C．12()3n-D．112n-【答案】B显然只有B项符合．3.【2011全国1，文6】设nS为等差数列{}n a的前n项和，若11a=，公差2d=，224A nS S+-=，则k=( )（A）8 （B）7 （C）6 （D）5【答案】D【解析】221111(21)(11)2(21)k k k kS S a a a k d a k d a k d +++-=+=++-+++-=++21(21)244245k k k=⨯++⨯=+=⇒=故选D。

4.【2010全国1，文4】已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( )A．2 B．7 C．6 D．2【答案】：A【解析】数列{a n}为等比数列，由a1a2a3＝5得32a＝5，由a7a8a9＝10得38a＝10，所以32a38a＝50，即(a 2a 8)3＝50，即65a ＝50，所以35a ＝52 (a n ＞0)．所以a 4a 5a 6＝35a ＝52.5. 【2008全国1，文7】已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ）A ．64B ．81C ．128D ．243【答案】A 【解析】6. 【2009全国卷Ⅰ,文14】设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 9=72,则a 2+a 4+a 9=__________.【答案】:24【解析】:∵2)(972919a a S +==,∴a 1+a 9=16. ∵a 1+a 9=2a 5,∴a 5=8.∴a 2+a 4+a 9=a 1+a 5+a 9=3a 5=24.7. 【2014全国1，文17】已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

专题六 数列1．（2018.9）设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2+a 5＝36，则{a n }的通项公式为 ． 2．（2017.10）若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝﹣1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2= ．3．（2017.20）设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n ＝max {b 1﹣a 1n ，b 2﹣a 2n ，…，b n ﹣a n n }（n ＝1，2，3，…），其中max {x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数． （1）若a n ＝n ，b n ＝2n ﹣1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列； （2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，c n n＞M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m +1，c m +2，…是等差数列．4．（2016.12）已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3+a 5＝0，则S 6＝ ．5．（2016.20）设数列A ：a 1，a 2，…，a N （N ≥2）．如果对小于n （2≤n ≤N ）的每个正整数k 都有a k ＜a n ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”，记G （A ）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合．（Ⅰ）对数列A ：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G （A ）的所有元素； （Ⅱ）证明：若数列A 中存在a n 使得a n ＞a 1，则G （A ）≠∅；（Ⅲ）证明：若数列A 满足a n ﹣a n ﹣1≤1（n ＝2，3，…，N ），则G （A ）的元素个数不小于a N ﹣a 1．6. （2015.6）设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是（ ） A ．若a 1+a 2＞0，则a 2+a 3＞0 B ．若a 1+a 3＜0，则a 1+a 2＜0C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞√a 1a 3D ．若a 1＜0，则（a 2﹣a 1）（a 2﹣a 3）＞07．（2015.20）已知数列{a n }满足：a 1∈N *，a 1≤36，且a n +1={2a n ，a n ≤182a n −36，a n ＞18（n ＝1，2，…），记集合M ＝{a n |n ∈N *}．（Ⅰ）若a 1＝6，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）如集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．8. （2014.5）设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2014.12）若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9＞0，a 7+a 10＜0，则当n ＝ 时，{a n }的前n 项和最大．专题六 数列 答案部分1.解：∵{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2+a 5＝36， ∴{a 1=3a 1+d +a 1+4d =36， 解得a 1＝3，d ＝6，∴a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝3+（n ﹣1）×6＝6n ﹣3． ∴{a n }的通项公式为a n ＝6n ﹣3． 故答案为：a n ＝6n ﹣3．2. 解：等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝﹣1，a 4＝b 4＝8， 设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ． 可得：8＝﹣1+3d ，d ＝3，a 2＝2； 8＝﹣q 3，解得q ＝﹣2，∴b 2＝2． 可得a 2b 2=1．故答案为：1．3. 解：（1）a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，b 1＝1，b 2＝3，b 3＝5， 当n ＝1时，c 1＝max {b 1﹣a 1}＝max {0}＝0，当n ＝2时，c 2＝max {b 1﹣2a 1，b 2﹣2a 2}＝max {﹣1，﹣1}＝﹣1，当n ＝3时，c 3＝max {b 1﹣3a 1，b 2﹣3a 2，b 3﹣3a 3}＝max {﹣2，﹣3，﹣4}＝﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n＝b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），＝[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，＝（2k﹣2）﹣n（k﹣1），＝（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n＝b1﹣na1＝1﹣n，c n+1﹣c n＝﹣1，∴c2﹣c1＝﹣1，∴c n+1﹣c n＝﹣1对∀n∈N*均成立，∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n＝[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，＝（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1＝0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1＝0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）＝（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n＝b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n＝﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）＝（i﹣n）d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n＝b n﹣a n n＝b n﹣a1n，此时c n+1﹣c n＝d2﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；此时取m＝1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）＝（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n ≥m 时，c n ＝b 1﹣a 1n ，此时c n +1﹣c n ＝﹣a 1，故数列{c n }从第m 项开始为等差数列，命题成立； ③若d 1＜0，此时﹣d 1n +d 2为一个关于n 的一次项系数为正数的一次函数， 故必存在s ∈N *，使得n ≥s 时，﹣d 1n +d 2＞0，则当n ≥s 时，（b i ﹣a i n ）﹣（b n ﹣a n n ）＝（i ﹣1）（﹣d 1n +d 2）≤0，（i ∈N *，1≤i ≤n ）， 因此，当n ≥s 时，c n ＝b n ﹣a n n ， 此时=b n −a n n n =−a n +bn n， ＝﹣d 2n +（d 1﹣a 1+d 2）+b 1−d 2n， 令﹣d 1＝A ＞0，d 1﹣a 1+d 2＝B ，b 1﹣d 2＝C ， 下面证明：c n n=An +B +Cn 对任意正整数M ，存在正整数m ，使得n ≥m ，c n n＞M ，若C ≥0，取m ＝[|M−B|A+1]，[x ]表示不大于x 的最大整数，当n ≥m 时，c n n≥An +B ≥Am +B ＝A [|M−B|A+1]+B ＞A •M−B A+B ＝M ，此时命题成立； 若C ＜0，取m ＝[|M−C−B|A]+1，当n ≥m 时，c n n≥An +B +Cn ≥Am +B +C ＞A •|M−C−B|A+B +C ≥M ﹣C ﹣B +B +C ＝M ，此时命题成立，因此对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n ≥m 时，c n n＞M ；综合以上三种情况，命题得证．4. 解：∵{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和． a 1＝6，a 3+a 5＝0， ∴a 1+2d +a 1+4d ＝0， ∴12+6d ＝0， 解得d ＝﹣2，∴S 6=6a 1+6×52d =36﹣30＝6． 故答案为：6．5. 解：（Ⅰ）根据题干可得，a 1＝﹣2，a 2＝2，a 3＝﹣1，a 4＝1，a 5＝3，a 1＜a 2满足条件，2满足条件，a 2＞a 3不满足条件，3不满足条件，a 2＞a 4不满足条件，4不满足条件，a 1，a 2，a 3，a 4，均小于a 5，因此5满足条件，因此G （A ）＝{2，5}．（Ⅱ）因为存在a n ＞a 1，设数列A 中第一个大于a 1的项为a k ，则a k ＞a 1≥a i ，其中2≤i ≤k ﹣1，所以k ∈G （A ），G （A ）≠∅；（Ⅲ）设A 数列的所有“G 时刻”为i 1＜i 2＜…＜i k ，对于第一个“G 时刻”i 1，有a i 1＞a 1≥a i （i ＝2，3，…，i 1﹣1），则 a i 1−a 1≤a i 1−a i 1−1≤1．对于第二个“G 时刻”i 1，有a i 2＞a i 1≥a i （i ＝2，3，…，i 1﹣1），则 a i 2−a i 1≤a i 2−a i 2−1≤1．类似的a i 3−a i 2≤1，…，a i k −a i k−1≤1．于是，k ≥（a i k −a i k−1）+（a i k−1−a i k−2）+…+（a i 2−a i 1）+（a i 1−a 1）=a i k −a 1． 对于a N ，若N ∈G （A ），则a i k =a N ．若N ∉G （A ），则a N ≤a i k ，否则由（2）知a i k ，a i k+1，…，a N ，中存在“G 时刻”与只有k 个“G 时刻”矛盾． 从而k ≥a i k −a 1≥a N ﹣a 1．6. 解：若a 1+a 2＞0，则2a 1+d ＞0，a 2+a 3＝2a 1+3d ＞2d ，d ＞0时，结论成立，即A 不正确； 若a 1+a 3＜0，则a 1+a 2＝2a 1+d ＜0，a 2+a 3＝2a 1+3d ＜2d ，d ＜0时，结论成立，即B 不正确； {a n }是等差数列，0＜a 1＜a 2，2a 2＝a 1+a 3＞2√a 1a 3，∴a 2＞√a 1a 3，即C 正确； 若a 1＜0，则（a 2﹣a 1）（a 2﹣a 3）＝﹣d 2≤0，即D 不正确． 故选：C ．7. 解：（Ⅰ）若a 1＝6，由于a n +1={2a n ，a n ≤182a n −36，a n ＞18（n ＝1，2，…），M ＝{a n |n ∈N *}．故集合M 的所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k 是3的倍数，由a n +1={2a n ，a n ≤182a n −36，a n ＞18（n ＝1，2，…），可归纳证明对任意n ≥k ，a n 是3的倍数． 如果k ＝1，M 的所有元素都是3的倍数；如果k ＞1，因为a k ＝2a k ﹣1，或a k ＝2a k ﹣1﹣36，所以2a k ﹣1是3的倍数；于是a k ﹣1是3的倍数；类似可得，a k ﹣2，…，a 1都是3的倍数； 从而对任意n ≥1，a n 是3的倍数；综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则集合M 的所有元素都是3的倍数 （Ⅲ）对a 1≤36，a n ={2a n−1，a n ≤182a n−1−36，a n ＞18（n ＝1，2，…），可归纳证明对任意n ≥k ，a n ＜36（n ＝2，3，…）因为a 1是正整数，a 2={2a 1，a 1≤182a 1−36，a 1＞18，所以a 2是2的倍数．从而当n ≥2时，a n 是2的倍数．如果a 1是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n ，a n 是3的倍数． 因此当n ≥3时，a n ∈{12，24，36}，这时M 的元素个数不超过5． 如果a 1不是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n ，a n 不是3的倍数． 因此当n ≥3时，a n ∈{4，8，16，20，28，32}，这时M 的元素个数不超过8． 当a 1＝1时，M ＝{1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素． 综上可知，集合M 的元素个数的最大值为8．5.解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q ＝2＞1，但{a n }不是递增数列，充分性不成立．若a n ＝﹣1⋅(12)n−1为递增数列，但q =12＞1不成立，即必要性不成立， 故“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D ．6. 解：由等差数列的性质可得a 7+a 8+a 9＝3a 8＞0， ∴a 8＞0，又a 7+a 10＝a 8+a 9＜0，∴a 9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n}的前8项和最大，故答案为：8．。