确实存在正的永续增长率吗_关于财务_金融理论的基础性思考
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收稿日期：2010- 01- 10
作者简介：张志强，中国人民大学副教授，主要从事公司财务与金融研究；赵全海，石家庄经济学院教授，主要从事国际贸
易政策与全球化研究。
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确实存在正的永续增长率吗？— ——关于财务 / 金融理论的基础性思考
类似地，所谓永续增长率即是在无限长时期中的几何平均增长率。实际上，即使公司可以永远存 在下去，人类的智力也无法预测未来无限长时期的增长率。根据前面的分析，在到达无限远之前，目 前存在的某公司必定会破产倒闭，这又使预测有了某种可行性。也就是说，在破产倒闭之后到无限远 之间相应的现金流量都是零。从目前的正值到未来的“0”，其“年均几何增长率”不难测算。然而， 在数学上，这种情况下的年增长率肯定是 - 100%。为在测算或演示中避免这个统一的“- 100%”，本 文假定公司在其最后年份中，股票红利或相应的微观变量是一个接近于零的正数，比如是“10 亿分 之一元”而不是“0 元”。
计算”很难解释增长率由“负”变“正”的合理性。同样，虽然永续增长假设可以简化模型，例如 Gordon 模型，“模型简化”也很难解释增长率由“负”变“正”的合理性。无论如何，从目前的正值 到零，增长率不可能是正的。
另一方面，虽然经济发展会有繁荣和衰退交替，股市也有牛市和熊市交替，但没有人怀疑过长期 或永续增长率应该是正的，无论就整体经济或市场而言还是就单个公司或其股票而言。而且，如果每 家公司的收入、利润以及股票价值最终都将化为乌有，整体经济的长久或永续正增长又从何而来？
B = 1- (1- b)n
（5）
不妨从现实数据中寻找一些直观感受。如表 1 所示，Moody 公司每年都公布为期一年到十年的公
司实际累积违约率。[5]但值得注意的是，根据定义，Moody 公司的“违约”与本文的“破产”在概念上
有所不同。在本文中，“破产”意味着公司寿命结束和股票价值消失，这也符合破产的理论定义和普
摘 要：按照复利增长的逻辑，考虑公司的有限寿命，未来收益或价值的永续增长率一定是 负的而不是正的，而负增长率又让人难以接受，本文将这种矛盾称为“ZZ 悖论”。借助于 Gordon 模 型，基于 Moody 的违约数据，围绕如何解释“正永续增长率”以及“负增长率”对于资产价值的重 大影响，讨论了 ZZ 悖论的种种隐含意义，包括各信用等级公司的破产概率、期望寿命、负永续增长 率及其对公司股票价值和贴现率的潜在影响等。
确实存在正的永续增长率吗？— ——关于财务 / 金融理论的基础性思考
表 2 各信用等级公司的期望寿命和累计破产概率 * （除公司寿命外，其他单位都为%）
项目
Aaa
Aa
公司信用等级
A
Baa
Ba
B
Caa- C
5 年累积实际违约率
0.099
0.177
0.472
1.937
10.207
26.791
52.659
该公司的实际寿命也许会长些或短些。
用 b 表示年破产概率 （常数），则公司期望寿命为 1/b；而 （1- b） 代表年生存的可能性。再用 B
表示连续 n 年中的累计破产概率，即 n 年中发生破产的概率。则 n 年中不破产 （即连续 n 年存活） 的
概率为(1- b)n。从而 n 年中发生破产的概率为：[4]
1.433
1.937
2.449
2.956
3.448
4.013
4.633
Ba
1.203
3.222
5.568
7.953 10.207 12.226 13.992 15.690 17.371 19.095
B
5.235 11.298 17.044 22.054 26.791 30.976 34.762 37.972 40.908 43.322
GAG=[(1+g) ] - 1=g
以上的计算显示出算术平均和几何平均计算的一致性。但实际上，除了每年增长率都相同的情
况，AAG 和 GAG 的计算结果都是不同的。如果已知各年增长率的标准差为 SD，AAG 和 GAG 有如下
数量关系：
2
2
2
(1+AAG) - SD =(1+GAG)
（4）
公式 （3） 显示出几何平均增长率只与变量的初始值和最终值有关，而与该变量的变动过程无关，
起见，学术和实际研究以及价值评估经常将预期风险具体化为经过风险调整的贴现率，而通过初始收
益和正的永续增长率相结合来反映未来的期望收益。
Gordon 模型 （1962） 就是一个例子。[1]自 20 世纪 60 年代问世以来，Gordon 模型一直是应用最为广
泛的股票价值评估模型，其形式如下：
P= D0 (1+g) = D1
分别通过式 （2） 和式 （3） 计算。
AAG= V1 /V0 +V2 /V1 +V3 /V2 +…+Vn /Vn- 1 - 1 n
（2）
n n n n GAG=
V1 × V2 ×…× Vn
V0 V1
Vn- 1
n1n n
- 1=Βιβλιοθήκη Vn V0n1n n
-1
（3）
用 g 表示 n 期中不变的增长率，则 V1 =V0 （1+g），V2 =V1 （1+g），……，Vn =Vn- 1 （1+g）。所以，
在长久或永久意义上，“正增长率”和“负增长率”似乎都有各自的理由，但它们之间显然存在 不可调和的逻辑矛盾。这个由“意外的负增长率”引起的矛盾对传统金融理论和智慧形成挑战。理清 这其中的逻辑关系并不容易，本文姑且称之为“ZZ 悖论”。
永续增长率或长久增长率的正负问题看似简单，但它是涉及未来现金流量和价值折现的根本问 题，而折现计算是财务和金融理论大厦的基石。因此，“ZZ 悖论”提出了振动财务和金融理论大厦 根基的重大问题。对这个“悖论”的思考和讨论不可回避。本文将基于 Moody 的各信用等级公司违约 数据探讨与 ZZ 悖论有关的问题。
5 年累计破产概率
0.050
0.089
0.236
0.969
5.104
13.396
遍理解。而 Moody 公司的“违约”除了包括破产，还包括公司发生财务困境的某些情况。所以，违约
的范围大于破产，这意味着实际的累计破产概率比表 1 中对应的累积违约率百分比要小。
表 1 Moody 公司的历史平均累积违约率 （%）
年份
１
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
Aaa
0.000
0.000
0.000
0.026
明确的负增长率。为什么？因为经历无限长时间之后，公司必将破产或倒闭。①因此，对于任何一家
公司而言，无论它目前看起来多么“健康”，在经历“无限长”时间之后，各种形式的收益 （会计收
益、营业现金流量、股票红利等等） 都将归零。从目前的正价值“平滑”到零，增长率不可能是正
的，甚至零增长率也是不可能的。
虽然在折现现金流量计算中，非常遥远的未来现金流量或价值不重要，可以忽略不计，但“近似 — —— —— —— —— —— —— —— ——
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Contemporary Finance ＆ Economics
当代财经 2010 年第 6 期 总第 307 期
如此看来几何平均似乎不很可靠，但实际上它比算术平均更为可靠。例如，某变量从最初的 100 增加 到 200，最后又下降到 100，根据算术平均，平均增长率是 25%。因为最终价值等于初始价值，增长 率应该明显是 0%，即符合根据几何平均得到的结果。因此，在金融和经济平均增长率的计算中，几 何平均处于主导地位。同时，几何平均增长率也符合经济和金融理论中复利增长的假设。
Caa- C 19.466 30.509 39.731 46.935 52.659 56.841 59.965 63.289 66.359 69.251
资料 来源 ：R ichard Cantor, David T. Hamilton, Jennifer Tennant, 2007, Confidence Intervals for Corporate Default R ates, Special Comment of Moody, April 2007。[6]
累计破产概率和期望的公司寿命取决于长期不变的年 （平均） 破产概率。考虑到破产和违约之间 的差异，下面取表 1 中数值的一半作为累计破产概率。根据表 1 第 6 列的五年累计破产概率，②通过 反用式 （5），可以计算出平均的年破产概率，如表 2 中第 1- 3 行所示。
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值得注意的是，虽然在本文中负增长率一再得到证实并应用于相关的分析，这并不意味着我们同 意用负增长率替代目前常规分析中的正增长率，也不意味着我们同意按照负增长率进行分析和评估， 比如第五部分中很低的价值评估结果。这些分析只是演示“如果”最终金融理论难以推翻“负增长 率”，结果会是怎样。我们所以称之为“悖论”而不是结论，就是希望它不会对既有的金融理论造成 大的冲击；或者，在对其能够透彻解释之前，可以找到适当的办法避免由此造成的逻辑麻烦。[2- 3]无论如 何，ZZ 悖论隐含着丰富的金融理论和实践意义，例如关于破产、增长率、贴现率、股票定价等方面。
都被“理所当然”地估计为一个正的百分数。按照普遍接受的说法，g 应该接近于整体经济的长期增
长率。然而，这里有一个被长期忽略而又非常重要的问题：确实存在正的永续增长率吗？
也许出乎多数人意料，但稍作分析就不难得出：该问题的答案是否定的。也就是说，确实没有正
的永续增长率！如果 g 代表在未来无限长时间中保持不变的公司股票红利的增长率，那么，它只能是
