川大附中2022-2023年度上期高2023届半期考试数学文科第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+≤，{}2|1B y y x ==+，则A B ⋃等于（）A.(1,)+∞ B.[1,)-+∞ C.(1,3]D.(1,)-+∞2.在复平面内，复数z 满足(1i)2z +=，则复数z 对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1122S =,则13911a a a a +++=（）A.2B.4C.8D.164.方程24ln x x =-的解所在的区间是（）A.1,12⎛⎫⎪⎝⎭B.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D.52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭5.已知某样本的容量为100，平均数为80，方差为95，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将90记录为70，另一个错将80记录为100．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（）A.80x =，295s < B.80x =，295s > C.80x >，295s < D.80x <，295s >6.若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A.65-B.25-C.25D.657.函数2ln(()cos x f x x x+=-的图象大致为()A. B.C. D.8.下列命题中，不正确的是（）A.在ABC 中，若A B >，则sin sin A B >B.在锐角ABC 中，不等式sin cos A B >恒成立C.在ABC 中，若cos cos a A b B =，则ABC 必是等腰直角三角形D.在ABC 中，若60B =︒，2b ac =，则ABC 必是等边三角形9.在ABC 中，点D 在B C 上，且满足14BD BC =，点E 为A D 上任意一点，若实数x ，y 满足BE xBA yBC =+ ，则12x y+的最小值为（）A. B.C.4+D.9+10.已知某几何体的三视图如图所示，其中小方格是边长为1的正方形，则该几何体的外接球的表面积为（）A.68πB.52πC.36πD.48π11.设点P 是抛物线1C :24x y =上的动点,点M 是圆2C :22(5)(4)4x y -++=上的动点,d 是点P 到直线=2y -的距离,则||d PM +的最小值是（）A.2- B.1- C.D.1+12.函数()y f x =，x R ∈，()12021f =，对任意的x R ∈，都有()2'30f x x ->成立，则不等式()32020f x x <+的解集为（）A.(),1-∞- B.()1,1-C.()1,+∞ D.(),1∞-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()6,3a =-- ，()2,1b m =-- ，若()2//a b a -，则实数m =___________.14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(],0x ∈-∞时，()22f x x x =-+，若实数m 满足()2log 3f m ≤，则m 的取值范围是______．15.已知数列{}n a 的首项12a =，其前n 项和为n S ，若121n n S S +=+，则7a =__________．16.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>,ϕ∈R ）在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调,且满足74π12π3f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)若5π()6f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则函数()f x 的最小正周期为__________;(2)若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点,则ω的取值范围为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分17.某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示.（1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有1名男生的概率．18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 是AC 的中点，且1A M ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，2AB AC ==，13AA =.（1）证明：1AB CC ⊥；（2）求三棱锥11C ABA -的体积.19.在①n S ，12n S +，23n S +成等差数列，且249S =；②()2111253n n n n a a a a ++=-，且0n a >；③20n n S a t +-=（t 为常数）从这三个条件中任选一个补充在横线处，并给出解答.问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，113a =，___________，其中N n *∈.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记113log n n b a +=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>经过点12⎫⎪⎭，其右顶点为A （2，0）．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P ，Q 在椭圆C 上，且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120．证明直线PQ 经过定点，并求△APQ 面积的最大值．21.已知函数()ln f x x kx =-（R k ∈），()()2xg x x e =-.（1）求函数()f x 的极值点；（2）若()()1g x f x -≥恒成立，求k 的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为x 轴，建立极坐标系，曲线1C 是经过极点且圆心在极轴上直径为2的圆，曲线2C 是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为[]()1sin 0,2ρθθπ=-∈.（1）求曲线1C 的极坐标方程，并求曲线1C 和曲线2C 交点（异于极点）的极径；（2）曲线3C 的参数方程为cos 3sin3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.若曲线3C 和曲线2C 相交于除极点以外的M ，N 两点，求线段MN 的长度.23.设函数()45f x x x =-+-的最小值为m .（1）求m ；（2）设123,,x x x R +∈，且123x x x m ++=，求证：22231212311114x x x x x x ++≥+++.川大附中2022-2023年度上期高2023届半期考试数学文科第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+≤，{}2|1B y y x ==+，则A B ⋃等于（）A.(1,)+∞ B.[1,)-+∞ C.(1,3]D.(1,)-+∞【答案】B 【解析】【分析】根据集合的运算的定义求解.【详解】由(3)(1)0x x -+≤解得13x -≤≤,所以13{|}A x x =-≤≤,又因为211y x =+≥,所以{}|1B y y =≥,所以[1,)A B =-+∞ .故选:B.2.在复平面内，复数z 满足(1i)2z +=，则复数z 对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】先求出复数z ，即可求出答案.【详解】()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-，复数z 对应的点为()1,1-则复数z 对应的点位于第四象限故选：D.3.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1122S =,则13911a a a a +++=（）A.2 B.4C.8D.16【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式及等差数列性质:若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+即可得到结果.【详解】解:由题知1122S =,即()1111161111222a a S a +===,62a ∴=,13961184a a a a a ∴+++==.故选:C4.方程24ln x x =-的解所在的区间是（）A.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.3,22⎛⎫⎪⎝⎭D.52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】先将方程转化为函数零点问题，再根据函数的单调性以及零点存在性定理求解.【详解】由24ln x x =-，得ln 240x x +-=，设()ln 24f x x x =+-，则方程24ln x x =-的解等同于函数()f x 的零点；()'120f x x=+＞，所以函数()f x 是单调递增的，又33e,ln 122∴＜＜，333ln 240222f ⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭＜，()2ln 22240f =+⨯-＞，∴函数()f x 的零点在3,22⎛⎫⎪⎝⎭内；故选：C.5.已知某样本的容量为100，平均数为80，方差为95，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将90记录为70，另一个错将80记录为100．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（）A.80x =，295s < B.80x =，295s > C.80x >，295s < D.80x <，295s >【答案】A 【解析】【分析】根据平均数和方差公式即可求解.【详解】根据题意知,重新求得样本的平均数为1008070100908080,100⨯--++=设收集的98个准确数据为1298,,,x x x ,则222221298195(80)(80)(80)(7080)(10080)100x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦ 22212981(80)(80)(80)500100x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦ ,22222212981(80)(80)(80)(9080)(8080)100s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦ 222212981(80)(80)(80)10095100s x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦ ,故选:A.6.若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A.65-B.25-C.25D.65【答案】C 【解析】【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．7.函数2ln(1)()cos x f x x x+=-的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】分析函数f (x )定义域，排除两个选项，再取特殊值得解.【详解】∵令g (x )=2cos x x -，x >0时，x 2是递增的，cos x 在(0,π)上递减，则有g (x )在(0,π)上单调递增，而(0)1,(1)1cos10g g =-=->，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0g x =，()f x ∴中0,x R x x ∈≠，排除C 、D ，∵2x π=时()0f x >，排除B ，所以选A.故选：A【点睛】给定解析式，识别图象，可以从分析函数定义域、函数奇偶性、在特定区间上单调性及特殊值等方面入手.8.下列命题中，不正确的是（）A.在ABC 中，若A B >，则sin sin A B >B.在锐角ABC 中，不等式sin cos A B >恒成立C.在ABC 中，若cos cos a A b B =，则ABC 必是等腰直角三角形D.在ABC 中，若60B =︒，2b ac =，则ABC 必是等边三角形【答案】C 【解析】【分析】由正弦定理和大边对大角判断选项A ，由ABC 为锐角三角函数得022A B ππ>>->，进而sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭即可判断选项B ，再利用正弦定理边化角即可求出22A B =或22A B π=-即可判断选项C ，利用余弦定理判断选项D.【详解】在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a bA B=，sin sin A B a b A B ∴>⇔>⇔>,故选项A 正确；在锐角ABC 中，,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2A B π+>，则022A B ππ>>->，sin sin cos 2A B B π⎛⎫∴>-= ⎪⎝⎭，故选项B 正确；在ABC 中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得sin 2sin 2A B =,得22A B =或22A B π=-,故A B =或2A B π=-，即ABC 是等腰三角形或直角三角形，故选项C 错误；在ABC 中，若60B =︒，2b ac =，由余弦定理可得2222cos b a c ac B=+-22ac a c ac ∴=+-，即()20a c -=，解得a c =，60B =ABC ∴ 必是等边三角形，故选项D 正确.故选:C.9.在ABC 中，点D 在B C 上，且满足14BD BC =，点E 为A D 上任意一点，若实数x ，y 满足BE xBA yBC =+ ，则12x y+的最小值为（）A.B.C.4+D.9+【答案】D 【解析】【分析】先根据共线向量定理的推论，三点共线的结论可得，41x y +=，再根据“1”的代换即可求出．【详解】因为14BD BC =，所以BE xBA yBC =+ ，即4BE xBA yBD =+ ．由,,A E D 三点共线可得41x y +=，且0,0x y >>．所以()1212244999x y x y x y x y y x⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当x =，即174214x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号．故选：D ．10.已知某几何体的三视图如图所示，其中小方格是边长为1的正方形，则该几何体的外接球的表面积为（）A.68πB.52πC.36πD.48π【答案】A 【解析】【分析】由三视图可得该几何体为三棱锥-P ABC ，其外接球为长方体的外接球，求出长方体的体对角线可得外接球的直径，从而可求出外接球的表面积【详解】如图，该几何体为三棱锥-P ABC ，其外接球为长方体的外接球，长方体的长为6，宽为4，高为4，所以2436161668R =++=，故外接球的表面积为2468R ππ=.故选：A11.设点P 是抛物线1C :24x y =上的动点,点M 是圆2C :22(5)(4)4x y -++=上的动点,d 是点P 到直线=2y -的距离,则||d PM +的最小值是（）A.2- B.1- C.D.1+【答案】B 【解析】【分析】根据题意画出图像,将d 转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点到焦点的距离加1,若求||d PM +的最小值,转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离再加1即可,根据三角形两边之和大于第三边,即当112,,,F P M C 共线时,||d PM +取最小值为21FC r +-,算出结果即可.【详解】解:由题知圆2C :22(5)(4)4x y -++=,()25,4,2C r ∴-=()0,1F 为抛物线焦点,1y =-为抛物线准线,则过点P 向1y =-作垂线垂足为D ,如图所示:则1d PD =+,根据抛物线定义可知=PD PF ,1d PF ∴=+,||d PM ∴+=1PF PM ++,若求||d PM +的最小值,只需求PF PM +的最小值即可,连接2FC 与抛物线交于点1P ,与圆交于点1M ,如图所示,此时PF PM +最小,为2FC r -,()2min1d PM FC r +=+-,()()220,1,5,4,F C FC -∴= ,()2min11d PMFC r ∴+=+-=-.故选:B12.函数()y f x =，x R ∈，()12021f =，对任意的x R ∈，都有()2'30f x x ->成立，则不等式()32020f x x <+的解集为（）A.(),1-∞- B.()1,1-C.()1,+∞ D.(),1∞-【答案】D 【解析】【分析】结合已知条件分析，需要构造函数()()3h x f x x =-,通过条件可得到''2()()30h x f x x =->,()h x 在R 上为增函数，利用单调性比较，即可得出答案．【详解】设()()3h x f x x =-，则()()''230h x fx x =->，∴()h x 在R 上为增函数，3(1)(1)12020h f =-=，而33()2020()(1)f x x f x x h <+⇔-<，即()()1h x h <，∴1x <.故选：D.【点睛】本题考查函数单调性的应用之解抽象不等式，构造函数是解决本题的关键，运用导函数提出所构造函数的单调性，属于较难题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()6,3a =-- ，()2,1b m =-- ，若()2//a b a -，则实数m =___________.【答案】0【解析】【分析】先求出2a b - 的坐标，再利用向量共线的坐标形式可求m 的值.【详解】()22,12a b m -=---,因为()2a b a -∥，故()()23612m -⨯-=-⨯--，解得0m =，故答案为：0.14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(],0x ∈-∞时，()22f x x x =-+，若实数m 满足()2log 3f m ≤，则m 的取值范围是______．【答案】(]0,2【解析】【分析】根据当(],0x ∈-∞时，()22f x x x =-+和函数()f x 是定义在R 上的奇函数，得到函数()f x 在R 上的递增，再由()()()2log 311f m f f ≤=--=，利用函数的单调性求解.【详解】解：因为当(],0x ∈-∞时，()22f x x x =-+，所以由二次函数的性质得()f x 在(],0x ∈-∞上递增，又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以函数()f x 在R 上的递增，又()()()2log 311f m f f ≤=--=，所以22log 1log 2m ≤=，解得02m <≤，所以m 的取值范围是(]0,2，故答案为：(]0,215.已知数列{}n a 的首项12a =，其前n 项和为n S ，若121n n S S +=+，则7a =__________．【答案】96【解析】【分析】由题意易得121n n S S -=+(2)n ≥，两式相减可得数列{}n a 从第二项开始成等比数列，进而可得结果.【详解】因为121n n S S +=+，所以121n n S S -=+(2)n ≥，两式相减得12n n a a +=，又因为12a =，122121S a a a =+=+，得23a =，所以数列{}n a 从第二项开始成等比数列，因此其通项公式为22,1,{32,2,n n n a n -==⋅≥，所以573296a =⨯=，故答案为：96.16.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>,ϕ∈R ）在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调,且满足74π12π3f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)若5π()6f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则函数()f x 的最小正周期为__________;(2)若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点,则ω的取值范围为__________．【答案】①.π②.833ω<≤【解析】【分析】(1)根据74π12π3f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得到()f x 对称中心,因为75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调,判断7π5,12π6与对称中心之间的距离,确定最大的单调区间,进而判断ω的大概取值范围,再根据5π()6f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭确定对称轴,将得到的式子进行整合,即可得到ω的值确定周期;(2)根据(1)的对称中心及ω的大概取值范围,可知203f π⎛⎫=⎪⎝⎭,即23π是其一个零点,所以()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有五个零点,只需13π6在第五个零点之间和第六个零点之间即可,根据相邻两个零点之间是半个周期,得出不等式，计算即可,另加上(1)中ω的大概取值范围,得到最后结果即可,需要注意前提条件中区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调,要确定最大的单调区间,才能确定ω的取值范围.【详解】解:由题知731π24πf f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()f x \对称中心为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭,代入可得112,3k k Z πωϕπ+=∈,①()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调,且()f x 对称中心为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭,又5227,6363621ππ2πππππ-=-=<()f x ∴在区间π5π,26⎛⎫⎪⎝⎭上单调526ππ32πT ∴≥-=即2π3T ≥,即22π3πω≥,03ω∴<≤(1)5π()6f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭,()f x \关于5π12x =对称,代入可得225,122k k Z ππωϕπ+=+∈,②①-②可得,42k k Z πωππ=-+∈,即24,k k Z ω=-+∈,032ωω<≤∴= 2T ππω∴==;(2)()f x 对称中心为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭,203f π⎛⎫∴=⎪⎝⎭,()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点,()f x 相邻两个零点之间的距离为2T,五个零点之间即2T ,六个零点之间即52T ,∴只需π2132363522T ππ+<≤+即可,即81033ω<≤,03ω<≤ ,833ω∴<≤.故答案为:π;833ω<≤三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分17.某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示.（1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有1名男生的概率．【答案】（1）男30人，女45人（2）710【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出男、女生优秀人数即可；（2）求出样本中的男生和女生的人数，写出所有的基本事件以及满足条件的基本事件的个数，从而求出满足条件的概率即可．【详解】（1）由题可得，男生优秀人数为()1000.010.021030⨯+⨯=人，女生优秀人数为()1000.0150.031045⨯+⨯=人；（2）因为样本容量与总体中的个体数的比是51304515=+，所以样本中包含男生人数为130215⨯=人，女生人数为145315⨯=人．设两名男生为1A ，2A ，三名女生为1B ，2B 3B ．则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B 共10个，记事件C ：“选取的2人中至少有一名男生”，则事件C 包含的基本事件有：{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B 共7个．所以()710P C =．【点睛】本题考查了频率分布问题，考查了古典概型概率问题，是一道中档题．18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 是AC 的中点，且1A M ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，2AB AC ==，13AA =.（1）证明：1AB CC ⊥；（2）求三棱锥11C ABA -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）423.【解析】【分析】（1）根据已知条件可得1A M AB ⊥结合AB AC ⊥可证明AB ⊥平面11A ACC ，再由线面垂直的性质即可求证；（2）由三棱锥等体积计算1111C ABA B AA C V V --=即可求解.【详解】（1）因1A M ⊥平面ABC ，又因为AB ⊂平面ABC ，所以1A M AB ⊥，又因为AB AC ⊥，1A M AC M = ，所以AB ⊥平面11A ACC ，又因为1CC ⊂平面11A ACC ，所以1AB CC ⊥；（2）因为1AM =，13AA =，所以1A M ===，所以11111111142223323C ABA B AA C AA C V V S AB --==⋅⋅=⨯⨯⨯=.19.在①n S ，12n S +，23n S +成等差数列，且249S =；②()2111253n n n n a a a a ++=-，且0n a >；③20n n S a t +-=（t 为常数）从这三个条件中任选一个补充在横线处，并给出解答.问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，113a =，___________，其中N n *∈.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记113log n n b a +=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）选①、②、③答案都为13n n a =；（2）525443nnn T +=-⨯.【解析】【分析】（1）若选①：由等差数列的定义列方程再整理可得123n n a a ++=，由已知条件求出2a 的值，可得{}n a 是等比数列，即得{}n a 的通项公式；若选②：将已知递推关系式因式分解可得{}n a 是等比数列，即得{}n a 的通项公式；若选③：2n ≥时，1120n n S a t --+-=，与20n n S a t +-=两式相减可得{}n a 是等比数列，进而可得{}n a 的通项公式；（2）求出{}n b 的通项以及{}n n a b ⋅的通项，由乘公比错位相减即可求n T .【详解】（1）若选条件①：因为n S ，12n S +，23n S +成等差数列，所以1243n n n S S S ++=+，即()1213n n n n S S S S +++-=-，所以123n n a a ++=，又249S =，113a =，所以22119a S a =-=，即2113=a a ，所以113n n a a +=，即113n n a a +=，又113a =，所以数列{}n a 是首项为13，公比为13的等比数列，所以13n n a =；若选条件②：由()2111253n n n n a a a a ++=-，得()211325n n n n a a a a ++=-，即12210352n n n n a a a a +++-=，所以()()11203n n n n a a a a +++-=，因为0n a >，所以130n n a a +-=，即113n n a a +=，又113a =，所以数列{}n a 是首项为13，公比为13的等比数列，所以13n n a =；若选条件③：因为20n n S a t +-=，所以2n ≥时，1120n n S a t --+-=，两式相减并整理，得11(2)3n n a a n -=≥，即11(2)3n n a n a -=≥，又113a =；所以数列{}n a 是首项为13，公比为13的等比数列，所以13n na =.（2）由（1）知：1113n n a ++=，所以311113log l 113og n n n a n b ++==+=，所以11(1)33n n n n n a b n +⋅=+⨯=，所以2323413333n n n T +=++++ ，所以23411234133333n n n T ++=++++ ，两式相减，得122311111332211112113333333313n n n n n n n T -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++++-=+- ⎪⎝⎭- 1112111151111332336233n n n n n n -++⎡⎤++⎛⎫=+⨯--=-⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以15111362352544332n n n n n n T ++⎛⎫-⨯-⨯=⎪⎝+-⨯⎭=.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>经过点12⎫⎪⎭，其右顶点为A （2，0）．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P ，Q 在椭圆C 上，且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120．证明直线PQ 经过定点，并求△APQ 面积的最大值．【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析，定点()3,0-，△APQ 面积的最大值为53．【解析】【分析】（1）根据题意可得221342,1a a b=+=，再结合222a b c =+，即可解出,,a b c ，从而得出椭圆C 的方程；（2）依题可设:PQ y kx m =+，再将直线方程与椭圆方程联立，即可得到1212,x x x x +，然后结合120AP AQ k k =，可找到,m k 的关系，从而可知直线PQ 经过定点B ，于是△APQ 面积等于ABP ABQ S S -△△，即可求出其最大值．【小问1详解】依题可得，2222221341a a b a b c=⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．【小问2详解】易知直线AP 与AQ 的斜率同号，所以直线PQ 不垂直于x 轴，故可设:PQ y kx m =+，0k ≠，()()1122,,,P x y Q x y ，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得，()222148440k x mkx m +++-=，所以，2121222844,1414mk m x x x x k k --+==++，()2216410k m ∆=+->，而120AP AQ k k =，即121212220y y x x ⋅=--，化简可得，()()()()12122022kx m kx m x x ++=--①，因为()()()()2222121484414kxmkx m k x x x x +++-=+--，所以，令2x =可得，()()22122161642214k mk m x x k ++--=+②，令mx k=-可得，()()222222121222420802020201414m m m m k k kx m kx m k x x k k k k k --⎛⎫⎛⎫++=++=⨯= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭③，把②③代入①得，2222161642080k mk m m k ++=-，化简得2260k mk m +-=，所以，2m k =-或3m k =，，所以直线:PQ ()2y k x =-或()3y k x =+，因为直线PQ 不经过点A ，所以直线PQ 经过定点()3,0-．设定点()3,0B -，所以，12121522APQ ABP ABQ S S S AB y y k x x =-=⨯⨯-=- △△==，因为2150k ->，所以2105k <<，设29411,5t k ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以53APQ S == ，当且仅当97t =即2114k =时取等号，即△APQ 面积的最大值为53．21.已知函数()ln f x x kx =-（R k ∈），()()2xg x x e =-.（1）求函数()f x 的极值点；（2）若()()1g x f x -≥恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）当0k ≤时，()f x 无极值点，当0k >时，()f x 有极大值点1k，无极小值点，（2）[1,)+∞【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求出导函数，通过判断导函数的正负来判断函数的极点；（2）将不等式恒成立转化为1ln 2xx k e x+≥-+对0x >恒成立，构造函数1ln ()2xx m x e x+=-+，利用导数研究函数()m x 的性质，求解()m x 的最值，即可得到k 的取值范围【详解】解：（1）函数的定义域为(0,)+∞，由()ln f x x kx =-，得'11()kx f x k x x-=-=，当0k ≤时，'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，函数无极值点，当0k >时，由'()0f x =，得1x k=，当10x k <<时，'()0f x >，当1x k >时，'()0f x <，所以()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 有极大值点1k，无极小值点，综上，当0k ≤时，()f x 无极值点，当0k >时，()f x 有极大值点1k，无极小值点，（2）因为()()1g x f x -≥恒成立，即(2)(ln )1x x e x kx ---≥恒成立，所以1ln 2xx k e x+≥-+对0x >恒成立，令1ln ()2x x m x e x +=-+，则2'221(1ln )ln ()x x x x x x e x m x e x x ⋅-+--=-=，令2()ln x n x x x e =--，则'22l l()(2)(2)0(0)x x x n x xe x e e x x x x x=--+=--+<>，所以()n x 在(0,)+∞上单调递减，因为12110,(1)0e n e n e e -⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭，所以由零点存在性定理可知，存在唯一的零点01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00n x =，即0200ln xx x e -=，两边取对数可得000ln(ln )2ln x x x -=+，即0000ln(ln )(ln )ln x x x x -+-=+，因为函数ln y x x =+在(0,)+∞上单调递增，所以00ln x x =-，所以当00x x <<时，()0n x >，当0x x >时，()0n x <，所以()m x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，所以00000001ln 11()()221x x x m x m x e x x x +-≤=-+=-+=，所以0()1k m x ≥=，所以k 的取值范围为[1,)+∞【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是()()1g x f x -≥恒成立，转化为1ln 2xx k e x+≥-+对0x >恒成立，然后构造函数1ln ()2xx m x e x+=-+，利用导数求出()m x 的最大值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为x 轴，建立极坐标系，曲线1C 是经过极点且圆心在极轴上直径为2的圆，曲线2C 是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为[]()1sin 0,2ρθθπ=-∈.（1）求曲线1C 的极坐标方程，并求曲线1C 和曲线2C 交点（异于极点）的极径；（2）曲线3C 的参数方程为cos 3sin 3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.若曲线3C 和曲线2C 相交于除极点以外的M ，N 两点，求线段MN 的长度.【答案】（1）极坐标方程为2cos ρθ=，[)0,2θ∈π，极径为85（2）2【解析】【分析】（1）先求出曲线1C 的直角坐标方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线1C 的极坐标方程；联立曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程，消去θ可得结果；（2）将曲线3C 的参数方程化为直角坐标方程，再化为极坐标方程，联立曲线3C 和曲线2C 的极坐标方程，消去θ得到,M N 两点的极径后相加即可得解.【小问1详解】曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=，即2220x y x +-=，将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入并化简得1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[)0,2θ∈π.由2cos 1sin ρθρθ=⎧⎨=-⎩消去θ，并整理得2580ρρ-=，∴10ρ=或285ρ=.∴所求异于极点的交点的极径为85ρ=.【小问2详解】由cos 3sin3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t 得曲线3C的普通方程为y =，∴曲线3C 的极坐标方程为()03πθρ=≥和()403πθρ=≥由31sin πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩和431sin πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得曲线3C 与曲线2C 两交点的极坐标为31,23M π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，34123N π⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴3311222MN OM ON ⎛⎫⎛⎫=+=-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(O 为极点).23.设函数()45f x x x =-+-的最小值为m .（1）求m ；（2）设123,,x x x R +∈，且123x x x m ++=，求证：22231212311114x x x x x x ++≥+++.【答案】（1）1m =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用“零点讨论法”将绝对值函数表示为分段函数的形式，求分段函数的最值即可；（2）由（1）易构造出1231114x x x +++++=，利用柯西不等式即可得结果.【详解】（1）∵()29,41,4529,5x x f x x x x -+<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，∴4x <时，()1f x >，且5x >时，()1f x >，∴()min 1f x =，∴1m =；（2）由（1）知1231x x x ++=，∴1231114x x x +++++=，∵()()()2222223312121231231234111111111x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++⨯=+++++++≥⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭()21231x x x ++=，∴22231212311114x x x x x x ++≥+++，当且仅当12313x x x ===取等号.【点睛】关键点点睛：得出1231114x x x +++++=，构造柯西不等式的形式.。
