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1集合论与实分析基础(数理经济学讲义-西安交大寿纪麟)

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交大数理逻辑课件数理逻辑和集合论复习提纲

交大数理逻辑课件数理逻辑和集合论复习提纲
3.设 A={1,2,3,4,5,6,7,8}, A上的关系 R如下定义： R = { <x,y> | x,y∈A∧x≡y(mod 3) } 证明：R是一个等价关系。
4．使用推理规则证明： P(QR)，S∨P, Q S R
《数理逻辑》样卷
六．应用题（共20分）
1. 甲、乙、丙、丁四人参加考试，有人问他们，谁的成绩最 好，甲说：“不是我”,乙说：“是丁”,丙说：“是乙”, 丁说：“不是我”.四人的回答只有一人符合实际，问是 谁的成绩最好，若只有一人成绩最好，他是谁？
A．A=B
B．BA
C．AB
D．A≠B
8．下列一阶谓词公式中，是逻辑有效 式的是____________。
A. x(F(x) G(x))
B. xF(x) xF(x)
C. Байду номын сангаасF(x,y) R(x,y)) R(x,y)
D. xyF(x,y) xyF(x,y)
9．设 f：B→C, g：A→B. 则下面命 题是错误的是___________。
第11章 函 数
11.1 函数 11.2 函数的合成和函数的逆
第12章 集合的基数
12.2 集合的等势 12.3 有限集合与无限集合 12.4 集合的基数
试题结构
卷面
一. 选择题（10%） 二. 填空题（20%） 三. 判断题（10%） 四. 运算题（20%） 五. 证明题（20%） 六. 应用题（20%）
《数理逻辑》样卷
6．设A、B是集合，右图的文氏图的 阴影部分的区域可用________表 达式表示
A. A∩B B. A∪B
C. A-B D. (A∪B)-(A∩B)
7．集合A和B定义如下，则它们之间 满足_________关系。

现代数学基础

现代数学基础

现代数学基础1《代数与编码》（第三版）万哲先编著2《应用偏微分方程讲义》姜孔尚孔德兴陈志浩编著3《实分析》（第二版）程民德邓东皋龙瑞麟编著4《高等概率论及其应用》胡迪鹤著5《线性代数与矩阵论》许以超编著6《矩阵论》詹兴致7《可靠性统计》茆诗松汤银才王玲玲编著8《泛函分析第二教程》（第二版）夏道行严绍宗舒五昌童裕孙编著9《无限维空间上的测度和积分—抽象调和分析》（第二版）夏道行著10《奇异摄动问题中的渐近理论》倪明康林武忠11《整体微分几何初步》（第三版）沈一兵编著12《数论Ⅰ—Ferma的梦想和类域论》加藤和也黑川信重斋藤毅著胥鸣伟印林生译13《数论Ⅱ—岩泽理论和自守形式》加藤和也栗原将人斋藤毅著印林生胥鸣伟译14《微分方程与数学物理问题》[瑞典]Nail H. lbragimov 著卢琦杨凯罗朝俊胡享平译15《有限群表示论》（第二版）曹锡华时俭益16《实变函数论与泛函分析》（上册·第二版修订本）夏道行吴卓人严绍宗舒五昌编著17《实变函数论与泛函分析》（下册·第二版修订本）夏道行吴卓人严绍宗舒五昌编著18《现代极限理论及其在随机结构中的应用》苏淳冯群强刘杰著19《偏微分方程》孔德兴20《几何与拓扑的概念导引》古志鸣编著21《控制论中的矩阵计算》徐树方著22《多项式代数》王东明牟晨琪李晓亮杨静金萌黄艳丽编著23 《矩阵计算六讲》徐树芳钱江著24《变分学讲义》张恭庆编著25《现代极小曲面讲义》Frederico Xavier·潮小李26《群表示论》丘维声编著27《可靠性数学引论》（修订版）曹晋华程侃著28《次正常算子解析理论》夏道行著28《复变函数专题选讲》余家荣路见可主编余家荣柏盛桄肖修治何育赞路见可编30《数论—从同余的观点出发》蔡天新31《多复变函数论》萧荫堂陈志华钟家庆著32《工程数学的新方法》蒋耀林33《现代芬斯勒几何初步》沈一兵沈忠民34《数论基础》潘承洞著展涛刘建亚校35《Toeplitz 系统预处理方法》金小庆著庞宏奎译36《索伯列夫空间》王明新37《伽罗瓦理论—天才的激情》章璞著38《李代数》(第二版) 万哲先编著39《实分析中的反例》汪林40《泛函分析中的反例》汪林著41《拓扑线性空间与算子谱理论》刘培德编著42《旋量代数与李群、李代数》戴建生43《格论导引》方捷著44《李群讲义》项武义侯自新孟道骥著45《古典几何学》项武义王申怀潘养廉著46《黎曼几何初步》伍鸿熙沈纯理虞言林著47《高等线性代数学》黎景辉白正简周国晖编著48《实分析与泛函分析(续论)》(上册) 匡继昌51《阶的估计基础》潘承洞于秀源52《非线性泛函分析》(第三版) 郭大钧著复习题1. 判断下面方程的类型并把它化成标准型：4520.xx xy yy x y u u u u u +++++=证明：因为判别式,0942〉=-=∆ac b 故方程为双曲型。

西安交大教授谈如何学好高等数学

西安交大教授谈如何学好高等数学

集合论、计算数学、电子计算机等的出现 和发展构成了现在丰富多彩、渗透到各个科 学技术部门的现代数学。
高等数学课教学的特点
(1) 课堂大。高等数学一般都是一个系同 年级的几个小班合班上课。教师授课的基点， 只能照顾大多数，不可能给跟不上、听不全 懂的少数同学细讲、重复讲。
(2) 时间长,连贯性强。高等数学每上一次课， 一般都是连续讲授两节。而且各章的内容有很 强的连贯性。
四、导数
曲线的切线斜率
y
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当
时)
o
切线 MT 的斜率
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan
割线 M N 的斜率 tan
k
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x) f (x0 ) x x0
瞬时速度 切线斜率
数学不但研究数量关系与空间形式，还 研究现实世界的任何关系和形式。因此， 数学的研究对象是抽象的关系与形式，数 学研究的是各种抽象的“数”和“形”的模 式 结恩构格。斯说：“要辩证而又唯物地了解自然， 就必须掌握数学”。英国著名哲学家培根说： “数学是打开科学大门的钥匙”。
数学如今已经越来越被人们认为是在科学 发展中具有高度重视课程。它不仅是各专业 的后继课程所必需。而且它本身就是科学思维， 逻辑分析的素质*训练。通俗地说数学是 思维方法的体操。 自然科学各学科数学化的趋势，社会科学各 部门定量化的要求，使许多学科都在直接间 接地，或先或后地经历着一场数学化的进程。
3) 近似和.
4) 取极限 .
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同，即（分，粗，合，精） :

实分析答案

实分析答案

容易验证 f 可测且显然有 f = g µ − a.e. 但是 {x ∈ X : g(x) > 1} = A\B ∈/ A . 故 g 不可 测.
2.证明定理1.2.1-1.2.10, 特别是1.2.7和1.2.10.
证明. 这些定理的证明可以完全仿照《实变》获得证明.
2
1.3 LP (X, A , µ)
证明. 我们很容易验证d 是一个距离. 下面我们来验证它的完备性.
事实上, 根据
∫
µ(E1∆E2) = |χE1 − χE2 |dµ,
X
它与 L1 的闭子空间 {χE : E ∈ A }, 是等距地一一对应的. 设 {En} 是 (X, A , µ) 中的一个基本 列. 则
∫
d(En, Em) → 0 ⇔ µ(En∆Em) → 0 ⇔ |χE1 − χE2|dµ → 0 (n → 0, m → 0).
∫ |gm − gn|pdµ < ϵ.
X
用Fatou引理, 令 n → ∞, 得
∫
|gm − f |pdµ < ϵ, ∀m > N.
X
可见 lim
m→∞
∫
X
|gm
−
f |pdµ
=
0,
从而 lim
n→∞
∫
X
|fn
−
f |pdµ
=
0.
2.设 f ∈ L∞(X, A , µ). 证明
∥f ∥∞ = inf{α > 0 : µ({x ∈ X : |f (x)| > α}) = 0}.
∥p
≤
1
lim (|E| + 1) p
p→∞
=

=
∥f ∥∞.

第一章集合论基础 1 [兼容模式]

第一章集合论基础 1 [兼容模式]

集合运算举例
例1. 已知A∪B=A∪C, A∩B=A∩C, 证明B=C.
例2. 化简: ((A∪B∪C) ∩(A∪B)) ∩(A∪(A∩C))
例3. 证明: (A∪B)-(A∩B)=(A- B) ∪(B-A)
例1. 已知A∪B=A∪C, A∩B=A∩C, 证明B=C.
证: B=C 左=B= B∩(A∪B) (吸收律) = B∩ (A ∪C) = (B∩ A) ∪ (B∩C) = (A ∩ C) ∪ (B∩C) = C ∩ (A∪B) = C ∩ (A∪ C) =C
= (A∪B) ∩ ～(A∩B) = (A∪B) ∩(～ A ∪ ～ B) =(A ∩ ～ A ) ∪ (A ∩ ～ B) ∪ (B ∩ ～ A ) ∪ (B∩ ～ B)
=Φ ∪ (A ∩ ～ B) ∪ (B ∩ ～ A )
= (A ∩ ～ B) ∪ (B ∩ ～ A ) =(A- B) ∪(B-A)
Discrete Mathematics
课程要求
• 教材 • 课时安排 • 课程要求以及考试安排
• 参考书目
• 耿素云，屈婉玲编著．离散数学(修订版)．北京：高等教育出版社,2004 • 左孝凌，李为鉴，刘永才编著．离散数学．上海：上海科学技术文献出版
社,1982 • 孙吉贵，杨凤杰，欧阳丹彤，李占山编著．离散数学．高等教育出版社，
B⊆C ，则A⊆C。 (c). 有反对称性，对任何集合A、B，有 A⊆B且
B⊆A ，则A=B。
集合间的关系
2. 相等关系 定义：A、B是集合，如果它们的元素完全相 同，则称A与B相等。记作A=B。 性质：
⑴有自反性，对任何集合A，有A=A。 ⑵有传递性，对任何集合A、B、C，如果有 A=B且 B=C ，则A=C。 ⑶有对称性，对任何集合A、B，如果有A=B， 则B=A。

林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析

林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析

林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析第一篇：林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析第十讲：19世纪的分析1、分析的严格化经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。

1.1 分析的算术化所谓分析是指关于函数的无穷小分析，主要贡献归功于柯西（法，1789－1857年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897），前者著有《分析教程》（1821）、《无穷小分析教程概论》（1823）和《微分学教程》（1829），后者创造了ε－δ语言，是“现代分析之父”。

1837年狄里克雷（德，1805－1859年）的函数定义。

魏尔斯特拉斯简介。

1.2 实数理论19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理”，康托、戴德金各自独立地给出了无理数定义，建立了严格的实数论。

实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。

1.3 集合论康托（德，1845－1918年），1874年发表了“关于一切代数实数的一个性质”，引入了无穷的概念。

康托简介。

2、分析的拓展 2.1 复变函数论在18世纪后半叶到19世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索。

复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西（法，1789－1857年）、黎曼（德，1826－1866年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897年）。

柯西建立了复变函数的微分和积分理论。

1814年、1825年的论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》建立了柯西积分定理，1826年提出留数概念，1831年获得柯西积分公式，1846年发现积分与路径无关定理。

柯西简介。

背景：波旁王朝、捷克简史、哈布斯堡王朝、拿破仑三世、欧洲1848年革命。

黎曼的几何观点，引入“黎曼面”的概念。

1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》，建立了柯西－黎曼条件、黎曼映射定理。

魏尔斯特拉斯于19世纪40年代，以追求绝对的严格性为特征，建立了幂级数基础上的解析函数理论，解析开拓。

3.消费者理论(数理经济学讲义-西安交大 寿纪麟)

3.消费者理论(数理经济学讲义-西安交大 寿纪麟)
f x1 (1 )x 2 ) min{f (x1 ),f (x 2 )}＝f (x 2 )，
令 x1 (1 )x2 y1，由S(f (x2 ))严格弯曲的假设，
必有点 y 2 y1 , x 2 , 使 f (y 2 ) f (y 1 ) f (x 2 )，
31凸集与凸函数定义集合叫做凸集如果对任意的平面中的圆盘性质是凸的等价于对任意的x记为它是该集合中所有凸组合所组成的集合因此如果对任意的和任意的证明与定理一样可证反证法若存在12都产生了矛盾因而证明了是严格拟凹的
第3章 消费者理论（Consumer Theory）
3.1 凸集与凸函数
定义 集合C Rn叫做凸集，如果对任意的 x1，x2 C
当x y时，u(x) e u(y) e u(x) u(y)，
当x=y时，u(x) e u(y) e u(x) u(y)。
当xn x0时，有 u(xn ) e u(x0 ) e，
因而 u(xn ) u(x0 ),即 u(x)是连续的。
定理得证。
注意：对一个偏好，与此相协调的效用函数不是
而 y1 x1 ,y 2 , f (y1 ) min f (x1 ), f (y 2 )
x1

x2
y2
1.若f (x1 ) f (x 2 ), 则 f (y 1 ) f (x 2 ) f (y 1 ),
2.若f (x1 ) f (x 2 ), 则 f (y 1 ) f (x 2 ) f (y 1 ),
则称f为(严格)拟凹函数。
定理3.1 设 E R
n
为凸集。f : E R，则
f(x) 为拟凹 D={x f (x) },,为凸集； |

2.1 集合论基础

2.1 集合论基础

例如，令A={a，b，c，d}，B={c，d，e，f}，于
是A∪B={a，b，c，d，e，f}。
A
B
A∪ B

设 A ， B 是两个集合。由属于 A 又属于 B 的元素组成 的 集 合 ， 称 为 A 和 B 的 交 集 ， 记 以 A∩ B 。 即
A∩B={x|xA xB}

例如，令A={a，b，c，d}，B={c，d，e，f}，于

定义3.1.4 没有任何元素的集合，称为空集，记 为，它可形式地表为：
={x|P(x)P(x)}
其中P(x)为任何谓词公式。

由定义可知，对任何集合A，有A。这是因为 任意元素x，公式xxA总是为真(为什么？)。

例
◦ {x|x∈R∧x2+1=0}是方程x2+1=0的实数解集，因 为该方程无实数解，所以是空集。


随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所 作的讨论，在1900年左右出现了各种悖论，使集 合论的发展一度陷入僵滞的局面。 第一个悖论是布拉利-福尔蒂的最大序数悖论。 1901年罗素发现了有名的罗素悖论。1932年康脱 也发表了关于最大基数的悖论。
设集合S={A|A是集合，且AA}
1. 若SS，则S是集合S的元素，则根据S的定义，有S
◦ 集合论的现代公理化开始于1908年策梅罗所发表的 一组公理，经过弗兰克尔的加工，这个系统称为策梅 罗-弗兰克尔集合论（ZF），其中包括1904年策梅罗 引入的选择公理。另外一种系统是冯·诺伊曼-伯奈斯 -哥德尔集合论。公理集合论中一个有名的猜想是连 续统假设（CH）。哥德尔证明了连续统假设与策梅 罗-弗兰克尔集合论的相容性，科恩证明了连续统假 设与策梅罗-弗兰克尔集合论的独立性。现在把策梅 罗-弗兰克尔集合论与选择公理一起称为ZFC系统。

集合论基本知识

集合论基本知识
5
集合与元素
元素与集合的关系： 元素与集合的关系：隶属关系 属于∈ 属于∈，不属于 ∉ 实例 A={ x | x∈R∧x2-1=0 }, A={-1,1} ∈ ∧ 1∈A, 2∉A ∈ ∉ 注意： 可以是集合)， 注意：对于任何集合 A 和元素 x (可以是集合 ， 可以是集合 x∈A和 x∉A 两者成立其一，且仅成立其一 ∈ 和 ∉ 两者成立其一，且仅成立其一.
25
命题演算法证明X=Y 命题演算法证明
任取 x ， x∈X ⇒ … ⇒x∈Y ∈ ∈ x∈Y ⇒ … ⇒x∈X ∈ ∈ 或者 x∈X ⇔ … ⇔ x∈Y ∈ ∈ 吸收律） 例8 证明 A∪(A∩B)=A （吸收律） ∪ ∩ 任取x, 证 任取 x∈A∪(A∩B) ⇔ x∈A∨ x∈A∩B ∈ ∪ ∩ ∈ ∨ ∈ ∩ ⇔ x∈A ∨ (x∈A ∧ x∈B) ⇔ x∈A ∈ ∈ ∈ ∈
27
反证法证明 反证法证明X=Y 证明
不成立， 假设 X=Y 不成立，则存在 x 使得 x∈X且x∉Y， ∈ 且 ∉ ， 或者存在 或者存在 x 使得 x∈Y且x∉X，然后推出矛盾 ∈ 且 ∉ ，然后推出矛盾. 例10 证明以下等价条件 A⊆B ⇔ A∪B=B ⇔ A∩B=A ⇔ A−B=∅ ⊆ ∪ ∩ − ∅ (1) (2) (3) (4) 证明顺序： 证明顺序： (1) ⇒(2), (2) ⇒(3), (3) ⇒(4), (4) ⇒(1)
19
补元律 零律 同一律 否定
集合包含或相等的证明方法
证明 X⊆Y ⊆
命题演算法 包含传递法 等价条件法 反证法 并交运算法 以上的 X, Y 代表集合公式
20
证明 X=Y
命题演算法 等式代入法 反证法 运算法
命题演算法证 ⊆ 命题演算法证 X⊆Y

《实分析：分析综合教程》札记

《实分析：分析综合教程》札记

《实分析：分析综合教程》阅读随笔目录一、内容概括 (2)二、第一章 (3)1. 实数系统 (4)1.1 实数的定义与性质 (5)1.2 数轴与区间 (6)1.3 集合论基础 (7)2. 数列与极限理论 (8)2.1 数列的基本概念 (10)2.2 极限理论及其性质 (11)三、第二章 (13)1. 函数的基本概念及性质 (14)1.1 函数的定义与特性 (14)1.2 函数的运算规则 (16)2. 常见函数的分类与性质 (16)四、第三章 (18)1. 连续性的概念与性质 (20)2. 导数理论及其应用 (20)五、第四章 (21)六、第五章 (23)七、第六章 (24)八、第七章 (24)一、内容概括在数学的世界里，实分析是一门探索极限、连续性、微积分等概念的深奥学科。

当我翻开《实分析：分析综合教程》这本教材时，我仿佛进入了一个全新的世界，这里充满了数学的严谨性和逻辑的美感。

书中从基础的实数和序列开始，逐步引入了测度论、勒贝格积分等重要概念。

每一个新概念的引入都伴随着严格的定义和证明，这使得整本书的逻辑非常严密。

在学习的过程中，我深刻体会到了数学的严谨性，每一个细节都不容忽视。

除了严谨的逻辑推导，书中还穿插了一些实际应用案例，如巴拿赫空间、希尔伯特空间等。

这些案例不仅增加了学习的趣味性，也让我看到了数学在实际问题中的应用价值。

通过这些案例，我更加明白了数学的重要性和实用性。

书中对一些重要定理的证明方法也进行了详细的介绍，这些证明方法不仅具有高度的技巧性，而且展示了数学思维的魅力。

通过学习和模仿这些证明方法，我逐渐提高了自己的数学素养和解题能力。

《实分析：分析综合教程》是一本非常值得学习的教材。

它不仅系统地介绍了实分析的基本理论和方法，还通过丰富的案例和详细的证明方法，使读者能够深入理解数学的本质和魅力。

在未来的学习和工作中，这本书将成为我宝贵的财富。

二、第一章在继续我的阅读之旅，深入探索《实分析：分析综合教程》这一数学领域的经典之作时，我逐渐走进了实分析的世界。

第一章 集合论基础

第一章 集合论基础

第一章集合论基础1.2.1 证明集合的包含关系方法一.用定义来证明集合的包含关系是最常用也是最基本的一种方法。

要证明A⊆B，首先任取x∈A，再演绎地证出x∈B成立。

由于我们选择的元素x是属于A的任何一个，而非特指的一个，故知给出的演绎证明对A中含有的每一个元素都成立。

当A是无限集时，因为我们不能对x∈A，逐一地证明x∈B成立，所以证明时的假设“x是任取的”就特别重要。

例1.2.1 设A，B，C，D是任意四个非空集合，若A⊆C，B⊆D，则A×B⊆C×D。

证明：任取(x，y) ∈A×B，往证(x，y) ∈C×D。

由(x，y) ∈A×B知，x∈A，且y∈B。

又由A⊆C，B⊆D知，x∈C，且y∈D，因此，(x，y) ∈C×D。

故，A×B⊆C×D。

1.2.2 证明集合的相等方法一.若A，B 是有限集，要证明集合A=B当然可以通过逐一比较两集合所有元素均一一对应相等即可，但当A，B 是无限集时，一般通过证明集合包含关系的方法证得A⊆B，B⊆A即可。

例1.2.2 设A，B，C，D是任意四个集合，求证（A×B）⋂（C×D）=（A⋂C）×（B⋂D）。

证明：首先证明（A×B）⋂（C×D）⊆（A⋂C）×（B⋂D）。

任取（x,y）∈（A×B）⋂（C×D），则（x,y）∈（A×B），且（x,y）∈（C×D），故x∈A，y∈B，x∈C，y∈D，即x∈A⋂C，y∈B⋂D，因此，（x,y）∈（A⋂C）×（B⋂D）。

由于以上证明的每一步都是等价的，所以上述论证反方向进行也是成立的。

故可证得（A⋂C）×（B⋂D）⊆（A×B）⋂（C×D）。

因此，（A×B）⋂（C×D）=（A⋂C）×（B⋂D）。

点集拓扑学授课人林寿

点集拓扑学授课人林寿
2018/10/9 宁德师范高等专科学校 4
2.1 度量空间与连续映射(3)
定义2.1.2 设(X, )是度量空间. B(x, )={yX | (x, y)<} 称为以x为心, 为半径的球形邻域, 或邻域, 或球形邻域. 对(R, |.|), B(x, )=(x-, x+). 定理2.1.1 度量空间(X, )的球形邻域具有性质: (1)xX, >0, xB(x, ε); (2)xX, 1, 2>0, >0, 使B(x, )B(x, 1)∩B(x, ε2);
x(a, b), 让ε=min{x-a, b-x}, 则B(x, ε)(a, b). 同样可证, 无限开区也是开集. 闭区间[a, b]不是开集.
定理2.1.2 度量空间的开集具有以下性质: (1)X, 是开集; (2)两开集的交是开集; (3)任意开集族之并是 开集. 证 (1)由定理2.1.1(1); (2), (3)由定理2.1.1(2).
n
R 的通常度量, n维欧氏空间. R 称为欧氏平面或平面.
2018/10/9 宁德师范高等专科学校 3
n
2 i1
2.1 度量空间与连续映射(2)
例2.1.3 Hilbert空间H. H={x=(x1, x2, …) | xiR, iZ+; x i2 <∞}. 定义 (x, y)=

(x
–1 –1
证 (1)利用定义2.1.5, 2.1.4.
(2)“” f (1).
–1
(U)是每一点的邻域.“”证每一点连续, 利用
由此可见, 度量空间的连续只与邻域或开集有关. 它导入 建立比度量空间更一般的拓扑空间的概念及其连续性.
2018/10/9 宁德师范高等专科学校 8

数学先学集合论-概述说明以及解释

数学先学集合论-概述说明以及解释

数学先学集合论-概述说明以及解释1.引言1.1 概述集合论是数学的一个基础分支，研究元素的集合和它们之间的关系。

它是数学的一种抽象工具，被广泛应用于数学、计算机科学、经济学、物理学等多个领域。

集合论的概念最早由德国数学家格奥尔格·康托尔在19世纪末提出，为数学奠定了坚实的基础。

它的研究对象是集合，集合是由一些确定的元素构成的整体。

通过对集合的操作和关系的研究，集合论不仅可以推导出一系列的性质和定理，而且可以帮助我们更好地理解和刻画真实世界中的事物和问题。

在集合论中，最基本的概念是元素和集合。

元素是构成集合的基本单位，而集合则是元素的集合。

通过集合的运算，我们可以进行交集、并集、补集等操作。

此外，集合论还研究了集合的性质和关系，如包含关系、相等关系、子集关系等，这些关系在数学推理和证明中起着重要的作用。

集合论不仅是数学研究中的基础工具，还在实际问题的建模和解决中发挥着重要的作用。

例如，在计算机科学中，集合论被用于描述数据结构和算法的基本操作；在经济学中，集合论被用于描述市场的供需关系和经济模型的构建；在物理学中，集合论被用于描述物体之间的关系和物理规律的描述。

随着科学技术的不断发展，集合论在未来的应用领域还将进一步拓展。

例如，随着人工智能和大数据的兴起，集合论的运用将更加广泛和深入，为我们解决复杂的问题提供更多的工具和思路。

总之，数学先学集合论是非常重要的。

集合论作为数学的基础分支，不仅有助于我们建立数学思维和逻辑推理能力，而且在实际问题的分析和解决中起着重要的作用。

通过学习集合论，我们可以深入探究数学的本质，为未来在数学以及其他领域的研究和应用打下坚实的基础。

文章结构部分的内容：文章将按照以下结构进行展开和组织：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 什么是集合论2.2 集合的基本运算2.3 集合的性质和关系3. 结论3.1 集合论的重要性3.2 集合论的应用领域3.3 未来发展方向在引言部分，我们将提供一个概述，简要介绍集合论的基本概念和作用。

集合论与实分析基础(数理经济学讲义-西安交大寿纪麟)

集合论与实分析基础(数理经济学讲义-西安交大寿纪麟)

其中都是开区间，指标集I可以是有限的，也可以是无限集。
若a，b中每一点x，必含于开区间族的某一区间
中，则称区间 a，b 被所覆盖，或覆盖了区间a，b 。 定理1.6 （Heine－Borel有限覆盖定理）
若闭区间a，b被一个开区间族＝ | I覆盖，则必能
从中选出有限个开区间族：
B＝ i | i＝1，2，...,n，i
第1章 集合论与实分析基础
1.1 集合的定义
集合已被广泛应用在现代数学的各个方面，尤其是应用在 经济学,简单的讲,集合是具有某种确定性的事物的全体。
例1.1 {(x,y)|x2＋y2＝1}表示以原点为中心，半径为 1 的
圆周上点的全体。
例1.2 {x|u(x）=}表示消费者的效用值为的商品组合 的全体,即为一条效用值为的无差别曲线。
m
i=1
ani
,bni
c
a,b
m
而有限个（-
,
a
）的并：
ni
（-,
i=1
ani）＝（-,
a
）
ni0
m
有限个（bni ,+）的并：
（b
i=1
ni
,+）＝（b
ni0
,+）
而（-, ani0）（bni0 ,+）是不可能覆盖 a,b 的。
因为（ani0 ,bni0 ） a,b ,（ani0 ,bni0 ）中的点是不能所覆盖的
以此类推，再将每个单位区间2n 等分，在以2n为分母
的有理数中取最小的上界为rn，显然，
r0 r1 ...... rn ......
{rn }为单调降的有界数列，由定理1.4，数列{x n }收敛，
设

集合概念、定理及集合论

集合概念、定理及集合论
必居其一而不可兼而有之，且结论是确定的。(例5的罗素悖论违 反了这一性质p131)
集合概念、定理和集合论
9．1．2 集合的表示方法
• 约定1：我们—般用不同的大写字母表示不同的集合．并 用不同的小写字母表示集合中不同的元素，但是因为某个 集合的一个元素可能是另—个集合．所以这种约定不是绝 对的．
• 约定2：用几个特定的字母表示几个常用的集合．约定 – N表示全体自然数组成的集合(本书中,规定0是自然数, 即0N．但在另一些书中,规定0不是自然数．), – Z表示全体整数组成的集合， – Q表示全体有理数组成的集合， – R表示全体实数组成的集合， – C表示全体复数组成的集合．
集合概念、定理和集合论
• 2、包含关系：定义9．2．2 对任意两个集合A和B，若A 的每个元素都是B的元素，就称A为B的子集合，或称B包 含A，或称B是A的超集合，记作 AB 或 BA．这个定义也可以写成 AB(x)(xA→xB) 两命题间的关系． 当A不是B的子集合时，即AB不成立时，记作A B(子集 合可简称为子集)。
集合概念、定理和集合论
另一种方法是内涵表示法(谓词描述)：这种方法是用谓词来 描述集合中元素的性质．上述的集合A和N可以分别表示为
A＝{x|x是整数且6<x<l0}， N＝{x|x是自然数}， 一般情况，如果P(x)表示一个谓词，那么就可以用{x|P(x)} 或{x:P(x)}表示一个集合.{x|P(x)}是使P(x)为真的所有元素组 成的集合．也就是说，若P(a)为真，则a属于该集合；若P(a) 为假，则a不属于该集合．在表示式中的|和：是一个分隔符 号．在它前向的x是集合中元素的形式名称(如集合A中元素 的形式名称是x，但实际名称是7，8，9.常用x，y，z表示形 式名称)．在分隔符号后面的P(x)是仅含自由变元x的谓词公 式．

集合论第一课集合的基本概念剖析讲解

集合论第一课集合的基本概念剖析讲解
A∩C、A-B、A-C、A补、B补。 解：A∪B={1,2,3,4,5,6},
A∩B={1,2,4}, A∩C=, A-B={3,5}, A-C=A
A {6,7,8,9,10}, B {3,5,7,8,9,10}
1.4 集合的运算
• 两个表面上非常不同的集合运算式可能是相等的 • 证明两个集合相等的方法，可归纳如下： • <1>基本法 集合相等的充要条件是两个集合互为
• <2> 通过一定的规则来描述集合中元素的 共同性质（从而确定集合的范围 ）
• 格式：{ 代表元 | 基于代表元给出的规则 }
• 符号格式：{ x | p(x) }，p(x)表示x的某种性质
– 例如：{x| x是1到9之间的奇数 } {x | x2 =1}
1.1 集合的表示
• 三 术语 • <1> 空集：不含任何元素的集合，记为 • <2> 有/无限集：集合中有有限个元素/否则…..
• 定义1.7（有序n元组）
• n个对象a1, a2, ……,an的序列称为有序n元 组，记为<a1, a2, ……,an>，其中ai称为有 序n元组的第i个分量。
• 两个有序n元组相等每个对应分量都相等。
1.3 笛卡尔积
• 定义1.8（直积）
设有两个集合A和B，定义A和B的笛卡 尔积为AB={<a, b>| aA, bB}，又称AB 为A和B的直积。 将AA记为A2。 例6. 设 A={1,2,3}、B={a,d}，求AB和B2 解：AB={<1,a>,<1,d>, <2,a>,<2,d>,
• 证明：
•
A=B AB并且BA。

(完整版)关于集合与集合论

(完整版)关于集合与集合论

第一章 关于集合与集合论在许多数学教材上都会见到这样一种说法：集合论是现代数学的基础，集合概念是数学的基本概念。

那么为什么会有这种说法呢？这种说法的依据是什么呢？在这一章，我们将对此给出一种解释。

在本章的第1节，将简要重温一些与集合论相关的基本概念与符号，其中大多数的概念与符号用法是每一个高中生都应当熟悉的。

在第2节，本书作者对集合论的意义及其产生的思想渊源进行了介绍和分析，其中有些是作者个人的观点，仅供读者参考。

最后两节则是在讲一些基本逻辑常识的基础上，介绍了较为规范的集合表示方法以及用集论语言定义的某些重要数学概念。

§1. 集合论中的常见概念与符号1.1. 集合概念与属于关系在集合论中，“集合”这个概念是作为不定义的基本概念，以符号“∈”表示的“属于”关系，也是不定义关系。

在朴素集合论中，人们用日常语言给集合概念和属于关系以直观说明。

其中最常见的是集合论创始人康托的说法：“将一些明确的（确定的）、彼此有区别的、具体的或理念中抽象的对象看作一个整体，便叫作一个集合。

”在本书的前三章，便以康托的这个描述作为“集合”概念含义的说明。

理解这个说明，主要注意如下几点.（1）当我们提到一个集合时，这个集合自身是作为一个整体被看待的；（2）集合是由可以确定的一些对象个体汇集而成的，也就是说，必须可以清晰判定任何一个对象个体是否在这些对象个体之中，并且可以明确区分开这些对象个体中任何两个不同的对象个体。

（3）在朴素集合论中，集合中的元素既可以是物理世界中的对象，也可以是我们头脑中形成的观念对象。

比如：将“北京大学2002年所有在籍学生的全体”作为一个集合，其元素都是具体现实的人（在籍学生）；将“所有实数的全体” 的对象，作为一个集合，其元素（实数）便是由理念抽象的对象组成的集合。

作为数学理论，集合论所讨论的集合，基本上都是由人类理念在其抽象过程中产生的对象汇集而成的。

只有在将数学应用于现实时，才会涉及到由现实物理世界中的对象作为元素组成的集合。

测度论基础知识总结

测度论基础知识总结

测度论基础知识总结1.集合论1.1 集合与基本运算·概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。

中间含有的对象叫元素。

全集：要研究的问题涉及到的最大集合。

空集：没有任何元素的集合。

表达方法：{x （集合元素x ）|x 应该有的性质}·元素与集合的关系：x A ，x ∉A∈·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x A ，x B 则A 包含于B （证明就用这个方法），A 是B 的子集（A B ∈∈≠则为B 的真子集）包含的特殊情况相等：A=B 就是A 包含于B 同时B 包含于A真子集：A 包含于B 但A B≠·集合的运算①单个元素的幂集2X 对于一个集合X ，它的幂集表示所有其子集为元素构成的集合。

这种以集合为元素2X 的集合，也叫集合族。

②两个集合的运算交：A B={x| x A 且x B}∩∈∈ 并：A B={x| x A 或x B}∪∈∈ 差：A\B （或写成A-B ）={x| x A 且x ∉B}∈ 补：=U\A （U 是问题要研究的全集）A C 于是有等式A\B=A ∩BC 积：（直积）A ×B={(x,y)| x A 且y B }（把A 、B 中元素构成有序对）∈∈ ③多个元素的运算多个交表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ， 称为指标集。

⋃λ∈I A λ∈I 类似有多个并注：可以是无穷个【例】 x| x> ，A={x| x>0}，则A=A n 1n ⋃∞n =1A n·集合的分析相关性质①上限集：一列集合{}，定义上限集为。

类似于数列的上极限。

A n ⋂∞n =1⋃∞k =n A k ②下限集：一列集合{}，定义下限集为。

类似于数列的下极限。

A n ⋃∞n =1⋂∞k =n A k ③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集）。

④单调集合列：若始终有包含于，也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，A n A n +1若始终有 ，则为递减列。

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含有xn中无穷多个点，且 a2,b2 a1,b1；
以此类推，可得到一个闭区间列an,bn ，n=1，2，...
其中每一个an ,bn 都包含了无穷多个xn ,且
... an ,bn an-1,bn-1 ... a2,b2 a1,b1
由此构造可知 an,bn 为一个闭区间套。
由定理1.1，必存在
事实上，取 ＝1， N1，当m，n N1时，| xn xm | 1，
取m＝N1＋1, 当n>N1时, | xn xm | 1
令
A=max x1 ,x2 ,...,xN1+1 ,
因此，A 1为xn的上界，-（A＋1）为xn的下界。
即
xn A+1,
n
由定理1.2 在xn中必存在子列{xnk } {xn}，使
数列x
n
n=1
收敛的充要条件是它为基本数列。
证（
）设
x
n
n=1
为收敛数列。令x
n
a，则
>0，N，当m，n N时，有
xn a / 2, xm a / 2
xn xm xn a a xm | xn－a|+|xm a |
即xn 为Cauchy数列。
（ ）设xn为Cauchy列，首先我们来证xn为有界数列。
则
x A C， 或 x B C 。
从而, x C 且 x A 或 x B，即 x （A B） C，
（A C）（B C）（A B） C 。
因此 （A C）（B C）＝（A B） C。
转换律: A\B＝A BC;
对偶原理；（De－Morgen原理）
(1) (
A )C＝
A
C
,
(2) (
A )C＝
-
an ) 0 ,
lim
n
an＝lnim
b
n＝
因为 {xnk
}为 {xn }的子列，故
lim
k
x nk＝
。
定义
设
xn
n=1
为一个数列，若当m，n
时,
有 xn - xm 0, 即 0 ， N , 当 m，n N 时,有 | xn - xm |
则称该数列为基本数列或Cauchy数列。
定理 1.3 （完备性定理）
例1.3 (y) = {(x1, x2） R＋ 2 | y Ax1x12－ } 例1.4 C[a, b] {f(x) | f(x)为[a, b]上的连续函数}
1.2 集合及其运算
并：A B＝{x | x A,或x B} 交：A B＝{x | x A,且x B} 差：A \ B ＝{x | x A,但x B}
A
C
。
De－Morgen原理的证明。
(1) x ( A)C x A ，x A
，x A x
A
C
C
C
另一方面， x
A
C
，x
A
C
，x
A
x A x ( A)C ,
A
C
(
A )C
(
A )C＝
A
C
（2）由（1）可以证（2）。
因为
所以
(
A
C
)C＝
(A
C
)C＝
第1章 集合论与实分析基础
1.1 集合的定义
集合已被广泛应用在现代数学的各个方面，尤其是应用在 经济学,简单的讲,集合是具有某种确定性的事物的全体。
例1.1 {(x,y)|x2＋y2＝1}表示以原点为中心，半径为 1 的
圆周上点的全体。
例1.2 {x|u(x）=}表示消费者的效用值为的商品组合 的全体,即为一条效用值为的无差别曲线。
定理1.2 （Bolzano Weierstrass 定理)
任何有界数列必有收敛子列。
证 设xn 为有界数列，则存在上下界a, b, 即a < xn< b。 两等分a,b，其中至少有一个分区间，记为a1,b1 ,
含有xn中无穷多个点。 a
a1
a2
b2
b1
b
两等分a1,b1，其中至少有一个分区间,记为a2,b2 ,
余：Ac＝ {x | x A} 集合的运算规则： 交换律： A B＝B A，A B＝B A;
结合律：（A B） C＝A （B C）, （A B） C＝A （B C）;
分配律： (A B） C＝（A C）（B C）, （A B） C＝（A C）（B C）;
吸收律； 若A B，则A B＝B；A B＝A, A , A \ B＝，A ＝A;
A,
A
C＝(
A )C。
例1.8 [0,2]可以被区间族：
证 A\（A\B）＝A （A \ B）C＝A （A ＢC）C ＝A （AC B）＝（A AC）（A B）
＝ （A B）＝A B
实分析基础
有理数集(Q) 有理数是指一切形如 p/q 的数，其中 p,q 0 均为整数，
Q =x|x=p/q , p,q为整数，q 0
命题1.1 有理数集是稠密的。 即 对 x、y Q，x y, x<y，必 z Q , 使 z （x、y）。 命题1.2 有理数集对四则运算法则是封闭的。 但是有理数对极限运算不是封闭的，换句话说有理 数集是不完备的。
1.3 实数集(R)的完备性 定义 若满足下列条件：
(1) a1,b1 a2, b2 ... an, bn ...
xn k k a
现在来证明
lim
n
x
＝a
n
事实上， > 0, K, 当 k>K 时，有 xnk a / 2 。
由设xn为Cauchy数列，故 N1,当 k N1时，
且
lim
n
an＝lnim
b
n＝
由于每一个an ,bn 中含有无穷多个xi，所以先取
xn1 a1,b1 ，再取xn2 a2,b2 ，且n2 n1,
如此继续下去，可取出使xnk ak ,bk ，且nk1 nk ,
所以
ak xnk bk ,
k=1,2,3,......
lim
n
(bn
例1.5 求证（A B） C＝（A C）（B C）。
证 x （A B） C，则 x A B 且 x C，
从而， x A 或 x B，且 x C，
这就是说，x A ，且 x C， 或 x B，且 x C，
即
x （A C）（B C），
所以 （A B） C （A C）（B C）。
另一方面， x （A C）（B C），
(2) 闭区间an ,bn 的长度数列，bn－an n 0
则称这个闭区间列为一个闭区间套。
定理1.1 Contor闭区间套定理。（当作公理承认）
设an,bn 为任意一个闭区间套，则必存在唯一的实数，
使 an,bn ，n=1，2，..., m,...，即
n1
an ,bn
，且
lim an = lim bn