几何证明中常用辅助线——中线倍长法及截长补短

倍长中线与截长补短模块一倍长中线中线是三角形中的重要线段之一，当题目的条件中有中线时，我们常采用“倍长中线法”添加辅助线，构造一组旋转型的全等，利用全等的结论来解决问题．倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出“8字型”全等．但是给出的条件并不一定要仅限于三角形的中线才可以，有些时候，只要已知条件中有中点就可以运用“倍长中线法”来解决问题．倍长中线（1）如图，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，求证：AB=CE，且AB//CE.G FEDCBA（2D 是BC 边中点，，求的取值范围.ABCD（3）如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF =EF ，求证：AC =BE ．【答案】延长AD 到G ，使DG =AD ，连结BG ∵BD =CD ，BDG CDA ∠=∠，AD =GD ∴ADC GDB ≅∴AC =GB ．G EAF ∠=∠又∵AF =EF ，∴EAF AEF ∠=∠ ∴G BED ∠=∠∴BE =BG ，∴BE =AC ．倍长类中线如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．BCFEDC BAHAF GBE DC【答案】延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ． 在CEF ∆和BEH ∆中 CE BE CEF BEH FE HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF BEH ∆∆≌∴EFC EHB ∠=∠，CF BH BG == ∴EHB BGE ∠=∠，而BGE AGF ∠=∠ ∴AFG AGF ∠=∠ 又∵EF AD ∥∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠ ∴CAD BAD ∠=∠∴AD 为ABC ∆的角平分线．提示：也可延长GE 至H ，使EH GE =，连接CH倍长三角形中线进阶已知，ABC ∆中，AB =AC ，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD =AB ． 求证：（1）CD =2CE ；（2）D ACE ∠=∠．【答案】(1) 延长CE 到F ，使EF =CE ，连结BF ． ∵CE 是AB 的中线，∴AE =EB ，∴EBF EAC ≅ ∴BF =AC =BD ，EBF EAC ∠=∠，∴FBC FBE EBC A ACB DBC ∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴FBC DBC ≅ ∴CD =CF =2CE ．∠FCB =∠BCD ．（2）解法一：又∵AB =AC ∴∠ACB =∠ABC ，∴∠ACB =∠FCB +∠ACE ，F GE DCBAE D CBA FCA EB DFE NABD C∠ABC =∠BCD +∠D ，∴∠D =∠ACE ． 解法二：由①中的两个全等，可以得到： F ACE F D ∠=∠∠=∠，，∴D ACE ∠=∠．倍长中线与角平分线综合已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ． 求证：BE CF EF +>．【答案】延长FD 到N ，使DN DF =，连接BN 、EN ． 易证BND ∆≌CFD ∆，∴BN CF =，又∵ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ，∴90EDF EDN ∠=∠=，利用SAS 证明EDN ∆≌EDF ∆，∴EN EF =， 在EBN ∆中，BE BN EN +>，∴BE CF EF +>．模块二 截长和补短截长补短（1）如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ． 求证：AB +BD =AC ．【答案】方法一：在AC 上取一点E ，使得AB =AEFE AB D CDC B AABCDEED C B A FM AB CDE ED CB A连结DE ．在ABD △和AED △中 AB =AE ，BAD EAD ∠=∠AD =AD∴ABD AED ≅∴BD =ED ，B AED ∠=∠又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠EDC C ∠=∠，ED =EC ∴AB +BD =AC ．方法二：在AB 的延长线上取一点E 使得AC =AE ，连结DE ．在AED △和ACD △中，AE =AC EAD CAD ∠=∠，AD =AD∴AED ACD ≅，∴C E ∠=∠又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠ ∴E BDE ∠=∠∴BE =BD ，∴AB +BD =AC ．方法三：延长DB 到点E 使得AB =BE ，连结AE 则有EAB E ∠=∠ 2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠又∵2ABC C ∠=∠，∴AE =AC 又∵EAD EAB BAD E DAC C DAC ADE ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠∴AE =DE ，∴AB +BD =EB +BD =ED =AE =AC方法四：如图，作BF 平分ABC ∠交AD 、AC 于E 、F 点 延长BF 到M ，使FM =FA ，连结AM ∴ABF FBC ∠=∠∵2ABC C ∠=∠，∴FBC C ∠=∠．∴FB =FC ∵AF =FM ，∴M FAM ∠=∠ ∵AFE FBC C ∠=∠+∠，又AFE M FAM ∠=∠+∠ 即22AFE M C ∠=∠=∠．∴C M ∠=∠ ∴M ABM DBF C ∠=∠=∠=∠．∴AB =AM ∵ADB C DAC ∠=∠+∠ 且DEB EBA BAE ∠=∠+∠∵BAD DAC ∠=∠，∴ADB DEB ∠=∠．∴BD =BE 同理MA =ME∵AF =FM ，FB =FC ，∴AC =BM ．∴AC =AB +BD（2）如图所示，在ABC △中，AD BC ⊥于点D ，2B C ∠=∠．求证：AB BD CD +=．E DCBAABDECMFEDCB A【答案】由AD BC ⊥，2B C ∠=∠知：如果在CD 上截取DE DB =，连接AE ，就可以构造出两个等腰三角形ABE △和AEC △． 如图，在CD 上截取DE DB =，连接AE ． 因为AD BC ⊥，DE DB =，所以AE AB =，于是B AEB ∠=∠，又因为AEB C CAE ∠=∠+∠，2B C ∠=∠， 所以CAE C ∠=∠， 于是AE EC =，故AB BD AE ED EC ED CD +=+=+=．（3）如图，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，且AE AD BE =+， 求证：180B D ∠+∠=︒．【答案】在AE 上截取一点F ，使得AD =AF ， 证ACD ≌ACF 即可． （4）已知：如图，四边形ABCD 是正方形，FAD FAE ∠=∠．求证：BE +DF =AE ．【答案】延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM ． ∵AB =AD ，AD CD ⊥，AB BM ⊥，BM =DF ，∴，∴AFD AMB ∠=∠，DAF BAM ∠=∠， ∵AB CD ，∴ADF BAF EAF BAE BAE BAM EAM ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠， ∴AMB EAM ∠=∠，∴AE =EM =BE +BM =BE +DF ．C D BAFEDCBAABM ADF △≌△FEDCA截长补短进阶如图所示，在ABC △中，100A ∠=，40ABC ∠=，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至E ，使DE =AD ．求证：BC =AB +CE【答案】在BC 上取一点F ，使得BF =BA 易证得ADB FDB ≅ ∴DF =AD ， 又∵DA =DE ∴DF =DE∵100A ∠=，AB =AC ∴40ABC ∠= ∵BD 平分ABC ∠， ∴20ABD ∠= ∴60ABD FDB ∠=∠=∵60CDE ADB ∠=∠= ∴ 60FDC EDC ∠=∠= ∴DCF DCE ≅ ∴FC =EC∴BC =BF +FC =AB +CE截长补短应用进阶如图，ABC △中，AB =AC ，108A ∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC =AC +CD ．【答案】方法一：在BC 上截取E 点使BE =BA ，连结DE ． ∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠．EDCBAAB CDE DCB ADCBAF在ABD △与EBD △中∵AB =EB ，ABD EBD ∠=∠， BD =BD ∴ABD EBD ≅，∴A DEB ∠=∠∵108A ∠=， ∴108DEB ∠=∴72DEC ∠=． 又∵361854ADB ∠=+= ∴72CDE ∠=∴CDE DEC ∠=∠ ∴CD =CE∵BC =BE +EC ，∴BC =AC +CD方法二：如图，延长CA 到F ，使CF =CB ，连结BF ． ∵AB =AC ，且108BAC ∠=， ∴36ABC C ∠=∠=． ∵CB =CF ，∴F FBC ∠=∠．∴FAB C ABC ∠=∠+∠． ∴72FAB ∠=．∵12ADB C ABC ∠=∠+∠，∴54ADB ∠=．又∵54FDB ∠= ∴BF =AB =AC =FD ．∴AF =CD ．∴BC =AC +CD ．类型之一 轴对称及轴对称图形1．[2017·盐城]下列图形中，不是轴对称图形的是( C )A B C D【解析】选项A，B，D均可以沿一条直线折叠使图形左右两边的部分重合，故均为轴对称图形，只有C选项不是轴对称图形，故选C.2．[2018·武汉]点A(2，－5)关于x轴对称的点的坐标是( A )A．(2，5) B．(－2，5)C．(－2，－5) D．(－5，2)类型之二线段的垂直平分线3．如图13－1，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( A )图13－1A．115°B．120°C．130°D．140°【解析】由题意知∠B′FC＝90°－∠2＝50°，由折叠知∠1＝12(180°＋50°)＝115°.4．[2018·黄冈]如图13－2，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为( B )图13－2A．50°B．70°C．75°D．80°【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝25°，∵∠B＝60°，∴∠BAC＝95°，∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝70°.5．[2018·南充]如图13－3，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝__24__°.图13－3【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∴∠FAC＝∠EAC＋19°，∵AF平分∠BAC，∴∠FAB＝∠EAC＋19°，∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∴70°＋2(∠C＋19°)＋∠C＝180°，解得∠C＝24°.6．[2018春·丹东期末改编]如图13－4，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AB，BC于点M，E，边AC的垂直平分线交AC，BC于点N，F，△AEF的周长为10.图13－4(1)BC＝__10__；(2)若∠B＋∠C＝45°，则△AEF是什么特殊三角形？解：(1)∵ME是边AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵NF是边AC的垂直平分线，∴AF＝FC，∵△AEF的周长为10，∴AE＋EF＋AF＝BE＋EF＋FC＝BC＝10，则BC＝10；(2)由(1)知∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC，∵∠B＋∠C＝45°，∴∠B＋∠C＋∠BAE＋∠FAC＝90°，∴∠FAE＝90°，∴△AEF是直角三角形．7．[2017·连云港]如图13－5，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.图13－5(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.解：(1)∠ABE＝∠ACD.理由：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴△ABE≌△∠ACD.∴∠ABE＝∠ACD；(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.由(1)可知，∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.又∵AB＝AC，∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC.类型之三等腰三角形的性质与判定8．[2018·邵阳]如图13－6，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE＝3，则BC的长是__3__．图13－6【解析】∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠BCD＝72°.∵将△ABC 中的∠A 沿DE 向下翻折，使点A 落在点C 处， ∴根据折叠的性质，得△AED ≌△CED ， ∴AE ＝CE ，∠A ＝∠ECD ＝36°， ∴∠BCE ＝∠BCD －∠ECD ＝36°， ∴∠BEC ＝180°－∠B －∠BCE ＝72°， ∴∠BEC ＝∠B ，∴BC ＝CE . ∵AE ＝3，∴BC ＝CE ＝AE ＝ 3.9．[2018·镇江]如图13－7，△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 在边BC 上，BE ＝CF ，点D 在AF 的延长线上，AD ＝AC .图13－7(1)求证：△ABE ≌△ACF ；(2)若∠BAE ＝30°，则∠ADC 的度数是多少？ 解： (1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠ACF .在△ABE 和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠B ＝∠ACB ，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△ACF ；(2)∵△ABE ≌△ACF ，∠BAE ＝30°， ∴∠CAF ＝∠BAE ＝30°，∵AD ＝AC ，∴∠ADC ＝∠ACD ， ∴∠ADC ＝180°－30°2＝75°.10．如图13－8，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AE 平分∠BAC 交CD 于点F ，交BC 于点E ，试说明△CEF 是等腰三角形．图13－8解： 由已知得∠DAF ＋∠AFD ＝90°， ∠FAC ＋∠CEF ＝90°，又∵∠AFD ＝∠CFE ，∠FAC ＝∠DAF ， ∴∠CFE ＝∠CEF ，即△CEF 是等腰三角形．11．如图13－9，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE .图13－9(1)若∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°，求证：AD ＝BE ； (2)在(1)的条件下，求∠AEB 的度数．解： (1)∵∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°， ∴∠ACB ＝∠DCE ＝180°－2×50°＝80°.∵∠ACB ＝∠ACD ＋∠DCB ， ∠DCE ＝∠DCB ＋∠BCE ， ∴∠ACD ＝∠BCE .∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形， ∴AC ＝BC ，DC ＝E C.在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，DC ＝EC ，∴△ACD ≌△BCE (SAS)，∴AD ＝BE ； (2)∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC ＝∠BEC . ∵点A ，D ，E 在同一直线上，且∠CDE ＝50°， ∴∠ADC ＝180°－∠CDE ＝130°，∴∠BEC ＝130°. ∵∠BEC ＝∠CED ＋∠AEB ，且∠CED ＝50°， ∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝130°－50°＝80°.类型之四 等边三角形的判定与性质12．[2018·福建A 卷]如图13－10，等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD 上，∠EBC ＝45°，则∠ACE 等于( A )图13－10A．15°B．30°C．45°D．60°【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，AD是BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∴∠ACE＝60°－45°＝15°.类型之五含30°角的直角三角形的性质的运用13．如图13－11，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝__2__．图13－11【解析】∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝30°，∴BD＝AD＝2CD＝2.14．如图13－12，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝120°，线段AB的垂直平分线MN交AC于点D，且AD＝8 cm.求：图13－12 第14题答图(1)∠ADG 的度数； (2)线段DC 的长度．解： (1)∵在△ABC 中，BA ＝BC ， ∴∠A ＝∠C ，又∵∠B ＝120°， ∴∠A ＝12×(180°－120°)＝30°，∵MN ⊥AB ，∴∠AGD ＝90°， ∴∠ADG ＝90°－30°＝60°； (2)如答图，连接BD . ∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∠A ＝∠ABD ＝30°，∴∠CBD ＝90°， 由(1)知∠A ＝∠C ＝30°，∴BD ＝12CD ，∴DC ＝2BD ＝2AD ，又∵AD ＝8 cm ，∴DC ＝16 cm.类型之六 等腰三角形探究型问题15．[2017·莱芜]已知△ABC 与△DEC 是两个大小不同的等腰直角三角形． (1)如图13－13①，连接AE ，DB .试判断线段AE 和DB 的数量和位置关系，并说明理由；(2)如图②，连接DB ，将线段DB 绕D 点顺时针旋转90°到DF ，连接AF ，试判断线段DE 和AF 的数量和位置关系，并说明理由．图13－13解：(1)AE＝DB，AE⊥DB.理由：∵CA＝CB，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD＝90°，∴Rt△ACE≌Rt△BCD，∴AE＝DB.如答图①，延长DB交AE于点M，∵Rt△ACE≌Rt△BCD，∴∠AEC＝∠BDC.又∵∠AEC＋∠EAC＝90°，∴∠BDC＋∠EAC＝90°，∴在△AMD中，∠AMD＝180°－90°＝90°，∴AE⊥DB；(2)DE＝AF，DE⊥AF.第15题答图理由：如答图②，设ED与AF相交于点N，由题意可知BE＝AD. ∵∠EBD＝∠C＋∠BDC＝90°＋∠BDC，∠ADF＝∠BDF＋∠BDC＝90°＋∠BDC，∴∠EBD＝∠ADF，又∵DB＝DF，A EF∴△EBD ≌△ADF ，∴DE ＝AF ，∠E ＝∠FAD ＝45°， ∵∠EDC ＝45°，∴∠AND ＝90°，∴DE ⊥AF .类型之七 倍长中线与截长补短（选做）16. 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？【答案】延长AD 到G ，使DG AD =，连结BG ∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB ∆∆≌．∴AC GB =．G EAF ∠=∠ 又∵BE AC =，∴BE BG =∴G BED ∠=∠，而BED AEF ∠=∠ ∴AEF FAE ∠=∠，故FA FE =．17. 已知，如图，ABC 中，D 是BC 的中点，DE DF ⊥，试判断BE +CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论.【答案】BE +CF >EF过点B 作AC 的平行线，交FD 的延长线于点G ∵BG AC ≤（已知）∴1C ∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∵D 是BC 中点（已知）FED CBA FEDCBAED CBA∴BD =CD （中点定义） 在BGD 和CFD 中，123CBD CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已证）（已知） ∴()BGD CFD ASA ∆∆≌∴BG =CF ，GD =FD 全等三角形对应边相等） ∵DE DF ⊥（已知）∴（垂直定义） 在EDG 和EDF 中，4ED EDEDG GD FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（公共边）（已证）（已证） ∴()EDG EDF SAS ∆∆≌∴EG =EF （全等三角形对应边相等）∵在BEG 中，BE +BG >EG （三角形中两边之和大于第三边） ∴BE +CF >EF （等量代换）18. 如图，在ABC 中，AB +BD =AC ，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．【答案】在AC 上取一点E ，使得AB =AE ，连结DE ．在ABD 和AED 中， AB =AE ，BAD EAD ∠=∠， AD =AD ．∴ABD AED ∆∆≌，∴BD =ED ，B AED ∠=∠又∵AB +BD =AC ，∴EC =BD =ED2AED EDC C C B ∠=∠+∠=∠=∠．其他方法参考例题．490EDG ∠=∠=°D CB A。

全等三角形证明题辅助线专题--截长补短和倍长中线一、截长补短1.如图所示，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上，求证：AB＝AC＋BD．2.如图,在四边形ABCD中,AD=CD,BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E,求证:AE+BC=BE.3.如图,△ABC中,∠CAB=∠CBA=45∘,点E为BC的中点,CN⊥AE交AB于点N,连接EN.求证AE=CN+EN.4.如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A=60°，（1）求∠BFC的度数．（2）求证：BC=BE+CD．5.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD．求证：第2页，共28页BC=AB+CE．6.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，求证：EF=BE+DF；2(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立?2(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC,CD延长线上的点，且∠EAF=1∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；2若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.7.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF = 60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.8.如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，（1）求∠AOC的度数；（2）求证：OE＝OD；（3）猜测AE，CD，AC三者的数量关系，并证明．第4页，共28页9.如图在△ABC中，∠ABC＝60°，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，延长DB点F，使BF＝BD，连接AF．（1）求证：AF＝CD；（2）若CE平分∠ACB交AB于点E，试猜想AC、AF、AE三条线段之间的数量关系，并证明你猜想的结论．二、倍长中线10.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，AM和DN分别是中线，且AM＝DN．求证：△ABC≌△DEF．11.（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB=13，AC=9，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：Ⅰ．由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是______．A．SSS B．SAS C．AAS D．HLⅡ．由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是______．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．（2）【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE=∠AFE．若AE=4，EC=3，求线段BF的长．12.已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BC交AC于F，求证：AF＝EF．第6页，共28页13.如图,在△ABC中,AD是中线,∠BAC=∠BCA,点E在BC的延长线上,CE=AB,连接AE.求证:AE=2AD.14.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°(1)如图1，若BD为高线，AB＝4，BC＝3，AC＝5，求BD的长(2)如图2，若BD为中线，求证：BD＝1AC215.如图，在五边形ABCDE中，∠E=90O,BC=DE,，连接AC,AD,且AB=AD，AC⊥BC.（1）求证：AC=AE（2）如图，若∠ABC=∠CAD,AF为BE边上的中线，求证：AF⊥CD;（3）如图，在(2)的条件下，AE=8,DE=5，则五边形ABCDE的面积为_______。

几何证明-常用辅助线 (一)中线倍长法:例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤21(AB+AC) 分析：要证明AD ﹤21(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD ，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。

待证结论AB+AC>2AD 中，出现了2AD ，即中线AD 应该加倍。

证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连CE ，则AE=2AD 。

在△ADB 和△EDC 中，AD =DE ∠ADB =∠EDCBD =DC∴△ADB ≌△EDC(SAS) ∴AB=CE又 在△ACE 中， AC+CE ＞AE∴AC+AB ＞2AD ，即AD ﹤21(AB+AC)小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。

它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

课题练习:ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=ACC例2: 中线一倍辅助线作法△ABC 中方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接BE 连接CD例3：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例4：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例5：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

学科教师辅导讲义 年 级： 科 目：数学 课时数：3课 题 几何证明教学目的 能够灵活运用本节课复习的两种解题方法更好的解决证明题.教学内容【例题讲解】题型一：截长补短法【例1】已知：如图，在△ABC 中，2ABC ACB ∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线.求证：AB BD AC +=.（根据图中添加的辅助线用两种方法证明）ABDC【提示】截长补短，2种方法‘方法一：方法二：【例2】已知：如图，在△ABC 中，2AB BC ，∠B =60°.求证：∠ACB =90°.【提示】截长补短（两种方法）方法一：方法二：【方法总结】当已知（或求证）“一条线段的长度是另一条线段长度的n 倍”或“一条线段的长度等于两条线段长度的和”时，通常用截长补短法.题型二：倍长中线法（一）求线段取值范围【例3】已知三角形的两边长分别为7和9，求第三边上中线长的取值范围.【提示】倍长中线（二）证明线段不等【例4】如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．求证：AB +AC ＞2AD ．【提示】延长AD 至点E ，使DE =AD ，连接CE ．易证△ABD ≌△ECD ．所以AB =EC ．在△ACE 中，因为AC +EC ＞AE =2AD ，所以AB +AC ＞2AD ．（三）证明线段相等.求证：AC=BF. 【例5】已知：如图，AD为△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE EF【提示】倍长中线法，2种方法方法一：方法二：【方法总结】当已知“三角形一边中线”通常运用“倍长中线法“解决问题（注：有时倍长的并不一定是中线）.可以倍长过中点的任意一条线段.（如下题）【例6】如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．【分析】可以把FE看作△FBC的一条中线．延长FE至点H，使EH=FE，连接CH．则△CEH≌△BEF．所以CH=BF，∠H=∠1．因为EG//AD，所以∠1=∠2，∠3=∠G．又因为∠2=∠3，所以∠1=∠G．所以∠H=∠G．由此得CH=CG．所以BF=CG．方法二：延长GE到H使得EH=EG（四）证明线段倍分【例7】如图，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD．CAD B E【分析】延长CD至点F，使DF=CD，连接BF．则由△ADC≌△BDF可得AC=BF，∠1=∠A．由AC=AB得∠ACB=∠2．因为∠3=∠A+∠ACB，所以∠3=∠CBF．再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，可得△CBE≌△CBF，所以CE=CF，即CE=2CD（五）证明两直线垂直【例8】如图，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点．求证：MA⊥BC．FEB CDAMHG【分析】设MA的延长线交BC于点D，延长AM至点N，使MN=AM，连接FN．则由△FMN≌△HMA可得FN=AH=AC，FN//AH，所以∠AFN+∠F AH=180°．因为∠BAC+∠F AH=180°，所以∠AFN=∠BAC．又因为AF=AB，所以△AFN ≌△BAC，得∠1=∠2．因为∠1+∠3=90°，所以∠2+∠3=90°，所以∠ADB=90°．从而得出MA⊥BC．【借题发挥】1．已知：如图，DA⊥AC，FC⊥AC，ADB BDF∠=∠，CFB DFB∠=∠.求证：DF AD CF=+.【提示】截长补短，2种方法方法一：方法二：2．已知：如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，点P在DC边上，且AP AB CP=+.求证：2BAP BAM∠=∠.AD CBMP【提示】截长补短，2种方法方法一：方法二：3．已知：如图，C是AB的中点，点E在CD上，且AE BD=.求证：AEC BDC∠=∠.【提示】倍长中线法，2种方法方法一：方法二：+=. 4．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，作DH⊥BC于点H.求证：DC CH BH【提示】截长补短法，两种方法方法一：方法二：【课堂总结】【课后作业】1．已知D为EC的中点，EF∥AB，且EF=AC，求证：AD平分∠BAC【提示】倍长中线法：延长FD至G，使FD=DG，联结CG2．已知如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB BD DC+=.求证:∠2B=∠C.【提示】截长补短法，两种方法方法一：方法二：二、综合提高训练1．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC, ∠B的平分线与AC交于点D，过点C作CH⊥BD，H为垂足。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用D C BAED F CB A的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂D C BAED F CB A线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

几何证明-常用辅助线 (一)中线倍长法:例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤21(AB+AC) 分析：要证明AD ﹤21(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD ，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。

待证结论AB+AC>2AD 中，出现了2AD ，即中线AD 应该加倍。

证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连CE ，则AE=2AD 。

在△ADB 和△EDC 中，AD =DE ∠ADB =∠EDCBD =DC∴△ADB ≌△EDC(SAS) ∴AB=CE又 在△ACE 中， AC+CE ＞AE∴AC+AB ＞2AD ，即AD ﹤21(AB+AC)小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。

它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

课题练习:ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=ACC例2: 中线一倍辅助线作法△ABC 中方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接BE 连接CD例3：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例4：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例5：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在ABC 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED=证明∵//CE AB （已知）∴ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD 中，∵ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（已证），BD CD =（已知），∴()A.A.S ABD ECD △△≌，∴AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE ∠=∠，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD 到E ，使得DE AD =，连接CE ，易证ABD ECD ∆≅∆，得AB = ，在ACE ∆中，AC CE +> ，2AB AC AD +>．【问题解决】（1）如图（3），在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．（2）如图（4），在ABC ∆中，90,A D ∠=︒是BC 边的中点，E F 、分别在边AB AC 、上，DE DF ⊥，若3,4BE CF ==，求EF 的长．（3）如图（5），AD 是ABC ∆的中线，,AB AE AC AF ==，且90BAE FAC ∠=∠=︒，请直接写出AD 与EF 的数量关系_ 及位置关系_ ．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

文档几何证明中常用辅助线:)中线倍长法(一、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

1 例1 (AB+AC)﹤已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD 21也就是证明两条线段之和分析：要证明AD ﹤(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD，2，但题中的三条大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”因此应该进行转线段共点，不能用三角形三边关系定理，没有构成一个三角形，应该加倍。

，即中线AD化。

待证结论AB+AC>2AD中，出现了2AD AE=2AD。

DE=AD，使，连CE，则证明：延长AD至E 中，在△ ADB和△EDC AD=DE AEDCADB=∠∠DCBD=EDC(SAS) ≌△∴△ADB CDB AB=CE∴中，在△ACE又E AE＞AC+CE1 (AB+AC)AD ﹤AC+AB＞2AD，即∴2即中线倍长法。

涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，小结：(1)集中于同一个三CAD和两个角∠BAD和∠它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC 角形中，以利于问题的获解。

BAC?ABC?AB=AC 是BD=CD，求证课题练习:的平分线，且中，AD AC BD文档中线一倍辅助线作法 2:例A A方式1：延长AD△ABC中到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE BC BC D D方式2：间接倍长EA A延长MD到NAD于F，，作CF⊥F作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，M连接BE 连接CD CB D D CBE N例3：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例4：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，A求证：BD=CEDBCF E课堂练习：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交A?ABCAB?AC，D：已知：如图，在AC于例5、E中，DF//BA A交AE于点F，DF=AC. 作DE=EC在BC上，且，过D FE?BAC求证：AE平分FED第1 题文档BAE ∠ABD的中线，求证：∠C=∠BAD，AE是△课堂练习：已知CD=AB，∠BDA= ABC DE作业：的延长线相交于DC，∠EAFAF与AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=1、在四边形ABCD 中，之间的数量关系，并证明你的结论与AF、CF点F。

倍长中线专题初中阶段三角形有三条重要的、也是最基本的线段：三角形的高线、中线、角平分线。

三种线段各有其重要信息反馈，就中线而言，它具有的功能：①必有相等的线段②必有相等的面积③必有倍长中线构成全等。

本专题只讨论倍长中线的问题。

【基本原理】：如图所示，AD是△ABC的中线，延长AD至E点，使DE＝AD，得到△ADC≌△EDB。

口诀：图形有中线，倍长延中线，连接另一端，全等尽呈现。

【模型实例】：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于F 点，AF=EF ，求证：AC=BE证明： 如图所示。

延长AD 至G 点，使DG=AD ，连接BG 。

在△ADC 与△GDB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD BD GDB ADC GD AD∴△ADC ≌△GDB∴BG =AC ，∠1=∠G又因为AF=EF∴∠1=∠2=∠3∴∠3=∠G∴BG=BE （等角对等边）∴AC=BE②证全等①作倍长中线 ③列出需要用的结果④转化替代 ⑤得出结果【练习1】：如图，在在△ABC中，D为BC的中点，求证：AD+>AB2AC【练习2】：如图，在△ABC中，D为B C的中点,且AD是角平分线。

求证：AB=AC【练习3】：AD是△ABC的中线，分别以AB边、AC边为直角边向外作等腰直角三角形，求证：EF=2AD【练习4】：在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于F点。

试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论。

截长补短专题要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采用“截长补短”法。

①截长法：把较长的线段截取一段等于两较短线中的一条；②补短法：把两条较短的线段补成一条，再证与长线段相等。

【模型实例】：如图，△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C。

求证：AC=AB+BD 方法一：截长(利用角平分线构建全等三角形)分析：如图，在AC上截AE=AB，连接DE。

三角形全等之倍长中线、截长补短所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 方式1： 延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE△ABC 中AD 是BC边中线方式2：间接倍长①作CF ⊥AD 于F ，②延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接BE 连接CD【经典例题】例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠练习：1、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且 AE=EF ，求证：AC=BF2、如图，AB=AE ，A B ⊥AE ，AD=AC ，A D ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE=2AM第 1 题图ABFDECC M角平分线中截长补短方法在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗。

例１．已知：如图，在△ABC 中，AB>AC ∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.例２．如图，在△ABC 中，AB >AC ，∠1=∠2，P 为AD 上任意一点，连接BP ，CP ． 求证：AB -AC >PB -PC ．例3.已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．例4.已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .DC B A12图4-121PD CB A D OECB AF EDC B A练习：1、已知：△ABC 中，AB=4cm ，BC=6cm ，BD 是AC 边上的中线，求BD 的取值范围。

倍长中线与截长补短模块一倍长中线中线是三角形中的重要线段之一，当题目的条件中有中线时，我们常采用“倍长中线法”添加辅助线，构造一组旋转型的全等，利用全等的结论来解决问题．倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出“8字型”全等．但是给出的条件并不一定要仅限于三角形的中线才可以，有些时候，只要已知条件中有中点就可以运用“倍长中线法”来解决问题．倍长中线（1）如图，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，求证：AB=CE，且AB//CE.G FEDCBA（2D 是BC 边中点，，求的取值范围.ABCD（3）如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF =EF ，求证：AC =BE ．【答案】延长AD 到G ，使DG =AD ，连结BG ∵BD =CD ，BDG CDA ∠=∠，AD =GD ∴ADC GDB ≅∴AC =GB ．G EAF ∠=∠又∵AF =EF ，∴EAF AEF ∠=∠ ∴G BED ∠=∠∴BE =BG ，∴BE =AC ．倍长类中线如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．BCFEDC BAHAF GBE DC【答案】延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ． 在CEF ∆和BEH ∆中 CE BE CEF BEH FE HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF BEH ∆∆≌∴EFC EHB ∠=∠，CF BH BG == ∴EHB BGE ∠=∠，而BGE AGF ∠=∠ ∴AFG AGF ∠=∠ 又∵EF AD ∥∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠ ∴CAD BAD ∠=∠∴AD 为ABC ∆的角平分线．提示：也可延长GE 至H ，使EH GE =，连接CH倍长三角形中线进阶已知，ABC ∆中，AB =AC ，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD =AB ． 求证：（1）CD =2CE ；（2）D ACE ∠=∠．【答案】(1) 延长CE 到F ，使EF =CE ，连结BF ． ∵CE 是AB 的中线，∴AE =EB ，∴EBF EAC ≅ ∴BF =AC =BD ，EBF EAC ∠=∠，∴FBC FBE EBC A ACB DBC ∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴FBC DBC ≅ ∴CD =CF =2CE ．∠FCB =∠BCD ．（2）解法一：又∵AB =AC ∴∠ACB =∠ABC ，∴∠ACB =∠FCB +∠ACE ，F GE DCBAE D CBA FCA EB DFE NABD C∠ABC =∠BCD +∠D ，∴∠D =∠ACE ． 解法二：由①中的两个全等，可以得到： F ACE F D ∠=∠∠=∠，，∴D ACE ∠=∠．倍长中线与角平分线综合已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ． 求证：BE CF EF +>．【答案】延长FD 到N ，使DN DF =，连接BN 、EN ． 易证BND ∆≌CFD ∆，∴BN CF =，又∵ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ，∴90EDF EDN ∠=∠=，利用SAS 证明EDN ∆≌EDF ∆，∴EN EF =， 在EBN ∆中，BE BN EN +>，∴BE CF EF +>．模块二 截长和补短截长补短（1）如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ． 求证：AB +BD =AC ．【答案】方法一：在AC 上取一点E ，使得AB =AEFE AB D CDC B AABCDEED C B A FM AB CDE ED CB A连结DE ．在ABD △和AED △中 AB =AE ，BAD EAD ∠=∠AD =AD∴ABD AED ≅∴BD =ED ，B AED ∠=∠又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠EDC C ∠=∠，ED =EC ∴AB +BD =AC ．方法二：在AB 的延长线上取一点E 使得AC =AE ，连结DE ．在AED △和ACD △中，AE =AC EAD CAD ∠=∠，AD =AD∴AED ACD ≅，∴C E ∠=∠又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠ ∴E BDE ∠=∠∴BE =BD ，∴AB +BD =AC ．方法三：延长DB 到点E 使得AB =BE ，连结AE 则有EAB E ∠=∠ 2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠又∵2ABC C ∠=∠，∴AE =AC 又∵EAD EAB BAD E DAC C DAC ADE ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠∴AE =DE ，∴AB +BD =EB +BD =ED =AE =AC方法四：如图，作BF 平分ABC ∠交AD 、AC 于E 、F 点 延长BF 到M ，使FM =FA ，连结AM ∴ABF FBC ∠=∠∵2ABC C ∠=∠，∴FBC C ∠=∠．∴FB =FC ∵AF =FM ，∴M FAM ∠=∠ ∵AFE FBC C ∠=∠+∠，又AFE M FAM ∠=∠+∠ 即22AFE M C ∠=∠=∠．∴C M ∠=∠ ∴M ABM DBF C ∠=∠=∠=∠．∴AB =AM ∵ADB C DAC ∠=∠+∠ 且DEB EBA BAE ∠=∠+∠∵BAD DAC ∠=∠，∴ADB DEB ∠=∠．∴BD =BE 同理MA =ME∵AF =FM ，FB =FC ，∴AC =BM ．∴AC =AB +BD（2）如图所示，在ABC △中，AD BC ⊥于点D ，2B C ∠=∠．求证：AB BD CD +=．E DCBAABDECMFEDCB A【答案】由AD BC ⊥，2B C ∠=∠知：如果在CD 上截取DE DB =，连接AE ，就可以构造出两个等腰三角形ABE △和AEC △． 如图，在CD 上截取DE DB =，连接AE ． 因为AD BC ⊥，DE DB =，所以AE AB =，于是B AEB ∠=∠，又因为AEB C CAE ∠=∠+∠，2B C ∠=∠， 所以CAE C ∠=∠， 于是AE EC =，故AB BD AE ED EC ED CD +=+=+=．（3）如图，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，且AE AD BE =+， 求证：180B D ∠+∠=︒．【答案】在AE 上截取一点F ，使得AD =AF ， 证ACD ≌ACF 即可． （4）已知：如图，四边形ABCD 是正方形，FAD FAE ∠=∠．求证：BE +DF =AE ．【答案】延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM ． ∵AB =AD ，AD CD ⊥，AB BM ⊥，BM =DF ，∴，∴AFD AMB ∠=∠，DAF BAM ∠=∠， ∵AB CD ，∴ADF BAF EAF BAE BAE BAM EAM ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠， ∴AMB EAM ∠=∠，∴AE =EM =BE +BM =BE +DF ．C D BAFEDCBAABM ADF △≌△FEDCA截长补短进阶如图所示，在ABC △中，100A ∠=，40ABC ∠=，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至E ，使DE =AD ．求证：BC =AB +CE【答案】在BC 上取一点F ，使得BF =BA 易证得ADB FDB ≅ ∴DF =AD ， 又∵DA =DE ∴DF =DE∵100A ∠=，AB =AC ∴40ABC ∠= ∵BD 平分ABC ∠， ∴20ABD ∠= ∴60ABD FDB ∠=∠=∵60CDE ADB ∠=∠= ∴ 60FDC EDC ∠=∠= ∴DCF DCE ≅ ∴FC =EC∴BC =BF +FC =AB +CE截长补短应用进阶如图，ABC △中，AB =AC ，108A ∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC =AC +CD ．【答案】方法一：在BC 上截取E 点使BE =BA ，连结DE ． ∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠．EDCBAAB CDE DCB ADCBAF在ABD △与EBD △中∵AB =EB ，ABD EBD ∠=∠， BD =BD ∴ABD EBD ≅，∴A DEB ∠=∠∵108A ∠=， ∴108DEB ∠=∴72DEC ∠=． 又∵361854ADB ∠=+= ∴72CDE ∠=∴CDE DEC ∠=∠ ∴CD =CE∵BC =BE +EC ，∴BC =AC +CD方法二：如图，延长CA 到F ，使CF =CB ，连结BF ． ∵AB =AC ，且108BAC ∠=， ∴36ABC C ∠=∠=． ∵CB =CF ，∴F FBC ∠=∠．∴FAB C ABC ∠=∠+∠． ∴72FAB ∠=．∵12ADB C ABC ∠=∠+∠，∴54ADB ∠=．又∵54FDB ∠= ∴BF =AB =AC =FD ．∴AF =CD ．∴BC =AC +CD ．类型之一 轴对称及轴对称图形1．[2017·盐城]下列图形中，不是轴对称图形的是( C )A B C D【解析】选项A，B，D均可以沿一条直线折叠使图形左右两边的部分重合，故均为轴对称图形，只有C选项不是轴对称图形，故选C.2．[2018·武汉]点A(2，－5)关于x轴对称的点的坐标是( A )A．(2，5) B．(－2，5)C．(－2，－5) D．(－5，2)类型之二线段的垂直平分线3．如图13－1，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( A )图13－1A．115°B．120°C．130°D．140°【解析】由题意知∠B′FC＝90°－∠2＝50°，由折叠知∠1＝12(180°＋50°)＝115°.4．[2018·黄冈]如图13－2，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为( B )图13－2A．50°B．70°C．75°D．80°【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝25°，∵∠B＝60°，∴∠BAC＝95°，∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝70°.5．[2018·南充]如图13－3，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝__24__°.图13－3【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∴∠FAC＝∠EAC＋19°，∵AF平分∠BAC，∴∠FAB＝∠EAC＋19°，∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∴70°＋2(∠C＋19°)＋∠C＝180°，解得∠C＝24°.6．[2018春·丹东期末改编]如图13－4，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AB，BC于点M，E，边AC的垂直平分线交AC，BC于点N，F，△AEF的周长为10.图13－4(1)BC＝__10__；(2)若∠B＋∠C＝45°，则△AEF是什么特殊三角形？解：(1)∵ME是边AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵NF是边AC的垂直平分线，∴AF＝FC，∵△AEF的周长为10，∴AE＋EF＋AF＝BE＋EF＋FC＝BC＝10，则BC＝10；(2)由(1)知∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC，∵∠B＋∠C＝45°，∴∠B＋∠C＋∠BAE＋∠FAC＝90°，∴∠FAE＝90°，∴△AEF是直角三角形．7．[2017·连云港]如图13－5，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.图13－5(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.解：(1)∠ABE＝∠ACD.理由：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴△ABE≌△∠ACD.∴∠ABE＝∠ACD；(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.由(1)可知，∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.又∵AB＝AC，∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC.类型之三等腰三角形的性质与判定8．[2018·邵阳]如图13－6，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE＝3，则BC的长是__3__．图13－6【解析】∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠BCD＝72°.∵将△ABC 中的∠A 沿DE 向下翻折，使点A 落在点C 处， ∴根据折叠的性质，得△AED ≌△CED ， ∴AE ＝CE ，∠A ＝∠ECD ＝36°， ∴∠BCE ＝∠BCD －∠ECD ＝36°， ∴∠BEC ＝180°－∠B －∠BCE ＝72°， ∴∠BEC ＝∠B ，∴BC ＝CE . ∵AE ＝3，∴BC ＝CE ＝AE ＝ 3.9．[2018·镇江]如图13－7，△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 在边BC 上，BE ＝CF ，点D 在AF 的延长线上，AD ＝AC .图13－7(1)求证：△ABE ≌△ACF ；(2)若∠BAE ＝30°，则∠ADC 的度数是多少？ 解： (1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠ACF .在△ABE 和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠B ＝∠ACB ，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△ACF ；(2)∵△ABE ≌△ACF ，∠BAE ＝30°， ∴∠CAF ＝∠BAE ＝30°，∵AD ＝AC ，∴∠ADC ＝∠ACD ， ∴∠ADC ＝180°－30°2＝75°.10．如图13－8，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AE 平分∠BAC 交CD 于点F ，交BC 于点E ，试说明△CEF 是等腰三角形．图13－8解： 由已知得∠DAF ＋∠AFD ＝90°， ∠FAC ＋∠CEF ＝90°，又∵∠AFD ＝∠CFE ，∠FAC ＝∠DAF ， ∴∠CFE ＝∠CEF ，即△CEF 是等腰三角形．11．如图13－9，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE .图13－9(1)若∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°，求证：AD ＝BE ； (2)在(1)的条件下，求∠AEB 的度数．解： (1)∵∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°， ∴∠ACB ＝∠DCE ＝180°－2×50°＝80°.∵∠ACB ＝∠ACD ＋∠DCB ， ∠DCE ＝∠DCB ＋∠BCE ， ∴∠ACD ＝∠BCE .∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形， ∴AC ＝BC ，DC ＝E C.在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，DC ＝EC ，∴△ACD ≌△BCE (SAS)，∴AD ＝BE ； (2)∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC ＝∠BEC . ∵点A ，D ，E 在同一直线上，且∠CDE ＝50°， ∴∠ADC ＝180°－∠CDE ＝130°，∴∠BEC ＝130°. ∵∠BEC ＝∠CED ＋∠AEB ，且∠CED ＝50°， ∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝130°－50°＝80°.类型之四 等边三角形的判定与性质12．[2018·福建A 卷]如图13－10，等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD 上，∠EBC ＝45°，则∠ACE 等于( A )图13－10A．15°B．30°C．45°D．60°【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，AD是BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∴∠ACE＝60°－45°＝15°.类型之五含30°角的直角三角形的性质的运用13．如图13－11，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝__2__．图13－11【解析】∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝30°，∴BD＝AD＝2CD＝2.14．如图13－12，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝120°，线段AB的垂直平分线MN交AC于点D，且AD＝8 cm.求：图13－12 第14题答图(1)∠ADG 的度数； (2)线段DC 的长度．解： (1)∵在△ABC 中，BA ＝BC ， ∴∠A ＝∠C ，又∵∠B ＝120°， ∴∠A ＝12×(180°－120°)＝30°，∵MN ⊥AB ，∴∠AGD ＝90°， ∴∠ADG ＝90°－30°＝60°； (2)如答图，连接BD . ∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∠A ＝∠ABD ＝30°，∴∠CBD ＝90°， 由(1)知∠A ＝∠C ＝30°，∴BD ＝12CD ，∴DC ＝2BD ＝2AD ，又∵AD ＝8 cm ，∴DC ＝16 cm.类型之六 等腰三角形探究型问题15．[2017·莱芜]已知△ABC 与△DEC 是两个大小不同的等腰直角三角形． (1)如图13－13①，连接AE ，DB .试判断线段AE 和DB 的数量和位置关系，并说明理由；(2)如图②，连接DB ，将线段DB 绕D 点顺时针旋转90°到DF ，连接AF ，试判断线段DE 和AF 的数量和位置关系，并说明理由．图13－13解：(1)AE＝DB，AE⊥DB.理由：∵CA＝CB，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD＝90°，∴Rt△ACE≌Rt△BCD，∴AE＝DB.如答图①，延长DB交AE于点M，∵Rt△ACE≌Rt△BCD，∴∠AEC＝∠BDC.又∵∠AEC＋∠EAC＝90°，∴∠BDC＋∠EAC＝90°，∴在△AMD中，∠AMD＝180°－90°＝90°，∴AE⊥DB；(2)DE＝AF，DE⊥AF.第15题答图理由：如答图②，设ED与AF相交于点N，由题意可知BE＝AD. ∵∠EBD＝∠C＋∠BDC＝90°＋∠BDC，∠ADF＝∠BDF＋∠BDC＝90°＋∠BDC，∴∠EBD＝∠ADF，又∵DB＝DF，A EF∴△EBD ≌△ADF ，∴DE ＝AF ，∠E ＝∠FAD ＝45°， ∵∠EDC ＝45°，∴∠AND ＝90°，∴DE ⊥AF .类型之七 倍长中线与截长补短（选做）16. 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？【答案】延长AD 到G ，使DG AD =，连结BG ∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB ∆∆≌．∴AC GB =．G EAF ∠=∠ 又∵BE AC =，∴BE BG =∴G BED ∠=∠，而BED AEF ∠=∠ ∴AEF FAE ∠=∠，故FA FE =．17. 已知，如图，ABC 中，D 是BC 的中点，DE DF ⊥，试判断BE +CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论.【答案】BE +CF >EF过点B 作AC 的平行线，交FD 的延长线于点G ∵BG AC ≤（已知）∴1C ∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∵D 是BC 中点（已知）FED CBA FEDCBAED CBA∴BD =CD （中点定义） 在BGD 和CFD 中，123CBD CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已证）（已知） ∴()BGD CFD ASA ∆∆≌∴BG =CF ，GD =FD 全等三角形对应边相等） ∵DE DF ⊥（已知）∴（垂直定义） 在EDG 和EDF 中，4ED EDEDG GD FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（公共边）（已证）（已证） ∴()EDG EDF SAS ∆∆≌∴EG =EF （全等三角形对应边相等）∵在BEG 中，BE +BG >EG （三角形中两边之和大于第三边） ∴BE +CF >EF （等量代换）18. 如图，在ABC 中，AB +BD =AC ，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．【答案】在AC 上取一点E ，使得AB =AE ，连结DE ．在ABD 和AED 中， AB =AE ，BAD EAD ∠=∠， AD =AD ．∴ABD AED ∆∆≌，∴BD =ED ，B AED ∠=∠又∵AB +BD =AC ，∴EC =BD =ED2AED EDC C C B ∠=∠+∠=∠=∠．其他方法参考例题．490EDG ∠=∠=°D CB A。