初二数学上册知识点：人大附中期中试题版_考点解析

人大附中 2019-2020 学年度第一学期初一年级数学期中练习一、选择题（本大题共30分，每小题3分）1.壮丽七十载，奋进新时代. 2019 年10 月1 日上午庆祝中华人民共和国成立70 周年大会在北京天安门广场隆重举行，超20 万军民以盛大的阅兵仪式和群众游行欢庆共和国70 华诞，其中20 万用科学计数法表示为（）A. 20×104B. 2×105C. 2×104D. 0.2×106【答案】B【解析】【分析】根据科学记数法的较大数的表示方法表示即可．【详解】解：20万=200 000=2×105．故选B．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.二次三项式2x2﹣3x﹣1二次项系数，一次项系数，常数项分别是（）A. 2，﹣3，﹣1B. 2，3，1C. 2，3，﹣1D. 2，﹣3，1【答案】A【解析】【分析】根据单项式的系数定义和多项式项的概念得出即可．【详解】二次三项式2x2﹣3x﹣1二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，﹣3，﹣1，故选A．【点睛】本题考查了多项式的有关概念，能熟记多项式的项和单项式的次数和系数定义的内容是解此题的关键．3.下列计算正确的是（）A. 5a－a = 4B. 3a + 2b = 5abC. 3a2b－3ab2= 0D. a－(2－b)= a－2+b 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项运算法则计算，判断即可．【详解】解：A. 5a－a = 4a，故错误；B. 3a + 2b，不能合并，故错误；C. 3a2b－3ab2，不能合并，故错误；D. a－(2－b)= a－2+b，正确.故选D.【点睛】本题考查的是合并同类项，掌握运算法则是解题的关键．4.下表是某地未来四天天气预报表：根据图中的信息可知这四天中温差最大的是A. 星期一B. 星期二C. 星期三D. 星期四【答案】C【解析】【分析】用最高温度减去最低温度，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【详解】解：A. 星期一：8-0-=8℃；B. 星期二：6-（-1）=7℃；C. 星期三：7-（-2）=9℃；D. 星期四：6-（-2）=8℃.故这四天温差最大的是星期三故选C.【点睛】本题考查了有理数的减法，熟记运算法则是解题的关键．5.若x =－1是关于x 的方程3x + 6 = t 的解，则t 的值为（）A. 3B. －3C. 9D. －9【答案】A【解析】【分析】把x =－1代入3x + 6 = t求出t即可.【详解】解：把x =－1代入3x + 6 = t得t=3故选A.【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．6.实数a ，b ，c ，d 在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A. a＞－4B. bd＞0C. b + c＞0D. | a |＞|b|【答案】D【解析】【分析】观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．【详解】解：A. 根据数轴可知a＜-4，故错误；B. ∵b＜-1，d=4∴bd<0，故错误；C. ∵-2<b ＜-1，0<c<1∴b + c <0，故错误；D. 54,21a b -<<--<<-Qa b ∴>，故正确.故选D.【点睛】本题考查了实数与数轴以及绝对值，观察数轴，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 7.历史上，数学家欧拉最先把关于 x 的多项式用记号 f (x )来表示，把 x 等于某数a 时的多项式的值用f (a )来表示，例如 x =－2 时，多项式 f (x )= x 2 +5x －6 的值记为 f (－2)，那么 f (－2)等于（ ）A. 8B. －12C. －20D. 0【答案】B【解析】【分析】把x=-2代入f （x ）计算即可确定出f （-2）的值．【详解】解：根据题意得：f （-2）= x 2 +5x －6=4-10-6=-12．故选B ．【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8.初一年级 14 个班举行了篮球联赛，规则如下：（1）每一个班都要和其他 13 个班打一场比赛，且每一场比赛一定分出胜负；（2）胜一场积 2 分，负一场积,1 分；（3）比赛结束后按照班级总积分高低颁发奖项. 若一个班已经完成了所有的比赛，胜m 场，则该班总积分为（ ）A. 2mB. 13－mC. m +13D. m +14 【答案】C【解析】【分析】根据胜一场积2分，负一场积1分，以及胜m 场，进而列出式子求出答案．【详解】解：由题意得：()21313+m m m +-=【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意知道一共参加了13场比赛是解题的关键.9.已知当x =2 时，代数式ax3－bx +3的值为5，则当x =－2 时，ax3－bx +3的值为（）A. 5B. －5C. 1D. －1【答案】C【解析】【分析】把x=2代入代数式，使其值为5确定出8a-2b的值，再将x=-2 代入ax3－bx +3化简得-（8a-2b）+3，再代入计算即可求出值．【详解】解：根据题意得：8a-2b+3=5，即8a-2b=2，则当x=-2时，原式=-（8a+2b）+3=-2+3=1，故选C.【点睛】本题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10.已知| a| + a = 0，则化简|a－1| +|2a－3| 的结果是（）A. 2B. －2C. 3a－4D. 4－3a【答案】D【解析】【分析】根据| a| + a = 0，可知a≤0，继而判断出a-1，2a-3的符号，后去绝对值求解．【详解】解：∵|a|=-a，∴a≤0．则|a－1| +|2a－3| =-（a-1）-（2a-3）=4－3a．故选D．【点睛】本题考查绝对值的化简：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对二、填空题（本大题共 16 分，每小题 2 分）11.3的相反数是__________．【答案】-3【解析】【分析】此题依据相反数的概念求值．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．【详解】解：相反数只是符号不同，故3的相反数为−3−3.【点睛】错因分析容易题.失分原因是：相反数与绝对值的概念混淆.12.比较大小：12-____13-（用“＞或=或＜”填空）．【答案】＜【解析】【分析】根据绝对值的性质即可求解.【详解】∵11 23＞∴12-＜13-故填：＜.【点睛】此题主要考查有理数的大小比较，解题的关键是熟知绝对值的性质.13.如果|m﹣3|+(n+2)2＝0，那么mn的值是_____．【答案】-6【解析】【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出m，n的值，进而得出答案．【详解】∵|m﹣3|+(n+2)2=0，∴m﹣3=0，n+2=0，解得：m=3，n=﹣2，故mn=﹣6，故答案为﹣6．【点睛】本题考查了非负数的性质，正确得出m，n的值是解题关键．14.请写出一个只含字母x 、y ，系数为3，次数为4 的单项式：_______________.【答案】3x3y【解析】【分析】根据单项式系数和次数的定义求解即可.【详解】解：根据单项式系数和次数的定义，一个含有字母x、y且系数为3，次数为4的单项式可以写为：3x3y．故答案为3x3y．【点睛】本题主要考查了单项式，要注意所写的单项式一定要符合单项式系数和次数的定义．15.测得一种树苗的高度与树苗生长的年数有关的数据如下表所示（树高原高100 cm）假设以后每年树苗的高度的变化规律与表中相同，请用含n（n 为正整数）的式子表示生长了n 年的树苗的高度为__________cm.【答案】100+5n【解析】【分析】从上表可以看出，树每年长高5厘米．所以生长了n 年的树苗的高度为100+5n.【详解】解：根据题意有：生长了n 年的树苗的高度为100+5n故答案为100+5n.【点睛】本题的关键是算出树每年长高多少厘米．通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．16.下面的框图表示解方程3x + 20 = 4x－25 的流程：请写出移项的依据：__________.【答案】等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍是等式【解析】【分析】根据等式的性质求解即可．【详解】解：解方程3x+20=4x-25的流程．移项的依据是等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍是等式，故答案为等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍是等式【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键．17.在数轴上，点O 为原点，点A、B分别表示数a 、2，将点A 向右平移1 个单位长度，得到点C，若CO=2BO，则a 的值为____________.【答案】-5或3【解析】【分析】根据CO=2BO可得点C表示的数为±4，据此即可求出a．【详解】解：∵CO=2BO，OB=2∴点C表示的数为±4，∴a=-4-1=-5或a=4-1=3．故答案为-5或3.【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．18.某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量= 累计耗电量累计里程，剩余续航里程=剩余电量平均耗电量，表中数据可得，该车在两次记录时间段内行驶100 公里的耗电量约为__________度（结果精确到个位）【答案】16.6【解析】【分析】根据累计耗电量公式计算．【详解】解：4100×0.126-4000×0.125=516.6-500=16.6．故答案为16.6．【点睛】本题考查了函数模型的应用，属于基础题．三、解答题（本答题共54分，第19题16分，第20-23每题4分，第24-25题每题5分，第26-27题每题 6分）19.计算题：（1） (－8)－(－15)+(－9)－(－12)（2）－2.5×316(1)()53-÷-（3）－14 ÷[ (－4)2 ×311+3()22÷- （4）(3a －2b )+(4a －9b )【答案】（1）10；（2）3-4；（3）116；（4）711a b - 【解析】【分析】（1）减法转化为加法，再根据加减运算法则计算可得；（2）把小数化为分数然后除法转化为乘法然后去括号计算即可；（3）化除为乘然后先计算乘方与乘法，再根据加减法运算法则计算即可；（4）去括号然后合并同类项即可.【详解】解：（1）原式= =-8+15-9+12=-17+27=10； （2）原式=583---=2516⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3-4； （3）原式=()1-116-38=-1-16=2⎛⎫÷⨯⨯÷ ⎪⎝⎭116； （4）原式=3249=a b a b +－－711a b -故答案为（1）10；（2）3-4；（3）116；（4）711a b -. 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算与整式的加减运算，关键在于通过正确的去括号和合并同类项对整式进行化简，并熟练掌握有理数的混合运算顺序与运算法则．20.解方程： 3x +3 = 8－12x 【答案】x=13【解析】 【分析】原式移项，然后合并同类项再系数化为1即可. 【详解】解：3x +12x =8-3 解得：x=13 故答案x=13. 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键. 21.先化简，再求值： 5x 2 + 2x －(4x 2－1)+ 2(x －3)，其中 x =－12【答案】2+45x x -，11-4【解析】 【分析】先去括号再合并同类项，最后代入求出即可．【详解】解：原式=225 24+16 2=x x x x ++－－2+45x x -把x =－12代入原式得：原式=21+415=22⎛⎫ ⎪⎝⨯-⎭11-4 故答案为2+45x x -，11-4. 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算和化简能力． 22.已知3x －y －2 = 0 ，求代数式5(3x －y )2－9x +3 y －13的值. 【答案】1【解析】【分析】根据3x－y－2 = 0得3x－y = 2，把3x－y = 2代入5(3x－y)2－9x +3 y－13化简求解即可. 【详解】解：Q3x－y－2 = 0∴3x－y = 2Q5(3x－y)2－9x +3 y－13=5(3x－y)2－3（3x-y）－135(3x－y)2－3（3x-y）－13=5×22-3×2-13=1故答案为1.【点睛】本题考查代数式化简求值计算，关键是根据已知式子进行解答．23.已知关于x 的方程(| k |－3)x2－(k－3)x + 2m+1= 0 是一元一次方程.（1）求k 的值；（2）若已知方程与方程3x = 4－5x 的解相同，求m 的值.【答案】（1）k=-3；（2）m=-2【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的定义进行解答；（2）先解方程3x=4-5x，再把方程的解代入原方程可得m的值．【详解】解：（1）由题意得|k|-3=0，k-3≠0，∴k=-3；（2）3x=4-5x，3x+5x=4，x=1 2原方程：6x+2m+1=0，把x=12代入：3+2m+1=0，m=-2．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式和解一元一次方程，明确一元一次方程只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．24.在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A 地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天航行路程记录如下：（单位：千米）14，－9，18，－7，3，－6，10，－5，－13（1）通过计算说明B 地在A 地的何位置；（2）已知冲锋舟每千米耗油0.5 升，油箱容量为50 升，若冲锋舟在救援前将油箱加满，请问该冲锋舟在救援过程中是否还需要补充油？【答案】（1）B地在A地东5千米；（2）不需要【解析】【分析】（1）根据有理数的加法运算，可得答案；（2）根据行车的总路程以及每千米耗油，可得耗油量．【详解】解：（1）14-9+18-7+3-6+10-5-13=5，答：B地在A地东5千米；（2）不需要，（14+|-9|+18+|-7|+3+|-6|+10+|-5|+|-13|）×0.5=85×0.5=42.5（升），50-42.5=7.5（升），故途中不需要补充油．故答案为（1）B地在A地东5千米；（2）不需要.【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解题关键．25.定义：任意两个数a 、b ，按规则c = a +b－ab 扩充得到一个新数c ，称所得的新数c 为“如意数”.（1）若a =2，b =－3，直接写出a 、b 的“如意数” c ；（2）若a =2，b = x2 +1，求a 、b 的“如意数” c ，并比较b 与c 的大小；（3）已知a=x2-1，且a 、b 的“如意数” c = x3 +3x2－1，则b = （用含x 的式子表示）【答案】（1）5；（2）b>c ；（3）x+2 【解析】 【分析】（1）根据“如意数”的定义即可判断； （2）根据“如意数”的定义即可判断；（3）根据“如意数”的定义，构建方程求出b 即可； 【详解】解：（1）根据题意有c=()2-3-2-3⨯=5； （2）根据题意有c=2+ x 2 +1-2×（x 2 +1）=- x 2 +1Q b = x 2 +1， x 2 ≥0∴b>c（3）由题意得x 3+3x 2-1=（x 2-1）b+（x 2-1）+b ， ∴x 2b=x 3+2x 2， ∵x ≠0， ∴b=x+2．故答案为（1）5；（2）b>c ；（3）x+2．【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26.小明学习了《有理数》后，对运算非常感兴趣，于是定义了一种新运算“△”规则如下：对于两个有理数m ， n ， m △ n =||2m n m n-++.（1）计算:1△（－2）= ；（2）判断这种新运算是否具有交换律，并说明理由；（3）若a 1 =| x －1| ， a 2 =| x －2|，求a 1△ a 2（用含 x 的式子表示）【答案】（1）1；（2）满足；（3）当x≥1.5时，a 1△ a 2= x-1；当x<1.5时，a 1△ a 2= 2-x. 【解析】【分析】（1）利用规定的运算方法代入求得数值即可；（2）把（1）中的数字位置调换，计算后进一步比较得出结论即可；（3）分情况讨论求出a1△a2即可.【详解】解：（1）1△（－2）=()()|1-2|1-22-++=1；（2）具有交换律，理由如下：把（1）中的数字位置调换有（－2）△1=()()|-2-1|-212++=1=1△（－2）∴满足交换律；（3）Q a1=| x－1| ，a2=| x－2|∴a1△ a2=|1-2|122x x x x--+-+-当x≥2时，a1△ a2=|1-2|122x x x x--+-+-=()|1-2|122x x x x--+-+-=x-1；当1≤x<2时，a1△a2=|1-2|122x x x x--+-+-=()|1-2|122x x x x--+-+-=|23|12-+x当1≤x<1.5时，a1△a2=|23|1321=222-+-+=-x xx当1.5≤x<2时，a1△a2=|23|1231=1 22-+-+=-x xx当x<1时，a1△a2=|1-2|122x x x x--+-+-=()|1-2|122x x x x--+-+-=2-x故答案为（1）1；（2）满足；（3）当x≥1.5时，a1△a2=x-1；当x<1.5时，a1△a2= 2-x.【点睛】本题考查了有理数的混合运算．定义新运算的题目要严格按照题中给出的计算法则计算．27.如图，设A 是由n×n 个有理数组成的n 行n 列的数表，其中a ij（i，j =1，2，3，，n ）表示位于第i 行第j 列的数，且a ij取值为1 或－1.a11a12a1na21a22a2na1na2n a nn对于数表A 给出如下定义：记x i 为数表A 的第i 行各数之积，y j为数表A 的第j 列各数之积.令S = (x1+x2++ xn )+(y1+ y2+ yn)，将S 称为数表A 的“积和”.（1）当n = 4 时，对如下数表A，求该数表的“积和” S 的值；11－1－1 1－111 1－1－11－1－111（2）是否存在一个3×3 的数表A，使得该数表的“积和” S =0 ？并说明理由；（3）当n =10 时，直接写出数表A 的“积和” S 的所有可能的取值.【答案】（1）0；（2）不存在；（3）16，12，8，0，-4，-8，-12，-16，-20【解析】【分析】（1）根据已知条件直接求解即可；（2）不存A∈S（3，3），使得S =0．可用反证法证明假设存在，得出矛盾，从而证明结论；（3）根据已知条件求出l（A）关于A∈S（n，n），（k=0，1，2，…，n）的关系式然后代入求值即可.【详解】解：由题意得：（1）S4= (x1+ x2+x3+ x4)+(y1+ y2+y3+ y4)=（1-1+1+1）+（-1-1+1-1）=0（2）不存在A∈S（3，3），使得S=0．证明如下：假设存在A∈S（3，3），使得S=0．因为x i（A）∈{1，-1}，y j（A）∈{1，-1}，（i，j=1，2，3），所以x1（A），…，x3（A）；y1（A），…，y3（A），这9个数中有3个1，3个-1．令M=x1（A）•…x3（A）y1（A）…y3（A）．一方面，由于这9个数中有3个1，3个-1，从而M=-1．①另一方面，x1（A）•…x3（A）表示数表中所有元素之积（记这9个实数之积为m）；y1（A）•…y9（A）也表示m，从而M=m2=1．②①、②相矛盾，从而不存在A∈S（3，3），使得S=l（A）=0．(3)（i）对数表A0：a ij（i，j=1，2，3，…，n），显然l（A0）=2n．将数表A0中的a11由1变为-1，得到数表A1，显然l（A1）=2n-4．将数表A1中的a22由1变为-1，得到数表A2，显然l（A2）=2n-8．依此类推，将数表A i-1中的a kk由1变为-1，得到数表A k．即数表A k满足：a11=a22=…=a kk=-1（1≤k≤n），其余a ij=1．∴r1（A）=r2（A）=…=r k（A）=-1，C1（A）=C2（A）=…=C k（A）=-1．∴l（A k）=2[（-1）×k+（n-k）]=2n-4k，其中k=1，2，…，n．当n =10 时，数表A 的“积和” S 的所有可能的取值为：16，12，8，0，-4，-8，-12，-16，-20.故答案为（1）0；（2）不存在；（3）16，12，8，0，-4，-8，-12，-16，-20.【点睛】本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，考查反证法的运用，难度较大．。

北京人大附中初二上期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．分式21a +有意义，则a 的取值范围是（ ）． A ．0a = B ．1a = C ．1a ≠- D ．0a ≠3．下列运算正确的是（ ）．A ．22a a a ⋅=B ．()326a a =C ．()33ab ab =D ．1025a a a ÷=4．点()2,1M -关于x 轴的对称点N 的坐标是（ ）． A ．(2,1)B ．(2,1)-C ．(2,1)--D ．(2,1)-5．下列各式从左到右的变形正确的是（ ）． A ．a b a ba b a b +-=-+ B ．11x x x y x y+--=-- C ．0.220.22a b a ba b a b++=++D ．122122x yx y x y x y --=++6．如图，在ABC △中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，点E 、F 、M 、N 是AD 上的四点，若ABC △的面积是16，则图中阴影部分的总面积是（ ）．A ．6B ．8C ．4D ．127．如图，Rt ABC △中90C ∠=︒，30A ∠=︒，12AB =，CD AB ⊥与点D ，则BD =（ ）．A ．5B ．4C ．3D ．2DAN MFE DCBA8．如图，在ABC △中，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ∥交AC 于点E ，若7DE =，5CE =，则AC =（ ）．A ．11B ．12C ．13D ．149．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后再最后折叠的纸片沿虚线剪去右上方的小三角形，将纸片展开，得到的图形是（ ）．A． B．C． D．10．计算()()23ax b x +-的结果是323927x x x +--，则222a ab b ++的值是（ ）． A ．9 B ．16C ．25D ．36二、填空题（每空2分，共20分）11．若分式2x x-的值为零，那么x 的值为__________．12．比较大小：332__________223．13．已知5a b +=，2215a b -=，则a b -的值是__________．14．如图，从边长为1a +的正方形纸片中剪去一个边长为1a -的正方形()1a >，剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是__________．EDCBA15．现规定一种运算：2a b a ab*=-，则()1x x*+所表示的代数式是__________．16．计算()()232x k x-+的结果中不含x项，则k的值是__________．17．如图，已知三角形纸片ABC，AB AC=，50A∠=︒，将其折叠，使点A与点B重合，折痕为ED，点E、D分别在AB、AC上，则DBC∠的度数是__________．(A)EDCBACBA18．如图，在ABC△中，AB AC<，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，8AC=，ABE△的周长为14，则AB的长是__________．ED CBA19．如图，直角三角形纸片ABC中，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点1P；设1P D的中点为1D，第2次将纸片折叠，使点A与点1D重合，折痕与AD交于2P；设21P D的中点为2D，第3次将纸片折叠，使点A与点2D重合，折痕与AD交于点3P；…；设12n nP D--的中点为1nD-，第n次将纸片折叠，使点A与点1nD-重合，折痕与AD交于()2nP n>，若5AD=，则2AP的长为__________，nAP的长为__________．第3次折叠第2次折叠第1次折叠P1P3D2D1DCBAP2D1DCBADCBA三、解答题：（每小题4分，共28分）20．计算：（1）()()22x y x y xy x+-+÷；（2）()()233x y y x y-+-．21．分解因式：（1）39a b ab -；（2）221632x y xy y -+．22．画出ABC △关于直线MN 的对称的图形．M N CBA23．（1）已知2a b -=，求()24a b b -+的值；（2）先化简，再求值：()()()212111x x x --+++，其中234x x -=．四、解答题（每小题4分，共12分）24．如图，AB AC =，ABD ACE ∠=∠，BD 与CE 交于点O ． 求证：OB OC =．OEDCBA25．列方程解应用题：一个长方形鱼池的长比宽多2米，如果鱼池的长和宽分别增加3米，那么这个鱼池的面积将增加39平方米，问这个鱼池原来的宽是多少米？26．如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥与点D ，2ACD B ∠=∠，若8CD =，26AB =，求AC 的长．DCBA五、解答题：（每小题5分，共10分）27．阅读理解应用：选取二次三项式2x bx c ++中的二次项2x 和一次项bx ，再配上一个常数24b ，可以把2x bxc ++变形为2224b b x c ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，这种变形的过程叫配方法．例如：()()()2222281812441415x x x x x x x -+=-+=-⋅⋅++=--；根据上述材料，解决下面问题：（1）若代数式2610xx ++可化为()2x a b++，则a b +的值是__________．（2）设()()22M x x =-+，()()211N x x =++，比较M 与N 的 ；（3）若236292m m -+是完全平方数，求正整数m 的值． 28．已知：在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=，点D 是线段AB 的垂直平分线上一点，连接AD 、BD 、CD ．（1）当60α=︒且D 在线段AB 上时，ACD ∠的大小为__________（直接写出结论）； （2）如图，当100α=︒，20ABD ∠=︒时，求ACD ∠的大小；（3）若点D 在ABC △内部，当ABD ∠的度数是__________时，ACD ∠的大小与（2）中的结果相同，请直接写出结论．DCBA北京人大附中初二上期中数学试卷答案一．选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AC B CD B C B A B二．填空题1112 13 14 15 16 17 18 192<3 4ax -4315︒ 6158；121532n n --⨯三．解答题20．（1）()()22x y x y xy x +-+÷2222x y y =-+ 22x y =+．（2）()()233x y y x y -+- 222963x y xy xy y =+-+- 293x xy =-．21．（1）39a b ab - 2(9)ab a =-(3)(3)ab a a =-+．（2）221632x y xy y -+ 22(816)y x x =-+22(4)y x =-．22．作图如下：23．（1）()24a b b -+224a b b =--()()4a b a b b =-+-∵2a b -=，∴原式2()4224a b b a b =+-=-=． （2）()()()212111x x x --+++ 22231121x x x x =-+++++33x x =-+．∵234x x -=， ∴原式437=+=．24．证明：连结BC ， ∵AB AC =， ∴ABC ACB ∠=∠． 又∵ABD ACE ∠=∠，1ABC ABD ∠=∠-∠， 2ACB ADE ∠=∠-∠，∴12∠=∠．∴OB OC =．25．解：设鱼池原来的宽为x 米，则原长为2x +米．由题意得， (3)(5)(2)39x x x x ++-+=，解方程得4x =．答：鱼池原来的宽为4米．26．解：如图，延长CD 交AB 于点E ． ∵AD 平分BAC ∠, ∴12∠=∠． ∵CD AD ⊥，∴90ADE ADC ∠=∠=︒． ∵在ADE △和ADC △中， 12AD ADADE ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ADE △≌ADC △（ASA ）． ∴8DE CD ==．AEC ACD ∠=∠．又∵2ACD B ∠=∠,AED B ECB ∠=∠+∠．∴B ECB ∠=∠． ∴16BE CE ==，∴10AC AE AB BE ==-=．27．解：（1）4 （2）N M >． N M -(21)(1)(2)(2)x x x x =++--+ 222314x x x =++-+ 235x x =++21O EDCB A21EDCBA2311()24x =++∵23()02x +≥，∴0N M ->． 故N M >．（3）236292m m -+ 2(18)32m =--．∵若236292m m -+是完全平方数， ∴2236292m m n -+=（n 为正整数）． ∴22(18)32m n --=． ∴(18)(18)32m n m n ---+=．由题意得1818m n p m n q --=⎧⎨-+=⎩，其中p ，q 奇偶性相同，且32p q ⋅=．∴182p qm +=+． 解得27m =，24，12，9． 28．（1）30︒． （2）30ACD ∠=︒．如图，作20EAD ∠=︒，并截取AE AB =． 在BAD △和EAD △中， AB AE BAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴BAD △≌EAD △． ∴ED BD =．∵D 在线段AB 的垂直平分线上， ∴AD BD =． ∴ED AD =．∵100BAC ∠=︒，∴100202060EAC ∠=︒-︒-︒=︒． 又AE AB AC ==， ∴EAC △是等边三角形． ∴EA EC =．在DAC △和DEC △中， AC EC AD ED CD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴DAC △≌DEC △． 故1302ACD ECD ACE ∠=∠==︒． （3）602α-︒．EDCBADA作DAE BAD ∠=∠，并截取AE AB =．同（2）证明，可得AE AB AC ==，DAC △≌DEC △． 假设30DAC ∠=︒，则260ACE DCA ∠=∠=︒． 可得EAC △为等边三角形． ∴60EAC ∠=︒． ∴602BAD DAE α-︒∠=∠=．北京人大附中初二上期中数学试卷部分解析一．选择题1．【答案】A【解析】由轴对称图形的定义知A 不是轴对称图形．故选A ．2．【答案】C【解析】1a ≠-时分式21a +有意义．故选C ．3．【答案】B【解析】()326a a =．故选B ．4．【答案】C【解析】点()2,1M -关于x 轴的对称点N 的坐标(2,1)--．故选C ．5．【答案】D 【解析】122122x yx yx y x y--=++正确．故选D ．6．【答案】B【解析】阴影部分的总面积是三角形面积的一半，故阴影部分的总面积是8．故选B ．7．【答案】C【解析】Rt ABC △中90C ∠=︒，30A ∠=︒，12AB =， ∴162BC AB ==．在Rt BDC △中，60B ∠=︒， ∴132BD BC ==． 故选C ．8．【答案】B【解析】AD 是BAC ∠的平分线，∴BAD CAD ∠=∠．∵DE AB ∥，∴BAD ADE ∠=∠．∴CAD ADE ∠=∠，∴7AE DE ==．∴12AC AE CE =+=．故选B ．9．【答案】A【解析】将图形展开后为A 图．故选A ．10．【答案】B【解析】另1x =，则原式2()(2)1392732a b =+⨯-=+--=-， ∴2()16a b +=．故选B ．二、填空题11．【答案】2【解析】x 的值为2时，分式2x x -的值为零．故答案为2．12．【答案】<【解析】333112(2)=，222113(3)=，∵3223<，∴332223<．故答案为<．13．【答案】3【解析】22()()5()15a b a b a b a b -=-+=-=，故3a b -=．故答案为3．14．【答案】4a【解析】矩形面积为22(1)(1)4a a a +--=．故答案为4a ．15．【答案】x -【解析】由题知()21(1)x x x x x x *+=-+=-．故答案为x -．16．【答案】43【解析】()()2223264326(43)2x k x x x kx k x k x k -+=+--=+--． ∵不含x 项，∴430k -=，解得43k =． 故答案为43．17．【答案】15︒【解析】AB AC =，50A ∠=︒，则18050652ABC ︒-︒∠==︒．由折叠的性质知50ABD A ∠=∠=︒，∴15DBC ABC ABD ∠=∠-∠=︒．故答案为15︒．18．【答案】6【解析】由垂直平分线的性质知BE CE =，∴8AE BE AE EC +=+=，∴1486AB =-=．故答案为6．19．【答案】158；534nn ⨯ 【解析】134AD AD =，2134AD AD =，……，134n n AD AD -=， ∴534nn n AD ⨯=． 又12125332n n n n AP AD --⨯==． ∴2158AP =,121532n n n AP --⨯=． 故答案为158，121532n n --⨯。

2019-2020学年北京人大附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图案属于轴对称图案的是()A. B. C. D.2.若分式1有意义，则a的取值范围是()a−1A. a≠1B. a≠0C. a≠1且a≠0D. 一切实数3.下列运算中正确的是()A. x2÷x8=x−6B. a⋅a2=a2C. (a2)3=a5D. (3a)3=9a34.如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PD=2，M为OP的中点，则点M到射线OB的距离为()A. 12B. 1C. √2D. 25.如图，AB=AC，BD=CD.若∠B=70°，则∠BAC=()A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°6.如图，∠MON内有一点P，点P关于OM的对称点是G，点P关于ON的对称点是H，GH分别交OM，ON于点A，B.若∠MON=35°，则∠GOH的度数为()A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°7.如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图2)，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是()A. a2+b2=(a+b)(a−b)B. a2−b2=(a+b)(a−b)C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. (a−b)2=a2−2ab+b28.如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足为O，CE交AB于E，则下列命题：①AE=AC，②CO=OE，③∠AEO=∠ACO，④∠B=∠ECB.其中正确的是()A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④9.已知△ABC的三边长a、b、c满足等式a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，那么△ABC是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形10.点A(−2,1)关于x轴的对称点Aˈ的坐标是()A. (−2,−1)B. (2,1)C. (−2,1)D. (2,−1)二、填空题（本大题共9小题，共18.0分）11.当x=_________时，分式2x−3的值为0．2x+312.计算：3−2−(−3)0=______ ．13.计算0.25100×4100=______ ．14.若(x−a)(x−5)的展开式中不含有x的一次项，则a=______．15.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB=3，BC=5，则△ABD的周长是______．16.若m+n=6，mn=4，则m3n+2m2n2+mn3=__________．17.在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，BE平分∠ABD交AC于E，sinA=3，5BC=2√10.则AE=______．18.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=√3，则BC的长是______．19.如图，点D为等腰直角△ABC内一点，∠ACB=90°，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上一点，且CE=CA，给出以下结论：①DE平分∠BDC；②△BCE是等边三角形；③∠AEB=45°；④DE=AD+CD；正确的结论有______.(请填序号)三、解答题（本大题共9小题，共52.0分）20.(1)分解因式：−4x2+24xy−36y2；(2)分解因式：(2x+y)2−(x+2y)2．(3)分解因式：(p−4)(p+1)+621.计算：(x+1)2+x(x−2)−(x+1)(x−1)．22.计算：(1)(−3a)2⋅(a2)3÷a3(2)(x−3)(x+2)−(x−2)2(3)先化简，再求值：(a+b)(a−b)−(4a3b−8a2b2)÷4ab其中a=−2，b=−1．23.如图，∠AOB=60°，点P为射线OA上的一动点．过点P作PC⊥OB于点C.点D在∠AOB内，且满足∠APD=∠OPC，DP+PC=10．(1)当PC=6时，求点D到OB的距离；(2)在射线OA上是否存在一定点M，使得MD=MC？若存在，请用直尺(不带刻度)和圆规作出点M(不必写作法，但要保留作图痕迹)，并求OM的长；若不存在，说明理由．24.已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB//CD．求证：AB=CD．25.你能求出(x−1)(x99+x98+x97+⋯+x+1)的值吗⋅遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手.先计算下列各式的值： ①(x−1)(x+1)=; ②(x−1)(x2+x+1)=; ③(x−1)(x3+x2+x+1)=;由此我们可以得到(x−1)(x99+x98+⋯+x+1)=;请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：(1)299+298+⋯+2+1;(2)(−3)50+(−3)49+⋯+(−3)+1．26.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ABC=2∠C.求证：AB+BD=AC．27.已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的一个动点(不与点C，点D重合)，连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．(1)如图1，若点M在线段BD上．①依据题意补全图1；②求∠MCE的度数．(2)如图2，若点M在线段CD上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC、CE、CM之间的数量关系．28.已知：在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为(3,0)，(0,4)，点C(t,0)是x轴上一动点，点M是BC的中点．(1)当点C和点A重合时，求OM的长；(2)若S△ACB=10，则t的值为______；(3)在(2)的条件下，直线AM交y轴于点N，求△ABN的面积．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：A．根据轴对称图形的概念求解．此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．2.答案：A解析：解：若分式1有意义，则a−1≠0，即a≠1，a−1故选：A．分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得．本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．3.答案：A解析：解：A、x2÷x8=x−6，故原题计算正确；B、a⋅a2=a3，故原题计算错误；C、(a2)3=a6，故原题计算错误；D、(3a)3=27a3，故原题计算错误；故选：A．根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．此题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方，关键是掌握各运算法则．4.答案：B解析：解：作PE⊥OB于E，MN⊥OB于N，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD=2，∵PE⊥OB，MN⊥OB，∴PE//MN，又M为OP的中点，PE=1，即点M到射线OB的距离为1，∴MN=12故选：B．作PE⊥OB于E，MN⊥OB于N，根据角平分线的性质求出PE，根据三角形中位线定理计算即可．本题考查的是角平分线的性质、三角形中位线定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．解析：解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=70°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=40°，故选C．根据等腰三角形的性质即可得到结论本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．6.答案：B解析：【分析】本题考查了轴对称的性质，熟记性质并确定出相等的角是解题的关键．连接OP，根据轴对称的性质可得∠GOM=∠MOP，∠PON=∠NOH，然后求出∠GOH=2∠MON，代入数据计算即可得解．【解答】解：如图，连接OP，∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，∴∠GOM=∠MOP，∠PON=∠NOH，∴∠GOH=∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH=2∠MON，∵∠MON=35°，∴∠GOH=2×35°=70°．故选B．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．第一个图中的面积=a2−b2，第二个图中梯形的面积=(2a+2b)(a−b)÷2=(a+b)(a−b)，两图形阴影面积相等，据此即可解答．【解答】解：由题可得：第一个图中的面积=a2−b2，第二个图中梯形的面积=(2a+2b)(a−b)÷2=(a+b)(a−b)，∵两图形阴影面积相等，∴a2−b2=(a+b)(a−b)．故选B．8.答案：A解析：【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的根据角平分线的性质及CE⊥AD判断出△AEO≌△ACO即可解答．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，∵CE⊥AD，∴∠AOE=∠AOC，∵AO=AO，∴△AEO≌△ACO．∴①AE=AC，②CO=OE，③∠AEO=∠ACO均正确，④无法判断．故选：A．9.答案：B解析：【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，是基础知识，较简单．a2+b2+c2+50=6a+8b+10c可变为(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，可知道a、b、c分别为3，4，5满足勾股定理，即可判断出三角形的形状．【解答】解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c变形为(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，解之得：a=3，b=4，c=5，符合勾股定理的逆定理，故选B．10.答案：A解析：【分析】本题考查了如下内容：关于x轴对称的两个点之间的坐标关系；关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数．本题比较容易，可直接利用平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点求得答案．【解答】解：两点若关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数．点A(−2,1)关于x轴的对称点A′的坐标是(−2,−1)．故选A．11.答案：32解析：【分析】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键.分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】的值为0，解：∵分式2x−32x+3∴2x−3=0且2x+3≠0，．解得：x=32故答案为32．12.答案：−89解析：解：原式=19−1=−89幂的负整数指数幂的运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进行计算，任何非0数的0次幂等于1．本题是考查含有零指数幂和负整数指数幂的运算，属较简单题目．13.答案：1解析：解：原式=(0.25×4)100=1．故答案为：1．直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案．此题主要考查了积的乘方运算法则，正确将原式变形是解题关键．14.答案：−5解析：解：(x−a)(x−5)=x2−5x−ax+5a=x2+(−5−a)x+5a，∵(x−a)(x−5)的展开式中不含有x的一次项，∴−5−a=0，a=−5．故答案为：−5．根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，根据已知得出−5−a=0，求出即可．本题考查了多项式乘以多项式法则，解一元一次方程等知识点的应用．15.答案：8解析：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=8，故答案为：8．根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，根据三角形的周长公式计算即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16.答案：144解析：【分析】本题考查知识点是因式分解，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运用因式分解中的提取公因式法与公式法，掌握整体带入法，方可得出答案．题中m3n+2m2n2+mn3=mn(m2+2mn+n2)=mn(m+n)2，整体带入：mn、(m+n)的值即可得出答案．【解答】解：因为m3n+2m2n2+mn3=mn(m2+2mn+n2)=mn(m+n)2=4×62=144，所以答案为144．17.答案：5解析：【分析】根据已知条件设BD=3x，AB=5x，根据勾股定理得到AD=√AB2−BD2=4x，根据等腰三角形的性质得到AC=5x，求得CD=x，根据勾股定理列方程得到AD=8，设AE=m，则DE=8−m，过E作EF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到EF=DE=8−m，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【解答】解：∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=∠CDB=90°，∵sinA=35，∴设BD=3x，AB=5x，∴AD=√AB2−BD2=4x，∵AB=AC，∴AC=5x，∴CD=x，∵BD2+CD2=BC2，∴(3x)2+x2=(2√10)2，∴x=2，(负值舍去)，∴AD=8，设AE=m，则DE=8−m，过E作EF⊥AB于F，则∠AFE=90°，∵BE平分∠ABD，∴EF=DE=8−m，∵sinA=EFAE =35，∴8−mm =35，∴m=5，∴AE=5．故答案为：5．18.答案：√3解析：【分析】本题考查了等腰三角形的判断和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，证明△BCE是等腰三角形是解题的关键．由折叠的性质可知AE=CE，再证明△BCE是等腰三角形即可得到BC=CE，问题得解．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，=72°，∴∠B=∠ACB=180°−36°2∵将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处，∴AE=CE，∠A=∠ECA=36°，∴∠CEB=72°，∴BC=CE=AE=√3，故答案为√3．19.答案：①②③④解析：解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°−15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，∵∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∴∠CDE=∠BDE，即DE平分∠BDC；所以①正确；②∵CA=CB，CA=CE，∴CB=CE，∵∠CAD=∠AEC=15°，∴∠ACE=180°−15°−15°=150°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE=150°−90°=60°，∴△BCE是等边三角形；所以②正确；③∵△BCE是等边三角形，∴∠BEC=60°，∵∠AEC=15°，∴∠AEB=60°−15°=45°，所以③正确；④在DE上取一点G，使DC=DG，连接CG，∵∠EDC=60°，∴△DCG是等边三角形，∴DC=DG=CG，∠DCG=60°，∴∠GCE=150°−60°−45°=45°，∴∠ACD=∠GCE=45°，∵AC=CE，∴△ACD≌△ECG，∴EG=AD，∴DE=EG+DG=AD+DC，所以④正确；正确的结论有：①②③④；故答案为：：①②③④．①先根据等腰直角三角形的性质及已知条件得出∠DAB=∠DBA=30°，则AD=BD，再证明CD是边AB的垂直平分线，得出∠ACD=∠BCD=45°，然后根据三角形外角的性质求出∠CDE=∠BDE= 60°即可；②先利用等角对等边证BC=CE，再推得∠BCE=60°可得结论；③利用差可求得结论：∠AEB=∠BEC−∠AEC；④截取DG=DC，证明△DCG是等边三角形，再证明△ACD≌△ECG，利用线段的和与等量代换可得结论．本题考查了等腰三角形、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形、等边三角形等特殊三角形的性质和判定，熟练掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形这一判定等边三角形的方法，在几何证明中经常运用，要熟练掌握．20.答案：解：(1)原式=−4(x2−6xy+9y2)=−4(x−3y)2；(2)原式=(2x+y+x+2y)(2x+y−x−2y)=3(x+y)(x−y)；(3)原式=p2−3p+2=(p−1)(p−2)．解析：(1)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；(2)原式利用平方差公式分解即可；(3)原式整理后，利用十字相乘法分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．21.答案：解：(x+1)2+x(x−2)−(x+1)(x−1)=(x2+2x+1)+(x2−2x)−(x2−1)=x2+2x+1+x2−2x−x2+1=x2+2．解析：本题主要考查整式的混合运算.利用完全平方公式、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式的运算法则进行运算，再合并同类项即可．22.答案：解：(1)(−3a)2⋅(a2)3÷a3=9a2⋅a6÷a3=9a5；(2)(x−3)(x+2)−(x−2)2=x2−x−6−(x2−4x+4)=3x−10；(3)(a+b)(a−b)−(4a3b−8a2b2)÷4ab=a2−b2−(a2−2ab)=2ab−b2，把a=−2，b=−1代入上式可得：原式=2×(−2)(−1)−(−1)2=3．解析：(1)直接利用积的乘方运算以及结合同底数幂的乘除运算法则化简求出答案；(2)直接利用多项式乘以多项式运算法则求出答案；(3)直接利用多项式乘以多项式运算法则以及多项式除以单项式运算法则化简，进而代入已知数据求出答案．此题主要考查了整式的混合运算−化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．23.答案：解：(1)作DH⊥OB于H，PE⊥DH于E，如图1，∵DP+PC=10，PC=6，∴PD=4，∵∠AOB=60°，∴∠OPC=∠APD=30°，∴∠DPE=30°，PD=2，∴DE=12易得四边形PCHE为矩形，∴EH=PC=6，∴DH=DE+EH=2+6=8，即点D到OB的距离为8；(2)存在．如图2，延长CP到D′，使PD′=PD，则CD′=PC+PD=10，作CD′的垂直平分线交OA于M，则点M为所作；作MN⊥OB于N，如图2，则MN=12×10=5，在Rt△OMN中，ON=√33MN=5√33，∴OM=2ON=10√33．解析：本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了点到直线的距离和含30度的直角三角形三边的关系．(1)作DH⊥OB于H，PE⊥DH于E，如图1，先计算出PD=4，利用含30度的直角三角形三边的关系得到DE=12PD=2，易得四边形PCHE为矩形，然后计算DH即可；(2)如图2，延长CP到D′，使PD′=PD，则CD′=PC+PD=10，作CD′的垂直平分线交OA于M，利用∠D′PA=∠DPA=30°可判断点D、D′关于OA对称，所以MD′=MD，而MD′=MC，所以点M 满足MD=MC，作MN⊥OB于N，如图2，易得MN=5，根据含30度的直角三角形三边的关系求出ON、OM即可．24.答案：证明：∵AB//CD，∴∠B=∠C，∠A=∠D，∵在△AOB和△DOC中，{∠B=∠C ∠A=∠DOA=OD,∴△AOB≌△DOC(AAS)，∴AB=CD．解析：此题主要考查了全等三角形的判定与性质的知识，解答本题的关键是熟练掌握判定定理以及平行线的性质，此题基础题，比较简单．首先根据AB//CD，可得∠B=∠C，∠A=∠D，结合OA=OD，可知证明出△AOB≌△DOC，即可得到AB=CD．25.答案：解： ①x2−1; ②x3−1; ③x4−1;x100−1．(1)299+298+⋯+2+1=(2−1)×(299+298+⋯+2+1)=2100−1．(2)(−3)50+(−3)49+⋯+(−3)+1=−14×(−3−1)×[(−3)50+(−3)49+⋯+(−3)+1] =−14×[(−3)51−1]=351+1．4解析：【分析】此题考查了多项式乘多项式，弄清题中的规律是解本题的关键.直接利用规律填空．(1)将式子乘以(2−1)，利用题中的规律计算即可得到结果；×(−3−1)，利用(1)的结论即可得到所求式子的值．(2)将所求式子乘以−1426.答案：证明：在边AC上截取AP=AB，连接PD．∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠PAD．在△ABD和△APD中，∴△ABD≌△APD(SAS)．∴∠APD=∠B，PD=BD．∵∠B=2∠C，∴∠PDC=∠C．∴PD=PC．∴AB+BD=AP+PC=AC．解析：本题考查全等三角形的判定和性质，先在在边AC上截取AP=AB，连接PD.因为AD平分∠BAC 交BC于点D，利用角平分线的定义可知∠BAD=∠PAD，根据全等三角形的判定可知△ABD≌△APD，再根据全等三角形的性质得出对应角和对应边的相等关系，结合∠ABC=2∠C进一步可求证结果。

北京市人大附中初二上学期期中数学精彩试题含解析汇报2015-2016学年北京市附中初二上学期期中数学试题分，共30分）一、选择题：（每小题3 ）．1．下列四个图形中不是轴对称图形的是（B.C. D.A．4x? ）．2的值为．若分式，则的值为（0x 2x?B. A. C.或D.无法确定*****．在下列运算中，正确的是（）．235a(a?)***-*****6 B. A. C.D.a?aa?aaaaa?a2?4．在直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（）．y,2)M(1 B. D.C.A.2)(?1,(1,?2)?1,2)?1)((2,?5．如图，通过计算正方形的面积，可以说明下列哪个等式成立（）．ABCDabDAbbaaBCab? A.B. ba?b2a?ba?bab?a2ab?b?b)?a?ba(a?aba?a?b?a C. D.6．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（）．p2x?px?x D. C.A. B.2?210DDE 分别垂直横梁，，7．右图是屋架设计图的一部分，点，是斜架的中点，立柱AB8cm?*****E等于（）．，则30?ABDAECB. C. D.A. 4cm1cm2cm3cmBDEDE，8．如图，的角平分线，是交于若，．则下列结论中错误的是，（）ABBB?/DEABC△A/BCC 实用文档EDBE? B.A. C. C.EDA?ABCAD?BD?AC2．将一个等腰直角三角形对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后9 的平面图形是（．）D.B.C.A．P均为等腰三角形，则满足条件10．如图所示，在正五边形的对称轴直线，使得、上找点PDE△PCD△lP 有（的点）．个A.个B.个C. D.个7546 二、填空题：（19题后两空各一分，其余每空2分，共20分）0?3)?( __________的结果是11．计算．1 ．．如果分式有意义，那么的取值范围是__________12x 5?x1 ．13__________．3 37x?y7xy 的值是，．已知14__________．，则y?xDE __________．的周长为，则，中，15．如图，的垂直平分线，是DCB?4cm△ABC△?ACAB6cm*****EFEF的，折痕为则落在使点折痕为如图，16．将正方形纸片对折，，展开后继续折叠，上，AABGGB?__________.度数为实用文档EDED翻折后，点沿直线落分别是17．如图，等边中，，、、上的点，将CBC△ABC△AB?5ACEDC在的外部，则图中阴影部分的周长为__________处，且点．在点ABC△CCACEBCD2)?(x10(x?1)ab27-2）2-0?2adbc（?1?，那么当规定一种运算，．对于实数，，，，如18bdca1)dc3)(x(x（2-2）__________．时，则?x 进行如下操作：19．平面直角坐标系中有一点对点A(1,1)A 第一步，做点关于轴的对称点；，延长线段到点，使得AxAA?2AAAAAA ，延长线段第二步，做点关于轴的对称点到点；，使得yAA?2*****；关于第三步，做点轴的对称点，延长线段到点，使得xA2AA?AAAAAA......；，点的坐标为__________的坐标为则点__________AAmm,44 ．和，均为正整数）的坐标恰好为若点，请写出的关系式__________（nmmnA 分）分，共284三、简答题：（每小题2?y?2x?y2x2xy3xx6x?x.）1．计算：（）；（220.）；）（21．分解因式：1 （2ay5ax5?nmn?9m?n622．先化简，再求值：3221b?a1.5bb?bbab?ab2a3?a. ，其中，）（122x?x1?x1?x2?x?2?. 2（），其中0?5?4xx?1CD. 的垂直平分线，并说明作图依据．尺规作图：请做出线段23AB AB；结论：__________ ．作图依据：__________________________________________________实用文档12分）四、解答题：（每小题4分，共BDAC?AD?*****.，求证：，24.如图，与，且相交于点BE?*****．列方程解应用题：2540 厘米，那么它的面积就增加平方厘米，则这个正方形的边长是多少？如果一个正方形的边长增加4*****ABC△?ABCCD?BD?DBDD的于的平分线，和为，且26．如图，在，请判断中，AB.位置关系，并证明ADCB27．阅读理解应用待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等.的原理确定这些系数，从而得到待求的值.待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解1x?. 为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积因为1x?，故我们可以猜想，展开等式右边得：可以分解成b)x(b?b)?x(a1)xx?(?1)(xa?ax1xx11?ba?0a1?0b，可以求出，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等，，1?1ba?.，.所以1)xxxx?1?(?1)( 取任意值，等式；恒成立，则__________（1）若3(3?a)xx?2x?3?x?xa2?3x ）已知多项式，请用待定系数法求出该多项式的另一因式；有因式2（43xx?4x ．（3）因式分解：1?2xx?2x?AC?△ABCADD. 是内一点，满足28．已知，点30*****CAD.，）已知（1CD?8060?ACB?BAC?BD 的数量关系，请判断，若和①如图，1 （直接写出答案）实用文档ADCB1图?80?60?ACBBAC?.②如图当，时，请问①的结论还成立吗？并说明理由2ADCB2图*****AD?BD2?3ACBABC.（2，试证明，）如图，若ADCB3图实用文档2015-2016学年北京市附中初二上期中数学试题解析一、选择题：（每小题3分，共30分）1．下列四个图形中不是轴对称图形的是（）．A．B.C.D.A平行四边形不是轴对称图形．x?40，则的值为（）．的值为2．若分式x 2x?D.无法确定或B. C. A.2244B4?2?0x?x?4?0x ，∴．，．3．在下列运算中，正确的是（）***-*****3a(a?) D.B. A.C.a?aa?a?a2?aa?a?aABaa()? 幂的乘方底数不变指数相乘，错误；，故C426错误；同底数幂的除法底数不变指数相减，，故a?aa?D523错误；，故同底数幂的乘法底数不变指数相加，a?aa?所以选．Ay轴对称的点的坐标为（）关于4．在直角坐标系中，点．,2)(1MA.B. C. D. 2)?1,?2)(1,?(1,2)?(1)?(2,C实用文档关于轴对称的点的坐标为．两点关于轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数．∴点yy1,2),2)?(M(1ABCD ）5．如图，通过计算正方形．的面积，可以说明下列哪个等式成立（abDAbbaaBCab? A. B.b?2aba?ba?ba2abba? D.C.b)?aa?b?(a?baba?abaA22ABCDab的的矩形和两个面积分别为由图可知，正方形，由两个面积为的面积为，ba)(a?b ．正方形组成，∴得bba?2aba?p?x2?x ．与的值为（）6．若的乘积中不含的一次项，则px0 D.C.A. B.2?12Bpx?2x? 与，．，的一次项，∴的乘积中不含2p0p?2?xp?2?x?(p2)x(xp)(x2)?8cmBCACAB?DED，，，分别垂直横梁7．右图是屋架设计图的一部分，点是斜架的中点，立柱AB?30ADE）等于（．，则BDACE 4cm3cm1cm2cm B.D. C.A.BACBCDE 分别垂直横梁∵，，DE∥BC ∴D 的中点，是斜架∵点AB1 ∴，BCDE? 230?8cm?AAB ，∵，4cm?BC ，∴2cm?DE ．∴C?B/ADE/△*****BDDE ．于是的角平分线，交，8如图，．，则下列结论中错误的是若，（）AB实用文档2AD?BCBD?ACBE?ED C. C.A.B.EDAACBCAB?△ABCBD ，的角平分线，∵是C?AD?DCBDAC?A ，∴（三线合一），BC/DE/ ∵，DBC?***** ，，∴ ，∴*****?BD ，∵平分DBC?ABD ，∴ ，∴EDB?*****? ．∴CAC?*****? 错．，条件不充分，与题意不符，故若，则．将一个等腰直角三角形对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后9 的平面图形是（）．B. C. ．A D.A?45展开后是直角，右侧阴影为等腰直角三角形，的扇形，展开后是半圆，左侧阴影是一个圆心角为．故选APCD△lP均为等腰三角形，则满足条件．如图所示，在正五边形的对称轴直线10上找点，使得、PDE△P ）的点有（．AEBDCl 实用文档6 个个C.D.个A.个B.754BlP 在对称轴直线∵点上，PCD△?PDPC 为等腰三角形，，此时∴lPPD?DEPE ，此时作于一点的垂直平分线交直线，PCD△lEDED均为等腰三角长为半径作圆，交直线分别以、，于四点，此时为圆心，PDE△ 形，P 有∴满足条件的点个．520分）19题后两空各一分，其余每空2分，共二、填空题：（? ．计算__________．的结果是113)(? 10 次幂均为任何非零实数的．1 1．如果分式12的取值范围是__________．有意义，那么x 5x?5x? 15?x0?x?5 ．分式，有意义，即5?x1 ．13．__________?3 33 111? ．3)3(3=333? 333?，则，__________的值是14．已知．yx?7xy7yx35 ∵，7xy ，∴49)?7?yx(? ∴352yxyx(?)?xy4927D?ABAC4cmABC△?BC6cmB△CDE 中，15．如图，是的周长为__________，则的垂直平分线，，．AEDBC10cm实用文档ACDE的垂直平分线，是∵DC?DA，∴△BCD的周长为∴10(cm)?4?6AD?BC?AB?BC?BD?CD?BC?BD?GB?*****的落在，上，折痕为则16．如图，将正方形纸片对折，折痕为展开后继续折叠，，使点A度数为__________.?15 1BCAF? ，∵，AB?BF 2?30?BAF? ∴，?60?ABF? ，∴1 ∴．)15ABG(9060 2CEDCAC△AB△ABC?5BCEDED落，翻折后，点、分别是上的点，将、17．如图，等边沿直线中，ABC△ __________．在点的外部，则图中阴影部分的周长为处，且点在CCAC'EBCD15 ?CDE 和点∵点关于对称，C ，，∴*****EABC△ ∴阴影部分的周长即是的周长．3=15?5 ．∴周长为实用文档0b1abc?1?(?2)0?22?adbd，那么当，如．对于实数，，规定一种运算，，18cacd2(?2) (x?1)(x?2)?27时，则__________．?x(x?3)(x?1) 22由题意得：，27?3)(x?2)x?1)?(x?(x?1)(22，∴27?x1?x6?xx?22 ∴19．平面直角坐标系中有一点对点进行如下操作：A(1,1)A第一步，做点关于轴的对称点，延长线段到点，使得；AA?2*****x*****第二步，做点关于轴的对称点，延长线段到点，使得；yAA?A2AAAAAA***-*****3第三步，做点关于轴的对称点，延长线段到点，使得；AA?A2AAAAAAx***-*****5......则点的坐标为__________，点的坐标为__________；AA*****mm,44 __________．，若点的坐标恰好为均为正整数），请写出和的关系式（Annmmnnm?2)?(1,)(2,2 ．；；，，，，，，由题意得：，，(2,4)A?2)A(?A(1,?2)2,(4,4)2,4)A2,2)(A?AA(?A(1,?1)1,?2)(?***-*****251?2015?8 ∵，余7252 ∴点为第循环组的第一象限的倒数第二个点，A***-*****04)(2,2A ，∴2015nm)(4,4 、均为正整数）的坐标恰好为，（点Anmn ∴．n?m2)(1,?)(2,2nm?；故答案为：．；三、简答题：（每小题4分，共28分）?3x?x6xx?.（2．）20．计算：（1）y?xy2x2x?y2 ?3xx?x?x6 （）122 18xx?x?32 ．18x?3x?2? （2）y?y2?x?2x?y2x2222y44xy4?xyx?22y?xy345?x?．实用文档2.）（2 21．分解因式：（1）．n?6mmnn?9ay5?5ax ）（1ay5?5ax )yx?(x?y)(?5a2 2）（nmn?n?69m21)mn(322．先化简，再求值：3221?1.5b?a?bbb?2ab3a?baab. ，其中），（ 1 2222 baba3?2ab?bab?3a22 b2?6ab2aa?1.5b1，，代入221)(?2?1)1.56?1.5?(2 原式294.5? 2.5?2. （2），其中01?x?5x?42x?2xx2?1?x?x1 222 原式4?x?4x?1?x?x?4x?2 35x?4x 31 2CD，并说明作图依据. 的垂直平分线23．尺规作图：请做出线段结论：__________；作图依据：__________________________________________________．实用文档作图依据：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．12分）4四、解答题：（每小题分，共BDAC?AD?*****.相交于点，，求证：24.如图，与，且BE?*****中，证明:在和BACABD△△BC?ADBA?AB ，BD?AC? ≌∴(SSS)BAC△△ABD ∴ABDBAC ∴．BE?AE25．列方程解应用题：40 平方厘米，则这个正方形的边长是多少？如果一个正方形的边长增加厘米，那么它的面积就增加43 厘米．设这个正方形的边长是厘米，x 由题意得：2240?x?(x?4) 解得：，3?x ∴这个正方形的边长是厘米．3*****?*****C△ABCBDD的和，请判断，且中，26．如图，在为的平分线，于AB.位置关系，并证明实用文档ADCB．ACAB?ABC?BD :∵的平分线，为证明，∴DBCABD?BD?CD ∵，，∴?90*****DBD? ，∵ ∴≌(ASA)BED△BCD△ ∴，EDCD?DCADAC ，∵ ∴，DCDA? ∴，DE?DC?DA ∴，DAEE ∵，?DCA?180***** ，∴90?EADDAC ，∴90?BAC ．∴ACAB?EADCB．阅读理解应用27待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等.的原理确定这些系数，从而得到待求的值3.待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解1?x3. 因为为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积1x?33，，展开等式右边得：可以分解成故我们可以猜想1?1?xxb?a)1)xx?(b(x?1)(xaxb)?x(?a1b?0b?a?0a?1?，可以求出，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等，，，.所以1)xxx1(x?1)( __________；取任意值，等式（1）若恒成立，则3x)x2?x?3x(3a?xa232x?3 ）已知多项式，请用待定系数法求出该多项式的另一因式；有因式2（4x?xx3?4?实用文档23 ．（3）因式分解：1x2xx?2 1）；（12 ）；（22x?x?1)x1)(x3?2x?1?(xx2x 3（）．，∴．（1）由题意得：1aa?2?3? ，（2）设4?)xx?(6?2?2)(xa?ax?2)?3x(3?a?2)3x?x4x?4(3x ，则，4a2?1?6?23a? ，∴1a?2 ∴另一个因式为．2xx ，（3）设1b?1)xx1)?(b?x(xx?2x?2x?1?(?1)(x1)?bx ∴，2b?13b ∴ ．∴1)x?(x?1)(x3?x2?x2x?1AC?△ABCADD. 是28．已知，点内一点，满足?ABD?30CAD?2?BAD.）已知（1，*****?60?BAC?BD 和，请判断的数量关系，，若①如图1 （直接写出答案）ADCB1图?80ACBBAC?60?.②如图当，时，请问①的结论还成立吗？并说明理由2ADCB2图BAD?2**********D?.2（，试证明，若）如图，实用文档ADCB3图CDBD? ．1）①（60?BAD?BAC?CAD?2 ，，∵20BAD?DAC?40 ，，∴ACAD? ∵，70ACD?ADC ∴，?80?ACB? ∵，?1070?DCB?80ABC?40 ∴，，?30?ABD? ，∵?10DBC ∴，DCB?DBC ∴，DC?BD ∴．②成立．CD?AEEFD ，过点过点作，作于于ABDF?AACERt△Rt△ADE 在和中，ACAD ，?*****△Rt ≌∴(HL)Rt△ACECAE?DAEDE?EC ，∴，BAD2?CAD ，∵ ∴，EAD?*****? ∴，?30?ABD? ∵，，∴DF2BD?DC?BD ∴．AFDECB*****BACB?EBC? ，使，则四边形）作2（，连接是等腰梯形，AE实用文档BCAE∥ ，∴ABCEAB ∴，*****? ∵，ABCEBA ∴，∴，EABEBA ，∴EAEB?AD?EA?AC ∴，CD?BD ，∵DCBDBC? ，∴ACD?EBD ，∴CDA△ 中，在和BDE△AC?BECD?BD ，ACD?EBDCDA△ ∴≌，BDE△(SAS) ∴，ADED? ∴，EA?AD?EDADE△ ∴是等边三角形，?60DAE ∴，ABCEAB?60?BAD?60 ∴，ACB?***-*****?ABC2?BAD? ∴，BCAE∥ ，∵ ∴，)DAC?180(60EAC180?ACBDAC?DAC60?180*****? ∴．AEDCB 实用文档。

2020-2021中国人民大学附属中学初二数学上期中模拟试题带答案一、选择题1．“五一”期间，某中学数学兴趣小组的同学们租一辆小型巴士前去某地进行社会实践活动，租车租价为180元．出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费．若小组原有x人，则所列方程为（）A．18018032x x-=-B．18018032x x-=+C．18018032x x-=+D．18018032x x-=-2．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=85°，则∠2的度数（）A．24°B．25°C．30°D．35°3．如图是三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1＋∠2＋∠3等于（）A．90°B．120°C．150°D．180°4．如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，BC＝DE，则下列结论中不正确的是( )A．△ABC≌△CDE B．CE＝AC C．AB⊥CD D．E为BC的中点5．分式可变形为（）A．B．C．D．6．如图，ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP '重合，如果3AP =，那么PP '的长等于（ ）A ．32B ．23C ．42D ．337．为改善城区居住环境,某市对4000米长的玉带河进行了绿化改造.为了尽快完成工期，施工队每天比原计划多绿化10米,结果提前2天完成.若原计划每天绿化x 米,则所列方程正确的是（ ）A ．40004000210x x -=+ B ．40004000210x x -=+ C ．40004000210x x -=-D ．40004000210x x -=- 8．如图，在等腰∆ABC 中，AB=AC ，∠BAC=50°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O 、点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠CEF 的度数是（ ）A ．60°B ．55°C ．50°D ．45°9．若23m =，25n =，则322m n -等于 （ ）A ．2725B ．910C ．2D ．252710．如图，在ABC ∆中，64A ∠=︒，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；……；1n A BC -∠与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，要使n A ∠的度数为整数，则n 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 11．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( ) A ．()()2224a a a +-=- B ．()ab ac d a b c d ++=++C ．()2293x x -=-D ．22()a b ab ab a b -=- 12．若二次三项式2249x mxy y ++是一个完全平方式，则m 的可能值是（ ）A ．6±B ．12C ．6D ．12±二、填空题13．若4a 4﹣ka 2b+25b 2是一个完全平方式，则k=_____．14．使分式的值为0，这时x=_____．15．七边形的内角和为_____度，外角和为_____度．16．当x ＝_____时，分式22x x -+的值为零． 17．如图，在等边ABC 中，9AC =，点O 在AC 上，且3AO =，点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是 ．18．分解因式：2x 2﹣8=_____________19．某工厂储存350吨煤，按原计划用了3天后，由于改进了炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使储存的煤比原计划多用15天．若设改进技术前每天烧x 吨煤，则可列出方程________．20．计算：0113()22-⨯+-=______． 三、解答题21．先化简(31a +－a ＋1)÷2441a a a -++，并从0，－1，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值．22．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所需时间相同．（1）现在平均每天生产多少台机器；（2）生产3000台机器，现在比原计划提前几天完成．23．先化简，再求值：222444211x x x x x x x ⎛⎫-++++-÷ ⎪--⎝⎭，其中x 满足2430x x -+=. 24．如图，AB =AC ,MB =MC .直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？25．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在ABC 内，BD BC =，DBC 60∠︒=，点E 在ABC 外，BCE 150∠︒=，ABE 60∠︒=．（1）求ADB ∠的度数；（2）判断ABE 的形状并加以证明；（3）连接DE ，若DE BD ⊥，DE 8=，求AD 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】设小组原有x 人，根据题意可得，出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费，列方程即可．【详解】设小组原有x 人,可得：180180 3.2x x -=+ 故选B.【点睛】考查由实际问题抽象出分式方程，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键. 2．D解析：D【解析】【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，然后计算出∠1+∠2的度数，进而得到答案．【详解】解：∵∠A=60°，∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°，∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，∴∠1+∠2=240°-120°=120°，∵∠1=85°，∴∠2=120°-85°=35°.故选：D．【点睛】此题主要考查了翻折变换，关键是根据题意得到翻折以后，哪些角是对应相等的．3．D解析：D【解析】【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用△ABC各内角的度数表示出∠1，∠2，∠3，再根据三角形内角和定理，即可得出结论．【详解】∵图中是三个等边三角形，∴∠1=180°−60°−∠ABC=120°−∠ABC，∠2=180°−60°−∠ACB=120°−∠ACB，∠3=180°−60°−∠BAC=120°−∠BAC，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°−180°=180°，故选D．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形内角和定理，熟练掌握上述定理，是解题的关键．4．D解析：D【解析】【分析】首先证明△ABC≌△CDE，推出CE=AC，∠D=∠B，由∠D+∠DCE=90°，推出∠B+∠DCE=90°，推出CD ⊥AB ，即可一一判断．【详解】在Rt △ABC 和Rt △CDE 中，AB CD BC DE =⎧⎨=⎩， ∴△ABC ≌△CDE ，∴CE =AC ，∠D =∠B ，90D DCE ∠+∠=，90B DCE ∴∠+∠=，∴CD ⊥AB ，D ：E 为BC 的中点无法证明故A 、B 、C.正确，故选. D【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．5．B解析：B【解析】【分析】根据分式的基本性质进行变形即可.【详解】 =.故选B.【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，正确利用分式的基本性质求出是解题关键． 6．A解析：A【解析】【分析】【详解】解：如图：根据旋转的旋转可知：∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=3， 根据勾股定理得：223332'+=PP A ．7．A解析：A【解析】【分析】原计划每天绿化x 米，则实际每天绿化(x+10)米，根据结果提前2天完成即可列出方程.【详解】原计划每天绿化x 米，则实际每天绿化(x+10)米，由题意得， 40004000210x x -=+， 故选A.【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.8．C解析：C【解析】【分析】连接OB ，OC ，先求出∠BAO=25°，进而求出∠OBC=40°，求出∠COE=∠OCB=40°，最后根据等腰三角形的性质，问题即可解决．【详解】如图，连接OB ，∵∠BAC=50°，AO 为∠BAC 的平分线，∴∠BAO=12∠BAC=12×50°=25°.又∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=65°.∵DO 是AB 的垂直平分线，∴OA=OB ，∴∠ABO=∠BAO=25°，∴∠OBC=∠ABC−∠ABO=65°−25°=40°.∵AO 为∠BAC 的平分线，AB=AC ，∴直线AO 垂直平分BC ，∴OB=OC ，∴∠OCB=∠OBC=40°，∵将∠C 沿EF(E 在BC 上,F 在AC 上)折叠，点C 与点O 恰好重合，∴OE=CE.∴∠COE=∠OCB=40°；在△OCE 中,∠OEC=180°−∠COE−∠OCB=180°−40°−40°=100°∴∠CEF=12∠CEO=50°.故选：C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用、垂直平分线性质的运用、折叠的性质，解答时运用等腰三角形的性质和垂直平分线的性质是解答的关键.9．A解析：A【解析】分析：先把23m ﹣2n 化为（2m ）3÷（2n ）2，再求解．详解：∵2m =3，2n =5，∴23m﹣2n=（2m）3÷（2n）2=27÷25=27 25．故选A．点睛：本题主要考查了同底数幂的除法及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是把23m﹣2n化为（2m）3÷（2n）2．10．C解析：C【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，然后整理得到∠A1=12∠A，由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠A=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此找出规律．【详解】由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，∴∠A1+∠A1BC=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠A1BC，∴∠A1=12∠A=12×64°=32°；∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1，∴∠A1=12∠A，同理可得∠A1=2∠A2，∴∠A2=14∠A，∴∠A=2n∠A n，∴∠A n=(12)n∠A=642n，∵∠A n的度数为整数，∵n=6．故选C.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的12是解题的关键． 11．D解析：D【解析】【分析】根据因式分解的意义对四个选项进行逐一分析即可.【详解】解:A 、等式右边不是几个因式积的形式,故不是分解因式,故本选项错误;B 、等式右边不是几个因式积的形式,故不是分解因式,故本选项错误;C 、等式右边应该是(x+3)(x-3),故不符合题意,故本选项错误.D 、等式右边是几个因式积的形式,故是分解因式,故本选项正确;故选D.【点睛】本题考查了因式分解的意义,解题的关键是掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做分解因式.12．D解析：D【解析】【分析】根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m 的值．【详解】∵2222=(2)223(3)49x xy x m x y y y ±⨯⨯+++，∴12mxy xy =±，解得m=±12． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 二、填空题13．±20【解析】∵4a4-ka2b+25b2是一个完全平方式∴4a4-ka2b+25b2=（2a2±5b）2=4a4±20a2b+25b2∴k=±20故答案为：±20解析：±20【解析】∵4a4-ka2b+25b2是一个完全平方式，∴4a4-ka2b+25b2=（2a2±5b）2=4a4±20a2b+25b2，∴k=±20，故答案为：±20．14．1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程x2-1x+1＝0然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0解之得x=1经检验可知x=1是分式方程的解答案为1考点：分式方程的解法解析：1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程，＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解.答案为1.考点：分式方程的解法15．360【解析】【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°把多边形的边数代入公式就得到多边形的内角和任何多边形的外角和是360度【详解】（7﹣2）•180＝900度外角和为360度【点睛】已知多边形解析：360【解析】【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．任何多边形的外角和是360度．【详解】（7﹣2）•180＝900度，外角和为360度．【点睛】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．外角和是一个定植，不随着边数的变化而变化．16．2【解析】由题意得：解得：x=2故答案为2解析：2【解析】由题意得：20{20xx-=+≠，解得：x=2. 故答案为217．6【解析】【分析】【详解】解：∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD∠A=∠POD= 60°∴∠APO=∠COD在△APO和△COD中∠A=∠CAPO=∠CODP=OD∴△APO≌△C OD（AAS）∴A解析：6【解析】【详解】解：∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，∴∠APO=∠COD．在△APO和△COD中，∠A=∠C ,APO=∠COD ,P=OD ，∴△APO≌△COD（AAS），∴AP=CO，∵CO=AC-AO=6，∴AP=6．故答案为：6.18．2（x+2）（x﹣2）【解析】【分析】先提公因式再运用平方差公式【详解】2x2﹣8=2（x2﹣4）=2（x+2）（x﹣2）【点睛】考核知识点：因式分解掌握基本方法是关键解析：2（x+2）（x﹣2）【解析】【分析】先提公因式，再运用平方差公式.【详解】2x2﹣8，=2（x2﹣4），=2（x+2）（x﹣2）．【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键.19．【解析】【分析】设改进技术前每天烧吨煤则改进技术后每天烧（x－2）吨根据储存的煤比原计划多用15天即可列方程求解【详解】解：设改进技术前每天烧吨煤则改进技术后每天烧（x－2）吨根据题意得：故答案为：解析：3503350315 2x xx x【解析】【分析】设改进技术前每天烧x吨煤，则改进技术后每天烧（x－2）吨，根据储存的煤比原计划多用15天，即可列方程求解．【详解】解：设改进技术前每天烧x吨煤，则改进技术后每天烧（x－2）吨，根据题意得：35033503152x xx x，故答案为：35033503152x xx x．本题考查了分式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．20．4【解析】【分析】原式第一项利用零指数幂法则化简第二项利用负整数指数幂法则计算最后一项利用绝对值的代数意义化简计算即可得到结果【详解】原式＝1×2+2=2+2=4故答案为：4【点睛】本题考查了零指数解析：4【解析】【分析】原式第一项利用零指数幂法则化简，第二项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【详解】原式＝1×2+2=2+2=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了零指数幂和负整数指数幂运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．三、解答题21．【解析】试题分析：首先把括号的分式通分化简，后面的分式的分子分解因式，然后约分化简，接着计算分式的乘法，最后代入数值计算即可求解．试题解析：原式=223111(2)a aa a-++⨯+-=2(2)(2)11(2)a a aa a-+-+⨯+-=22aa+--；当a=0时，原式=1．考点：分式的化简求值．22．(1)现在平均每天生产200台机器．(2)现在比原计划提前5天完成．【解析】【分析】（1）因为现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同．所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间，由此列出方程解答即可；（2）由（1）中解得的数据，原来用的时间-现在用的时间即可求得提前时间.【详解】解：（1）设现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x-50）台．依题意得：60045050x x=-，解得：x=200．检验x=200是原分式方程的解.（2）由题意得3000300020050200--=20-15=5(天) ∴现在比原计划提前5天完成.【点睛】 此题考查分式方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键.23．12x +；15【解析】【分析】 先算括号里面的，再算除法，最后求出a 的值代入进行计算即可．【详解】 原式()22224321112x x x x x x x x ⎛⎫-+-+--=+⋅ ⎪--+⎝⎭ ()2211122x x x x x +-=⋅=-++.解方程2430x x -+=得3x =或1x =（舍去）. 代入化简后的式子得原式1125x ==+. 【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键24．是，见解析.【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的定义，分别证明A 、M 在线段BC 的垂直平分线上即可解决问题．【详解】是，证明：∵AB=AC ，∴点A 在线段BC 的垂直平分线上，∵MB=MC ，∴点M 在线段BC 的垂直平分线上，∴直线AM 是线段BC 的垂直平分线．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定方法，属于中考常考题型．25．(1) 150°;(2) △ABE 是等边三角形,理由见解析;(3)4【解析】【分析】（1）首先证明△DBC 是等边三角形，推出∠BDC=60°，再证明△ADB ≌△ADC ，推出∠ADB=∠ADC 即可解决问题．（2）结论：△ABE 是等边三角形．只要证明△ABD ≌△EBC 即可．（3）首先证明△DEC 是含有30度角的直角三角形，求出EC 的长，理由全等三角形的性质即可解决问题．【详解】（1）解：∵BD=BC ，∠DBC=60°，∴△DBC 是等边三角形，∴DB=DC ，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°，在△ADB 和△ADC 中，AB AC AD AD DB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△ADC ，∴∠ADB=∠ADC ，∴∠ADB=12（360°﹣60°）=150°． （2）解：结论：△ABE 是等边三角形．理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠CBE ，在△ABD 和△EBC 中， 150AB EB ADB BCE ABD CBE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABD ≌△EBC ，∴AB=BE ，∵∠ABE=60°，∴△ABE 是等边三角形．（3）解：连接DE ．∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，∴∠EDC=30°，∴EC=12DE=4，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD=EC=4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．。

2019-2020学年北京⼈⼤附中⼋年级（上）期中数学试卷-（含答案解析）2019-2020学年北京⼈⼤附中⼋年级（上）期中数学试卷⼀、选择题（本⼤题共10⼩题，共30.0分）1.下列图案属于轴对称图案的是()A. B. C. D.2.若分式1有意义，则a的取值范围是()a?1A. a≠1B. a≠0C. a≠1且a≠0D. ⼀切实数3.下列运算中正确的是()A. x2÷x8=x?6B. a?a2=a2C. (a2)3=a5D. (3a)3=9a34.如图，点P是∠AOB的⾓平分线OC上⼀点，PD⊥OA，垂⾜为点D，PD=2，M为OP的中点，则点M到射线OB的距离为()A. 12B. 1C. √2D. 25.如图，AB=AC，BD=CD.若∠B=70°，则∠BAC=()A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°6.如图，∠MON内有⼀点P，点P关于OM的对称点是G，点P关于ON的对称点是H，GH分别交OM，ON于点A，B.若∠MON=35°，则∠GOH的度数为()A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°7.如图1，在边长为a的正⽅形中剪去⼀个边长为b的⼩正⽅形(a>b)，把剩下部分拼成⼀个梯形(如图2)，利⽤这两幅图形⾯积，可以验证的公式是()A. a2+b2=(a+b)(a?b)B. a2?b2=(a+b)(a?b)C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. (a?b)2=a2?2ab+b28.如图，已知AD是△ABC的⾓平分线，CE⊥AD，垂⾜为O，CE交AB于E，则下列命题：①AE=AC，②CO=OE，③∠AEO=∠ACO，④∠B=∠ECB.其中正确的是()A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④9.已知△ABC的三边长a、b、c满⾜等式a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，那么△ABC是()A. 等腰三⾓形B. 直⾓三⾓形C. 锐⾓三⾓形D. 钝⾓三⾓形10.点A(?2,1)关于x轴的对称点A?的坐标是()A. (?2,?1)B. (2,1)C. (?2,1)D. (2,?1)⼆、填空题（本⼤题共9⼩题，共18.0分）11.当x=_________时，分式2x?3的值为0．2x+312.计算：3?2?(?3)0=______ ．13.计算0.25100×4100=______ ．14.若(x?a)(x?5)的展开式中不含有x的⼀次项，则a=______．15.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB=3，BC=5，则△ABD的周长是______．16.若m+n=6，mn=4，则m3n+2m2n2+mn3=__________．17.在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，BE平分∠ABD交AC于E，sinA=3，5BC=2√10.则AE=______．18.如图所⽰，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=√3，则BC的长是______．19.如图，点D为等腰直⾓△ABC内⼀点，∠ACB=90°，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上⼀点，且CE=CA，给出以下结论：①DE平分∠BDC；②△BCE是等边三⾓形；③∠AEB=45°；④DE=AD+CD；正确的结论有______.(请填序号)三、解答题（本⼤题共9⼩题，共52.0分）20.(1)分解因式：?4x2+24xy?36y2；(2)分解因式：(2x+y)2?(x+2y)2．(3)分解因式：(p?4)(p+1)+621.计算：(x+1)2+x(x?2)?(x+1)(x?1)．22.计算：(1)(?3a)2?(a2)3÷a3(2)(x?3)(x+2)?(x?2)2(3)先化简，再求值：(a+b)(a?b)?(4a3b?8a2b2)÷4ab其中a=?2，b=?1．23.如图，∠AOB=60°，点P为射线OA上的⼀动点．过点P作PC⊥OB于点C.点D在∠AOB内，且满⾜∠APD=∠OPC，DP+PC=10．(1)当PC=6时，求点D到OB的距离；(2)在射线OA上是否存在⼀定点M，使得MD=MC？若存在，请⽤直尺(不带刻度)和圆规作出点M(不必写作法，但要保留作图痕迹)，并求OM的长；若不存在，说明理由．24.已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB//CD．求证：AB=CD．25.你能求出(x?1)(x99+x98+x97+?+x+1)的值吗?遇到这样的问题，我们可以先思考⼀下，从简单的情形⼊⼿.先计算下列各式的值：①(x?1)(x+1)=;②(x?1)(x2+x+1)=;③(x?1)(x3+x2+x+1)=;由此我们可以得到(x?1)(x99+x98+?+x+1)=;请你利⽤上⾯的结论，完成下⾯两题的计算：(1)299+298+?+2+1;(2)(?3)50+(?3)49+?+(?3)+1．26.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ABC=2∠C.求证：AB+BD=AC．27.已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的⼀个动点(不与点C，点D重合)，连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．(1)如图1，若点M在线段BD上．①依据题意补全图1；②求∠MCE的度数．(2)如图2，若点M在线段CD上，请你补全图形后，直接⽤等式表⽰线段AC、CE、CM之间的数量关系．28.已知：在平⾯直⾓坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为(3,0)，(0,4)，点C(t,0)是x轴上⼀动点，点M是BC的中点．(1)当点C和点A重合时，求OM的长；(2)若S△ACB=10，则t的值为______；(3)在(2)的条件下，直线AM交y轴于点N，求△ABN的⾯积．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：A．根据轴对称图形的概念求解．此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．2.答案：A解析：解：若分式1有意义，则a?1≠0，即a≠1，a?1故选：A．分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得．本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．3.答案：A解析：解：A、x2÷x8=x?6，故原题计算正确；B、a?a2=a3，故原题计算错误；C、(a2)3=a6，故原题计算错误；D、(3a)3=27a3，故原题计算错误；故选：A．根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘⽅法则：底数不变，指数相乘；积的乘⽅法则：把每⼀个因式分别乘⽅，再把所得的幂相乘进⾏计算即可．此题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘⽅和积的乘⽅，关键是掌握各运算法则．4.答案：B解析：解：作PE⊥OB于E，MN⊥OB于N，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD=2，∵PE⊥OB，MN⊥OB，∴PE//MN，⼜M为OP的中点，PE=1，即点M到射线OB的距离为1，∴MN=12故选：B．作PE⊥OB于E，MN⊥OB于N，根据⾓平分线的性质求出PE，根据三⾓形中位线定理计算即可．本题考查的是⾓平分线的性质、三⾓形中位线定理，掌握⾓的平分线上的点到⾓的两边的距离相等是解题的关键．解析：解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=70°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=40°，故选C．根据等腰三⾓形的性质即可得到结论本题考查了等腰三⾓形的性质，三⾓形的内⾓和，熟练掌握等腰三⾓形的性质是解题的关键．6.答案：B解析：【分析】本题考查了轴对称的性质，熟记性质并确定出相等的⾓是解题的关键．连接OP，根据轴对称的性质可得∠GOM=∠MOP，∠PON=∠NOH，然后求出∠GOH=2∠MON，代⼊数据计算即可得解．【解答】解：如图，连接OP，∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，∴∠GOM=∠MOP，∠PON=∠NOH，∴∠GOH=∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH=2∠MON，∵∠MON=35°，∴∠GOH=2×35°=70°．故选B．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查了平⽅差公式的⼏何表⽰，表⽰出图形阴影部分⾯积是解题的关键．第⼀个图中的⾯积=a2?b2，第⼆个图中梯形的⾯积=(2a+2b)(a?b)÷2=(a+b)(a?b)，两图形阴影⾯积相等，据此即可解答．【解答】解：由题可得：第⼀个图中的⾯积=a2?b2，第⼆个图中梯形的⾯积=(2a+2b)(a?b)÷2=(a+b)(a?b)，∵两图形阴影⾯积相等，∴a2?b2=(a+b)(a?b)．故选B．8.答案：A解析：【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等⼏何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的根据⾓平分线的性质及CE⊥AD判断出△AEO≌△ACO即可解答．【解答】解：∵AD是△ABC的⾓平分线，∴∠EAD=∠CAD，∵CE⊥AD，∴∠AOE=∠AOC，∵AO=AO，∴△AEO≌△ACO．∴①AE=AC，②CO=OE，③∠AEO=∠ACO均正确，④⽆法判断．故选：A．9.答案：B解析：【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应⽤，是基础知识，较简单．a2+b2+c2+50=6a+8b+10c可变为(a?3)2+(b?4)2+(c?5)2=0，可知道a、b、c分别为3，4，5满⾜勾股定理，即可判断出三⾓形的形状．【解答】解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c变形为(a?3)2+(b?4)2+(c?5)2=0，解之得：a=3，b=4，c=5，符合勾股定理的逆定理，故选B．10.答案：A解析：【分析】本题考查了如下内容：关于x轴对称的两个点之间的坐标关系；关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数．本题⽐较容易，可直接利⽤平⾯直⾓坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点求得答案．【解答】解：两点若关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数．点A(?2,1)关于x轴的对称点A′的坐标是(?2,?1)．故选A．11.答案：32解析：【分析】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键.分式值为零的条件是分⼦等于零且分母不等于零．【解答】的值为0，解：∵分式2x?32x+3∴2x?3=0且2x+3≠0，．解得：x=32故答案为32．12.答案：?89解析：解：原式=19?1=?89幂的负整数指数幂的运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进⾏计算，任何⾮0数的0次幂等于1．本题是考查含有零指数幂和负整数指数幂的运算，属较简单题⽬．13.答案：1解析：解：原式=(0.25×4)100=1．故答案为：1．直接利⽤积的乘⽅运算法则将原式变形求出答案．此题主要考查了积的乘⽅运算法则，正确将原式变形是解题关键．14.答案：?5解析：解：(x?a)(x?5)=x2?5x?ax+5a=x2+(?5?a)x+5a，∵(x?a)(x?5)的展开式中不含有x的⼀次项，∴?5?a=0，a=?5．故答案为：?5．根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，根据已知得出?5?a=0，求出即可．本题考查了多项式乘以多项式法则，解⼀元⼀次⽅程等知识点的应⽤．15.答案：8解析：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=8，故答案为：8．根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，根据三⾓形的周长公式计算即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16.答案：144解析：【分析】本题考查知识点是因式分解，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运⽤因式分解中的提取公因式法与公式法，掌握整体带⼊法，⽅可得出答案．题中m3n+2m2n2+mn3=mn(m2+2mn+n2)=mn(m+n)2，整体带⼊：mn、(m+n)的值即可得出答案．【解答】解：因为m3n+2m2n2+mn3=mn(m2+2mn+n2)=mn(m+n)2=4×62=144，所以答案为144．17.答案：5解析：【分析】根据已知条件设BD=3x，AB=5x，根据勾股定理得到AD=√AB2?BD2=4x，根据等腰三⾓形的性质得到AC=5x，求得CD=x，根据勾股定理列⽅程得到AD=8，设AE=m，则DE=8?m，过E作EF⊥AB于F，根据⾓平分线的性质得到EF=DE=8?m，根据三⾓函数的定义即可得到结论．本题考查了解直⾓三⾓形，等腰三⾓形的性质，⾓平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【解答】解：∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=∠CDB=90°，∵sinA=35，∴设BD=3x，AB=5x，∴AD=√AB2?BD2=4x，∵AB=AC，∴AC=5x，∴CD=x，∵BD2+CD2=BC2，∴(3x)2+x2=(2√10)2，∴x=2，(负值舍去)，∴AD=8，设AE=m，则DE=8?m，过E作EF⊥AB于F，则∠AFE=90°，∵BE平分∠ABD，∴EF=DE=8?m，∵sinA=EFAE =35，∴8?mm =35，∴m=5，∴AE=5．故答案为：5．18.答案：√3解析：【分析】本题考查了等腰三⾓形的判断和性质、折叠的性质以及三⾓形内⾓和定理的运⽤，证明△BCE是等腰三⾓形是解题的关键．由折叠的性质可知AE=CE，再证明△BCE是等腰三⾓形即可得到BC=CE，问题得解．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，=72°，∴∠B=∠ACB=180°?36°2∵将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处，∴AE=CE，∠A=∠ECA=36°，∴∠CEB=72°，∴BC=CE=AE=√3，故答案为√3．19.答案：①②③④解析：解：①∵△ABC是等腰直⾓三⾓形，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°?15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，∵∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∴∠CDE=∠BDE，即DE平分∠BDC；所以①正确；②∵CA=CB，CA=CE，∴CB=CE，∵∠CAD=∠AEC=15°，∴∠ACE=180°?15°?15°=150°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE=150°?90°=60°，∴△BCE是等边三⾓形；所以②正确；③∵△BCE是等边三⾓形，∴∠BEC=60°，∵∠AEC=15°，∴∠AEB=60°?15°=45°，所以③正确；④在DE上取⼀点G，使DC=DG，连接CG，∵∠EDC=60°，∴△DCG是等边三⾓形，∴DC=DG=CG，∠DCG=60°，∴∠GCE=150°?60°?45°=45°，∴∠ACD=∠GCE=45°，∵AC=CE，∴△ACD≌△ECG，∴EG=AD，∴DE=EG+DG=AD+DC，所以④正确；正确的结论有：①②③④；故答案为：：①②③④．①先根据等腰直⾓三⾓形的性质及已知条件得出∠DAB=∠DBA=30°，则AD=BD，再证明CD是边AB的垂直平分线，得出∠ACD=∠BCD=45°，然后根据三⾓形外⾓的性质求出∠CDE=∠BDE= 60°即可；②先利⽤等⾓对等边证BC=CE，再推得∠BCE=60°可得结论；③利⽤差可求得结论：∠AEB=∠BEC?∠AEC；④截取DG=DC，证明△DCG是等边三⾓形，再证明△ACD≌△ECG，利⽤线段的和与等量代换可得结论．本题考查了等腰三⾓形、全等三⾓形的性质和判定、等腰直⾓三⾓形、等边三⾓形等特殊三⾓形的性质和判定，熟练掌握有⼀个⾓是60°的等腰三⾓形是等边三⾓形这⼀判定等边三⾓形的⽅法，在⼏何证明中经常运⽤，要熟练掌握．20.答案：解：(1)原式=?4(x2?6xy+9y2)=?4(x?3y)2；(2)原式=(2x+y+x+2y)(2x+y?x?2y)=3(x+y)(x?y)；(3)原式=p2?3p+2=(p?1)(p?2)．解析：(1)原式提取公因式，再利⽤完全平⽅公式分解即可；(2)原式利⽤平⽅差公式分解即可；(3)原式整理后，利⽤⼗字相乘法分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运⽤，熟练掌握因式分解的⽅法是解本题的关键．21.答案：解：(x+1)2+x(x?2)?(x+1)(x?1)=(x2+2x+1)+(x2?2x)?(x2?1)=x2+2x+1+x2?2x?x2+1=x2+2．解析：本题主要考查整式的混合运算.利⽤完全平⽅公式、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式的运算法则进⾏运算，再合并同类项即可．22.答案：解：(1)(?3a)2?(a2)3÷a3=9a2?a6÷a3=9a5；(2)(x?3)(x+2)?(x?2)2=x2?x?6?(x2?4x+4)=3x?10；(3)(a+b)(a?b)?(4a3b?8a2b2)÷4ab=a2?b2?(a2?2ab)=2ab?b2，把a=?2，b=?1代⼊上式可得：原式=2×(?2)(?1)?(?1)2=3．解析：(1)直接利⽤积的乘⽅运算以及结合同底数幂的乘除运算法则化简求出答案；(2)直接利⽤多项式乘以多项式运算法则求出答案；(3)直接利⽤多项式乘以多项式运算法则以及多项式除以单项式运算法则化简，进⽽代⼊已知数据求出答案．此题主要考查了整式的混合运算?化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．23.答案：解：(1)作DH⊥OB于H，PE⊥DH于E，如图1，∵DP+PC=10，PC=6，∴PD=4，∵∠AOB=60°，∴∠OPC=∠APD=30°，∴∠DPE=30°，∴DE=1PD=2，2易得四边形PCHE为矩形，∴EH=PC=6，∴DH=DE+EH=2+6=8，即点D到OB的距离为8；(2)存在．如图2，延长CP到D′，使PD′=PD，则CD′=PC+PD=10，作CD′的垂直平分线交OA于M，则点M为所作；作MN⊥OB于N，如图2，则MN=1 2×10=5，在Rt△OMN中，ON=√33MN=5√33，∴OM=2ON=10√33．解析：本题考查了作图?复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进⾏作图，⼀般是结合了⼏何图形的性质和基本作图⽅法．解决此类题⽬的关键是熟悉基本⼏何图形的性质，结合⼏何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了点到直线的距离和含30度的直⾓三⾓形三边的关系．(1)作DH⊥OB于H，PE⊥DH于E，如图1，先计算出PD=4，利⽤含30度的直⾓三⾓形三边的关系得到DE=12PD=2，易得四边形PCHE为矩形，然后计算DH即可；(2)如图2，延长CP到D′，使PD′=PD，则CD′=PC+PD=10，作CD′的垂直平分线交OA于M，利⽤∠D′PA=∠DPA=30°可判断点D、D′关于OA对称，所以MD′=MD，⽽MD′=MC，所以点M 满⾜MD=MC，作MN⊥OB于N，如图2，易得MN=5，根据含30度的直⾓三⾓形三边的关系求出ON、OM即可．24.答案：证明：∵AB//CD，∴∠B=∠C，∠A=∠D，∵在△AOB和△DOC中，{∠B=∠C ∠A=∠DOA=OD,∴△AOB≌△DOC(AAS)，∴AB=CD．解析：此题主要考查了全等三⾓形的判定与性质的知识，解答本题的关键是熟练掌握判定定理以及平⾏线的性质，此题基础题，⽐较简单．⾸先根据AB//CD，可得∠B=∠C，∠A=∠D，结合OA=OD，可知证明出△AOB≌△DOC，即可得到AB=CD．25.答案：解：?①x2?1;?②x3?1;?③x4?1;x100?1．(1)299+298+?+2+1=(2?1)×(299+298+?+2+1)=2100?1．(2)(?3)50+(?3)49+?+(?3)+1=?14×(?3?1)×[(?3)50+(?3)49+?+(?3)+1] =?14×[(?3)51?1]=351+1．4解析：【分析】此题考查了多项式乘多项式，弄清题中的规律是解本题的关键.直接利⽤规律填空．(1)将式⼦乘以(2?1)，利⽤题中的规律计算即可得到结果；×(?3?1)，利⽤(1)的结论即可得到所求式⼦的值．(2)将所求式⼦乘以?1426.答案：证明：在边AC上截取AP=AB，连接PD．∵AD是△ABC的⾓平分线，∴∠BAD=∠PAD．在△ABD和△APD中，∴△ABD≌△APD(SAS)．∴∠APD=∠B，PD=BD．∵∠B=2∠C，∴∠PDC=∠C．∴PD=PC．∴AB+BD=AP+PC=AC．解析：本题考查全等三⾓形的判定和性质，先在在边AC上截取AP=AB，连接PD.因为AD平分∠BAC 交BC于点D，利⽤⾓平分线的定义可知∠BAD=∠PAD，根据全等三⾓形的判定可知△ABD≌△APD，再根据全等三⾓形的性质得出对应⾓和对应边的相等关系，结合∠ABC=2∠C进⼀步可求证结果。

2019-2020学年北京人大附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题）．1．下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．分式12x +有意义，x 的取值范围是( ) A ．2x ≠ B ．2x ≠- C ．2x = D ．2x =-3．在下列运算中，正确的是( ) A ．3412a a a =gB ．2366()ab a b =C ．347()a a =D ．43a a a ÷=4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说：“射线OP 就是BOA ∠的角平分线．”他这样做的依据是( )A ．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确5．如图，5AB AC ==，DB DC =，若ABC ∠为60︒，则BE 长为( )A ．5B ．3C ．2.5D ．26．如图，ABC ∆中，点D 在BC 边上，将点D 分别以AB 、AC 为对称轴，画出对称点E 、F ，并连接AE 、AF ．根据图中标示的角度，可得EAF ∠的度数为( )A ．108B ．115C ．122D ．1307．如图（一)，在边长为a 的正方形中，挖掉一个边长为b 的小正方形()a b >，把余下的部分剪成一个矩形（如图（二))，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )A ．222()2a b a ab b +=++B ．22()()a b a b a b -=+-C ．222()2a b a ab b -=-+D ．22(2)()2a b a b a ab b +-=+-8．如图，AD 是ABC ∆的角平分线，作AD 的垂直平分线EF 交BC 的延长线于F ．下列结论不一定成立的是( )A ．AF DF =B ．BAF ACF ∠=∠C ．BF AC ⊥D ．::ABD ACD S S AB AC ∆∆=9．已知a ，b ，c 是ABC ∆的三边长，且满足222()a c b a c b +=+-，则此三角形是( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．无法确定10．在坐标系xOy 中，已知点(3,1)A 关于x 轴、y 轴的对称点分别为P 、Q ．若坐标轴上的点M 恰使MAP ∆、MAQ ∆均为等腰三角形，则满足条件的点有( ) A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个二、填空题（每空2分，共18分） 11．分式1x x-的值为 0 ，则x 的值是 ． 12．0(2)1a -=，则a 的取值范围为 ． 13．计算2019201813()3⨯= ．14．若(1)(2)x kx +-的展开式中不含有x 的一次项，则k 的值是 ．15．如图：ABC ∆中，DE 是AC 的垂直平分线，3AE cm =，ABD ∆的周长为13cm ，则ABC ∆的周长为 ．16．已知5m n +=，2mn =，则32232m n m n mn -+的值为 ．17．在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，30CBE ∠=︒，若以C 为圆心，CB 长为半径画圆交BE 延长线于F ，且6EF =，则BF = ．18．如图等腰ABC ∆中，AB AC =，M 为其底角平分线的交点，将BCM ∆沿CM 折叠，使B 点恰好落在AC 边上的点D 处，若DA DM =，则ABC ∠的度数为 ．19．在等边ABC ∆中，M 、N 、P 分别是边AB 、BC 、CA 上的点（不与端点重合），对于任意等边ABC ∆，下面四个结论中： ①存在无数个MNP ∆是等腰三角形； ②存在无数个MNP ∆是等边三角形； ③存在无数个MNP ∆是等腰直角三角形； ④存在一个MNP ∆在所有MNP ∆中面积最小． 所有正确结论的序号是 ．三、解答题（21，22题，每小题，4分22-27题，每小题8分28题6分，共52分） 20．分解因式： （1）2233ma mb - （2）244ax ax a -+ 21．计算：（1）(1)(2)(3)x x x x -+-+ （2）2(5)(5)(2)a b a b a b +--+22．先化简，再求值：322(53)(1)7x x x x x +-÷+--，其中261x x +=． 23．下面是小康设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知直线l 及直线l 外一点P ． 求作：直线l 的垂线，使它经过点P ．做法：如图，①以P为圆心，以大于P到直线l的距离的长度为半径画弧，交直线l于A、B两点；②连接PA、PB；③作APB∠的角平分线PQ．直线PQ即为所求．根据小康设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：PA=∠，Q，PQ平分APB∴⊥)（填推理的依据）PQ l(24．如图，AC和BD相交于点O，且//AB DC，OA OB=．求证：OC OD=．25．阅读：在一次数学活动中，“揭秘”学习小组发现：⨯=53573021⨯=3832121684867224⨯=⨯=71795609这组计算蕴含着简算规律：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的乘积前几位是十位数字与十位数字加一的乘积．小乐同学用所学知识做了如下解释：将相同的十位数字设为a，个位数字为b，d，则2=++=+++g，10ab ad a b a d a a b d bd(10)(10)10010()Qb d+=∴原式2100100100(1)a a bd a a bd =++=++．（1）请你利用小组发现的规律计算：6367⨯= ；（2）小乐同学进一步思考，个位数字相同，十位数字之和为10的两个两位数相乘会不会也有简算规律呢？于是，小乐计算了35752625⨯=，83231909⨯=，48683264⨯=，17971649⨯=，但是还是没有发现规律，你能帮助小乐发现规律，并用所学知识解释吗？26．如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，120A ∠=︒，60C ∠=︒，17AB =，12AD =．（1）求证：AD DC =； （2）求四边形ABCD 的周长．27．等腰ABC ∆中，AB AC =，60ACB ∠>︒，点D 为边AC 上一点，满足BD BC =，点E 与点B 位于直线AC 的同侧，ADE ∆是等边三角形． （1）①请在图1中将图形补充完整；②若点D 与点E 关于直线AB 轴对称，ACB ∠= ；（2）如图2所示，若80ACB ∠=︒，用等式表示线段BA 、BD 、BE 之间的数量关系，并说明理由．28．在平面直角坐标系xOy 中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点(,)A p q 、(B m ，)()n m n …满足关于x 的多项式2x px q ++能够因式分解为()()x m x n ++，则称点B 是A 的分解点．例如(3,2)A 、(1,2)B 满足232(1)(2)x x x x ++=++，所以B 是A 的分解点．（1）在点1(5,6)A、2(0,3)A、3(2,0)A-中，请找出不存在分解点的点：；（2）点P、Q在纵轴上(P在Q的上方），点R在横轴上，且点P、Q、R都存在分解点，若PQR∆面积为6，请直接写出满足条件的PQR∆的个数及每个三角形的顶点坐标；（3）已知点D在第一象限内，D是C的分解点，请探究OCD∆是否可能是等腰三角形？若可能请求出所有满足条件的点D的坐标；若不可能，请说明理由．参考答案一、选择题（每小题分，共30分）1．下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．解：A 、不是轴对称图形，故此选项错误； B 、是轴对称图形，故此选项正确； C 、不是轴对称图形，故此选项错误；D 、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B ． 2．分式12x +有意义，x 的取值范围是( ) A ．2x ≠ B ．2x ≠- C ．2x = D ．2x =-解：根据题意得：20x +≠， 解得：2x ≠-． 故选：B ．3．在下列运算中，正确的是( ) A ．3412a a a =gB ．2366()ab a b =C ．347()a a =D ．43a a a ÷=解：A 、底数不变指数相加，即347a a a =g ，故A 错误；B 、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即2336()ab a b =，故B 错误；C 、底数不变指数相乘，即3412()a a =，故C 错误；D 、底数不变指数相减，即43a a a ÷=，故D 正确；故选：D ．4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说：“射线OP 就是BOA ∠的角平分线．”他这样做的依据是( )A ．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确解：（1）如图所示：过两把直尺的交点P 作PE AO ⊥，PF BO ⊥， Q 两把完全相同的长方形直尺， PE PF ∴=，OP ∴平分AOB ∠（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：A ．5．如图，5AB AC ==，DB DC =，若ABC ∠为60︒，则BE 长为( )A ．5B ．3C ．2.5D ．2解：AB AC =Q ，60ABC ∠=︒，ABC ∴∆是等边三角形，A 在BC 的垂直平分线上， 5BC AB ∴==， DB DC =Q ，∴点D 在BC 的垂直平分线上，AD ∴垂直平分BC ， 12.52BE BC ∴==． 故选：C ．6．如图，ABC ∆中，点D 在BC 边上，将点D 分别以AB 、AC 为对称轴，画出对称点E 、F ，并连接AE 、AF ．根据图中标示的角度，可得EAF ∠的度数为( )A ．108B ．115C ．122D ．130解：连接AD ，D Q 点分别以AB 、AC 为对称轴，画出对称点E 、F ， EAB BAD ∴∠=∠，FAC CAD ∠=∠， 61B ∠=︒Q ，54C ∠=︒，180615465BAC BAD DAC ∴∠=∠+∠=︒-︒-︒=︒， 2130EAF BAC ∴∠=∠=︒，故选：D ．7．如图（一)，在边长为a 的正方形中，挖掉一个边长为b 的小正方形()a b >，把余下的部分剪成一个矩形（如图（二))，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )A ．222()2a b a ab b +=++B ．22()()a b a b a b -=+-C ．222()2a b a ab b -=-+D ．22(2)()2a b a b a ab b +-=+-解：由题意可得：22()()a b a b a b -+=-． 故选：B ．8．如图，AD 是ABC ∆的角平分线，作AD 的垂直平分线EF 交BC 的延长线于F ．下列结论不一定成立的是( )A ．AF DF =B ．BAF ACF ∠=∠C ．BF AC ⊥D ．::ABD ACD S S AB AC ∆∆=解：A 、EF Q 是AD 的垂直平分线， AF DF ∴=，故选项A 不符合题意； B 、AF DF =Q ， DAF ADF ∴∠=∠，AD Q 是ABC ∆的角平分线， BAD CAD ∴∠=∠， DAF CAD CAF ∠=∠+∠Q ，ADF BAD B ∠=∠+∠， B CAF ∴∠=∠，BAF BAC CAF ∠=∠+∠Q ，ACF BAC B ∠=∠+∠， BAF ACF ∴∠=∠，故选项B 不符合题意；C 、根据已知不能得出BF AC ⊥，故选项C 符合题意；D 、AD Q 是ABC ∆的角平分线， ∴点D 到AB 和AC 的距离相等，::ABD ACD S S AB AC ∆∆∴=，故选：C ．9．已知a ，b ，c 是ABC ∆的三边长，且满足222()a c b a c b +=+-，则此三角形是( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．无法确定解：222()a c b a c b +=+-Q ， 2222220a c b b ba bc ∴+++--=，22()()0a b b c ∴-+-=，a b c ∴==，ABC ∴∆是等边三角形，故选：A ．10．在坐标系xOy 中，已知点(3,1)A 关于x 轴、y 轴的对称点分别为P 、Q ．若坐标轴上的点M 恰使MAP ∆、MAQ ∆均为等腰三角形，则满足条件的点有( ) A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个解：如图，1AQ AM =，5AQ AM =，2AQ AM =，4QA QM =，33AM QM =， 故坐标轴上的点M 恰使MAP ∆、MAQ ∆均为等腰三角形，则满足条件的点有5个， 故选：B ．二、填空题（每空2分，共18分）11．分式1x x -的值为 0 ，则x 的值是 1 ． 解：Q 分式1x x-的值为 0 ，10x ∴-=且0x ≠， 1x ∴=．故答案为 1 ．12．0(2)1a -=，则a 的取值范围为 2a ≠ ． 解：0(2)1a -=， 20a ∴-≠， 2a ≠，故答案为2a ≠．13．计算2019201813()3⨯= 3 ．解：原式20181(3)33=⨯⨯3=．故答案为：3．14．若(1)(2)x kx +-的展开式中不含有x 的一次项，则k 的值是 2 ． 解：(1)(2)x kx +-， 222kx x kx =-+-，2(2)2kx k x =+--，Q 不含有x 的一次项， 20k ∴-=，解得：2k =． 故答案为：2．15．如图：ABC ∆中，DE 是AC 的垂直平分线，3AE cm =，ABD ∆的周长为13cm ，则ABC ∆的周长为 19cm ．解：DE Q 是AC 的垂直平分线， AD CD ∴=，26AC AE cm ==，又ABD ∆Q 的周长13AB BD AD cm =++=， 13AB BD CD cm ∴++=，即13AB BC cm +=，ABC ∴∆的周长13619AB BC AC cm =++=+=．故答案为19cm ．16．已知5m n +=，2mn =，则32232m n m n mn -+的值为 34 ． 解：5m n +=Q ，2mn =， 32232m n m n mn ∴-+22(2)mn m mn n =-+ 2[()4]mn m n mn =+- 22(542)=⨯-⨯2(258)=⨯- 217=⨯34=，故答案为：34．17．在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，30CBE ∠=︒，若以C 为圆心，CB 长为半径画圆交BE 延长线于F ，且6EF =，则BF = 9 ．解：AB AC =Q ，AD BC ⊥， BD CD ∴=，90ADB ∠=︒，设BD CD x ==，则2BC x =， 2CF BC x ∴==， 30CBE ∠=︒Q ，233BE x ∴=， 6EF =Q ，2363BF x ∴=+， 过C 作CH BF ⊥于H ， 22BF BH FH ∴==， 2336BH x ∴=+，12CH BC x ==， 222BH CH BC +=Q ， 22223(3)(2)6x x x ∴++=， 解得：332x =（负值舍去）， 23693BF x ∴=+=， 故答案为：9．18．如图等腰ABC ∆中，AB AC =，M 为其底角平分线的交点，将BCM ∆沿CM 折叠，使B 点恰好落在AC 边上的点D 处，若DA DM =，则ABC ∠的度数为 72︒ ．解：MQ为其底角平分线的交点，AM∴平分BAC∠，AB AC=Q，ABC ACB∴∠=∠，设2A x∠=，则DAM x∠=，1452 MBC MCB x∠=∠=︒-，DA DM=Q，DAM DMA ∴∠=∠，由折叠的性质可得：1452 MDC MBC x ∠=∠=︒-，则11801352 ADM MDC x∠=︒-∠=︒+，在ADM∆中，180DAM DMA ADM∠+∠+∠=︒，即11351802x x x++︒+=︒，解得：18x=︒，则236A x∠==︒．72ABC∴∠=︒，故答案为：72︒．19．在等边ABC∆中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边ABC∆，下面四个结论中：①存在无数个MNP∆是等腰三角形；②存在无数个MNP∆是等边三角形；③存在无数个MNP∆是等腰直角三角形；④存在一个MNP∆在所有MNP∆中面积最小．所有正确结论的序号是①②③．解：如图1中，满足AM BN PC==，可证PMN∆是等边三角形，这样的三角形有无数个．如图2中，当NM NP =，90MNP ∠=︒时，MNP ∆是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个．故①②③正确，PNM ∆的面积不存在最小值． 故答案为①②③．三、解答题（21，22题，每小题，4分22-27题，每小题8分28题6分，共52分） 20．分解因式： （1）2233ma mb - （2）244ax ax a -+解：（1）原式223()3()()m a b m a b a b =-=+-； （2）原式22(441)(21)a x x a x =-+=-． 21．计算：（1）(1)(2)(3)x x x x -+-+ （2）2(5)(5)(2)a b a b a b +--+ 解：（1）原式22326x x x x x =-++-- 26x =-；（2）原式222225(44)a b a b ab =--++ 22222544a b a b ab =---- 2294b ab =--．22．先化简，再求值：322(53)(1)7x x x x x +-÷+--，其中261x x +=． 解：原式22531217x x x x =+-+-+- 267x x =+-，当261x x +=时， 原式176=-=-．23．下面是小康设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知直线l 及直线l 外一点P ． 求作：直线l 的垂线，使它经过点P ． 做法：如图，①以P 为圆心，以大于P 到直线l 的距离的长度为半径画弧，交直线l 于A 、B 两点； ②连接PA 、PB ；③作APB ∠的角平分线PQ ． 直线PQ 即为所求．根据小康设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：PA =Q PB ，PQ 平分APB ∠， (PQ l ∴⊥ )（填推理的依据）解：（1）如图所示，直线PQ 即为所求．（2）证明：PA PBQ，PQ平分APB∠，=∴⊥（等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合）．PQ l故答案为：PB，等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合．24．如图，AC和BD相交于点O，且//=．AB DC，OA OB求证：OC OD=．【解答】证明：AO BOQ，=A B∴∠=∠，Q，DC AB//∴∠=∠，C AD B∠=∠，∴∠=∠，C D∴=．CO DO25．阅读：在一次数学活动中，“揭秘”学习小组发现：⨯=5357302138321216⨯=⨯=84867224⨯=71795609这组计算蕴含着简算规律：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的乘积前几位是十位数字与十位数字加一的乘积．小乐同学用所学知识做了如下解释：将相同的十位数字设为a，个位数字为b，d，则2(10)(10)10010()ab ad a b a d a a b d bd =++=+++g ，10b d +=Q ∴原式2100100100(1)a a bd a a bd =++=++．（1）请你利用小组发现的规律计算：6367⨯= 4221 ；（2）小乐同学进一步思考，个位数字相同，十位数字之和为10的两个两位数相乘会不会也有简算规律呢？于是，小乐计算了35752625⨯=，83231909⨯=，48683264⨯=，17971649⨯=，但是还是没有发现规律，你能帮助小乐发现规律，并用所学知识解释吗？解：（1）由规律得，63671006(61)374200214221⨯=⨯⨯++⨯=+=， 故答案为：4221；（2）规律：个位数字相同，十位数字和为10的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的平方（或乘积），前几位是十位数字的乘积与与个位数字的和．理由：设将相同的个位数字设为m ，十位数字分别为p ，q ，则10p q +=， ∴(10)(10)pm qm p m q m =++g21001010pq pm qm m =+++ 210010()pq m p q m =+++ 2100100pq m m =++ 2100()pq m m =++，即：个位数字相同，十位数字和为10的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的平方（或乘积），前几位是十位数字的乘积与与个位数字的和．26．如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，120A ∠=︒，60C ∠=︒，17AB =，12AD =．（1）求证：AD DC =； （2）求四边形ABCD 的周长．【解答】证明：（1）在BC 上取一点E ，使BE AB =，连结DE ．BD Q 平分ABC ∠，ABD CBD ∴∠=∠．在ABD ∆和EBD ∆中，AB BE ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD EBD SAS ∴∆≅∆；12DE AD ∴==，BED A ∠=∠，17AB BE ==，120A ∠=︒Q ，60DEC ∴∠=︒．60C ∠=︒Q ，DEC C ∴∠=∠．DE DC ∴=，AD DC ∴=．（2）60C ∠=︒Q ，DE DC =，DEC ∴∆为等边三角形EC CD AD ∴==．12AD =Q ，12EC CD ∴==，∴四边形ABCD 的周长171712121270=++++=．27．等腰ABC ∆中，AB AC =，60ACB ∠>︒，点D 为边AC 上一点，满足BD BC =，点E 与点B 位于直线AC 的同侧，ADE ∆是等边三角形．（1）①请在图1中将图形补充完整；②若点D 与点E 关于直线AB 轴对称，ACB ∠= 75︒ ；（2）如图2所示，若80ACB ∠=︒，用等式表示线段BA 、BD 、BE 之间的数量关系，并说明理由．解：（1）①根据题意，补全图形如图1所示，②当点D 与点E 关于直线AB 轴对称时，AB DE ∴⊥，ADE ∆Q 是等边三角形，60DAE ∴∠=︒，AD AE =，1302BAC DAE ∴∠=∠=︒， AB AC =Q ，1(180)752ACB BAC ∴∠=︒-∠=︒， 故答案为75︒；（2）如图2，在BA 上取一点F ，使BF BD =，DE 与AB 的交点记作点H ， ADE ∆Q 是等边三角形，AD ED ∴=，60EAD AED ∠=∠=︒，在ABC ∆中，AB AC =，80ACB ∠=︒，80ABC ACB ∴∠=∠=︒，18020BAC ACB ABC ∴∠=︒-∠-∠=︒，40BAE DAE BAC ∴∠=∠-∠=︒，在BCD ∆中，BC BD =，80BDC ACB ∴∠=∠=︒，18020DBC ACB BDC ∴∠=︒-∠-∠=︒，60ABD ABC DBC ∴∠=∠-∠=︒，BF BD =Q ，BDF ∴∆是等边三角形，60AED ABD ∠=∠=︒Q ，AHE BHD ∠=∠，40BDE BAE ∴∠=∠=︒，60BDF ∴∠=︒，BD FD BF ==，18040ADF BDC BDF ADF ∴∠=︒-∠-∠=︒=∠，DE AD =Q ，()BDE FDA SAS ∴∆≅∆，FA BE ∴=，BA BF FA BD BE ∴=+=+．28．在平面直角坐标系xOy 中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点(,)A p q 、(B m ，)()n m n …满足关于x 的多项式2x px q ++能够因式分解为()()x m x n ++，则称点B 是A 的分解点．例如(3,2)A 、(1,2)B 满足232(1)(2)x x x x ++=++，所以B 是A 的分解点．（1）在点1(5,6)A 、2(0,3)A 、3(2,0)A -中，请找出不存在分解点的点： 2A ；（2）点P 、Q 在纵轴上(P 在Q 的上方），点R 在横轴上，且点P 、Q 、R 都存在分解点，若PQR ∆面积为6，请直接写出满足条件的PQR ∆的个数及每个三角形的顶点坐标；（3）已知点D 在第一象限内，D 是C 的分解点，请探究OCD ∆是否可能是等腰三角形？若可能请求出所有满足条件的点D 的坐标；若不可能，请说明理由．解：（1）对于1(3,2)A ，232(1)(2)x x x x ++=++，故1(1,2)B 是1A 的分解点．对于3(2,0)A -，22(2)x x x x -=-，故3(0B ，2-是3A 的分解点．点2A 不存在分解点．故答案为2A ．（2）P Q ，Q 在纵轴上，P ，Q 都存在分解点，P ∴，Q 的纵坐标只能是0，1-，4-，16-，当1(1,0)R 时，PQR ∆Q 的面积为6，12PQ ∴=，P Q 在Q 的上方，1(0,4)P ∴-，1(0,16)Q -，同法当2(1,0)R -时，可得2(0,4)P -，2(0,16)Q -，当3(3,0)R 时，可得3(0,0)P ，3(0,4)Q -，当4(3,0)R -时，可得4(0,0)P ，4(0,4)Q -，当5(4,0)R 时，可得5(0,1)P -，5(0,4)Q -，当6(4,0)R -时，可得6(0,1)P -，6(0,4)Q -，当7(12,0)R 时，可得7(0,0)P ，7(0,1)Q -，当8(12,0)R -时，可得8(0,4)P -，8(0,1)Q -，综上所述，PQR ∆的个数为8．（3）如图，设(,)D m n ，则m ，n 是正整数，2()()()x m x n x m n x mn ++=+++Q 且D 为C 的分解点， (,)C m n mn ∴+．当1m =时，(1,)D n ，(1,)C n n +，此时OC OD CD >>，不可能构成等腰三角形． 当1m ≠时，则m n m +>，mn m >，则点C 必在直线x m =，y n =相交直线的右上角区域， 此时OC OD >，OC CD >，若OCD ∆为等腰三角形，只可能OD CD =， 如图，过C 作CN ⊥直线y n =，过点D 作DM x ⊥轴于M ．在Rt ODM ∆和Rt CDN ∆中，DM DN n ==，若OD CD =，则Rt ODM Rt CDN(HL)∆≅∆， DM CN ∴=，即m mn n =-，此式子可以化为(1)(1)1m n --=， m Q ，n 为正整数，2m ∴=，2n =，即(2,2)D ，(4,4)C ，此时O ，C ，D 共线，OCD ∆不存在，综上所述，OCD ∆不可能为等腰三角形．。

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=7 ,那么x2 +y2的值是．15．如图,四边形ABCD沿直线AC对折后重合,假设AD =3 ,BC =2 ,那么四边形ABCD周长为．16．如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,△BCD和△ABC的周长分别为14和22 ,那么AE长为．17．如图,将正方形纸片对折,折痕为EF ,展开后继续折叠,使点A落在EF上,折痕为GB ,那么∠AGB的度数为．18．对于数a ,b ,c ,d ,规定一种运算=ad﹣bc ,如=1×(﹣2 )﹣0×2 =﹣2 ,那么当=27时,那么x =．19．平面直角坐标系中有一点A (1 ,1 ) ,对点A进行如下操作：第|一步,作点A关于x轴的对称点A1 ,延长线段AA1到点A2 ,使得2A1A2 =AA1；第二步,作点A2关于y轴的对称点A3 ,延长线段A2A3到点A4 ,使得2A3A4 =A2A3；第三步,作点A4关于x轴的对称点A5 ,延长线段A4A5到点A6 ,使得2A5A6 =A4A5；…那么点A2的坐标为,点A2021的坐标为．假设点A n的坐标恰好为(4m ,4n ) (m、n均为正整数) ,请写出m和n的关系式．三、解答题(每题8分,共28分)20．计算：(1 )x4÷x2 + (x +6 ) (x﹣3 )(2 ) (2x +y ) (2x﹣y ) + (3x +2y )2．21．分解因式：(1 )5ax2﹣5ay2(2 )9m2n﹣6mn +n．22．先化简,再求值：(1 ) (7a2b﹣2ab2﹣b3 )÷b﹣(a +b ) (3a +b ) ,其中a =1.5 ,b =﹣1(2 ) (2x +1 )2﹣x (x﹣1 ) + (x +2 ) (x﹣2 ) ,其中4x2 +5x﹣1 =0．23．尺规作图：请作出线段AB的垂直平分线CD ,并说明作图依据．结论：作图依据：．四、解答题(每题4分,共12分)24．如图,AD =BC ,AC与BD相交于点E ,且AC =BD ,求证：AE =BE．25．列方程解应用题：如果一个正方形的边长增加4厘米,那么它的面积就增加40平方厘米,那么这个正方形的边长是多少?26．如图,点E为AC的中点,点D为△ABC外一点,且满足射线BD为∠ABC的平分线,∠ABC +∠ADC =180° ,请判断DE和AC的位置关系,并证明．27．阅读理解应用待定系数法：设某一多项式的全部或局部系数为未知数、利用当两个多项式为值等式时,同类项系数相等的原理确定这些系数,从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中,例如问题：因式分解x3﹣1．因为x3﹣1为三次多项式,假设能因式分解,那么可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜测x3﹣1可以分解成x3﹣1 = (x﹣1 ) (x2+ax+b ) ,展开等式右边得：x3+ (a ﹣1 )x2 + (b﹣a )x﹣b ,根据待定系数法原理,等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a ﹣1 =0 ,b﹣a =0 ,﹣b =﹣1 ,可以求出a =1 ,b =1．所以x3﹣1 = (x﹣1 ) (x2 +x +1 )(1 )假设x取任意值,等式x2 +2x +3 =x2 + (3﹣a )x +s恒成立,那么a =；(2 )多项式x4 +x2 +1有因式x2 +x +1 ,请用待定系数法求出该多项式的另一因式．(3 )请判断多项式x4﹣x2 +1是否能分解成的两个整系数二次多项式的乘积,并说明理由．28．,点D是△ABC内一点,满足AD =AC(1 )∠CAD =2∠BAD ,∠ABD =30° ,如图1 ,假设∠BAC =60° ,∠ACB =80° ,请判断BD和CD的数量关系(直接写出答案)(2 )如图2 ,假设∠ACB =2∠ABC ,BD =CD ,试证明∠CAD =2∠BAD．2021 -2021学年北京市人大附中八年级| (上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每题3分,共30分)1．【解答】解：A、不是轴对称图形,正确；B、是轴对称图形,错误；C、是轴对称图形,错误；D、是轴对称图形,错误．应选A．2．【解答】解：由的值为0 ,得,解得x =4 ,应选：B．3．【解答】解：A、合并同类项系数相加字母及指数不变,故A错误；B、幂的乘方底数不变指数相乘,故B正确；C、同底数幂的除法底数不变指数相减,故C错误；D、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故D错误；应选：B．4．【解答】解：点M (1 ,2 )关于y轴对称的点的坐标为(﹣1 ,2 ) ,应选：C．5．【解答】解：根据题意得：(a +b )2 =a2 +2ab +b2 ,应选：A．6．【解答】解：∵(x +n ) (x +2 ) =x2 +2x +nx +2n =x2 + (2 +n )x +2n , 又∵x +n与x +2的乘积中不含x的一次项,∴2 +n =0 ,∴n =﹣2；应选A．7．【解答】解：∵点D是斜梁AB的中点,立柱BC ,DE垂直于横梁AC , ∴点E是AC的中点,∴DE是直角三角形ABC的中位线,根据三角形的中位线定理得：DE =BC ,又∵在Rt△ABC中,∠A =30° ,∴BC =AB =×8 =4．故DE =BC =×4 =2m ,应选：B8．【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线,AB =BC ,∴BD⊥AC ,∠A =∠C ,∠EBD =∠DBC ,∵DE∥BC ,∴∠C =∠EDA ,∠EDB =∠DBC ,∴∠A =∠EDA ,∠EBD =∠EDB ,∴BE =ED．应选C．9．【解答】解：拿一张纸具体剪一剪,结果为A．应选A．10．【解答】解：∵P点在直线L上,∴此时PC =PD ,即△PCD是等腰三角形,分为三种情况：①作DE的垂直平分线,交直线l于一点P ,此时PE =PD；②以D为圆心,以DE为半径,交直线l于两点,此时DP =DE；③以E为圆心,以DE为半径,交直线l于两点,此时EP =DE；共1 +2 +2 =5点．应选B．二、填空题(19题后两空各1分,其余每空2分,共20分) 11．【解答】解：(π﹣3 )0 =1 ,故答案为：1．12．【解答】解：分式有意义,得x﹣5≠0．解得x≠5 ,故答案为：x≠5．13．【解答】解：32021×2021 =3×(3×)2021 =3．故答案为：3．14．【解答】解：∵x +y =7 ,xy =7 ,∴原式= (x +y )2﹣2xy =49﹣14 =35．故答案为：35．15．【解答】解：∵四边形ABCD沿直线AC对折后重合,∴△ADC≌△ABC ,∴AB =AD =3 ,BC =DC =2 ,∴四边形ABCD周长为：AB +BC +CD +AD =3 +2 +2 +3 =10 , 故答案为：10．16．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线,∴DA =DC ,由题意得,BD +DC +BC =14 ,AB +BC +AC =22 ,那么AC =8 ,∵DE是AC的垂直平分线,∴AE =4 ,故答案为：4．17．【解答】解：∵将正方形纸片对折,折痕为EF ,∴BF =AB ,∠GAB =90° ,∴∠BAF =30° ,∴ABF =60° ,∵展开后继续折叠,使点A落在EF上,折痕为GB ,∴∠ABG =×(90°﹣60° ) =15° ,∴∠AGB =90°﹣15° =75°．故答案为：75°．18．【解答】解：根据运算规那么：=27可化为：(x +1 ) (x﹣1 )﹣(x﹣1 ) (x +2 ) =27 ,去括号得：﹣1﹣x +2 =27 ,移项合并同类项得：x =﹣26．故填﹣26．19．【解答】解：由题意得,A1 (1 ,﹣1 ) ,A2 (1 ,﹣2 ) ,A3 (﹣1 ,﹣2 ) ,A4 (﹣2 ,﹣2 ) ,A5 (﹣2 ,2 ) ,A6 (﹣2 ,4 ) ,A7 (2 ,4 ) ,A8 (4 ,4 ) ,∵2021÷8 =251余7 ,∴点A2021为第252循环组的第|一象限的倒数第二个点,∴A2021 (2504 ,2505 ) ,点A n的坐标恰好为(4m ,4n ) (m、n均为正整数) ,请写出m和n的关系式m =n．故答案为：(1 ,﹣2 )；(2504 ,2505 ) ,m =n．三、解答题(每题8分,共28分)20．【解答】解：(1 )x4÷x2 + (x +6 ) (x﹣3 )=x2 +x2﹣3x +6x﹣18=2x2 +3x﹣18；(2 ) (2x +y ) (2x﹣y ) + (3x +2y )2=4x2﹣y2 +9x2 +12xy +4y2=13x2 +12xy +3y2．21．【解答】解：(1 )原式=5a (x2﹣y2 ) =5a (x +y ) (x﹣y )；(2 )原式=n (9m2﹣6m +1 ) =n (3m﹣1 )2．22．【解答】解：(1 ) (7a2b﹣2ab2﹣b3 )÷b﹣(a +b ) (3a +b )=7a2﹣2ab﹣b2﹣3a2﹣ab﹣3ab﹣b2=4a2﹣6ab﹣2b2 ,当a =1.5 ,b =﹣1时,原式=4×2﹣6××(﹣1 )﹣2×(﹣1 )2 =16；(2 ) (2x +1 )2﹣x (x﹣1 ) + (x +2 ) (x﹣2 )=4x2 +4x +1﹣x2 +x +x2﹣4=4x2 +5x﹣3 ,∵4x2 +5x﹣1 =0 ,∴4x2 +5x =1 ,∴原式=1﹣3 =﹣2．23．【解答】解：如图,CD为所作．故答案为CD为所作,垂直平分线的性质定理的逆定理．四、解答题(每题4分,共12分)24．【解答】解：在△ABC和△BAD中,∴△ABC≌△BAD (SSS ) ,∴∠CAB =∠DBA ,∴AE =BE．25．【解答】解：设这个正方形的边长为x , 根据题意得：(x +4 )2 =x2 +40 ,整理得：x2 +8x +16 =x2 +40 ,移项合并得：8x =24 ,解得：x =3．那么这个正方形的边长是3．26．【解答】解：∵∠ABC +∠ADC =180° , ∴∠BAC +∠BCD =180° ,∴A ,B ,C ,D四点共圆,∴∠ABD =∠ACD ,∠DBC =∠DAC ,∵射线BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD =∠CBD ,∴∠DAC =∠DCA ,∴△ADC为等腰三角形,∵点E为AC的中点,∴DE⊥AC (三线合一)．27．【解答】解：(1 )∵x2 +2x +3 =x2 + (3﹣a )x +s ,∴3﹣a =2 ,a =1；(2 )设x4 +x2 +1 = (x2 +ax +1 ) (x2 +x +1 ) =x4 + (a +1 )x3 + (a +2 )x2 + (a +1 )x +1 ,a +1 =0 ,a =﹣1 ,多项式的另一因式是x2﹣x +1；(3 )能,∵设x4﹣x2 +1 = (x2 +ax +1 ) (x2 +bx +1 ) =x4 + (a +b )x3 + (ab +2 )x2 + (a +b )x +1 , ∴a +b =0 ,ab +2 =﹣1 ,解得：a =或﹣,那么b =﹣或,∴x4﹣x2 +1 = (x2 +x +1 ) (x2﹣x +1 )．28．【解答】解：(1 )BD和CD的数量关系是BD =CD；理由：∵在△ABC中,∠BAC =60° ,∠ACB =80° ,∴∠ABC =40° ,∵∠CAD =2∠BAD ,∴∠CAD =40° ,∠BAD =20° ,又∵AD =AC ,∴∠ADC =∠ACD =70° ,∴∠DBC =∠ABC﹣∠ABD =40°﹣30° =10° ,∠DCB =∠ACB﹣∠ACD =80°﹣70° =10° , ∴∠DBC =∠DCB ,∴DB =DC；(2 )作∠EBC =∠ACB ,使EB =AC ,连接ED、EA ,那么四边形AEBC是等腰梯形,∴AE∥BC ,∴∠EAB =∠ABC ,∵BD =CD ,∴∠DBC =∠DCB ,∴∠EBD =∠ACD ,在△EBD和△ACD中∴△EBD≌△ACD (SAS ) ,∴ED =AD ,∵∠ACB =2∠ABC ,∠EBC =∠ACB ,∴∠EBC =2∠ABC ,∴∠ABE =∠ABC ,∴∠EAB =∠ABE ,∴BE =AE ,∵AD =AC =EB ,∴EA =ED =AD ,∴△AED是等边三角形,∴∠EAD =60° ,∴∠BAD =60°﹣∠EAB =60°﹣∠ABC ,∴2∠BAD =120°﹣2∠ABC =120°﹣∠ACB ,∵AE∥BC ,∴∠ACB +∠EAC =180° ,∴∠ACB =180°﹣∠EAC ,∵∠EAC =60° +∠DAC ,∴2∠BAD =120°﹣(180°﹣60°﹣∠DAC ) =∠DAC ,∴∠DAC =2∠BAD．教学反思1 、要主动学习、虚心请教,不得偷懒. 老老实实做"徒弟〞,认认真真学经验,扎扎实实搞教研.2 、要勤于记录,善于总结、扬长避短. 记录的过程是个学习积累的过程, 总结的过程就是一个自我提高的过程.通过总结, 要经常反思自己的优点与缺点,从而取长补短,不断进步、不断完善.3 、要突破创新、富有个性,倾心投入. 要多听课、多思考、多改良,要正确处理好模仿与开展的关系,对指导教师的工作不能照搬照抄,要学会扬弃,在原有的根底上,根据自身条件创造性实施教育教学,逐步形成自己的教学思路、教学特色和教学风格, 弘扬工匠精神, 努力追求自身教学的高品位.。

2022-2023学年北京市人大附中早培班八年级（上）期中数学试卷一、单项选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，仅有一项符合题目要求1.将抛物线21y x =+向右平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A.2(1)y x =-B.2(1)y x =+C.2(1)2y x =-+D.2(1)2y x =++【答案】A【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线21y x =+向右平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线是：2(1)11y x =-+-，即2(1)y x =-．故选：A ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．2.如图，每个小正方形边长均为1，则图中四个阴影的三角形中与ABC 相似的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】利用勾股定理求得每个三角形的三边长，确认是否成比例，即可求解．【详解】解：由题意可得：ABC 的三边长为AC =，2BC =，AC =，A 、三角形的三边长为152≠≠，不符合题意；B，352≠≠C 、三角形的三边长为22≠≠，不符合题意；D 、三角形的三边长为122==ABC 相似，符合题意；故选D .【点睛】此题考查了勾股定理以及相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，正确求出每个三角形的边长．3.为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm ），则该铁球的半径为（）A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm【答案】B【分析】连接AB 、OC ，根据题意可得8AB =，OC AB ⊥，再根据垂径定理得到4AH BH ==，设AO x =，利用勾股定理建立方程解出x 即可解决此题．【详解】解：连接AB 、OC ，OC 交AB 于点H ，由题可得，8AB =，OH AB ⊥，∴4AH BH ==，设AO x =，则2OH x =-，在Rt AOH 中，222AO AH OH =+，∴()22242x x =+-，解得5x =，即5AO =，故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是能构造直角三角形利用勾股定理解直角三角形．4.如图，已知AB 是O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与O 相切于点D ，过点B 作BC PD ⊥于点C ，若4PA =，6BC =，则O 的半径的长为（）A.3B.23C.4D.33【答案】C【分析】利用已知条件证明OPD BPC ∽△△，推出OP ODBP BC=，设O 的半径的长为r ，将数值代入等式，解关于r 的一元二次方程即可．【详解】解： PD 与O 相切于点D ，∴OD PC ⊥，∴90ODP BCP ∠=∠=︒，又 OPD BPC ∠=∠，∴OPD BPC ∽△△，∴OP OD BP BC=，即PA OA ODPA AB BC +=+．设O 的半径的长为r ，则4426r rr +=+，整理得2120r r --=，解得14r =，23r =-（舍），∴O 的半径的长为4，故选C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、切线的性质、解一元二次方程等，解题的关键是通过相似得出OP ODBP BC=．5.抛物线2y ax c =+与直线y kx =交于()()3612A B --，，，两点，关于x 的不等式20ax kx c +>-的解集是（）A.3x <-或1x >B.6x <-或2x > C.31x -<< D.62x -<<【答案】C【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及一次函数图象的关系，写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：由题意得962a c a c +=-⎧⎨+=⎩，∴13a c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线开口向下，∵20ax kx c +>-，∴2ax c kx +>，∴关于x 的不等式20ax kx c +>-的解集即为二次函数2y ax c =+的图象在一次函数y kx =图象上方自变量的取值范围，∴关于x 的不等式20ax kx c +>-的解集是31x -<<，故选C ．【点睛】本题主要考查了根据两函数的交点求不等式的解集，正确判断出二次函数开口向下是解题的关键．6.魏时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为表目距”，GC 和EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（）A.×+表高表距表目距的差表高B.×-表高表距表目距的差表高C.×+表高表距表目距的差表距D.×-表高表距表目距的差表距【答案】A【分析】根据AB DE FG ∥∥，可得,ABH EDH CFG CBA ∽∽ ，从而得到,DE EH FG CGAB AH BA CA==，进而得到EH CG AH CA =，再由比例的性质可得EH CGAE EH AE EG GC=+++，从而得到()CG EH AE EH EG -⋅=⋅，进而得到EH EGAE CG EH⋅=-，再由AH AE EH =+，可得EH EGDE AH DE EH CG EH AB DE EH EH EH⋅⋅⋅-==⋅+，即可求解．【详解】解：根据题意得：AB DE FG ∥∥，∴,ABH EDH CFG CBA ∽∽ ，∴,DE EH FG CGAB AH BA CA ==，∴EH CGAH CA=，∴EH CGAE EH AE EG GC=+++，∴CG AE CG EH EH AE EH EG EH GC ⋅+⋅=⋅+⋅+⋅，∴()CG EH AE EH EG -⋅=⋅，∴EH EGAE CG EH⋅=-，∵AH AE EH =+，∴()DE AE EH DE AH AB EH EH+⋅==DE AE DE EH EH EH ⋅⋅=+EH EGDE DE EH CG EH EH EH⋅⋅⋅-=+EH EGDE EHCG EH DE EH EH ⋅⋅-=⋅+DE EGDECG EH⋅=+-×=+表高表距表目距的差表高．故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.已知()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线上24y ax ax =-的两点，下列命题正确的是（）A.若1222x x ->-，则12y y >B.若12y y >，则1222x x ->-C.若12y y =，则12x x =D.若1222x x =--，则12y y =【答案】D【分析】根据抛物线解析式可以得到抛物线的对称轴，然后在分类讨论开口方向求解．【详解】解：24y ax ax=- ∴抛物线的对称轴为直线422ax a-=-=A 、当a<0抛物线开口向下，若1222x x ->-即1x 到对称轴的距离大于2x 到对称轴的距离，则21y y >，故此项错误B 、当a<0抛物线开口向下，若12y y >说明1P 更接近对称轴，则1P 到对称轴的距离更小即1222x x -<-，故此项错误C 、当12y y =，()111,P x y ，()222,P x y 关于y 轴对称或重合，故此项错误D 、若1222x x =--，说明()111,P x y ，()222,P x y 到对称轴的距离相等，则12y y =，故此项正确故选D ．【点睛】本题考查二次函数图像的对称性及二次函数开口方向，正确理解二次函数的对称性是解题的关键．8.将空间景物用单点透视法画在平面上时，需满足以下三点：（1）空间中的直线画在纸上仍然是一条直线；（2）空间直线上点的相关位置必须和纸上所画的点的相关位置一致；（3）空间直线上的任意四个相异点的K 值和纸上所画的四个点的K 值需相同，其中K 值的定义如下：直线上任给四个有顺序的相异点1P ，2P ，3P ，4P ，如图：图中四个点所对应的K 值定义如下：14231324PP P P K PP P P ⨯=⨯；某画家依照以上原则，将空间中一直线以及直线上四个相异点1Q ，2Q ，3Q ，4Q 描绘在纸上，其中122334==Q Q Q Q Q Q ，若将纸上所画的直线视为数轴，并将线上的点用数轴上的实数来表示，则以下选项中，可能是此四点在纸上数轴表示的实数是（）A.1，2，4，8B.3，4，6，9C.1，5，8，9D.1，7，9，10【答案】D【分析】先根据题意求出K 的值，再根据数轴上的数求出K ，即可判断．【详解】设122334Q Q Q Q Q Q a ===，则143Q Q a =，13242Q Q Q Q a ==，∴1423132433224Q Q Q Q a a K Q Q Q Q a a ⨯⨯===⨯⨯．因为(81)(42)7(41)(82)9K -⨯-=≠-⨯-，所以不符合题意；因为(93)(64)4(63)(94)5K -⨯-=≠-⨯-，所以不符合题意；因为(91)(85)6(81)(95)7K -⨯-=≠-⨯-，所以不符合题意；因为(101)(97)3(91)(107)4K -⨯-==-⨯-，所以符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了实数的运算，理解题意是解题的关键．二、多项选择题（本题共12分，每小题3分）第9-12题均有四个选项，有多项符合题目要求9.如图AD 是O 的直径，CD 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P ，以下说法正确的是（）A.AP CP= B.BP OP= C.2CD OP = D.45A ∠=︒【答案】ABC【分析】利用平行四边形的性质和圆的基本性质可证BOC 和COD △均为等边三角形，得到60COD ∠=︒，60BOC ∠=︒，进而可得1302A COD ∠=∠=︒，可证D 选项错误；再利用垂径定理可证A 选项正确；通过证明OP 是ACD 的中位线，可得12OP CD =，证明C 选项正确；利用等腰三角形三线合一的性质可得12BP OP OB ==，可证B 选项正确．【详解】解： AD 是O 的直径，∴=90ACD ∠︒，∴AC CD ⊥．如图，连接OC ．四边形OBCD 是平行四边形，∴OB CD =，BC OD =，OB OCOD ==，∴OB OC BC OD CD ====，∴BOC 和COD △均为等边三角形，∴60COD ∠=︒，60BOC ∠=︒，∴1302A COD ∠=∠=︒，故D 选项错误； 四边形OBCD 是平行四边形，∴OB CD ∥，AC CD ⊥，∴AC OB ⊥，∴AP CP =，故A 选项正确；OA OD =，∴OP 是ACD 的中位线，∴12OP CD =，即2CD OP =，故C 选项正确； BOC 为等边三角形，AC OB ⊥，∴12BP OP OB ==，故B 选项正确；故选ABC ．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线的性质等，难度一般，能够综合运用上述知识是解题的关键．10.已知抛物线2y ax bx c ++＝上部分点的横坐标x 纵坐标y 对应值如表：x……﹣1123……y ……0﹣3﹣4﹣3m ……以下说法不正确的是（）A.0m =B.1a =C.方程22ax bx c -=--两个实数根为12x x ，，且12x x <，则132x --＜＜D.函数2y ax bx c ++＝与函数y x n +＝恰有两个交点，则31n -＜＜【答案】D【分析】根据表中数据和抛物线的性质，可得抛物线开口向上，对称轴是1x =，利用待定系数法即可求出1a =，再根据抛物线的性质即可进行判断．【详解】由表中数据可知抛物线对称轴为：1x =，()1,0- 和()3,m 关于1x =对称，0m ∴=，故A 正确，不符合题意；设抛物线解析式为()214y a x =--，代入()0,3-得：34a -=-，解得：1a =，故B 正确，不符合题意；()221423y x x x ∴=--=--，方程22ax bx c -=--，即2+21x x =，解得1x =-±，12x x < ，11x ∴=-132x ∴-<<-，故C 正确，不符合题意；函数22=23y ax bx c x x ++=--，图象如图，当13x -≤≤时，函数关系式为223y x x =-++，令223x x x n -++=+，则当方程无解时有两个交点，整理得：230x x n --+=，()214130n =-⨯⨯-+< ，解得：134n >，∴由图象可知，13n -<<或134n >，故D 错误，符合题意．故选D ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，数值二次函数的性质是解题的关键．11.如图，正方形ABCD 中，点F 是BC 边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG ，边FG 与正方形ABCD 的对角线AC 相交于点H ，连接DG ．以下说法正确的是（）A.EAB GAD ∠=∠B.FAC GAD∽ C.DG AC⊥ D.23FG AH AC=⋅【答案】ABC【分析】根据正方形的性质及各角之间的关系可证明A 选项正确；由勾股定理及相似三角形的判定可证明B 选项正确；由各角之间的关系及垂直的性质可证明C 选项正确；证明AFH ACF ∽，由相似三角形的性质可证明D 选项错误．【详解】解： 四边形ABCD ，四边形AEFG 都是正方形，∴90EAG BAD ∠=∠=︒，45FAG AFG DAC ACB ∠=∠=∠=∠=︒，∴EAG BAG BAD BAG ∠-∠=∠-∠，∴EAB DAG ∠=∠，故A 选项正确；AF ===，AC ==，∴AF ACAG AD==， 45FAG DAC ==︒∠∠，∴FAC DAG ∠=∠，∴FAC GAD ∽ ，故B 选项正确；∴45ADG ACB ∠=∠=︒，延长DG 交AC 于点N ，45CAD ∠=︒，45ADG ∠=︒，∴90AND ∠=︒，∴DG AC ⊥，故C 选项正确；FAC HAF ∠=∠，45AFHACF ==︒∠∠，∴AFH ACF ∽，∴AH AFAF AC=，∴2AF AH AC = ，∴22·GF AH AC =，故D 选项错误；故答案为：ABC ．【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．12.n 个正整数排成一列A ：a 1，a 2，a 3，……，a n ，，每次进行以下操作之一：操作一：将其中一个数删除；操作二：将其中一个数变为更小的正整数；操作三：将其中一个数变为两个正整数，且两个正整数之和小于原来的正整数；现甲乙两人对这些数按照甲—乙—甲—乙—……的顺序轮流进行操作，规定最后操作将所有数删除的人获胜．以下说法正确的是（）A.若A ：2，3，则甲第一次操作后可以产生6种不同的结果B.若A ：2，3，若甲乙两人经过k 次操作后将所有数都删除，且上述三种操作至少各进行了一次，则b ＝1或5C.若A ：1，2，2，则甲有必胜策略D.若A ：1，2，3，则乙有必胜策略【答案】C【分析】若要进行操作三，则最大项的数值必须大于等于3；若要进行操作二，则最大项的数值必须大于等于2；进行操作二不改变数列的项数．【详解】解：A 、当甲进行操作一时，会产生2种不同的结果，:2A 或:3A ；当甲进行操作二时，会产生2种不同的结果，:1,3A 或:2,3A ；当甲进行操作三时，会产生1种不同的结果，:2,1,1A ；因此甲第一次操作后可以产生5种不同的结果，A 故错误．B 、在数列A 中，只有2a 项能进行操作三，并要求三种操作至少各进行了一次，进行操作三后，项数为3，:2,1,1A ：①第二步先进行操作一时，只能删除为1的项，此时1k =（操作三）+1（操作二）+4（操作一）=6；②第二步先进行操作二时，此时1k =（操作三）+1（操作二）+3（操作一）=5；因此或6，故B 错误．C 、根据题意可知，若数列有奇数个项，甲、乙逐个消去，最终甲执行最后一次操作；有偶数个项逐个消去，最终乙执行最后一次操作；执行操作二、操作三不影响最终结果；:1,2,2A ，为奇数项且最多可执行2（偶数）次操作二，∴能确保甲最后将所有项消除，只需保证进行偶数次操作二即可，故C 正确．D 、:1,2,3A ，为奇数项且最多可执行3（奇数）次操作二，∴能确保乙最后将所有项消除，只需保证进行奇数次操作二即可，故D 错误．故选C【点睛】本题主要考查了数列的应用和逻辑推理，属于难题．三、填空题（本题共18分，每小题3分）13.已知23a b =，则22a b a b +=-_____．【答案】2-【分析】将22a b a b +-分号上下同时除以b ，再将23a b =整体代入，即可求解．【详解】解： 23a b =，∴22223222223a a b b a a b b+++===----，故答案为：2-．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用“整体代入法”．14.以坐标原点O 为圆心，作半径为1的O ，若直线y x b =+与O 相交，则b 的取值范围是_____．【答案】b <<【分析】分别求出直线y x b =+与圆相切，且直线经过一、二、三象限时的b 的值和直线y x b =+与圆相切，且直线经过一、三、四象限时b 的值，即可确定出b 的取值范围．【详解】解：当直线y x b =+与圆相切，且直线经过一、二、三象限时，切点为B ，连接OB，当0x =时，y b =，则(0,)C b ，OC b =，当0y =时，x b =-，则(,0)A b -，OA b =，∴OA OC =，AOC ∴ 为等腰直角三角形，45OCA ∴∠=︒．直线y x b =+与圆相切，OB AC ∴⊥，OBC ∴ 为等腰直角三角形，1OB BC ∴==，OC ∴==，b ∴=同理，当直线y x b =+与圆相切，且直线经过一、三、四象限时，b =，∴若直线y x b =+与O 相交，b 的取值范围是b <<故答案为：b <<【点睛】本题主要考查直线与圆的交点问题，求出相切时b 的值是解题的关键．15.如图所示，D ，E 分别是ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE AC ∥，若:1:2BDE ADE S S = ，:ODE OAC S S = _____．【答案】1:9##19【分析】由已知得出:1:3BD BA =，利用DE AC ∥证明BDE BAC ∽ ，推出::1:3DE AC BD BA ==，再证明ODE OCA ∽ ，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：:1:2BDE ADE S S = ，:1:2BD DA ∴=，:1:3BD BA ∴=．DE AC ∥，BDE BAC ∴∠=∠，BED BCA ∠=∠，BDE BAC ∴∽ ，::1:3DE AC BD BA ∴==．DE AC ∥，ODE OCA ∴∠=∠，OED OAC ∠=∠，ODE OCA ∴∽ ，:ODE OAC S S ∴= 221:31:9=．故答案为：1:9【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及其性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．16.已知函数223y x x =+-，当2x a -≤≤时，函数的最小值是4-，则实数a 的取值范围是_____．【答案】1a ≥-【分析】先求出当=1x -时，二次函数有最小值4-，由此求解即可．【详解】解：∵二次函数解析式为()222314y x x x =+-=+-，10a =>，∴当=1x -时，二次函数有最小值4-，∵函数223y x x =+-，当2x a -≤≤时，函数的最小值是4-，∴1a ≥-，故答案为：1a ≥-．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出当=1x -时，二次函数有最小值4-是解题的关键．17.如图，ABC 中，AB AC =，16BC =，AD BC ⊥于点D ．6AD =，P 是半径为4的A 上一动点，连接BP ，若E 是BP 的中点，连接DE ，DE 长的最大值为_____．【答案】7【分析】连接CP ，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得CD BD =，根据三角形中位线定理可得12DE CP =，则当CP 取最大值时DE 的长最大，因此求得CP 的最大值即可．【详解】解：如图，连接CP ，AB AC =，16BC =，AD BC ⊥，∴182BD DC BC ===， E 是BP 的中点，∴DE 是BPC △的中位线，∴12DE CP =，∴当CP 取最大值时DE 的长最大，P 是半径为4的A 上一动点，∴当CP 经过圆心A 时，CP 取最大值，6AD =，8CD =，AD BC ⊥，∴10AC ===，A 的半径是4，∴CP 的最大值为10414+=，∴DE 长的最大值为7．故答案为：7．【点睛】本题考查圆外一点到圆上动点距离的最值，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等，证明12DE CP =是解题的关键．18.如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 是AD 的中点，连接BE ，点A 关于BE 的对称点为F ，连接BF 交AC 于点G ，则CG =_______．【答案】327【分析】延长BF 交CD 于H ，连接HE ，作GM BC ⊥，⊥GN CD ，根据正方形的性质和角平分线的性质，得到GM GN =，CNG △和CMG V 是等腰直角三角形，再根据轴对称的性质，利用“HL ”证明Rt DEH Rt FEH ≌，DH FH =，设DH FH x ==，利用勾股定理得到14x =，进而得到34CH =，然后利用面积法求出37GM =，最后再利用勾股定理即可求出CG 的长．【详解】解：延长BF 交CD 于H ，连接HE ，过点G 作GM BC ⊥于M ，⊥GN CD 于N ，四边形ABCD 是正方形，45ACD ACB ∴∠=∠=︒，GM BC ⊥ ，⊥GN CD ，GM GN ∴=，CNG △和CMG V 是等腰直角三角形，E 为AD 中点，AE DE ∴=，点A 关于BE 的对称点为F ，AE EF ∴=，1AB BF ==，DE EF ∴=，在Rt DEH 和Rt FEH 中，DE EF EH EH =⎧⎨=⎩，()Rt DEH Rt FEH HL ∴ ≌，DH FH ∴=，设DH FH x ==，则1CH x =-，1BH BF FH x =+=+，在 Rt CHB 中，222BH BC CH =+，()()222111x x ∴+=+-，14x ∴=，13144CH ∴=-=，CBH CGH CGB S S S =+ ，111222BC CH BC GM CH GN ∴⋅=⋅+⋅，131131124224GM GN ∴⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，37GM ∴=，在等腰Rt CMG 中，327CG =，故答案为：327．【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，求出CH 的长是解题关键．四、解答题（本题共46分，第19-21题，每题6分，第22-25题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

2022学年秋学期中国人大附中初二数学上册期中试卷2022．10．26说明：本试卷共三道大题，28道小题，共6页：满分100分，考试时间90分钟：一、选择题：（每小题3分，共30分）1．2022年6月28日，北京市教委发布《义务教育体育与监考过程性考核管理办法》，以进一步加强中小学生日常体育锻炼和身体素质。

在下列常见的体测项目图标中，是轴对称图形的是（）。

AB C D2．七边形的内角和为（）。

A ．360°B ．720°C ．900°D ．1080°3．关于x 的方程53x a -=-解为负数，则实数a 的取值范围是（）。

A ．0a >B ．0a <C ．53a >D ．53a <4．如图，小健家的仿古家具有一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块。

将该三角形记为ABC △，若通过电话给玻璃店老板提供相关数据，则提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）。

A ．,,AB BC CA B ．,,B BC CA ∠C ．,,A AB CA∠D ．,A B CA∠∠,5．如图，在ABC △中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，BD 为ABC △的角平分线，若ABC △中AB 边上的高为5，则AC 长为（）。

A ．15B ．12C ．10D ．86．我国民间流传这样一道题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人；每人7两多7两，每人半斤少半斤。

试问各位善算者，多少人分多少银（注：古代1斤=16两）。

若设有x 人，分y 两银，则可列方程组为（）。

A ．7788x y x y =+⎧⎨=+⎩B ．7788x y x y =-⎧⎨=+⎩C ．7788x y x y =+⎧⎨=-⎩D ．7788x y x y =-⎧⎨=-⎩7．如图，ABC ADE ≌△△，且D 在BC 边上，EAC ∠=，则B ∠的度数（）A ．70°B ．71°C ．72°D ．76°8．如图，在ABC △中，根据规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（）。