因式分解与分式

整式的因式分解和分式的简化在初中数学学习中，我们经常会遇到整式的因式分解和分式的简化的问题。

本文将介绍整式的因式分解和分式的简化的基本概念和方法。

一、整式的因式分解首先，我们来了解什么是整式。

整式是由常数、变量及其系数以及加、减、乘运算符号构成的算式。

例如，2x² + 3x - 6就是一个整式。

整式的因式分解是将一个整式写成若干个因子相乘的形式。

这样做的好处是使得整式更简洁、易于计算和理解。

下面，我们来看一个例子。

假设我们有一个整式：12x² + 8xy。

我们可以通过观察和分解公因式的方法进行因式分解。

首先，我们可以找到这个整式的公因式，即4x。

通过提取公因式，我们可以得到：4x(3x + 2y)。

这样，我们就将整式成功地因式分解了。

需要注意的是，有些整式可能无法进行因式分解，这时我们就需要通过其他方法进行处理。

二、分式的简化接下来，我们来了解分式的简化。

分式是由分子和分母组成的，其中分子和分母都是整式。

分式的简化是将一个分式约去它的最简形式，即分子和分母没有公因式。

这样做的好处是使得分式更易于计算和理解。

比如，我们有一个分式：(4x² + 2x) / (2x)。

我们可以通过分子和分母的公因式进行约分。

可以发现，分子和分母都可以被2x整除。

因此，我们可以约去2x，得到简化后的分式：2x + 1。

同样地，有些分式可能无法进行简化，这时我们就需要对分子和分母进行其他的处理。

三、整式的因式分解和分式的简化的联系整式的因式分解和分式的简化在一定程度上是密切相关的。

在进行因式分解时，我们常常需要对整式进行简化，以便于提取公因式。

而在进行分式的简化时，有时也需要将分式转化为整式，然后对整式进行因式分解，再转化为分式的最简形式。

总结起来，整式的因式分解和分式的简化都是数学中的基本操作，可以帮助我们更好地理解和计算问题。

在实际应用中，我们经常需要利用这些技巧来简化复杂的式子，使问题更易于解决。

1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x a b x a c xa xm m m m 2213 （2）a a b a b a a b b a ()()()-+---32222 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：-+--=--+++++a x a b xa c x a x a x a x b x c x m m m m m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：a a b a b a a b b a ()()()-+---32222 )243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：原式)521456268123(1368987+++⨯==⨯=987136813689873. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x yx y x x y +-++的值。

第四讲 因式分解+分式一、因式分解 （一）方法： 1．提公因式法：（1）多项式 mc mb ma ++中每一项都含有一个相同的因式m ，称之为公因式。

（2）方法 ：)(c b a m mc mb ma ++=++（3）公因式可能是单项式（如（1）），也可能是多项式，如：)2)(21()2)(13(b a b b a a +--+- （4）公因式系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项相同字母，指数取字母的最低次数； （5）如果第一项系数为负，一般先提出“-”号，使括号内第一项的系数为正，同时多项式的各项都要变号。

如：)53(5322+--=-+-y x xy xy xy y x2．公式法：（1）两个非常重要的公式： 平方差公式：))((22b a b a b a -+=-完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（2）有的公式需要先提公因式后才能体现。

如：a ab ab ++442 （3）有的公式需要从整体上观察。

如：22)32()32(y x y x --+ 3．分组分解法：当多项式的项数超过3项可考虑用此方法（1）分组后能直接提公因式： 如：))(()()(b a n m n m b n m a bn bm an am ++=+++=+++ （2）分组后能直接运用公式： 如：2222z xz y x ++-4．运用式子：ab x b a x b x a x +++=++)())((2进行分解。

如：562+-x x 5、十字相乘法：如：322-+x x例1、把x y xy x 442-+-分解因式，下列的分组方法不正确的是 （ ）（A ） ()()x y xy x 442-+- （B ） ()()xy y x x -+-442 （C ） ()()x xy y x 442+-+ （D ） ()()y xy x x 442---例2、因式分解：（1）()()()y x x y x y x x +--+ （2）()()87----b a b a例3、已知 3223,0b abc c b c a a c b a +-++=++求的值。

因式分解、分式复习一、知识梳理知识点一 因式分解1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．2．分解困式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ；3．分解因式的步骤：（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。

4．分解因式时常见的思维误区：提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【课前练习】1.下列各组多项式中没有公因式的是（ ）A ．3x －2与 6x 2－4x B.3（a －b ）2与11（b －a ）3C ．mx —my 与 ny —nxD ．ab —ac 与 ab —bc 2. 下列各题中，分解因式错误的是（ ） 3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（）22222222.949 .949.949 .(949)A x y B x y C x y D x y ---+-+4. 分解因式：x 2+2xy+y 2－4 =_____5. 分解因式：（1）()229=n ；()222=a（2）22x y -= ；（3）22259x y -= ； （4）22()4()a b a b +--；（5）以上三题用了 公式222222.1(1)(1) ;.14(12)(12).8164(98)(98);.(2)(2)(2)A x x x B y y y C x y x y x y D y x y x y x -=+--=+--=+---=-+-【经典考题剖析】 例 1. 分解因式：（1）33x y xy -；（2）3231827x x x -+；（3）()211x x ---；（4）()()2342x y y x ---分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。

分式与因式分解在数学领域中，分式和因式分解是两个基础但极其重要的概念。

它们不仅在代数中占据核心地位，而且对于解决各种数学问题具有关键作用。

本文将详细探讨分式的定义、性质以及因式分解的方法和应用。

一、分式的概述分式，顾名思义，是指一个数学表达式被另一个数学表达式除所得的商。

具体来说，分式由分子和分母两部分组成，形如$\frac{a}{b}$，其中$a$是分子，$b$是分母。

需要注意的是，分母不能为0，否则分式无意义。

分式具有多种性质，如基本性质、运算性质等。

基本性质包括分式的值不变性，即分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变。

运算性质则涉及分式的加减乘除运算，这些运算都需遵循一定的法则和步骤。

二、因式分解的概念与方法因式分解是将一个多项式表示为几个整式的乘积的形式。

这种方法在解决代数方程、不等式以及函数问题等方面具有广泛应用。

因式分解的核心在于找到多项式中的公因式或利用公式进行分解。

常见的因式分解方法包括提取公因式法、公式法（如平方差公式、完全平方公式等）以及分组分解法等。

这些方法各有特点，适用于不同类型的多项式。

在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的因式分解方法。

三、分式与因式分解的联系分式和因式分解在代数中紧密相连。

一方面，因式分解可以简化分式，使其更易于计算和理解。

例如，通过因式分解，我们可以将复杂的分式化简为几个简单分式的和或差，从而便于进行后续的运算和分析。

另一方面，分式运算中也经常需要用到因式分解的技巧。

例如，在求解分式方程时，我们通常需要对方程两边进行因式分解，以便消除分母或降低方程的次数。

此外，在分式的加减运算中，通过因式分解可以找到通分母，从而简化运算过程。

四、分式与因式分解的应用分式和因式分解在数学领域具有广泛的应用。

在代数中，它们是解决方程、不等式和函数问题的重要工具。

在几何中，分式和因式分解也被用来描述和解决与形状、面积和体积相关的问题。

此外，在实际生活中，分式和因式分解也发挥着重要作用。

代数式的因式分解与分式化简代数式是数学中常见的一类表达式，由数、字母和运算符号组成。

在数学问题中，经常需要对代数式进行因式分解和分式化简，以方便进行运算和推导。

本文将介绍代数式的因式分解和分式化简的方法和步骤。

一、代数式的因式分解因式分解是指将一个代数式表示为几个乘积的乘积形式，其中每个乘积因子称为因式。

因式分解的目的在于将复杂的代数式拆解为简单的成分，以便进行进一步的计算和推导。

1.1 一元二次三项式的因式分解一元二次三项式的一般形式为ax²+bx+c，其中a、b、c 为已知实数，且a≠0。

对于此类代数式，我们可以通过配方法进行因式分解。

步骤如下：1. 将三项式中的第一项和最后一项相乘，得到 ac。

2. 找出两个因数 m 和 n，使得它们的和等于第二项的系数 b，且乘积等于 ac。

3. 将第二项拆分为 mx 和 nx（注意要保持等式成立）。

4. 通过提取公因式的方式进行因式分解。

例如：ax²+bx+c =a(x+m)(x+n)。

1.2 多项式的因式分解对于多项式的因式分解，一般需要使用更复杂的方法，如提取公因式、分组分解、平方法、差二次平方和公式等。

例如，对于代数式 x³+3x²-4x-12，我们可以通过以下步骤进行因式分解：1. 尝试提取公因式，如果存在公因式，则进行提取。

例如，x³+3x²-4x-12 = x²(x+3)-4(x+3) = (x+3)(x²-4)。

2. 继续对括号中的二次式进行因式分解，如公式 a²-b² = (a+b)(a-b)。

例如，x²-4 = (x+2)(x-2)。

3. 将分解得到的因式整合，得到最终的因式分解形式。

例如，x³+3x²-4x-12 = (x+3)(x+2)(x-2)。

二、代数式的分式化简分式化简是指将一个复杂的分式表示为简单分式和整式的和的形式，以便进行运算和推导。

因式分解与分式化简求值因式分解的几种常用方法(1)提公因式法(2)运用公式法： ①平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a 2±2ab+b 2=(a ±b)2(3)二次三项式型：x 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)；及十字相乘法(4)分组分解法： ①分组后能提公因式；②分组后能运用公式.(5)求根公式法：因式分解的一般步骤可归纳为：一提二公三分组，十字相乘要彻底；若遇二次三项式，求根公式来帮忙。

(1)一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来。

(2)二“公”：若多项式的各项无公因式(或已提出公因式)，第二步则看能不能用公式法用x 2+(p+q)x+pq 型分解。

(3)三“分组”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分成一组，使之分组后能“提”或能“公”，当然要注意其要分解到底才能结束。

(4)十字相乘法、求根公式法均针对二次三项式的因式分解。

(5)“查”：可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确。

(6)若有几个因式乘积再加减单项式的，可以先将几个因式的乘积求出，再进行多项式的因式分解。

(7)要注意整体思想的应用。

典型试题解析：【例1】 因式分解：(1)-4x 2y+2xy 2-12xy ；(2)3x 2(a-b)-x(b-a)； (3)9(x+y)2-4(x-y)2；(4)81a 4-1；(5)(x 2+2x)2+2(x 2+2x)+1； (6)(a 2+b 2)2-4a 2b 2.(7)m 3+2m 2-9m-18；(8)a 2-b 2-c 2-2bc ； (9) x 4 -5x 2+4； (10) x 3-2x 2-5x+6.专题二 有效分组再分解因式【例2】（2007年广东中山）因式分解xy y x 844122+--，正确的分组是（ ） A ．）（）（xy y x 844122---B ．xy y x 844122+--）（C ．)44()8122y x xy +-+（D ．)844(122xy y x -+-专题三 在实数范围内分解因式 【例3】（2007年潍坊市）在实数范围内分解因式：4m 2+8m －4= ．分式化简求值：一、填空题1．（2009年滨州）化简：2222444m mn n m n -+-= ． 2．(2009年成都)化简：22221369x y x y x y x xy y +--÷--+＝_______ 3．（2009年佳木斯）计算21111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭= 二、选择题1.（2009年陕西省8．）化简ba a ab a -⋅-)(2的结果是 （ ）A ．b a -B ．b a +C ．b a -1D ．b a +1 2．（2009年黄冈市4．）化简a a a a a a 2422-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--的结果是（ ）A ．－4B ．4C ．2aD ．－2a 3.（2009年内蒙古包头）化简22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其结果是（ ） A ．82x -- B ．82x - C ．82x -+ D ．82x + 4.（2009年吉林省）化简2244xy y x x --+的结果是（ ） A ．2x x + B ．2x x - C ．2y x + D ．2y x - 5.（2009年深圳市）化简62962-+-x x x 的结果是（ ） A ．23+x B ．292+x C ．292-x D ．23-x 6.（2009烟台市）学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224x x x x +-++-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----； 小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-； 小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++． 其中正确的是（ ）A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的7.（2009年包头）化简22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其结果是（ ） A ．82x -- B ．82x - C ．82x -+ D ．82x + 8．（2009临沂）化简22422b a a b b a+--的结果是（ ） A ．2a b -- B ．2b a - C ．2a b - D ．2b a +三、解答题1．（2009年株洲市）先化简，再求值：23393x x x ++--，其中1x =-．2．（2009年重庆市江津区）先化简，再求值：4421642++-÷-x x x x ，其中 x = 3 ．3．（2009年泸州）化简：xx x x x 2)242(2-÷+-+4．（2009仙桃）先化简，再求值：22424412x x x x x x x -+÷--++-，其中x ＝2－2．5.（2009年常德市）化简:35(2)482y y y y -÷+---6．（2009年桂林市、百色市）先化简，再求值：2211()22x y x y x x y x +--++，其中3x y ==．7.（2009重庆綦江）先化简，再求值：2241222x x x x x⎛⎫-⨯ ⎪--+⎝⎭，其中14x =．8.（(2009年安顺）先化简，再求值：244(2)24x x x x -+⋅+-，其中x =9.（2009年贵州省黔东南州）先化简，再求值：11212222--÷+++-+x x x x x x x ，其中23-=x ．10.（2009恩施市）求代数式的值：22224242x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中2x =+11.（2009年娄底）先化简，再求值：-4-2x x +24-4+4x x ÷-2x x ，其中x12.（2009年清远）化简：222692693x x x x x x-+-÷-+13.（2009 黑龙江大兴安岭）先化简：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷--a b ab a ab a b a 22222，当1-=b 时，请你为a 任选一个适当的数代入求值．。

第二部分 式与式的运算一、代数式、整式的运算、因式分解、分式 1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.单独一个字母或一个数也是代数式，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值.2.单项式：只含有数或字母的乘法（含乘方）运算的代数式叫做单项式，单独一个字母或一个数也是单项式，所有字母的指数和叫做单项式的次数.3.多项式：几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数.升幂排列： 降幂排列：4.整式：单项式与多项式统称为整式.5.整式的加法：合并同类项. 添括号：()a b c a b c -+=-- 去括号：()a b c a b c +-=+-6.整式的乘法： （1）单项式×单项式:()()()212312325a b c abab c ab c +--+⋅==.（2）单项式×多项式:()2a b a ab a -=-. （3）多项式×多项式:()()a b c d +⋅+()()a c d b c d =⋅++⋅+ac ad bc bd =+++（4）乘法公式()()22a b a b a b +-=- ① ()2222a b a ab b ±=±+ ②a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab (a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ． (a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3 7.整式的除法()232226422624242a b a b a b a b a b a b --÷=÷== 8.因式分解：把一个多项式表示成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解.多项式=（ ）·…·（ ） 常用方法有： （1）提公因式法：如()ab ac ad a b c d ++=++；（2）公式法（利用乘法公式）：如()()()22224222x y x y x y x y -=-=+-；（3）十字相乘法： 因式分解：243x x ++x 1 x 3所以：()()24313x x x x ++=++ 因式分解：223x x --x 1 x 3-所以：()()22313x x x x --=+- 9、分式：（1）概念：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式. （2）分式运算的符号规律：a a a ab b b b --=-=-=--； a a a b b b--==-. （3）分式通分“根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

因式分解、分式易错点解析
1、因式分解
因式分解是指将一个多项式拆分成有限项的乘积，其中每一项都是质
因数的乘积。

例如，把ax2+bx+c分解成a(x2+x)+b(x+c)，质因数中只
包括a、b、x、c，他们全部是一种质数。

要进行因式分解，可以通过求出多项式所有质因数，然后根据因数的
加减乘除法把同类的项拆分成有限的几种被乘数的乘积，其中最常见
的乘法有两种：指数型（a、x和x^2）和常数型（b和c）。

2、分式易错点解析
1、当分子和分母都是多项式的时候，要注记出每一项的质因数，如果
质因数有重复，则移除重复的质因数，这样可以避免出错。

2、当分数中包含平方根时，要先判断平方根是否能被expression平方，也就是把平方根部分拆出来。

3、要正确处理分数中包含的次方项，特别要注意只有相同质因数的两
项的次方相加之后的情况，这样才能正确地将分数重新分解成有限个
分母或分子的乘积形式。

4、如果分子分母中都有常数项，只要注意不是一样的常数项，就可以
进行一项乘以另一项的形式进行相乘，以此分解式子。

5、在计算分子分母中的乘积之后，要仔细检查分子分母中是否还有重
复的项，如果有，则需要移除重复的项，这样可以有效避免约分出错。

龙文教育学科教师辅导讲义课 题因式分解，分式教学内容专题一、因式分解一、因式分解的意义：因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式注意：①结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n 个整式的积与某项的和差形式；②因式分解与整式的乘法在运算过程上是完全相反的。

例01．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．1)1)(1(2-=-+x x xB ．))(())((m n a b n m b a --=--C ．)1)(1(1--=+--b a b a abD ．)32(322mm m m m --=-- 二、因式分解的方法类型一、提公因式法提公因式时应注意：⑴如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正； ⑵公因式的系数和字母应分别考虑：①系数是各项系数的最大公约数； ②字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。

例01．在下面因式分解中，正确的是（ ）A ．)5(522x x y y xy y x +=-+B ．2)()()()(c b a c a b c b a c b c b a a ---=+-++-+--C ．)1)(2()2()2(2--=-+-x a x a x a xD ．)12(2422232--=--b b ab ab ab ab 例02．把y x y x y x 3234268-+-分解因式的结果为 。

例03．分解因式：323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--.说明：⑴观察题目结构特征 ⑵对于)(y x -与)(x y -的符号有下面的关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=---=- 3322)()(,)()(),(x y y x x y y x x y y x例04．解方程：0)2313)(21(6)1823)(612(=-++-+x x x x例05．不解方程组⎩⎨⎧=+=-,134,32n m n m 求：32)2(2)2(5m n n m n ---的值.类型二、公式法1、利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-22注意：①条件：两个二次幂的差的形式； ②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。