(江苏专用)2020版高考数学复习第七章不等式、推理与证明、数学归纳法7.1不等关系与不等式教案

§7.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考情考向分析　以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中主要以填空题的形式进行考查，中低档难度．1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax ＋By ＋C >0不包括边界直线Ax ＋By ＋C ≥0直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x ，y 组成的不等式(组)线性约束条件由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等线性目标函数关于x ，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x ，y )可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题概念方法微思考1．不等式x≥0表示的平面区域是什么？提示　不等式x≥0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴)．2．可行解一定是最优解吗？二者有何关系？提示　不一定．最优解是可行解中的一个或多个．最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　×　)(2)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(　√　)(3)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示．(　√　)(4)线性目标函数的最优解是唯一的．(　×　)(5)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　×　)题组二　教材改编2．[P74T1]点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是________．答案　(－7,24)解析　点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，说明将这两点坐标代入3x－2y＋a后，符号相反，所以(9－2＋a)(－12－12＋a)<0，解得－7<a<24.3．[P77T2]不等式组Error!所表示的平面区域的面积是________．答案　25解析　直线x －y ＋4＝0与直线x ＋y ＝0的交点为A (－2，2)，直线x －y ＋4＝0与直线x ＝3的交点为B (3,7)，直线x ＋y ＝0与直线x ＝3的交点为C (3，－3)，则不等式组表示的平面区域是一个以点A (－2,2)，B (3,7)，C (3，－3)为顶点的三角形及其内部，所以其面积为S △ABC ＝×5×1012＝25.4．[P84T4]设变量x ，y 满足约束条件Error!则z ＝x －3y 的最小值为________．答案　－8解析　画出可行域与目标函数线如图(阴影部分含边界)，由图可知，目标函数在点(－2,2)处取最小值－8.题组三　易错自纠5．(2018·全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件Error!则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案　6解析　作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(包含边界)所示．由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－x ＋.32z 2作直线l 0：y ＝－x ，平移直线l 0，当直线y ＝－x ＋过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×03232z 2＝6.6．已知x ，y 满足Error!若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________．答案　－1解析　先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.题型一　二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1　不含参数的平面区域问题例1 在平面直角坐标系中，不等式组Error!表示的平面区域的面积是________．答案　3解析　作出不等式组表示的平面区域是以点O (0,0)，B (－2，0)和A (1，)为顶点的三角形及3内部区域，即如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为×2×＝.1233命题点2　含参数的平面区域问题例2 若不等式组Error!表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是______．答案　(0,1]∪[43，＋∞)解析　作出不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．思维升华平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．跟踪训练1 (1)不等式组Error!表示的平面区域的形状为________三角形．答案　等腰直角解析　作出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知平面区域的形状为等腰直角三角形(阴影部分，含边界)．(2)已知由不等式组Error!确定的平面区域Ω的面积为7，则k的值为________．答案　－1解析　作出不等式组Error!所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，可知该区域是等腰直角三角形且面积为8.由于直线y ＝kx ＋2恒过点B (0，2)，且原点的坐标恒满足y －kx ≤2，当k ＝0时，y ≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于6<7，由此可得k <0.由Error!可得D ，(2k －1，4k －2k －1)依题意应有×2×＝1，12|2k －1|解得k ＝－1或k ＝3(舍去)．题型二　求目标函数的最值问题命题点1　求线性目标函数的最值例3 (1)(2018·全国Ⅱ)若x，y满足约束条件Error!则z＝x＋y的最大值为________．答案　9解析　由不等式组画出可行域如图阴影部分(含边界)．目标函数x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看作常数)在y轴上的截距最大，由图可得当直线x＋y＝z过点C时，z取得最大值．由Error!得点C(5,4)，∴z max＝5＋4＝9.(2)(2018·南通模拟)已知实数x，y满足约束条件Error!则z＝|x|＋|y－3|的取值范围是________．答案　[1,7]解析　作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则0≤x≤4且0≤y≤3，所以z＝|x|＋|y－3|＝x－y＋3，平移目标直线y＝x－z＋3经过点A(4,0)时，z取得最大值7，经过点B(1,3)时，z取得最小值1，所以z的取值范围为[1,7]．命题点2　求非线性目标函数的最值例4 (1)(2018·徐州模拟)已知(x ，y )满足Error!则k ＝的最大值为________．y x ＋1答案　1解析　画出可行域如图阴影部分(含边界)：因为k 的几何意义为可行域内的点P (x ，y )与定点A (－1，0)连线的斜率，则由图象可知AB的斜率最大，其中B (0,1)，此时k ＝＝1.10＋1(2)(2018·扬州模拟)若实数x ，y 满足约束条件Error!则x 2＋y 2的取值范围是______．答案　[14425，25]解析　作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则x 2＋y 2表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方．由图知(x 2＋y 2)max ＝42＋32＝25，(x 2＋y 2)min ＝2＝，(1232＋42)14425所以x 2＋y 2的取值范围为.[14425，25]命题点3　求参数值或取值范围例5 已知实数x ，y 满足Error!如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝____.答案　5解析　绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，联立直线方程Error!可得交点坐标为A ，(m ＋13，2m －13)由目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，所以－＝－1，解得m ＝5.m ＋132m －13思维升华 常见的三类目标函数(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2.(3)斜率型：形如z ＝.y －b x －a跟踪训练2 (1)若实数x ，y 满足约束条件Error!则z ＝2x －y 的最大值为________．答案　10解析　先根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，将z ＝2x －y 的最大值转化为直线y ＝2x －z 在y 轴上截距的最小值．当直线y ＝2x －z 经过点A 时，在y 轴上的截距最小，z 最大，又A(3，－4)，故z的最大值为10.(2)已知x，y满足Error!且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为________．答案　2解析　由约束条件Error!作出可行域(图略)，z＝3x－y的最大值为2，联立Error!解得A(2,4)，可知直线mx－y＝0必须过点A，可得2m－4＝0，解得m＝2.(3)已知实数x，y满足不等式组Error!则(x－3)2＋(y＋2)2的最小值为________．答案　13解析　画出不等式组Error!表示的平面区域(图略)，易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，－2)两点间距离的平方，可知当(x，y)为直线x＋y＝2与y＝1的交点(1,1)时，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，最小值为13.1．设点(x，y)满足约束条件Error!且x∈Z，y∈Z，则这样的点共有________个．答案　12解析　画出Error!表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，满足x ∈Z ，y ∈Z 的(x ，y )为(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个．2．设不等式Error!表示的平面区域为M .若直线y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是________．答案　[2,5]解析　由约束条件作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．因为函数y ＝kx －2的图象为恒过定点A (0，－2)，且斜率为k 的直线l ，由图知，当直线l 过点B (1,3)时，k 取最大值5，当直线l 过点C (2,2)时，k 取最小值2，故实数k 的取值范围是[2,5]．3．在直角坐标平面内，不等式组Error!所表示的平面区域的面积为，则t 的值为______．32答案　1解析　不等式组Error!所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由Error!解得交点B (t ，t ＋1)．在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)．由平面区域的面积S ＝＝，(1＋t ＋1)×t 232得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)．4．已知变量x ，y 满足约束条件Error!且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________.答案　1解析　作出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意；若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－的动直线y ＝－x ＋.1m 1m zm若m <0，则－>0，数形结合知使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；1m 若m >0，则－<0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB1m 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－＝－1，则m ＝1.1m 综上可知，m ＝1.5．(2019·如皋调研)已知实数x ，y 满足约束条件Error!则z ＝x ＋2y 的最大值为_______．答案　143解析　约束条件Error!对应的可行域如图阴影部分(含边界)所示：当目标函数所在直线过点A 时，z 取得最大值，解方程组Error!得A ，此时x ＋2y ＝＋＝(43，53)43103.1436．(2018·全国Ⅲ)若变量x ，y 满足约束条件Error!则z ＝x ＋y 的最大值是________．13答案　3解析　画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－3x ＋3z ，作出直线y ＝－3x ，13并平移该直线，当直线y ＝－3x ＋3z 过点A (2,3)时，目标函数z ＝x ＋y 取得最大值为2＋×3＝13133.7．若不等式组Error!表示的平面区域为三角形且其面积等于，则z ＝x －y 的最小值为4312________．答案　－2解析　作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分含边界所示)，由Error!得A (1－m,1＋m )，同理B ，C (2，0)，D (－2m,0)，(23－43m ，23＋23m )S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝·DC ·(|y A |－|y B |)＝＝，12(1＋m )2343解得m ＝1或m ＝－3，由图象，得要使可行域ABC 存在，则－2m <2，即m >－1，即m ＝1，即A (0,2)，B ，C (2,0)；(－23，43)由图象，得当直线z ＝x －y 过点A (0,2)时，z 取得最小值为－2.128．设变量x ，y 满足约束条件Error!则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为________．(12)答案　18解析　绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，要求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值，只需求解函数z ′＝2x ＋y 的最小值，(12)结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点C (1,1)处取得最小值z ′min ＝2＋1＝3，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为3＝.(12)(12)189．若x ，y 满足约束条件Error!则的最小值为________．y ＋1x ＋2答案　23解析　画出x ，y 满足约束条件Error!的可行域如图阴影部分所示(含边界)．的几何意义为可行域内的动点P (x ，y )与定点Q (－2，－1)连线的斜率，y ＋1x ＋2当P 位于B (1,1)时，直线PQ 的斜率最小，此时k min ＝＝.1＋11＋22310．(2018·南通模拟)甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素A(单位/kg)维生素B(单位/kg)甲35乙42分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位，则混合物重量的最小值为________ kg.答案　30解析　设甲食物重x kg ，乙食物重y kg ，∵维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位，∴Error!作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，由Error!得Error!即A (20,10)，混合物重z ＝x ＋y ，平移直线z ＝x ＋y ，由图知，当直线过A (20,10)时，z 最小值为20＋10＝30.11．变量x ，y 满足Error!(1)设z ＝，求z 的最小值；yx(2)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的最大值．解　由约束条件Error!作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．由Error!解得A .(1，225)由Error!解得C (1,1)．由Error!解得B (5,2)．(1)因为z ＝＝，y x y －0x －0所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率，观察图形可知z min ＝k OB ＝.25(2)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域内的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域内的点B 到(－3,2)的距离最大，d max ＝＝8，(－3－5)2＋(2－2)2故z 的最大值为64.12．若x ，y 满足约束条件Error!(1)求目标函数z ＝x －y ＋的最值；1212(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解　(1)作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线x －y ＋＝0，当直线过A (3,4)时，z 取最小值－2，过C (1,0)时，z 取最大值1.1212所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，a2解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4,2)．13．(2018·南通模拟)已知实数x ，y 满足Error!且(k －1)x －y ＋k －2≥0恒成立，则实数k 的最小值是________．答案　4解析　画出Error!表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，直线l ：(k －1)x －y ＋k －2＝0过定点(－1，－1)，若(k －1)x －y ＋k －2≥0恒成立，即可行域在直线下方，直线l 的斜率为k －1，当斜率最小时，k 最小．当直线过点(0,2)时，k －1有最小值＝3，k 的最小值为4.2＋1114．设x ，y 满足约束条件Error!则z ＝的最大值为________．|yx ＋3|答案　1解析　由约束条件作出可行域(如图阴影部分含边界)，可知z 恒大于等于0，则目标函数z ＝的几何意义是可行域内(包括边界)的点与点A (－3,0)连线的斜率的绝对值|yx ＋3|的取值范围，由可行域可知直线|k AB |＝＝1，|k AC |＝＝，故最大值为1.|－1－0－2－(－3)||0－1－3－0|1315．记不等式组Error!的解集为D ，若∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤3x ＋y 恒成立，则a 的取值范围是________．答案　(－∞，7]解析　若∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤3x ＋y 恒成立，即求z ＝3x ＋y 的最小值，作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示：当y＝－3x＋z经过A(1,4)点时，z最小，此时z min＝3×1＋4＝7，∴a≤7.16．已知函数y＝f(x)单调递增，函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，实数x，y满足不等式f(x2－2x)＋f(－2y－y2)≤0，求z＝x2＋y2－6x＋4y＋14的最小值．解　因为函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，所以函数y＝f(x)是奇函数．因为f(x2－2x)＋f(－2y－y2)≤0，所以f(x2－2x)≤－f(－2y－y2)，所以f(x2－2x)≤f(2y＋y2)，因为函数y＝f(x)是增函数，所以x2－2x≤y2＋2y，所以x2－y2－2(x＋y)≤0，所以(x＋y)(x－y)－2(x＋y)≤0.所以(x＋y)(x－y－2)≤0，所以点(x，y)对应的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，因为z＝x2＋y2－6x＋4y＋14，所以z＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1，所以z表示可行域内的点(x，y)到点(3，－2)的距离的平方再加1，观察图形得，当圆和直线x ＋y ＝0相切时，z 最小，因为d ＝＝，|3－2|12＋1222所以d 2＝，所以z min ＝＋1＝.121232。

§7.2一元二次不等式及其解法考情考向分析以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．在高考中常以填空题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高．一元二次不等式的解集概念方法微思考1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．2．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件是什么？ 提示 显然a ≠0.ax2＋bx ＋c >0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × ) (5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ ) 题组二 教材改编2．[P67例1(2)]不等式－x 2－2x ＋3>0的解集为________________． 答案 {x |－3<x <1}解析 原不等式可化为x 2＋2x －3<0，得－3<x <1.3．[P71习题T6]若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b ＝________.答案 －14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b 3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.题组三 易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 答案 (－4,1)解析 由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0， 得－4<x <1. 5．函数y ＝1－xx ＋2的定义域为________． 答案 (－2,1]解析 由1－xx ＋2≥0⇒－2<x ≤1，得函数的定义域为(－2,1]．6．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－2,2]解析 设方程(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＝0，当a ≠2时，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，∴－2<a <2；当a ＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立， ∴－2<a ≤2.题型一 一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{y |y ＝2x}，则A ∩B ＝________. 答案 (0,2)解析 由题意得A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{y |y ＝2x}＝{y |y >0}， ∴A ∩B ＝{x |0<x <2}＝(0,2)． 命题点2 含参不等式例2解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.所以当a >1时，解为1a<x <1；当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解为1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1. 命题点3 分式不等式例3已知关于x 的不等式(a ＋1)x －3x －1<1.(1)当a ＝1时，解该不等式； (2)当a 为任意实数时，解该不等式． 解 (1)当a ＝1时，不等式化为2x －3x －1<1，可得x －2x －1<0，∴1<x <2， ∴不等式的解集为{x |1<x <2}． (2)原不等式可化为ax －2x －1<0， 可化为(ax －2)(x －1)<0， 当a ＝0时，x >1.当a <0时，⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x －1)>0，∴x >1或x <2a.当a >0时，⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x －1)<0，若2a >1，即0<a <2时，可得1<x <2a，若2a＝1，即a ＝2时，x ∈∅， 若0<2a <1，即a >2时，2a<x <1.综上，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1或x <2a ， 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}，当0<a <2时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <2a ， 当a ＝2时，原不等式的解集为∅，当a >2时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <1. 思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论：①根据二次项系数为正、负及零进行分类．②根据判别式Δ判断根的个数．③有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 跟踪训练1解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )． 解 原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a4，＋∞. 题型二 三个“二次”的关系例4(1)已知函数f (x )＝2x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<m 的解集为(n ，n ＋10)，求实数m 的值． 解 由已知可得Δ＝b 2－8c ＝0，∴c ＝b 28，由不等式2x 2＋bx ＋b 28－m <0的解集为(n ，n ＋10)，可得方程2x 2＋bx ＋b 28－m ＝0的两根为n ，n ＋10，∴10＝b 24－b 24＋2m ＝2m ， ∴m ＝50.(2)已知方程x 2＋ax ＋2＝0的两根都小于－1，求实数a 的取值范围． 解 设f (x )＝x 2＋ax ＋2，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1－a ＋2>0，Δ＝a 2－8>0，－a 2<－1，解得22<a <3，∴实数a 的取值范围是(22，3)．思维升华一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1，x 2即为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点，也是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或ax 2＋bx ＋c <0)的解集的两个端点．跟踪训练2若α，β是方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的两个根，且α<2<β，求实数m 的取值范围．解 设f (x )＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ， ∵α，β是方程f (x )＝0的根，且α<2<β， ∴f (2)<0，∴4＋2(2m －1)＋4－2m <0， ∴m <－3，故实数m 的取值范围是(－∞，－3)．题型三 一元二次不等式恒成立问题 命题点1 在R 上的恒成立问题例5已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围． 解 当m ＝0时，f (x )＝－1<0恒成立．当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.综上，－4<m ≤0，故m 的取值范围是(－4,0]． 命题点2 在给定区间上的恒成立问题例6已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 引申探究1．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“f (x )<5－m 无解”，如何求m 的取值范围？ 解 若f (x )<5－m 无解，即f (x )≥5－m 恒成立， 即m ≥6x 2－x ＋1恒成立，又x ∈[1,3]，得m ≥6，即m 的取值范围为[6，＋∞)．2．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“存在x ，使f (x )<5－m 成立”，如何求m 的取值范围． 解 由题意知f (x )<5－m 有解， 即m <6x 2－x ＋1有解，则m <⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 2－x ＋1max，又x ∈[1,3]，得m <6，即m 的取值范围为(－∞，6)． 命题点3 给定参数范围的恒成立问题例7若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1,2]恒成立，求实数x 的取值范围．解 设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，解得1－32<x <1＋32，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.思维升华解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． 跟踪训练3函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，即－6≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图①，当g (x )的图象与x 轴不超过1个交点时， 有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图②，g (x )的图象与x 轴有2个交点， 但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x ＝－a2<－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a >4，a ≤73， 解得a ∈∅.③如图③，g (x )的图象与x 轴有2个交点， 但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x ＝－a2>2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2>2，7＋a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a <－4，a ≥－7.∴－7≤a <－6，综上，实数a 的取值范围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6. ∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |(x ＋1)(x －5)<0}，则A ∩B ＝________. 答案 [0,5)解析 由题意得B ＝{x |－1<x <5}， 故A ∩B ＝{x |x ≥0}∩{x |－1<x <5}＝[0,5)．2．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12 解析 ∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，∴ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1,2，且a <0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝0，4a ＋2b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，则所求不等式可化为2x 2＋x －1>0，解得x <－1或x >12.3．(2018·江苏省南京市秦淮中学模拟)不等式1－2xx ＋3≥1的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－3，－23解析 不等式1－2x x ＋3≥1⇔3x ＋2x ＋3≤0⇔(3x ＋2)(x ＋3)≤0且x ≠－3⇔－3<x ≤－23，即不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－3，－23. 4．若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值范围为________． 答案 (5，＋∞)解析 m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时f (x )min ＝5，∃x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.5．已知x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为________． 答案 {x |－2<x <3}解析 ∵x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13， ∴－12，13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧14－p 2＋q ＝0，19＋p 3＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16.∴不等式qx 2＋px ＋1>0可化为－16x 2＋16x ＋1>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3，∴不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}．6．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品售价每提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为________元．(填符合要求的区间) 答案 (12,16)解析 设售价定为每件x 元，利润为y ， 则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]， 依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件售价应定为12元到16元之间．7．不等式x 2－2ax －3a 2<0(a >0)的解集为________．答案 {x |－a <x <3a }解析 x 2－2ax －3a 2<0⇔(x －3a )(x ＋a )<0，∵a >0，∴－a <3a ，不等式的解集为{x |－a <x <3a }．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2＋2x ，x <0，则不等式f (f (x ))≤3的解集为________． 答案 {x |x ≤3} 解析 当x ＝0时，f (f (x ))＝f (0)＝0≤3， 当x >0时，f (f (x ))＝f (－x 2)＝(－x 2)2－2x 2≤3，即(x 2－3)(x 2＋1)≤0，解得0<x ≤3；当－2<x <0时，f (f (x ))＝f (x 2＋2x )＝(x 2＋2x )2＋2(x 2＋2x )≤3，即(x 2＋2x －1)(x 2＋2x ＋3)≤0，即－2<x <0；当x ≤－2时，f (f (x ))＝f (x 2＋2x )＝－(x 2＋2x )2≤3，解得x ≤－2.综上，不等式的解集为{x |x ≤3}．9．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为{x |m <x <m ＋6}，则实数c 的值为________．答案 9解析 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24， ∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22. ∵f (x )<c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c <x <－a 2＋c . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2－c ＝m ， ①－a 2＋c ＝m ＋6. ②②－①得，2c ＝6，∴c ＝9.10．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 [－5，＋∞)解析 由题意，分离参数后得，a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x .设f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，x ∈(0,1]，则只要a ≥[f (x )]max 即可．由于函数f (x )在区间(0,1]上单调递增，所以[f (x )]max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5.11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0，即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －3－a (6－a )＋6－b ＝0，－27＋3a (6－a )＋6－b ＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝3±3，b ＝－3.12．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围．解 (1)f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，即2x 2＋bx ＋c <0的解集是(0,5)，∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝0，50＋5b ＋c ＝0，∴b ＝－10，c ＝0，f (x )＝2x 2－10x .(2)当x ∈[－1,1]时，f (x )＋t ≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立，∴2x 2－10x ＋t －2在x ∈[－1,1]上的最大值小于或等于0.设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，x ∈[－1,1]，则由二次函数的图象(图略)可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数， ∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ，∴10＋t ≤0，即t ≤－10.即实数t 的取值范围是(－∞，－10]．13．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析 方法一设f (x )＝x 2＋ax －2，由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为f (0)＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，函数f (x )图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235.方法二 因为不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，所以a >2x－x 在区间[1,5]上有解， 因为函数y ＝2x和y ＝－x 在区间[1,5]上单调递减， 所以2x －x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1，所以a >－235. 14．(2018·苏北三市模拟)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,5]解析 设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，当Δ＝4(a －2)2－4a <0，即1<a <4时，f (x )>0对x ∈R 恒成立；当a ＝1时，f (－1)＝0，不合题意；当a ＝4时，f (2)＝0符合题意；当Δ>0时，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，1<a －2<5，f (1)≥0，f (5)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a <1或a >4，3<a <7，a ≤5，a ≤5， 即4<a ≤5. 综上所述，实数a 的取值范围是(1,5]．15．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值范围是_____． 答案 [－1,3] 解析 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }，当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或－1≤a <1，所以实数a 的取值范围是a ∈[－1,3]．16．设a <0，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，求b －a 的最大值． 解 当a <b <0时，∀x ∈(a ，b )，2x ＋b <0，所以(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，可转化为∀x ∈(a ，b )，a ≤－4x 2，所以a ≤－4a 2，所以－14≤a <0， 所以0<b －a <14； 当a <0<b 时，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，当x ＝0时，(4x 2＋a )(2x ＋b )＝ab <0，不符合题意；当a <0＝b 时，由题意知x ∈(a,0)，(4x 2＋a )2x ≥0恒成立，所以4x 2＋a ≤0，所以－14≤a <0， 所以0<b －a ≤14.1 4.综上所述，b－a的最大值为。

§7.6 直接证明与间接证明考情考向分析高考要求了解分析法、综合法、反证法，会用这些方法处理一些简单问题，高考一般不单独考查，会与其他知识综合在一起命题．1．直接证明(1)定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法．(2)一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒A ⇒B ⇒C ⇒…⇒本题结论． (3)综合法 ①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法．②推证过程 已知条件⇒…⇒…⇒结论 (4)分析法①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．②推证过程结论⇐…⇐…⇐已知条件2．间接证明(1)常用的间接证明方法有反证法、同一法等．(2)反证法的基本步骤①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真． ②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果． ③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．概念方法微思考1．直接证明中的综合法是演绎推理吗？提示是．用综合法证明时常省略大前提．2．综合法与分析法的推理过程有何区别？提示综合法是执因索果，分析法是执果索因，推理方式是互逆的．3．反证法是“要证原命题成立，只需证其逆否命题成立”的推理方法吗？提示不是．反证法是命题中“p 与綈p ”关系的应用．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(×)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(×)(3)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a <b ”．(×)(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(×)(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(√)(6)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．(√)题组二教材改编2．[P87习题T2]若P ＝a ＋6＋a ＋7，Q ＝a ＋8＋a ＋5(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是______．答案P >Q解析P 2＝2a ＋13＋2a2＋13a ＋42，Q 2＝2a ＋13＋2a2＋13a ＋40，∴P 2>Q 2，又∵P >0，Q >0，∴P >Q .3．[P87习题T7]设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，则a x ＋c y ＝________.答案2解析由题意，得x ＝a ＋b 2，y ＝b ＋c 2，b 2＝ac ， ∴xy ＝(a ＋b )(b ＋c )4， a x ＋c y ＝ay ＋cx xy ＝a ·b ＋c 2＋c ·a ＋b 2xy＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )2xy ＝ab ＋bc ＋2ac 2xy。

考试内容等级要求基本不等式C一元二次不等式C线性规划A合情推理与演绎推理B分析法与综合法A反证法A数学归纳法的原理A数学归纳法的简单应用B§7.1　不等关系与不等式考情考向分析　以理解不等式的性质为主，在高考中主要以填空题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合．属低档题．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法Error! (a，b∈R)(2)作商法Error! (a ∈R ，b >0)2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a >b ⇔b <a ⇔传递性a >b ，b >c ⇒a >c ⇒可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c ⇔同向可加性Error!⇒a ＋c >b ＋d ⇒Error!⇒ac >bc可乘性Error!⇒ac <bc注意c 的符号同向同正可乘性Error!⇒ac >bd ⇒可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n >1)a ，b 同为正数可开方性a >b >0⇒>(n ∈N ，且n a n b n >1)a ，b 同为正数概念方法微思考1．若a >b ，且a 与b 都不为0，则与的大小关系确定吗？1a 1b提示　不确定．若a >b ，ab >0，则<，即若a 与b 同号，则分子相同，分母大的反而小；1a 1b 若a >0>b ，则 >，即正数大于负数．1a 1b 2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示　可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．(　√　)(2)若>1，则a >b .(　×　)ab(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　×　)(4)a >b >0，c >d >0⇒>.(　√　)a d bc (5)ab >0，a >b ⇔<.(　√　)1a 1b 题组二　教材改编2．[P3练习T1]若a ，b 都是实数，则“－>0”是“a 2－b 2>0”的________条件．a b 答案　充分不必要解析　－>0⇒>⇒a >b ⇒a 2>b 2，a b a b 但由a 2－b 2>0≠－>0.a b 3．[P66练习T1]雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t 应满足的关系式是________．答案　4.5t <28 000解析　由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5 t <28 000.题组三　易错自纠4．若a >b >0，c <d <0，则下列一定正确的序号为________．①－>0；②－<0；③>；④<.a c b d a c b d a d b c a d b c 答案　④解析　∵c <d <0，∴0<－d <－c ，又0<b <a ，∴－bd <－ac ，即bd >ac ，又∵cd >0，∴>，即>.bd cd ac cd b c ad当a ＝5，c ＝－5，b ＝4，d ＝－4时，易知①②不正确．5．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案　充分不必要解析　若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”12的充分不必要条件．6．若－<α<β<，则α－β的取值范围是__________．π2π2答案　(－π，0)解析　由－<α<，－<－β<，α<β，π2π2π2π2得－π<α－β<0.题型一　比较两个数(式)的大小例1 (1)若a <0，b <0，则p ＝＋与q ＝a ＋b 的大小关系为________．b 2a a 2b 答案　p ≤q解析　(作差法)p －q ＝＋－a －bb 2a a 2b ＝＋＝(b 2－a 2)·b 2－a 2a a 2－b 2b (1a －1b)＝＝，(b 2－a 2)(b －a )ab (b －a )2(b ＋a )ab因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0.若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q .综上，p ≤q .(2)若P ＝－，Q ＝－(a >0)，则P ，Q 的大小关系是________．a ＋3a ＋2a ＋2a ＋1答案　P <Q解析　Q －P ＝(－)－(－)a ＋2a ＋1a ＋3a ＋2＝－>0，1a ＋2＋a ＋11a ＋3＋a ＋2所以P <Q .(3)若a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系为________．ln 33ln 44ln 55答案　c <b <a解析　方法一　易知a ，b ，c 都是正数，＝＝log 8164<1，b a 3ln 44ln 3所以a >b ；＝＝log 6251 024>1，b c 5ln 44ln 5所以b >c .即c <b <a .方法二　对于函数y ＝f (x )＝，y ′＝，ln x x 1－ln xx 2易知当x >e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .(4)已知a >b >0，比较a a b b 与a b b a 的大小．解　∵＝＝a －b ，a ab b a b b a a a －b b a －b (a b )又a >b >0，故>1，a －b >0，ab ∴a －b >1，即>1，(a b)a ab ba b b a又a b b a >0，∴a a b b >a b b a ，∴a a b b 与a b b a 的大小关系为a a b b >a b b a .思维升华 比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法．跟踪训练1 (1)已知p ∈R ，M ＝(2p ＋1)(p －3)，N ＝(p －6)(p ＋3)＋10，则M ，N 的大小关系为________．答案　M >N解析　因为M －N ＝(2p ＋1)(p －3)－[(p －6)(p ＋3)＋10]＝p 2－2p ＋5＝(p －1)2＋4>0，所以M >N .(2)若a >0，且a ≠7，则77a a 和7a a 7的大小关系为________．答案　77a a >7a a 7解析　＝77－a a a －7＝7－a ，77a a 7a a 7(7a)则当a >7时，0<<1,7－a <0，7a 则7－a >1，∴77a a >7a a 7；(7a)当0<a <7时，>1,7－a >0，7a则7－a >1，∴77a a >7a a 7.(7a)综上，77a a >7a a 7.题型二　不等式的性质1．若<<0，则下列不等式：1a 1b①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有________．(填序号)答案　①④解析　因为<<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，1a 1b 所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.2．已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列不等式中一定成立的是________．(填序号)①ab >ac ；②c (b －a )<0；③cb 2<ab 2；④ac (a －c )>0.答案　①解析　由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0.由b >c ，得ab >ac 一定成立．3．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①>；②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )．c a cb 其中所有正确结论的序号是________．答案　①②③解析　由不等式性质及a >b >1，知<，1a 1b 又c <0，∴>，①正确；c a cb构造函数y＝x c，∵c<0，∴y＝x c在(0，＋∞)上是单调递减的，又a>b>1，∴a c<b c，②正确；∵a>b>1，c<0，∴a－c>b－c>1，∴log b(a－c)>log a(a－c)>log a(b－c)，③正确．思维升华常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．题型三　不等式性质的应用命题点1　应用性质判断不等式是否成立例2 已知a>b>0，给出下列四个不等式：a－b a b①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式为________．(填序号)答案　①②③解析　由a>b>0可得a2>b2，①成立；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；a b∵a>b>0，∴>，a－b a b∴()2－(－)2ab b a b＝2－2b＝2(－)>0，a－b a b∴>－，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立．命题点2　求代数式的取值范围例3 已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．答案　(－4,2)　(1,18)解析　∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.引申探究1．若将本例条件改为－1<x <y <3，求x －y 的取值范围．解　∵－1<x <3，－1<y <3，∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4.又∵x <y ，∴x －y <0，∴－4<x －y <0，故x －y 的取值范围为(－4,0)．2．若将本例条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围．解　设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则Error!∴Error!即3x ＋2y ＝(x ＋y )＋(x －y )，5212又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－<(x ＋y )<10,1<(x －y )<，52521232∴－<(x ＋y )＋(x －y )<，325212232即－<3x ＋2y <，32232∴3x ＋2y 的取值范围为.(－32，232)思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法①逐一给出推理判断或反例说明．②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．(2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练2 (1)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是________．(填序号)①>； ②a 2<ab ；1a －b 1b③<； ④a n >b n (n ∈N *)．|b ||a ||b |＋1|a |＋1答案　③解析　(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知①②④项均不正确；③项，<⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，|b ||a ||b |＋1|a |＋1∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故填③.(2)设a >b >c >0，x ＝，y ＝，z ＝，则x ，y ，z 的大小关a 2＋(b ＋c )2b 2＋(c ＋a )2c 2＋(a ＋b )2系是________．(用“>”连接)答案　z >y >x解析　方法一　由题易知，x >0，y >0，z >0，又y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二　令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝，y ＝，1820z ＝，故z >y >x .261．下列命题中，正确的序号是________．①若a >b ，c >d ，则ac >bd ；②若ac >bc ，则a >b ；③若<，则a <b ；a c 2b c2④若a >b ，c >d ，则a －c >b －d .答案　③解析　①取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知①错误；②当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，所以②错误；③因为<，所以c ≠0，a c 2b c2又c 2>0，所以a <b ，③正确；④取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知④错误，故填③.2．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是________．答案　f (x )>g (x )解析　f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，则f (x )>g (x )．3．对于0<a <1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )<log a ；(1＋1a )②log a (1＋a )>log a ；(1＋1a)③a 1＋a < ；11a a +④a 1＋a >.11a a +其中正确的不等式是________．(填序号)答案　②④解析　当0<a <1时，函数y ＝log a x 与y ＝a x 均为(0，＋∞)上的减函数．∵0<a <1，∴1＋a <1＋，∴②④正确．1a4．若6<a <10，≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是________．a 2答案　(9,30)解析　∵c ＝a ＋b ≤3a 且c ＝a ＋b ≥，3a 2∴9<≤a ＋b ≤3a <30.3a 25．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s ，t 的大小关系为________．答案　t ≤s解析　s －t ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t .6．若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是________．π2π2答案　(－3π2，π2)解析 ∵－<α<，∴－π<2α<π.π2π2∵－<β<，∴－<－β<，π2π2π2π2∴－<2α－β<.3π23π2又α－β<0，α<，∴2α－β<.π2π2∴－<2α－β<.3π2π27．已知a ＋b >0，则＋与＋的大小关系是________．a b 2b a 21a 1b答案　＋≥＋a b 2b a 21a 1b解析　＋－＝＋a b 2b a 2(1a ＋1b )a －b b 2b －a a 2＝(a －b )·＝.(1b 2－1a 2)(a ＋b )(a －b )2a 2b 2∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴≥0.(a ＋b )(a －b )2a 2b 2∴＋≥＋.a b 2b a 21a 1b8．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②>；③a 2>b 2，其中能成为a >b 的充分条件的是________．a c b c答案　①解析　由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a <b ；③当a <0，b <0时，a <b ，故②③不是a >b 的充分条件．9．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则－>0；c a d b②若ab >0，－>0，则bc －ad >0；c a d b③若bc －ad >0，－>0，则ab >0.c a d b其中正确的命题是________．(填序号)答案　①②③解析　∵ab >0，bc －ad >0，∴－＝>0，∴①正确；c a d b bc －ad ab∵ab >0，又－>0，即>0，c a d b bc －ad ab∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又－>0，即>0，c a d b bc －ad ab∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．10．设α∈，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________．(0，12)答案　T 1<T 2解析　T 1－T 2＝(cos 1cos α－sin 1sin α)－(cos 1cos α＋sin 1sin α)＝－2sin 1sin α<0.故T 1<T 2.11．(1)若bc －ad ≥0，bd >0，求证：≤；a ＋b b c ＋d d(2)已知c >a >b >0，求证：>.a c －a b c －b证明　(1)∵bc ≥ad ，bd >0，∴≥，c d a b∴＋1≥＋1，∴≤.c d a b a ＋b b c ＋d d(2)∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.Error!⇒<c a c b⇒Error!⇒>.a c －a b c －b12．已知1<a <4,2<b <8，试求a －b 与的取值范围．a b解　因为1<a <4,2<b <8，所以－8<－b <－2.所以1－8<a －b <4－2，即－7<a －b <2.又因为<<，所以<<＝2，181b 1218a b 42即<<2.18a b13．设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y <4＋xy ，则x ，y 的取值范围是________．答案　0<x <2且0<y <2解析　由题意得Error!则Error!由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，得Error!或Error!又xy <4，可得Error!14．(2018·江苏无锡天一中学质检)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f ()，q ＝f，r ＝[f (a )＋ab (a ＋b 2)12f (b )]，则下列关系式中正确的是________．(填序号)①q ＝r <p ；②p ＝r <q ；③q ＝r >p ；④p ＝r >q .答案　②解析　由于b >a >0，所以>>0，a ＋b 2ab 所以ln >ln ，则q >p .a ＋b 2ab 而p ＝ln ＝(ln a ＋ln b )＝r ，故②正确．ab 1215．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是________．(填序号)①a ln b >b ln a ；②a ln b <b ln a ；③a e b <b e a ；④a e b >b e a .答案　②④解析　令y ＝，0<x <1.则y ′＝，可见函数y ＝在(0,1)上单调递增．所以<，②ln x x 1－ln x x 2ln x x ln b b ln a a 正确．令f (x )＝，0<x <1，则f ′(x )＝＝<0，所以函数f (x )＝在(0,1)上单调递e x x x e x －e x x 2(x －1)e x x 2e x x 减，又因为0<b <a <1，所以f (a )<f (b )，即<，所以a e b >b e a ，故②④正确．e a a e b b16．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c <2a ，求的取值范围．c a解　由已知及三角形三边关系得Error!∴Error!∴Error!两式相加，得0<2×<3，∴的取值范围为.c a c a (0，32)。

§7.2　一元二次不等式及其解法考情考向分析　以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．在高考中常以填空题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高．一元二次不等式的解集判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a >0)的图象方程ax 2＋bx ＋c=0(a >0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a 没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1或x >x 2}Error!{x |x ∈R }ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅∅概念方法微思考1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示　ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？提示　显然a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是Error!ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是Error!题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　√　)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　√　)(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　×　)(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　√　)题组二　教材改编2．[P67例1(2)]不等式－x2－2x＋3>0的解集为________________．答案　{x|－3<x<1}解析　原不等式可化为x2＋2x－3<0，得－3<x<1.(－12，13)3．[P71习题T6]若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b＝________.答案　－14解析　∵x 1＝－，x 2＝是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，1213∴Error!解得Error!∴a ＋b ＝－14.题组三　易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)答案　(－4,1)解析　由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0，得－4<x <1.5．函数y ＝ 的定义域为________．1－x x ＋2答案　(－2,1]解析　由≥0⇒－2<x ≤1，1－x x ＋2得函数的定义域为(－2,1]．6．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案　(－2,2]解析　设方程(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＝0，当a ≠2时，由题意得，Error!∴－2<a <2；当a ＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立，∴－2<a ≤2.题型一　一元二次不等式的求解命题点1　不含参的不等式例1 已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B ＝________.答案　(0,2)解析　由题意得A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{y |y ＝2x }＝{y |y >0}，∴A ∩B ＝{x |0<x <2}＝(0,2)．命题点2　含参不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)．解　原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以(x －1)<0.(x －1a )所以当a >1时，解为<x <1；1a当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解为1<x <.1a综上，当0<a <1时，不等式的解集为Error!；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为Error!.命题点3　分式不等式例3 已知关于x 的不等式<1.(a ＋1)x －3x －1(1)当a ＝1时，解该不等式；(2)当a 为任意实数时，解该不等式．解　(1)当a ＝1时，不等式化为<1，2x －3x －1可得<0，∴1<x <2，x －2x －1∴不等式的解集为{x |1<x <2}．(2)原不等式可化为<0，ax －2x －1可化为(ax －2)(x －1)<0，当a ＝0时，x >1.当a <0时，(x －1)>0，(x －2a )∴x >1或x <.2a当a >0时，(x －1)<0，(x －2a)若>1，即0<a <2时，可得1<x <，2a 2a若＝1，即a ＝2时，x ∈∅，2a若0<<1，即a >2时，<x <1.2a 2a综上，当a <0时，原不等式的解集为Error!，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}，当0<a <2时，原不等式的解集为Error!，当a ＝2时，原不等式的解集为∅，当a >2时，原不等式的解集为Error!.思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论：①根据二次项系数为正、负及零进行分类．②根据判别式Δ判断根的个数．③有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1 解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )．解　原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－，x 2＝.a 4a 3当a >0时，不等式的解集为∪；(－∞，－a 4)(a 3，＋∞)当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为∪.(－∞，a 3)(－a 4，＋∞)题型二　三个“二次”的关系例4 (1)已知函数f (x )＝2x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<m 的解集为(n ，n ＋10)，求实数m 的值．解　由已知可得Δ＝b 2－8c ＝0，∴c ＝，b 28由不等式2x 2＋bx ＋－m <0的解集为(n ，n ＋10)，b 28可得方程2x 2＋bx ＋－m ＝0的两根为n ，n ＋10，b 28∴10＝ ＝，b 24－b 24＋2m 2m ∴m ＝50.(2)已知方程x 2＋ax ＋2＝0的两根都小于－1，求实数a 的取值范围．解　设f(x)＝x2＋ax＋2，2由题意可得Error!解得2<a<3，2∴实数a的取值范围是(2，3)．思维升华一元二次不等式ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2即为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点，也是一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或ax2＋bx＋c<0)的解集的两个端点．跟踪训练2 若α，β是方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的两个根，且α<2<β，求实数m的取值范围．解　设f(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，∵α，β是方程f(x)＝0的根，且α<2<β，∴f(2)<0，∴4＋2(2m－1)＋4－2m<0，∴m<－3，故实数m的取值范围是(－∞，－3)．题型三　一元二次不等式恒成立问题命题点1　在R上的恒成立问题例5 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．解　当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立．当m≠0时，则Error!即－4<m<0.综上，－4<m≤0，故m的取值范围是(－4,0]．命题点2　在给定区间上的恒成立问题例6 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．解　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即m 2＋m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．(x －12)34有以下两种方法：方法一　令g (x )＝m 2＋m －6，x ∈[1,3]．(x －12)34当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <，所以0<m <；6767当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是Error!.方法二　因为x 2－x ＋1＝2＋>0，(x －12)34又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <.6x 2－x ＋1因为函数y ＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m <即可．6x 2－x ＋16(x －12)2＋346767所以m 的取值范围是Error!.引申探究1．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“f (x )<5－m 无解”，如何求m 的取值范围？解　若f (x )<5－m 无解，即f (x )≥5－m 恒成立，即m ≥恒成立，又x ∈[1,3]，6x 2－x ＋1得m ≥6，即m 的取值范围为[6，＋∞)．2．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“存在x ，使f (x )<5－m 成立”，如何求m 的取值范围．解　由题意知f (x )<5－m 有解，即m <有解，则m <max ，6x 2－x ＋1(6x 2－x ＋1)又x ∈[1,3]，得m <6，即m 的取值范围为(－∞，6)．命题点3　给定参数范围的恒成立问题例7 若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1,2]恒成立，求实数x 的取值范围．解　设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则Error!即Error!解得<x <，1－321＋32故x 的取值范围为.(1－32，1＋32)思维升华 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．跟踪训练3 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围．解　(1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，即－6≤a ≤2，∴实数a 的取值范围是[－6,2]．(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图①，当g(x)的图象与x轴不超过1个交点时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.②如图②，g(x)的图象与x轴有2个交点，但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，即Error!　即Error!可得Error!　解得a∈∅.③如图③，g(x)的图象与x轴有2个交点，但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.即Error!　即Error!可得Error!　∴－7≤a<－6，综上，实数a的取值范围是[－7,2]．(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．只需Error!即Error!66解得x≤－3－或x≥－3＋.∴实数x的取值范围是66(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |(x ＋1)(x －5)<0}，则A ∩B ＝________.答案　[0,5)解析　由题意得B ＝{x |－1<x <5}，故A ∩B ＝{x |x ≥0}∩{x |－1<x <5}＝[0,5)．2．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为________．答案　Error!解析　∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，∴ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1,2，且a <0，即Error!解得Error!则所求不等式可化为2x 2＋x －1>0，解得x <－1或x >.123．(2018·江苏省南京市秦淮中学模拟)不等式≥1的解集为________．1－2x x ＋3答案　(－3，－23]解析　不等式≥1⇔≤0⇔(3x ＋2)(x ＋3)≤0且x ≠－3⇔－3<x ≤－，即不等式的1－2x x ＋33x ＋2x ＋323解集为.(－3，－23]4．若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值范围为________．答案　(5，＋∞)解析　m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时f (x )min ＝5，∃x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.5．已知x 2＋px ＋q <0的解集为Error!，则不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为________．解析　∵x 2＋px ＋q <0的解集为Error!，∴－，是方程x 2＋px ＋q ＝0的两实数根，1213则Error!解得Error!∴不等式qx 2＋px ＋1>0可化为－x 2＋x ＋1>0，1616即x 2－x －6<0，解得－2<x <3，∴不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}．6．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品售价每提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为________元．(填符合要求的区间)答案　(12,16)解析　设售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件售价应定为12元到16元之间．7．不等式x 2－2ax －3a 2<0(a >0)的解集为________．答案　{x |－a <x <3a }解析　x 2－2ax －3a 2<0⇔(x －3a )(x ＋a )<0，∵a >0，∴－a <3a ，不等式的解集为{x |－a <x <3a }．8．已知函数f (x )＝Error!则不等式f (f (x ))≤3的解集为________．解析　当x ＝0时，f (f (x ))＝f (0)＝0≤3，当x >0时，f (f (x ))＝f (－x 2)＝(－x 2)2－2x 2≤3，即(x 2－3)(x 2＋1)≤0，解得0<x ≤；3当－2<x <0时，f (f (x ))＝f (x 2＋2x )＝(x 2＋2x )2＋2(x 2＋2x )≤3，即(x 2＋2x －1)(x 2＋2x ＋3)≤0，即－2<x <0；当x ≤－2时，f (f (x ))＝f (x 2＋2x )＝－(x 2＋2x )2≤3，解得x ≤－2.综上，不等式的解集为{x |x ≤}．39．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为{x |m <x <m ＋6}，则实数c 的值为________．答案　9解析　由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b＝2＋b －.(x ＋a 2)a 24∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －＝0，即b ＝，a 24a 24∴f (x )＝2.(x ＋a 2)∵f (x )<c ，∴2<c ，即－－<x <－＋.(x ＋a 2)a 2c a 2c ∴Error!②－①得，2＝6，∴c ＝9.c 10．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围为________．答案　[－5，＋∞)(x＋4x)解析　由题意，分离参数后得，a≥－.(x＋4x)设f(x)＝－，x∈(0,1]，则只要a≥[f(x)]max即可．由于函数f(x)在区间(0,1]上单调递增，所以[f(x)]max＝f(1)＝－5，故a≥－5.11．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．解　(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，33即a2－6a－3<0，解得3－2<a<3＋2.33∴原不等式的解集为{a|3－2<a<3＋2}．(2)∵f(x)>b的解集为(－1,3)，∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，∴Error!解得Error!12．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．(1)求f(x)的解析式；(2)若对于任意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．解　(1)f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，即2x2＋bx＋c<0的解集是(0,5)，∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则Error!∴b ＝－10，c ＝0，f (x )＝2x 2－10x .(2)当x ∈[－1,1]时，f (x )＋t ≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立，∴2x 2－10x ＋t －2在x ∈[－1,1]上的最大值小于或等于0.设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，x ∈[－1,1]，则由二次函数的图象(图略)可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数，∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ，∴10＋t ≤0，即t ≤－10.即实数t 的取值范围是(－∞，－10]．13．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________．答案　(－235，＋∞)解析　方法一　设f (x )＝x 2＋ax －2，由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为f (0)＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，函数f (x )图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－.235方法二　因为不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，所以a >－x 在区间[1,5]上有解，2x因为函数y ＝和y ＝－x 在区间[1,5]上单调递减，2x所以－x ∈，所以a >－.2x [－235，1]23514．(2018·苏北三市模拟)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．答案　(1,5]解析　设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，当Δ＝4(a －2)2－4a <0，即1<a <4 时，f (x )>0 对x ∈R 恒成立；当a ＝1时，f (－1)＝0，不合题意；当a ＝4时，f (2)＝0 符合题意；当Δ>0 时，由Error!即Error!即4<a ≤5.综上所述，实数a 的取值范围是(1,5]．15．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值范围是_____．答案　[－1,3]解析 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }，当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或－1≤a <1，所以实数a 的取值范围是a ∈[－1,3]．16．设a <0，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，求b －a 的最大值．解　当a <b <0时，∀x ∈(a ，b )，2x ＋b <0，所以(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，可转化为∀x ∈(a ，b )，a ≤－4x 2，所以a ≤－4a 2，所以－≤a <0，14所以0<b －a <；14当a <0<b 时，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，当x ＝0时，(4x 2＋a )(2x ＋b )＝ab <0，不符合题意；当a <0＝b 时，由题意知x ∈(a,0)，(4x 2＋a )2x ≥0恒成立，所以4x 2＋a ≤0，所以－≤a <0，14所以0<b －a ≤.14综上所述，b －a 的最大值为.14。

江苏专用高考数学大一轮复习第七章不等式推理与证明数学归纳法7.7数学归纳法教案含解析§7.7数学归纳法考情考向分析高考要求理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题，以附加题形式在高考中出现，难度为中高档．1．由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下：(1)归纳奠基：证明取第一个自然数n0时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立；(3)由(1)(2)得出结论．概念方法微思考1．用数学归纳法证明命题时，n取第1个值n0，是否n0就是1?提示n0是对命题成立的第1个正整数，不一定是1.如证明n边形的内角和时，n≥3. 2．用数学归纳法证明命题时，归纳假设不用可以吗？提示不可以，用数学归纳法证明命题，必须用到归纳假设．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( ×)(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( ×)(3)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( √ )(4)用数学归纳法证明凸n 边形的内角和公式时，n 0＝3.( √ )题组二 教材改编2．[P94习题T7]用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证_____．答案 1＋12＋13<2解析 ∵n ∈N *，n >1，∴n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13.3．[P103T13]在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为________． 答案 a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)解析 当n ＝2时，13＋a 2＝2×3×a 2，∴a 2＝13×5； 当n ＝3时，13＋115＋a 3＝3×5×a 3，∴a 3＝15×7； 当n ＝4时，13＋115＋135＋a 4＝4×7×a 4，∴a 4＝17×9； 故猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).4．[P105T13]已知a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 2，a 3，a 4，a 5的值分别为________．由此猜想a n＝________.答案 37，38，13，310 3n ＋5解析 a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1212＋3＝37＝32＋5，同理a 3＝3a 2a 2＋3＝38＝33＋5，a 4＝39＝34＋5，a 5＝310＝35＋5，又a 1＝31＋5＝12，符合以上规律． 故猜想a n ＝3n ＋5. 题组三 易错自纠5．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，等式左边的项是________． 答案 1＋a ＋a 2解析 当n ＝1时，n ＋1＝2， ∴左边＝1＋a 1＋a 2＝1＋a ＋a 2.6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋ (2)＝2n －1＋22n －1(n ∈N *)时，假设当n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是__________． 答案 2k解析 运用数学归纳法证明 1＋2＋3＋ (2)＝2n －1＋22n －1(n ∈N *)．当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋ (2)＝2k －1＋22k －1(k ∈N *)，左边表示的为2k项的和．当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k ＋1项的和，增加了2k ＋1－2k ＝2k项．题型一 用数学归纳法证明等式1．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n 4(n ＋1)(n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，左边＝12×1×(2×1＋2)＝18，右边＝14×(1＋1)＝18，左边＝右边，所以等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时等式成立，即有 12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＝k 4(k ＋1)， 则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋12(k ＋1)[2(k ＋1)＋2]＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14(k ＋2)＝k ＋14(k ＋1＋1). 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由①②可知，对于一切n ∈N *等式都成立．2．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，等式左边＝1－12＝12＝右边，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么，当n ＝k ＋1时，有1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2， 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由①②知，等式对任何n ∈N *均成立． 思维升华用数学归纳法证明等式时应注意： (1)明确初始值n 0的取值；(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，明确变形目标； (3)变形时常用的几种方法：①因式分解；②添拆项；③配方法． 题型二 证明不等式例1若函数f (x )＝x 2－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))(n ∈N *)的直线PQ n 与x 轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤x n <x n ＋1<3. 证明 ①当n ＝1时，x 1＝2，f (x 1)＝－3，Q 1(2，－3)． 所以直线PQ 1的方程为y ＝4x －11， 令y ＝0，得x 2＝114，因此2≤x 1<x 2<3，即n ＝1时结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立， 即2≤x k <x k ＋1<3.当n ＝k ＋1时，直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f (x k ＋1)－5x k ＋1－4·(x －4)．又f (x k ＋1)＝x 2k ＋1－2x k ＋1－3，代入上式，令y ＝0，得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1，由归纳假设，2<x k ＋1<3，x k ＋2＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3；x k ＋2－x k ＋1＝(3－x k ＋1)(1＋x k ＋1)2＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2， 所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3， 即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3. 思维升华数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则应考虑用数学归纳法．(2)关键：由n ＝k 时命题成立证n ＝k ＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．跟踪训练1用数学归纳法证明不等式：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2>1(n ∈N *且n >1)．证明 ①当n ＝2时，12＋13＋14＝1312>1成立．②设n ＝k (k ∈N *，k >1)时，1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2>1成立．由于当k >1时，k 2－k －1>0，即k (2k ＋1)>k 2＋2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1k 2＋2k ＋1－1k >1＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1k 2＋2k ＋1－1k>1＋1k (2k ＋1)＋1k (2k ＋1)＋…＋1k (2k ＋1)－1k＝1＋2k ＋1k (2k ＋1)－1k＝1.综合①②可知，原不等式对n ∈N *且n >1恒成立．题型三 数学归纳法的综合应用命题点1 整除问题例2(2018·苏北四市期中)设n ∈N *，f (n )＝3n ＋7n－2. (1)求f (1)，f (2)，f (3)的值；(2)求证：对任意的正整数n ，f (n )是8的倍数． (1)解 ∵n ∈N *，f (n )＝3n ＋7n－2， ∴f (1)＝3＋7－2＝8，f (2)＝32＋72－2＝56， f (3)＝33＋73－2＝368.(2)证明 用数学归纳法证明如下： ①当n ＝1时，f (1)＝3＋7－2＝8，成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时成立，即f (k )＝3k ＋7k－2能被8整除， 则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝3k ＋1＋7k ＋1－2＝3×3k＋7×7k－2 ＝3(3k＋7k－2)＋4×7k＋4 ＝3(3k＋7k－2)＋4(7k＋1)，∵3k＋7k－2能被8整除，7k＋1是偶数， ∴3(3k＋7k－2)＋4(7k＋1)一定能被8整除， 即n ＝k ＋1时也成立．由①②得对任意正整数n ，f (n )是8的倍数． 命题点2 和二项式系数有关的问题例3(2018·江苏扬州中学期中)已知F n (x )＝∑k ＝0n[(－1)k·C kn f k (x )](n ∈N *)．(1)若f k (x )＝x k，求F 2015(2)的值； (2)若f k (x )＝xx ＋k (x ∉{0，－1，…，－n })，求证：F n (x )＝n ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ). (1)解 F n (x )＝∑k ＝0n[(－1)k C kn f k(x )]＝∑k ＝0n[(－x )k C kn ]＝∑k ＝0n[C kn (－x )k·1n －k]＝(1－x )n，∴F 2015(2)＝－1.(2)证明 ①当n ＝1时，左边＝1－xx ＋1＝1x ＋1＝右边． ②设n ＝m (m ∈N *)时，对一切实数x (x ≠0，－1，…，－m )，有k ＝0m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－1)k C kmx x ＋k ＝m ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m )， 那么，当n ＝m ＋1时，对一切实数x (x ≠0，－1，…，－(m ＋1))， 有k ＝0m ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－1)k C km ＋1x x ＋k ＝1＋k ＝1m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－1)k(C km ＋C k －1m )x x ＋k ＋(－1)m ＋1x x ＋m ＋1＝k ＝0m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－1)k C km x x ＋k ＋k ＝1m ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－1)k C k －1m xx ＋k＝k ＝0m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－1)k C kmx x ＋k －k ＝0m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－1)k C k m x ＋1x ＋1＋k ·x x ＋1 ＝m ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m )－m ！(x ＋2)(x ＋3)…(x ＋1＋m )·xx ＋1＝m ！[(x ＋m ＋1)－x ](x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m )(x ＋m ＋1)＝(m ＋1)！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m ＋1)，即n ＝m ＋1时，等式成立．故对一切正整数n 及一切实数x (x ≠0，－1，…，－n )，有k ＝0n⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－1)k C k n x x ＋k ＝n ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ). 命题点3 和数列集合等有关的交汇问题例4 设集合M ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *，n ≥3)，记M 的含有三个元素的子集个数为S n ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n . (1)分别求T 3S 3，T 4S 4，T 5S 5，T 6S 6的值；(2)猜想T n S n关于n 的表达式，并加以证明．解 (1)当n ＝3时，M ＝{1,2,3}，S 3＝1，T 3＝2，T 3S 3＝2；当n ＝4时，M ＝{1,2,3,4}，S 4＝4，T 4＝2＋2＋3＋3＝10，T 4S 4＝52，T 5S 5＝3，T 6S 6＝72.(2)猜想T n S n ＝n ＋12.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝3时，由(1)知猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，猜想成立，即T k S k ＝k ＋12，而S k ＝C 3k ，所以T k ＝k ＋12C 3k .则当n ＝k ＋1时，易知S k ＋1＝C 3k ＋1，而当集合M 从{1,2,3，…，k }变为{1,2,3，…，k ，k ＋1}时，T k ＋1在T k 的基础上增加了1个2,2个3,3个4，…，(k －1)个k ，所以T k ＋1＝T k ＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k (k －1) ＝k ＋12C 3k ＋2(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ) ＝k ＋12C 3k ＋2(C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ) ＝k －22C 3k ＋1＋2C 3k ＋1＝k ＋22C 3k ＋1＝(k ＋1)＋12S k ＋1， 即T k ＋1S k ＋1＝(k ＋1)＋12. 所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 综上所述，猜想成立．思维升华利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．跟踪训练2(1)求证：对一切正整数n,42n ＋1＋3n ＋2都能被13整除．证明 ①当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时， 42(k ＋1)＋1＋3k ＋3＝42k ＋1·42＋3k ＋2·3－42k ＋1·3＋42k ＋1·3＝42k ＋1·13＋3·(42k ＋1＋3k ＋2)，∵42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，∴当n ＝k ＋1时也成立， 由①②可知，当n ∈N *时，42n ＋1＋3n ＋2能被13整除．(2)已知数列{a n }的各项都是正数，且满足：a 0＝1，a n ＋1＝12·a n ·(4－a n )，n ∈N .①求a 1，a 2；②证明：a n <a n ＋1<2，n ∈N .①解 a 0＝1，a 1＝12a 0·(4－a 0)＝32，a 2＝12·a 1(4－a 1)＝158.②证明 用数学归纳法证明： (ⅰ)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝32，∴a 0<a 1<2，命题成立．(ⅱ)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时有a k －1<a k <2. 则n ＝k ＋1时，a k －a k ＋1＝12a k －1(4－a k －1)－12a k (4－a k )＝2(a k －1－a k )－12(a k －1－a k )(a k －1＋a k )＝12(a k －1－a k )·(4－a k －1－a k )． 而a k －1－a k <0,4－a k －1－a k >0， ∴a k －a k ＋1<0，即a k <a k ＋1.又a k ＋1＝12a k (4－a k )＝12[4－(a k －2)2]<2.∴n ＝k ＋1时命题成立．由(ⅰ)(ⅱ)知，对一切n ∈N 都有a n <a n ＋1<2.1．(2019·江苏省扬州市仪征中学考试)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1＋a n1＋a n(n ∈N *)．用数学归纳法证明：a n <a n ＋1(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，a 2＝1＋a 11＋a 1＝32，a 1<a 2，所以当n ＝1时，不等式成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k <a k ＋1成立， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋2－a k ＋1＝1＋a k ＋11＋a k ＋1－a k ＋1＝1＋a k ＋11＋a k ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a k 1＋a k＝11＋a k －11＋a k ＋1＝a k ＋1－a k(1＋a k )(1＋a k ＋1)>0， 所以，当n ＝k ＋1时，不等式成立． 综上所述，不等式a n <a n ＋1(n ∈N *)成立． 2．用数学归纳法证明an ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除(n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，左边＝a 2＋(a ＋1)1＝a 2＋a ＋1，可被a 2＋a ＋1整除； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，ak ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＋1＋(a ＋1)2(k ＋1)－1＝ak ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1＝a ·a k ＋1＋a (a ＋1)2k －1＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1＝a [ak ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1，由假设可知a [ak ＋1＋(a ＋1)2k －1]能被a 2＋a ＋1整除，又(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1也能被a 2＋a ＋1整除，所以ak ＋2＋(a ＋1)2k ＋1能被a 2＋a ＋1整除，即n ＝k ＋1时，命题也成立． 由①②知，对一切n ∈N *命题都成立．3．(2018·江苏省常州市田家炳高级中学考试)已知正项数列{a n }中，a 1＝2－1且1a n ＋1－a n ＋1＝1a n＋a n ，n ∈N *.(1)分别计算出a 2，a 3，a 4的值，然后猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想．(1)解 令n ＝1，得1a 2－a 2＝1a 1＋a 1＝22，化简得(a 2＋2)2＝3，解得a 2＝3－2或a 2＝－3－ 2.∵a2>0，∴a2＝3－ 2.令n＝2，得1a3－a3＝1a2＋a2＝23，化简得(a3＋3)2＝4，解得a3＝2－3或a3＝－2－ 3. ∵a3>0，∴a3＝2－ 3.令n＝3，得1a4－a4＝1a3＋a3＝4，化简得(a4＋2)2＝5，解得a4＝5－2或a4＝－5－2.∵a4>0，∴a4＝5－2.猜想a n＝n＋1－n. (*)(2)证明①当n＝1时，a1＝2－1＝2－1，(*)式成立；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，(*)式成立，即a k＝k＋1－k，那么当n＝k＋1时，1a k＋1－a k＋1＝1a k＋a k＝k＋1＋k＋k＋1－k＝2k＋1.化简得(a k＋1＋k＋1)2＝k＋2，∵a k＋1>0，∴a k＋1＝k＋2－k＋1，∴当n＝k＋1时，(*)式也成立．综上，由①②得当n∈N*时，a n＝n＋1－n.4．设a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋2＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．解(1)方法一a2＝2，a3＝2＋1.再由题设条件知(a n＋1－1)2－(a n－1)2＝1.从而{(a n－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，故(a n－1)2＝n－1，即a n＝n－1＋1(n∈N*)．方法二a2＝2，a3＝2＋1.可写为a1＝1－1＋1，a2＝2－1＋1，a3＝3－1＋1.因此猜想a n＝n－1＋1.下面用数学归纳法证明上式：当n ＝1时，结论显然成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立， 即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝(a k －1)2＋1＋1＝(k －1)＋1＋1 ＝(k ＋1)－1＋1.所以当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)方法一 设f (x )＝(x －1)2＋1－1， 则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝(c －1)2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明加强命题：a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1， 所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立， 即a 2k <c <a 2k ＋1<1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2. 再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1. 因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1. 即当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.方法二 设f (x )＝(x －1)2＋1－1， 则a n ＋1＝f (a n )． 先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ①当n ＝1时，结论显然成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1，即0≤a k ＋1<1. 即当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立．再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)．②当n ＝1时，a 2＝f (a 1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1， 有a 2<a 3，即n ＝1时②成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.即当n ＝k ＋1时②成立， 所以②对一切n ∈N *成立． 由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1， 即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14.③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数， 得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2， 所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1. 解得a 2n ＋1>14.④综上，由②③④知存在c ＝14使得a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．5．已知函数f 0(x )＝x (sin x ＋cos x )，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *. (1)求f 1(x )，f 2(x )的表达式；(2)写出f n (x )的表达式，并用数学归纳法证明． 解 (1)因为f n (x )为f n －1(x )的导数，所以f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x ＋cos x )＋x (cos x －sin x ) ＝(x ＋1)cos x ＋(x －1)(－sin x )， 同理，f 2(x )＝－(x ＋2)sin x －(x －2)cos x .(2)由(1)得f 3(x )＝f 2′(x )＝－(x ＋3)cos x ＋(x －3)sin x ， 把f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )分别改写为f 1(x )＝(x ＋1)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋(x －1)·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，f 2(x )＝(x ＋2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π2＋(x －2)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π2， f 3(x )＝(x ＋3)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π2＋(x －3)·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π2， 猜测f n (x )＝(x ＋n )sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2＋(x －n )·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2.(*)下面用数学归纳法证明上述等式． ①当n ＝1时，由(1)知，等式(*)成立； ②假设当n ＝k 时，等式(*)成立， 即f k (x )＝(x ＋k )sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋(x －k )cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2. 则当n ＝k ＋1时，f k ＋1(x )＝f k ′(x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋(x ＋k )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋(x －k )⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2 ＝(x ＋k ＋1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋[x －(k ＋1)]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2 ＝[x ＋(k ＋1)]sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k ＋12π＋[x －(k ＋1)]· cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k ＋12π， 即当n ＝k ＋1时，等式(*)成立．综上所述，当n ∈N *时，f n (x )＝(x ＋n )·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2＋(x －n )cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2成立．6．已知数列{a n }中，a 1＝14，a n ＋1＝2a n －3a 2n .(1)求证：对任意的n ∈N *，都有0<a n <13；(2)求证：31－3a 1＋31－3a 2＋…＋31－3a n ≥4n ＋1－4.证明 (1)①当n ＝1时，a 1＝14，有0<a 1<13，所以n ＝1时，不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即0<a k <13.则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2a k －3a 2k ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2k －23a k ＝－3⎝⎛⎭⎪⎫a k －132＋13，于是13－a k ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a k 2.因为0<a k <13，所以0<3⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a k 2<13，即0<13－a k ＋1<13，可得0<a k ＋1<13，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，对任意的正整数n ，都有0<a n <13.(2)由(1)可得13－a n ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a n 2，两边同时取以3为底的对数，可得log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a n ＋1＝1＋2log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a n ，化简为1＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a n ＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a n 是以log 314为首项，2为公比的等比数列，所以1＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a n ＝2n －1log 314，化简求得13－a n ＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫142n －1，所以113－a n ＝3·124n -.因为当n ≥2时，2n －1＝C 0n －1＋C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1≥1＋n －1＝n ，当n ＝1时，2n －1＝1，所以当n ∈N *时，2n －1≥n ，所以113－a n ≥3·4n，113－a 1＋113－a 2＋…＋113－a n ≥3(41＋42＋…＋4n )＝4n ＋1－4， 所以31－3a 1＋31－3a 2＋…＋31－3a n≥4n ＋1－4.。

§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考情考向分析以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中主要以填空题的形式进行考查，中低档难度．1．二元一次不等式(组)表示的平面区域2.线性规划中的基本概念概念方法微思考1．不等式x≥0表示的平面区域是什么？提示不等式x≥0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴)．2．可行解一定是最优解吗？二者有何关系？提示不一定．最优解是可行解中的一个或多个．最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(3)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy <0表示．( √ ) (4)线性目标函数的最优解是唯一的．( × )(5)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × ) 题组二 教材改编2．[P74T1]点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是________． 答案 (－7,24)解析 点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，说明将这两点坐标代入3x －2y ＋a 后，符号相反，所以(9－2＋a )(－12－12＋a )<0，解得－7<a <24.3．[P77T2]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域的面积是________．答案 25解析 直线x －y ＋4＝0与直线x ＋y ＝0的交点为A (－2，2)，直线x －y ＋4＝0与直线x ＝3的交点为B (3,7)，直线x ＋y ＝0与直线x ＝3的交点为C (3，－3)，则不等式组表示的平面区域是一个以点A (－2,2)，B (3,7)，C (3，－3)为顶点的三角形及其内部，所以其面积为S △ABC ＝12×5×10＝25. 4．[P84T4]设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为________．答案 －8解析 画出可行域与目标函数线如图(阴影部分含边界)，由图可知，目标函数在点(－2,2)处取最小值－8.题组三 易错自纠5．(2018·全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________． 答案 6解析 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(包含边界)所示．由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x ，平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.6．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a的值为________． 答案 －1解析 先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1 不含参数的平面区域问题例1在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0表示的平面区域的面积是________． 答案3解析 作出不等式组表示的平面区域是以点O (0,0)，B (－2，0)和A (1，3)为顶点的三角形及内部区域，即如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为12×2×3＝ 3.命题点2 含参数的平面区域问题例2若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是______．答案 (0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1，l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)．思维升华平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．跟踪训练1(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ≤4，y ≤5表示的平面区域的形状为________三角形．答案 等腰直角解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知平面区域的形状为等腰直角三角形(阴影部分，含边界)．(2)已知由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －kx ≤2，y －x －4≤0确定的平面区域Ω的面积为7，则k 的值为________． 答案 －1解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －4≤0所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，可知该区域是等腰直角三角形且面积为8.由于直线y ＝kx ＋2恒过点B (0，2)，且原点的坐标恒满足y －kx ≤2， 当k ＝0时，y ≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于6<7，由此可得k <0.由⎩⎪⎨⎪⎧y －kx ＝2，y －x －4＝0，可得D ⎝⎛⎭⎪⎫2k －1，4k －2k －1，依题意应有12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k －1＝1，解得k ＝－1或k ＝3(舍去)．题型二 求目标函数的最值问题命题点1 求线性目标函数的最值例3(1)(2018·全国Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________． 答案 9解析 由不等式组画出可行域如图阴影部分(含边界)．目标函数x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看作常数)在y 轴上的截距最大，由图可得当直线x ＋y ＝z 过点C 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0，得点C (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9.(2)(2018·南通模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，2x －y ＋1≥0，x ＋4y －4≥0，则z ＝|x |＋|y －3|的取值范围是________． 答案 [1,7]解析 作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则0≤x ≤4且0≤y ≤3，所以z ＝|x |＋|y －3|＝x －y ＋3，平移目标直线y ＝x －z ＋3经过点A (4,0)时，z 取得最大值7，经过点B (1,3)时，z 取得最小值1，所以z 的取值范围为[1,7]．命题点2 求非线性目标函数的最值例4(1)(2018·徐州模拟)已知(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则k ＝yx ＋1的最大值为________．答案 1解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)：因为k 的几何意义为可行域内的点P (x ，y )与定点A (－1，0)连线的斜率，则由图象可知AB 的斜率最大，其中B (0,1)，此时k ＝10＋1＝1.(2)(2018·扬州模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，y ≤3，3x ＋4y ≥12，则x 2＋y 2的取值范围是______． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤14425，25解析 作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则x 2＋y 2表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方．由图知(x 2＋y 2)max ＝42＋32＝25，(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1232＋422＝14425， 所以x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14425，25.命题点3 求参数值或取值范围例5已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝____. 答案 5解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，联立直线方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝－x ＋m ，可得交点坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋13，2m －13，由目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 所以m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.思维升华常见的三类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. 跟踪训练2(1)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ＋1≥0，x －3≤0，则z ＝2x －y 的最大值为________． 答案 10解析 先根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，将z ＝2x －y 的最大值转化为直线y ＝2x －z 在y 轴上截距的最小值． 当直线y ＝2x －z 经过点A 时，在y 轴上的截距最小，z 最大， 又A (3，－4)，故z 的最大值为10.(2)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为________．答案 2解析 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0，作出可行域(图略)，z ＝3x －y 的最大值为2，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋2＝0，3x －y ＝2，解得A (2,4)，可知直线mx －y ＝0必须过点A ，可得2m －4＝0， 解得m ＝2.(3)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥1，则(x －3)2＋(y ＋2)2的最小值为________．答案 13解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥1表示的平面区域(图略)，易知(x －3)2＋(y ＋2)2表示可行域内的点(x ，y )与(3，－2)两点间距离的平方，可知当(x ，y )为直线x ＋y ＝2与y ＝1的交点(1,1)时，(x －3)2＋(y ＋2)2取得最小值，最小值为13.1．设点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，3x ＋y －3≤0，且x ∈Z ，y ∈Z ，则这样的点共有________个． 答案 12解析 画出⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，3x ＋y －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，满足x ∈Z ，y ∈Z 的(x ，y )为(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个．2．设不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域为M .若直线y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是________． 答案 [2,5]解析 由约束条件作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．因为函数y ＝kx －2的图象为恒过定点A (0，－2)，且斜率为k 的直线l ， 由图知，当直线l 过点B (1,3)时，k 取最大值5， 当直线l 过点C (2,2)时，k 取最小值2， 故实数k 的取值范围是[2,5]．3．在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为______． 答案 1解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)．在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)． 由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)．4．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤0，2y －x ＋1≥0，x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________. 答案 1解析 作出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意； 若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m 的动直线y ＝－1m x ＋zm.若m <0，则－1m>0，数形结合知使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m >0，则－1m<0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m＝－1，则m ＝1.综上可知，m ＝1.5．(2019·如皋调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋y ≤3，y ≤2x －1，则z ＝x ＋2y 的最大值为_______． 答案143解析 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋y ≤3，y ≤2x －1对应的可行域如图阴影部分(含边界)所示：当目标函数所在直线过点A 时，z 取得最大值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，y ＝2x －1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53，此时x＋2y ＝43＋103＝143.6．(2018·全国Ⅲ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，x －2≤0，则z ＝x ＋13y 的最大值是________． 答案 3解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由z ＝x ＋13y 得y ＝－3x ＋3z ，作出直线y ＝－3x ，并平移该直线，当直线y ＝－3x ＋3z 过点A (2,3)时，目标函数z ＝x ＋13y 取得最大值为2＋13×3＝3.7．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形且其面积等于43，则z ＝12x －y的最小值为________． 答案 －2解析 作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分含边界所示)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2m ＝0，x ＋y －2＝0，得A (1－m,1＋m )，同理B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－43m ，23＋23m ，C (2，0)，D (－2m,0)，S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12·DC ·(|y A |－|y B |)＝(1＋m )23＝43，解得m ＝1或m ＝－3，由图象，得要使可行域ABC 存在， 则－2m <2，即m >－1，即m ＝1，即A (0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，43，C (2,0)； 由图象，得当直线z ＝12x －y 过点A (0,2)时，z 取得最小值为－2.8．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥2，3x －y －6≤0，则目标函数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＋y 的最大值为________． 答案 18解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，要求目标函数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＋y的最大值，只需求解函数z ′＝2x ＋y 的最小值，结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点C (1,1)处取得最小值z ′min ＝2＋1＝3，则目标函数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＋y 的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.9．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋y －3≤0，y ≥1，则y ＋1x ＋2的最小值为________． 答案 23解析 画出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋y －3≤0，y ≥1的可行域如图阴影部分所示(含边界)．y ＋1x ＋2的几何意义为可行域内的动点P (x ，y )与定点Q (－2，－1)连线的斜率， 当P 位于B (1,1)时，直线PQ 的斜率最小， 此时k min ＝1＋11＋2＝23.10．(2018·南通模拟)甲、乙两种食物的维生素含量如下表：分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位，则混合物重量的最小值为________kg. 答案 30解析 设甲食物重x kg ，乙食物重y kg ， ∵维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ≥100，5x ＋2y ≥120，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝100，5x ＋2y ＝120，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝10，即A (20,10)，混合物重z ＝x ＋y ，平移直线z ＝x ＋y ，由图知，当直线过A (20,10)时，z 最小值为20＋10＝30.11．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的最大值．解 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．(1)因为z ＝y x ＝y －0x －0，所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率，观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域内的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域内的点B 到(－3,2)的距离最大，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8，故z 的最大值为64.12．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解 (1)作出可行域如图阴影部分所示(含边界)， 可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，当直线过A (3,4)时，z 取最小值－2，过C (1,0)时，z 取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4,2)．13．(2018·南通模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，且(k －1)x －y ＋k －2≥0恒成立，则实数k 的最小值是________． 答案 4解析 画出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，直线l ：(k －1)x －y ＋k －2＝0过定点(－1，－1)， 若(k －1)x －y ＋k －2≥0恒成立，即可行域在直线下方， 直线l 的斜率为k －1，当斜率最小时，k 最小．当直线过点(0,2)时，k －1有最小值2＋11＝3，k 的最小值为4.14．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋3y －3≤0，则z ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y x ＋3的最大值为________．答案 1解析 由约束条件作出可行域(如图阴影部分含边界)，可知z 恒大于等于0， 则目标函数z ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y x ＋3的几何意义是可行域内(包括边界)的点与点A (－3,0)连线的斜率的绝对值的取值范围，由可行域可知直线|k AB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－0－2－(－3)＝1，|k AC |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－1－3－0＝13，故最大值为1.15．记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －5≥0，x －2y ＋1≤0的解集为D ，若∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤3x ＋y 恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，7]解析 若∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤3x ＋y 恒成立， 即求z ＝3x ＋y 的最小值，作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示：当y ＝－3x ＋z 经过A (1,4)点时，z 最小， 此时z min ＝3×1＋4＝7， ∴a ≤7.16．已知函数y ＝f (x )单调递增，函数y ＝f (x －2)的图象关于点(2,0)对称，实数x ，y 满足不等式f (x 2－2x )＋f (－2y －y 2)≤0，求z ＝x 2＋y 2－6x ＋4y ＋14的最小值． 解 因为函数y ＝f (x －2)的图象关于点(2,0)对称， 所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,0)对称， 所以函数y ＝f (x )是奇函数． 因为f (x 2－2x )＋f (－2y －y 2)≤0， 所以f (x 2－2x )≤－f (－2y －y 2)， 所以f (x 2－2x )≤f (2y ＋y 2)， 因为函数y ＝f (x )是增函数， 所以x 2－2x ≤y 2＋2y ， 所以x 2－y 2－2(x ＋y )≤0，所以(x ＋y )(x －y )－2(x ＋y )≤0. 所以(x ＋y )(x －y －2)≤0，所以点(x ，y )对应的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，因为z ＝x 2＋y 2－6x ＋4y ＋14， 所以z ＝(x －3)2＋(y ＋2)2＋1，所以z 表示可行域内的点(x ，y )到点(3，－2)的距离的平方再加1， 观察图形得，当圆和直线x ＋y ＝0相切时，z 最小， 因为d ＝|3－2|12＋12＝22， 所以d 2＝12，所以z min ＝12＋1＝32.。