2018年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第92讲 极坐标常见题型解法

第92讲 极坐标常见题型解法【知识要点】一、在平面内取一个定点O 为极点，引一条射线OX 为叫做极轴，再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.对于平面内的点M ，设||OM =ρ，θXOM =∠，称ρ、θ为点M 的极径、极角，有序数对(,)ρθ就叫做M 的极坐标.二、一般地0ρ≥，当极角θ的取值范围是[0,2)π时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(,)ρθ建 立一一对应的关系，否则点与极坐标就不是一一对应.极点的极坐标是(0,)θ，其中极角θ是任意角.三、负极径的规定：在极坐标系中，极径ρ允许取负值，当0ρ<时，点位于极角的终边的反向延长线上，且||||OM ρ=，(,)M ρθ可以表示为(,2)k ρθπ+，或(,(21))k ρθπ-++ ()k Z ∈四、直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ （求点的直角坐标的公式），222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（求点的极坐标的公式）.五、球坐标系：设P 是空间任意一点，在xOy 平面的射影为Q ，连接OP ，记||OP r =，OP 与z 轴正向所夹的角为θ，P 在xOy 平面的射影为Q ，x 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置可以用有序数组),,(ϕθr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中0r ≥，0θπ≤≤，02ϕπ≤<.空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 之间的变换关系为：2222sin cos sin sin cos x y z r x r y r z r θϕθϕθ⎧++=⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩； 六、柱坐标系：设P 是空间任意一点，在xOy 平面的射影为Q ，用(,)ρθ(0,02)ρθπ≥≤< 表示点在平面xOy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(,,)z ρθ，表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(,,)z ρθ叫点P 的柱坐标，其中0ρ≥，02θπ≤<，z R ∈，空间点P 的直角坐标(,,)x y z 与柱坐标(,,)z ρθ之间的变换关系为：cos sin x y z z ρθρθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.【题型讲评】【例1】点P 的极坐标为(2,)3p ，则它的直角坐标为 .【点评】把极坐标化成直角坐标时，要求我们对三角函数的诱导公式很熟练很准备，否则就有可能计算出错.如本题中的4sinsin()sin 333ππππ=+=-=，就要计算准确. 【反馈检测1】若M 点的极坐标为2,6π⎛⎫--⎪⎝⎭，则M 点的直角坐标是（ ） A ．()B ．()1-C ．)1-D ．)【例2】点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2,)3π B ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈【点评】这种题最容易出错的是极角的大小，必须向定位，后定量.本题中极角和(1-位置相同，所以极角在第二象限，又tan θ==，所以极角2=.3θπ 【反馈检测2】点()3,1-P ，则它的极坐标是（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫⎝⎛-34,2π【例3】 把方程x y +=.【解析】 cos sin sin()4x y pr q r q q +\+=\+=sin()14pr q \+=.【点评】把直角坐标方程化成极坐标方程时，一般要利用辅助角公式化简,以达到最简的目的. 【反馈检测3】已知圆的方程为22(1)1x y -+=，求该圆的极坐标方程.【例4】极坐标方程cos ρθ=和参数方程⎩⎨⎧+=--=t y tx 321 (t 为参数)所表示的图形分别为( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线【点评】把极坐标方程cos ρθ=化成直角坐标方程时，注意技巧，可以方程的两边同时乘以ρ，得到2cos ρρθ=，这样便于代公式.【反馈检测4】极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ）A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线【例5】 在极坐标系中，圆C 过极点，且圆心的极坐标是()2a ，(0a >)，则圆C 的极坐标方程是（ ） A ．2sin a ρ=-θ． B ．2sin a ρ=θ． C ．2cos a ρ=-θ． D ．2cos a ρ=θ．【点评】本题选择的是第一种方法，先把所有的条件化成直角坐标，求出直角坐标方程，再把直角坐标方程化成极坐标.【反馈检测5】已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C在点处的切线为l .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程. 【例6】在极坐标系中，已知圆C 的圆心)3,4(πC ，半径2r =，Q 点在圆C 上运动.（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）若P 在直线OQ 上运动，且:3:2OQ OP =，求动点P 的轨迹方程. 【解析】（I ）设圆C 上任意一点(,)M ρθ，则在三角形OCM 中，由余弦定理得)3cos(||||2||||||222πθ-⋅-+=OC OM OC OM MC即：)3cos(421642πθρρ-⨯⨯-+=整理即可得圆C 的极坐标方程为：012)3cos(82=+--πθρρ（II ）设(,)P ρθ,00(,)Q ρθ，依题意可知：⎪⎩⎪⎨⎧==ρρθθ2300代入012)3cos(80020=+--πθρρ得012)3cos(238492=+-⨯-πθρρ化简得：动点P 的轨迹方程为：048)3cos(4892=+--πθρρ【点评】本题就是选择的方法二求的曲线的极坐标方程.其中多涉及到解三角形的知识（正弦定理和余弦定理）.【反馈检测6】在极坐标系中，已知圆C 的圆心4C π，）半径1r =,求圆C 的极坐标方程.【例7】在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=射线:3OM πθ=与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【点评】（1）极坐标可以和很多知识整合，整合最多的是解析几何.（2）本题的第二问比较巧妙，计算线段的长度时，没有计算两个端点的坐标，因为这样的计算量比较大. 直接用两个端点的极径之差来求线段的长度，因为两个端点的极角相等.【反馈检测7】在直角坐标系xOy 中，直线:{x tcos l y tsin αα==（t 为参数， 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）与圆 22:2410C x y x x +--+=相交于点,A B ，以O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l与圆C的极坐标方程；（2）求11OA OB+的最大值．【反馈检测8】已知在平面直角坐标系xoy中，圆C，以ox为极轴建立极坐标系，直线l l被圆C所截得的弦长为．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第92讲：极坐标常见题型解法参考答案【反馈检测1答案】A【反馈检测1详细解答】cos 2cos()6x πρθ==-⨯-=，sin 2sin()16y πρθ==-⨯-=，则M 点的直角坐标是().故选A . 【反馈检测2答案】C【反馈检测2详细解答】222=+=y x ρ,⎩⎨⎧-==3sin 21cos 2θϑ,所以3-πθ=，故选C.【反馈检测3答案】2cos ρθ=【反馈检测3详细解答】由题得222+202cos 02cos x y x ρρθρθ-=∴-=∴= 【反馈检测4答案】D【反馈检测4详细解析】∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴222cos 20(cos sin )0ρθρθθ=⇒-=，即220x y y x -=⇒=或y x =-，表示的是两条相交直线.所以选择D .【反馈检测5答案】sin()26πρθ+=【反馈检测6答案】2-2(sin cos ) 1.ρρθθ+=-【反馈检测6详细解析】方法一：设点(,)P ρθ，在OCP ∆中，，|CP |1=，|OP |ρ=，，即2-2(sin cos ) 1.ρρθθ+=-方法二：圆C 的圆心为（1,1）直角坐标方程为22(y 1) 1.+-=(x-1)即222(x y)1x y +-+=-，将222=,cos ,sin x y x y ρρθρθ+==代入上式， 得22(sin cos ) 1.ρρθθ-+=-【反馈检测7答案】（1）22cos 4sin 10ρρθρθ--+=；（2）【反馈检测8答案】【反馈检测8详细解析】圆C 的普通方程为9)1()3(22=-+-y x ，直线l 的普通方程为 03=-y x ，圆心C 到直线l 的距离11313=+-=d ，则直线l 被圆C 所截得的弦长为24192222=-=-d r .。

（ 1）求 的取值范围； （ 2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．
4.【 2018 江苏卷 21C】在极坐标系中，直线 l 的方程为 4cos ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长．
sin( π 6
) 2 ，曲线 C 的方程为
参考答案
一、填空题
1.1 2
1
2.
2
二、解答题
1.解： （ 1）由 x cos ， y sin 得 C2 的直角坐标方程为 ( x 1)2 y2 4．
2018 年高考数学真题专题汇编 ----
极坐标与参数方程
一、填空题
1. 【 2018 北京卷 10】在极坐标系中，直线 cos 则 a=_______2cos 相切，
x 2.【2018 天津卷 12】 )已知圆 x2 y2 2 x 0的圆心为 C，直线
2 1 t,
（ 2）由（ 1）知 C2 是圆心为 A( 1,0) ，半径为 2 的圆．
2 ( t 为参数 )
y 3 2t 2
与该圆相交于 A，B 两点，则 △ ABC 的面积为
.
二、解答题
1.【 2018 全国一卷 22】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y k|x| 2.以坐标原点为 极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2 2 cos 3 0 .
（ 1）求 C2 的直角坐标方程； （ 2）若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程 .
x 2cos θ， 2【. 2018 全国二卷 22】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 y 4sin θ（ θ为参数） ， 直线 l 的参数方程为
x 1 t cos α， （ t 为参数）．

参数方程消参的方法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练 (word版含答案)一、参数方程消参常用的方法有三种。

1、加减消参：直接把两个方程相加减即可消去参数。

2、代入消参：通过其中的一个方程求出参数的值，再代入另外一个方程化简。

3、恒等式消参：通过方程计算出sinα、cosα，再利用三角恒等式sin2a+cos2a=1消去参数。

二、参数方程化为普通方程，一定要注意变量x、y的前后范围的一致性。

有时两个的范围都要写，有时只要写一个，有时可以不写。

例1】把参数方程x=t+1/t，y=t-1/t化为普通方程，并说明它表示什么曲线。

点评】本题中变量x、y可以不写，因为参数方程中x的范围是x≥2或x≤-2，双曲线x^2-y^2=4中x的范围也是x≥2或x≤-2，它们是一致的，都隐含在方程里，所以可以不写。

化XXX：y=x-2/x表示双曲线x^2-y^2=4.例2】参数方程x=sinα+cos2α，y=2+sinα的普通方程为（）。

解：代入消参，将sinα用cosα表示，得x=cosα+1-2sin^2α，y=2+sinα。

化简得：2y-4=x-y^2表示抛物线。

反馈检测1】把参数方程x=1-t^2/2，y=2t/(1+t^2)化为普通方程，并说明它表示什么曲线。

解：代入消参，将t用x表示，得t=±√(2-x)。

代入y的方程，得y=±(2-x)√(2-x)/2.表示的是左右对称的开口向下的二次函数。

反馈检测2】参数方程x=t+1，y=1-2t的图象是（）。

解：表示一条直线。

通过参数方程计算出sinα、cosα，然后利用三角恒等式sin²α+cos²α=1消去参数，得到普通方程y=-1+3cosθ，x=2+3sinθ。

不需要加上x的范围-1≤x≤5，因为x的范围隐含在方程(x-2)+(y+1)=9之中，即-1≤x≤5.设曲线C的参数方程为x=2+3cosθ，y=-1+3sinθ，直线l 的方程为x-3y+2=0，则曲线C上到直线l的距离为√10/2的点的个数为2个，因为圆心到直线的距离为√10/2，且圆心在直线上方，所以圆与直线有两个交点。

2018届高三理科数学解析几何解题方法规律技巧详细总结版【简介】圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主.这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现. 【3年高考试题比较】通过比较近三年的高考题，不难发现，集中考察的是抛物线和椭圆，椭圆出现的较多，均主要考察的是直线与椭圆或抛物线的位置关系，近几年也出现了与圆的综合问题，难度没有特别大的跳跃，比较平稳，都是以运算为主要考察对象.从考查形式上分析，主要是求解圆锥曲线方程，轨迹问题（也涉及到挖点），定点问题，范围问题等.【必备基础知识融合】一、椭圆1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质二、双曲线1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)，则点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质曲线的虚轴，它的长三、抛物线1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质3. 的焦点的直线与抛物线交于1122(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p. 四、曲线与方程 1.曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上点的坐标与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解满足如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 2.求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y ). (3)列式——列出动点P 所满足的关系式.(4)代换——依条件式的特点，将其转化为x ，y 的方程式，并化简. (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.3.两曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F 1（x ，y ）＝0，F 2（x ，y ）＝0的实数解. 若此方程组无解，则两曲线无交点. 五、直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程，即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F （x ，y ）＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 相离.(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2·|y 1－y 2|【解题方法规律技巧】典例1：已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积.因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165， 故△POM 的面积为165.【规律方法】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等. 典例2：已知动圆过定点A (4，0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1，0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点.(2)证明由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2，①x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1，0). 【规律方法】利用直接法求轨迹方程(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简. (2)运用直接法应注意的问题①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.典例3：已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程.【规律方法】(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程.(2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制.典例4：如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2，1＜t ＜3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D四点.点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点.求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程.【规律方法】“相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 0，y 0)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f （x ，y ），y 0＝g （x ，y ）；(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程. 典例5：已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△PAB 的面积.【规律方法】（1）求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求出m，n的值即可.(2)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.(3)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率). 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.典例6：已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8. (1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积.【规律方法】(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.(3)涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.典例7：已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值.(1)解 由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.① 方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2，1).【规律方法】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.典例8：设抛物线过定点A (－1，0)，且以直线x ＝1为准线.(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围.又点P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－12k ＋m . 所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0.由点P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0在线段BB ′上(B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以y B ′＜y 0＜y B ，也即－3＜y 0＜ 3. 所以－334＜m ＜334，且m ≠0. 【规律方法】处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.典例9：已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点.典例10：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点在x 轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程；(2)过点S ⎝⎛⎭⎫0，－13的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 2＋2y 2－2＝0，得(9＋18k 2)x 2－12kx －16＝0， Δ＝144k 2＋64(9＋18k 2)＞0，x 1＋x 2＝12k 18k 2＋9，x 1x 2＝－1618k 2＋9， QA →＝(x 1，y 1－1)，QB →＝(x 2，y 2－1)，QA →·QB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－4k 3(x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)·－169＋18k 2－4k 3·12k 9＋18k 2＋169＝0， ∴QA →⊥QB →，即以线段AB 为直径的圆恒过点Q (0，1).【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.典例11：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1. ∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1. ∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4. 当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2，所以|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值.【规律方法】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.典例12：设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围.由(1)知F (1，0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3. 由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k . 因为直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k 212k . 设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k消去y ，解得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）. 在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋912（k 2＋1）≥1， 解得k ≤－64或k ≥64. 所以直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－64或⎣⎡⎭⎫64，＋∞. 典例13：已知圆x 2＋y 2＝1过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A ，B 两点.记λ＝OA →·OB →，且23≤λ≤34. (1)求椭圆的方程；(2)求k 的取值范围；(3)求△OAB 的面积S 的取值范围.由12≤k 2≤1，得62≤|AB |≤43. 设△OAB 的AB 边上的高为d ，则S ＝12|AB |d ＝12|AB |，所以64≤S ≤23. 即△OAB 的面积S 的取值范围是⎣⎡⎦⎤64，23. 【规律方法】解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.典例14：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x ＋4y ＋6＝0与圆x 2＋(y －b )2＝a 2相切.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线l 1，l 2分别交椭圆C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标；(3)在(2)的条件下求△AMN 面积的最大值.②m ＝±1时，l MN ：x ＝－65，过点⎝⎛⎭⎫－65，0.∴l MN 恒过定点⎝⎛⎭⎫－65，0.(3)由(2)知S △AMN ＝12×45|y M －y N |＝25⎪⎪⎪⎪4m m 2＋4＋4m 4m 2＋1＝8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 3＋m4m 4＋17m 2＋4＝8⎪⎪⎪⎪m ＋1m 4⎝⎛⎭⎫m ＋1m 2＋9＝84⎪⎪⎪⎪m ＋1m ＋9⎪⎪⎪⎪m ＋1m . 令t ＝⎪⎪⎪⎪m ＋1m ≥2，当且仅当m ＝±1时取等号， ∴S △AMN ≤1625，且当m ＝±1时取等号. ∴(S △AMN )max ＝1625. 【规律方法】处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.【归纳常用万能模板】1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，2)在C 上.(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M ).将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.7分故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b 2k 2＋1.10分 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－12k ， 即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.12分❶列出方程组，解出a 2，b 2得4分.❷设出直线l 的方程后与椭圆方程联立消去y 得到关于x 的方程准确者得4分.❸求出点M 的坐标得1分，再得到直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值得2分. ❹结论得1分.解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值. 第二步：探究一般情况.探究一般情形下的目标结论.第三步：下结论，综合上面两种情况定结论.2. (本小题满分12分)(2016·全国Ⅰ卷)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPN Q 面积的取值范围.由题设得A (－1，0)，B (1，0)，所以|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24＋y 23＝1(y ≠0).4分得分点②(2)解 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， 所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3. 6分得分点③高考状元满分心得1.正确使用圆锥曲线的定义：牢记圆锥曲线的定义，能根据圆锥曲线定义判断曲线类型，如本题第(1)问就涉及椭圆的定义.2.注意分类讨论：当用点斜式表示直线方程时，应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解，易出现忽略斜率不存在的情况，导致扣分，如本题第(2)问中的得分10分，导致失2分.3.写全得分关键：在解析几何类解答题中，直线方程与圆锥曲线方程联立后得到的一元二次方程，根据一元二次方程得到的两根之和与两根之积、弦长、目标函数等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚.解题程序第一步：利用条件与几何性质，求|EA|＋|EB|＝4.第二步：由定义，求点E的轨迹方程x24＋y23＝1(y≠0).第三步：联立方程，用斜率k表示|MN|.第四步：用k表示出|PQ|，并得出四边形的面积.第五步：结合函数性质，求出当斜率存在时S 的取值范围.第六步：求出斜率不存在时面积S 的值，正确得出结论.【易错易混温馨提醒】一、忽视椭圆的焦点轴导致方程出错.易错1：已知椭圆2222:1(0)y x W a b a b +=>>的焦距与椭圆22:14x y Ω+=的短轴长相等，且W 与Ω的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A ，直线l 与直线OA （O 为坐标原点）垂直，且l 与W 交于,M N 两点．（1）求W 的方程；（2）求MON ∆的面积的最大值．【答案】（1）22143y x +=（2联立223{ 143y x my x =-++=得2231183120x mx m -+-=，设()()1122,,,M x y N x y ，分别计算MN 和O 到直线l 的距离为d 得MON ∆的面积)221312S d MN m m =≤+-=进而得解.二、多解问题的取舍.易错2：已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F，B为椭圆的上顶点，12BF F∆为A 为椭圆的右顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,M N 两点（,M N 不是左、右顶点），且满足MA NA ⊥，试问：直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.【答案】(Ⅰ) 22143x y +=；（Ⅱ）直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，.解得： 12m k =-， 227k m =-，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时， l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()20，，与已知矛盾； 当227k m =-时， l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，.三、巧用均值不等式求最值，避免大量运算.易错3：已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率e =左、右焦点分别为12,F F ，且2F 与抛物线24y x =的焦点重合.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过1F 的直线交椭圆于,B D 两点，过2F 的直线交椭圆于,A C 两点，且AC BD ⊥，求AC BD +的最小值.【答案】（1）椭圆的标准方程为22132x y +=；（2）AC BD +的最小值为5.解析：（1）抛物线24y x =的焦点为()1,0，所以1c =，又因为1c e a a ===a = 所以22b =，所以椭圆的标准方程为22132x y +=. （2）（i ）当直线BD 的斜率k 存在且0k ≠时，直线BD 的方程为()1y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=， 并化简得()2222326360k x k x k +++-=. 设()11,B x y ， ()22,D x y ，则2122632k x x k +=-+， 21223632k x x k -=+，四、多元的最值问题.易错4：平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.解 (1)由题意知3a 2＋14b 2＝1.又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0).因为x 204＋y 20＝1，又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.五、不能完全用韦达定理代换的坐标的处理..易错5：已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b-=>>的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1F,2F为顶点的三角形的周长为)41.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设该椭圆C与y轴的交点为M,N (点M位于点N的上方),直线y=kx+4与椭圆C相交于不同的两点,A B ,求证:直线MB与直线NA的交点D在定直线上.【答案】(1)22184x y+= (2)见解析直线NA的方程62AAkxy xx+=-②联立①②，得()233A B A B B Akx x x x y x x ++==- 222241622212116421B B k k x k k K x K -⎛⎫++ ⎪++⎝⎭--+ 82221116421B B k x k k x k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++，即1cy =∴直线MB 与直线NA 的交点D 在定直线1y =上 六、求曲线方程时的挖点问题易错6：已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，若直线AP 与AQ 斜率之积为118-，求证：直线l 过定点，并求定点坐标.【答案】（1）曲线C 的方程为2219x y += ()3x ≠±；（2）直线l 过定点，定点坐标为()1,0.故曲线C 的方程为2219x y += ()3x ≠±. （Ⅱ）由已知直线l 斜率为0时，显然不满足条件。