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正弦交流电电路稳态分析

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第2章 正弦稳态电路的分析

第2章 正弦稳态电路的分析

u
l
L是一个与i、ψ无关的常数。若线圈中含有铁磁物质，则 L与i、ψ有关，不是常数。 线圈的电感与线圈的形状，几何尺寸，匝数以及周 围物质的导磁性质有关，即 SN 2 L l l为密绕长线圈的长度（m），截面为S（m2)， 匝数为N，μ为介质的磁导率。
2．自感电动势
i(t)变化
ψ变化
产生eL(t)
波形图中 正半周 u ＞ 0 , i ＞ 0 (正值),说明实际方向与参考方向相同 负半周 u ＜ 0 , i ＜0 (负值),说明实际方向与参考方向相反
+
u
_
i,u T Um O
波形： Im

wt
可见:没有设定参考方向,正负值就没有意义,波形图也表达不出 它们的变化规律
2.1.2 正弦交流电量的三要素：
u U m cos( t + ) w U m e j (wt + )的实部 正弦电压u正好等于复数
u Re [U m e j (wt + ) ] Re [U m e jwt e j ] e jwt ] (令U U e j ) Re [U m m m
现在就把பைடு நூலகம்U m U m e j U m 称为正弦电压u的最大值相量
除法：模相除，角相减。
正弦交流电量的表示法 1、瞬时表达式(即时间的正弦或余弦函数式) 2、波形图(即时间的正弦或余弦函数曲线) 3、相量法(用复数表示正弦电量的方法) (1)复数与正弦量的关系
U m e j (wt + ) U m [cos(wt + ) + j sin(wt + )]
特殊相位关系：
u, i
u i O u, i u O u, i u iw t

第九章 正弦交流电路的稳态分析

第九章 正弦交流电路的稳态分析

560 V U jL j2π 3 10 4 0.3 10 3 j56.5Ω
R R j L L uL - + + + + u - + UL + +U + R .C R u u C 1 U i. U C I jC -
1 Z R jL j 15 j56.5 j26.5 C o 33.5463.4 Ω
U R RI R U L j LI L 1 UC IC j C
ZR
UR R IR
称为电阻 称为电感的阻抗，简称为感抗 称为电容的阻抗，简称为容抗
UL ZL j L IL UC 1 ZC I C j C
注：RLC元件电压相量与电流相量之间的关系类似欧姆定律，电 压相量与电流相量之比是一个与时间无关的量，它是一个复数。
可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦 电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法应用到 正弦稳态的相量分析中。
I
.
R
j L + UL 1 jω C
.
+
U
.
+.
-
UC
. . . . U U R U L UC
. 1 . ( R j L j ) I ( R jX ) I C
Z— 复阻抗；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)； |Z|—复阻抗的模； —阻抗角。
| Z | R 2 X 2 关系： X φ arctg R
解： 已知的都是有效值，画相量图进行定性分析。
2 U 2 U 12 U 2 2U 1U 2 cosq 2 θ 2 64.9o

第三章 正弦交流电路的稳态分析PPT课件

第三章 正弦交流电路的稳态分析PPT课件

的交流电压、电流
称为正弦电压、电流。
0
t
Байду номын сангаас
（如图所示）
3. 正弦电压、电流等物理量统称为正弦量。 目前世界上电力工业中绝大多数都采用正弦量。
9
正弦交流电路：
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按 正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向 也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
+i
u
R
i
-
t
用小写字母表示交流瞬时值
第三章
正弦交流电路的 稳态分析
1
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
2
第3章 正弦交流电路的稳态分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节
正弦量的三要素 正弦量的相量表示法 电路基本定律的相量形式 电阻、电感、电容元件串联的正弦交流电路 RL支路与RC支路并联的正弦交流电路 复杂正弦交流电路的相量分析法 正弦交流电路的功率 功率因数的提高 电路的谐振
14
［例］我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz， 试求其周期和角频率。
［解］ T 1 0.02S = 2 f =23.14 50=314rad/s
f
2、描述变化大小的参数
(1) 瞬时值: 正弦量任意瞬间的值称为瞬时值， 用小写字母表示:i、u、e。
(2) 幅值: 正弦量在一个周期内的最大值，用 带有下标m的大写字母表示:Im、Um、Em 。
U
1
T u2(t)dt
T0
I T 10TIm 2co2(stΨ)dt

正弦电流电路的稳态分析基础知识讲解

正弦电流电路的稳态分析基础知识讲解
dt t
T 1T
0
0
2
20 2
I
1 T
I
2 m
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
i(t ) Im sin(wt Ψ ) 2I sin(wt Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U 2 Um
或
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
U=380V，
二、正弦量的相量表示
两个正弦量 i1 2 I1 sin(wt y1 )
u, i
角频率： 有效值：
i1
w
i1
i2
wi2
I1
I2
初相位：
1 O 2
i2 2 I2 sin(wt y2 )
i1+i3i2 i3
w
I3
wt3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。于是想到复数， 复数向量也包含一个模和一个幅角，因此，我们可以把正 弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算， 使计算变得较简单。
解：
•
I
10030o
A
•
U 220 60o V
试用相量表示i, u .
例2.
•
已知I
5015
A,
f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
解：i 50 2sin(314t 15 ) A
相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：
•
U
•
I
i(t) 2Isin(ω t ) I I u(t) 2Usin(ωt θ ) U Uθ

第三章 正弦交流电路的稳态分析

第三章 正弦交流电路的稳态分析

A | A | e j | A |
两种表示法的关系： A=a+jb A=|A|ej =|A|
| A | a 2 b 2 b θ arctg a 复数运算
Im b
A |A|
直角坐标表示 极坐标表示
0

a Re
或
a | A | cosθ b | A | sinθ
1 i dt 则有： I T
2

T
0
i dt
2
同样，可定义电压有效值：
正弦电流、电压的有效值 与最大值的关系 设 i(t)=Imcos( t+ )
U
def
1 T

T
0
u ( t )dt
2
1 I T


T
0
I cos ( t Ψ ) dt
2 m 2
T 0

T
0
cos ( t Ψ ) dt
u,i
0
t
3. 正弦电压、电流等物理量统称为正弦量。 目前世界上电力工业中绝大多数都采用正弦量。
正弦交流电路：
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按 正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向 也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
+
u
-
i
i
R
t
用小写字母表示交流瞬时值
正弦交流电的正方向：
必须 小写

瞬时值表达式 i

相量
重点
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
1. 复数及运算
复数A的表示形式 Im b A
A=a+jb
(j 1 为虚数单位)

第九章 正弦交流电路的稳态分析(课件)

第九章 正弦交流电路的稳态分析(课件)

练习题：图示电路中已知V1=6V，V2=8V，求各电路的V=？
°
V1 V
°
R L
°
°
R
R
V2
R
C
L
C
°
（1）
°
（2）
°
（3）
°
（4）
例：
i +
.
.
I
+ iL iL iC u R L C . . . . I IR IL IC . . 1 (G j jC ) U (G jB) U L
定由电容、电感决定；R、X、G、B是元件及频率的函数。
二端网络阻抗和导纳等效关系 º Z R jX º Y G jB
º º Z R jX | Z | φ Y G jB | Y | φ ' 1 1 R jX G jB Y Z R jX R2 X 2 G 2R 2 , B 2 X 2 R X R X 1 | Y | , φ ' φ |Z| 一般情况 G1/R B1/X。若Z为感性，X>0，则B<0， 即仍为感性。
等效电路
+
.
R
1 jCeq
U
-
+ UX -
（4）L=1/C ，X=0， z=0，电路为电阻性，电压与电流同相。
I
UR
I 等效电路
+ -U
R
-
UR
+
例：已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F,
u 5 2cos (t 60 ), f 3 10 Hz .
UR ZR R IR UL ZL j L I
L

正弦交流电路的稳态分析(课件)

正弦交流电路的稳态分析(课件)

02
正弦交流电的基本概念
正弦交流电的定义
正弦交流电
正弦交流电的产生
大小和方向随时间作正弦函数周期性 变化的电流。
通过交流发电机产生，当磁场和导体 线圈发生相对运动时，导体线圈中就 会产生正弦交流电。
正弦交流电的波形图
正弦交流电的波形图呈现正弦函数的 形状，随着时间的推移，电流值在正 弦波的最高点和最低点之间变化。
线性时不变正弦交流电路具有 叠加性、比例性和线性特性。
相量法分析正弦交流电路
相量法是一种分析正弦交流电 路的方法，通过引入复数和相 量，将时域的电压和电流表示
为复数形式的相量。
相量法的优点在于可以将正 弦交流电路中的复杂数学问 题简化为复数代数问题，从
而方便求解。
通过相量法，可以得出正弦交 流电路的阻抗、功率和相位等
未来研究的方向和展望
研究方向一
研究方向二
针对复杂正弦交流电路的稳态分析，深入 研究不同元件之间的相互影响，提高分析 精度。
结合新型材料在正弦交流电路中的应用， 研究其对电路性能的影响，探索新型材料 在优化电路性能方面的潜力。
研究方向三
研究方向四
结合现代计算技术和仿真软件，开发高效 、精确的正弦交流电路稳态分析方法和工 具。
正弦交流电路的稳态分析 (课件)
• 引言 • 正弦交流电的基本概念 • 正弦交流电路的稳态分析 • 实例分析 • 总结与展望
01
引言
主题简介
正弦交流电路
正弦交流电路是指电流和电压随时间按正弦规律变化的电路 。在日常生活和工业生产中，许多电源和负荷都是以正弦交 流电的形式存在。
稳态分析
稳态分析是电路分析的一个重要方面，主要研究电路在稳定 状态下各元件的电压、电流和功率等参数。对于正弦交流电 路，稳态分析涉及对电路中各元件的电压和电流进行傅里叶 变换，以得到各次谐波的幅值和相位。

第三章 正弦交流电路的稳态分析

第三章 正弦交流电路的稳态分析

w
Im3
y1
一、复数及运算
y2
y3
Im b
1. 复数A表示形式： Im b
A
A |A|
y
0 a
Re 0 a Re
A a jb
A A e jy | A | y
2. 复数运算 (1)加减运算——直角坐标 (2) 乘除运算——极坐标 3. 旋转因子 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
Im( 2 U 1 e




jw t
) Im( 2 U 2 e jw t )


jwt
2U2 e

jw t
) Im( 2 (U 1 U 2 )e jw t )
得：
U U1 U 2
U
这实际上是一种变换思想，由时域变换到频域
i1 i2 = i 3 时域 频域
第四节 复阻抗和复导纳及等效变换 U R I U jw L I 一. 复阻抗
正弦激励下 +
U
I
无源 线性 纯电阻
I
+
U
U
Z
1 I jw C
-
-
U 复阻抗 Z I
ZR R
纯电感
Z L jwL jX L 纯电容 ZC 1 jwC jXC
定义
XC
1 wC
错误的写法 1 u wC i
1 U wC I
(1) 表示限制电流的能力； (2) 容抗的绝对值和频率成反比。
XC
w 0(直流), X C , 隔直作用; w , X C 0, 旁路作用;
w

第3章 正弦交流电路的稳态分析

第3章 正弦交流电路的稳态分析

第3章正弦交流电路的稳态分析本章的主要任务是学习正弦量、正弦交流电路和相量法的基本概念、正弦交流电路的稳态分析与计算、正弦交流电路功率的概念和计算。

在此基础上理解和掌握功率因数提高的意义，和谐振的概念。

本章基本要求(1) 正确理解正弦量和正弦交流电路概念；(2) 正确理解相量法引入的意义；(3) 正确理解有功功率和功率因数的概念；(4) 掌握相量法；(5) 掌握电路定律的相量形式和元件约束方程的相量形式；(6) 分析计算正弦稳态电路；(7) 了解功率因数提高的意义；(8) 了解谐振的概念。

本章习题解析3-1 已知正弦电压和电流的三角函数式，试用有效值相量表示它们，并画出它们的相量图。

（1）A，V（2）A，V（3）A，V解 (1)A，V，相量图如图3-1（a）所示。

(2)A，V，相量图如图3-1（b）所示(3)A，V，相量图如图3-1（c）所示3-2 已知电压、电流的相量表示式，试分别用三角函数式、波形图及相量图表示它们。

（1） V， A（2） V ， A（3），解 (1)=，V=，A波形图相量图如图3-2（a）所示。

(2)=，V=，A波形图相量图如图3-2（b）所示。

(3)=，V=，A波形图相量图如图3-2（c）所示。

3-3 已知电感元件的电压，电感mH，电源频率Hz。

求电流的瞬时表达式，并画出电压和电流的相量图。

解电流相量A瞬时值A相量图如图3-3所示。

3-4 已知电容元件的电容，当电容两端加上频率为电压时，产生的电流。

求电容电压的瞬时值表达式并画出电压和电流的相量图。

解角频率rads-1电容电压V相量图如图3-4所示。

3-5 电路如图3-5所示，，且已知电源电压和两端电压的波形如图所示，并设电源电压。

试求该无源网络在此特定频率的等效阻抗。

解设和的相位差rad==若电源电压相量V，无源网络的等效阻抗。

则V而，所以整个电路的电流mA则Ω∴ Ω3-6 图3-6为测量感性负载功率的电路。

已知，，，。

第二章 正弦稳态电路分析

第二章 正弦稳态电路分析
3．初相位 由式2-1可见，正弦交流电量的瞬时值除了与最大值有关外，还与 （ωt+φ）的值有关。此值称为正弦交流电量的相位角，简称相位。 t＝0时的相位称为初相角，简称初相位或初相，用符号φ0来表示
2.1.3 相位差 相位差描述两个同频率的正弦交流电在任何瞬时的相位之差。 两个同频率的正弦交流电压和电流的表达式分别为

表示有效值相量 图2-5 正弦量的相量图
【例2-2】已知某交流电路两端的电压u和通入的电流i分别为 u (t ) U m sin(t 135 ),
135 ), i(t ) I m cos( t 30 ) 画出该电路电流和电压的相量图。
【解】
u (t ) U m sin(t 135 ) U m cos( t 135 90 ) U m cos( t 45 )
cos(t / 6) cos(t / 3)
的相位超前
，所以，后通过极值点的为超前。
【例2-1】比较下面4组正弦交流电量的相位差，并说明哪一个超前，哪个滞后。
π u1 U 1m cos( t ) 6 π u 2 U 2 m cos(2t ) 3
（1）
【解】这两个正弦交流电量是不同频率的，由于不同频率正弦量的相位差是随时 间而变化的函数。所以，不同频率的正弦交流电量不能比较相位差，也无法说明 哪个超前，哪个滞后。 （2） 【解】根据2-3式可得
2.1.5 正弦交流电的表示法 1．解析法和波形法 正弦交流电的瞬时值可用三角函数式来表示，用三角函数来表示正弦交 流电的方法称为解析法
如 u U m cos( t )
由图2-3可得该正弦交流电量的三要素为：Um=5，T=8，f=0.125，ω=0.25π 因 所以 由图2-3可见， 图2-3 正弦交流电的波形图

正弦交流电路的稳态分析

正弦交流电路的稳态分析

问题解答：常见问题及解答
问题一
什么是正弦交流电？
答
正弦交流电是指大小和方向随时间作正弦函数变化的电压 或电流。在工频情况下，其频率为50Hz。
问题二
如何计算正弦交流电路中的电压和电流？
答
在正弦交流电路中，电压和电流可以通过欧姆定律和基尔 霍夫定律进行计算。具体来说，电压和电流的大小可以通 过有效值或最大值进行计算，而方向可以通过相位角进行 确定。
在串并联电路中，需要根据串联和并 联的性质分别计算总阻抗和总导纳， 然后进行稳态分析。
06
正弦交流电路的功率分析
有功功率和无功功率
有功功率
表示电路中实际消耗的功率，用于转 换和利用能量，单位为瓦特（W）。
无功功率
表示电路中交换的能量，用于维持磁 场和电场，单位为乏（Var）。
视在功率和功率因数
问题三
日光灯电路中的镇流器和启辉器的作用是什么？
答
镇流器在日光灯电路中起到限流的作用，它与启辉器配合 工作，使得日光灯在启动时能够产生足够的瞬时高电压将 灯管内的气体击穿，从而点亮灯管。
THANKS
感谢观看
总结词
电容元件的电压与电流有效值之间的关系符合容抗公式。
详细描述
在正弦交流电路中，电容元件的电压有效值与电流有效值 之比等于容抗值。即，$V_{C} = X_{C}I_{C}$。
总结词
电容元件在正弦交流电路中具有储能特性。
详细描述
由于电容元件能够存储电场能量，因此它具有储能特性。 在正弦交流电的一个周期内，电容元件的储能不为零。
在正弦交流电路中，并联元件的 电压相位相同，电感和电容元件
对电压的相位有不同影响。
并联元件的导纳等于各元件导纳 之和，总电流与总电压的相位差 等于各支路电流与电压相位差的

正弦交流电电路稳态分析

正弦交流电电路稳态分析
分析含有非线性元件的交流电路中电压、电流和功率的分布和计算。
详细描述
含有非线性元件的交流电路是指包含非线性电阻、非线性电感和非线性电容等元件的交流电路。在稳态分析中， 需要采用适当的数学方法来计算各元件的电压、电流和功率，并确定它们在含有非线性元件的交流电路中的分布 情况。
含有非线性元件的交流电路稳态分析
正弦交流电电路稳态分析
目 录
• 引言 • 正弦交流电基础知识 • 电路稳态分析方法 • 正弦交流电电路稳态分析实例 • 结论与展望
01 引言
背景介绍
正弦交流电的产生
交流发电机利用电磁感应原理将机械能转换为电能。当转子 绕组中的电流随时间变化时，就会产生旋转磁场，该磁场会 与定子绕组中的感应电流相互作用，从而产生正弦交流电。
02 03
详细描述
三相交流电路是指电源和负载之间的电压和电流在三个相位上变化的电 路。在稳态分析中，需要计算各相的电压、电流和功率，并确定它们在 三相电路中的分布情况。
总结词
考虑三相阻抗、三相感抗和三相容抗对电路的影响。
三相交流电路稳态分析
• 详细描述：在三相交流电路中，三相阻抗、三相感抗和三相容 抗是影响各相电压和电流分布的重要因素。三相阻抗包括电阻、 电感和电容在三相电路中的作用，而三相感抗和三相容抗则是 由于电感和电容产生的磁场和电场对电流的阻碍作用。
解决实际工程问题
在实际的电力系统和电子设备中，正弦交流电的应用非常广泛。因此，对正弦交流电电路 稳态分析的研究有助于解决实际工程问题，提高电力系统和电子设备的性能和稳定性。
推动相关领域的发展
正弦交流电电路稳态分析涉及到多个学科领域，如电路理论、电磁场理论、控制系统理论 等。因此，对正弦交流电电路稳态分析的研究有助于推动相关领域的发展，促进多学科交 叉融合。

正弦交流电路分析稳态ppt课件

正弦交流电路分析稳态ppt课件

例3-5-1 已知 u(t) 80cos(100t 45)
i(t) 10cos(100t 30)
分别用解析法和数值分析法求平均功率、u(t)有效值 和功率因数。
解：
U 1 T u2(t)dt
T0
注意：函数的编写方法; quad函数—数值积分
U d (49.37 j89.491)V
作相量图 Us=220;Uz=170.63+89.491j;Ud=49.37-
89.491j; compass([Us,Uz,Ud]); text(220,0,'Us');text(real(Uz),imag(Uz),'Uz');t
ext(real(Ud),imag(Ud),'Ud');
• 复指数式和代数式的转换，将复指数 10∠30°转换为代数：
10*exp(i*30/180*pi) • 求复数的代数形式a+bi的幅角：
angle(a+bi)/pi*180 • compass 函数：作相量图
调用格式：compass([I1,I2,I3…])，引用参 数为相量构成的行向量。
U s U Z (170 .63 j89.491)V
【例 】已知传递函数为 幅频特性和相频特性
H(s)
s 3 ，作
(s 1)(s2 2s 5)
clear; w=0:0.01:100; Hs=(j*w+3)./(j*w+1)./((j*w).^2+2*j*w+5); Hs_F=20*log10(abs(Hs)); %幅频特性用dB表示 Hs_A=angle(Hs)*180/pi; subplot(2,1,1); semilogx(w,Hs_F) xlabel('w(rad/s)'); ylabel('幅频特性(dB)'); subplot(2,1,2); semilogx(w,Hs_A) xlabel('w(rad/s)'); ylabel('相频特性(度)');

正弦交流电路稳态分析

正弦交流电路稳态分析

第5章正弦交流电路稳态分析知 识 要 点〃熟悉正弦量三要素、相量、阻抗、谐振的概念；〃掌握用相量法分析求解正弦稳态电路的方法； 〃熟悉和掌握正弦稳态电路的功率及功率因数的概念和计算。

5.1 正弦交流的概念5.1.1 正弦交流电的基本概念随时间按正弦规律变化的电压或电流，称为正弦交流电。

通常所说的交流电就是指正弦交流电，对正弦交流电数学描述，可采用正弦函数，也可以用余弦函数。

本书对正弦交流电采用正弦函数描述。

以正弦电流为例，其瞬时表达式为)sin(i m t I i ψω+=（ 5-1）其波形如图5-1所示（i ψ≥0），横轴可用t ω表示，也可用t 表示。

图5-1 正弦电流波形图5.1.2 正弦量的三要素大小方向随时间按正弦规律变化的电压或电流都称为正弦量。

以电流为例，式（5-1）中三个常数i ψω、、m I称为正弦量的三要素。

m I称为正弦量的振幅，也称为最大值。

正弦量是一个等幅振荡、正负交替变化的周期函数。

振幅是正弦量在整个振荡过程中达到的最大值，在一定程度上反映正弦量的大小。

ω称为正弦量的角频率，表示正弦量每秒钟变化的角度大小，国际单位制（SI ）中，角频率的单位是弧度²秒-1 （rad ²s -1 ）。

角频率ω与正弦量的周期T 和频率f 之间的关系是T1f f 22===、、πωπωT 。

频率f的单位为赫兹（Hz ），简称赫。

我国工业用电频率为50Hz ，称为工频。

i t ψω+称为正弦量的相位角，简称为相位，是随时间变化的角度。

i ψ为t=0时的相位角，称为初相位角，简称初相。

初相位的单位用弧度或度表示，通常在主值范围内取值，即πψ≤i ;初相位值与计时零点有关。

在工程上有时习惯以“度”为单位计量i ψ ，因此在计算中应注意将t ω与i ψ 变换成相同的单位。

5.1.3 正弦电流、电压的有效值和相位差交流电的大小和方向随时间变化，如果随意取值，不能反映它在电路中的实际效果，如果采用最大值，夸大交流电，需要一个数值能等效反映交流电做功的能力。

第2章 交流电路的稳态分析

第2章 交流电路的稳态分析

U m e j U m
Im ω Um

Um
u
0
Re

0
ωt
动画
一个正弦量在某个时刻的值就是该旋转矢量 该时刻在虚轴上的投影。
即，正弦量
u Im
U
m
e
j t
I U
m
m
e
jt

可以看出复数 U
称复数 U me
Ume 的模和幅角就是正弦量 u U m sint 的幅值和初相位。
i I m sin(t i )




因此经过三角变换得到
i 129 sin t 18 20 (A)



解2：用波形图
i i1
i1 100 sin t 45 A
i2 60 sin t 30 A
i2




0
ωt
2. 相量法
相量法的实质用复数来表示正弦量。 复数
即，正弦量

j t

又因为
U me
j t
U me e
j
jt
记复数 U me
j
Um
复平面上的有向线段
U me j t U me jt 则复数可记为
复数
U me
j t
e jt 为时间的函数。 Um
在复平面上可表示为旋转的有向线段。
A1 e A1 j ( 1 2 ) A1 e j 2 A2 A2 A2 e
如何用复数表示正弦量？
有一复数为 ：
U me
j t
U m cost jU m sint
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(t ) (t )
1
2
1
2
（4-9）
ψ1﹥ψ2，φ﹥0，称电压u比电流i超前φ角，或i
比u滞后φ 角。
当两同频正弦量的相位差φ=00时，我们称它们 同相，当φ=1800时，称反相。图4.2中，u超前i 角度ψ1-ψ2。
注意，不同频率的两个正弦量不能进行相位比 较。
练习.判断如图4-1-1（a)（b)（c)（d）中 i1 与i2哪两个正弦量同相、超前、正交、反相?
两个频率相同的正弦量的相位角之差或初 相位之差，称相位差。
同频率正弦量的相位差
u U m sin(t 1) i Im sin(t 2 )
同一正弦交流电路中，电压u和电流i 的频 率是相同的，但初相位不一定相同。如图 4.2所示，
图4.2 不同相位的电压电流信号
同频率正弦量的相位差
它们的初相位分别为ψ1和ψ2。它们的相位差为
特别地，复数 e j 的模为1，辐角为。把一个复
数乘以 e j 就相当于把此复数对应的矢量反时针方
向旋转 角。
2 正弦量的相量表示
设有一复数 A(t) Ae j(t) 它和一般的复数不同，它不仅是复数，而且 辐角还是时间的函数，称为复指数函数。因为
由于
A(t) Ae j(t) Ae je jt Aejt A(t) Ae j(t) A cos(t ) j A sin(t )
一般所讲的正弦电流或电压的大小，均是指有效值。例如交流电压 380V或220V都是指电压的有效值，其最大值分别为 537V、311V。交 流设备铭牌标注的电压、电流均为有效值。
3．初相位
在正弦电流4-1式及图4.1中，ωt +ψ称相位 角，简称相位。当t=0 时的相位角即ψ称为 初相角或初相位。初相位ψ值决定了计时时 刻的角度，初相位不同，正弦量的初始值 不同；当ψ=0时，初始值为零。
2．幅值与有效值
1、有效值 周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直
流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周期的时间 产生相等的热量，则这个周期量的有效值等于这个直流 量的大小。电流、电压有效值用大写字母I、U表示。
根据有效值的定义，则有 则周期电流的有效值为
i I T 2Rdt 2 RT 0
i I 1 T 2 dt
T0
2、正弦量的有效值
对于正弦电流，设 i(t) I m sin(t i )
I sin I
T 1 T0
2 m
2 (t i)dt
Im2 2T
T 0
[1
c os2(t
i
)]dt
Im2 2T
t
T 0
I
2 m
2
I I m 0.707
2
m
同理 U
1 2 Um 0.707Um
图 4-1-1
4.1.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 法
1 复数的运算规律
复数的加减运算规律。两个复数相加（或相减） 时，将实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加 （或相减）。如：
A1 a1 jb1 r11 A2 a2 jb2 r22
相加、减的结果为： A1±A2= （ a1+jb1 ） ±(a2+jb2)=(a1±a2)+j(b1±b2)
第4章 正弦交流电路的稳态分析
学习内容 4.1 正弦交流电 4.2 电阻、电感、电容在交流电路中的
特性 4.3 三相交流电路 4.4 日光灯照明电路
4.1 正弦交流电的基本概念
4.1.1 正弦量的三要素 若电压、电流是时间 t 的正弦函数，称为正弦交
流电。 以电流为例，正弦量的一般解析式为：(4-1)
正弦量重复变化一次所需要的时间称为周期，用 T表示，单位是秒（s）。每秒内变化的次数称为 频率，用f表示，单位是赫兹（Hz）。
正弦量的变化快慢除用周期和频率表示外，还用 角频率ω来表示，单位是弧度每秒（rad/s）。
因为正弦量每经历一个周期的时间T，相位增加 2π，则角频率ω、周期T和频率ƒ之间关系为
2 2f即T 1
T
f
ω、T、ƒ反映的都是正弦量变化的快慢， ω越大，即ƒ越大或T越小，正弦量变化越快； ω越小，即ƒ越小或T越大，正弦量变化越慢。
我国采用50Hz作为电力标准频率，美 （日）等国采用60Hz。这种频率在工业 上应用广泛，习惯称为工频。
工频50Hz，其周期和角频率分别为0.02s， 314 rad/s。
复数乘除运算规律：两个复数相乘，将模相乘，辐 角相加；两个复数相除，将模相除，辐角相减。
如：
A1 A2
r1e j1
r2e j2
r r e j(12 )
12
r1r21
2
r e r A1
r e r A2
j 1
1 j 2
2
1
2
1
2
因为通常规定：逆时针的辐角为正，顺时针的 辐角为负，则复数相乘相当于逆时针旋转矢量； 复数相除相当于顺时针旋转矢量。
i(t) Im sin(t )
波形如图4-1所示
图 4-1 正弦量的波形
式4-1中，i与时间t的关系由最 大值Im，角频率ω和初相位ψ决定， 同时Im、ω、ψ也是正弦量之间进行 比较和区别的依据，因此，把振幅、 角频率和初相位称为正弦量的三要素。
只有确定了三要素，正弦量才是确定的 。
1．频率与周期
的瞬时值 u(t)（3） 画出相量图
解（1）
•
U
1
＝141
＝100 60＝100 e j60
(50
j86.6)V
23
•
U2
70.7
50 45 50e j45
(35.35
j35.35)V
24
（2）
•
•
•
U U 1U 2 (50 j86.6) (35.35 j35.35)
可见A(t)的虚部为正弦函数。这样就建立了正弦量和复 数之间的关系。为用复数表示正弦信号找到了途径。
u(t) 2U sin(t u ) Im[ 2Ue j(ttu ) ]
Im Ue ju 2e jt
Im U.
2e
jt
Im
U.
m
e
jt
式中
.
.
.
U Ue ju 或U m 2 U
同理
.
.
.
I Ie ji 或 I m 2 I
.为正弦量的有效值相
量和振幅相量。特别应该注意，相量与正弦量之间只
具有对应关系，而不是相等的关系。
图4.3 正弦交流电的相量表示
例 已知 u1=141sin(ωt+60o)V ，
u 2 =70..7sin。(ωt-45o)V 。 求：⑴ 求相量 U1 和U2 ；(2) 求两电压之和