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第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。
定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。
性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。
由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。
矩阵特征值问题的数值方法矩阵特征值设A 是n 阶矩阵，x 是非零列向量. 如果有数λ 存在，满足那么，称x 是矩阵A 关于特征值λ的特征向量. 很显然一般地有主特征值的乘幂迭代法设n 阶矩阵A 的n 个特征值按模从大到小排序为：n 其对应的n 个线性无关的特征向量分别为：设是任意一个非零的n 维向量，则：假设，构造一个向量序列：则：或者：当时：如果是矩阵A 的关于特征值的一个特征向量，特征值个特征那么对于任意一个给定的，也是特征值的特征向量。
所以，是对主特征值对应的特征向量的近似。
如果则会变得很大或者如果，则会变得很大，或者如果，则会变得非常小，在实际计算中，为避免这种情况的出现需对做归一化处理况的出现，需对做归一化处理：由：左乘得：所以主特征值的近似值所以主特征值的近似值：残余误差向量定义为：当迭代次数充分大时，残余误差将充分小。
逆乘幂法：类似地，也可以求模最小特征值和对应的特征向量特征向量。
上述问题的主特征值问题就是矩阵A 的模最小特征值问题。
结果，逆乘幂法的迭代公式为：在实际应用中，无需计算逆矩阵，但需求解线性系统实对称矩阵的基本定理：对实对称矩阵A ，一定存在一个正交相似变换使得为对角矩阵且其对角矩阵P ，使得：为对角矩阵，且其对角的特征值元素为矩阵A 的特征值。
相似变换：相似变换保持矩阵特征值（但不是特征向量）不变不变。
(证明略)正交相似变换：中。
正交相似变换的例子—坐标旋转：叫旋转矩阵。
容易验证：。
适当选择旋转角，可消去xy 项—得到对角阵D 。
矩阵特征值问题的数值方法实对称矩阵的基本定理再看下面的例子：令：O 平面的坐标旋转变换适当同样地有：。
则是在x-O-z 平面的坐标旋转变换。
适当x z —D 。
选择旋转角可消去z 项得到对角阵实对称矩阵的Jacobi 方法：全部特征值和特征向量根据实对称矩阵的基本定理，求得矩阵A 的全部特征值的关键是找到正交相似变换矩阵P 使部特征值的关键，是找到正交相似变换矩阵P ，使得为对角阵。
矩阵特征值问题求解矩阵在数学和工程领域有着广泛的应用，而研究矩阵的特征值是其中一个重要的问题。
矩阵的特征值对于矩阵的性质和行为具有重要的影响，因此求解矩阵的特征值是一项非常重要的任务。
什么是特征值和特征向量在矩阵理论中，矩阵A的特征值（eigenvalue）是一个数λ，满足方程$A\\mathbf{v} = \\lambda\\mathbf{v}$的向量$\\mathbf{v}$存在且不为零。
其中，$\\mathbf{v}$被称为对应于特征值$\\lambda$的特征向量（eigenvector）。
特征值和特征向量的求解是矩阵理论和线性代数中的重要问题之一。
特征值问题的求解方法1. 特征值分解我们可以通过特征值分解的方法求解矩阵的特征值。
给定一个方阵A，我们可以将其表示为$A=Q\\Lambda Q^{-1}$的形式，其中Q是由A的特征向量所组成的矩阵，Λ是由A的特征值所组成的对角矩阵。
2. 特征多项式特征值问题的另一种求解方法是通过矩阵的特征多项式。
特征多项式是关于矩阵A的一个多项式，它的根就是矩阵A的特征值。
通过求解特征多项式的根，我们可以得到矩阵的特征值。
3. 幂法幂法是一种常用的求解特征值问题的迭代方法。
通过不断的迭代计算$A\\mathbf{v}^{(k)}$，其中$\\mathbf{v}^{(k)}$是第k次迭代得到的特征向量，我们可以逐渐逼近矩阵的特征值和特征向量。
应用和意义矩阵的特征值问题求解在计算机图形学、信号处理、物理学等领域都有着重要的应用和意义。
通过求解矩阵的特征值，我们可以分析矩阵的性质、系统的稳定性以及模式识别等问题，为我们深入理解和应用矩阵提供了重要的工具和方法。
综上所述，矩阵的特征值问题求解是一个具有重要意义和广泛应用的问题，通过不同的方法和技术，我们可以有效地求解矩阵的特征值和特征向量，为我们更好地理解和利用矩阵提供了重要的支持。
第五章矩阵特征值问题同步复习第五章矩阵特征值问题一、内容提要§5.1 特征值与特征向量1．定义设A 为阶方阵，如果存在数n λ以及一个非零n 维列向量ξ，使得关系式λξξ=A 成立，则称λ为A 的一个特征值，非零向量ξ为A 的属于特征值λ的特征向量。
2．求特征值和特征向量的步骤：（1）计算特征多项式A I -λ；（2）求A 的特征方程A I -λ=0的全部根，它们就是A 的所有特征值；（3）对于A 的每一个特征值λ，求解齐次线性方程组()0=。
设它的一个-X A I λ基础解系为,,,,21r n -ξξξ （其中)(A I r r -=λ），则A 的属于λ的全部特征向量为,2211r n r n k k k --+++ξξξ其中是不全为零的任意数。
r n -21k k k ,,,3．性质● 方阵A 与其转置矩阵T A 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值；● )(21A tr n =+++λλλ , A n =λλλ 21；● 可逆矩阵A 与1-A 的特征值互为倒数；● 设λ是矩阵A 的特征值，)(x g 是一个多项式，则)(λg 是)(A g 的特征值；● 如果n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值，则A 有n 个线性无关的特征向量；● 设s λλλ,,,21 是矩阵A 的s 个互不相同的特征值，而i in i i ααα,,,21 是A 的分别对应于特征值i λ的线性无关的特征向量组，则向量组111211,,,n ααα ; 222221,,,n ααα ; ...; ssn s s ααα,,,21 线性无关.§5.2 矩阵的相似性1．定义设A ，都是阶方阵，如果阶可逆矩阵B n P ，使B AP P =-1，则称矩阵A 与相似，记为B B A ~。
如果P 为正交矩阵，则称A 与B 正交相似。
2．命题相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，相同的行列式和迹。
3．对角化的条件（1）充要条件：n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。
矩阵特征值求解的分值算法12组1.1矩阵计算的基本问题(1)求解线性方程组的问题•即给定一个n阶非奇异矩阵A和n维向量b，求一个n维向量X,使得Ax =b (1. 1. 1 )(2)线性最小二乘问题，即给定一个mx n阶矩阵A和m维向量b ,求一个n维向量X,使得|AX -b| =min{ | Ay -比严R n} (1.1.2 )(3)矩阵的特征问题，即给定一个n阶实(复)矩阵A,求它的部分或全部特征值以及对应的特征向量，也就是求解方程(1. 1. 3 )一对解(4 X),其中R(C), x- R n(C n),即A为矩阵A的特征值，X为矩阵Ax = ZxA的属于特征值A的特征向量。
在工程上，矩阵的特征值具有广泛的应用，如大型桥梁或建筑物的振动问题：机械和机件的振动问题；飞机机翼的颤振问题；无线电电子学及光学系统的电磁振动问题;调节系统的自振问题以及声学和超声学系统的振动问题•又如天文、地震、信息系统、经济学中的一些问题都与矩阵的特征值问题密切相关。
在科学上，计算流体力学、统计计算、量子力学、化学工程和网络排队的马尔可夫链模拟等实际问题，最后也都要归结为矩阵的特征值问题.由于特征值问题在许多科学和工程领域中具有广泛的应用，因此对矩阵的特征值问题的求解理论研究算法的开发软件的制作等是当今计算数学和科学与工程计算研究领域的重大课题，国际上这方面的研究工作十分活跃。
1.2矩阵的特征值问题研究现状及算法概述对一个nxn阶实(复)矩阵A,它的特征值问题，即求方程(1.1.3)式的非平凡解，是数值线性代数的一个中心问题•这一问题的内在非线性给计算特征值带来许多计算问题•为了求(1.1.3)式中的A ,—个简单的想法就是显式地求解特征方程det (A 一几I)二0 (121 ) 除非对于个别的特殊矩阵，由于特征方程的系数不能够用稳定的数值方法由行列式的计算来求得，既使能精确计算出特征方程的系数，在有限精度下，其特征多项式f〃)二det(A-ZJ)的根可能对多项式的系数非常敏感能•因此，这个方法只在理论上是有意义的，实际计算中对一般矩阵是不可行的数 _ . _ . 人较大，则行列式det (A -几I)的计算量将非常大；其次，根据•首先，右矩即AfbJ阳数大于四的多项式求根不存在一种通用的方法，基于上述原Galois理论对于次因，人们只能寻求其它途径•因此，如何有效地！精确地求解’矩阵特征值问题，就成为数值线性代数领域的一个中心问题.目前，求解矩阵特征值问题的方法有两大类：一类称为变换方法，另一类称为向量迭代方法•变换方法是直接对原矩阵进行处理，通过一系列相似变换，使之变换成 一个易于求解特征值的形式，如Jacobi 算法,Givens 算法,QR 算法等。
第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题1. 试用施密特法把下列向量组正交化:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=931421111) , ,(321a a a ;(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a . 2. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 3. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛633312321.4. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同.5. 设λ≠0是m 阶矩阵A m ⨯n B n ⨯m 的特征值, 证明λ也是n 阶矩阵BA 的特征值.6. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3-5A 2+7A |.7. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |.8. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=50413102x A 可相似对角化, 求x .9. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值;(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由.10. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022化为对角阵.11. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.12. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A .13. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .14. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=340430241A , 求A 100.。
方法求矩阵全部特征值要求矩阵全部特征值的方法有多种，其中最常用的方法是使用特征值分解或者通过求解矩阵的特征多项式来得到。
特征值分解是一种将矩阵表示为特征向量和特征值的形式的方法。
对于一个nxn的矩阵A，特征向量x满足Ax=λx，其中λ为特征值。
特征向量x可以通过求解方程(A-λI)x=0来获得，其中I为单位矩阵。
步骤如下：1. 对于给定矩阵A，求解特征多项式det(A-λI)=0，可以得到一个关于λ的n次方程。
2.解这个n次方程，求得n个特征值λ1,λ2,...,λn。
这些特征值可能是重复的。
3. 对于每个特征值λi，解方程(A-λiI)x=0，可以得到对应的特征向量xi。
4.可以验证Ax=λx是否成立来验证特征值和特征向量的正确性。
特征值分解的优点是准确性高，能得到精确的特征值和特征向量。
但是它的计算量较大，对于大型矩阵来说可能需要较长的计算时间。
除了特征值分解，还有一些其他的方法可以用来求解矩阵的全部特征值。
以下是一些常用的方法：1. 幂迭代法（Power Iteration Method）：该方法通过反复迭代矩阵与一个初始向量的乘积来不断逼近最大的特征值。
通过迭代，该方法可以找到矩阵的一个特征值及其对应的特征向量。
2. 反幂迭代法（Inverse Power Iteration Method）：该方法是幂迭代法的变种，用来求解最小特征值及其对应的特征向量。
3. QR迭代法（QR Iteration Method）：该方法通过迭代进行QR分解，逐渐将矩阵转化为上三角矩阵，在迭代的过程中得出矩阵的全部特征值。
4. 特征值转换法（Eigenvalue Transformation Method）：该方法通过变换矩阵的形式，转化为带有一些特殊特征的矩阵，例如Hessenberg矩阵或Schur矩阵，从而更容易求解特征值。
这些方法各有优缺点，应根据具体情况选择合适的方法。
另外，对于一些特殊类型的矩阵，例如对称矩阵或正定矩阵，还可以使用更为高效的方法来求解特征值。
矩阵特征值问题的求解方法比较矩阵特征值问题是线性代数中的一个重要问题，其在数学、物理、工程等应用领域中都有广泛的应用。
在实际应用中，求解矩阵特征值和特征向量是一项基础工作，因此对于不同的特征值求解方法进行比较和分析是非常重要的。
本文将从传统的基于化为特殊形式的算法到基于迭代的算法，对几种常见的特征值求解方法进行比较和分析。
一、传统算法1.1 基于幂迭代的算法幂迭代是一种基于矩阵乘法的简单直接的求解矩阵最大特征值和特征向量的方法。
其基本思想是通过不断的迭代，把向量不断“拉长”到与最大特征向量平行的方向，从而获取最大特征值和对应的特征向量。
幂迭代的复杂度是O(n3)，计算速度较慢，且只能求解最大的特征值和对应的特征向量，对于求解其他特征值和特征向量的问题则不适用。
1.2 基于QR分解的算法QR分解是将矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的过程，可以通过不断迭代QR分解来求解特征值和特征向量。
这种方法的优点是可以同时求解多组特征值和特征向量，并且不需要知道待求解的特征值的范围。
但QR分解的计算复杂度是O(n3)，且需要对矩阵进行多次分解，因此对于大规模数据的矩阵求解来说，计算代价还是较大的。
二、基于迭代算法2.1 基于反迭代的算法反迭代是一种用于求解特征值接近某个给定值的方法，其基本思想是在计算过程中引入一个移项，对于偏离所求特征值不远的解，其迭代结果会逐步趋向给定的特征值。
反迭代的优点是计算速度很快，能够求解接近特定特征值的所有特征向量，但其在求解特征值精度上表现不佳。
2.2 基于位移的QR分解算法位移QR分解算法是QR分解的一种变形，可以通过引入一个位移来向所求特征值移动，从而得到更为精确的特征值。
在该算法中，通过对矩阵加入一个位移，得到新的矩阵，并使用QR分解方法对新矩阵进行分解，不断迭代求解，从而得到特征值和特征向量。
位移QR分解算法能够高效地求解矩阵的特征值和特征向量，但其需要进行多次QR分解，计算复杂度较高，不适合求解大规模的矩阵问题。
第五章 矩阵的特征值和特征向量习题一 矩阵的特征值和特征向量一、填空题1．A 为n 阶方阵，Ax =0有非零解，则A 必有一特征值为________． 2．若λ0为A 的特征值，则A k (k 为正整数)有特征值为________．3．若α为A 的特征向量，则________为P -1AP 的特征向量． 4．n 阶矩阵A 与_____________有相同的特征值． 二、计算题1.设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----122212221 (1) 试求矩阵A 的特征值；(2) 利用(1)的结果，求矩阵E +A -1的特征值，其中E 是三阶单位矩阵．２．求矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----632223221的实特征值及对应的特征向量．三、证明题1．设A 满足A 2-3A +2E =0，证明其特征值只能取值1或2．2．若n 阶矩阵A ，存在自然数m ，使得0=mA ，则A 的特征值是０．3．如果A 可逆，λ是A 的特征值，则1-λ是1-A 的特征值．4．证明：)()(),()()(A kTr kA Tr B Tr A Tr B A Tr =+=+．习题二 相似矩阵和矩阵可对角化一、填空题1．若A ~kE ，则A =________．2．若n 阶方阵A 与B 相似，且A 2=A ，则B 2=________．． 3．已知A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----533242111，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20002000λ 且A ~B ，则λ=________．4．A 可对角化当且仅当 ． 5．n 阶矩阵A 有n 个互不相同的特征值是A 可对角化的___________． 6．判别矩阵A 可对角化的方法是 ．二、 1．设A =[a ij ]为三角矩阵，且对角线元素互不相等．试指出A 是否有与它相似的对角矩阵，并说明理由．2．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--314020112能否对角化？若能，求可逆矩阵P ，使P -1AP 为对角矩阵．三、判别下列矩阵是否可对角化⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=031302120B四、矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-113222x和B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-y21是相似矩阵．求x与y；习题三实对称矩阵的对角化一、求正交矩阵T，使ATT1-为对角矩阵．①⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=34243222A②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1222223B③⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=411141141114C二、设实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-124222421，求可逆矩阵Q ，使Q -1AQ 为对角矩阵．三、已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，设矩阵B =A 3-5A 2试求：(1) 矩阵B 的特征值及与其相似的对角阵；(2) 行列式|B |和|A -5E |．四、设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201021313，求 (1) A 的所有特征值与特征向量；(2) 判断A 能否对角化，若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使A 化为对角形矩阵； (3) 计算A m ．综合复习题一、空题与选择题1．矩阵________20222002⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛与．2．设),(,F M T A n ∈其中T 可逆，则k AT T k _(__________)(1=-为非负整数）， ][)(_,__________)(1x F x f AT T f ∈=- .（][x F 表示数域F 的全体多项式，)(F M n 表示全体n 阶矩阵） 3．相似矩阵有________秩，有相同秩的矩阵_________相似．4．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=411205123A 的三个特征值为321,,λλλ则 .________.____________321321==++λλλλλλ 5．设)(x f 是方阵A 的特征多项式，则_______;)(=A f若B A ~,则)(B f = _________.6．下面四个命题中原命题和逆命题都正确的是（ ） （A ）相似矩阵有相同的特征多项式；（B ）设σ是数域F 上向量空间的一个线性变换．A 是σ关于V 的一个基的矩阵，如果λ是σ的特征根，那么λ是A 的特征根；（C ）n 维向量空间的一个线性变换关于V 的两个基的矩阵是相似矩阵； （D ）设)(F M A n ∈，若)(x f A 在数域F 内有单根，则A 可对角化． 7．下列三个矩阵中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A a a a A a a a A 001001,001000,000000321 ① 21~A A ； ② 31~A A ； ③ 32~A A ；④ 321,,A A A 中两两都不相似．（A ）① 正确； (B) ②正确； (C) ③ 正确 ； (D) ④ 正确． 8．设A 是n 阶矩阵，那么① 在复数域C 上A 一定与某一对角矩阵相似； ② 在C 上A 一定与某一上三角矩阵相似；③ 在C 上A 一定与某一下三角矩阵相似．（A ）① 正确； (B) ②，③正确； (C) ①， ② 正确 ； (D) ①，②，③正确． 9．下列矩阵中，不可对角化的仅是（Ａ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0280； (B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111； (C) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1101； （Ｄ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3210． 10．设,0),(,,≠∈T F M T B A n 且B A ,在F 上均可对角化，则① B A + 可对角化； ②AB 可对角化； ③AT T 1-可对角化；④ T B T m 1-可对角化. *N m ∈（*N 表示全体正整数） （A ），②正确； ( B) ③，④正确； (C) ①，②，③，④正确 ； (D) ① 正确． 二、计算与证明题1．求下列矩阵的全部特征值与特征向量（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200210311A （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=624232426A （3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=633312321A （4）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=201034011A2．找出1题中可对角化的矩阵A ，并求可逆矩阵X 使AX X1-为对角矩阵．3．求正交矩阵T 使AT T1-为对角矩阵（1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=342432220A (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1333313333133331A （4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1101111001111011A 4．试证：矩阵A 可逆的充分必要条件是：它的特征值都不等于零．5．设n 阶可逆矩阵A 的特征值是n λλλ,,,21 ，证明：1-A 的特征值为11211,,,---n λλλ ． 6．如果任一个n 维非零向量都是n 阶矩阵A 的特征向量，试证明A 是一个数量矩阵． 7．A 是一个n 阶实对称矩阵，试证：如果0λ是A 的k 重特征值，则矩阵A E -0λ的秩等于k n -．自测题一、填空题1．若A 为n 阶矩阵，0=AX 有非零解，则A 必有一特征值为__________． 2．若0λ是A 特征值，则kA （k 为正整数）有特征值为____________．3．若α为A 的特征向量，则AP P 1-的特征向量为_____________．4．若n 阶矩阵A 有n 个属于特征值λ的线性无关的特征向量，则A =__________．5．已知三阶矩阵A 的三个特征值为1，2，3，则1_____;-=A A 的特征值为___________．6．n 阶零矩阵的全部特征向量是___________． 7．若kE A ~，则=A ______________．8．若n 阶矩阵A 与B 相似，且A A =2，则=2B ___________．9．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=20002000,533242111λB A 且B A ~，则._______=λ 10．三阶矩阵A 的三个互异特征值为321,,λλλ，它们对应的特征列向量分别为 ,,,321ααα则矩阵（,,,321ααα）的秩为__________．二、选择题1.设λ=2是非奇异矩阵A 的特征值，则矩阵12)31(-A 有一特征值等于( )．(a ) 34 (b ) 43 (c ) 21 (d ) 412.若n 阶矩阵A 的任意一行中n 个元素的和都是a ，则A 的一个特征值为( )．(a ) a (b ) –a (c ) 0 (d ) a -13.设A 是n 阶矩阵，λ1，λ2是A 的特征值，α1，α2是A 的分别对应于λ1，λ2的特征向量，则( )．(a ) λ1=λ2时，α1，α2一定成比例 (b ) λ1=λ2时，α1，α2一定不成比例(c ) λ1≠λ2时，α1，α2一定成比例 (d ) λ1≠λ2时，α1，α2一定不成比例4.设n 阶矩阵A 与B 相似，则( )(a ) λE -A =λE -B (b ) |λE -A |=|λE -B |(c ) |λE -A |~λE -B (d ) A 与B 都相似于一个对角矩阵D5.n 阶方阵A 具有n 个特征值是A 与对角矩阵相似的( )(a ) 充分必要条件 (b ) 充分而非必要条件 (c ) 必要而非充分条件 (d ) 既非充分也非必要条件6.矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300030000与下列哪个矩阵相似( )(a ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000030300 (b ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300130010 (c ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300000003 (d ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛030300010 7.n 阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是( )．(a ) A 有n 个不全相同的特征值 (b ) A T 有n 个不全相同的特征值 (c ) A 有n 个不相同的特征值 (d ) A 有n 个线性无关的特征向量8.n 阶方阵A 与某对角矩阵相似，则( )．(a ) 方阵A 的秩等于n (b ) 方阵A 有n 个不同的特征值(c ) 方阵A 一定是对称矩阵 (d ) 方阵A 有n 个线性无关的特征向量9.λ1，λ2是n 阶矩阵A 的特征值，X 1，X 2是相应于λ1，λ2的特征向量，对于不全为零的常数c 1，c 2：( )(a ) 当λ1≠λ2时，则c 1X 1+ c 2X 2必为A 特征向量(b ) 当λ1≠λ2时，则X 1，X 2是A 相应于λ1，λ2唯一的两个线性无关的特征向量 (c ) 当λ1=λ2时，则c 1X 1+ c 2X 2必为A 特征向量(d ) 当λ1=λ2时，则X 1，X 2必为A 相应于λ1，λ2的线性无关的特征向量 10.设n 阶矩阵A 为满秩矩阵，则A ( )(a ) 必有n 个线性无关的特征值 (b ) 必有n 个线性无关的特征向量 (c ) 必相似于一满秩的对角矩阵 (d ) 特征值必不为零 三、计算题1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=122212221A （1） 试求矩阵A 的特征值；（２）利用（1）的结果，求1-+A E 的特征值．2．求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=632223221A 的特征值及特征向量．3．设实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=124222421A ，求可逆矩阵Q 使AQ Q 1-为对角矩阵． 4．设A 为n 阶实矩阵，满足0,<=A E AA T，试求A 的伴随矩阵*A 的一个特征值．5．已知三阶矩阵A 的特征值为1，1-，2，矩阵235A A B -=，试求 （1） 矩阵B 的特征值和与B 相似的对角矩阵；(2) 行列式B 和E A 5-.6．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=201021313A ，求 （1）A 的所有特征值与特征向量；（2）判别A 能否对角化，若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵； （3）计算mA ．四、证明题1．若n 阶矩阵A 满足A A =2，则A 的特征值仅能是0或1．2．若n 阶矩阵A 满足I A =2，则A 的特征值仅能是1或1-．3．设A 满足0232=+-E A A ，证明：A 的特征值只能是1或2．4．设A 是实数域上奇数阶方阵，且0>A ，证明：A 有正特征值． 5．设][)(),(x F x f F M A n ∈∈，A 在F 上可对角化，证明：)(A f 在F 上可对角化．二次型习题一 二次型及表示方法一、填空题1．二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)=x 12+2x 22+3x 32+4x 1x 2+2x 2x 3________．2. 矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--314122421对应的二次型是________．3．),(21x x q =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21211222)(x x x x 的矩阵为__________. 4．二次型),,,(21n x x x q 经过__________的线性替换总可以化为标准形2222211nn y c y c y c +++ .5．n 阶对称矩阵同时实行行和列的初等变换总可化为_______矩阵. 二、写出下列各二次型的矩阵1．23322231212138232x x x x x x x x x ++-+-2．243231212x x x x x x x ++-三、写出下列对称矩阵所对应的二次型1．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=012320113113221233121A2．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011121110B四、对于对称矩阵A 与B ，求出可逆矩阵C ，使B AC C T=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011121110A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101112B习题二 化二次型为标准型一、用配方法化下列二次型为标准型. 1．31212322214245x x x x x x x -+-+2． 32312164x x x x x x +-二、用初等变化的方法求一奇异矩阵C ，使AC C T为对角矩阵.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=310102021A三、用初等变换法将二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)=x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2+2x 2x 3+2x 3x 4化为规范形，并求所作的非退化变换矩阵，且用矩阵验算结果．四、求一正交矩阵P ，使AP P T为对角矩阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=1132112332112311A四、试用配方法将二次型f (x 1，x 2，x 3)=x 12+x 22+3x 32+4x 1x 2+2x 1x 3+2x 2x 3化为标准形(平方和)和规范形．习题三 正定二次型一、填空题1．实二次型f (x 1，x 2，x 3)=x 12-x 22+3x 32的秩为________，正惯性指数为________，负惯性指数为________．2．设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为1，2，…，n ，则当t ________时，tE -A 为正定矩阵．3. 若n 阶实对称矩阵A 的秩为r (<n )且A 2=A ，则是________矩阵(正定、半正定，…)，正惯性指数为________．4．____二次型),,,(21n x x x q 成为正定的，如果对于任意一组),,,(21n c c c ______ 都有),,,(21n c c c q _________.5． 5． 对称矩阵A 正定当且仅当A 与_________矩阵合同.6．实对称矩阵A 正定当且仅当A 的一切顺序主子式__________或者A 的一切主子式 ______________.7． 7． 对称矩阵的特征根都是_____________.二、计算题：1．求α的值，使二次型为正定.(1) 3231212322214225x x x x x ax x x x +-+++(2) 3231212322212245x x x x x x ax x x --+++2．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101020101，矩阵B =(kE +A )2，其中k 为实数，E 为单位矩阵．求对角矩阵Λ，使B 与Λ相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵．（1） （1） 3．设A 1~A 1和B 1~B 2．试证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11B A ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22B A判断三元二次型f = x 12+5x 22+x 32+4x 1x 2-4x 2x 3的正定性．三、证明题：1．A 是n 阶实对称矩阵，AB +B T A 是正定矩阵，证明A 可逆．2．设A 是n 阶正定矩阵，证明|A +2E |>2n ．3．令A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21A O O A , B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21B O O B ,如果1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，则A 与B 合同.4．证明：实二次型),,,(21n x x x q 负定的充分必要条件是它的矩阵A 的奇数阶顺序主 子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零.自测题一、填空题1．二次型322123222143212432,,,(x x x x x x x x x x x f ++++=）_______. 2．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314122421A 对应的二次型是_____________________. 3．二次型),,(321x x x f =31212322212224x x x tx x x x ++++是正定的，那么t 应满足不等式_________.4．二次型),,(321x x x f =2322213x x x +-的秩为__________.正惯性指数为__________,负惯性指数为__________.5．设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为n ,,2,1 ，则当t =______时，A tE -为正定矩阵.6．若n 阶实对称矩阵A 的秩为)(n r <且A A =2，则是_______矩阵，正惯性指数为___________.7．二次型的规范形由_____________唯一确定；复二次型的规范形由____唯一确定.8．实对称矩阵A 正定的充分必要条件是它的特征值___________. 9．若A 是实对称矩阵且可逆，则将Ax x f T =化为y A y f T 1-= 的线性变换为_____________.10．设A 为n 阶实对称矩阵，那么T AA 是_______(对称、非对称、对角).二、选择题i. i. 1.设A ，B 均为n 阶方阵，x =(x 1，x 2，…，x n )T ，且X T AX = X T BX ，当( )时，A =B ．(a ) 秩(A )=秩(B ) (b ) A T =A(c ) B T =B (d ) A T =A 且B T =Bii. ii. 2.实二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)= X T AX 为正定的充分必要条件是( )．(a ) |A |>0 (b ) 存在n 阶可逆矩阵C ，使A =C T C(c ) 负惯性指数为零 (d ) 对于某一x =(x 1，x 2，…，x n )T ≠0，有X T AX >0．iii.iii. 3.实二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)= x 12+2x 1x 2+tx 22+3x 32，当t =( )时，其秩为2． (a ) 0 (b ) 1 (c ) 2 (d ) 3 iv. iv. 4.设A ，B 为同阶可逆矩阵，则( )(a ) AB =BA(b ) 存在可逆矩阵P ，使P -1AP =B(c ) 存在可逆矩阵C ，使C T AC =B(d ) 存在可逆矩阵P 和Q ，使P AQ =Bv.v. 5.设A 为正定矩阵，则下列矩阵不一定是正定的是( ) (a ) A T (b )A -1 (c ) A +E (d ) A -E vi.vi. 6.设A 是一个三阶实矩阵，如果对任一三维列向量X ，都有X T AX =0，那么( )． (a ) |A |=0 (b ) |A |>0 (c ) |A |<0 (d ) 以上都不是 vii. vii. 7.n 阶实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是( )．(a ) 所有k 阶子式为正(k =1，2，…，n )(b ) A 的所有特征值非负(c ) A -1为正定矩阵 (d ) 秩(A )=nviii. viii. 8.设A ，B 都是n 阶实对称矩阵，且都正定，那么AB 是( )(a ) 实对称矩阵 (b ) 正定矩阵 (c ) 可逆矩阵 (d ) 正交矩阵ix. ix. 9.下列矩阵为正定的是( )．(a ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200032021 (b ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200042021 (c ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---200052021 (d ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛520210002 x.x. 10.设A 、B 是n 阶正定矩阵，则( )是正定矩阵． (a ) A *+B * (b ) A *-B * (c ) A *B * (d ) k 1A *+k 2B *三、对二次型32212221442x x x x x x f --+=分别作下列两个非退化线性替换. （1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321*********y y y x x x (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132121001101121y y y x x x四、试用配方法将二次型3231212322213212243),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准形（平方和）和规范形.五、用初等变换法将二次型43322142322214321222),,,(x x x x x x x x x x x x x x f -+++++= 化为标准形，求所作的非退化矩阵，并用矩阵验算结果.六、已知二次型)0(2332),,(32232221321>+++==a x ax x x x x x x f ，通过正交变换化成标准形23222152y y y f ++=，求参数a 及所用正交变换矩阵. 七、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，矩阵2)(A kE B +=，其中k 为实数，E 为单位矩阵，求 对角矩阵A ，使B 与A 相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵.八、设1A 与2A 相似，1B 与2B 相似.试证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11B A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22B A . 九、判断三元二次型3221232221445x x x x x x x f -+++=的正定性. 十、A 是n 阶实对称矩阵，A B AB T +是正定矩阵，证明：A 可逆.十一、设A 是n 阶正定矩阵，证明：n E A 22>+.。
