2013-理实班-数学-长郡(6)

长郡理科实验班招生 考试数学试卷（四）时量：60分钟 满分：100分一、选择题（每题5分，共30分）1.已知<COSA<Sin80°，则锐角A 的取值范围是（ ） A.6080A ︒<<︒ B.3080A ︒<<︒ C.1060A ︒<<︒D.1030A ︒<<︒2.设1x 、2x 是方程20x x k ++=的两个实根，若恰有22211222x x x x k ++=成立，则k 的值为（ ） A.1-B.12或1-C.12D.12-或13.一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的14，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如右图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了.（ ）A.20分钟B.22分钟C.24分钟D.26分钟4.内角的度数为整数的正n 边形的个数是（ ） A.24B.22C.20D.185.如图，已知E 、F 点分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 的中点，BD 、DF 分别交EC 于点C 、H ，若正方形ABCD 的面积是240，则四边形BFHG 的面积等于（ ）A.26B.28C.24D.306.张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示：请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案.此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（ ） A.500元 B.600元 C.700元 D.800元二、填空题（每题5分，共30分）7.若14x x-=，则2421x x x =++ .8.如右图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从4点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 .9.若化简1x -25x -，则x 的取值范围是 .10.方程20x ax b ++=的两根为1x ，2x ，且3322121212x x x x x x +=+=+，则有序实数对(),a b 共有 对.11.如右图，直角坐标系中直线AB 交x 轴，y 轴于点()4,0A 与()0,3B -，现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过 秒后动圆与直线AB 相切.12.二次函数22y x ax a =++在12x -≤≤上有最小值4-，则a 的值为 .三、解答题（每题10分，共40分）13.已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求：代数式432234x x y x y xy xy ++++的值.14.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，直角边BC 与直角坐标系中的x 轴重合，其内切圆的圆心坐标为()0,1P ，若抛物线221y kx kx =++的顶点为A .求： （1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； （2）用k 表示B 点的坐标； （3）当k 取何值时，60ABC ∠=︒.15.如图，在△ABC 中，AC BC =，CD 是AB 边上的高线，且有23CD AB =，又E ，F 为CD 的三等分点，求证：180ACB AEB AFB ∠+∠+∠=︒.16.已知二次函数2224y x mx m =-+-的图象与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），且与y 轴交于点D.（1）当点D 在y 轴正半轴时，是否存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形？若存.在，求出m 的值；若不存在，请说明理由；（2）当1m =-时，将函数2224y x mx m =-+-的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象Ω.当直线12y x b =+与图象Ω有两个公共点时，求实数b的取值范围.数学试卷（四）参考答案一、选择题（每题5分，共30分） 1.D 2.A 3.C 4.B. 5.B 6.B 二、填空题（每题5分，共30分）7.1198. 9.14x ≤≤ 10.311.73或17312.5三、解答题（每题10分，共40分）13.解：由已知条件可知xy 和()x y +是方程217660t t -+=的两个实数根， 16t =，261111xy t x y =⎧=⇒⎨+=⎩或116x y xy +=⎧⎨=⎩当11xy =，6x y +=时，x 、y 是方程26110y y -+=的两个根 ∵36440t ∆=-<，∴此方程没有实数根.当6xy =，11x y +=时，x ，y 是方程21160u u -+=的两个根 ∴2121240∆=->，∴此方程有实数根， 这时()2222109x y x y xy +=+-= ∴432224x x y x y xy y ++++()()44222222x y x y xy x y xy x y =+++++ ()()2222222x y x y xy x y =+-++12499=14.（1）∵221y kx kx =++，∴.对称轴1x =-，易见抛物线是以Rt △ABC 的直角边AC 所在直线为对称轴，由题易得()1,1A k --，又当0x =时，1y =，则抛物线过()0,1P ， 故开口向下.（2）如图，1AC k =-，1BC CO OB OB =+=+，AB AD BD AE OB AC CE OB OB k =+=+=-+=-， 由勾股定理得()()()22211111,0111k k k k OB OB k OB OB B k k k ---⎛⎫-++=-⇒=⇒=⇒ ⎪+++⎝⎭（3）∵60ABC ∠=︒，∴tan ABC ∠=又21tan 2k ABC k-∠==210k +-=.∴12k =，22k =-.又∵0k <，∴2k =.15.证明：∵23CD AB =，且,E F 为CD 三等分点，D 为AB 中点， ∴1132CD AB =，即AD DF =，∴45AFD ∠=︒ ∴22222AF AD DF DF FE FC =+==⋅. ∴AFE CFA ∆∆:，∴CAF AEF ∠=∠. 即∴45ACD AED AFD ∠+∠=∠=︒.∴90ACD AED AFD ∠+∠+∠=︒，所以得证.16.解：令0y =得22240x mx m -+-=，解得12x m =-，22x m =+， ∴()2,0A m -，()2,0B m +，()20,4D m -. （1）∵点D 在y 轴正半轴，∴240m ->，设存在实数m ，使得BOD ∆为等腰三角形，则BO OD =，则224m m +=-， ①当20m +>时，242m m -=+，解得3x =或2x =-（舍去）； ②当20m +<时，2420m m -++=，解得1x =或2x =-（都舍去）； ③当20m +=时，点,,O B D 重合，不合题意，舍去； 综上所述，3m =，（2）当1m =-时，223y x x =+-，则()3,0A -，()1,0B 顶点为()1,4--. 因为直线12y x b =+与图象Ω由两个公共点，则当直线12y x b =+过A 点准时32b =，当直线12y x b =+过()1,0B 时，12b =-，当直线12y x b =+与223y x x =--+只有一个公共点时，7316b =，根据图像，可得1322b -<<或7316b >.“最湖南的网课”，胡哥与他的朋友们，联合出品。

2013年湖南师大附中理实班自主招生考试数学试卷（二）一、选择题：每小题4分，共32分．1．（4分）为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果做了民意调查，那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．方差2．（4分）如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元3．（4分）如图所示，是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则构成这个几何体的小正方体的个数是（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个4．（4分）如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，∠ADC=∠BCA，AC=6，DB=5，△ABC的面积是S，则△BCD的面积是（）A．S B．S C．S D．S5．（4分）如图所示，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H 分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点．若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积是（）A．B．C．D．6．（4分）若关于x的不等式组有解，则函数y=（a﹣3）x2﹣x﹣图象与x轴的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．1或27．（4分）若P1（x1，y1），P2（x2，y2）是二次函数y=ax2+bx+c（abc≠0）的图象上的两点，且y1=y2，则当x=x1+x2时，y的值为（）A．0 B．c C．﹣ D．8．（4分）如图所示，A是半径为1的⊙O外的一点，OA=2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连接AC，则阴影部分的面积等于（）A． B．C． D．二、填空题：每小题4分，共32分．9．（4分）计算：（a+b）÷•=．10．（4分）已知α、β是方程x2+（m﹣2）x+1=0两根，则（1+mα+α2）（1+mβ+β2）的值为．11．（4分）如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、AC，那么这两条对角线的夹角是．12．（4分）某班级共48人，春游时到湖州太湖山庄划船，每只小船坐3人，租金16元，每只大船坐5人，租金24元，则该班至少要花租金元．13．（4分）甲去上海进货，乙去广州进货，结果同样的衬衫共100件，都以每件a元的价格卖出，甲赚800元，乙赚1800元．若甲按乙的价格进原数量衬衫，乙按甲的价格进原数量衬衫，也都以每件a元的价格卖出，两个人赚钱一样多，则甲进件衬衫．14．（4分）以边长为7，24，25的三角形的最大角的顶点为圆心，画一个与最长边相切的圆，则圆的半径长为．15．（4分）已知二次函数y=ax2﹣4x+13a有最小值﹣24，则a=．16．（4分）方程的解是．三、解答题：每小题12分，共36分．17．（12分）现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元．（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y 与x之间的函数关系式；（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？（3）在上述方案中，哪个方案运费最省最少运费为多少元？18．（12分）探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，∵△=49﹣48＞0，∴x1=，x2=．∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？（4）如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：①这个图象所研究的矩形A的两边长为和；②满足条件的矩形B的两边长为和．19．（12分）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点．如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情况）．（1）当x为何值时，OP∥AC；（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）2013年湖南师大附中理实班自主招生考试数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共32分．1．（4分）（2013•湖南自主招生）为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果做了民意调查，那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．方差【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择．【解答】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然是为筹备班级的初中毕业联欢会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数．故选：A．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．2．（4分）（2002•福州）如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元【专题】压轴题．【分析】求出三角形地的面积即可求解．如图所示，作BD⊥CA于D点．在Rt△ABD中，利用正弦函数定义求BD，即△ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．【解答】解：如图所示，作BD⊥CA于D点．∵∠BAC=150°，∴∠DAB=30°，∵AB=20米，∴BD=20sin30°=10米，=×30×10=150（米2）．∴S△ABC已知这种草皮每平方米a元，所以一共需要150a元．故选C．【点评】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形，从而解斜三角形的能力．3．（4分）（2013•湖南自主招生）如图所示，是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则构成这个几何体的小正方体的个数是（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【分析】由主视图易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图和左视图可得第二层立方体的个数，相加即可．【解答】解：由三视图易得最底层有6个正方体，第二层有2个正方体，那么共有6+2=8个正方体组成．故选：D．【点评】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．4．（4分）（2013•湖南自主招生）如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，∠ADC=∠BCA，AC=6，DB=5，△ABC的面积是S，则△BCD的面积是（）A．S B．S C．S D．S【分析】根据相似三角形的判定定理求出△ACD∽△ABC，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵∠ADC=∠BCA，∠A是公共角，∴∠ABC=∠ACD，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AD=AB：AC，∵AB=AD+BD=AD+5，∴AD（AD+5）=36，解得AD=4或﹣9，负值舍去，∴AD=4，△ABC的面积是S，△ACD的面积就是S，△BCD的面积=S．故选C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，本题的关键是求得△ACD∽△ABC．5．（4分）（2013•湖南自主招生）如图所示，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点．若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积是（）A．B．C．D．【分析】设小正方形的边长a，那么矩形的面积=（S△AEF +S△BFG）×2+S四边形EFGH．【解答】解：设小正方形的边长a，那么矩形的面积=（S△AEF +S△BFG）×2+S四边形EFGH，即：3a×5a=（2a×a÷2+a×4a÷2）×2+1，9a2=1，则a=（a＞0），故矩形的面积=3a×5a=．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形面积求法，本题从矩形的面积表示方法入手进行计算是解题关键．6．（4分）（2013•湖南自主招生）若关于x的不等式组有解，则函数y=（a﹣3）x2﹣x﹣图象与x轴的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【分析】根据解不等式组的一般步骤得到a的取值范围，然后求出函数y=（a﹣3）x2﹣x﹣的判别式，根据根的判别式的正负即可得到图象与x轴的交点个数．【解答】解：∵关于x的不等式组有解，∴3a﹣2＞a+2，即a＞2，令y=0，（a﹣3）x2﹣x﹣=0，△=（﹣1）2﹣4×（a﹣3）×（﹣）=a﹣2，∵a＞2，∴a﹣2＞0，∴函数图象与x轴的交点个数为2．当a=3时，函数变为一次函数，故有一个交点，故选D．【点评】解答此题要熟知以下概念：（1）解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．（2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解与二次函数y=ax2+bx+c的关系．7．（4分）（2013•湖南自主招生）若P1（x1，y1），P2（x2，y2）是二次函数y=ax2+bx+c （abc≠0）的图象上的两点，且y1=y2，则当x=x1+x2时，y的值为（）A．0 B．c C．﹣ D．【分析】抛物线上，纵坐标相等的两点是对称点，其对称轴是两点横坐标的平均数，再与对称轴的公式比较可求x的值，代入函数解析式可求y的值．【解答】解：当y1=y2时，p1，p2是抛物线上关于对称轴对称的两点，此时，对称轴﹣=，即x=﹣，把x=﹣代入y=ax2+bx+c中，得y=c．故选B．【点评】本题运用了抛物线的对称性解题．8．（4分）（2013•湖南自主招生）如图所示，A是半径为1的⊙O外的一点，OA=2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连接AC，则阴影部分的面积等于（）A． B．C． D．【分析】连接OB、OC，过O作OD⊥BC于点D，则可知S=S△ABC，可知阴影△BOC部分面积=扇形OBC的面积，再计算扇形OBC的面积即可．【解答】解：连接OB、OC，过O作OD⊥BC于点D，∵BC∥OA，∴点A到BC的距离等于点O到BC的距离，=S△ABC，∴S△BOC∴阴影部分面积=扇形OBC的面积，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，∵OA=2，OB=OC=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=60°，又BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，∴△BOC为等边三角形，∴BC=OA，∴扇形OBC的面积==，∴阴影部分面积为，故选B．【点评】本题考查扇形面积的计算，把所求面积化为扇形面积是解题的关键．二、填空题：每小题4分，共32分．9．（4分）（2013•湖南自主招生）计算：（a+b）÷•=﹣a．【专题】计算题；分式．【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=（a+b）••=﹣a．故答案为：﹣a【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（4分）（2013•湖南自主招生）已知α、β是方程x2+（m﹣2）x+1=0两根，则（1+mα+α2）（1+mβ+β2）的值为4．【分析】根据所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化后即可得出答案．【解答】解：∵α、β是方程x2+（m﹣2）x+1=0两根，∴α+β=2﹣m，αβ=1，α2+（m﹣2）α+1=0，β2+（m﹣2）β+1=0，∴α2+mα+1=2α，β2+mβ+1=2β，∴（1+mα+α2）（1+mβ+β2）=2α•2β=4αβ=4，故答案为：4．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把所求代数式合理变形后再利用根与系数的关系解题．11．（4分）（2013•湖南自主招生）如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、AC，那么这两条对角线的夹角是60°．【分析】连结BC，根据正方体和正方形的性质得到AB=AC=BC，再根据等边三角形的判定方法得△ABC为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．【解答】解：连结BC，如图，∵AB、AC和BC都是正方体的三个面的对角线，∴AB=AC=BC，∴△ABC为等边三角形，∴∠CAB=60°．故答案为60°．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质：三条边都相等的三角形为等边三角形；等边三角形的三边相等，三个内角都等于60°．也考查了正方体与正方形的性质．12．（4分）（2013•湖南自主招生）某班级共48人，春游时到湖州太湖山庄划船，每只小船坐3人，租金16元，每只大船坐5人，租金24元，则该班至少要花租金232元．【专题】优选方案问题．【分析】根据每只小船坐3人，租金16元，则合元/人；每只大船坐5人，租金24元，则合4.8元/人，要想花少的租金则要尽可能多的租大船，根据48=5×9+3可得需要租9条大船和1条小船，即可得需付租金．【解答】解：∵每只小船坐3人，租金16元，每只大船坐5人，租金24元，∴租小船合元/人；租大船合4.8元/人；那么要想花较少的租金就要尽可能多的租大船，∵48=5×9+3，∴需要租9条大船和1条小船，则需付租金=24×9+16×1=232（元）．故答案填：232．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键在于最省钱方案的选择，明确大船小船相对一个人的租金是解题的关键．13．（4分）（2013•湖南自主招生）甲去上海进货，乙去广州进货，结果同样的衬衫共100件，都以每件a元的价格卖出，甲赚800元，乙赚1800元．若甲按乙的价格进原数量衬衫，乙按甲的价格进原数量衬衫，也都以每件a元的价格卖出，两个人赚钱一样多，则甲进40件衬衫．【分析】根据题意可以得到甲的每件的利润和乙的每件的利润，从而可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．【解答】解：设甲进了x件衬衫，解得，x=40或x=﹣200（舍去）经检验x=40是原分式方程的根，故答案为：40．【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．14．（4分）（2013•湖南自主招生）以边长为7，24，25的三角形的最大角的顶点为圆心，画一个与最长边相切的圆，则圆的半径长为．【分析】先根据勾股定理的逆定理得出边长为7，24，25的三角形是直角三角形，再利用切线的性质可知所求圆的半径长为最长边上的高，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：∵72+242=252，∴这个三角形是直角三角形，最长边是25，∴画一个与最长边相切的圆，则圆的半径长为最长边上的高，∵最长边上的高为：7×24÷25=，故答案为．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，切线的性质，注意直角三角形中，斜边上的高=两直角边的乘积÷斜边的长．15．（4分）（2013•湖南自主招生）已知二次函数y=ax2﹣4x+13a有最小值﹣24，则a=．【分析】先根据二次函数有最小值确定出a＞0，再根据最值公式列方程求解即可．【解答】解：∵二次函数y=ax2﹣4x+13a有最小值﹣24，∴a＞0，y min====﹣24，整理得，13a2+24a﹣4=0，解得a1=﹣2（舍去），a2=．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，通常有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．16．（4分）（2013•湖南自主招生）方程的解是x=﹣5.5．【专题】计算题．【分析】先将方程变形为，﹣=﹣，根据左右两边分别通分，整理求得结果即可．【解答】解：原方程变形为：﹣=﹣，去分母，得（x+2）（x+3）=（x+8）（x+9），整理，得12x+66=0，解得x=﹣5.5，经检验，x=﹣5.5是原方程的解．故答案为：﹣5.5．【点评】本题考查了解分式方程，注：将分母小的移到一边，分母大的移到一边，通分后即可找到规律．三、解答题：每小题12分，共36分．17．（12分）（2003•广州）现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A 型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元．（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y 与x之间的函数关系式；（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？（3）在上述方案中，哪个方案运费最省最少运费为多少元？【专题】压轴题．【分析】（1）总费用=0.6×A型车厢节数+0.8×B型车厢节数．（2）应分别表示出两类车厢能装载的甲乙两种货物的质量．35×A型车厢节数+25×B型车厢节数≥1240；15×A型车厢节数+35×B型车厢节数≥880．（3）应结合（1）的函数，（2）的自变量的取值来解决．【解答】解：（1）6000元=0.6万元，8000元=0.8万元，设用A型车厢x节，则用B型车厢（40﹣x）节，总运费为y万元，依题意，得y=0.6x+0.8（40﹣x）=﹣0.2x+32；（2）依题意，得化简，得，即，∴24≤x≤26，∵x取整数，故A型车厢可用24节或25节或26节，相应有三种装车方案：①24节A型车厢和16节B型车厢；②25节A型车厢和15节B型车厢；③26节A型车厢和14节B型车厢．（3）由函数y=﹣0.2x+32知，x越大，y越少，故当x=26时，运费最省，这时y=﹣0.2×26+32=26.8（万元）答：安排A型车厢26节、B型车厢14节运费最省，最小运费为26.8万元．【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式组．18．（12分）（2013•湖南自主招生）探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，∵△=49﹣48＞0，∴x1=2，x2=．∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？（4）如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：①这个图象所研究的矩形A的两边长为1和8；②满足条件的矩形B的两边长为和．．【专题】开放型．【分析】（1）用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可；（2）设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组，消去y化简再根据方程的判别式解答即可；（3）同（2）；（4）由图可知，一次函数解析式为y=﹣x+4.5，反比例函数解析式为y=，组成方程组，消去y求出方程的根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出m，n 的值即可．同理可求出满足条件的矩形B的两边长．【解答】解：（1）解此方程得．x1=2和x2=；（2）设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组，消去y化简得：2x2﹣3x+2=0，∵△=9﹣16＜0，∴不存在矩形B．（3）满足（m+n）2﹣8mn≥0时，矩形B存在．由题意得方程组，消去y化简得：2x2﹣（m+n）x+mn=0，∴△=（m+n）2﹣8mn≥0．（4）①1和8．由图可知，一次函数解析式为y=﹣x+4.5，反比例函数解析式为y=，组成方程组得到，整理得x2﹣4.5x+4=0，∴x1+x2=4.5，x1x2=4，于是，得或，②和．由题意知，解得，或．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系及根与系数的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根；（4）若一元二次方程有实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=．19．（12分）（2006•青岛）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点．如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情况）．（1）当x为何值时，OP∥AC；（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）【专题】压轴题．【分析】（1）由于O是EF中点，因此当P为FG中点时，OP∥EG∥AC，据此可求出x的值．（2）由于四边形AHPO形状不规则，可根据三角形AFH和三角形OPF的面积差来得出四边形AHPO的面积．三角形AHF中，AH的长可用AF的长和∠FAH的余弦值求出，同理可求出FH的表达式（也可用相似三角形来得出AH、FH的长）．三角形OFP中，可过O作OD⊥FP于D，PF的长易知，而OD的长，可根据OF的长和∠FOD的余弦值得出．由此可求得y、x的函数关系式．（3）先求出三角形ABC和四边形OAHP的面积，然后将其代入（2）的函数式中即可得出x的值．【解答】解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC∴，∴FG==3cm∵当P为FG的中点时，OP∥EG，EG∥AC∴OP∥AC∴x==×3=1.5（s）∴当x为1.5s时，OP∥AC．（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得EF=5cm∵EG∥AH∴△EFG∽△AFH∴∴AH=（x+5），FH=（x+5）过点O作OD⊥FP，垂足为D∵点O为EF中点∴OD=EG=2cm∵FP=3﹣x∴S=S△AFH﹣S△OFP四边形OAHP=•AH•FH﹣•OD•FP=•（x+5）•（x+5）﹣×2×（3﹣x）=x2+x+3（0＜x＜3）．（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24 =×S△ABC则S四边形OAHP∴x2+x+3=××6×8∴6x2+85x﹣250=0解得x1=，x2=﹣（舍去）∵0＜x＜3∴当x=（s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24．【点评】本题是比较常规的动态几何压轴题，第1小题运用相似形的知识容易解决，第2小题同样是用相似三角形建立起函数解析式，要说的是本题中说明了要写出自变量x的取值范围，而很多试题往往不写，要记住自变量x的取值范围是函数解析式不可分离的一部分，无论命题者是否交待了都必须写，第3小题只要根据函数解析式列个方程就能解决．参与本试卷答题和审题的老师有：sjzx；Liuzhx；lanyan；王学峰；sd2011；CJX；zhangCF；Ldt；sks；守拙；110397；zgm666；HJJ；星期八；bjy；zhjh；lanchong；郝老师；蓝月梦；MMCH（排名不分先后）菁优网2017年3月20日。

2013年湖南省长沙市长郡中学理科班入学数学试卷（四）一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题6分，共36分）1．（6分）不等式组：的解集是（）A．x＞﹣3 B．x≥2 C．﹣3＜x≤2 D．x＜﹣3，则∠BAE是∠B的（）倍．2．（6分）如图，AC=CD=DA=BC=DEA．6 B．4 C．3 D．23．（6分）如果x取任何实数时，函数y=ax2+bx+c都不能取正值，则必有（）A．a＞0且△≥0 B．a＜0且△≤0 C．a＜0且△≥0 D．a＞0且△≤0 4．（6分）如图将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若AB=，则AE的长为（）A．2 B．3 C．2 D．5．（6分）在平面上具有整数坐标的点称为整点．若一线段的端点分别为（2，11），（11，14），则在此线段上（包括端点）的整点共有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．8个6．（6分）设a，b，c是不全相等的任意实数，若x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，则x，y，z中（）A．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小于0 D．至少有一个大于0二、填空题：（每小题5分，共30分）7．（5分）等腰三角形ABC的底边BC=10cm，∠A=120°，则△ABC的外接圆半径为cm．8．（5分）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，且BC=，则圆心O到AC的距离是．9．（5分）如图，有反比例函数y=，y=﹣的图象和一个以原点为圆心，2为半径的圆，则S阴影=．10．（5分）如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，AB=AC+CD，∠C=80°，那么∠B的度数是．11．（5分）已知梯形ABCD的面积为S，AB∥CD，AB=b，CD=a（a＜b），对角线AC与BD交于点O，若△BOC的面积为，则=．12．（5分）一堆有红，白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，，每一个红球都记作“3”，但白球个数的2倍比红球多，若把每个白球都记作“2”则总数为60，那么，白球有个，红球有个．三、解答题（本大题共3小题，13、14题11分，15题12分）13．（11分）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．14．（11分）预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求x、y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值．15．（12分）已知抛物线y=﹣ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y 轴的正半轴交于点C．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2013年湖南省长沙市长郡中学理科班入学数学试卷（四）参考答案与试题解析一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题6分，共36分）1．（6分）不等式组：的解集是（）A．x＞﹣3 B．x≥2 C．﹣3＜x≤2 D．x＜﹣3【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：由①得：x≥2．由②得：x＞﹣3．∴不等式组的解集为：x≥2．故选B．【点评】求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．，则∠BAE是∠B的（）倍．2．（6分）如图，AC=CD=DA=BC=DEA．6 B．4 C．3 D．2，可得△ACD是等边三角形，即∠ACD=∠ADC=∠【分析】由AC=CD=DA=BC=DECAD=60°，∠B=∠BAC，∠E=∠DAE，又由三角形外角的性质，∠B与∠BAE的度数，继而求得答案．，【解答】解：∵AC=CD=DA=BC=DE∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∠B=∠BAC，∠E=∠DAE，∵∠ACD=∠B+∠BAC，∠ADC=∠E+∠DAE，∴∠B=∠BAC=∠DAE=∠E=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠DAE=120°，∴∠BAE=4∠B．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．（6分）如果x取任何实数时，函数y=ax2+bx+c都不能取正值，则必有（）A．a＞0且△≥0 B．a＜0且△≤0 C．a＜0且△≥0 D．a＞0且△≤0【分析】根据二次函数的性质可知，只要抛物线开口向下，且与x轴无交点即可．【解答】解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为非负数，则必须保证抛物线开口向下，且与x轴只有一个交点，或者无交点；则a＜0且b2﹣4ac≤0，故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．①当x取一切实数时，函数值y恒为正的条件：抛物线开口向上，且与x轴无交点；②当x取一切实数时，函数值y恒为负的条件：抛物线开口向下，且与x轴无交点．4．（6分）如图将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若AB=，则AE的长为（）A．2 B．3 C．2 D．【分析】利用折叠易证△AEB是含30°的直角三角形，利用相应的三角函数即可求得AE的长．【解答】解：延长EB交AD于点M，根据折叠的性质易证明△AME是一个等边三角形，则∠EAB=30°，在直角三角形ABE中，根据30°所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理求得AE=2．故选：C．【点评】此题中的折叠方法也是折叠等边三角形的一种常用方法，那么△AEB是含30°的直角三角形．5．（6分）在平面上具有整数坐标的点称为整点．若一线段的端点分别为（2，11），（11，14），则在此线段上（包括端点）的整点共有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．8个【分析】根据题意，设经过点（2，11）、（11，14）的直线方程y=ax+b（a≠0），利用待定系数法求得该直线方程，然后在此线段上（包括端点）寻找整点．【解答】解：设经过点（2，11）、（11，14）的直线方程y=ax+b（a≠0），则，解得，，∴所求的线段所在的直线方程为y=x+；①当y=12时，x=5，即整点（5，12）在该线段上；②当y=13时，x=8，即整点（8，13）在该线段上；又∵端点（2，11）、（11，14）也是整点，∴在此线段上（包括端点）的整点共有4个；故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形性质．解得该题的关键是求得此线段所在的直线的方程，根据该直线方程取y的整数值．6．（6分）设a，b，c是不全相等的任意实数，若x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，则x，y，z中（）A．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小于0 D．至少有一个大于0【分析】由题意x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，将x，y，z相加，然后根据完全平方式的性质，进行求解；【解答】解：∵x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，∴2（x+y+z）=2a2﹣2bc+2b2﹣2ca+2c2﹣2ab=（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ca+c2）=（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＞0，∴x+y+z＞0，故x，y，z至少有一个大于0，故选：D．【点评】此题主要考查非负数的性质，即非负数大于等于0，比较简单．二、填空题：（每小题5分，共30分）7．（5分）等腰三角形ABC的底边BC=10cm，∠A=120°，则△ABC的外接圆半径为cm．【分析】连接OA交BC于D，根据三线合一定理得出BD=DC，∠OAC=∠BAC，得出等边三角形OAC，推出∠AOC=60°，在△ODC中根据勾股定理求出即可．【解答】解：连接OA交BC于D，∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，∴∠AOC=∠BOA，∵OB=OC，∴BD=DC，OA⊥BC，∴由垂径定理得：BD=DC=5cm，∠OAC=∠BAC=×120°=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠DCO=90°﹣60°=30°∴OC=2OD，设OD=a，OC=2a，由勾股定理得：a2+52=（2a）2，a=，OC=2a=（cm）．故答案是：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆和外心，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外部．8．（5分）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，且BC=，则圆心O到AC的距离是3．【分析】首先过O作AC的垂线段，再利用三角形相似就可以求出O到AC的距离．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∵OD⊥AC，∴∠ADO=90°，∠A公共，∴△ABC∽△ADO，∴，即OD=；在△ABC中，∠BAC=30°，∴AC=2BC=8，AB==12，∴OA=6=BO，∴OD=．【点评】主要利用了相似三角形的对应线段成比例．9．（5分）如图，有反比例函数y=，y=﹣的图象和一个以原点为圆心，2为半径的圆，则S阴影=2π．【分析】由反比例函数的对称性可得，图中的阴影部分正好为两个四分之一圆，即为一个半圆的面积．【解答】解：由反比例函数的对称性知S阴影=π×22=2π．故答案为：2π．【点评】解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．10．（5分）如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，AB=AC+CD，∠C=80°，那么∠B的度数是40°．【分析】在AB上截取AE=AC，先根据角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，再根据“SAS”可判断△AED≌△ACD，则ED=CD，∠AED=∠C=80°，由于AB=AC+CD得到EB=CD=ED，即△EBD为等腰三角形，所以∠AED=∠B+∠EDB，于是∠B=∠AED=40°．【解答】解：在AB上截取AE=AC，如图，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵在△AED和△ACD中，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠AED=∠C=80°，∵AB=AC+CD，∴EB=CD=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠B=∠AED=40°．故答案为40°．、【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等腰三、“AAS”、“ASA”“SAS”角形的性质．11．（5分）已知梯形ABCD的面积为S，AB∥CD，AB=b，CD=a（a＜b），对角线AC与BD交于点O，若△BOC的面积为，则=．【分析】依据题意可先作出简单的图形，可设S△COD的面积为S1，S△AOB的面积为S2，由题中条件建立关于S1?S2的方程，解方程得出S1?S2之间的关系，进而可求解a、b之间的关系．【解答】解：如图，设S△COD的面积为S1，S△AOB的面积为S2，由S ABCD=S，∵AB∥CD，∴S△ABD=S△ABC，∴S△AOD﹣S△AOB=S△BOC﹣S△AOB，∴S△AOD=S△BOC=S，得S1+S2=S﹣2×S=S，①∵==，∴S1?S2=S△BOC?S△AOD=S2，②联立①、②∵△COD∽△AOB，∴=，③∵a＜b，∴S1＜S2，解方程组得S1=S，S2=S，代入③得=．故答案为．【点评】本题主要考查了梯形的性质以及相似三角形的判定及性质以及面积的问题，能够通过方程的思想建立等式，进而求解结论．12．（5分）一堆有红，白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，，每一个红球都记作“3”，但白球个数的2倍比红球多，若把每个白球都记作“2”则总数为60，那么，白球有9个，红球有14个．【分析】设有白球x个，有红球y个，根据条件就有x＜y，2x＞y，2x+3y=60，从而构成一个不等式组，求出其解即可．【解答】解：设有白球x个，有红球y个，由题意，得，由③，得x=④，把④代入①，得y＞12．把④代入②，得y＜15．∵x、y为整数，y=13，14，当y=13时，x=舍去，当y=14时，x=9，∴白球9个，红球14个故答案为：9，14．【点评】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法的运用，解答本题时根据条件建立不等式是解答本题的关键．三、解答题（本大题共3小题，13、14题11分，15题12分）13．（11分）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．【分析】先把原方程化为2x2﹣3x﹣（k+3）=0，一定是一个一元二次方程，在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，因而可能方程有两个相同的实根，求得即可进行判断；或解方程得到的两个根中有一个是方程的增根，即x=1是方程2x2﹣3x﹣（k+3）=0的解，即可求得方程的另一解，然后进行判断；或方程有两个异号得实数根；或其中一根是0，即可求得方程的另一根，进行判断．因而这个方程中再分四种情况讨论：（1）当△=0时；（2）若x=1是方程①的根；（3）当方程①有异号实根时；（4）当方程①有一个根为0时，最后结合题意总结结果即可．【解答】解：原方程可化为2x2﹣3x﹣（k+3）=0，①（1）当△=0时，，满足条件；（2）若x=1是方程①的根，得2×12﹣3×1﹣（k+3）=0，k=﹣4；此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根；（3）当方程①有异号实根时，且x≠1即k≠﹣4，得k＞﹣3，此时原方程也只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，k=﹣3，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根．综上所述，满足条件的k的取值范围是或k=﹣4或k≥﹣3．【点评】主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点要分情况讨论．14．（11分）预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求x、y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值．【分析】（1）设出必需的未知量，找出等量关系为：甲原单价×甲原数量+乙原单价×乙原数量=1500，（甲原单价+1.5）×（甲原数量﹣10）+（乙原单价+1）×乙原数量=1529；（甲原单价+1）×（甲原数量﹣5）+（乙原单价+1）×乙原数量=1563.5．（2）结合（1）得到的式子，还有205＜2倍甲总价+乙总价＜210，求出整数解．【解答】解：（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是ax+by=1500，①由甲商品单价上涨 1.5元、乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个的情形，得（a+1.5）（x﹣10）+（b+1）y=1529．②再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形，得（a+1）（x﹣5）+（b+1）y=1563.5，③由①、②、③得④⑤④﹣⑤×2并化简，得x+2y=186．（2）依题意，有205＜2x+y＜210及x+2y=186，54＜y＜由y是整数，得y=55，从而得x=76．答：（1）x、y的关系x+2y=186；（2）x值为76，y值为55．【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到合适的关系式．当必需的量没有时，应设出未知数，在做题过程中消去无关的量．15．（12分）已知抛物线y=﹣ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y 轴的正半轴交于点C．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线y=﹣ax2+2ax+b的对称轴，可以根据公式直接求出，抛物线与x轴的另一交点与A关于对称轴对称，因而交点就可以求出．（2）AB的长度可以求出，连接PC，在直角三角形OCP中，根据勾股定理就可以求出C点的坐标，把这点的坐标代入抛物线的解析式，就可以求出解析式．（3）本题应分AC或BC为对角线和以AB为对角线三种情况进行讨论，当以AC 或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB．就可以求出点M的坐标．当以AB为对角线时，点M在x轴下方易证△AOC≌△BNM，可以求出点M的坐标．【解答】解：（1）对称轴是直线：x=1，点B的坐标是（3，0）．（2分）说明：每写对1个给（1分），“直线”两字没写不扣分．（2）如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB=4．∴PC=AB=×4=2在Rt△POC中，∵OP=PA﹣OA=2﹣1=1，∴OC=，∴b=（3分）当x=﹣1，y=0时，﹣a﹣2a+=0∴a=（4分）∴y=﹣x2+x+．（5分）（3）存在．（6分）理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为M（x，y）．①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB．由（2）知，AB=4，∴|x|=4，y=OC=．∴x=±4．∴点M的坐标为M（4，）或（﹣4，）．（9分）说明：少求一个点的坐标扣（1分）．②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．过M作MN⊥AB于N，则∠MNB=∠AOC=90度．∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC=MB，且AC∥MB．∴∠CAO=∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN=AO=1，MN=CO=．∵OB=3，∴0N=3﹣1=2．∴点M的坐标为M（2，﹣）．（12分）综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为M1（4，），M2（﹣4，），M3（2，﹣）．说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分【点评】本题主要考查了抛物线的轴对称性，是与勾股定理相结合的题目．难度较大．。

最全长郡理科实验班招生考试数学试卷（一）时量：60分钟满分：100分一选择题（每题5分，共30分）l.已知α为实数，则代数式27−12α＋2a2的最小值为（）A.0B.3C.33D.92.若n为整数，则能使n+1n−1也为整数的n的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个·3.已知α，b为实数，且αb=1，设M=a a+1+b b+1,N=1a+1+1b+1,则M、N的大小关系是A..M>NB.M=NC.M<N.D.无法确定4.一张圆桌旁有四个座位如图，A,B,C,D四人随机坐在四个座位上，则A与D相邻的概率是（）A.23B12C14 D.295.如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A.2πB.πC.23D.46.如图，平面中两条直线l1，和l2相交子点0，对于平面上任意一点M，若P,q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p1,q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，有以下几个结论：①“距离坐标”是（0,1)的点有1个；②“距离坐标”是（5，的的点有4个；③“距离坐标”是（α，α），（α为非负实数）的点有4个．其中正确的有其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题（每题5分，共30分）7.已知α，b,C是实数，且α2+6b＝-17,b2+8c=-23,c2+2α＝14，则α＋b+c=.8.已知关于 的不等式（2α-b）＞b的解集是 棨−12，则a b b+-36a3=.9.对正实数α，b作定义a∗b=ab−a+b，若4*x=44，则x的值是.10.在△ABC中，AB=4C,∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E 两点，连结CD，如果AD=l，则tan∠BCD的值为.11.已知：如图，在直角△ABC中，AD=DE=EB，且CD2+CE2=1，则斜边AB的长为12.小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的是基叫做中裆题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多道．三、解答题（每题10分，共40分）13.某商场将进价为2600元的彩电以3000元售出，平均每天能销售出6台．为丁配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种彩电的售价每降低50元，平均每天就能多售出3台．(1）商场要想在这种彩电销售中每天盈利3600元，同时又要使百姓得到最卢大实惠，每台彩电应降价多少元？(2）每告彩电降价多少元时，商场每天销售这种彩电的利润最高？最高利润是多少？14.已知点M,N的坐标分别为（0,1),(0,-1），点P是抛物线y=14x2上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；（2）设直线PM与抛物线y=14x2的另一个交点为点Q，连接NP、NQ，求证：∠PNM=∠QNM.15、已知关于x的方程（m2−1）x2−33m−1+18=0有两个正整数根（m是整数），△ABC的三边a、b、c满足c=23，m2+a2m−8a=0，m2+b2m−8b=0，求：（1）m的值；（2）△ABC的面积；16.直线y=x−10与x轴交于A点，点B在第一象限，且AB=35，以cos∠OAB=25 (1）若点C是点B关于x轴的对称点，求过0、C、A三点的抛物线的表达式(2）在(1）中的抛物线上是否存在点P(P点在第一象限），使得以点P、0、C、A为顶点的囚边形是梯形？若存在，求出点O的坐标；若不存在，请说明理由．(3）若将点O、A分别变换为点Q(-4m,0),R(6m,0）（m 0且为常数）），设过Q、R两点且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线（开口向上）与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S∆QNM，△QNR的面积为S∆QNR，求S∆QNM:S∆QNR的数学试卷（一）参考答案一、选择题（每题5分，共30分）1.B2.D3.B4.A5.C6.B二、填空题（每题5分，共30分）7.-88.-39.3610.12 11.55312.20三、解答题（每题10分，共40分）13.解：设每台彩电降价x 元（0<x<400），商场销售这种彩电平均每天的利润为y 元，则有y =3000−2600−x 6+=350（x 2−−4000）……………………4分(1）因为要每天盈利3600元，则y=36002−300x −4000=3600所以x 2−300x +2000=0，解得x=100或俨200,又因为要使百姓得到最大实惠，则每台要降价200元．…………………………7分(2)∵y =350x 2−300x −4000=350（x −150）2+3750∴当x=150时，y 取得最大值为3750,所以每台彩电降价150元时，商场的利润最高为3750元．………………10分14.解：（1）设点P 的坐标为（x 0，14x 02），则PM===14x02+1；……………………4分（2）如图，分别过点P，Q作直线y=-1的垂线，垂足分别为H、R，由（1）知PH=PM,MN、QR都垂直于直线y=-1，所以PH//MH//QR，于是QM EN=MP NH,所以QR RN=PH HN,因此，Rt∆PHN∽Rt∆QNM.………………………………9分于是∠HNP=∠RNQ，从而∠PNM=∠QNM。

长沙四大名校理实班考试的经验分享
work Information Technology Company.2020YEAR
长沙四大名校理实班考试的经验分享
四大名校的考试一般时间上是从过完年后开始：
长郡一般每周六都有考试，讲是要电话通知，但也接受现在报名，考试是：上午考数学（100分）、英语（100分）、物理（60分），数学和英语不难，物理有一定的难度，中午1：20分出成绩，下午考数学、英语，4：20分结束，如果考取了，晚上7点半以后会有电话通知第二天面试；
附中也接受现在报名，上午考数学、英语、物理，也是物理有一定难度，下午复试考数学，第一次考了一篇作文，考完后当天就会公布录取名单；
雅礼也接受现场报名，上午考数、英、物，下午2：30开始家长会陆续接到下午复试的通知，下午考数学、英语、结果大约一周后通知；一中接受现在报名，只考数学（150分）和英语（50分），过3天出成绩后会有老师打电话通知。

考试大概就是这些，四大名校考试的特点是主要看数学成绩，其次是英语要及格，再看物理成绩决定下午的复试
2。

2013年湖南省长沙市长郡中学理科班入学数学试卷（一）一、选择题（每个题目只有一个正确答案，每题6分，共36分）1．（6分）若分式的值为零，则x的值应取（）A．x=2或x=﹣1 B．x=﹣1 C．x=±1 D．x=22．（6分）如图：△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于P点，∠BPC=134°，则∠BAC=（）A．68°B．80°C．88°D．46°3．（6分）世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（）A．6分 B．7分 C．8分 D．9分4．（6分）若正实数a、b满足ab=a+b+3，则a2+b2的最小值为（）A．﹣7 B．0 C．9 D．185．（6分）直线与x轴y轴的交点分别为A、B，如果S△AOB≤1，那么k 的取值范围是（）A．k≤1 B．0＜k≤1 C．﹣1≤k≤1且k≠0 D．k≤﹣1或k≥16．（6分）如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为直径，AB=4，AD=DC=1，则BC的长为（）A．B． C．D．二、填空题（每题5分，共30分）7．（5分）如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=DB，DC=CA，则∠BAC=°．8．（5分）已知关于x的方程有正数解，则m的取值是．9．（5分）一元钱的硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过mm（保留根号）．10．（5分）已知x+y=2，2y2﹣y﹣4=0，则y﹣的值为．11．（5分）已知，则a2+2ab+b2﹣2ac+c2﹣2bc的值=．12．（5分）如图：四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=∠C=120°，CD=5，则四边形ABCD的面积为．三、解答题（本大题共3小题，13、14题11分，15每题12分共34分）13．（11分）甲，乙，丙三人各有邮票若干枚，要求互相赠送．先由甲送给乙，丙，所给的枚数等于乙，丙原来各有的邮票数；然后依同样的游戏规则再由乙送给甲，丙现有的邮票数，最后由丙送给甲，乙现有的邮票数．互相送完后，每人恰好各有64枚．你能知道他们原来各有邮票多少枚吗？说出你的思考过程．14．（11分）已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2+BF2=EF2．15．（12分）如图，抛物线y=a（x+3）（x﹣1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（﹣2，6）．（1）求a的值及直线AC的函数关系式；（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．①求线段PM长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．2013年湖南省长沙市长郡中学理科班入学数学试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（每个题目只有一个正确答案，每题6分，共36分）1．（6分）若分式的值为零，则x的值应取（）A．x=2或x=﹣1 B．x=﹣1 C．x=±1 D．x=2【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．【解答】解：由分子（x+1）（x﹣2）=0，解得：x=﹣1或2．当x=﹣1时，分母|x|﹣1=1﹣1=0，分式没有意义．当x=2时，分母|x|﹣1=2﹣1=1≠0，分式的值为0．故选：D．【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．2．（6分）如图：△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于P点，∠BPC=134°，则∠BAC=（）A．68°B．80°C．88°D．46°【分析】根据三角形内角和定理及角平分线的性质解答．【解答】解：∵在△BPC中，∠BPC=134°，∴∠1+∠2=180°﹣∠BPC=180°﹣134°=46°，∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，∴∠ABC+∠ACB=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×46°=92°，∴在△ABC中，∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣92°=88°．故选：C．【点评】此题考查了三角形的内角和定理，平分线性质．运用整体思想求出∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）是解题的关键．3．（6分）世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（）A．6分 B．7分 C．8分 D．9分【分析】易得小组赛的总场数为小组数×（小组数﹣1）÷2，可得4个队的总积分，进而分类讨论小组得6分或7分能否出线即可．【解答】解：4个队单循环比赛共比赛4×3÷2=6场，每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为3分（有胜负），所以6场后各队的得分之和不超过18分，①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线，②如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线．应选B．【点评】本题考查了比赛问题中的推理与论证；得到比赛的总场数以及相应的总积分是解决本题的突破点；分类探讨可以出线的小组的最低分是解决本题的难点．4．（6分）若正实数a、b满足ab=a+b+3，则a2+b2的最小值为（）A．﹣7 B．0 C．9 D．18【分析】设a+b=m，则ab=m+3，a2+b2变形，再整体代入，转化为关于x的二次函数求最小值，注意a、b正实数的条件的运用．【解答】解：设a+b=m，则ab=m+3，a、b可看作关于x的方程x2﹣mx+m+3=0的两根，a、b为实数，则△=（﹣m）2﹣4（m+3）≥0，解得m≤﹣2或m≥6，而a、b为正实数，∴a+b=m＞0，只有m≥6，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=m2﹣2（m+3）=（m﹣1）2﹣7，可知当m≥1时，a2+b2随m的增大而增大，∴当m=6时，a2+b2的值最小，为18．故选：D．【点评】本题考查了二次函数最值在确定代数式的值中的运用．本题要注意：①根据已知条件换元，转化为二次函数，②a、b为正实数条件的运用．5．（6分）直线与x轴y轴的交点分别为A、B，如果S△AOB≤1，那么k 的取值范围是（）A．k≤1 B．0＜k≤1 C．﹣1≤k≤1且k≠0 D．k≤﹣1或k≥1【分析】先求出直线与x轴y轴的交点分别为A、B，得到OA，OB的长，利用三角形的面积公式得到不等式，对照选项进行判断．【解答】解：令x=0，则y=k，得B（0，k）；令y=0，则x=﹣2k，得A（﹣2k，0），=•|2k|•|k|=k2≤1，所以OA=|2k|，OB=|k|，S△AOB所以﹣1≤k≤1且k≠0．故选：C．【点评】会求一次函数与两坐标轴的交点坐标，掌握用坐标表示线段；记住三角形的面积公式．6．（6分）如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为直径，AB=4，AD=DC=1，则BC的长为（）A．B． C．D．【分析】根据勾股定理即可求得BD的长，求得cos∠CAD的值，进而求AC的值，根据勾股定理即可求得BC的值，即可解题．【解答】解：如图，连AC、BD，过D作DE⊥AC于E．∴∠ADB=∠ACB=90°，∠ABD=∠CAD．∵BD==．cos∠CAD=cos∠ABD=．∴AE=AD•cos∠CAD=，∴AC=2AE=，∴BC==．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了余弦函数的求值，考查了根据余弦值求对应边的值．二、填空题（每题5分，共30分）7．（5分）如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=DB，DC=CA，则∠BAC=108°．【分析】先设∠B=x，由AB=AC可知，∠C=x，由AD=DB可知∠B=∠DAB=x，由三角形外角的性质可知∠ADC=∠B+∠DAB=2x，根据DC=CA可知∠ADC=∠CAD=2x，再在△ABC中，由三角形内角和定理即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值，从而求解．【解答】解：设∠B=x，∵AB=AC，∴∠C=∠B=x，∵AD=DB，∴∠B=∠DAB=x，∴∠ADC=∠B+∠DAB=2x，∵DC=CA，∴∠ADC=∠CAD=2x，在△ABC中，x+x+2x+x=180°，解得x=36°．∴∠BAC=108°．故答案为：108．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类题目时往往要用到三角形内角和定理、三角形外角的性质等隐含条件．8．（5分）已知关于x的方程有正数解，则m的取值是m＜6且m ≠3．【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．【解答】解：去分母得，x﹣2x+6=m解得，x=6﹣m∵分母x﹣3≠0即x≠3∴6﹣m≠3即m≠3又∵x＞0∴6﹣m＞0即m＜6则m的取值是m＜6且m≠3．【点评】解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．并且在解方程去分母的过程中，一定要注意分数线起到括号的作用，并且要注意没有分母的项不要漏乘．9．（5分）一元钱的硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过mm（保留根号）．【分析】理解清楚题意，此题实际考查一个直径为24的圆，内接正三角形的边长．【解答】解：已知此圆半径为12，则OB=12mm．在直角△OBD中，BD=OB•sin60°=6mm．则可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正三角形的边长最大．【点评】此题所求结果有些新颖，要注意题目问题的真正含义．10．（5分）已知x+y=2，2y2﹣y﹣4=0，则y﹣的值为．【分析】根据x+y=2，得出x=2﹣y，再根据2y2﹣y﹣4=0，得出y﹣=，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．【解答】解：∵x+y=2，∴x=2﹣y，∵2y2﹣y﹣4=0，∴2y﹣1﹣=0∴2y﹣=1∴y﹣=，∴y﹣=y﹣=y﹣+1=+1=．故答案为：．【点评】此题考查了分式的化简求值，关键是根据给出的式子进行变形得出y﹣=，注意要用整体代入法进行计算比较简单．11．（5分）已知，则a2+2ab+b2﹣2ac+c2﹣2bc的值=m2．【分析】根据完全平方公式先把要求的式子进行分解，再把a，b，c的值代入即可得出答案．【解答】解：∵，∴a2+2ab+b2﹣2ac+c2﹣2bc=（a+b﹣c）2=（m+1+m+2﹣m﹣3）2=m2；故答案为：m2．【点评】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是根据完全平方公式把要求的式子进行变形，然后代入．12．（5分）如图：四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=∠C=120°，CD=5，则四边形ABCD的面积为．【分析】延长BC，CB 分别作AE⊥EF，DF⊥EF，得梯形AEFD，解△ABE得BE，AE，解△CDF得CF，DF，根据S四边形ABCD=S梯形AEFD﹣S△ABE﹣S△CDF即可求解．【解答】解：如图，延长BC、CB．作AE⊥EF，DF⊥EF，垂足分别是E、F．∵∠B=120°，∴∠EBA=60°，∵AE⊥EF，∴BE=AB=，AE=AB=同理求得CF=CD=，DF=．∴EF=EB+BC+CF=8，S△ABE =AE•BE=×=，S△CDF =C F•DF=××=，S梯形AEFD =（AE+DF）×EF=16，∴S四边形ABCD=S梯形AEFD﹣S△ABE﹣S△CDF =．故答案是：．【点评】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形．解答该题的难点是辅助线的作法．三、解答题（本大题共3小题，13、14题11分，15每题12分共34分）13．（11分）甲，乙，丙三人各有邮票若干枚，要求互相赠送．先由甲送给乙，丙，所给的枚数等于乙，丙原来各有的邮票数；然后依同样的游戏规则再由乙送给甲，丙现有的邮票数，最后由丙送给甲，乙现有的邮票数．互相送完后，每人恰好各有64枚．你能知道他们原来各有邮票多少枚吗？说出你的思考过程．【分析】假设甲原有邮票x枚，乙原有邮票y枚，丙原有邮票z枚．根据题目说明列出三次赠送的过程如下表根据第三次赠送后的结果列出方程组先化简，最后代入消元法或加减消元法求出方程组的解即可．【解答】解：设甲原有邮票x 枚，乙原有邮票y 枚，丙原有邮票z 枚．根据第三次赠送后列方程组，即，③﹣②得 2z ﹣y=8 ④， ②+①得 y ﹣z=24 ⑤， ④+⑤得 z=32， 将z 代入⑤得 y=56， 将y 、z 代入①得 x=104，答：甲原有邮票104枚，乙原有邮票56枚，丙原有邮票32枚．【点评】解答此题的关键是用表格的方式列出三次赠送邮票的过程，根据第三次结果列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．14．（11分）已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2+BF2=EF2．【分析】过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM，通过证明AM=BF，EF=EM即可得出答案．【解答】证明：过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM．∵AM∥BC，∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，∴△ADM≌△BDF．∴AM=BF，MD=DF．又∵DE⊥DF，∴EF=EM．∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．【点评】本题考查了勾股定理与全等三角形的判定与性质，有一定难度，关键是正确作出辅助线．15．（12分）如图，抛物线y=a（x+3）（x﹣1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（﹣2，6）．（1）求a的值及直线AC的函数关系式；（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．①求线段PM长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）c在抛物线上，将c代入解析式，就可求出a的值；A是抛物线与x轴的坐标，根据抛物线求出A点坐标，由A、C两点坐标，利用待定系数法，可求出直线AC的函数关系式．（2）设出p点的横坐标m，p在直线上，然后用横坐标m表示出p点的坐标，M与P的横坐标相同，且M在抛物线上，同样可用m表示出M点坐标，然后求出线段PM，最后根据PM长度的关系式判断m为何值时，线段最长．【解答】解：（1）点C（﹣2，6）在抛物线y=a（x+3）（x﹣1）上得6=a（﹣2+3）（﹣2﹣1）∴a=﹣2（3分）∴抛物线的函数解析式为y=﹣2（x+3）（x﹣1）由题意得抛物线与x轴交于B（﹣3，0）、A（1，0）设直线AC为y=kx+b，则有0=k+b6=﹣2k+b解得k=﹣2，b=2∴直线AC的函数解析式为y=﹣2x+2（6分）（2）①设P的横坐标为m（﹣2≤m≤1），则M的横坐标是m．P（m，﹣2m+2），M（m，﹣2m2﹣4m+6）（7分）∴PM=﹣2m2﹣4m+6﹣（﹣2m+2）=﹣2m2﹣2m+4=∴当m=﹣时，PM的最大值为（10分）②存在，∵∠CPM=∠APN若∠CMP=∠ANP=90°如图1，则点M的纵坐标为6，6=﹣2（x+3）（x﹣1），x2+2x=0，x（x+2）=0，x1=0，x2=﹣2（舍），则点M的坐标为（0，6），如图2，若∠PCM=∠ANP=90°，过点C作与AC垂直的直线，则直线CM为：y=（x+2）+6，联立y=（x+2）+6与y=﹣2（x+3）（x﹣1），（x+2）+6=﹣2（x+3）（x﹣1），4x2+9x+2=0，（x+2）（4x+1）=0，x=﹣2（舍）或x=﹣，当x=﹣时，y=﹣2×（﹣+3）×（﹣﹣1）=，则点M的坐标为M（﹣，），故M1（0，6）、M2（，）（14分）【点评】本题综合考查了二次函数的与直线相交下，交点问题的计算，以及线段最长最短问题，三角形问题等．。

长郡中学2013下学期期终考试高二年级数学(理科)试卷命题人： 谭泽阳 审核人： 李典芳时 量：120分钟 满 分： 100分一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在复平面内，复数iiz +-=121对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】 C ． 【解析】：2．已知命题:p R x ∈∃，0332≤+-x x ，则下列说法正确的是（ ）A ．R x p ∈∃⌝:，0332>+-x x ，且 p ⌝为真命题 B ．R x p ∈∃⌝:，0332>+-x x ，且 p ⌝为假命题 C ．R x p ∈∀⌝:，0332>+-x x ，且 p ⌝为真命题 D ．R x p ∈∀⌝:，0332>+-x x ，且 p ⌝为假命题 【答案】C ． 【解析】：3．“1=a ”是“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A ． 【解析】： 4.A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 【答案】：B ．5. 在5道题中有3道理科题和2道文科题. 如果不放回地依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的条 件下，第二次抽到理科题的概率是（ ）A ．21 B ．31C ．41D ．51 B ．【答案】A ．【思路】：由已知中5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题．在第一次【相关链接】：在道题中有道理科题和道文科题. 如果不放回地依次抽取道题，求: (1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率.【解析】：一个基本事件是从5道题中不放回地抽取2道，它包含的基本事件数是204525=⨯=A .(1) 设第一次抽到理科题为事件A ，则它包含的基本事件的个数为12431413=⨯=⋅A A ，则.532012)(==A P (2) 设第1次和第2次都抽到理科题为事件B ，则它包含的基本事件数为61213=⋅A A ，则.103206)(==B P 6. （2012•湖南）已知双曲线:C 12222=-by a x 的焦距为10，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）A ．152022=-y x B ．120522=-y x C ．1208022=-y x D ．1802022=-y x 【答案】A ．【解析】：∵双曲线的渐近线方程为x a b y ±=，且双曲线:C 12222=-by a x 的焦距为10，点)1,2(P 在C 的渐近线上，∴102=c ，b a 2=；又∵222c b a =+，∴202=a ，52=b ，∴双曲线的方程为152022=-y x ，故选A ． 7. 已知具有线性相关的两个变量x ，y 之间的一组数据如下：且回归方程是a bx y +=∧，其中95.0=b ，则当6=x 时，y 的预测值为（ ） A ．1.8 B ．2.8C ．3.8D ．4.8【答案】 C ．【解析】：由表格知样本中心点为)5.4,2(),(),(55.22510==y x ，则6.295.+=∧x o y ；则当6=x 时，y 的预测值为3.86.2695.=+⨯=∧o y ，故选C ．8．记圆:O 222π=+y x 内的正弦曲线x y sin =与x 轴围成的区域为D ，随机往圆O 内投一个点 A ，则点A ，则点A 落在区域为D 内的概率是（ ）A ．24πB ．34πC ．22πD ．32π【答案】B ．【思路】 先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx 与x 轴围成的区域记为M 的面积为S=2∫0πsinxdx=-2cosx|0π=4，代入几何概率的计算公式可求． 【解析】构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y=sinx 与x 轴围成的区域记为M ， 根据图形的对称性得：面积为S=2∫0πsinxdx=-2cosx|0π=4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率34π=P ，故选B ．【点拨】：本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，几何概率的计算公式的运用，属于中档试题，具有一定的综合性．9．已知)()12(32*∈+N n xx n 的展开式中含有常数项，则n 的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．9D ．10【答案】B ．【解析】：展开式的通项为T r+1=C n r a n-r b r =C n r (2x 2)n-r (x -3)r =2n-r C n r x 2n-5r ,令2n-5r=0即n=5r （其中r=0，1，2，3,,⋅⋅⋅n ）,∵n∈N *,∴当r=2时n 最小为5,故选B ．【点拨】：本题考查利用二项展开式的通项公式，解决二项展开式的特定项问题． 10. 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点1F ,2F 在x 轴上，B A ,是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且x PF ⊥1轴，2PF //AB ，则椭圆的离心率为（ ）A ．33 B ．23 C ．55 D ．35【答案】 C ．【解析】：设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，则)0,(1c F -、)0,(2c F 、),0(b A 、)0,(a B .直线1PF 的方程为c x -=，代入方程12222=+b y a x ，得a b y 2±=，∴点P 的坐标为),(2ab c -.又∵2PF ∥AB ，且acb c c k ab PF 2222-=--=，又a b k AB -=，∴由AB PF k k =2,得a b ac b -=-22. ∴c b 2=，c b 5=；∴555===c c a c e ，故选C ．11． 设随机变量ξ服从才正6态分布)4,3(N ，若)2()32(+>=-<a P a P ξξ，则a 的值为（ ）A ．5B ．3C ．35 D ．37【答案】 D ． ∵随机变量ξ服从正态分布N （3，4），且)2()32(+>=-<a P a P ξξ， ∴32-a 与2+a 关于直线3=x 对称，∴32-a +2+a =6，∴73=a ，∴a 37=a ，故选 D ． 12. 如右图，平行六面体1111D C B A ABCD -中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60；记AB AC λ=1，则λ的值为（ ）A ．6B ．5C ．2D ．3 【解析】：记a AB =，b AD =，c AA =1，且k c b a ===||||||，则 60,,>=>=<>=<<b ，∴22160cos k k k b =⋅⋅=⋅=>=⋅； ∴c b a AC ⋅+⋅+++=++=22)(||222221⋅+22226)212121(23k k k =+++=，∴k AC 6||1=，即k AC 61=；k AB ===||||,∴661===kkAB AC λ，故选A ． 【注】：本题还可以求AC 与1BD 夹角的余弦值：a c b BD -+=1 ,b a AC +=，∴k BD 2||1=,k 3||=|,∴⋅1BD =AC )(-+=+)(222222121k k k =+=⋅+⋅+-；∴,cos 1BD <.6632||||211=⨯=⋅>=kk k AC BD AC 13. 若函数x x x f 3)(3-=在)6,(2a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)1,5(- B. )1,5[- C ．)1,2[- D ．)1,2(- 【解析】：14.（2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和三门艺术课各 1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（ ）A ．54 B ．53 C ．52 D ．5115. 抛物线x y 42=的焦点为F ，原点为O ，直线AB 经过点F 且与抛物线交于B A ,两点，抛物线的准线与x 轴交于点C ，若130=∠OFA ，则=∠ACB tan （ ）A ． 100cos 150sin 2-B ． 100cos 150sin 4-C ． 100cos 150sin 2+D ．100cos 150sin 4+ 【答案】【解析】AB 为过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠=，C 为抛物线准线与x 轴的交点，二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题后中的横线上.16．已知1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则点P 到椭圆另一个焦点的距离为 . 【答案】17. 如图，曲线)(x f y =在点))5(,5(f P 处的切线方程是8+=ax y ，若2)5(')5(=+f f ，则实数=a . 【答案】18．二男二女共四个学生站成一排照相，两个女生必须相邻的站法有 种. （用数字作答） 【答案】. 19．“求方程1)1312()135(=-x x 的解”有如下解题思路：设x x x f )1312()135()(-=，因为)(x f 在R 上 单调递减，且1)2(=f ，所以原方程有唯一解为2=x ；类比解题思路，不等式<+-36)32(x x223x x -+的解集为 . 【答案】20. 对正整数n x n ,是方程023=-+n x nx 的实数根，记),3,2]()1[(⋅⋅⋅=+=n x n a n n （其中符号][x 表 示不超过x 的最大整数，如4]4.3[,3]4.3[-=-=），则(1)=3a ； (2)=+⋅⋅⋅++)(20151201632a a a . 【答案】三、解答题：本大题共5个小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21. 甲同学在军训中练习射击项目，他射击命中目标的概率是31，假设每次射击是否命中相互之间没 有影响.(I ) 在3次射击中，求甲至少有1次命中目标的概率；(II ) 在射击中，若甲命中目标，则停止射击，否则继续射击，直至命中目标，但射击次数最多 不超过3次，求甲射击次数的分布列和数学期望.22. （2011•福建模拟）如图1，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AD AB ⊥，且121===CD AD AB .现以AD 为 一边向外作正方形ADEF ,然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与 平面ABCD 互相垂直，如图2.(I ) 求证：平面⊥BDE 平面BEC ；(II ) 求平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的大小.（1）求证：AM ∥平面BEC ； （2）求证：BC ⊥平面BDE ； （3）求三棱锥D-BCE 的体积． 解答：解：（23.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，并且满足n S a n n ,,2成等差数列，).(0*∈>N n a n(I ) 写出n a 与)2(1≥-n a n 的关系式并求321,,a a a ； (II ) 猜想}{n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.24. 如图，椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 经过点)23,1(P ，离心率21=e ，直线l 的方程为4=x .25. 设函数xex f --=1)(，函数1)(+=ax xx g （其中R a ∈，e 是自然对数的底数）. 过M 作x 轴的垂线交C 于点N ；（I ） 当0=a 时，求函数)()(')(x g x f x h ⋅=的极值；11 （II ） 若)()(x g x f ≤在),0[+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（III ）设*∈N n ，求证：.!2)1(142-≤≤-∑=n n e n en k n。

数学试题11一、填空题：（每小题6分，本题满分36分） 1．2= ．2． 一次函数my x m a=+的图象如右图所示，则AOB △的面积等于 （用含a ，m 的代数式表示）3． 如右图，A 、B 、C 为O 上三点，70BAO ∠=︒，则ACB ∠的度数为．4． 已知二次函数2242y x mx m =--+与反比例函数24m y x+=的图像在第二象限内的一个交点的横坐标是2-，则m 的值是 ．5． 如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，点O 在斜边AB 上，半径为2的O 过点B ，切AC 边于点D ，交BC 边于点E ．则由线段CDCE 及弧DE 围成的阴影部分的面积为 ．6． 已知21()()()4b c a b c a -=--且0a ≠，则b c a+=．二、选择题：（每小题6分，本题满分36分）7． 如图，D 是ABC △的边AB 上的点，且3BD AD =，已知20CD =，3sin 5BCD ∠=，那么BC 边上的高AE 等于（ ） A ．18 B ．16C ．20D ．24ABCOA8．=（ ） ABC ．2D ．以上都不对9． 如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是（ ）2cm ． A ．34B ．23C ．35D10．一次函数y ax b =+与二次函数2y ax bx =-在同一直角坐标系中图象可能是（ ）11．如图，四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90B D ∠=∠=︒，8AD =，7AB =，则BC CD +等于（ ） A．B．C．D．12．如图：在ABC △中，D 是边BC 上的一点，已知5AC =，6AD =，10BD =，5CD =，那么ABC△的面积是（ ） A ．30 B ．36 C ．72 D ．60AB CE DFAB CED ABCD60°DCBA三、解答题：（14分+14分，满分28分）13．如图13-1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，5OA =，4OC =． ⑴在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D ，E 两点的坐标；⑵如图13-2，若AE 上有一动点P （不与A ，E 重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（05t <<），过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N ．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？⑶在⑵的条件下，当t 为何值时，以A ，M ，E 为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．14．（满分14分）如图1，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ，顶点M 的坐标为(24)，；矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且2AD =，3AB =． ⑴求该抛物线所对应的函数关系式；⑵将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度．．．．．从点A 出发向B 匀速移动，设它们运动的时间为t 秒(03)t ≤≤，直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）．①当52t =时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由； ②设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． DCBA。